高三一轮复习课件第四章：两角和与差及二倍角的三角函数公式
(2)由已知，得 sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ. 平方相加得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1. 1 所以－2cos(β－α)＝－1，所以 cos(β－α)＝2， π 所以 β－α＝± 3. 因为 sinγ＝sinβ－sinα>0，所以 β>α， π 所以 β－α＝3.
1．在对三角函数式进行恒等变换的过程中，要深刻理解“恒 等”的含义，不能改变自变量的取值范围．要注意和、差、倍角 的相对性，还要注意“1”的灵活应用． 2．已知三角函数值求角时，要先确定所求角的范围，再选择 在该范围内具有单调性的某一三角函数求解，否则容易出现增根．
如若 α∈(0，π)，则选余弦函数；若
5 ∵cosβ＝－13，β 是第三象限角， ∴sinβ＝－ 1－cos β＝－
2
5 2 12 1－－13 ＝－13.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
3 5 4 12 33 ＝－5×－13＋5×－13＝－65.
π π 【解析】(1)由 0＜β＜α＜2得 0＜α－β＜2. 13 1 又 cos(α－β)＝14，cosα＝7， 3 3 所以 sin(α－β)＝ 1－cos α－β＝ 14 .
2
4 3 sinα＝ 7 .
则 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)， 1 13 4 3 3 3 1 ＝7×14＋ 7 × 14 ＝2. π π 而 β∈(0，2)，则 β＝3.
)
π 3 4 【解析】因为 α∈(2，π)，sinα＝5，所以 cosα＝－5，tanα sinα 3 ＝cosα＝－4. 3 1－4 π 1＋tanα 1 所以 tan(α＋4)＝ ＝ 3＝7.故选 A. 1－tanα 1＋4
π 4 3 7π 4.已知 cos(α－6)＋sinα＝ 5 ，则 sin(α＋ 6 )的值是( 2 3 A．－ 5 4 C．－5 2 3 B. 5 4 D.5
(3)因为 1＝tan45° ， 1＋tan15° tan45° ＋tan15° 所以 ＝ ＝tan(45° ＋15° )＝ 3. 1－tan15° 1－tan45° tan15°
本题(1)体会正用(直接)公式；(2)体会逆(反)用公 式；(3)创造条件(变形)逆用公式．
【互动探究】
3 2．计算：tan20° ＋tan40° ＋ 3tan20° tan40° ＝____.
π π α∈－2，2，则选正弦函数．
2 2
一
考点1
给值求值
两角和与差的正弦和余弦
π 4 5 例 1：已知 sinα＝5，α∈2，π，cosβ＝－13，β 是第三象限
角，求 cos(α－β)的值．
π 4 解析：∵α∈ 2，π ，sinα＝5，
∴cosα＝－ 1－sin α＝－
2
42 3 1－ 5 ＝－5.
题型二
给角求值
tan42° ＋tan18° 1＋tan15° 例 2：(1)tan15° ；(2) ；(3) . 1－tan42° tan18° 1－tan15°
解析：(1)tan15° ＝tan(60° －45° ) tan60° －tan45° 3－1 ＝ ＝ ＝2－ 3. 1＋tan60° tan45° 1＋ 3 tan42° ＋tan18° (2) ＝tan(42° ＋18° )＝tan60° ＝ 3. 1－tan42° tan18°
)
π 4 3 3 3 【解析】 cos(α－ 6 ) ＋ sinα ＝ 5 ⇒2 sinα ＋ 2 cosα＝ 4 3 π 4 7π π 4 ⇒ sin( α ＋ ) ＝ ，所以 sin( α ＋ ) ＝－ sin( α ＋ ) ＝－ . 5 6 5 6 6 5
5.已知tan(2 ) 2，则cos2
三
给值求角
1 13 π 【例 3】(1)已知 cosα＝7，cos(α－β)＝14，且 0<β<α<2， 求 β 的值； π (2)已知 α、β、γ∈(0，2)，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ ＝cosα，求 β－α 的值．
【分析】 (1)分析已知式和待求式中角的关系， 不难发 现 β＝α－(α－β)，因此应用两角差公式求解． (2)目标角中不含 γ，因此利用 sin2γ＋cos2γ＝1 消去 γ 即 可．
