2021届普通高等学校招生全国统一考试高三模拟试题(一)文科数学试卷+详解
2021年高三一模数学(文)试卷 含解析
2021年高三一模数学（文）试卷含解析本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）若集合，，则（A）（B）（C）（D）【知识点】集合的运算【试题解析】因为，所以，故答案为：B【答案】B（2）已知直线与直线互相垂直，则（A）（B）（C）（D）【知识点】两条直线的位置关系【试题解析】因为直线与直线互相垂直，所以，故答案为：C【答案】C（3）已知，，，则三个数的大小关系是（A）（B）（C）（D）【知识点】对数与对数函数 【试题解析】因为 所以，故答案为：A 【答案】A（4）若满足则的最大值为（A ） （B ）（C ）（D ）【知识点】线性规划【试题解析】因为可行域如图，在AC 上任何一点取得最大值3．故答案为：A 【答案】A（5）已知数列的前项和1159131721(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，则（A ） （B ） （C ）（D ）【知识点】数列的求和 【试题解析】因为 故答案为：D 【答案】D（6）在△中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为所以，是充分必要条件故答案为：C【答案】C（7）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的值分别为，，，则输出和的值分别为（A）（B）（C）（D）【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为输出。
故答案为：D【答案】D（8）函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示．若集合,，则中元素的个数为（A）（B）（C）（D）【知识点】函数图象函数及其表示xy-1 O 1 21图2xy-1 O 11-1图1【试题解析】因为即，即所以，中元素的个数为 3故答案为：C【答案】C第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2021年全国普通高等学校招生统一考试(文)数学试卷(全国乙卷)
2021年全国普通高等学校招生统一考试（文）数学试卷（全国乙卷)学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}M =，{3,4}N =，则()UM N =( )A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}2.设i 43i z =+，则z 等于( ) A.34i --B.34i -+C.34i -D.34i +3.已知命题:p x ∃∈R ，sin 1x <，命题:q x ∀∈R ，||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是( ) A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.()p q ⌝∨4.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是( )A.3πB.3π和2C.6πD.6π和25.若x ，y 满足约束条件423x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为( )A.18B.10C.6D.46.22π5πcos cos 1212-=( ) A.127.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为( )A.34B.23 C.13D.168.下列函数中最小值为4的是( ) A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x x y -=+D.4ln ln y x x=+9.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是( ) A.(1)1f x --B.(1)1f x -+C.(1)1f x +-D.(1)1f x ++10.在正方体1111ABCD A B C D —，P 为11B D 的重点，则直线PB 与1AD 所成的角为( ) A.π2B.π3C.π4D.π611.设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为( )A.52D.212.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则( ) A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a >二、填空题13.已知向量(2,5)=a ，(,4)λ=b ，若//a b ，则λ=__________.14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为___________.15.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 60B =︒，223a c ac +=，则b =______________.16.以图①为正视图，在图②③④③中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别为x 和y ，样本方差分别记为1S 和22S . （1）求x ，y ，21S ，22S ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ADCD -的体积. 19.设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =，已知1a ，23a ，39a ，成等差数列. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2nn S T <. 20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2. （1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 21.已知函数32()1f x x x ax =-++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标. 22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为(2,1)C ，半径为1. （1）写出C 的一个参数方程.（2）过点(4,1)F 作C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.已知函数()|||3|f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()f x a >-，求a 的取值范围.参考答案1.答案：A解析：本题主要考查集合的运算.由题意知{1,2,3,4}M N =，所以(){5}UM N =.故本题正确答案为A.2.答案：C解析：本题主要考查复数的四则运算.等式两边同时乘以-i ，有22i 4i 3i z -=--，所以34i z =-.故本题正确答案为C. 3.答案：A解析：由已知可得命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p q ∧为真命题，故选A. 4.答案：C解析：本题主要考查三角函数.()sin cos 33x x f x =+)33x x =ππ(sin cos cos sin )3434x x+π)34x +，所以()f x 的最小正周期为2π6π13=，值域为[，所以()f x故本题正确答案为C.5.答案：C解析：本题主要考查线性规划.作出约束条件423x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩下的可行域，如下图阴影部分所示，当直线3z x y =+经过点(1,3)时，z 取得最小值，此时min 3136z =⨯+=.故本题正确答案为C. 6.答案：D解析：本题主要考查倍角公式与半角公式.原式π51cos(2)1cos(π2)121222+⨯+⨯=-1π5π(cos cos )266=⨯-12=+=.故本题正确答案为D.7.答案：B解析：本题主要考查随机抽样.10231302P -==-.故本题正确答案为B.8.答案：C解析：本题主要考查函数的概念与性质和均值不等式.A 项，2224(1)3y x x x =++=++，则min 3y =.故A 项不符合题意.B 项，4|sin ||sin |y x x =+，πx k ≠，k ∈Z，所以4y ≥=，当且仅当|sin |2x =时等号成立，而|sin |(0,1]x ∈，所以等号不成立，所以4y >.故B 项不符合题意. C项，2422242x x x x y -=+=+≥，当且仅当22x =即1x =时，等号成立，所以min 4y =.故C 项符合题意.D 项，当(0,1)x ∈时，4ln 0ln y x x=+<.故D 项不符合题意.故本题正确答案为C. 9.答案：B解析：本题主要考查函数的概念与性质.由12()111x f x x x -==-+++可知，函数()f x 关于(1,1)--中心对称，所以函数()f x 向右平移1个单位，再向上平移1个单位后就关于(0,0)中心对称，四个选项中只有(1)1y f x =-+关于(0,0)中心对称，所以(1)1y f x =-+为奇函数.故本题正确答案为B.10.答案：D解析：本题主要考查直线、平面的位置关系.如图，连接AC ，BD 交于O 点，连接1OD ，1AD ，BP ，设正方体棱长为x ，因为1////D P OB BD 且112D P BO BD ==，所以四边形1OD PB 为平行四边形，所以1//BP OD ，1AD O ∠即为所求角.因为1AD DD x ==，所以1AD，AO DO ==，1D O =. 在1AD O中，由余弦定理可得，22211111cos 2AD D O AO AD O AD D O +-∠=⋅，因为1(0,π)AD O ∠∈，所以1π6AD O ∠=.故本题正确答案为D.11.答案：A解析：本题主要考查圆锥曲线.由题意得：(0,1)B ，设(,)P x y .则222||(0)(1)PB x y =-+-2221x y y =+-+225(1)21y y y =-+-+2426y y =--+21254()44y =-++.因为11y -≤≤，所以当14y =-时，2max 25||4PB =，此时PB 最大为52.故本题正确答案为A.12.答案：D解析：本题主要考查二次函数.穿根法作图：当0a >时，若a 为极大值点，则如图①，必然有a b <，2ab a >.故B 项，C 项错误.当0a <时，若a 为极大值点，则如图②，则有a b >，2ab a >.故A 项错误.故本题正确答案为D.13.答案：85解析：由已知，//a b ，则245λ⨯=，故85λ=.14.解析：本题主要考查圆锥曲线和直线与方程.由题意得，24a =，25b =，所以222459c a b =+=+=，因为0c >，所以3c =，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以点(3,0)到直线280x y +-=的距离为：d ===故本题正确.15.答案：解析：本题主要考查正余弦定理的应用.根据题意得，ABCS1sin 2ac B60B =︒，所以sin B =，1cos 2B =，所以4ac =.因为1cos 2B =，所以根据余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-==.又因为223a c ac +=，所以23122ac b ac -=，即2341242b ⨯-=⨯，解得b =故本题正确答案为16.答案：③④或②⑤解析：本题主要考查空间几何体.当俯视图为图④时，右侧棱在左侧不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图. 当俯视图为图⑤时，顶部棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图. 故本题正确答案为③④或②⑤. 17.答案：（1）1(9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7)10x =+++++++++ 110010=⨯ 10=，1(10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5)10.310y =+++++++++=， 22222222211(0.20.30.20.10.20.10.20.3)10S =+++++++ 2221(20.140.220.3)10=⨯+⨯+⨯ 0.036=，222222222221(0.20.10.20.30.20.30.20.10.2)10S =++++++++ 2221(20.150.220.3)10=⨯+⨯+⨯ 0.04=.（2）由（1）可知0.3y x -=， 因为20.30.0940.00760.0304=>⨯=，所以满足y x -≥，则新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 解析：18.