沪科版九年级下册数学-第24章 圆
1.垂径定理以及推论
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； A M└
B
(3) 平分弦 ；
(4)平分劣弧；
●O
(5)平分优弧.
知二得三
D
辅助线一
关于弦的问题，常常需
要过圆心作弦的垂线段，
这是一条非常重要的辅
O
助线。
弦心距、半径、弦长的
┓
AP
B
一半构成直角三角形， 便将问题转化为直角三
小结
与圆有关的辅助线的作法：
辅助线，
弦与弦心距，
莫乱添，
亲密紧相连；
规律方法记心
切点和圆心，
间；圆半径，
连结要领先；
不起眼，遇到直ຫໍສະໝຸດ 想直角的计算常要角，
连，构成等腰
灵活应用才方
解疑难；
便。
•
1.交代故事发生的时间、环境；描绘 出一幅 令人恐 惧的画 面，渲 染紧张 气氛。 侧面表 现人物 恐惧痛 苦的内 心世界 ，与他 所向往 的温馨 的家庭 生活环 境形成 鲜明对 比。
， 1．如图，弦CD垂直于⊙O的直径 AB，垂足为H，且CD=BBB,BD= ,
则AB的长为_______
2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接 四边形．延长AB与DC相交于点G， AO⊥CD，垂足为E，连接BD， ∠GBC=50°，则∠DBC的度数为____
3.圆周角定理及推论
D
C
C
B E
●O
•
6.这一前提假设在经济系统相对于生 态系统 较小时 ，即世 界是一 个“空 的世界 ”时尚 能满足 ，但在 经济系 统快速 增长， 世界逐 渐从“ 空的世 界”变 成“满 的世界 ”后， 这一假 设就很 难满足 了。
•
7.当人们不能改变客观的社会环境时 ，要避 免应激 性疾病 的发生 就应该 不断降 低心理 压力。 降低心 理压力 的方法 是多种 多样的 ，正确 认识事 物，获 得积极 的情感 体验是 一个重 要的方 法。
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的半 径
∴CD⊥OA.
C
●O
A
D
辅助线三
.O
当遇到已知切线和切 点时，要注意连接圆
心和切点，以便得到
┓
直角去帮助解题。
A
5．如图，已知△ABC的 边AB是⊙O的切线，切 点为B．AC经过圆心O 并与圆相交于点D、C， 过C作直线CE丄AB，交 AB的延长线于E （1）求证：CB平分 ∠ACE； （2）若BE=3，CE=4， 求⊙O的半径．
角形的问题。
2、圆心角、弧、弦、弦心距的关系 (1)在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,
②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组
量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别
相等A.
D
B
●O
┏
A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
②A⌒B=A′⌒B′
④ OD=O′D′
A
AD=3,求⊙O的直径。
.
证明:作⊙O的直径AE, 分通常析作:连∠解接出A决BD直EC此,=径则类∠∠以问CA及B=题E它∠,时所E,,对我的们B
.O ┓ ＤC
圆周角∴,△证明ABEΔ∽AB△E∽AΔDC,ADC. Ｅ
∴AD/AB=AC/AE,
即AE=AB×AC/AD=8,
∴ ⊙O的直径为8
4．如图，A、B、C为⊙O上的点 ，PC过O点，交⊙O于D点PD=OD ，若OB⊥AC于E点（1）判断A是 否是PB的中点，并说明理由； （2）若⊙O半径为8，试求BC的 长．
A
●O
BA
●O
B
A 定理:
C
同弧或等弧所对的圆周角相等,都
等于这弧所对的圆心角的一半.
推论:直径所对的圆周角是 直角 .
90°的圆周角所对的弦是 直径 .
辅助线二
C
A
.
在遇到与直径有关的问
B 题时，应考虑作出直径
O
或直径所对的圆周角。
这也是圆中的另一 种
辅助线添法。
3.已知, ΔABC内接于⊙O, AD⊥BC于D,AC=4,AB=6,
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8.心理学上有一种认识——评估学说， 即个体 对事物 有了认 识，就 会利用 头脑中 的旧经 验来解 释新输 入的信 息，进 行评估 ，于是 产生情 绪体验 。而个 体对事 物究竟 体验为 积极的 情绪还 是消极 的情绪 ，在于 怎样认 识事物 。
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9.迫于现实社会生存的巨大综合压力 和人类 因物质 文明进 步而带 来的精 神困惑 ，当代 诗歌的 内容越 来越局 限于私 人性的 东西， 正日愈 失去处 理重大 社会题 材的艺 术能力 ，这就 使得它 日愈减 少获得 公众关 注的机 会，而 只有在 少数未 被现代 社会物 质化的 心灵当 中获得 知音；
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2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
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3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
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4.意义的追求是每一章散文诗必须坚 持的， 是她的 生命线 。没有 任何意 义的散 文诗， 决非好 作品。 意义和 审美是 一体化 的存在 ，只有 在审美 的前提 下，在 足以强 化审美 而不是 削弱审 美的前 提下， 才能实 现意义 的追求 。
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5.传统的经济理论不考虑经济系统和 生态系 统的物 质和能 量交换 是基于 以下的 假设： 生态系 统的物 质和能 量是取 之不尽 、用之 不竭的 。
2022年最新沪科版九年级数学下册第24章圆综合测评试题(含答案及详细解析)
沪科版九年级数学下册第24章圆综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点P 的坐标是（）A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)2、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3、下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C ．D ．4、在圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为2：4：7，则∠B 的度数为（ ）A ．140°B ．100°C ．80°D ．40°5、如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB CD ∥，若80AOC ∠=︒，则BAD ∠的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°6、如图，O 的半径为6，将劣弧沿弦AB 翻折，恰好经过圆心O ，点C 为优弧AB 上的一个动点，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，P 为正六边形ABCDEF 边上一动点，点P 从点D 出发，沿六边形的边以1cm/s 的速度按逆时针方向运动，运动到点C 停止．设点P 的运动时间为()s x ，以点P 、C 、D 为顶点的三角形的面积是()2cm y ，则下列图像能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．8、如图，在ABC 中，5AB =，8BC =，60B ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69、如图，A ，B ，C ，D 都是O 上的点，OA BC ⊥，垂足为E ，若26OBC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（ ）A ．26︒B ．32︒C ．52︒D ．64︒10、下列语句判断正确的是（ ）A ．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形D ．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、平面直角坐标系中，()0,4C ，()2,0K ，A 为x 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕A 点顺时针旋转90°得到AB ，当BK 取最小值时，点B 的坐标为_________．2、如图，ODC △是由OAB 绕点O 顺时针旋转30°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且AOC ∠的度数为100°，则B 的度数是______．3、一个直角三角形的斜边长，两条直角边长的和是6cm ，则这个直角三角形外接圆的半径为______cm ，直角三角形的面积是________2cm ．4、若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．5、在平面直角坐标系中，将点(2,7)P -绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q ，则点Q 的坐标是___________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，正方形ABCD 是半径为R 的⊙O 内接四边形，R ＝6，求正方形ABCD 的边长和边心距．2、新定义：如图①，已知AOB ∠，在AOB ∠内部画射线OC ，得到三个角，分别为AOC ∠、BOC ∠、AOB ∠．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB ∠的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）（阅读理解）（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）（初步应用）（2）如图①，48AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“幸运线”，则AOC ∠的度数为______；（直接写出答案）（解决问题）（3）如图②，已知50AOB ∠=︒，射线OM 从OA 出发，以每秒10°的速度绕O 点顺时针旋转，同时，射线ON 从OB 出发，以每秒15°的速度绕O 点顺时针旋转，设运动的时间为t 秒()05t <<．若OM 、ON 、OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t 的值．（实际运用）（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？3、如图，AB 是⊙O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC ⊥OA 于点C ，过点B 作O 的切线交CE 的延长线于点D．（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求AC长．4、已知，P是直线AB上一动点（不与A，B重合），以P为直角顶点作等腰直角三角形PBD，点E是直线AD与△PBD的外接圆除点D以外的另一个交点，直线BE与直线PD相交于点F．（1）如图，当点P在线段AB上运动时，若∠DBE＝30°，PB＝2，求DE的长；（2）当点P在射线AB上运动时，试探求线段AB，PB，PF之间的数量关系，并给出证明．5、在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A(2-，0)，B(0，．（1）如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝，d(B，⊙O)＝．（2）如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；（3）如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．故选：B．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．2、B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【详解】A ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3、A【分析】中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．【详解】解：根据中心对称图形的定义，可知A 选项的图形为中心对称图形，故选：A ．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．4、C【分析】180A C ∠+∠=︒，::2:4:7A B C ∠∠∠=，40A ∠=︒，进而求解B 的值．【详解】解：由题意知180A C ∠+∠=︒∵::2:4:7A B C ∠∠∠=∴():1802:7A A ∠-∠=∴40A ∠=︒∵:2:4A B ∠∠=∴80B ∠=︒故选C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．5、B【分析】由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得40ADC ∠=︒，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可得．【详解】解：∵80AOC ∠=︒， ∴1402ADC AOC ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴40BAD ADC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，平行线的性质等，理解题意，找出相关的角度是解题关键．6、C【分析】如图，过点C 作CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，解直角三角形求出AB ，求出CT 的最大值，可得结论．【详解】解：如图，过点C 作 CT ⊥AB 于点T ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点K ，连接AO 、AK ，由题意可得AB 垂直平分线段OK ，∴AO =AK ，OH =HK =3，∵OA =OK ，∴OA =OK =AK ，∴∠OAK =∠AOK =60°，∴AH =OA ×sin ∵OH ⊥AB ，∴AH =BH ，∴AB =2AH∵OC +OH ⩾CT ，∴CT ⩽6+3=9，∴CT 的最大值为9，∴△ABC 的面积的最大值为192⨯故选：C.【点睛】本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT 的最大值，属于中考常考题型．7、A【分析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，当P 在DE 上时，过P 作PH CD ⊥于,H 而120,,CDP PD x 求解此时的函数解析式，当P 在EF 上时，延长,CD FE 交于点,M 过P 作PQ CD ⊥于,Q 并求解此时的函数解析式，当P 在AF 上时，连接,,AC CF 并求解此时的函数解析式，由正六边形的对称性可得：P 在AB 上的图象与P 在EF 上的图象是对称的，P 在BC 上的图象与P 在DE 上的图象是对称的，从而可得答案.