解析： 因为 tan(2 ) tan 2， 则 tan a 2， cos 1 1 所以 cos a ， 2 2 2 sin cos tan 1 5 1 3 2 所以 cos 2a 2cos a 1 2 1 . 5 5
【点评】 给值求角问题，一般都需先求出待求角的 某一个三角函数值， 再根据角的范围确定角的值； 一般地， π π 若 α∈(－2， ) ， 则求 sin α 或 tan α ； 若 α ∈ (0 ， π ) ， 则求 cos α 2 或 tanα，避免增角．
考点3
二倍角公式的应用
例 3：已知：f(x)＝2cos2x＋ 3sin2x＋a(其中 a∈R)． (1)若 x∈R，求 f(x)的最小正周期； (2)若
2．二倍角的三角函数 cos2α＝_____________ cos2α－sin2α ＝_____________ 2cos2α－1 ＝____________ 1－2sin2α ； 2sinαcosα ； sin2α＝___________ 2tanα tan2α＝___________. 1－tan2α 3．降次公式
【点评】 对于给值求角问题，即由给出的某些角的三 角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于 “变 角”使“所求角”变为“已知角”；若角所在象限没有确 定，则应分类讨论，应注意公式的灵活应用，如 β＝α－(α α＋β α＋β α－β －β)，α＋β＝ 2 ×2，α＝ 2 ＋ 2 等．
考点2
பைடு நூலகம்
两角和与差的正切
1＋cos2α 1－cos2α 2 2 cos2α＝_________ ；sin2α＝_________.
4．辅助角公式
asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)．
a b 其中 cosφ＝ 2 2，sinφ＝ 2 2， a ＋b a ＋b b tanφ＝a，角 φ 称为辅助角．
1.cos(45° －30° )的值为( 2 A. 2 2＋ 3 C. 4 3 B. 2
考纲要求 考纲研读 1.会用向量的数量积推导出两 向量是沟通代数、几何与三角函数 的一种工具，利用向量推导公式 角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导 时，要结合图形，将所求的角用已 出两角差的正弦、正切公式． 知角表示出来，并借助诱导公式求 3．能利用两角差的余弦公式导 解．研究不同三角函数值之间的关 出两角和的正弦、余弦、正切 系时，常以角为切入点，并以此为 公式，导出二倍角的正弦、余 依据进行公式的选择，同时还要关 弦、正切公式，了解它们的内 注式子的结构特征，通过对式子进 在联系. 行恒等变形，将问题得到简化.
tan20° ＋tan40° 解析：∵tan(20° ＋40° )＝ ， 1－tan20° tan40° ∴ 3－ 3tan20° tan40° ＝tan20° ＋tan40° . 移项可得：tan20° ＋tan40° ＋ 3tan20° tan40° ＝ 3.
评析：化简求值，当题中没有特殊角时，常 通过恒等变形生成特殊角，或在题中通过约 分消去非特殊角，或将非特殊角用规律角表 示，隐去非特殊角，从而得值，即“生成 — — 约去 — — 抵消”三步曲．
1．两角和与差的三角函数 cosαcosβ－sinαsinβ cos(α＋β)＝______________________( Cα＋β)； cosαcosβ＋sinαsinβ cos(α－β)＝_____________________( C )；
α－β
sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α＋β)＝_______________________( Sα＋β)；
sin(α－β)＝_______________________( Sα－β)； sinαcosβ－cosαsinβ tanα＋tanβ 1－tanαtanβ tan(α＋β)＝____________( Tα＋β)； tanα－tanβ tan(α－β)＝____________( 1＋tanαtanβTα－β)．
∴f(x)max＝2＋a＋1，f(x)min＝－1＋a＋1， ∴2a＋3＝3.即 a＝0.