答案：（1）证明：因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ， 所以PD AM ⊥，又因为PB AM ⊥，而PD 、PB ⊂平面PBD ，且PDPB P =，所以AM ⊥平面PBD ， 又因为AM ⊂平面PAM ， 所以平面PAM ⊥平面PBD .（2）因为1PD DC ==，所以1AB =， 设2BC AD a ==，则BM a =，由（1）得AM ⊥平面PBD ，则AM BD ⊥， 所以90DAM ADB ∠+∠=︒， 又因为四边形ABCD 为矩形， 所以90DAM BAM BAD ∠+∠=∠=︒， 所以AD B BAM ∠=∠， 又因为90DAB ABM ∠=∠=︒， 所以DAB ABM ∽，所以DA AB AB BM =，即211a a=，所以a =则2BC AD a ==所以四棱锥P ABCD -的体积为：1113V =⨯=.解析：19.答案：（1）设1n n a k -=，(0)k ≠ 而213239a a a ⨯=+，所以2619k k =+， 解得13k =，所以113n n a -=， 所以3n n n b =. （2）因为113n n a -=， 所以131223n n S -=-⨯. 因为3n nn b =， 所以212333n nnT =+++，① ①×13可得231112133333n n n n nT +-=++++，②①-②得211211111(1)33333233n n n n n n nT ++=+++-=--， 所以131364323423n n n nn n T -+=--=-⨯⨯， 所以13613129()2423222343n n n n nS n n T -+---=---=⨯⨯⨯， 所以当1n ≥时，02n n S T -<，所以2n n ST <. 解析：20.答案：（1）因为拋物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2， 所以()222p p--=， 解得2p =，所以C 的方程为24y x =.（2）根据题意可得(1,0)F ，设2(4,4)P t t ，00(,)Q x y . 所以200(4,4)PQ x t y t =--，00(1,)QF x y =--. 因为9PQ QF =，所以20049(1)x t x -=-，0049y t y -=-，所以204910t x +=，025t y =，所以022021041549493||3OQ y t t tk x t t t ==⋅=≤=++， 当249t =且0t >，即32t =时取得等号， 所以直线OQ 的斜率的最大值为13.解析：21.答案：（1）因为32()1f x x x ax =-++， 所以2()32f x x x a '=-+， 所以Δ412a =-.①当Δ4120a =-≤，即13a ≥时，()0f x '≥在R 上恒成立， 所以函数()f x 在R 上单调递增. ②当Δ4120a =->，即13a <时，解2()320f x x x a '=-+=得到1x =2x =并且当(x ∞∈-时，()0f x '>；当x ∈时，()0f x '<；当)x ∞∈+时，()0f x '>， 所以函数()f x在(∞-、)∞+上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当1[,)3a ∞∈+时，函数()f x 在R 上单调递增.当1(,)3a ∞∈-时，函数()f x在(∞-，)∞+上单调递增，在上单调递减.（2）设曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线的切线为00(,())x f x ，所以20000()32f x x x a x -+=， 整理可得3200210x x --=， 所以2000(1)(21)0x x x -++=， 所以01x =，所以该切线与曲线的切点坐标为(1,1)a +，且0()(1)1f x f a ''==+， 所以该切线方程为(1)y a x =+，令()(1)f x a x =+，得到321(1)x x ax a x -++=+， 所以3210x x x --+=， 所以2(1)(1)0x x -+=， 所以1x =或1x =-，当1x =时，1y a =+；当1x =-时，1y a =--，所以曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标为(1,1)a +、(1,1)a ---. 解析：22.答案：（1）由题意得2cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）.（2）设切点(,)P m n ，所以切线FP 的斜率为14n k m -=-， 直线CP 的斜率为112n k m -=-， 根据圆的切线的定义可得111142n n k k m m --⋅=⋅=---①， 因为切点P 在圆上，则22(2)(1)1m n -+-=②，由①②得52m =，1n =+或52m =，1n =，所以5(,12P 或5(,12，对应的切线方程分别为1y =+或1y =-+，对应的极坐标方程为sin cos 1ρθθ=或sin cos 1ρθθ=-+. 解析：23.答案：（1）(,4][2,)∞∞--+；（2）3(,)2a ∞∈-+. 解析：（1）当1a =时，()6|1||3|6f x x x ≥⇔-++≥， 当3x ≤-时，不等式136x x ⇔---≥，解得4x ≤-；当31x -<<时，不等式136x x ⇔-++≥，解得x ∈∅； 当1x ≥时，不等式136x x ⇔-++≥，解得2x ≥.综上，原不等式的解集为(,4][2,)∞∞--+.（2）若()f x a >-，即min ()f x a >-，因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+（当且仅当()(3)0x a x -+≤时，等号成立），所以min ()3f x a =+，所以|3|a a +>-，即3a a +<或3a a +>-，解得3(,)2a ∞∈-+.。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (文科) word解析版
1版+微信 ⎨ ⎩⎩ ⎩ 普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：第Ⅰ卷1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式:如果事件 A , B 互斥, 那么 P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P ( B )棱柱的体积公式 V = Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. 如果事件 A , B 相互独立, 那么 P ( AB ) = P ( A )P (B )球的体积公式V = 4πR 3. 3其中 R 表示球的半径一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则 A ⋂ B =(A) (-∞, 2] 【答案】D(B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 【解析】因为 A = {x -2 ≤ x ≤ 2},所以 A B = {x -2 ≤ x ≤ 1}，选 D.⎧3x + y - 6 ≥ 0, (2) 设变量 x , y 满足约束条件 ⎪x - y - 2 ≤ 0, ⎪ y - 3 ≤ 0, 则目标函数 z = y - 2x的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 【答案】A【解析】由 z = y - 2x 得 y = 2x + z 。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(新高考Ⅰ)(附答案详解)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（新高考Ⅰ）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.(2021·湖南省·历年真题)设集合A={x|−2<x<4}，B={2,3，4，5}，则A∩B=()A. {2}B. {2,3}C. {3,4}D. {2,3，4}2.(2021·广东省深圳市·期末考试)已知z=2−i，则z(z−+i)=()A. 6−2iB. 4−2iC. 6+2iD. 4+2i3.(2021·湖南省·历年真题)已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A. 2B. 2√2C. 4D. 4√24.(2021·湖南省·历年真题)下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是()A. (0,π2) B. (π2,π) C. (π,3π2) D. (3π2,2π)5.(2021·湖南省·历年真题)已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为()A. 13B. 12C. 9D. 66.(2021·湖南省·历年真题)若tanθ=−2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=()A. −65B. −25C. 25D. 657.(2021·湖南省·历年真题)若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则()A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a8.(2021·湖南省·历年真题)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. (2021·湖南省·历年真题)有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据y 1，y 2，…，y n ，其中y i =x i +c(i =1,2，…，n)，c 为非零常数，则( )A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同10. (2021·湖南省·历年真题)已知O 为坐标原点，点P 1(cosα,sinα)，P 2(cosβ,−sinβ)，P 3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，则( ) A. |OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | B. |AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗11. (2021·湖南省·历年真题)已知点P 在圆(x −5)2+(y −5)2=16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )A. 点P 到直线AB 的距离小于10B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当∠PBA 最小时，|PB|=3√2D. 当∠PBA 最大时，|PB|=3√212. (2021·湖南省·历年真题)在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=1，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则( )A. 当λ=1时，△AB 1P 的周长为定值B. 当μ=1时，三棱锥P −A 1BC 的体积为定值C. 当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP D. 当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·湖南省·历年真题)已知函数f(x)=x 3(a ⋅2x −2−x )是偶函数，则a = ______ ． 14. (2021·湖南省·历年真题)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP.若|FQ|=6，则C 的准线方程为______ ．15. (2021·湖南省·历年真题)函数f(x)=|2x −1|−2lnx 的最小值为______ ． 16. (2021·湖南省·历年真题)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm ×12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm ×12dm ，20dm ×6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1=240dm 2，对折2次共可以得到5dm ×12dm ，10dm ×6dm ，20dm ×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2=180dm 2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______ ；如果对折n 次，那么∑S k n k=1= ______ dm 2．