专题训练一：一元二次方程
解：等式变形为 a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋ c－5＝0， 即(a－3)2＋(b－4)2＋ c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0， c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即 a2＋b2＝c2， ∴△ABC 为直角三角形
解：(1)不符合．设小路宽度均为x m，根据题意得(16－2x)(12－2x) 1 ＝ ×16×12，解得x1＝2，x2＝12，但x2＝12不符合题意，应舍 2 去，∴x＝2，故小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m
(2)答案不唯一，略
三、几何图形问题
6．如图，AO＝OB＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一蚂蚁 由A以2 cm/s的速度向B爬行，同时另一蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿 OC方向爬行，问几秒钟后两蚂蚁与 O点组成的三角形面积等于 450 cm2?
三、几何图形问题 解：分两种情况讨论：(1)当由A 点出发的蚂蚁到达 O点之前，设 离开A点t s后，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2，根据 题意得 (50 － 2t)·3t ＝ 450 ， 整理得 t2 － 25t ＋ 150 ＝ 0 ， 解得 t1 ＝ 15 ， t2 ＝ 10 ； (2) 当由 A 点出发的蚂蚁爬完 OA 这段距离用了＝ 25(s) 后 ， 开 始由O向B爬行，设从O点开始x秒钟后，两蚂蚁与O点组成的三角形 面积等于450 cm2，根据题意得·2x·3(25＋x)＝450，整理得x2＋25x －150＝0，解得x1＝5，x2＝－30(不合题意，舍去)，当x＝5时，x＋ 25＝30，这只蚂蚁已由A点爬行了30 s．综上可知，分别在10 s，15 s，30 s时，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2
二、增长率与利润问题
5.某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有 关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转， 房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均 价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子，开发商还给 予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年 物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优 惠？
专题训练一：一元二Байду номын сангаас方程
一、一元二次方程的解法
1．用直接开平方法解方程： (1)(4x－1)2＝225；
7 解：x1＝4，x2＝－ 2
1 (2) (x－2)2＝8； 3
解：x1＝2＋2 6，x2＝2－2 6
(3)9x2－6x＋1＝9；
4 2 解：x1＝ ，x2＝－ 3 3
(4)3(2x＋1)2－2＝0.
1 6 1 6 解：x1＝－ ＋ ，x2＝－ － 2 6 2 6
一、一元二次方程的解法
2．用配方法解方程： (1)2t2－3t＝－1； 1 解：t1＝ ，t2＝1 2 (2)2x2＋5x－1＝0； －5＋ 33 －5－ 33 解：x1＝ ，x2＝ 4 4 (3)(2x－1)(3x－1)＝3－6x； 1 2 解：x1＝ ，x2＝－ 2 3 2 (4)(2x－1) ＝x(3x＋2)－7.
解：x1＝4，x2＝2
一、一元二次方程的解法
3．用公式法解方程： (1)x2＝6x＋1; (2)0.2x2－0.1＝0.4x； (3) 2x－2＝2x2.
解：(1)x1＝3＋ 10，x2＝3－ 10
2＋ 6 2－ 6 解：(2)x1＝ ，x2＝ 2 2 解：(3)原方程无实数根
4．用因式分解法解方程： (1)(x－1)2－2(x－1)＝0；(2)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)； (3)(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0.
三、几何图形问题 7．在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要 求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方 案．
三、几何图形问题 (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条 件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方 程的方法说明理由； (2)你还有其他的设计方案吗？请你设计出草图，将花园部分涂上 阴影，并加以说明．
二、增长率与利润问题 3．(2014·桂林)电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据 某市某品牌电动自行车经销商1 月至3 月统计 ，该品牌电动自行车1 月销售150辆，3月销售216辆． (1)求该品牌电动车销售量的月平均增长率． (2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经 销商1月至3月共盈利多少元？ 解： (1) 设月平均增长率为 x ， 由题意得 150(1 ＋ x)2 ＝ 216 ， 解得 x1 ＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)，∴x＝0.2＝20%， 即月平均增长率为20% (2)由(1)得2月份的销售量为150×(1＋20%)＝180，则1月至3月的 销售总量为150＋180＋216＝546(辆)， ∴1月至3月共盈利(2800－2300)×546＝27300(元)
二、增长率与利润问题
解：(1)设平均每次降价的百分率为x，依题意得5000(1－x)2＝ 19 4050，解得x1＝10%，x2＝ (不合题意，舍去)， 10 则平均每次降价的百分率为10%
(2)方案①的房款是4050×100×0.98＝396900(元)，另外需在两年 内 付 物 业 管 理 费 1.5×100×12×2 ＝ 3600( 元 ) ； 方 案 ② 的 房 款 是 4050×100 ＝ 405000( 元 ) ， 故在同等条件下方案①需付款 396900 ＋ 3600＝400500(元)．∵400500＜405000，∴选方案①更优惠
解：(1)x1＝3，x2＝1
解：(3)x1＝x2＝3
解：(2)x1＝3，x2＝
1 4
一、一元二次方程的解法
5．用适当的方法解方程： (1)2(x－3)2＝x2－9；
解：x1＝3，x2＝9
(2)(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2；
－1＋ 6 －1－ 6 解：x1＝ ，x2＝ 2 2
(3)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.