利用二倍角公式(降幂公式)、辅助角公式(二合一公 式)将三角函数式由多项转化为一项是化简的最终目标．求三角函 数在某区间的最值(范围)时，不要只代两端点，要注意结合图象．
1．本讲公式较多，对公式的掌握，一方面是熟悉各组公式间 的内在联系，从整体上把握公式的特点；另一方面是要注意公式
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.已知sinα求cosα， 已知cosβ求sinβ，都要用到公式sin2α＋cos2α＝1，要注意角α， β的象限，也就是符号问题．
3 5 π 3 π 变式若 sin(4π＋α)＝13，cos(4－β)＝5，且 0<α<4 3 <β<4π，求 cos(α＋β)的值．
解析： 原式 sin15 cos75 sin105 cos15 sin15 cos75 sin 75 cos15 sin(15 75) 1.
π 3 π 3.已知 α∈(2，π)，sinα＝5，则 tan(α＋4)等于( 1 A.7 1 C．－7 B． 7 D．－7
的逆用和变形．公式的应用包括：正用、反用与变用，如tanα±
tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)等．
2．在处理三角函数问题时，三个统一中(角的统一、函数名统 一、次数统一)，角的统一是第一位． 3．合一变换与降次都是常用的方法，合一变换的目的是把一 个角的两个三角函数的和转化为一个角的一个三角函数．降次的 目的，一方面把一个角变为原来的两倍．另外一方面是为了次数 的统一．
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+Z k k ,2,,ππβαβα 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+≠Z k k k ，且42ππαππα 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角． 二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=2222cos ,sin b a ab a b ϕϕ三、考点解析考点一 三角函数公式的直接应用例、(1)已知sin α＝35，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－112(2)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( ) A ．－229 B ．－429 C.229 D.429[解题技法]应用三角公式化简求值的策略：(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．跟踪训练1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则)4sin(2cos παα+的值为( ) A ．－23 B.23 C ．－13 D.132．已知sin α＝45，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2ππ，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα的值为________． 考点二 三角函数公式的逆用与变形用例、(1)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧：(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.跟踪训练1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b 2.已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin α＝435，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝________. 3.化简sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα－sin 2α的结果是________．考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换典例、已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53，若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+ββα22a 等．考法(二) 三角公式中名的变换典例、已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解题技法]三角函数名的变换技巧：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．跟踪训练1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝( ) A.12 B.13 C.14 D.152．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πA ＝7210，A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，4，则sin A 的值为( ) A.35 B.45 C.35或45 D.343．已知sin α＝－45，α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ223，，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136 C ．－613 D ．－136课后作业1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )A ．1 B.12 C.32 D ．－122．若2sin x ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2π＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89 B ．－79 C.79 D ．－7253．若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＝－33，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα＋cos α＝( ) A ．－223 B ．±223C ．－1D ．±1 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B.2 C.22 D.335．若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，且3cos 2α＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718 D.17186．已知sin 2α＝13，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.237．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πα＝12，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα的值为________． 8．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________. 9．若tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝16，则tan α＝________. 10．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________. 11．已知tan α＝2.(1)求tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．。
第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
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思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
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要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