【详解】解：设正六边形ABCDEF 的边长为1，当P 在DE 上时，过P 作PH CD ⊥于,H 而120,,CDP PD x60,PDH 3sin 60,2PH PD x11331,2224y CD PH x x 当P 在EF 上时，延长,CD FE 交于点,M 过P 作PQ CD ⊥于,Q同理：120,CDE FED60,EDM DEM则DEM△为等边三角形，60,1,, EMD EM ED PM PE EM PE ED x3sin60,2PQ PM x11331,2224y CD PQ x x当P在AF上时，连接,,AC CF由正六边形的性质可得：120,,ABC BAF AFE BA BC118012030,1203090,2BAC CAF由正六边形的对称性可得：160,2AFC AFE而1,AFtan603,AC AF11313,222y CD AC由正六边形的对称性可得：P在AB上的图象与P在EF上的图象是对称的，P 在BC 上的图象与P 在DE 上的图象是对称的，所以符合题意的是A ，故选A【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，锐角三角函数的应用，正多边形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.8、A【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得5BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：5AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，5BD AB ∴==，8BC =，853CD BC BD ∴=-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．9、B【分析】连接OC ．根据OA BC ⊥确定AC AB =，90OEB ∠=︒，进而计算出AOB ∠，根据圆心角的性质求出AOC ∠，最后根据圆周角的性质即可求出ADC ∠．【详解】解：如下图所示，连接OC ．∵OA BC ⊥，∴AC AB =，90OEB ∠=︒．∴AOC AOB ∠=∠．∵26OBC ∠=︒．∴64AOB ∠=︒．∴64AOC ∠=︒∵ADC ∠和AOC ∠分别是AC 所对的圆周角和圆心角， ∴3122A ADC OC ∠=︒∠=．故选：B ．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角的性质，综合应用这些知识点是解题关键．10、A【分析】根据等边三角形的对称性判断即可．【详解】∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴B ，C ，D 都不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．二、填空题1、()3,1B -【分析】如图，作BH ⊥x 轴于H ．由△ACO ≌△BAH （AAS ），推出BH ＝OA ＝m ，AH ＝OC ＝4，可得B （m +4，m ），令x ＝m +4，y ＝m ，推出y ＝x ﹣4，推出点B 在直线y ＝x ﹣4上运动，设直线y ＝x ﹣4交x 轴于E ，交y 轴于F ，作KM ⊥EF 于M ，根据垂线段最短可知，当点B 与点M 重合时，BK 的值最小，利用等腰直角三角形的性质可得M 的坐标，从而可得答案．【详解】解：如图，作BH ⊥x 轴于H ．∵C（0，4），K（2，0），∴OC＝4，OK＝2，∵AC＝AB，∵∠AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°，∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ACO＝∠BAH，∴△ACO≌△BAH（AAS），∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，∴B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，∴y＝x﹣4，∴点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，E F则4,0,0,4OEF KE45,2,EKM KMJ EMJ作KM⊥EF于M，过M作MJ KE于,J则45,()∴====-KJ EJ MJ OJ M1,3,3,1,根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，此时B（3，﹣1），故答案为：（3，﹣1）【点睛】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点B的运动轨迹，学会利用垂线段最短解决最短问题．2、35°【分析】根据旋转的性质可得∠AOD ＝∠BOC ＝30°，AO ＝DO ，再求出∠BOD ，∠ADO ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：∵△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转30°后得到的图形，∴∠AOD ＝∠BOC ＝30°，AO ＝DO ，∵∠AOC ＝100°，∴∠BOD ＝100°−30°×2＝40°，∠ADO ＝∠A ＝12（180°−∠AOD ）＝12（180°−30°）＝75°，由三角形的外角性质得，∠B ＝∠ADO −∠BOD ＝75°−40°＝35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．3【分析】设一直角边长为x ，另一直角边长为（6-x ）根据勾股定理()(222+6x x -=，解一元二次方程求出1224x x ==，，利用三角形面积公式求124=42⨯⨯2cm 即可．【详解】解：设一直角边长为x ，另一直角边长为（6-x ），∵三角形是直角三角形，∴根据勾股定理()(222+6x x -=，整理得：2680x x -+=，解得1224x x ==，，这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，， 三角形面积为124=42⨯⨯2cm ．4．【点睛】本题考查直角三角形的外接圆，直角所对弦性质，勾股定理，一元二次方程，三角形面积，掌握以上知识是解题关键．4、六【分析】由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．【详解】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：∵半径与边长相等，∴这个三角形是等边三角形，∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，∴这个正多边形是正六边形故答案为：六．【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键． 5、()2,7-【分析】绕坐标原点顺时针旋转180︒即关于原点O 中心对称，找到P 关于原点中心对称的点的坐标即可，根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：将点(2,7)P -绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q ，则点Q 的坐标是()2,7-故答案为：()2,7-【点睛】本题考查了求一个点关于原点中心对称的点的坐标，掌握关于原点中心对称的点的坐标特征是解题的关键．关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数．三、解答题1、边长为【分析】过点O作OE⊥BC，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出∠BOC=90°，∠OBC=45°，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理求出OE、BE即可．【详解】解：过点O作OE⊥BC，垂足为E，∵正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，∴∠BOC=3604=90°，∠OBC=45°，OB=OC=6，∴BE=OE．在Rt△OBE中，∠BEO=90°，由勾股定理可得∵OE2+BE2=OB2,∴OE2+BE2=36,∴OE= BE=∴BC=2BE=即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于360n．2、（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或207或54；（4）18011．【分析】（1）根据幸运线定义即可求解；（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；（4）利用时针1分钟走0.5︒，分针1分钟走6︒，可解答问题．【详解】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）①设∠AOC=x，则∠BOC=2x，由题意得，x+2x=48°，解得x=16°，②设∠AOC=x，则∠BOC=x，由题意得，x+x=48°，解得x=24°，③设∠AOC=x，则∠BOC=12x，由题意得，x+12x=48°，解得x=32°，故答案为：16°或24°或32°；（3）OB是射线OM与ON的幸运线，则∠BOM=12∠MON，即50-10t=12（50-10t+15t），解得t=2；∠BOM=13∠MON，即50-10t=13（50-10t+15t），解得t=207；∠BOM=23∠MON，即50-10t=23（50-10t+15t），解得t=54；故t的值是2或207或54；（4）时针1分钟走300.560︒=︒，分针1分钟走360660︒=︒，设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，则有0.5x+3×30=6x，解得：x=180 11．【点睛】本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．3、（1）见解析；（2）15 2【分析】（1）由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论. 【详解】（1）如图，∵DC⊥OA，∵BD为切线，∴OB⊥BD，∴∠2+∠5=90°，∵OA=OB，∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB中，∠4=∠5，∴DE=DB.(2)如图，作DF⊥AB于F，连接OE，∵DB=DE，∴EF=12BE=3，在Rt△DEF中，EF=3，DE=BD=5，∴DF4=∴sin∠DEF=DFDE=45，∵∠AOE90A A AEC+∠=︒=∠+∠,AEC DEF∠=∠，∴在Rt△AOE中，sin∠AOE=45AEAO，∵AE=6，∴AO=152.【点睛】本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.4、（1（2）PF=AB-PB或PF=AB+PB，理由见解析【分析】（1）根据△PBD等腰直角三角形，PB＝2，求出DB的长，由⊙O是△PBD的外接圆，∠DBE＝30°，可得答案；（2）根据同弧所对的圆周角，可得∠ADP=∠FBP，由△PBD等腰直角三角形，得∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，可证△APD≌△FPB，可得答案．【详解】解：（1）由题意画以下图，连接EP，∵△PBD等腰直角三角形，⊙O是△PBD的外接圆，∴∠DPB =∠DEB =90°，∵PB ＝2，∴DB ，∵∠DBE ＝30°，∴1122DE DB ==⨯=（2）①点P 在点A 、B 之间，由（1）的图根据同弧所对的圆周角相等，可得：∠ADP =∠FBP ，又∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APD =90°，DP =BP ，在△APD 和△FPB 中ADP FBP DP BPDPB APD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∵AP +PB =AB∴FP +PB =AB ，∴FP =AB -PB ，②点P 在点B 的右侧，如下图：∵△PBD 等腰直角三角形，∴∠DPB =∠APF =90°，DP =BP ，∵∠PBF+∠EBP =180°，∠PDA +∠EBP =180°，∴∠PBF =∠PDA ，在△APD 和△FPB 中DPB APF DP BPPBF PDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△APD ≌△FPB∴AP =FP ，∴AB+PB=AP，∴AB+PB=PF，∴PF= AB+PB．综上所述，FP=AB-PB或PF= AB+PB．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意（2）的两种情况．5、（1）0，2；（2r≤（3）42-<<m【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得DO=d（⊙O，线段AB）=0，可得当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解；（3）过点C作CN⊥AB于点N，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解．【详解】解：（1）∵⊙O的半径为2，A(2-，0)，B(0，．∴2,==OA OB∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，∴d（A，⊙O）＝0，∴d（B，⊙O）＝2；（2）过点O作OD⊥AB于点D，∵点A(2-，0)，B(0，．∴2,OA OB==，∴4AB=，∵1122OA OB AB OD⋅=⋅，∴112422OD ⨯⨯=⨯⨯∴DO∵d（⊙O，线段AB）=0，∴当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，∴r r≤（3）如图，过点C作CN⊥AB于点N，∵点A (2-，0)，B (0，．∴2,OA OB ==，∴tan OB OAB OA ∠=， ∴∠OAB =60°，∵C (m ，0)，当点C 在点A 的右侧时，2m >- ，∴()22AC m m =--=+ ，∴)sin 2CN AC OAB m =⋅∠=+ ， ∵d （⊙C ，线段AB ）<1，⊙C 的半径为1，∴)0211m <+<+ ，解得：22m -< ， 当点C 与点A 重合时，2m =- ，此时d （⊙C ，线段AB ）=0，当点C 在点A 的左侧时，2m <- ，∴2AC m =--11AC -< ，∴211m ---< ，解得：4m >- ，∴42m -<<-． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键．。
沪科版九年级下册数学第24章 圆 圆的确定
14．“不在同一直线上的三个点确定一个圆”．请你判断 平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)， C(5，11)是否可以确定一个圆．
【点拨】若想判断三个点是否能确定一个圆，只要我们确定三 点是否在同一条直线上，若三点在同一条直线上，则三点不能 确定一个圆，若三点不在同一条直线上，则三点可以确定一个 圆．
3．【黄山期末】根据下列条件，A，B，C三点能确定一 个圆的是( )
A．AB＝2，BC＝2，AC＝4 B．AB＝4.5，BC＝5.5，AC＝10 C．AB＝4，BC＝3，AC＝5
D．AB＝ 2－1，BC＝ 2＋1，AC＝2 2
【点拨】A.∵AB＋BC＝2＋2＝4＝AC，∴A，B，C 三点共线， ∴不能确定一个圆；B.∵AB＋BC＝4.5＋5.5＝10＝AC，∴A， B，C 三点共线，∴不能确定一个圆；C.∵AB＋BC＝4＋3＝7 ＞AC，∴A，B，C 三点不共线，∴能确定一个圆；D.∵AB ＋BC＝ 2－1＋ 2＋1＝2 2＝AC，∴A，B，C 三点共线， ∴不能确定一个圆．故选 C.