二、增长率与利润问题
4 ． 某商店购进 600 个旅游纪念品 ， 进价为每个 6 元 ， 第一周以每 个 10 元的价格售出 200 个 ， 第二周若按每个10 元的价格销售仍可售 出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查， 单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x 元销售一周后 ，商店对剩余旅游纪念品清仓处理 ，以每个 4 元的价 格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅 游纪念品的销售价格为多少元？ 解：由题意得 200×(10 － 6) ＋ (10 － x － 6)(200 ＋ 50x) ＋ (4 － 6)[600 －200－(200＋50x)]＝1250，整理得x2－2x＋1＝0， 解得x1＝x2＝1，∴10－x＝9，则第二周的销售价格为9元
2
二、配方法的应用
(二)非负数的和为0
8．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值． 解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0， 即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1. ∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝12
解：x1＝1，x2＝－3
二、配方法的应用
(一)最大(小)值
6．利用配方法证明：无论 x 取何实数值，代数式－x2－x－1 的值总是 负数，并求出它的最大值．
12 3 12 12 3 解： －x －x－1＝－(x＋ ) － ， ∵－(x＋ ) ≤0， ∴－(x＋ ) － ＜0， 2 4 2 2 4 1 3 2 故结论成立．当 x＝－ 时，－x －x－1 有最大值－ 2 4 7 ． 对关于x 的二次三项式 x2 ＋ 4x ＋ 9 进行配方得x2 ＋ 4x ＋9 ＝(x ＋ m)2＋n. (1)求m，n的值； (2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？ 解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4， m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5 (2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有 最小值是5
一元二次方程的实际应用
一、循环、传播问题 1 ． 我们知道 ， 传销能扰乱一个地方正常的经济秩序且是国家法 律明令禁止的，你了解传销吗？某传销组织现有两名头目，他们计 划每人发展若干数目的下线，每个下线成员再发展同样数目的下线 成员 ， 经过两轮发展后共有成员 114 人 ， 每个人计划发展下线多少 人？ 解：设每个人计划发展下线x人，由题意得2＋2x＋2x2＝114，解 得x1＝7，x2＝－8(不合题意，舍去)， ∴每个人计划发展下线7人 2 ． 参加一次篮球联赛的每两队之间都进行两次比赛 ， 共要比赛 30场，共有多少个队参加比赛？ 解：设共有x个队参加比赛，由题意得x(x－1)＝30，解得x1＝6， x2＝－5(不合题意，舍去)， ∴x＝6，则共有6个队参加比赛
一元二次方程典型例题整理版
一元二次方程典型例题整理版一元二次方程专题一：一元二次方程的定义典例分析：1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）2.若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）3.关于x的一元二次方程（a-1）x²+x+a²-l=0的一个根是。
则a的值为( )4.若方程(m-1)x²+m·x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。
5.关于x的方程(a+a-2)x+a·x+b=0是一元二次方程的条件是（）专题二：一元二次方程的解典例分析：1.关于x的一元二次方程(a-2)x²+x+a²-4=0的一个根为-2，则a的值为。
2.已知方程x²+kx-10=0的一根是2，则k为-5，另一根是-8.3.已知a是x²-3x+1=0的根，则2a²-6a+3=0.4.若方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，a,b,c满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是1和-1.5.方程(a-b)x²+(b-c)x+c-a=0的一个根为1，则另一个根为-b/c。
课堂练：1.已知一元二次方程x²+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为-2-m。
2.已知x=1是一元二次方程x²+bx+5=0的一个解，则b=-6，另一个根为-5.3.已知2y²+y-3=2，则4y²+2y+1=11/2，xy=-3/2.4.已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为1.专题三：一元二次方程的求解方法典例分析：1.直接开平方法：(1-x)²-9=0，解得x=-2或4.2.配方法：x²-2x+3>0，解得x∈(-∞,1)∪(3,+∞)。
难度训练：1.如果二次三项式x²-(2m+1)x+16是一个完全平方式，那么m的值是1.2.试用配方法说明x²-2x+3的XXX大于2.3.已知x²+y²+4x-6y+13=0，x、y为实数，求xy的值。
一元二次方程专题培优训练精选
一元二次方程专题培优训练精选专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m≠3.B.m≥3.C.m≥-2.D。
m≥-2且m≠3已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A。
m≠3.B。
m≥3.C。
m≥-2.D。
m≥-2且m≠32.已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+1若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+14.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.专题二利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值21.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A.-9或11.B.-7或8.C.-8或9.C.-8或9 若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A。
-9或11.B。
-7或8.C。
一元二次方程应用题专题训练
一元二次方程应用题专题训练一、面积问题1. 题目- 一个矩形的长比宽多2cm，面积是100cm²，求这个矩形的长和宽。