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2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
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某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
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【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
2025版高考数学一轮总复习学案 第4章 第3讲 第1课时 三角函数公式的基本应用
第四章第四章 三角函数、解三角形第三讲 两角和与差的三角函数 二倍角公式第一课时 三角函数公式的基本应用知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究知 识 梳 理知识点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．sin 2α＝_________________；2．cos 2α＝________________＝__________－1＝1－__________；2sin αcos αcos 2α－sin 2α2cos 2α2sin 2α知识点三 半角公式(不要求记忆)双 基 自 测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( )√××(4)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( )[解析] 根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(3)(4)(5)是错误的，(1)是正确的．××题组二 走进教材2．(必修1P219例4改编)计算sin 43°cos 13°＋sin 47°cos 103°的结A果等于( )A题组三 走向高考DD－2三角函数公式的直接应用——自主练透DBA名师点拨：1．使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.三角函数公式的逆用与变形用——多维探究角度1 公式的逆用C角度2 公式的变形应用BDA名师点拨：1．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．2．熟记三角函数公式的2类变式(1)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．(2)倍角公式变形：【变式训练】DBA．5 B．4 C．3 D．2角的变换与名的变换——师生共研BBCA．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1名师点拨：2．名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.A。
高中总复习第一轮数学 第四章 4.3 两角和与差、二倍角的公式(二)
4.3 两角和与差、二倍角的公式(二)巩固·夯实基础一、自主梳理1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中,当α=β时就可得到二倍角公式sin2α=2sin αcos α,cos2α=cos 2α-sin 2α,tan2α=αα2tan 1tan 2-. 在二倍角的余弦公式中如果表示式中仅含α的正弦,则cos2α=1-2sin 2α;如果表示式中仅含α的余弦,则cos2α=2cos 2α-1.2.常见二倍角公式的变形:sin 2α=22cos 1α-,cos 2α=212cos +α,1+cos α=2cos 22α,1-cos α=2sin 22α. 二、点击双基1.下列各式中,值为21的是( ) A.sin15°cos15° B.2cos 212π-1 C.230cos 1︒+ D.︒-︒5.22tan 15.22tan 2 解析: ︒-︒5.22tan 15.22tan 2=21tan45°=21. 答案:D2.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=26,a 、b 、c 的大小关系是( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c解析:a=2sin59°,c=2sin60°,b=2sin61°,∴a<c<b.答案:B3.若f(tanx)=sin2x,则f(-1)的值是( )A.-sin2B.-1C.21D.1 解析:f(-1)=f ［tan(-4π)］=-sin 2π=-1. 答案:B 4.(2005上海春季高考)若cos α=53,且α∈(0,2π),则tan 2α=___________. 解法一:由cos α=53,α∈(0,2π),得sin α=α2cos 1-=54, tan 2α=2cos 2sin αα=2cos 2sin 22sin 2ααα=ααsin cos 1-=54531-=21. 解法二:tan 2α=ααcos 1cos 1+-=531531+-=21. 答案:21 5.(2005北京春季高考)已知sin2θ+cos 2θ=332,那么sin θ的值为____________,cos2θ的值为____________.解析:由sin 2θ+cos 2θ=332,得 1+sin θ=34,sin θ=31, cos2θ=1-2sin 2θ=1-2·91=97. 答案:31 97 诱思·实例点拨 【例1】 (2005全国高考卷Ⅱ,文)已知α为第二象限的角，sin α=53，β为第一象限的角，cos β=135.求tan (2α-β)的值. 剖析:欲求tan(2α-β),需求tan β,tan2α.解:∵α为第二象限角,sin α=53, ∴cos α=-α2sin 1-=-54,tan α=ααcos sin =-43,tan2α=αα2tan 1tan 2-=-724. ∵β为第一象限角,cos β=135, ∴sin β=β2cos 1-=1312,tan β=ββcos sin =512. ∴tan(2α-β)=βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-=5127241512724⨯---=253204. 讲评:本题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识,以及分析问题和解决问题的能力.【例2】 已知sin(x-43π)cos(x-4π)=-41,cos4x 的值.剖析:4x 为2x 的二倍角,2x 为x 的二倍角.解:由已知得sin(x-2π-4π)cos(x-4π)=-41, ∴cos 2(x-4π)=41. ∴sin2x=cos(2π-2x)=2cos 2(4π-x)-1=-87. ∴cos4x=1-2sin 22x=1-6498=-3217. 【例3】(2005福建高考)已知-2π<x<0,sinx+cosx=51. (1)求sinx-cosx 的值;(2)求xx x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-π的值. 解:(1)由sinx+cosx=51,得sin 2x+2sinxcosx+cos 2x=251,即2sinxcosx=-2524. ∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=2549. ∵-2π<x<0, ∴sinx-cosx<0.故sinx-cosx=-57. (2)xx x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++- =x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 22++- =sinxcosx(2-cosx-sinx)=(-2512)×(2-51)=-125108. 讲评:本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限的符号等基本知识,以及推理和运算能力.。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 课件
探
究
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17
课
前 自 主
5．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝
.
回 顾
课
1 7
[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋12－12×31 31＝17.]