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(2021·湖南省·历年真题)已知数列{a n}满足a1=1，a n+1={a n+1,n为奇数, a n+2,n为偶数.(1)记b n=a2n，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；(2)求{a n}的前20项和．18.(2021·湖南省·历年真题)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．19.(2021·湖南省·历年真题)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC．(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．20.(2021·湖南省·历年真题)如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．(1)证明：OA⊥CD；(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E−BC−D的大小为45°，求三棱锥A−BCD的体积．21.(2021·湖南省·历年真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(−√17,0)，F2(√17,0)，点M满足|MF1|−|MF2|=2.记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设点T在直线x=1上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，2且|TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．22.(2021·湖南省·历年真题)已知函数f(x)=x(1−lnx)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna−alnb=a−b，证明：2<1a +1b<e．答案和解析1.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={x|−2<x<4}，B={2,3，4，5}，∴A∩B={x|−2<x<4}∩{2,3，4，5}={2，3}．故选：B．直接利用交集运算得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解：∵z=2−i，∴z(z−+i)=(2−i)(2+i+i)=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i．故选：C．把z=2−i代入z(z−+i)，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）及其结构特征【解析】解：由题意，设母线长为l，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有2π⋅√2=π⋅l，解得l=2√2，所以该圆锥的母线长为2√2．故选：B．设母线长为l，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：令−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ，k∈Z．则−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z．当k=0时，k∈[−π3,2π3]，(0,π2)⊆[−π3，2π3]，故选：A．本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．本题考查正弦函数单调性，是简单题．5.【答案】C【知识点】椭圆的性质及几何意义、基本不等式【解析】解：F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|=6，所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，取等号，所以|MF1|⋅|MF2|的最大值为9．故选：C．利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．6.【答案】C【知识点】二倍角公式及其应用、三角恒等变换、同角三角函数的基本关系【解析】解：由题意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=tan2θ+tanθ1+tan2θ=4−21+4=25．故选：C．由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值．本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，属于中等题．【知识点】函数与方程的综合应用、导数的几何意义 【解析】解：函数y =e x 是增函数，y′=e x >0恒成立，函数的图象如图，y >0，即取得坐标在x 轴上方，如果(a,b)在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点(a,b)在x 轴或下方时，只有一条切线． 如果(a,b)在曲线上，只有一条切线； (a,b)在曲线上侧，没有切线；由图象可知(a,b)在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知0<b <e a ． 故选：D ．画出函数的图象，判断(a,b)与函数的图象的位置关系，即可得到选项．本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．8.【答案】B【知识点】相互独立事件同时发生的概率【解析】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)， 两点数和为7的所有可能为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)， P(甲)=16，P(乙)=16，P(丙)=56×6=536，P(丁)=66×6=16， A ：P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)， B ：P(甲丁)=136=P(甲)P(丁)， C ：P(乙丙)=136≠P(乙)P(丙)，D ：P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁)， 故选：B ．分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．【知识点】众数、中位数、平均数、方差与标准差【解析】解：对于A ，两组数据的平均数的差为c ，故A 错误； 对于B ，两组样本数据的样本中位数的差是c ，故B 错误； 对于C ，∵标准差D(y i )=D(x i +c)=D(x i )， ∴两组样本数据的样本标准差相同，故C 正确； 对于D ，∵y i =x i +c(i =1,2，…，n)，c 为非零常数，x 的极差为x max −x min ，y 的极差为(x max +c)−(x min +c)=x max −x min ， ∴两组样本数据的样本极差相同，故D 正确． 故选：CD ．利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可．本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识，是基础题．10.【答案】AC【知识点】向量的数量积【解析】解：∵P 1(cosα,sinα)，P 2(cosβ,−sinβ)，P 3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)， ∴OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ,−sinβ)， OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos(α+β),sin(α+β))，OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)， AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα−1,sinα)，AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ−1,−sinβ)，则|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√cos 2α+sin 2α=1，|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√cos 2β+(−sinβ)2=1，则|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，故A 正确；|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(cosα−1)2+sin 2α=√cos 2α+sin 2α−2cosα+1=√2−2cosα， |AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(cosβ−1)2+(−sinβ)2=√cos 2β+sin 2β−2cosβ+1=√2−2cosβ，|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，故B 错误；OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×cos(α+β)+0×sin(α+β)=cos(α+β)， OP 1−⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cosαcosβ−sinαsinβ=cos(α+β)， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故C 正确； OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×cosα+0×sinα=cosα，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cosβcos(α+β)−sinβsin(α+β)=cos[β+(α+β)]=cos(α+2β)，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 错误． 故选：AC ．由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ACD【知识点】直线与圆的位置关系及判定 【解析】解：∵A(4,0)，B(0,2)，∴过A 、B 的直线方程为x4+y2=1，即x +2y −4=0，圆(x −5)2+(y −5)2=16的圆心坐标为(5,5)， 圆心到直线x +2y −4=0的距离d =|1×5+2×5−4|√12+22=11√5=11√55>4，∴点P 到直线AB 的距离的范围为[11√55−4,11√55+4]，∵11√55<5，∴11√55−4<1，11√55+4<10，∴点P 到直线AB 的距离小于10，但不一定大于2，故A 正确，B 错误；如图，当过B 的直线与圆相切时，满足∠PBA 最小或最大(P 点位于P 1时∠PBA 最小，位于P 2时∠PBA 最大)，此时|BC|=√(5−0)2+(5−2)2=√25+9=√34， ∴|PB|=√|BC|2−42=√18=3√2，故CD 正确． 故选：ACD ．求出过AB 的直线方程，再求出圆心到直线AB 的距离，得到圆上的点P 到直线AB 的距离范围，判断A 与B ；画出图形，由图可知，当过B 的直线与圆相切时，满足∠PBA 最小或最大，求出圆心与B 点间的距离，再由勾股定理求得|PB|判断C 与D ． 本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题．12.