第24章 圆
24.2 圆的基本性质
第4课时 圆的确定
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核心必知
1C
1 不在同一直线上
2C
2 外接圆；垂直平分线； 外心
3 命题结论
3C 4D 5D
答案显示
6B 7C 85 9 见习题 10 C
11 B
答案显示
12 5
13 216cm2或96cm2
14 见习题
15 见习题 16 见习题
10．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或 等于60°”时，首先应假设这个三角形中( ) C
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60° C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
沪科版数学九年级下册24.3《圆周角》教学设计
沪科版数学九年级下册24.3《圆周角》教学设计一. 教材分析《圆周角》是沪科版数学九年级下册第24章的教学内容，主要包括圆周角的定义、圆周角定理及其推论。
通过本节课的学习，学生能理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用其解决一些几何问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了圆的基础知识，具备一定的几何思维能力。
但是，对于圆周角的定义和定理的理解，以及如何运用定理解决实际问题，还需要进一步引导和培养。
三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，能运用定理解决一些几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：圆周角的定义，圆周角定理及其推论。
2.难点：圆周角定理的证明和运用。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生主动探索和发现圆周角的性质。
2.互动法：鼓励学生之间进行讨论和交流，培养团队合作意识。
3.实践法：让学生通过实际操作，加深对圆周角定理的理解。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、圆规、直尺、多媒体设备。
2.学具：学生用书、练习册、圆规、直尺。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基础知识，如圆的定义、圆心角等。
然后提出问题：“什么是圆周角？”，激发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示圆周角的定义，并用动画演示圆周角的形成过程。
同时，引导学生观察和思考圆周角与圆心角的关系。
3.操练（10分钟）教师给出一些具体的圆周角例子，让学生用圆规和直尺进行测量和画图，加深对圆周角的理解。
4.巩固（10分钟）教师提出一些关于圆周角的问题，让学生进行小组讨论和交流，共同解决问题。
同时，教师进行巡视指导，帮助学生克服困难。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考圆周角定理的证明，并分组进行证明实验。
难点解析沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习练习题(含详解)
沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对2、下列说法正确．．的个数有（）①方程210-+=的两个实数根的和等于1；x x②半圆是弧；③正八边形是中心对称图形；④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；1,2，则这个函数图象位于第二、四象限．⑤如果反比例函数的图象经过点()A．2个B．3个C．4个D．5个3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（）A．10 B．C．D．4、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cmAB=，则水的最大深度为（）A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm5、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个6、如图，△ABC外接于⊙O，∠A＝30°，BC＝3，则⊙O的半径长为（）A ．3BCD ．7、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8、如图，AB 是O 的直径，O 的弦DC 的延长线与AB 的延长线相交于点P ，OD AC ⊥于点E ，15CAB ∠=︒，2OA =，则阴影部分的面积为（ ）A ．53πB ．56πC ．512πD ．524π 9、下列语句判断正确的是（ ）A ．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形D ．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形10、在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、到点A 的距离等于8厘米的点的轨迹是__．2、在平面直角坐标系中，点()2,2C ，圆C 与x 轴相切于点A ，过A 作一条直线与圆交于A ，B 两点，AB 中点为M ，则OM 的最大值为______．3、如图，⊙O 的半径为5cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积为 ___．4、如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，10AB =，6AD =，C 是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH AC ⊥于H ．连接BH ，则在点C 移动的过程中，线段BH 的最小值是______．5、如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为()090αα︒<<︒．若1110∠=︒，则α的大小为________（度）．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点M ，交⊙O 于点C ．若⊙O 的半径为10，OM ：MC ＝3：2，求AB 的长．2、在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记为d (M ，N )，特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d (M ，N )＝0．已知：如图，点A (2-，0)，B (0，．（1）如果⊙O 的半径为2，那么d (A ，⊙O )＝ ，d (B ，⊙O )＝ ．（2）如果⊙O 的半径为r ，且d （⊙O ，线段AB ）=0，求r 的取值范围；（3）如果C (m ，0)是x 轴上的动点，⊙C 的半径为1，使d （⊙C ，线段AB ）<1，直接写出m 的取值范围．3、如图，△ABC 内接于⊙O ，D 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，∠DCB ＝∠OAC ．过圆心O 作BC 的平行线交DC 的延长线于点E ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若CD ＝4，CE ＝6，求⊙O 的半径及tan∠OCB 的值．4、如图，抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ．（1）求a的值；（2）点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；（3）点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．5、如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．-参考答案-一、单选题1、C【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，故选：C．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．2、B【分析】根据所学知识对五个命题进行判断即可．【详解】1、Δ=12−4×1=−3<0，故方程无实数根，故本命题错误；2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；k ,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则0综上所述，正确个数为3故选B【点睛】本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．3、D【分析】首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴10AC=，由旋转性质可知，AB= AB'=6，BC= B'C'=8，∴B'C=10-6=4，在Rt△B'C'C中，CC'=故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．4、C【分析】连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，如图所示：则136()2BD AB cm==，O的直径为78cm，39()∴==，OB OC cm在Rt OBD△中，15()OD cm，∴=-=-=，CD OC OD cm391524()即水的最大深度为24cm，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6、A【分析】分析：连接OA、OB，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO是等边三角形，即可求出⊙O的【详解】解：连接BO，并延长交⊙O于D，连结DC，∵∠A=30°，∴∠D=∠A=30°，∵BD为直径，∴∠BCD=90°，在Rt△BCD中，BC=3，∠D=30°，∴BD=2BC=6，∴OB=3．故选A．【点睛】本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．7、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．8、B【分析】由垂径定理可知，AE =CE ，则阴影部分的面积等于扇形AOD 的面积，求出75AOD ∠=︒，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，如图：∵AB 是O 的直径，OD 是半径，OD AC ⊥，∴AE =CE ，∴阴影CED 的面积等于AED 的面积，∴ΔCED AOE AOD S S S +=扇，∵90AEO ∠=︒，15CAB ∠=︒，∴901575AOE ∠=︒-︒=︒， ∴275253606AOD S ππ︒⨯⨯==︒扇； 故选：B【点睛】本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．9、A【分析】根据等边三角形的对称性判断即可．【详解】∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴B ，C ，D 都不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．10、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB ⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB 是C 的切线，进而可得⊙C 与AB 的位置关系【详解】解：连接CO ,=，点O为AB中点．CA CB∴⊥CO ABCO为⊙C的半径，∴是C的切线，AB∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．二、填空题1、以点A为圆心，8厘米长为半径的圆【分析】由题意直接根据圆的定义进行分析即可解答．【详解】到点A的距离等于8厘米的点的轨迹是：以点A为圆心，2厘米长为半径的圆．故答案为：以点A为圆心，8厘米长为半径的圆．【点睛】本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键，注意掌握圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合．21##【分析】如图所示，取D （-2，0），连接BD ，连接CD 与圆C 交于点B '，先求出A 点坐标，从而可证OM 是△ABD 的中位线，得到12OM BD =，则当BD 最小时，OM 也最小，即当B 运动到B '时，BD 有最小值B D '，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，取D （-2，0），连接BD ，连接CD 与圆C 交于点B '∵点C 的坐标为（2，2），圆C 与x 轴相切于点A ，∴点A 的坐标为（2，0），∴OA =OD =2，即O 是AD 的中点，又∵M 是AB 的中点，∴OM 是△ABD 的中位线， ∴12OM BD =，∴当BD 最小时，OM 也最小，∴当B 运动到B '时，BD 有最小值B D '，∵C （2，2），D （-2，0），∴CD ==∴=2B D CD CB ''-=，∴1OM =，1．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一点到圆上一点的距离得到最小值，两点距离公式，三角形中位线定理，把求出OM的最小值转换成求BD的最小值是解题的关键．3、25 6【分析】根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．【详解】如图，连接BO，OC，OA，由题意得：△BOC，△AOB都是等边三角形，∴∠AOB＝∠OBC＝60°，∴OA∥BC，∴OBC ABC S S =，2605253606BOC S S ππ⨯⨯∴===阴扇． 故答案为：256π． 【点睛】 本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出BOC S S =阴扇．43-##【分析】连接BD ，取AD 的中点E ，连接BE ，由题可知H 点在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，当B 、H 、E 三点共线时，BH 最小；求出8BD =，在Rt BED 中，BE =3BH ，即为所求．【详解】解：连接BD ，取AD 的中点E ，连接BE ，DH AC ⊥，H ∴点在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，当B 、H 、E 三点共线时，BH 最小， AB 是直径，90BDA ∴∠=︒，10AB =，6AD =，8BD ∴=，3DE =，在Rt BED中，BE=∴=-，BH BE EH33．【点睛】本题考查点的运动轨迹，勾股定理，解题的关键是能够根据点的运动情况，确定H点的运动轨迹．5、20【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，再利用四边形内角和计算出∠BAD‘=70°，然后利用互余计算出∠DAD′，从而得到α的值．【详解】∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，∵∠ABC=90°，∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，∴∠DAD′=90°-70°=20°，即α=20°．故答案为20．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．三、解答题AB=1、16【分析】连接OA，根据⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2可求出OM的长，由勾股定理求出AM的长，再由垂径定理求出AB的长即可．【详解】解：如图，连接OA．∵OM：MC＝3：2，OC＝10，∴OM＝331055OC=⨯=6．∵OC⊥AB，∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，∴AM=8．∴AB＝2AM =16．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．2、（1）0，2；（2r≤（3）42m-<<【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得DO=d（⊙O，线段AB）=0，可得当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解；（3）过点C作CN⊥AB于点N，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解．