第7章 图论 -3-4图的矩阵表示、欧拉图与汉密尔顿图
第15章 欧拉图与哈密顿图
e5
v3
v2 e1 v1
e2
e3
e4
v4
e5
v3 e3 e4 v4
v2 v1 v5
e2 e3
e1 e5
v3 e4 v4 v6
v1
e6 v5 e7 e8 v6 e2 e3
e8 v5
e8 v6 v5 e2 v6
e7
G
v2 e1 v1 v5 v6 v3 e4 v4 v5 v2
G1
e2 v3 e4 v2 e1 v1 v5 e1
定理15.7
定理15.7 设G是n阶无向简单图，若对于G中任意不相邻的顶 点vi,vj，均有 d(vi)+d(vj)≥n-1 (15.1) 则G中存在哈密顿通路。 证明 首先证明G是连通图。 否则G至少有两个连通分支， 设G1,G2是阶数为n1,n2的两个连通分支， 设v1∈V(G1)，v2∈V(G2)，因为G是简单图，所以 dG(v1)+dG(v2)＝dG1(v1)+dG2(v2)≤n1-1+n2-1≤n-2 这与(15.1)矛盾，所以G必为连通图。
例15.3的说明
哈密顿通路是经过图中所有顶点的一条初级通路。 哈密顿回路是经过图中所有顶点的初级回路。 对于二部图还能得出下面结论： 一般情况下，设二部图G＝<V1,V2,E>，|V1|≤|V2|，且 |V1|≥2，|V2|≥2，由定理15.6及其推论可以得出下面结 论： (1) 若G是哈密顿图，则|V1|＝|V2|。 (2) 若G是半哈密顿图，则|V2|＝|V1|+1。 (3) 若|V2|≥|V1|+2，则G不是哈密顿图，也不是半哈密 顿图。
§15.2 哈密顿图
设图为G2，则G2＝<V1,V2,E>，其中 V1＝{a,g,h,i,c}，V2＝{b,e,f,j,k,d}， 易知，p(G2-V1)＝|V2|＝6>|V1|＝5， 由定理15.6可知，G2不是哈密顿图， 但G2是半哈密顿图。 baegjckhfid为G2中一条哈密顿通路。 设图为G3。G3＝<V1,V2,E>，其中 V1＝{a,c,g,h,e}，V2＝{b,d,i,j,f}， G3中存在哈密顿回路。 如 abcdgihjefa， 所以G3是哈密顿图。
欧拉图与哈密顿图
Fleury算法示例
例15.2
下图是给定的欧拉图G。某人用Fleury算法求G中的欧拉回路时 ，走了简单回路v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2之后(观看他的 错误走法)，无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误? 解答 此人行遍v8时犯了能不走桥就不走桥 的错误，因而他没行遍出欧拉回路。 当他走到v8时，G-{e2,e3,e14,e10,e1,e8} 为下图所示。 此时e9为该图中的桥，而e7,e11均不是桥， 他不应该走e9，而应该走e7或e11，他没 有走，所以犯了错误。注意，此人在行 遍中，在v3遇到过桥e3，v1处遇到过桥 e8，但当时除桥外他无别的边可走，所 以当时均走了桥，这是不会犯错误的。
≤ p(G -V1)+1 ≤ |V1|+1
例15.3
例15.3 在下图中给出的三个图都是二部图。它们中的哪些是 哈密顿图？哪些是半哈密顿图？为什么？ 易知互补顶点子集 V1＝{a,f} V2＝{b,c,d,e} 设此二部图为G1，则G1＝<V1,V2,E>。 p(G1-V1)＝4>|V1|＝2， 由定理15.6及其推论可知，G1不是哈 密顿图，也不是半哈密顿图。
因为Г只有两个端点且不同，因而G中只有两个奇数顶点。
另外，G的连通性是显然的。
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的，且G中恰有两 个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0，
对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一条欧拉通路，
哈密顿回路是生成的初级回路。
离散数学——图论PPT课件
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
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定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