- 解析：设矩形的宽为x cm，因为长比宽多2cm，所以长为(x + 2)cm。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，可得到方程x(x + 2)=100。
展开方程得到x²+2x - 100 = 0。
对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（这里a = 1，b = 2，c=-100），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，先计算判别式Δ=b^2-4ac = 2^2-4×1×(- 100)=4 + 400=404。
则x=(-2±√(404))/(2)=(-2±2√(101))/(2)=-1±√(101)。
因为矩形的宽不能为负数，所以取x=-1+√(101)≈ - 1+10 = 9（这里√(101)≈10），长为x + 2=9+2 = 11cm。
2. 题目- 有一块正方形铁皮，从四个角各剪掉一个边长为2分米的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的正方体盒子，这个盒子的容积是27立方分米，求原来正方形铁皮的边长。
- 解析：设原来正方形铁皮的边长为x分米。
那么围成无盖正方体盒子底面的边长为(x - 2×2)=(x - 4)分米，盒子的高为2分米。
根据正方体容积公式V=a^3（这里a为正方体棱长），可得方程(x - 4)^2×2 = 27，即(x - 4)^2=(27)/(2)，展开得到x^2-8x + 16=(27)/(2)，整理为2x^2-16x+32 - 27 = 0，即2x^2-16x + 5 = 0。
这里a = 2，b=-16，c = 5，判别式Δ=b^2-4ac=(-16)^2-4×2×5=256 - 40 = 216，x=(16±√(216))/(4)=(16±6√(6))/(4) = 4±(3√(6))/(2)，因为边长不能为负，所以x =4+(3√(6))/(2)分米。
一元二次方程的应用(1)
专题训练：一元二次方程的应用（一）【知识梳理】1、已知关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0（m是常数），若一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为（）A．17或19B．15或17C．13或15D．172、空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（）A．若a=16，S=196，则有一种围法B．若a=20，S=198，则有一种围法C．若a=24，S=198，则有两种围法D．若a=24，S=200，则有一种围法【典例解析】1、如图，长方形ABCD中，AB=6cm,AD=2cm，动点PQ分别从点A、C同时出发，点P 以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1s时，四边形BCQP的面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q的距离是3cm？（3）当t=__________s时，以点PQD为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案）【链接中考】已知平面直角坐标系中，直线AB图象上有两点A(2,2√3)和点B(5,√3)，与x轴交于点C，与y轴交于点D．（1）求直线AB的表达式；（2）若在y轴上有一异于原点的点P，使△PAB为等腰三角形，求点P的坐标；（3）若将线段AB沿直线y=mx+n(m≠0)进行对折得到线段A1B1，且点A1始终在直线OA上，当线段A1B1与x轴有交点时，求n的取值的最大值．【课后练习】2、如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t(s)．（1）当t=2s时，四边形BCQP面积是______cm（2）当t为何值时，点P和点Q距离是4cm？（3）当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（1）求直线AB的表达式；（2）若在y轴上有一异于原点的点P，使△PAB为等腰三角形，求点P的坐标；（3）若将线段AB沿直线y=mx+n(m≠0)进行对折得到线段A1B1，且点A1始终在直线OA 上，当线段A1B1与x轴有交点时，求n的取值的最大值．。
初中数学《一元二次方程计算100题》训练
\ 1 /一元二次方程计算100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在一元二次方程这一部分的计算能力。
主要有以下几种方法：①直接开方法；②配方法；③公式法；④因式分解法；共100题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一 直接开方法方法总结：形如x²=p 或（nx+m ）²=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
如果方程化为x²=p （p≥0）的形式，那么可得x=±√p ;如果方程能化成（nx+m ）²=p （p≥0）的形式，那么nx+m=±√p 。
易错总结：① 注意除0外，开方结果应该有两个；② 方程解的形式要写成x 1=……，x 2=……或“x=……或x=……”例题解析：解方程(x −2)2=1解：x −2=±1 ……【开平方】x −2=1或x −2=−1 ……【移项】x 1=3，x 2=1 ……【解出x 】巩固练习：1.解方程：(x −2)2−9=0．2.解方程：(3y −1)2=(y −3)2．3.解方程：(3x −4)2=(2x +3)2．\ 2 /4.解方程：14(x +1)2=25．5.解方程：13(2x −3)2−25=0．6.解方程：x 2−6x +9=(5−2x)2．7.解方程：√3(x −1)2=√27．8.解方程：2(3x+1)25=8．9.解方程：4(2x −5)2=9(3x −1)2．10.解方程：4(x −2)2−(3x −1)2=0．11.解方程3(x −1)2=48．模块二 配方法方法总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：①先将已知方程化为一般形式； ②化二次项系数为1 ③常数项移到右边 ④方程两边分别加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式 ⑤ 变形为（x+p ）²=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=p ±√q ；如果q ＜0，方程无实根。
一元二次方程专题训练卷(基础)