【详解】解：（1）∵⊙O的半径为2，A(2-，0)，B(0，．∴2,OA OB==∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，∴d（A，⊙O）＝0，∴d（B，⊙O）＝2；（2）过点O作OD⊥AB于点D，∵点A(2-，0)，B(0，．∴2,==，OA OB∴4AB=，∵1122OA OB AB OD ⋅=⋅ ，∴112422OD ⨯⨯=⨯⨯∴DO∵d （⊙O ，线段AB ）=0，∴当⊙O 的半径等于OD 时最小，当⊙O 的半径等于OB 时最大，∴r r ≤（3）如图，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵点A (2-，0)，B (0，．∴2,OA OB ==，∴tan OB OAB OA ∠=， ∴∠OAB =60°，∵C (m ，0)，当点C 在点A 的右侧时，2m >- ，∴()22AC m m =--=+ ，∴)sin 2CN AC OAB m =⋅∠=+ ， ∵d （⊙C ，线段AB ）<1，⊙C 的半径为1，∴)0211m <+<+ ，解得：22m -< ， 当点C 与点A 重合时，2m =- ，此时d （⊙C ，线段AB ）=0，当点C 在点A 的左侧时，2m <- ，∴2AC m =--11AC -< ，∴211m ---< ，解得：4m >- ，∴42m -<<-． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键．3、（1）见解析（2）3，2【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA =∠DCB ，由圆周角定理可得∠ACB =90°，进而得到∠OCD =90°，即可得出结论；（2）根据平行线分线段成比例定理得到23BD CD OB CE ==，设BD =2x ，则OB =OC =3x ，OD =OB +BD =5x ，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x=1，即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．（1）证明：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠DCB+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）∵OE∥BC，∴BD CD OB CE=，∵CD=4，CE=6，∴4263 BDOB==，设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，∵OC⊥DC，∴△OCD 是直角三角形，在Rt △OCD 中，OC 2+CD 2=OD 2，∴（3x ）2+42=（5x ）2，解得，x =1，∴OC =3x =3，即⊙O 的半径为3，∵BC ∥OE ，∴∠OCB =∠EOC ，在Rt △OCE 中，tan ∠EOC =623EC OC ==， ∴tan∠OCB =tan∠EOC =2．【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键． 4、（1）1-（2）43-（3）K 【分析】（1）先求得,A B ,C 点的坐标，进而根据OB OC =即可求得a 的值；（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，证明BCD △是直角三角形，进而BCD BEP ∽，根据相似的性质列出比例式进而代入点P 的坐标解方程即可；（3）接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,根据题意，点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得AD 的解析式为2233y x =+，根据AM DK ∥,设直线DK 的解析式为23y x b =+，将点D 代入求得b ，进而设210(,)33K m m +，根据2DK =，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．（1）223y ax ax a =--()()2(23)31a x x a x x =--=-+令0y =，解得121,3x x =-=令0x =，3y a =-抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，∴抛物线与x 轴的交点为(1,0),(3,0)A B -(0,3)C a -3OB ∴=OB OC =3OC ∴=(0,3)C ∴33a ∴-=解得1a =-（2）如图，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，2223(1)4y x x x =-++=--+(1,4)D ∴()()3,0,3,0B CCD BC BD ∴====22220,20CD BC BD ∴+==222CD BC BD ∴+=BCD ∴△是直角三角形，且90BCD ∠=︒PE AB ⊥90PEB PCD ∴∠=∠=︒ 又PBA CBD ∠=∠BCD BEP ∴∽CD BC PE BE∴=()P m n ,在抛物线2y x 2x 3=-++上，223n m m =-++∴223,3PE n m m BE m ∴=-=--=-=整理得()()3430m m +-= 解得124,33m m =-=（舍）()P m n ,在第三象限，0m ∴<43m ∴=- （3）如图，连接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,QM ∴是BDK 的中位线112QM DK ∴== 根据题意点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，当,,A Q M 三点共线，且M 在AQ 的延长线上时，AM 最大，如图，(3,0),(1,4)B D1340(,)22Q ++∴即()2,2Q (1,0),(2,2)A Q -设直线AM 的解析式为y kx d =+，代入点(1,0),(2,2)A Q -，即022k d k d=-+⎧⎨=+⎩ 解得2323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AM 的解析式为2233y x =+ DK QM ∥设直线DK 的解析式为23y x b =+ (1,4)D243b ∴=+ 解得103b = 则DK 的解析式为21033y x =+ 设点210(,)33K m m +()0m >， (1,4)D ，2DK =()22221014233m m ⎛⎫∴-++-= ⎪⎝⎭解得12m m ==m ∴=21033m ∴+=21033+=K ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．5、（1）见解析（2）94【分析】（1）连接OB ，由圆周角定理得出90ABC ∠=︒，得出90C BAC ∠+∠=︒，再由OA OB =，得出BAC OBA ∠=∠，证出90PBA OBA ∠+∠=︒，即可得出结论；（2）证明ABC PBO ∆∆∽，得出对应边成比例，即可求出BC 的长．（1）证明：连接OB ，如图所示：AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒，90C BAC ∴∠+∠=︒，OA OB =，BAC OBA ∴∠=∠，PBA C ∠=∠，90PBA OBA ∴∠+∠=︒，即PB OB ⊥，PB ∴是O 的切线；（2）解：O 的半径为3，3OB ∴=，6AC =，//OP BC ，CBO BOP ∴∠=∠，OC OB =，C CBO ∴∠=∠，C BOP ∴∠=∠，又90ABC PBO ∠=∠=︒，ABC PBO ∴∆∆∽， ∴BC AC OB OP=， 即863BC =， 94BC ∴=． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定．。
2022年最新沪科版九年级数学下册第24章圆达标测试试题(含答案及详细解析)
沪科版九年级数学下册第24章圆达标测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（ ）A ．5厘米B ．4厘米C ．132厘米D ．134厘米 2、在圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为2：4：7，则∠B 的度数为（ ）A ．140°B ．100°C ．80°D ．40°3、如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．将△ADE 绕点A 顺时针旋转60°，射线BD 与射线CE 交于点P ，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC ≌△ADB ；②CP 存在最大值为3+BP 存在最小值为3；④点P 运动的路径长为2π．其中，正确的（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到DEC ，则AED ∠的度数为（ ）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°5、已知⊙O 的半径为4，点P 在⊙O 外部，则OP 需要满足的条件是（ ）A ．OP >4B ．0≤OP <4C ．OP >2D ．0≤OP <26、如图，ABCD 是正方形，△CDE 绕点C 逆时针方向旋转90°后能与△CBF 重合，那么△CEF 是（ ）A ．.等腰三角形B ．等边三角形C ．.直角三角形D ．.等腰直角三角形7、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．8、如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则ABC是（）A．优弧B．劣弧C．半圆D．无法判断9、已知⊙O的半径为4，5OA=，则点A在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定10、如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM 绕点B逆时针旋转60︒得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．54B．1 C．2 D．52第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若弦BC的长度为∠BAC ＝________度．2、如图，AB 是半圆O 的弦，DE 是直径，过点B 的切线BC 与⊙O 相切于点B ，与DE 的延长线交于点C ，连接BD ，若四边形OABC 为平行四边形，则∠BDC 的度数为______．3、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是ABC 内的一个动点，满足222AC AD CD -=．若AB =4BC =，则BD 长的最小值为_______．4、边长相等、各内角均为120°的六边形ABCDEF 在直角坐标系内的位置如图所示，()2,0A -，点B 在原点，把六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴绕顶点按顺时针方向，从点B 开始逐次连续旋转，每次旋转60°，经过2021次旋转之后，点B 的坐标是_____________．5、在平面直角坐标系中，已知点(2,8)A a b --与点(2,3)B a b -+关于原点对称，则=a ________，b =________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知弓形的长12AB =，弓高2CD =，（CD AB ⊥，并经过圆心O ）．（1）请利用尺规作图的方法找到圆心O ；（2）求弓形所在O 的半径的长．2、定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A ＝12∠O ．已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DE 交射线AO 于点E ，联结OD ，⊙O 的半径为5，tan∠OAC ＝34．（1）求弦AC 的长．（2）当点E 在线段OA 上时，若△DOE 与△AEC 相似，求∠DCA 的正切值．（3）当OE ＝1时，求点A 与点D 之间的距离（直接写出答案）．3、如图，已知等边ABC ∆内接于⊙O ，D 为BC 的中点，连接DB ，DC ，过点C 作AB 的平行线，交BD 的延长线于点E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若AB 的长为6，求CE 的长．4、如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点，且与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点(0,2)B ，点C 在第二象限M 上，且60AOC ∠=︒，则OC =__．5、如图，已知线段4MN =，点A 在线段MN 上，且1AM =，点B 为线段AN 上的一个动点．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，旋转角分别为α和β．若旋转后M 、N 两点重合成一点C （即构成ABC ），设AB x =．（1）ABC 的周长为_______；（2）若270αβ+=︒，求x 的值．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据题意先求出弦AC 的长，再过点O 作OB ⊥AC 于点B ，由垂径定理可得出AB 的长，设杯口的半径为r ，则OB =r -2，OA =r ，在Rt △AOB 中根据勾股定理求出r 的值即可．【详解】解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，∴AC =8-2=6厘米，过点O 作OB ⊥AC 于点B ，则AB =12AC =12×6=3厘米，设杯口的半径为r ，则OB =r -2，OA =r ，在Rt △AOB 中，OA 2=OB 2+AB 2，即r 2=（r -2）2+32，解得r =134厘米． 故选：D ．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2、C【分析】180A C ∠+∠=︒，::2:4:7A B C ∠∠∠=，40A ∠=︒，进而求解B 的值．【详解】解：由题意知180A C ∠+∠=︒∵::2:4:7A B C ∠∠∠=∴():1802:7A A ∠-∠=∴40A ∠=︒∵:2:4A B ∠∠=∴80B ∠=︒故选C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．3、B【分析】根据90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．得出∠DAE =90°，AD =AE =16=32⨯，可证∠DAB =∠EAC ，再证△DAB ≌△EAC （SAS ），可判断①△AEC ≌△ADB 正确；作以点A 为圆心，AE 为半径的圆，当CP 为⊙A 的切线时，CP 最大，根据△AEC ≌△ADB ，得出∠DBA=∠ECA ，可证∠P =∠BAC =90°，CP 为⊙A 的切线，证明四边形DAEP 为正方形，得出PE =AE =3，在Rt△AEC 中，CE=CP存在最大值为3+AEC ≌△ADB ，得出BD =CE=Rt△BPC 中，BP 最小3==可判断③BP 存在最小值为3不正确；取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，AB =AC =6，∠BAC=90°，BP =CO =AO=1122BC ==⨯，当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =3162AE AC ==，可求∠ACE =30°，根据圆周角定理得出∠AOP =2∠ACE =60°，当AD ⊥BP′时，BP′与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ABD =3162AD AB ==，可得∠ABD =30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD =60°，点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径，的圆上运动轨迹为PAP '，L PAP '12032180ππ⨯==可判断④点P 运动的路径长为2π正确即可． 【详解】解：∵90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．