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两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
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• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
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• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
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定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
离散数学复习资料
离散数学复习资料一、考试内容（1）考试内容以课堂上讲的内容为范围；（2）每次课后布置的作业。
二、各章节提要教学目的及要求：教学内容：命题及表示、联结词、命题公式与翻译、真值表与等价公式、重言式与蕴含式、对偶与范式、推理理论。
教学重点：命题逻辑中的基本概念和基本推理方法。
教学难点：推理理论小结：学习第一章要注意以下几点：（1）弄清命题与陈述句的关系。
（2）弄清由5种基本联结词联结的复合命题的逻辑关系及其真值。
特别是要弄清蕴含式”P→Q“的逻辑关系及其真值。
（3）记住常用的蕴含式和等价式，这是学好命题逻辑的关键问题。
（4）会准确地求出给定公式的主析取范式和主合取范式。
掌握主析取范式与真值表、成真赋值、主合取范式的关系。
（5）会用多种方法判断公式的类型及判断两个公式是否等价。
（6）会用等价变换法将一个联结词集中的公式等价地化为另一个联结词全功能集中的公式。
（7）掌握推理和判断推理是否正确的方法。
教学目的及要求：深刻理解和掌握谓词逻辑的基本概念和基本推理方法。
教学内容：谓词的概念与表示、命题函数与量词、谓词公式与翻译、变量的约束、谓词演算的等价式与蕴涵式、前束范式、谓词演算的推理理论。
教学重点：谓词逻辑中的基本概念和基本推理方法。
教学难点：谓词演算的推理理论。
小结：学习第二章要注意以下几点：(1)同一个命题在不同个体域内可能有不同的符号化形式，同时也可能有不同的真值，因而在将一个命题符号化之前，必须弄清个体域。
(2)在将命题符号化时，要特别注意量词与联结词的搭配。
经常的情况是全称量词∀与蕴含词→搭配，存在量词∃与合取词∧搭配。
因此有下面两种形式的公式：（∀x）(A(x) →B(x)) ①（∃x）(A(x) ∧ B(x)) ②而（∀x）(A(x) ∧ B(x)) ③（∃x）(A(x) → B(x)) ④③与①，④与②的含义完全不同。
(3)记住主要的等价式。
会用约束变元和自由变元换名规则进行等价演算，求出给定公式的前束范式。
图论证明题
1：什么是欧拉路？如何用欧拉路判定一个图G是否可一笔画出？给定无孤立点图G，若存在一条路，经过图中每边一次且仅一次，该条路称为欧拉路；如果一个图有欧拉路，则这个图能一笔画出。
2：什么是汉密尔顿图？请找出一个无向图具有汉密尔顿路的充分条件。
给定图G，若存在一条回路，经过图中的每一个结点恰好一次，这个回路称作汉密尔顿回路，如果一个图有汉密尔顿回路，则这个图是汉密尔顿图。
一个无向图具有汉密尔顿路的充分条件：设G具有n个结点的简单图，如果G中每一对结点的度数之和大于等于n-1，则在G 中存在一条汉密尔顿路。
3：什么是图的正常着色？简述韦尔奇·鲍威尔法(Welch Powell)对图进行着色的方法。
图G的正常着色(或简称为着色)是指对它的每一个结点指定一种颜色，使得没有两个相邻的结点有同一种颜色。
韦尔奇·鲍威尔法(Welch Powell)对图进行着色的方法：⑴将图G的结点按照度数的递减次序进行排列。
(这种排列可能并不是唯一的，因为有些点有相同的度数)。
⑵用第一种颜色对第一点进行着色，并且按排列次序，对前面着色点不邻接的每一点着上同样的颜色。
⑶用第二种颜色对尚未着色的点重复⑵，用第三种颜色继续这种做法，直到所有的点全部着上色为止。
4：什么是平面图？平面图的一个重要性质是欧拉定理，请写出欧拉定理。
设G＝〈V，E〉是一个无向图，如果能够把G的所有结点和边画在平面上，且使任何两条边除了端点外没有其它的交点，就称G是一个平面图。
平面图有一个重要性质是欧拉定理：设有一个连通平面图G，共有v个结点e条边r块面，则欧拉公式 v-e+r＝2 成立。
5：请给出树的至少5个等价的定义。