一元二次方程专题训练卷（基础）一．选择题（共6小题）1．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（）A．0B．±3C．3D．﹣32．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（）A．3或﹣9B．﹣3或9C．3或﹣6D．﹣3或63．一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（）A．2B．3C．4D．55．已知一元二次方程式（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，求2a+b之值为何？（）A．9B．﹣3C．6+D．﹣6+6．用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（）A．（x+1）2＝3B．（x+1）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣1）2＝6二．填空题（共7小题）7．若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝．8．方程（x+1）2＝9的根是．9．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝．10．设x1与x2为一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则（x1﹣x2）2的值为．11．一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是．12．一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是．13．若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．三．解答题（共6小题）14．解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．15．（1）解方程：x2﹣2x﹣5＝0；（2）解不等式组：．16．（1）解方程：2x（x﹣2）＝1；（2）解不等式组：17．解方程：x2﹣2x﹣3＝0．18．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．19．已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．（1）化简T；（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．。
一元二次方程的应用题专练
一元二次方程的应用题专练（七大类型）一、解一元二次方程应用题的步骤1.“审、设、列、解、验、答”.2.审一定要清晰不是所有的条件都要用上, 还有用来验根的, 再有就是等量关系。
3.设可以直接设也可以间接设, 有单位的, 一定要记得带单位；4.列列方程时一定要用题中的原数；5.验一元二次方程两个根, 一定要看是否都符合；6.答回到实际问题中二、各种类型题训练（一）利润问题1.公式: 售价—进价=单个利润单个利润×销售量=总利润2.降价销售例: 西瓜经营户以２元／千克的价格购进一批小型西瓜, 以３元／千克的价格出售, 每天可售出２００千克。
为了促销, 该经营户决定降价销售。
经调查发现, 这种小型西瓜每降价0.1元/千克, 每天可多售出40千克。
另外, 每天的房租等固定成本共２４元。
该经营户要想每天盈利200元, 应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？练习: （1）.某商店购进一种商品, 进价30元. 试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系: P=100-2X, 若商店每天销售这种商品要获得200元的利润, 那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？（2）服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件, 每件盈利４０元。
为了迎接“六一”儿童节, 商场决定采取适当的降价措施, 扩大销售量, 增加盈利, 减少库存。
经市场调查发现, 如果每件童装每降价４元, 那么平均每天就可多售出８件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元, 那么每件童装应降价多少元？（3）某商场礼品柜台购进大量贺卡,一种贺卡平均每天可销售500张,每张盈利0.3元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的措施,调查发现,如果每降价0.1元,那么商场平均每天多售出300张,商场要想每天盈利160元,每张贺卡应该降价多少元?（4）.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源, 待货物售出后再进行结算, 未售出的由厂家负责处理）。
一元二次方程基础训练题
一元二次方程基础训练题一、一元二次方程的概念类题目1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）A. x^2+2x = x^2-1B. ax^2+bx + c = 0C. 3(x + 1)^2=2(x + 1)D. (1)/(x^2)+x - 2 = 0解析：- 对于选项A，将方程x^2+2x = x^2-1化简为2x=-1，这是一元一次方程，不是一元二次方程。
- 选项B，当a = 0时，ax^2+bx + c = 0就不是一元二次方程了，所以该选项不一定是一元二次方程。
- 选项C，将3(x + 1)^2=2(x + 1)展开得到3(x^2+2x + 1)=2x+2，即3x^2+6x+3 = 2x + 2，进一步化简为3x^2+4x+1 = 0，这是一元二次方程。
- 选项D，(1)/(x^2)+x - 2 = 0是分式方程，不是一元二次方程。
所以答案是C。
2. 方程(m - 2)x^2+3mx+1 = 0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A. m≠0B. m≠2C. m≠ - 2D. m为任意实数解析：一元二次方程的一般形式是ax^2+bx + c = 0(a≠0)，在方程(m - 2)x^2+3mx+1 = 0中，要使其为一元二次方程，则二次项系数m - 2≠0，解得m≠2，所以答案是B。
二、一元二次方程的求解（直接开平方法）1. 解方程(x - 3)^2=16解析：对于方程(x - 3)^2=16，根据直接开平方法，可得x-3=±4。
当x - 3 = 4时，x=4 + 3=7；当x - 3=-4时，x=-4 + 3=-1。
所以方程的解为x_1=7，x_2=-1。
2. 解方程2(x + 1)^2-8 = 0解析：首先对原方程进行化简：2(x + 1)^2-8 = 0，移项得到2(x + 1)^2=8，两边同时除以2得(x + 1)^2=4。
然后根据直接开平方法，x + 1=±2。
专题-一元二次方程