∴∠DAE =90°，AD =AE =16=32⨯， ∴∠DAB +∠BAE =90°，∠BAE +∠EAC =90°，∴∠DAB =∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ），故①△AEC ≌△ADB 正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，∵△AEC≌△ADB，∴∠DBA=∠EC A，∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，∴∠P=∠BAC=90°，∵CP为⊙A的切线，∴AE⊥CP，∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，∴四边形DAEP为矩形，∵AD=AE，∴四边形DAEP为正方形，∴PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE===，∴CP最大=PE+EC=3+故②CP存在最大值为3+∵△AEC ≌△ADB ，∴BD =CE =在Rt△BPC 中，BP 最小3=，BP 最短=BD -PD =，故③BP 存在最小值为3不正确；取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，∵AB =AC =6，∠BAC=90°，∴BP =CO =AO =1122BC =⨯=， 当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =3162AE AC ==， ∴∠ACE =30°，∴∠AOP =2∠ACE =60°， 当AD ⊥BP′时，BP′与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ABD =3162AD AB ==， ∴∠ABD =30°，∴∠AOP′=2∠ABD =60°，∴点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径，的圆上运动轨迹为PAP '，∵∠POP =∠POA +∠AOP ′=60°+60°=120°，∴L PAP '12032180ππ⨯==． 故④点P 运动的路径长为2π正确；正确的是①②④．故选B ．【点睛】本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．4、B【分析】由题意易得30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，然后根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：由旋转的性质可得：30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴120AED D DCE ∠=∠+∠=︒；故选B．【点睛】本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．5、A【分析】点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，∴OP需要满足的条件是OP>4，故选：A．【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．6、D【分析】根据旋转的性质推出相等的边CE＝CF，旋转角推出∠ECF＝90°，即可得到△CEF为等腰直角三角形．【详解】解：∵△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，∴∠ECF＝90°，CE＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，故选：D．【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握图形旋转前后的大小和形状不变是解决问题的关键．7、C【详解】解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；选项B不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；选项C既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180 后能与自身重合.8、B【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．故选：B．【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．9、C【分析】根据⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5知d>r，据此可得答案．【详解】解：∵⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5，∴d>r，∴点A在⊙O外，故选：C．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．10、A【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH +∠HBN =60°，又∵∠MBH +∠MBC =∠ABC =60°，∴∠HBN =∠GBM ，∵CH 是等边△ABC 的对称轴，∴HB =12AB ，∴HB =BG ，又∵MB 旋转到BN ，∴BM =BN ，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ），∴MG =NH ，根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∵∠BCH =12×60°=30°，CG =12AB =12×5=2.5，∴MG =12CG =54，∴HN =54，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题1、60【分析】在Rt△BOE中，利用勾股定理求得OE=1，知OB=2OE，得到∠BOE=60°，∠BOC=120°，再利用圆周角定理即可解决问题．【详解】解：如图作OE⊥BC于E．∵OE⊥BC，∴BE=EC BOE=∠COE，∴OE=1，∴OB=2OE，∴∠OBE=30°，∴∠BOE=∠COE=60°，∴∠BOC=120°，∴∠BAC=60°，故答案为：60．【点睛】本题考查三角形的外心与外接圆、圆周角定理．垂径定理、勾股定理、直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．2、22.5【分析】先由切线的性质得到∠OBC=90°，再由平行四边形的性质得到BO=BC，则∠BOC=∠BCO=45°，由OD=OB，得到∠ODB=∠OBD，由∠ODB+∠OBD=∠BOC，即可得到∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°．【详解】解：∵BC是圆O的切线，∴∠OBC=90°，∵四边形ABCO是平行四边形，∴AO=BC，又∵AO=BO，∴BO=BC，∴∠BOC=∠BCO=45°，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ODB+∠OBD=∠BOC，∴∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°，故答案为：22.5°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知切线的性质是解题的关键．3、2【分析】取AC 中点O ，由勾股定理的逆定理可知∠ADC =90°，则点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于1D ，则BD 长的最小值即为1BD ，由此求解即可．【详解】解：如图所示，取AC 中点O ，∵222AC AD CD -=，即222=AC AD CD +，∴∠ADC =90°，∴点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于1D ，则BD 长的最小值即为1BD ，∵AB =4BC =，∠ACB =90°，∴AC =， ∴1132OC OD AC ===，∴5OB =，∴112BD OB OD =-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D的运动轨迹．4、【分析】根据旋转找出规律后再确定坐标．【详解】∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，÷=，∵202163365∴经过2021次翻转为第337循环组的第5次翻转，点B在开始时点C的位置，A-，∵(2,0)∴2AB=，⨯=，∴翻转前进的距离为：220214042如图，过点B 作BG ⊥x 于G ，则∠BAG =60°， ∴112122AG AB ==⨯=，BG ，∴404214043OG =+=，∴点B 的坐标为．故答案为：．【点睛】题考查旋转的性质与正多边形，由题意找出规律是解题的关键．5、2 2【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a 、b 即可求得答案．【详解】解：∵点()2,8A a b --和点()2,3B a b -+关于原点对称，∴2238a b a b -=⎧⎨+=⎩，∴22ab=⎧⎨=⎩，故答案为：2；2．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特征并运用解题是关键．三、解答题1、（1）见解析（2）10【分析】（1）作BC的垂直平分线，与直线CD的交点即为圆心；（2）连接OA，根据勾股定理列出方程即可求解．（1）解：如图所示，点O即是圆心；（2）解：连接OA，∵CD AB ⊥，并经过圆心O ，12AB =， ∴162AD BD AB ===， ∵2CD =，∴2226(2)OA OA +-=解得，10OA =，答：半径为10．【点睛】本题考查了垂径定理和确定圆心，解题关键是熟练作图确定圆心，利用垂径定理和勾股定理求半径． 2、（1）8（2）13（3） 【分析】（1）过点O 作OH ⊥AC 于点H ，由垂径定理可得AH ＝CH ＝12AC ，由锐角三角函数和勾股定理可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG ，EG ，CG 的长，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．（1）如图2，过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理得：AH＝CH＝12AC，在Rt△OAH中，3 tan4OHOACAH∠==，∴设OH＝3x，AH＝4x，∵OH2+AH2＝OA2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），∴OH＝3，AH＝4，∴AC＝2AH＝8；（2）如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，∵∠DEO＝∠AEC，∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；AD AD=∴12ACD DOE ∠=∠，∴∠ACD≠∠DOE∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，∴OD∥AC，∴OD OE AC AE=，∵OD＝OA＝5，AC＝8，∴558AEAE-=，∴4013 AE=，∵∠AGE＝∠AHO＝90°，∴GE∥OH，∴△AEG ∽△AOH ， ∴AE EG AG AO OH AH==， ∴4013345EG AG ==， ∴2413EG =， ∴3213AG =，327281313CG =-=， 在Rt△CEG 中，1tan 3EG DCA CG ∠==； （3）当点E 在线段OA 上时，如图3，过点E 作EG ⊥AC 于G ，过点O 作OH ⊥AC 于H ，延长AO 交⊙O 于M ，连接AD ，DM ，由（1）可得 OH ＝3，AH ＝4，AC ＝8，∵OE ＝1，∴AE＝4，ME＝6，∵EG∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴45 AE AG EGAO AH OH===，∴AG＝165，EG＝125，∴GC＝245，∴EC∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴EC EG AM AD=，∴125510AD=，∴AD＝当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E作EG⊥AC于G，同理可求EG＝185，AG＝245，AE＝6，GC＝165，∴EC∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴EC EG AM AD=，∴185510AD=，∴AD综上所述：AD的长是【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，正切的作出辅助线是解题的关键．3、（1）见解析；（2）3【分析】（1）由题意连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB=30°，则∠OCE=90°，结论得证；（2）根据题意由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，进而即可求出CE=12BC＝3．【详解】解：（1）证明：如图连接OC、OB．∵ABC ∆是等边三角形∴ 60A ABC ∠=∠=∵//AB CE∴ 60BCE ABC ︒∠=∠=又 ∵OB OC =∴30OBC OCB ︒∠=∠=∴90OCE OCB BCE ︒∠=∠+∠=∴OC CE ⊥∴CE 与⊙O 相切；（2）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴180A BCD ︒∠+∠=∴120BDC ︒∠=∵D 为BC 的中点，∴30DBC BCD ∠=∠=︒∴90ABE ABC DBC ∠=∠+∠=︒∵//AB CE∴90E ∠=︒ ∴11322CE BC AB === 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．4、【分析】连接AC ，CM ，AB ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，设OC =a ．利用勾股定理构建方程解决问题即可．【详解】解：连接AC ，CM ，AB ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，设OC =a ．∵∠AOB =90°，∴AB 是直径，∵A （-4，0），B （0，2），∴AB ∴∵∠AMC =2∠AOC =120°，AC =∴=在Rt △COH 中，1cos 60,2OH OC a CH ︒=⋅===， 142AH a ∴=-， 在Rt △ACH 中，AC 2=AH 2+CH 2，∴22115(4))2a =-+，∴a 或OC ＞OB ，所以，∴OC故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．5、（1）4（2）5 3【分析】（1）由旋转知：AM=AC=1，BN=BC，将△ABC的周长转化为MN；（2）由α+β=270°，得∠ACB=90°，利用勾股定理列方程即可．（1）解：由旋转知：AM=AC=1，BN=BC=3-x，∴△ABC的周长为：AC+AB+BC=MN=4；故答案为：4；（2）解：∵α+β=270°，∴∠CAB+∠CBA=360°-270°=90°，∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=180°-90°=90°，∴AC2+BC2=AB2，即12+（3-x）2=x2，解得53x ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，证明∠ACB=90°是解题的关键．。
2022年最新精品解析沪科版九年级数学下册第24章圆同步测评试题(含详细解析)