（每个1分，写对5个以上给满分，）给定树T，以下关于树的定义是等价的：⑴无回路的连通图；⑵无回路且e=v-1，其中e为边数，v为结点数；⑶连通且e=v-1；⑷无回路且增加一条新边，得到一个且仅一个回路；⑸连通且删去任何一个边后不连通；⑹每一对结点之间有一条且仅一条路。
离散数学--第十五章 欧拉图和哈密顿图
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
《离散数学》教学大纲 - 广东工业大学
《离散数学B》教学大纲Discrete Mathematics B课程代码：课程性质：专业基础理论课/必修适用专业：信息计算、信息安全、信管开课学期：3总学时数：56 总学分数： 3.5编写年月：2005年7月修订年月：2007年7月执笔：魏均斌一、课程的性质与目的离散数学虽然是近几十年来产生出的一门新课，就其数学内容来说却不是新的，有些内容甚至是很古典的。
随着计算机科学的发展和计算机应用领域的日益广泛，迫切需要适当的数学工具来解决计算机科学各个领域中提出的有关离散量的理论问题，离散数学就是适应这种需要而建立的，它综合了计算机科学中所用到的研究离散量的各个数学课题，并进行系统、全面的论述，从而为研究计算机科学及相关学科提供了有利的理论基础和工具。
1.本课程的教学目的和要求：离散数学是计算机科学及相关学科的一门非常重要的专业基础课。
教学的目的是培养学生的数学思维能力，通过教学，最终使学生能够在众多的概念中要找出最重要的，在众多的定理中找出最根本的，将这些少量的概念和定理能够透彻地理解，自如地运用，就达到了掌握离散数学的教学要求。
2.本课程的主要内容：朴素集合论、古典数理逻辑、图论、抽象代数学（包括群、环、域、格、布尔代数）。
3.教学重点与难点：离散数学包含的数学内容非常多，这些数学内容彼此间的独立性很强，每一个内容都可以做为一门课单独讲授，而在一个学期里讲授离散数学这门课，就只能讲授各个内容的最基本的知识，为学生今后进一步学习打下基础。
因此，教师在认真讲解基本概念和知识外，更重要的是培养学生的数学思维能力，决不能将离散数学讲成数学，这就是离散数学教学的重点，同时也是离散数学教学的难点。
二、教学内容与学时分配（54学时）第一章命题逻辑1.教学内容：命题及表示、联结词、命题公式与翻译、真值表与等价公式、重言式与蕴涵式、其他联结词、对偶与范式、推理理论。
2.教学目的及要求：深刻理解和掌握命题逻辑中的基本概念和基本方法。
第七章 第一讲 无向图及有向图
完全图举例
K5
3阶有向完全图
4阶竞赛图
子图(subgraph)
定义8 设G＝<V,E>，G＝<V ,E>为两个图(同为无 向图或同为有向图)，若V V且E E，则称G 是G的子图，G为G 的母图，记作G G。 若V V或E E，则称G 为G的真子图。
若et∈E，使得et＝<vi，vj>，则称vi为et的始点，vj为 et的终点，并称vi邻接到vj，vj邻接于vi。
若ek的终点为el的始点，则称ek与el相邻(adjacent)。 el ek vi vj
定义3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条 ，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。
3
欧拉：传奇的一生
年少时，听从父亲的安排，巴塞尔大学，学习神学和希伯来语 ，结果被约翰· 伯努利欣赏，17岁获得硕士学位之后，才开始 专供数学。
为获得圣彼得堡科学院的医学部的职位空缺，欧拉在巴塞尔便 全力投入生理学的研究，并出席医学报告会。1727年，等他到 达俄罗斯时，叶卡捷琳娜一世女皇去世，他进入数学部。 1733年，欧拉回到瑞士，并结婚，一生共生育13个孩子，5个 存活。 为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响 的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了。 可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了。 欧拉到底出了多少著作，直至1936年人们也没有确切的了解。 但据估计，要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大4开本60 4 至80卷。彼得堡学院为了整理他的著作整整花了 47年。
解： (3,3,2,1)，(3,2,2,1,1) 不可以图化
(3,3,2,2)可以图化
(3,2,2,2,1)可以图化