专题-一元二次方程一元二次方程专题一．解答题（共15小题）1．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．3．已知：关于x 的方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．4．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．5．已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC的三边a 、b 、c 满足，m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m 的值；（2）△ABC的面积．6．关于x 的方程有两个不相等的实数根（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．7．已知：关于x 的方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：的值；（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？8．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0＜m ＜1）元．（1）零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？9．某地区2019年投入教育经费2500万元，2019年投入教育经费3025万元．（1）求2019年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2019年该地区将投入教育经费多少万元．10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？11．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品x 应定为多少元．12．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为R t△ACB面积的一半？13．如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km ，问几分钟后，两人相距2km ？14．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知这时我们把关于x 的形如请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”面积．必有实数根；的一个根，且四边形ACDE 的周长是6的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．，，求△ABC15．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2均为正数，且满足程有“邻近根”．（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由；（其中x 1＞x 2），那么称这个方（2）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m ﹣1）x ﹣1=0有“邻近根”，求m 的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．【专题】证明题．【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=x 1=，x 2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．2．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值．，【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m，c=m2﹣1，∵△=b2﹣4ac=（2m ）2﹣4〓1〓（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m〓3+m2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3．某地区2019年投入教育经费2500万元，2019年投入教育经费3025万元．（1）求2019年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2019年该地区将投入教育经费多少万元．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量〓（1+增长率），2019年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2019年的基础上再增长x ，就是2019年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用（1）中求得的增长率来求2019年该地区将投入教育经费．【解答】解：设增长率为x ，根据题意2019年为2500（1+x）万元，2019年为2500（1+x）2万元．则2500（1+x）2=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025〓（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2019年该地区将投入教育经费3327.5万元．【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量〓（1+年平均增长率）年数=增长后的量．4．已知：关于x 的方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？【考点】根与系数的关系；根的判别式．的值；【分析】（1）由方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k 的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．的值就为一定值．（3）只要满足△＞0（或用k 的取值范围表示）【解答】解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k ，∴（3）由（1）可知，k ＞﹣1时，的值与k 无关． =，【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．关于x 的方程有两个不相等的实数根（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）利用方程有两根不相等的实数根可以得到，解得m 的取值范围即可；（2）假设存在，然后利用根的判别式求得m 的值，根据m 的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．【解答】解：（1）由又∵m≠0∴m的取值范围为m ＞﹣1且m≠0；（5分）（2）不存在符合条件的实数m ．（6分），得m ＞﹣1设方程两根为x 1，x 2则，解得m=﹣2，此时△＜0．∴原方程无解，故不存在．（12分）【点评】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用方程的根的情况得到m 的取值范围．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x 元，则每件所得利润为（40﹣x ）元，但每天多售出2x 件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40﹣x ）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x 元，根据题意得（40﹣x ）（20+2x）=1200，整理得2x 2﹣60x+400=0解得x 1=20，x 2=10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y 元，则y=（20+2x）（40﹣x ）=﹣2x 2+60x+800=﹣2（x 2﹣30x ﹣400）=﹣2[（x ﹣15）2﹣625]=﹣2（x ﹣15）2+1250．