沪科版九年级数学下册第24章圆同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，若61CD BE ==，，则AE =（ ）A ．5B ．8C ．9D ．102、如图，CD 是ABC 的高，按以下步骤作图：（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点． （2）作直线GH 交AB 于点E ．（3）在直线GH 上截取EF AE =．（4）以点F 为圆心，AF 长为半径画圆交CD 于点P ．则下列说法错误的是（ ）A ．AE BE =B ．GH CD ∥C ．AB =D ．45APB ∠=︒3、在圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为2：4：7，则∠B 的度数为（ ）A ．140°B ．100°C ．80°D ．40°4、如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，则∠APB 的度数是（ ）．A ．90°B ．100°C ．120°D ．150°5、在直径为10cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽8AB =cm ，则水的最大深度为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm6、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8、如图，在ABC 中，5AB =，8BC =，60B ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到DEC ，则AED ∠的度数为（ ）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知，在ABC 中，AB AC =，30BAC ∠=︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转一个α角()0180α︒<<︒至ADE 位置，连接BD ，CE 交于点F ．（I ）求证：ABD ACE △△≌；（2）若四边形ABFE 为菱形，求α的值；（3）在（2）的条件下，若2AB =，直接写出CF 的值．2、如图，四边形ABCD 内接于圆，E 为CD 延长线上一点， 图中与∠ADE 相等的角是 _________ ．3、若一次函数y＝kx+8（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，当k的取值变化时，点A 随之在x轴上运动，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 ___．4、已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是___________．5、龙湖实验中学的操场有4条等宽的跑道，每条跑道是由两条直跑道和两个半圆形弧道连接而成，请根据小泓与瞿老师的对话计算每条跑道的宽度是______米．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解题与遐想．如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了…数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？计算验证（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．拼图演绎（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．尺规作图（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB 相切于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）2、如图，在直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转90°．（1）画出旋转后的△AB1C1，并写出B1、C1的坐标；（2）求线段AB在旋转过程中扫过的面积．3、如图，已知AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于点D，且2∠=∠．D CAD（1）求D ∠的大小；（2）若2CD =，求AC 的长．4、如图，在等边ABC 中，D 为BC 边上一点，连接AD ，将ACD △沿AD 翻折得到AED ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点F ，连接CF ．（1）若20CAD ∠=︒，求CBF ∠的度数；（2）若a CAD ∠=，求CBF ∠的大小；（3）猜想CF ，BF ，AF 之间的数量关系，并证明．5、如图，在⊙O 中，点E 是弦CD 的中点，过点O ，E 作直径AB （AE ＞BE ），连接BD ，过点C 作CF ∥BD 交AB 于点G ，交⊙O 于点F ，连接AF ．求证：AG ＝AF ．-参考答案-一、单选题1、C【分析】连接CO ，根据垂径定理可得3CE ED ==，设O 的半径为r ，则OB OC r ==,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得AE【详解】解：如图，连接CO ，∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，6CD =∴3CE =设O 的半径为r ，则OB OC r ==在Rt COE △中，222OC OE CE =+，1OE OB OE r =-=-即()22213r r =-+解得=5r即10AB =9AE AB BE ∴=-=故选C【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2、C【分析】连接AF 、BF ，由作法可知，FE 垂直平分AB ，再根据EF AE =可得∠AFE =45°，进而得出∠AFB ＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．【详解】解：连接AF 、BF ，由作法可知，FE 垂直平分AB ，∴AE BE =，故A 正确；∵CD 是ABC 的高，∴GH CD ∥，故B 正确；∵EF AE =，AE BE =，∴2AB EF =，故C 错误；∵EF AE =，∴∠AFE =45°，同理可得∠BFE =45°，∴∠AFB ＝90°，1452APB AFB ∠=∠=︒，故D 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．3、C【分析】180A C ∠+∠=︒，::2:4:7A B C ∠∠∠=，40A ∠=︒，进而求解B 的值．【详解】解：由题意知180A C ∠+∠=︒∵::2:4:7A B C ∠∠∠=∴():1802:7A A ∠-∠=∴40A ∠=︒∵:2:4A B ∠∠=∴80B ∠=︒故选C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．4、D【分析】将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，根据旋转的性质得4BE BP ==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，则BPE ∆为等边三角形，得到4PE PB ==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，3AP =，4PE =，根据勾股定理的逆定理可得到APE ∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，即可得到APB ∠的度数．【详解】解：ABC ∆为等边三角形，BA BC ∴=，可将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，如图，连接EP ，4BE BP ∴==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，BPE ∴∆为等边三角形，4PE PB ∴==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，3AP =，4PE =，222AE PE PA ∴=+，APE ∴∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，9060150APB ∴∠=︒+︒=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形，解题的关键是掌握旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．5、B【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB=8cm，∴BD=12AB=4（cm），由题意得：OB=OC=1102⨯=5cm，在Rt△OBD中，OD3=（cm），∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），即水的最大深度为2cm，故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．7、D【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得5BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：5AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，5BD AB ∴==，8BC =，853CD BC BD ∴=-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．9、C【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．10、B【分析】由题意易得30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，然后根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：由旋转的性质可得：30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴120AED D DCE ∠=∠+∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．二、填空题1、（1）见解析；（2）120°；（3）2【分析】（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可；（2）根据等腰三角形的性质求得∠ABD =90°－12α，∠BAE =α+30°，根据菱形的邻角互补求解即可；（3）连接AF ，根据菱形的性质和全等三角形的性质可求得∠FAC =45°，∠FCA =30°，过F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）由旋转得：AB=AD ，AC=AE ，∠BAD =∠CAE =α，∵AB=AC ，∴AB=AC =AD=AE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；（2）∵AB=AD ，∠BAD =α，∠BAC =30°，∴∠ABD =（180°－∠BAD ）÷2=（180°－α）÷2=90°－12α，∠BAE =α+30°，∵四边形ABFE 是菱形，∴∠BAE +∠ABD=180°，即α+30°+90°－12α=180°，解得：α=120°；(3)连接AF ，∵四边形ABFE 是菱形，∠BAE =α+30°=150°，∴∠BAF =12∠BAE =75°，又∠BAC =30°，∴∠FAC =75°－30°=45°，∵△ABD ≌△ACE ，∴∠FCA =∠ABD =90°－12α=30°， 过F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，在Rt△AGF 中，∠FAG =45°，∠AGF=90°，∴∠AFG =∠FAG =45°，∴△AGF 是等腰直角三角形，∴AG=FG=x ，在在Rt△AGF 中，∠FCG =30°，∠FGC =90°，∴CF =2FG =2x ，CG ==，∵AC=AB=2，又AG+CG=AC ，∴2x =，解得：1x =，∴CF =2x = 2．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．2、∠ABC【分析】根据圆内接四边形的性质可得180ADC ABC ∠+∠=︒，再由题意可得180ADC ADE ∠+∠=︒，由等式的性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于圆，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，∵E 为CD 延长线上一点，∴180ADC ADE ∠+∠=︒，∴ABC ADE ∠=∠，故答案为：ABC ∠．【点睛】题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．3、8【分析】 根据一次函数解析式可得：80A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()08B ，，过点B 作MN x ∥轴，过点A 作AM MN ⊥，过点Q 作QN MN ⊥，由旋转的性质可得AB BQ =，90ABQ ∠=︒，依据全等三角形的判定定理及性质可得：ΔΔΔΔ≅ΔΔΔΔ，MA NB =，NQ MB =，即可确定点Q 的坐标，然后利用勾股定理得出OQ 的长度，最后考虑在什么情况下取得最小值即可．【详解】解：函数8y kx =+得：80A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()08B ，，过点B 作MN x ∥轴，过点A 作AM MN ⊥，过点Q 作QN MN ⊥，连接OQ ，如图所示：将线段BA 绕点B 逆时针旋转90︒得到线段BQ ，∴AB BQ =，90ABQ ∠=︒，∴9090ABM MAB MBA NBQ ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴MAB NBQ ∠=∠，在ΔΔΔΔ与ΔΔΔΔ中，BMA QNB MAB NBQ AB BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ΔΔΔΔ≅ΔΔΔΔ，∴8MA NB ==，8NQ MB k==， 点Q 的坐标为88,8k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴OQ =当1k =或1k =-时，OQ 取得最小值为8，故答案为：8．【点睛】题目主要考查一次函数与几何的综合问题，包括与坐标轴的交点，旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出相应图形是解题关键．4、3π 【分析】根据圆心角为n ︒的扇形面积是2360n R S π=进行解答即可得． 【详解】 解：这个扇形的面积212013603ππ⨯==． 故答案是：3π． 【点睛】 本题考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．5、3π【分析】设跑道的宽为x 米，根据直道长度一样，外圈与内圈的差是两个圆周长的差，列出式子求解即可．【详解】解：设跑道的宽为x 米，由对称性设内圈两个半圆形弧道拼成的圆的半径为r ，根据题意可得：1981802(3)2r x r ππ-=+-， 解得：3x π=， 故答案是：3π． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出等式求解．三、解答题1、（1）S△ABC＝20；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）设⊙O的半径为r，由切线长定理得，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，CE＝CF＝r，由勾股定理得，（r+4）2+（r+5）2＝92，进而求得结果；（2）根据切线长定理可证明甲和乙两个三角形全等，丙丁两个三角形全等，故将甲乙图形放在OE为边的上方，将丙丁以OP为边放在右侧，围成矩形的边长是4和5；（3）可先计算∠AFB＝135°，根据“定弦对定角”作F点的轨迹，根据切线性质，过点F作AB的垂线，再根据直径所对的圆周角是90°，确定点C．【详解】解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，连接OE，OF，∵⊙O内切于△ABC，∴OE⊥AC，OF⊥BC，AE＝AD＝4，BF＝BD＝5，∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFO是矩形，∴CF＝OE＝r，CE＝OF＝r，∴AC＝4+r，BC＝5+r，在Rt△ABC 中，由勾股定理得，（r +4）2+（r +5）2＝92，∴r 2+9r ＝20，∴S △ABC ＝12AC BC ⋅ ＝1(4)(5)2r r +⋅+ ＝21(920)2x r ++ ＝1(2020)2⨯+ ＝20；（2）如图2，（3）设△ABC 的内切圆记作⊙F ，∴AF 和BF 平分∠BAC 和∠ABC ，FD ⊥AB ，∴∠BAF ＝12∠CAB ，∠ABF ＝12ABC ∠， ∴∠BAF +∠ABF ＝12（∠BAC +∠ABC ）＝1902⨯︒＝45°，∴∠AFB ＝135°，可以按以下步骤作图（如图3）：①以BA 为直径作圆，作AB 的垂直平分线交圆于点E ，②以E 为圆心，AE 为半径作圆，③过点D 作AB 的垂线，交圆于F ，④连接EF 并延长交圆于C ，连接AC ，BC ，则△ABC 就是求作的三角形．