【答案】BD【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】解：对于A ，当λ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段CC 1上，此时△AB 1P 的周长为AB 1+B 1P +AP ，当点P 为CC 1的中点时，△AB 1P 的周长为√5+√2， 当点P 在点C 1处时，△AB 1P 的周长为2√2+1， 故周长不为定值，故选项A 错误；对于B ，当μ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段B 1C 1上， 因为B 1C 1//平面A 1BC ，所以直线B 1C 1上的点到平面A 1BC 的距离相等， 又△A 1BC 的面积为定值，所以三棱锥P −A 1BC 的体积为定值，故选项B 正确；对于C ，当λ=12时，取线段BC ，B 1C 1的中点分别为M ，M 1，连结M 1M ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线段M 1M 上，当点P 在M 1处时，A 1M 1⊥B 1C 1，A 1M 1⊥B 1B ， 又B 1C 1∩B 1B =B 1，所以A 1M 1⊥平面BB 1C 1C ，又BM 1⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1M 1⊥BM 1，即A 1P ⊥BP ， 同理，当点P 在M 处，A 1P ⊥BP ，故选项C 错误；对于D ，当μ=12时，取CC 1的中点D 1，BB 1的中点D ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则点P 在线的DD 1上，当点P 在点D 1处时，取AC 的中点E ，连结A 1E ，BE ，因为BE ⊥平面ACC 1A 1，又AD 1⊂平面ACC 1A 1，所以AD 1⊥BE ， 在正方形ACC 1A 1中，AD 1⊥A 1E ， 又BE ∩A 1E =E ，BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ，故AD 1⊥平面A 1BE ，又A 1B ⊂平面A 1BE ，所以A 1B ⊥AD 1， 在正方体形ABB 1A 1中，A 1B ⊥AB 1，又AD 1∩AB 1=A ，AD 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1B ⊥平面AB 1D 1， 因为过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P ，故选项D 正确．故选：BD ．判断当λ=1时，点P 在线段CC 1上，分别计算点P 为两个特殊点时的周长，即可判断选项A ；当μ=1时，点P 在线段B 1C 1上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B ；当λ=12时，取线段BC ，B 1C 1的中点分别为M ，M 1，连结M 1M ，则点P在线段M 1M 上，分别取点P 在M 1，M 处，得到均满足A 1P ⊥BP ，即可判断选项C ；当μ=12时，取CC 1的中点D 1，BB 1的中点D ，则点P 在线的DD 1上，证明当点P 在点D 1处时，A 1B ⊥平面AB 1D 1，利用过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个，即可判断选项D ． 本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．13.【答案】1【知识点】函数的奇偶性【解析】解：函数f(x)=x 3(a ⋅2x −2−x )是偶函数， y =x 3为R 上的奇函数，故y =a ⋅2x −2−x 也为R 上的奇函数， 所以y|x=0=a ⋅20−20=a −1=0， 所以a =1． 故答案为：1．利用奇函数的定义即可求解a 的值．本题主要考查利用函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】x =−32【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：由题意，不妨设P 在第一象限，则P(p2,p)，k OP =2，PQ ⊥OP ． 所以k PQ =−12，所以PQ 的方程为：y −p =−12(x −p 2)， y =0时，x =5p 2，|FQ|=6，所以5p2−p2=6，解得p =3， 所以抛物线的准线方程为：x =−32． 故答案为：x =−32．求出点P 的坐标，推出PQ 方程，然后求解Q 的坐标，利用|FQ|=6，求解p ，然后求解准线方程．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15.【答案】1【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值【解析】解：函数f(x)=|2x −1|−2lnx 的定义域为(0,+∞)． 当0<x ≤12时，f(x)=|2x −1|−2lnx =−2x +1−2lnx ， 此时函数f(x)在(0,12]上为减函数，所以f(x)≥f(12)=−2×12+1−2ln 12=2ln2； 当x >12时，f(x)=|2x −1|−2lnx =2x −1−2lnx ， 则f′(x)=2−2x =2(x−1)x，当x ∈(12,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴当x =1时f(x)取得最小值为f(1)=2×1−1−2ln1=1． ∵2ln2=ln4>lne =1，∴函数f(x)=|2x −1|−2lnx 的最小值为1． 故答案为：1．求出函数定义域，对x 分段去绝对值，当0<x ≤12时，直接利用单调性求最值；当x >12时，利用导数求最值，进一步得到f(x)的最小值．本题考查利用导数求最值的应用，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】5 240(3−n+32n)【知识点】数列求和方法【解析】解：易知有20dm ×34dm,10dm ×32dm,5dm ×3dm,52dm ×6dm ，54dm ×12dm ，共5种规格；由题可知，对折k 次共有k +1种规格，且面积为2402k ，故S k =240(k+1)2k，则∑S k n k=1=240∑k+12knk=1，记T n =∑k+12kn k=1，则12T n =∑k+12k+1n k=1， ∴12T n =∑k+12k n k=1−∑k+12k+1n k=1=1+(∑k+22k+1n−1k=1−∑k+22k+1n k=1)−n+12n+1=1+14(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−n+32n+1，∴T n =3−n+32n，∴∑S k n k=1=240(3−n+32n)． 故答案为：5；240(3−n+32n)．依题意，对折k 次共有k +1种规格，且面积为2402k ，则S k =240(k+1)2k，∑S k n k=1=240∑k+12kn k=1，然后再转化求解即可．本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a 1=1，a n+1={a n +1,n 为奇数a n +2,n 为偶数，所以a 2=a 1+1=2，a 3=a 2+2=4，a 4=a 3+1=5， 所以b 1=a 2=2，b 2=a 4=5，b n −b n−1=a 2n −a 2n−2=a 2n −a 2n−1+a 2n−1−a 2n−2=1+2=3， 所以数列{b n }是以b 1=2为首项，以3为公差的等差数列， 所以b n =2+3(n −1)=3n −1． (2)由(1)可得a 2n =3n −1，n ∈N ∗，则a 2n−1=a 2n−2+2=3(n −1)−1+2=3n −2，n ≥2， 当n =1时，a 1=1也适合上式， 所以a 2n−1=3n −2，n ∈N ∗，所以数列{a n }的奇数项和偶数项分别为等差数列，则{a n }的前20项和为a 1+a 2+...+a 20=(a 1+a 3+⋯+a 19)+(a 2+a 4+⋯+a 20)=10+10×92×3+10×2+10×92×3=300．【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(1)由数列{a n }的通项公式可求得a 2，a 4，从而可得求得b 1，b 2，由b n −b n−1=3可得数列{b n }是等差数列，从而可求得数列{b n }的通项公式；(2)由数列{a n }的通项公式可得数列{a n }的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可． 本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由已知可得，X 的所有可能取值为0，20，100，则P(X =0)=1−0.8=0.2， P(X =20)=0.8×(1−0.6)=0.32P(X=100)=0.8×0.6=0.48，所以X的分布列为：(2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)=0×0.2+20×0.32+ 100×0.48=54.4，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y=0)=1−0.6=0.4，P(Y=80)=0.6×(1−0.8)=0.12，P(Y=100)=0.6×0.8=0.48，则Y的期望为E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6，因为E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列【解析】(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；(2)由(1)可得E(X)，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，Y的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得E(Y)，比较E(X)与E(Y)的大小，即可得出结论．本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：由正弦定理知，bsin∠ABC =csin∠ACB=2R，∴b=2Rsin∠ABC，c=2Rsin∠ACB，∵b2=ac，∴b⋅2Rsin∠ABC=a⋅2Rsin∠ACB，即bsin∠ABC=asinC，∵BDsin∠ABC=asinC．∴BD=b；(2)由(1)知BD=b，∵AD=2DC，∴AD=23b，DC=13b，在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BDA=BD 2+AD2−AB22BD⋅AD=b2+(23b)2−c22b⋅23b=13b2−9c212b2，在△CBD中，由余弦定理知，cos∠BDC=BD 2+CD2−BC22BD⋅CD=b2+(13b)2−a22b⋅13b=10b2−9a26b2，∵∠BDA+∠BDC=π，∴cos∠BDA+cos∠BDC=0，即13b2−9c212b2+10b2−9a26b2=0，得11b2=3c2+6a2，∵b2=ac，∴3c2−11ac+6a2=0，∴c=3a或c=23a，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC=a2+c2−b22ac =a2+c2−ac2ac，当c=3a时，cos∠ABC=76>1(舍)；当c=23a时，cos∠ABC=712；综上所述，cos∠ABC=712．【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】(1)利用正弦定理求解；(2)要能找到隐含条件：∠BDA和∠BDC互补，从而列出等式关系求解．本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题．20.【答案】解：(1)证明：因为AB=AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面BCD，所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD；(2)取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，过O作OM//CF与BC交于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(0,−1,0)，C(√32,12,0)，D(0,1，0)，设A(0,0，t)，则E(0,13,2t3)，因为OA ⊥平面BCD ，故平面BCD 的一个法向量为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,t)， 设平面BCE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,43,2t 3)，所以由{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{√32x +32y =043y +2t 3z =0， 令x =√3，则y =−1，z =2t ，故n ⃗ =(√3,−1,2t )， 因为二面角E −BC −D 的大小为45°，所以|cos <n ⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=t√4+4t 2=√22，解得t =1，所以OA =1，又S △OCD =12×1×1×√32=√34，所以S △BCD =√32，故V A−BCD =13⋅S △BCD ⋅OA =13×√32×1=√36．【知识点】线面垂直的判定、圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)利用等腰三角形中线就是高，得到AO ⊥BD ，然后利用面面垂直的性质，得到AO ⊥平面BCD ，再利用线面垂直的性质，即可证明AO ⊥CD ；(2)建立合适的空间直角坐标系，设A(0,0，t)，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求出t 的值，然后利用锥体的体积公式求解即可．