∴当x=15时，y 取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．7．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品x 应定为多少元．【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x ﹣40）〓10=1000﹣10x ，利润=（1000﹣10x ）（x ﹣30）=﹣10x 2+1300x﹣30000；（2）令﹣10x 2+1300x﹣30000=10000，求出x 的值即可；（2）﹣10x 2+1300x﹣30000=10000，解之得：x1=50 x 2=80，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出W 与x 的函数关系．8．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动，它们的速度都是1米/秒，问：几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何动点问题．【分析】根据题意∠C=90°，可以得出△ABC面积为〓6〓8，△PCQ的面积为（8﹣x ）（6﹣x ），设出t 秒后满足要求，则根据△PCQ的面积是△ABC面积的一半列出等量关系求出t 的值即可．【解答】解：设经过x 秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半，则：=12，解得x 1=12（舍去），x 2=2．答：经2秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半．【点评】本题考查了三角形面积的计算方法，找到等量关系式，列出方程求解即可．要注意结合图形找到等量关系．9．创新题：如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长为40km ，问几分钟后，两人相距2km ？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何动点问题．【分析】本题可设时间为x 分钟，依题意得CF=x，BE=2x，周长为40km ，边长为10km ，CE=10﹣2x ，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：设x 分钟后两车相距2km ，此时甲运动到F 点，乙运动到E 点，可知：FC=x，EC=10﹣2x在Rt△ECF中，x 2+（10﹣2X ）2=（2解得：x 1=2，x 2=6 ）2，当x=2时，FC=2，EC=10﹣4=6＜10符合题意当x=6时，FC=6，EC=10﹣12=﹣2＜0不符合题意，舍去答：2分钟后，两车相距2km ．【点评】根据路程=速度〓时间，表示线段的长度，将问题转化到三角形中，利用勾股定理或者面积关系建立等量关系，是解应用题常用的方法．10．已知：关于x 的方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m 为正整数，且方程的两个根均为整数，求m 的值．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）先计算判别式得到△=（m ﹣3）2﹣4m•（﹣3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=，x 2=﹣1，然后利用整除性即可得到m 的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，∴方程mx 2+（m ﹣3）x ﹣3=0（m≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m ﹣3）2﹣4m•（﹣3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x=∴x1=，x 2=﹣1，∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=1或3．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．11．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m （0＜m ＜1）元．（1）零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出 300+100〓只粽子，利润为（1﹣m ）（300+100〓），元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题；压轴题．【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．【解答】解：（1）300+100〓（1﹣m ）（300+100〓）．，（2）令（1﹣m ）（300+100〓化简得，100m 2﹣70m+12=0．即，m 2﹣0.7m+0.12=0．）=420．解得m=0.4或m=0.3．可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．答：当m 定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．12．如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x 的形如请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”面积．必有实数根；的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c 的值，根据完全平方公式求得ab 的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x 2+5（2）证明：根据题意，得△=（c ）2﹣4ab=2c2﹣4ab x+4=0；∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a 2+b2）﹣4ab=2（a ﹣b ）2≥0即△≥0 ∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a ﹣c+b=0，即a+b=∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6 ∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC=ab=1． c 【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．13．