【点睛】本题考查三角形的内切圆性质、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质、尺规作图-作垂线，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．2、（1）作图见解析，1(2,3)B -、1(1,1)C --；（2）254π 【分析】（1）将ABC 绕点A 顺时针旋转90°得11AB C △，根据点A 、B 、C 坐标，即可确定出点1B 、1C 的坐标；（2）根据勾股定理求出AB 的长，由扇形面积公式即可得出答案．【详解】（1）将ABC 绕点A 顺时针旋转90°得11AB C △如图所示：∴1(2,3)B -、1(1,1)C --；（2）由图可知：5AB =，∴线段AB 在旋转过程中扫过的面积为12905253604ABBS ππ⋅==扇形． 【点睛】 本题考查作旋转图形以及扇形的面积公式，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 3、（1）45°（2）3π2【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到OC ⊥CD ，根据圆周角定理得到∠DOC =2∠CAD ，进而证明∠D =∠DOC ，根据等腰直角三角形的性质求出∠D 的度数；（2）根据等腰三角形的性质求出OC ，根据弧长公式计算即可．（1）连接OC ．∵ BC BC =， ∴ 12CAD COB ∠=∠，即 2COB CAD ∠=∠．∵ 2D CAD ∠=∠，∴ COB D ∠=∠．∵ PD 是⊙O 的切线，∴ OC PD ⊥，即 90OCD ∠=︒．∴ 90COB D ∠+∠=︒．∴ 290D ∠=︒．∴ 45D COB ∠=∠=︒．（2）∵ COB D ∠=∠，2CD =，∴ 2CO CD ==．∵ 45COB ∠=︒，∴ 135AOC ∠=︒．∴ AC 的长π1352π3π1801802n R l ⨯⨯===． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．4、（1）20°；（2）CBF α∠=；（3）AF = CF +BF ，理由见解析【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得到AB =AC ，∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，∠EAD =∠CAD =20°，AC =AE ，则∠BAE =∠BAC -∠EAD -∠CAD =20°，AB =AE ，()1180=802ABE AEB BAE ==︒-︒∠∠∠，∠CBF =∠ABE -∠ABC =20°； （2）同（1）求解即可；（3）如图所示，将△ABF 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACG ，先证明△AEF ≌△ACF 得到∠AFE =∠AFC ，然后证明∠AFE =∠AFC =60°，得到∠BFC =120°，即可证明F 、C 、G 三点共线，得到△AFG 是等边三角形，则AF =GF =CF +CG =CF +BF ．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，∠EAD =∠CAD =20°，AC =AE ，∴∠BAE =∠BAC -∠EAD -∠CAD =20°，AB =AE ， ∴()1180=802ABE AEB BAE ==︒-︒∠∠∠， ∴∠CBF =∠ABE -∠ABC =20°；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ,∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，EAD CAD α∠=∠=，AC =AE ，∴602BAE BAC EAD CAD α∠=∠-∠-∠=︒- ，AB =AE ， ∴()1180=602ABE AEB BAE α==︒-︒+∠∠∠， ∴CBF ABE ABC α∠=∠-∠=；（3）AF = CF +BF ，理由如下：如图所示，将△ABF 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACG ，∴AF =AG ，∠FAG =60°，∠ACG =∠ABF ，BF =CG在△AEF 和△ACF 中，=AE AC EAF CAF AF AF =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△ACF （SAS ），∴∠AFE =∠AFC ，∵∠CBF +∠BCF +∠BFD +∠CFD =180°，∠CAF +∠CFA +∠ACD +∠CFD =180°，∴∠BFD =∠ACD =60°，∴∠AFE =∠AFC =60°，∴∠BFC =120°，∴∠BAC +∠BFC =180°，∴∠ABF +∠ACF =180°，∴∠ACG +∠ACF =180°，∴F 、C 、G 三点共线，∴△AFG 是等边三角形，∴AF =GF =CF +CG =CF +BF ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．5、见解析【分析】由题意易得AB ⊥CD ，AD AC =，则有B F ∠=∠，由平行线的性质可得AGF B ∠=∠，然后可得AGF F ∠=∠，进而问题可求证．【详解】证明：∵AB 为⊙O 的直径，点E 是弦CD 的中点，∴AB ⊥CD ，∴AD AC =，∴B F ∠=∠，∵CF ∥BD ，∴AGF B ∠=∠，∴AGF F ∠=∠，∴AG AF =．【点睛】本题主要考查垂径定理、平行线的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、平行线的性质及圆周角定理是解题的关键．。
第24章 圆数学九年级下册-单元测试卷-沪科版(含答案)
第24章圆数学九年级下册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（）A. B. C. D.2、下列命题中，正确的分别是（）A.相等的圆心角，所对的弧也相等B.两条弦相等，它们所对的弧也相等 C.在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等 D.顶点在圆周的角是圆周角3、下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、若将直尺的0cm刻度线与半径为5cm的量角器的0º线对齐，并让量角器沿直尺的边缘无滑动地滚动（如图），则直尺上的10cm刻度线对应量角器上的度数约为（）A.90ºB.115ºC.125ºD.180º5、《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响. 在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道. 原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，为的直径，弦于点. 寸，寸，则可得直径的长为（）A.13寸B.26寸C.18寸D.24寸6、若的半径为3，且点P到的圆O的距离是5，则点P在( )A. 内B. 上C. 外D.都有可能7、如图，点A、B、C是⊙0上的三点，若∠OBC=50°，则∠A的度数是（）A.40°B.50°C.80°D.100°8、已知点P的坐标为（1，1），若将点P绕着原点逆时针旋转45°，得到点P1，则P1点的坐标为（）A.（，0）B.（﹣，0）C.（0，）D.（，0）或（0，）9、在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图，在平面上取定一点O 称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径.点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（）A.Q（3，－120°）B.Q（3，240°）C.Q（3，－500°） D.Q（3，600°）10、如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，射线PD与⊙O相交于C，D两点，点E是CD 中点，若∠APB=40°，则∠AEP的度数是（）A.40°B.50°C.60°D.70°11、某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛（阴影部分）使花坛面积是园地面积的一半，以下图中设计不合要求的是（）A. B. C. D.12、如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，AB=8，则tan∠ACB的值等于（）A. B. C. D.13、如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B=22°，则∠A=( ).A.22°B.40°C.44°D.68°14、如图所示，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论正确的是①AB的长等于圆内接正六边形的边长②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长③弧AC=弧CB ④∠BAC=30°( )A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③15、在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积是A.4πB.3πC.D.2π二、填空题(共10题，共计30分)16、自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选.如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图.经测量，车轮的直径为，中轴轴心到地面的距离为，后轮中心与中轴轴心连线与车架中立管所成夹角，后轮切地面于点.为了使得车座到地面的距离为，应当将车架中立管的长设置为________ .（参考数据:17、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为________．18、如图，AB切⊙O于点B，BC∥OA，交⊙O于点C，若∠OAB=30°，BC=6，则劣弧BC的长为________．19、如图，在一边长为的正六边形中，分别以点A，D为圆心，长为半径，作扇形，扇形，则图中阴影部分的面积为________ ．（结果保留）20、如图，将绕点按逆时针方向旋转45°后得到，若，则________度．21、已知圆锥的侧面积为8π，侧面展开图的圆心角为45°，该圆锥的母线长为________cm.22、如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是________．23、在中，，点为平面内一点，且，若，则________．（请用含的代数式来表示）24、若圆锥的高是8cm，母线长是10cm，则这个圆锥的侧面积是________cm2（结果保留π）．25、如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C在弧AB上，使得弧BC＝2弧AC，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当CF＝2 时，阴影部分的面积为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，A、B、C、D均为⊙O上的点，其中A、B两点的连线经过圆心O，线段AB、CD 的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数．27、如图，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？请说明理由．28、如图所示，在Rt△ABC中,∠BAC=90°，AC=AB，∠DAE=45°,且BD=3，CE=4 ,求DE的长.29、如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．(1)求∠BOD的度数及点O到BD的距离；(2)若DE=2BE，求的值．30、一个圆锥的母线长为底面半径为，求这个圆锥的侧面积和全面积.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、B4、B5、B6、C7、A9、C10、D11、B12、C13、C14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、30、。
沪科版九年级数学下第24章圆24
24．2.3 圆的确定
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第1页
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1．经过两点能作_无_无数数__个圆；经过不在同一直线上的三点只可以作 _一_一__个圆． 2．经过三角形三个顶点的圆叫做_三_三角角形形的的外外接接圆圆__，外接圆的圆心叫 做三角形的_外_外心心__，三角形的_外_外心心__到三角形的三个顶点距离相等． 3．用反证法证明的三个主要步骤是_反_反设设__、_推_推理理__、_结_结论论__．
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2．如图，点 A，B，C 在同一直线上，点 M 在 AC 外，经过图中的三个点 作圆，可以作__3__个．
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知识点 2：三角形的外接圆
3．三角形的外心是三角形
A．三个内角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
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解：(1)如图，分别作出两边 BC，AC 的垂直平分线，交 点为 O.以 O 为圆心，OA 为半径作出⊙O，即为所求作的 花坛的位置． (2)∵∠BAC＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m， ∴BC＝10 m．∴△ABC 外接圆的半径为 5 m. ∴小明家圆形花坛的面积为 25π m2.
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5．如图，一只猫观察到一个老鼠洞的三个洞口 A，B，C，这三个洞口不 在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三 个洞口？作出这个位置．
沪科版九年级下册数学第24章 圆 切线长定理(1)
知1－讲
理知PA＝PB，DC＝DA，EC＝EB，因而△PDE的周
长可转化为PA＋PB，即2PA.又由切线长定理易得
1∠(∠DAOOCC＝＋1∠2∠ABOOCC，)＝∠∠E1AOOCB＝.由∠12∠BOACP，B＝∴6∠0°D得OE＝
2
2
∠APO＝30°，又∵AO＝，3 由切线的性质得
∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，∴PO＝2，3∠AOB
即AB+CD=DA+BC.
（来自教材）
知1－讲
例2如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C 是上AB一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于 点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为，则3 △PDE的周长为____6，∠DOE的度数为____6．0°
导引：如图，连接PO，CO，AO，BO，由切线长定
知1－讲
切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线 长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角． 要点精析： (1)由切线长定理既可以得到线段相等，又可以得到角 相等，运用时要根据题意选用． (2)图是切线长定理的一个基本图形，可以直接得到很 多结论． 如：①PO⊥AB；②AO⊥AP， BO⊥BP；③AP＝BP； ④∠1＝∠2＝∠3＝∠4；⑤AD＝BD；⑥等.AC BC
＝180°－∠APB＝120°.∴PA＝＝P3，O2 AO2 ∠DOE＝∠1 AOB＝60°.