课 后 限 时 集 训
堂
考
点
探
究
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课
前
自
主回顾 第1课时Fra bibliotek时 集 训
堂
考 点 探 究
cos 2α＝ccooss22αα－＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα.
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7
课 前
2．降幂公式
自
主 回 顾
sin2α＝1－c2os 2α；
课 后
限
课
cos2α＝1＋c2os 2α；
时 集 训
堂
考 点 探
sin αcos α＝12sin 2α.
究
用．
返
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34
公式的变形用
课
1
前 自
sin235°－2
主
(1)化简cos 10°cos 80°＝
.
回
课
顾
(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是
．
后 限 时
课 堂 考 点
(1)－1
(2)12
[(1)cossin1203°5c°o－s 8120°＝1c－osc1o20s°s7i0n°－1012°＝－112cos
课
前
二、教材改编
自
主 回 顾
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α为(
两角和与差及二倍角的三角函数公式
两角和与差及二倍角的三角函数公式1.两角和公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))这些公式表明，将两个角度的三角函数相加时，可以将它们的三角函数值相乘、相加或者相除，从而得到结果的三角函数值。
2.两角差公式：cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))这些公式表明，将两个角度的三角函数相减时，可以将其中的一个角度的三角函数值取相反数，并进行相乘、相加或者相除，从而得到结果的三角函数值。
3.二倍角公式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A) sin(2A) = 2sin(A)cos(A)tan(2A) = 2tan(A)/(1 - tan^2(A))这些公式表明，角度的两倍的三角函数值可以通过将角度的三角函数值平方、相乘、相加或者相除，并进行一些基本运算，从而得到结果的三角函数值。
这些公式在解决各种三角函数问题时非常有用。
它们可以帮助我们计算两个角度的和、差以及角度的两倍的三角函数值。
例如，当需要计算sin(75°)时，可以利用sin(45° + 30°)的两角和公式，以及sin(2 * 30°)的二倍角公式，从而得到sin(75°)的值。
此外，这些公式也有一些相关的推论：1.三角函数的积和商：sin(A)sin(B) = (cos(A - B) - cos(A + B))/2cos(A)cos(B) = (cos(A - B) + cos(A + B))/2sin(A)cos(B) = (sin(A + B) + sin(A - B))/22.三角函数的平方：sin^2(A) = (1 - cos(2A))/2。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
2．若sinπ6－α＝12，则cosπ3－2α＝( A )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
D．－
3 2
解析 因为sinπ6－α＝12， 所以cos3π－2α＝cos2π6－α ＝1－2sin2π6－α＝1－2×122＝12.
— 9—
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
3．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( A )
1 A.2
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
解析 sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
— 10 —
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
3＋ 3×
333＝－223 3
3 ＝－
3 3.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
命题点2 三角函数公式的逆用和变形应用
例2 (1)计算：4cos 10°－csoins 1100°°＝ － 3 .
(2)(2022·江苏盐城模拟)tan
9π＋tan
29π＋
3tan
π 9tan
命题点3 三角函数公式的灵活应用
考向1 角的变换
例3 已知cos52π－α＝2cos(2π＋α)，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为( D )
A．－7
B．7
C．1
D．－1
解析
因为cos 52π－α ＝2cos(2π＋α)，所以sin
α＝2cos
α，所以tan
α＝
高考数学总复习 第四章 三角函数 第22讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式课件 理
第九页，共四十四页。
考点 1 三角函数公式的基本应用 例1(1)若 α∈π2 ，π，tanα＋π4 ＝17，则 sin α 等于( ) A.35 B.45 C. －35 D. －45
第十页，共四十四页。
【解析】(1)∵tanα＋π4 ＝t1a－n taαn＋α1＝17，
∴tan
α＝－34＝csions
α α，
∴cos α＝－43sin α. 又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝295. 又∵α∈π2 ，π，∴sin α＝35.
【答案】A
第十一页，共四十四页。
(2)
计
算
sin
47°－sin 17°cos 30° cos 17°
的
值
等
于
__________.
cos 2α＝2cos2α－1＝35，
∴f(α)＝12sin
2α＋
3 2 cos
2α＝3
3－4 10 .