本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)由双曲线的定义可知，M 的轨迹C 是双曲线的右支，设C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0),x >0， 根据题意{c =√172a =2c 2=a 2+b 2，解得{a =1b =4c =√17，∴C 的方程为x 2−y 216=1(x >0)；(2)设T(12,m)，直线AB 的参数方程为{x =12+tcosθy =m +tsinθ，将其代入C 的方程并整理可得，(16cos 2θ−sin 2θ)t 2+(16cosθ−2msinθ)t −(m 2+12)=0，由参数的几何意义可知，|TA|=t 1，|TB|=t 2，则t 1t 2=m 2+12sin 2θ−16cos 2θ=m 2+121−17cos 2θ， 设直线PQ 的参数方程为{x =12+λcosβy =m +λsinβ，|TP|=λ1，|TQ|=λ2，同理可得，λ1λ2=m 2+121−17cos 2β，依题意，m 2+121−17cos 2θ=m 2+121−17cos 2β，则cos 2θ=cos 2β，又θ≠β，故cosθ=−cosβ，则cosθ+cosβ=0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．【知识点】直线与双曲线的位置关系【解析】(1)M 的轨迹C 是双曲线的右支，根据题意建立关于a ，b ，c 的方程组，解出即可求得C 的方程；(2)设出直线AB 的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得|TA|⋅|TB|，同理求得|TP|⋅|TQ|，再根据|TA|⋅|TB|=|TP|⋅|TQ|，即可得出答案．本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线参数方程的运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】(1)解：由函数的解析式可得f′(x)=1−lnx −1=−lnx ，∴x ∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)单调递增， x ∈(1,+∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减， 则f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减．(2)证明：由blna −alnb =a −b ，得−1a ln 1a +1b ln 1b =1b −1a ， 即1a (1−ln 1a )=1b (1−ln 1b )，由(1)f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减， 所以f(x)max =f(1)=1，且f(e)=0， 令x 1=1a ，x 2=1b ，则x 1，x 2为f(x)=k 的两根，其中k ∈(0,1)． 不妨令x 1∈(0,1)，x 2∈(1,e)，则2−x 1>1，先证2<x 1+x 2，即证x 2>2−x 1，即证f(x 2)=f(x 1)<f(2−x 1)，令ℎ(x)=f(x)−f(2−x)，则ℎ′(x)=f′(x)+f′(2−x)=−lnx−ln(2−x)=−ln[x(2−x)]在(0,1)单调递减，所以ℎ′(x)>ℎ′(1)=0，故函数ℎ(x)在(0,1)单调递增，∴ℎ(x1)<ℎ(1)=0.∴f(x1)<f(2−x1)，∴2<x1+x2，得证．同理，要证x1+x2<e，即证1<x2<e−x1，根据(1)中f(x)单调性，即证f(x2)=f(x1)>f(e−x1)，令φ(x)=f(x)−f(e−x)，x∈(0,1)，则φ′(x)=−ln[x(e−x)]，令φ′(x0)=0，x∈(0,x0)，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，x∈(x0,1)，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，又x>0，f(x)>0，且f(e)=0，故x→0，φ(0)>0，φ(1)=f(1)−f(e−1)>0，∴φ(x)>0恒成立，x1+x2<e得证，则2<1a +1b<e．【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性，(2)利用同构关系将原问题转化为极值点偏移的问题，构造对称差函数分别证明左右两侧的不等式即可．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的数学思想，同构的数学思想等知识，属于难题．。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案(新高考1卷,适用于山东、湖北、江苏、河北等
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝{x|−2<x<4}，B＝{2， 3， 4， 5}，则A∩B＝( )A．{2}B．{2， 3}C．{3， 4}D．{2， 3， 4}2．已知z＝2−i，则z(z̄＋i)＝( )A．6−2i B．4−2i C．6＋2i D．4＋2i3．已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A．2B．2√2C．4D．4√24．下列区间中，函数f(x)＝7sin(x−π6)单调递增的区间是( )A．(0， π2)B．(π2， π)C．(π， 3π2)D．(3π2， 2π)5．已知F1，F2是椭圆C： x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为( )A．13B．12C．9D．6 6．若tanθ＝−2，则sinθ(1＋sin2θ)sinθ＋cosθ＝( )A．−65B．−25C．25D．657．若过点(a， b)可以作曲线y＝e x的两条切线，则( )A．e b<a B．e a<b C．0<a<e b D．0<b<e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷)数学试题(文科)解析版
普通高等学校统一考试（大纲）文科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M N 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．72.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A ．45 B ．35 C ．35- D ．45-3.不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >4.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ） A ．16 B ．36 C ．13D ．335.函数3ln(1)(1)y x x =+>-的反函数是（ ） A ．3(1)(1)x y e x =->- B ．3(1)(1)xy e x =->- C ．3(1)()x y e x R =-∈ D ．3(1)()xy e x R =-∈6.已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -•=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．649. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π11.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为23，则C的焦距等于（ ）A ．2B ．22C ．4D ．212.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）14.函数cos 22sin y x x =+的最大值为 .15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为.16. 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本小题满分10分）数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.解：（1）由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2- a n+1=a n+1-a n +2，即b n+1=b n +2,又b 1=a 2-a 1=1. 所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列；（1） 由（1）得b n =1+2（n-1），即a n+1-a n =2n-1.于是111()(21)nnk k k k a a k +==-=-∑∑于是a n -a 1=n 2-2n ，即a n =n 2-2n +1+a 1.又a 1=1，所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.（18）（本小题满分10分）△ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知3acosC=2ccosA,tanA=13,求B.解：由题设和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA, 所以3tanAcosC=2sinC.因为tanA=13，所以cosC=2sinC.tanC=1 2 .所以tanB=tan[180︒-(A+C)]=-tan(a+c)=tan tan1tan tanA CA C+--=-1,即B=135︒.（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90︒，BC=1，AC=CC1=2.(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1-AB-C的大小.解法一：（1）∵A1D⊥平面ABC, A1D⊂平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B.(2) BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥C1C,E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1,又直线A A1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离，A13，因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D=A13作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角，由AD=22111AAA D -=,得D 为AC 的中点，DF=152AC BC AB ⨯⨯=,tan ∠A 1FD=115A DDF=,所以二面角A 1-AB-C 的大小为arctan 15. 解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-x y z ，由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内. （1）设A 1（a ，0，c ），由题设有a ≤2，A （2,0,0）B （0,1,0），则AF =(-2，1，0),1(2,0,0),(2,0,)AC AA a c =-=-，111(4,0,),(,1,)AC AC AA a c BA a c =+=-=-，由12AA =22(2)2a c -+=，即2240a a c -+=，于是11AC BA ⋅=2240a a c -+=①,所以11AC BA ⊥.（2）设平面BCC 1B 1的法向量(,,)m x y z =，则m CB ⊥，1,m CB m BB ⊥⊥,即10,0m CB m BB ⋅=⋅=，因11(0,1,0),(2,0,)CB BB AA a c ==-，故y=0，且（a-2）x -c z =0，令x =c ，则z =2-a ，(,0,2)m c a =-，点A到平面BCC 1B 1的距离为22cos ,(2)CA m CA m CA c mc a ⋅⋅<>===+-，又依题设，点A 到平面BCC 1B 1的距3c= 3.代入①得a=3（舍去）或a=1.于是1(13)AA =-，设平面ABA 1的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB⊥⊥,即10,0n AA n AB ⋅=⋅=.30p r -=且-2p +q =0，令p =3，则q =23，r=1，(3,23,1)n =，又(0,0,1)p =为平面ABC 的法向量，故cos 1,4n p n p n p⋅<>==，所以二面角A 1-AB-C 的大小为arccos 1420. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值.