2
总结
知1－讲
利用切线长定理进行几何计算时，要注意构造切线 长定理的基本图形，作过切点的半径、连接圆外一 点与圆心是常用的作辅助线的方法．由于切线长定 理涉及的线段、角较多，因此熟记基本图形的相关 结论是解题的关键，而三角形的有关性质在解决有 关切线问题时，O的两条切线PA，PB，切
精品试题沪科版九年级数学下册第24章圆必考点解析试题(名师精选)
沪科版九年级数学下册第24章圆必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）A 3πB 3π-C 23π-D ．23π 2、如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，则∠APB 的度数是（ ）．A ．90°B ．100°C ．120°D ．150°3、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m4、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G，H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（）A B C ．D 6、下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，PA 是O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交O 于点B ，若40P ∠=︒，则B 的度数为（ ）．A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°8、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10、如图图案中，不是中心对称图形的是（ ）A ．∽B ．C ．>D ．=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点D 为边长是ABC 边AB 左侧一动点，不与点A ，B 重合的动点D 在运动过程中始终保持∠ADB ＝120°不变，则四边形ADBC 的面积S 的最大值是 ____．2、已知如图，AB =8，AC =4，∠BAC =60°，BC 所在圆的圆心是点O ，∠BOC =60°，分别在BC 、线段AB 和AC 上选取点P 、E 、F ，则PE +EF +FP 的最小值为____________．3、如图，半圆O 中，直径AB ＝30，弦CD ∥AB ，CD 长为6π，则由CD 与AC ，AD 围成的阴影部分面积为_______．4、如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为()090αα︒<<︒．若1110∠=︒，则α的大小为________（度）．5、如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则图中弓形（阴影部分）的面积为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，半径OD∥弦BC．（1）求证：弧AD=弧CD；（2）连接AC、BD相交于点F，AC与OD相交于点E，连接CD，若⊙O的半径为5，BC=6，求CD和EF 的长．2、综合与实践“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把MEN ∠三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过MEN ∠的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则EB ，EO 就把MEN ∠三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．独立思考：（1）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整．已知：如图2，点A ，B ，O ，C 在同一直线上，EB AC ⊥，垂足为点B ，________，EN 切半圆O 于F ．求证：________________．探究解决：（2）请完成证明过程．应用实践：（3）若半圆O 的直径为12cm ，45MEN ︒∠=，求BE 的长度．3、如图，已知弓形的长12AB =，弓高2CD =，（CD AB ⊥，并经过圆心O ）．（1）请利用尺规作图的方法找到圆心O ；（2）求弓形所在O 的半径的长．4、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 是AB 边上一点（与A 、B 不重合），连接CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连接DE 、BE（1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）若BE =5，DE =13，求AB 的长5、如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，且CD AB ⊥于点E ．（1）求证：BCO D ∠=∠；（2）若CD =，1OE =，求O 的半径．-参考答案-一、单选题1、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可． 【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形． 故选择A ．【点睛】 本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．2、D【分析】将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，根据旋转的性质得4BE BP ==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，则BPE ∆为等边三角形，得到4PE PB ==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，3AP =，4PE =，根据勾股定理的逆定理可得到APE ∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，即可得到APB ∠的度数．【详解】解：ABC ∆为等边三角形，BA BC ∴=，可将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，如图，连接EP ，4BE BP ∴==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，BPE ∴∆为等边三角形，4PE PB ∴==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，3AP =，4PE =，222AE PE PA ∴=+，APE ∴∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，9060150∴∠=︒+︒=︒．APB故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形，解题的关键是掌握旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D ．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．4、B【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5、A【分析】如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM 再设,PQ x 利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.【详解】 解：如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM四边形HGFE 为正方形，则,HG EF ∥,,QM HG QM EF设,PQ x 而AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，结合正方形的性质可得：5,NQ x而222,HM MQ HQ 115,5,5510,222HM HG EF MN EF MQ x x 222510,4HQ x 又222,AQ PQ AP 而51523,22AP 22215,2AQ x222522510,44x x 解得：5,2x 25225250510.4442AQ 故选A【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A，G，H三点的圆的圆心是解本题的关键.6、A【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，此项符合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，此项不符题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180 ，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．7、B【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．【详解】解：连接OA，如图，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO=90°，∵∠P=40°，∴∠AOP=50°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∵∠AOP=∠B+∠OAB，∴∠B=12∠AOP=12×50°=25°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．8、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．9、B【分析】根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．10、C【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．【详解】解：A、是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是中心对称图形，故B选项不合题意；C、不是中心对称图形，故C选项符合题意；D、是中心对称图形，故D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．二、填空题1、【分析】根据题意作等边三角形ABC的外接圆，当点D运动到AB的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可．【详解】解：根据题意作等边三角形ABC的外接圆，D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，D∴在圆上运动，当点D运动到AB的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，过点D作AB的垂线交于点E，如图：4120AB ADB =∠=︒，30,DBE BE ∴∠=︒=12DE BD ∴=， 在Rt BDE 中，222BD DE BE =+，解得：2DE =，12ABDS AB DE ∴=⋅= 过点A 作BC 的垂线交于F ，12BF BC ∴==6AF ∴=， 162ABC S ∴=⨯⨯==4ABC ABD ADBC S S S ∴+=四边形故答案是：【点睛】本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质．2、1212-+【分析】如图，连接BC ，AO ，作点P 关于AB 的对称点M ，作点P 关于AC 的对称点N ，连接MN 交AB 于E ，交AC 于F ，此时△PEF 的周长=PE +PF +EF =EM +EF +FM =MN ，想办法求出MN 的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，连接BC ，AO ，作点P 关于AB 的对称点M ，作点P 关于AC 的对称点N ，连接MN 交AB 于E ，交AC 于F ，此时△PEF 的周长=PE +PF +EF =EM +EF +FM =MN ，∴当MN 的值最小时，△PEF 的值最小，∵AP =AM =AN ，∠BAM =∠BAP ，∠CAP =∠CAN ，∠BAC =60°，∴∠MAN =120°，∴MN ，∴当PA 的值最小时，MN 的值最小，取AB 的中点J ，连接CJ ．∵AB =8，AC =4，∴AJ =JB =AC =4，∵∠JAC =60°，∴△JAC 是等边三角形，∴JC =JA =JB ，∴∠ACB =90°，∴BC=∵∠BOC =60°，OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴OB =OC =BC BCO =60°，∴∠ACH =30°，∵AH ⊥OH ，AH =12AC =2，CH∴OH∴OA∵当点P 在直线OA 上时，PA 的值最小，最小值为∴MN =．故答案：．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．3、45π【分析】连接OC，OD，根据同底等高可知S△ACD=S△OCD，把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式S=12lr来求解．【详解】解：连接OC，OD，∵直径AB=30，∴OC=OD=130152⨯=，∴CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∵CD长为6π，∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=1615452ππ⨯⨯=，故答案为：45π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键．4、20【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC =∠D =90°，∠DAD ′=α，再利用四边形内角和计算出∠BAD‘=70°，然后利用互余计算出∠DAD ′，从而得到α的值．【详解】∵矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形A ′B ′C ′D ′的位置，∴∠ADC =∠D =90°，∠DAD ′=α，∵∠ABC =90°，∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，∴∠DAD ′=90°-70°=20°，即α=20°．故答案为20．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．5、2π3【分析】根据弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积求解即可．【详解】解：如图，AC ⊥OB ，∵圆心角为60°，OA =OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴OC =12OB =1，∴AC =，∴S △OAB =12OB ×AC =12∵S 扇形OAB =2602360π⨯=2π3，∴弓形（阴影部分）的面积= S 扇形OAB - S △OAB =2π3故答案为：2π3【点睛】本题考查扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）CD =EF =1．【分析】∠=∠；根据平行线的（1）连接OC，根据圆的性质，得到OB=OC；根据等腰三角形的性质，得到B C性质，得到1B∠=∠；在同圆和等圆中，根据相等的圆心解所对的弧等即得证．（2）根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB=90°，根据平行线的性质求得∠AEO=∠ACB=90°，利用勾股定理求出AC=8，根据垂径定理求得EC=AE=4，根据中位线定理求出OE，在Rt△CDE中，根据OD BC，所以△EDF∽△BCF，最后根据似的性质，列方程求解即可．勾股定理求出CD，因为∥【详解】（1）解：连结OC．OD BC∵∥∴∠1=∠B∠2=∠C∵OB =OC∴∠B=∠C∴∠1=∠2∴弧AD=弧CD（2）∵AB是O的直径∴∠ACB=90°OD BC∵∥∴∠AEO=∠ACB=90°Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∵BC =6，AB =10∴AC =8∵半径OD ⊥AC 于E∴EC =AE =4OE =132BC =∴ED =2由勾股定理得，CD =∵∥OD BC∴△EDF ∽△CBF ∴EF ED FC BC = 设EF =x ，则FC =4-x246x x =- ∴EF =1，经检验符合题意.【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的有关性质：圆的半径相等；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等；直径所对的圆周角是直角；垂径定理；平行线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质等知识，正确理解圆的相关性质是解题的关键．2、（1）AB BO =，EB ，EO 将MEN ∠三等分；（2）见解析；（3）(12+【分析】（1）根据题意即可得；（2）先证明ABE ∆与OBE ∆全等，然后根据全等的性质可得12∠=∠，再由圆的切线的性质可得23∠∠=，可得三个角相等，即可证明结论；（3）连OF ，延长BC 与EN 相交于点H ，由（2）结论可得12315︒∠=∠=∠=，再由切线的性质60︒∠=DHO ，30FOH ︒∠=，然后利用勾股定理及线段间的数量关系可得(6cm =+BH ，最后利用相似三角形的判定和性质求解即可得．【详解】解：（1）AB BO =，EB ，EO 将MEN ∠三等分，故答案为：AB BO =；EB ，EO 将MEN ∠三等分，（2）证明：在ABE ∆与OBE ∆中，90AB OB BE BE ABE OBE =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ABE OBE SAS ∴∆∆≌，12∠∠∴=．BE OB ⊥，BE ∴是O 的切线． BE 、EN 都是O 的切线，23∴∠=∠，123∴∠=∠=∠，EB ∴，EO 将MEN ∠三等分．（3）如图，连OF ，延长BC 与EN 相交于点H ，由（2），知12315︒∠=∠=∠=． EH 是O 的切线，90HFO ︒∴∠=，60DHO ︒=∴∠，30FOH ︒∠=．∵半径6cm OF =，∴由勾股定理得，在Rt FOH ∆中，FH =，OH =，(6cm BH BO OH ∴=+=+． ∵BHE FHO ∠=∠，90EBH HFO ∠=∠=︒，∴∆∆∽BEH FOH ，BE BH FO FH ∴=，即6BE =(12BE ∴=+．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质，勾股定理等，理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键．3、（1）见解析（2）10【分析】（1）作BC 的垂直平分线，与直线CD 的交点即为圆心；（2）连接OA ，根据勾股定理列出方程即可求解．（1）解：如图所示，点O 即是圆心；（2）解：连接OA ，∵CD AB ⊥，并经过圆心O ，12AB =， ∴162AD BD AB ===， ∵2CD =，∴2226(2)OA OA +-=解得，10OA =，答：半径为10．【点睛】本题考查了垂径定理和确定圆心，解题关键是熟练作图确定圆心，利用垂径定理和勾股定理求半径．4、（1）见解析；（2）17【分析】（1）由旋转的性质可得CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，由“SAS ”可证△ACD ≌△BCE ；（2）由∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，可得∠CAB ＝∠CBA ＝45°，再由△ACD ≌△BCE ，得到BE ＝AD =5，∠CBE ＝∠CAD ＝45°，则∠ABE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°，然后利用勾股定理求出BD 的长即可得到答案．【详解】解：（1）证明：∵将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°＝∠ACB ，∴∠ACD +∠BCD =∠BCE +∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵△ACD≌△BCE，∴BE＝AD=5，∠CBE＝∠CAD＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴12BD==，∴AB=AD+BD=17．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．5、（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据∠D=∠B，∠BCO=∠B，代换证明；（2）根据垂径定理，得CE=1OE=，利用勾股定理计算即可．【详解】（1）证明：∵OC＝OB，∴∠BCO ＝∠B ；∵AC AC =，∴∠B ＝∠D ；∴∠BCO ＝∠D ；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 于点E ，∴CE ＝12CD ，∵CD ＝∴CE ＝12⨯= 在Rt △OCE 中，222OC CE OE =+，∵OE ＝1，∴2221OC =+，∴3OC =；∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，结合图形，熟练运用三个定理是解题的关键．。