第十九页，共四十四页。
1. 对于任意一个三角公式，应从“顺、逆”两个 方面去认识，尽力熟悉它的变式，以及能灵活运用.
2. 公式应用要讲究“灵活、恰当”，关键是观察、 分析题设“已知”和“未知”中角之间的“和、差、 倍、半”以及“互补、互余”关系，同时分析归纳题 设中三角函数式的结构特征，探究化简变换目标.
第二十五页，共四十四页。
2. 已知 α∈π2 ，π，cos α＝－45，则 tanα＋π4
＝( )
1 A.7
B. 7
C. －17
D. －7
【解析】∵α∈π2 ，π，cos α＝－45，∴sin α＝35，
∴tan α＝－34，∴tanα＋π4 ＝t1a－n taαn＋α1＝－1＋ 34＋341＝17.
高考数学复习：两角和与差的三角函数、二倍角公式 课件
分类解析
目标 1 和、差、倍角公式的直接应用
(1) (2020·全国Ⅲ卷)已知 2tan θ－tan θ＋π4＝7，那么 tan θ 等于( D )
A. －2
B. －1
C. 1
D. 2
【解析】 2tan θ－tan θ＋π4＝2tan θ－11＋－ttaann θθ＝7，化简得 tan2 θ－4tan θ＋4＝0， 解得 tan θ＝2.
tan2α＝1－2tatannα2α.
3. 常用变形结论 (1) tanα±tanβ＝_______t_a_n_(α_±_β_)_(_1_∓_ta_n_α_t_a_n_β)________；
(2) 降幂公式：cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α；
(3) 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝
(2) 若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 sin 2α 的值为( A )
A. －492
B.
－2
2 9
22 C. 9
42 D. 9
【解析】 因为 sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－232，
所以
sin
2α＝2sin
αcos
α＝2×13×－2
2. 1－2tatann1251°5°等于( A ) A. 3 C. 1
3 B. 3 D. －1
【解析】 因为1－2tatann1251°5°＝tan30°＝ 33，所以原式＝ 3.
3. sin1π2－cos1π2·sin1π2＋cos1π2等于( B )
A. －12
B.
－
3 2
第21讲两角和与差及二倍角的三角函数
理数
第四单元 三角函数与平面向 量
第21讲 21讲
两角和与差及 二倍角的三角函数
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦 会用向量的数量积推导出两角差的余弦 公式. 公式 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的 能利用两角差的余弦公式导出两角差的 正弦、正切公式. 正弦、正切公式 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的 能利用两角差的余弦公式导出两角和的 正弦、 余弦、 正切公式， 导出二倍角的正弦、 正弦 、 余弦 、 正切公式 ， 导出二倍角的正弦 、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 余弦、正切公式，了解它们的内在联系 4.熟练应用公式进行化简、求值、证明. 熟练应用公式进行化简、求值、证明 熟练应用公式进行化简
7 5
3 . 4
5
目标角” 已知角” “ 目标角 ” 与 “ 已知角 ” ， 再逐步求值逼 可看成α的 倍与 的和， 倍与β的和 近；如2α+β可看成 的2倍与 的和，也可以 可看成 看成是（ 看成是 （ α+β)+α等 ， 求解过程不一 ， 但结 等 求解过程不一， 果肯定相同. 果肯定相同 （2）给值求值，如需用平方关系，切 ）给值求值，如需用平方关系， 记考察角的范围或分类讨论所在象限. 记考察角的范围或分类讨论所在象限
cos10
3 sin 2 10 cos10
)cos10° °
常通过恒等变形生成特殊角， 常通过恒等变形生成特殊角，或在题中 通过约分消去非特殊角， 通过约分消去非特殊角，或将非特殊角 用规律角表示，隐去非特殊角， 用规律角表示，隐去非特殊角，从而得 生成——约去 约去——抵消” 三步 抵消” 值 ， 即 “ 生成 约去 抵消 曲.
走进高考
学例1 (2009 安 徽 卷 ) 设 函 数