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2均为正数，且满足程有“邻近根”．（1）判断方程是否有“邻近根”，并说明理由；（其中x 1＞x 2），那么称这个方（2）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m ﹣1）x ﹣1=0有“邻近根”，求m 的取值范围．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【分析】（1）先解方程有“邻近根”；得到x 1=，x 2=1，则满足，所以可判断方程（2）根据判别式的意义得到m≠0且△=（m ﹣1）2﹣4m〓（﹣1）=（m+1）2＞0，利用求根公式解得x 1=1，或若x 1=1，，x 2=1，则m ＜0，然后讨论：，则，是关于m 的正比例函数，根据正比例函数性质得到﹣2＜m ＜﹣1；若，x 2=1，则，是关于m 的反比例函数，根据反比例函数性质得，最后综合得到m 的取值范围．【解答】解：（1）方程∵∴（x ﹣1）（x ﹣∵x1＞x 2，∴x1=，x 2=1，，）=0，，有“邻近根”．理由如下：这时x 1＞0，x 2＞0，且∵∴满足∴方程，，有“邻近根”；（2）由已知m≠0且△=（m ﹣1）2﹣4m〓（﹣1）=（m+1）2＞0，∴∴当m ＞﹣1时，x 1=1，当m ＜﹣1时，，x 2=1，∵一元二次方程ax 2+bx+c=0有“邻近根”，∴x1、x 2均为正数，∴m＜0若x 1=1，∵﹣1＜0，∴随m 的增大而减小．，则，是关于m 的正比例函数，当1＜﹣m ＜2时，∴﹣2＜m ＜﹣1；若，x 2=1，则，是关于m 的反比例函数，∵﹣1＜0，∴在第二象限，当∴随m 的增大而增大．时，．…（9分）．综上，m 的取值范围是﹣2＜m ＜﹣1或【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和正比例与反比例函数性质．14．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范围；（2）找出k 范围中的整数解确定出k 的值，经检验即可得到满足题意k 的值．【解答】解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k ﹣4）=20﹣8k ＞0，解得：k ＜；（2）由k 为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1〒，∵方程的解为整数，∴5﹣2k 为完全平方数，则k 的值为2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．15．已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC的三边a 、b 、c 满足，m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．求：（1）m 的值；（2）△ABC的面积．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义；一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】应用题；压轴题；分类讨论；方程思想．【分析】（1）本题可先求出方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m 的值．（2）由（1）得出的m 的值，然后将m 2+a2m ﹣8a=0，m 2+b2m ﹣8b=0．进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m ﹣3）2﹣72（m 2﹣1）=9（m ﹣3）2≥0，设x 1，x 2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m 2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m 为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a 2﹣4a+2=0，b 2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a 、b 是方程x 2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a ＞0、b ＞0．①a≠b，时，由于a 2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2．，故不能构成三角形，不合题意，舍去．，故能构成三角形．故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S △ABC=②a=b=2﹣③a=b=2+，c=2，c=2）〓时，因时，因=．＜＞S △ABC=〓（2综上，△ABC的面积为1或【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a ，b 的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．。
专题训练。一元二次方程的解法
专题训练。
一元二次方程的解法专题训练：一元二次方程的解法一、一元二次方程的解法分类练1.直接开方法1) 解 $1(x-2)^2=8$。
2) 解 $2(x+1)^2-6=0$。
2.配方法1) 解 $4x-x^2+2=0$。
2) 解 $(2x-1)^2=x(3x+2)-7$。
3.公式法1) 解 $x^2=2x+1$。
2) 解 $2x^2-2=3x$。
3) 解 $3x^2-6x=5$。
4.因式分解法1) 解 $x^2-32x=0$。
2) 解 $x^2-3x-3=0$。
3) 解 $x(x-2)=8$。
二、一元二次方程解法的灵活运用5.若$x=-1$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx-2=0(a\neq0)$的一个根，则$2017-2a+2b$的值等于()。
A。
$2019$ B。
$2015$ C。
$2013$ D。
$2011$6.若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2-2x+1=0$有两个不相等的实数根，则$a$的取值范围是()。
A。
$a>2$ B。
$a<2$ C。
$a<2$且$a\neq1$ D。
$a<-2$7.已知等腰三角形的边长分别为$a,b,2$，且$a,b$是关于$x$的一元二次方程$x^2-6x+n-1=0$的两个根，则$n$的值为()。
A。
$9$ B。
$10$ C。
$9$或$10$ D。
$8$或$10$8.若$a$满足不等式组$\begin{cases}1-a\leq1,\\2a-1\geq2,\end{cases}$则关于$x$的方程$(a-2)x^2-(2a-1)x+a+2=0$的根的情况是()。
A。
有两个不相等的实数根 B。
有两个相等的实数根 C。
没有实数根 D。
以上三种情况都有可能9.无论$x$取任何实数，代数式$x^2-6x+m$都有意义，则$m$的取值范围是()。
10.若关于$x$的方程$(a-6)x^2-8x+6=0$有实数根，则整数$a$的最大值是()。