解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i=0,1,2.B 表示事件：甲需使用设备.C 表示事件：丁需使用设备.D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E 表示事件：同一工作日4人需使用设备.F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k. （1）D=A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·CP(B)=0.6，P(C)=0.4，P(A i )=220.5,0,1,2iC i ⨯=. 所以P(D)=P(A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·C )= P(A 1·B ·C)+P(A 2·B)+P(A 2·B ·C ) = P(A 1P)·P(B)·P(C)+P(A 2)·P(B)+P(A 2)·p (B )·p (C )=0.31. (2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1.又E=B ·C ·A 2,P(E)=P(B ·C ·A 2)= P(B)·P(C)·P(A 2)=0.06； 若k=4，则P(F)=0.06<0.1. 所以k 的最小值为3.21. （本小题满分12分）函数f(x )=a x 3+3x 2+3x (a ≠0).（1）讨论函数f(x )的单调性；（2）若函数f(x )在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.解：（1）2()363f x ax x '=++，2()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a ≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当a=1，x =-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.（ii ）由于a ≠0，故当a<1时，()0f x '=有两个根：12x x ==， 若0<a<1,则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '>，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '<，故f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；（2）当a>0，x >0时, ()0f x '>，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. 若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得504a -≤<. 综上，a 的取值范围是5[,0)(0,)4-+∞. 22. （本小题满分12分）已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.解：（1）设Q （x 0，4），代入由22(0)y px p =>中得x 0=8p， 所以088,22p p PQ QF x p p ==+=+，由题设得85824p p p+=⨯，解得p =－2（舍去）或p =2.所以C 的方程为24y x =.（2）依题意知直线l 与坐标轴不垂直，故可设直线l 的方程为1x my =+，（m ≠0）代入24y x =中得2440y my --=，设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=－4，故AB 的中点为D （2m 2+1,2m ），2124(1)AB y m =-=+，有直线l '的斜率为－m ，所以直线l '的方程为2123x y m m=-++，将上式代入24y x =中，并整理得2244(23)0y y m m+-+=. 设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则234344,4(23)y y y y m m+=-=-+. 故MN的中点为E（23422223,),m MN y y m m ++-=-=）. 由于MN 垂直平分AB ，故A,M,B,N 四点在同一个圆上等价于12AE BE MN ==,从而2221144AB DE MN +=,即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m+++++++=，化简得 m 2-1=0，解得m =1或m =－1，所以所求直线l 的方程为x -y-1=0或x +y-1=0.。
2021年高考数学一模试卷(文科)含解析
2021年高考数学一模试卷（文科）含解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．在复平面内，复数z=1﹣2i对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）2．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±2x D．y=±4x3．记函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）对应的曲线在点（x0，f（x））处的切线方程为y=﹣x+1，则（）A．f′（x0）=2 B．f′（x）=1 C．f′（x）=0 D．f′（x）=﹣14．已知命题p：直线a，b不相交，命题q：直线a，b为异面直线，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．在区间[0，2]上随机取一个实数x，则事件“3x﹣1＜0”发生的概率为（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为4，则图中判断框内①处应填（）A．2 B．3 C．4 D．57．设集合，则下列命题中正确的是（）A．∀（x，y）∈D，x﹣2y≤0 B．∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2C．∀（x，y）∈D，x≥2 D．∃（x，y）∈D，y≤﹣18．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用a n，b n分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B 种菜的学生人数，若a1=300，则a n+1与a n的关系可以表示为（）A．a n+1=+150 B．a n+1=+200C．a n+1=+300 D．a n+1=+180二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合A={1}，B={﹣1，2m﹣1}，若A⊊B，则实数m的值为．10．把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为．11．在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=．12．已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），则a4=，a xx=．x 1 2 3f（x） 3 2 113．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．14．C是曲线y=（﹣1≤x≤0）上一点，CD垂直于y轴，D是垂足，点A的坐标是（﹣1，0）．设∠CAO=θ（其中O表示原点），将AC+CD表示成关于θ的函数f（θ），则f（θ）=，f（θ）的最大值为．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．下面的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+cosA=2．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）．17．如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）求证：CB⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BOD的体积；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．18．已知x=1是的一个极值点（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=4有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．20．已知等差数列{a n}中，a1=5，7a2=4a4，数列{b n}前n项和为S n，且S n=2（b n﹣1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）把数列{a n}和{b n}的公共项从小到大排成新数列{d n}，试写出d1，d2，并证明{d n}为等比数列．xx年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．在复平面内，复数z=1﹣2i对应的点的坐标为（）A．（1，2） B．（2，1） C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出；【解答】解：复数z=1﹣2i对应的点的坐标为（1，﹣2），故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．2．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±2x D．y=±4x【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把双曲线，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线，其渐近线方程，整理得y=±．故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．3．记函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，则（）A．f′（x0）=2 B．f′（x0）=1 C．f′（x0）=0 D．f′（x0）=﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；直线与圆．【分析】由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f （x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线斜率为f′（x0），再由切线方程，即可求得切线的斜率．【解答】解：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线斜率为f′（x0），曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，即有f′（x0）=﹣1．故选D．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查直线的斜率的求法，属于基础题．4．已知命题p：直线a，b不相交，命题q：直线a，b为异面直线，则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若直线a，b不相交，则直线a，b为异面直线或者为平行直线，故p是q的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键．5．在区间[0，2]上随机取一个实数x，则事件“3x﹣1＜0”发生的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】利用几何概型求概率．先解不等式，再利用解得的区间长度与区间[0，2]的长度求比值即得．【解答】解：由几何概型可知，事件“3x﹣1＜0”可得x，∴在区间[0，2]上随机取一个实数x，则事件“3x﹣1＜0”发生的概率为：P（3x﹣1＜0）=．故选：D．【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．6．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为4，则图中判断框内①处应填（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当a=1时，b=1不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b=2，a=2；当a=2时，b=2不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b=4，a=3；当a=3时，b=4满足输出条件，故应退出循环，故判断框内①处应填a≤2，故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．设集合，则下列命题中正确的是（）A．∀（x，y）∈D，x﹣2y≤0 B．∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2C．∀（x，y）∈D，x≥2 D．∃（x，y）∈D，y≤﹣1【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用二元一次不等式组表示平面区域的性质分别进行判断即可．【解答】解：集合对应的平面区域如图：由图象知对应的区域在x+2y=﹣2的上方，y=﹣1的上方，x﹣2y=0的上方和下方都有，x=2的左右都有，故满足条件的是x+2y≥﹣2，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．8．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用a n，b n分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B 种菜的学生人数，若a1=300，则a n+1与a n的关系可以表示为（）A．a n+1=+150 B．a n+1=+200C．a n+1=+300 D．a n+1=+180【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列递推式，结合a n+b n=500，两式联立消去b n得数列{a n}的递推公式．【解答】解：依题意得，消去b n得：a n+1=a n+150．故选：A．【点评】本题考查数列在实际问题中的应用，考查学生对数学知识的应用能力，关键是对题意的理解，是中档题二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合A={1}，B={﹣1，2m﹣1}，若A⊊B，则实数m的值为1．【考点】子集与真子集．【专题】集合．【分析】根据题意，若A⊊B，必有1=2m﹣1，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：若A⊊B，必有1=2m﹣1，解可得m=1，验证可得符合集合元素的互异性，故答案为：1．【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性．10．把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为y=sin2x．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数解析式即可．【解答】解：把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为：=sin2x故答案为：y=sin2x【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移x加与减，上下平移，y的另一侧加与减．11．在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=4．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，利用•=0，列出方程，求出k的值．【解答】解：如图所示，在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，解得k=4．故答案为：4．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．12．已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），则a4=1，a xx=3．x 1 2 3f（x） 3 2 1【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），由表格可得：a2=f（a1）=f（3）=1，a3=f（a2）=f（1）=3，…，可得a n+2=a n，即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），由表格可得：a2=f（a1）=f（3）=1，a3=f（a2）=f（1）=3，a4=f（a3）=f（3）=1…，∴a n+2=a n，∴a xx=a1007×2+1=a1=3．故答案分别为：1；3．【点评】本题考查了函数的性质、数列的周期性，考查了计算能力，属于基础题．13．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】问题等价于在区间[﹣2，3]上函数f（x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，由函数的性质可作出它们的图象，由斜率公式可得边界，进而可得答案．【解答】解：在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价于在区间[﹣2，3]上函数f（x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，由f（x+2）=f（x）可得函数的周期为2，且为偶函数，函数y=a（x+2）的图象为过定点（﹣2，0）且斜率为a的直线，作出它们的图象可得：由图图可知，当直线介于CB和CA之间符合题意，而由斜率公式可得k CB==，k CA==，故实数a的取值范围是：，故答案为：【点评】本题考查方程根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．14．C是曲线y=（﹣1≤x≤0）上一点，CD垂直于y轴，D是垂足，点A的坐标是（﹣1，0）．设∠CAO=θ（其中O表示原点），将AC+CD表示成关于θ的函数f（θ），则f（θ）=2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，），f（θ）的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】由题意作出图形，再连结CO，从而可得点C的坐标为（﹣cos（180°﹣2θ），sin （180°﹣2θ））；从而化简可得f（θ）=2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，）；再由二倍角公式化简为二次函数的形式，从而求最大值．【解答】解：如右图，连结CO，由图可知，θ∈[，），∵∠CAO=θ，∴∠COA=180°﹣2θ，∴点C的坐标为（﹣cos（180°﹣2θ），sin（180°﹣2θ））；即点C的坐标为（cos2θ，sin2θ）；∴AC===2|cosθ|=2cosθ，CD=|cos2θ|=﹣cos2θ，故f（θ）=2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，）；f（θ）=2cosθ﹣cos2θ=﹣2cos2θ+2cosθ+1=﹣2（cosθ﹣）2+，故当cosθ=，即θ=时，f（θ）有最大值．故答案为：2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，）；．【点评】本题考查了三角函数的性质与应用及三角恒等变换的应用，同时考查了函数的最值的求法，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．下面的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据中位数平均数的定义求出即可；（Ⅱ）分别计算成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名的取法种数，和恰有2名学生在乙组取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案【解答】解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9，12，10+x，24，27．乙组五名学生的成绩为9，15，10+y，18，24．因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8所以10+x=13，9+15+10+y+18+24=16.8×5所以x=3，y=8；（Ⅱ）成绩不低于且不超过的学生中共有5名，其中甲组有2名，用A，B表示，乙组有3名，用a，b，c表示，从中任意抽取3名共有10种不同的抽法，分别为（A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（a，b，c）恰有2名学生在乙组共有6种不同抽法，分别为（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c）所以概率为P==．【点评】本题考查了古典概型概率计算公式，茎叶图，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+cosA=2．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）利用两角和公式对已知等式化简求得sin（A+）的值，进而求得A．（2）选择①②利用正弦定理先求得sinC的值，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积．【解答】解：（1）依题意得2sin（A+）=2，即sin（A+）=1，∵0＜A＜π，∴＜A+＜，∴A+=，∴A=．（2）选择①②由正弦定理=，得b=•sinB=2，∵A+B+C=π，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+，∴S=absinC=×2×2×=+1．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题中重要的两个定理，应熟练掌握．17．如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）求证：CB⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BOD的体积；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用等边三角形的性质可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE⊥平面ABC，进而得出结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，利用转换底面的方法，即可求三棱锥的体积；（Ⅲ）存在，G为劣弧的中点．连接OG，OF，FG，通过证明平面OFG∥平面ACD，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：在△AOD中，∵，OA=OD，∴△AOD为正三角形，又∵E为OA的中点，∴DE⊥AO…∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，∴DE⊥平面ABC．…又CB⊂平面ABC，∴CB⊥DE．…5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，∴DE为三棱锥D﹣BOC的高．∵D为圆周上一点，且AB为直径，∴，在△ABD中，由AD⊥BD，，AB=2，得AD=1，．…∵，∴==．…（Ⅲ）解：存在满足题意的点G，G为劣弧的中点．…证明如下：连接OG，OF，FG，易知OG⊥BD，又AD⊥BD∴OG∥AD，∵OG⊄平面ACD，∴OG∥平面ACD．…在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，∴OF∥AC，OF⊄平面ACD，∴OF∥平面ACD，…∵OG∩OF=O，∴平面OFG∥平面ACD．又FG⊂平面OFG，∴FG∥平面ACD．…【点评】本题考查线线、线面、面面关系，考查线线垂直的判定、面面垂直的性质、线面平行的判定及几何体高与体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及分析探究问题和解决问题的能力．18．已知x=1是的一个极值点（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）先求出f′（x），再由x=1是的一个极值点，得f′（1）=0，由此能求出b．（II）由f′（x）=2﹣+＜0，得，再结合函数的定义域能求出函数的单调减区间．（III）g（x）=f（x）﹣=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），故2x0+lnx0﹣5=（2+）（x0﹣2），由此能够推导出过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．【解答】解：（Ⅰ）∵x=1是的一个极值点，f′（x）=2﹣+，∴f′（1）=0，即2﹣b+1=0，∴b=3，经检验，适合题意，∴b=3．（II）由f′（x）=2﹣+＜0，得，∴﹣，又∵x＞0（定义域），∴函数的单调减区间为（0，1]．（III）g（x）=f（x）﹣=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），∴，即2x0+lnx0﹣5=（2+）（x0﹣2），∴lnx0+﹣5=（2+）（x0﹣2），∴lnx0+﹣2=0，令h（x）=lnx+，，∴x=2．∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∵h（）=2﹣ln2＞0，h（2）=ln2﹣1＜0，h（e2）=＞0，∴h（x）与x轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．【点评】本题考查实数值的求法、求函数的减区间、判断过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=4有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据△MF1F2的周长等于6，再由离心率为可求出a的值，进而得到b的值，写出椭圆方程．（2）先设M的坐标为（x0，y0）根据题意满足椭圆方程，利用圆M与l有公共点可得到M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y02+10x0﹣15≥0，再由即可消去y0，求出x0的取值范围，再表示出△MF1F2面积即可求出最大值．【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．所以c=1，a=2．所以b2=3．所以椭圆C的方程为．（2）设点M的坐标为（x0，y0），则．由于直线l的方程为x=4，圆M与l有公共点，所以M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R．因为R2=MF12=（x0+1）2+y02，所以（4﹣x0）2≤（x0+1）2+y02，即y02+10x0﹣15≥0．又因为，所以3﹣+10x0﹣15≥0．解得．又﹣2＜x0＜2，则，所以0＜|y0|≤因为△MF1F2面积为|y0||F1F2|=|y0|，所以当|y0|=时，△MF1F2面积有最大值．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点，每年必考，经常以压轴题的形式出现，要想答对此题必须熟练掌握其基础知识，对各种题型多加练习．20．已知等差数列{a n }中，a 1=5，7a 2=4a 4，数列{b n }前n 项和为S n ，且S n =2（b n ﹣1）（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列，求{c n }的前n 项和T n ；（Ⅲ）把数列{a n }和{b n }的公共项从小到大排成新数列{d n }，试写出d 1，d 2，并证明{d n }为等比数列．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=5，7a 2=4a 4，利用等差数列的通项公式解出d ，即可得出a n ．由数列{b n }前n 项和为S n ，S n =2（b n ﹣1）（n ∈N ）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出b n ．（II ）由数列，利用等差数列与等比数列的前n 项和公式，先求出当n 为偶数时，T n =（a 1+a 3+…+a n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b n ）．当n （n ≥3）为奇数时，T n =T n ﹣1+a n ，即可得出．（III ）由a n =3n+2，b n =2n ．可得d 1=8=a 2=b 3，d 2=d 2=a 10=b 5=32．假设d n =a m =b k =2k （k ∈N *）．可得3m+2=2k ，分别探究b k+1，b k+2是否是数列{a n }中的项，即可证明．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=5，7a 2=4a 4，∴7（5+d ）=4（5+3d ），解得d=3．∴a n =5+3（n ﹣1）=3n+2．∵数列{b n }前n 项和为S n ，S n =2（b n ﹣1）（n ∈N *）．∴当n=1时，b 1=2（b 1﹣1），解得b 1=2．b n =S n ﹣S n ﹣1=2b n ﹣2b n ﹣1，化为b n =2b n ﹣1， ∴数列{b n }是等比数列，首项为2，公比为2，∴b n =2n ．（II ）∵数列，∴当n 为偶数时，T n =（a 1+a 3+…+a n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b n ）=+=．精品文档实用文档 当n （n ≥3）为奇数时，T n =T n ﹣1+a n =+3n+2=++，经检验n=1时上式也成立．∴T n =．（III ）由a n =3n+2，b n =2n ．∴d 1=8=a 2=b 3，d 2=d 2=a 10=b 5=32．假设d n =a m =b k =2k （k ∈N *）．则3m+2=2k ，∴b k+1=2k+1=2×2k =2（3m+2）=3（2m+1）+1不是数列{a n }中的项；b k+2=4×2k =4（3m+2）=3（4m+2）+2，是数列{a n }中的项．∴d n+1=a 4m+2=b k+2=2k+2，∴==4．∴数列{d n }为等比数列，首项为8，公比为4．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．34743 87B7 螷34296 85F8 藸30278 7646 癆\ 38592 96C0 雀21432 53B8 厸U37337 91D9 釙20093 4E7D 乽33403 827B 艻P 31001 7919 礙。
2021年高三一模考试数学(文)试题 Word版含答案
2021年高三一模考试数学（文）试题 Word 版含答案数 学（文科） xx.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合，集合，若，则实数的范围是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）3．关于函数和，下列说法中正确的是（ ） （A ）都是奇函数（B ）都是偶函数（C ）函数的值域为 （D ）函数的值域为4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为______. （A ）（B ） （C ） （D ）2．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限5. 设分别为直线和圆上的点，则的最小值为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）6．设函数的定义域为，则“，”是“函数为增函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）8. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）（A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知平面向量满足，，那么____.10．函数的最小正周期是____.11．在区间上随机取一个实数x，则x使不等式成立的概率为____.12．已知双曲线C：的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线C的离心率为，那么双曲线C的方程为____；渐近线方程是____.13. 设函数则____；函数的极小值是____.14. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为元.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在中，，，，点在线段上，且.（Ⅰ）求的长； （Ⅱ）求的值.16．（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为，且满足，． （Ⅰ）求数列的通项公式及；（Ⅱ）若（）成等比数列，求的最小值．17．（本小题满分14分）如图，在五面体中，四边形为正方形，， 平面平面，且,，点G 是EF 的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若点在线段上，且，求证：//平面；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到五点的距离相等，请指出点的位置. (只需写出结论) 18．（本小题满分13分）xx 年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）FCA DBG EB C AD已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶19．（本小题满分14分）设点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，已知椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，记三条边所在直线的斜率的乘积为，求的最大值.20．（本小题满分13分）设，函数，函数，.（Ⅰ）判断函数在区间上是否为单调函数，并说明理由；（Ⅱ）若当时，对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，若存在直线（），使得曲线与曲线分别位于直线的两侧，写出的所有可能取值. (只需写出结论)北京市西城区xx年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科）xx.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．C 4．B5．A 6．B 7．D 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．10．11．12．13．14．注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为，，，所以，，，……………… 3分又因为，所以，. ……………… 4分在中，由余弦定理，得……………… 7分，所以 . ……………… 9分（Ⅱ）在中，由正弦定理，得，所以，……………… 12分所以 . ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设公差为，由题意，得……………… 4分解得，，…………………5分所以，………………… 6分．………………… 7分（Ⅱ）解：因为成等比数列，所以，………………… 9分即，………………… 10分化简，得，………………… 11分考察函数，知在上单调递增，又因为，，，FCADBG EMN 所以当时，有最小值6． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为，点G 是EF 的中点，所以 . …………………1分 又因为 ，所以 . …………………2分因为平面平面，且平面平面， 平面，所以 平面. …………………4分 因为 平面，所以 . ………………5分（Ⅱ）证明：如图，过点作//，且交于点，连结，因为 ，所以， ………………6分因为 ，点G 是EF 的中点， 所以 ，又因为 ，四边形ABCD 为正方形， 所以 //，.所以四边形是平行四边形.所以 . ……………8分 又因为平面，平面，所以 //平面. ………………11分 （Ⅲ）解：点为线段的中点. ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， ………………1分 由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为，，（人）.所以票价小于5元的有（人）． ………………2分故120人中票价小于5元的频率是．所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率． ………………4分（Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， ………………5分由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. ………6分记票价为3元的同学为，票价为4元的同学为，票价为5元的同学为， 从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：， (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)d e f c d e f d e f e a a a b b b b c c c d , . ………………8分其中事件的结果有4种，它们是： . ………9分 所以这2人的票价和恰好为8元的概率为.……………… 10分（Ⅲ）解： ． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设，由题意，得，所以 ，. …………………2分 则椭圆方程为 ， 又点在椭圆上， 所以 ，解得，故椭圆方程为 . ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，直线的斜率存在，右焦点， ……………… 6分 设直线的方程为，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ……… 7分 由 消去，得 . ……………… 8分由题意，可知，则有 ，， ……… 9分 所以直线的斜率，直线的斜率， ………… 10分所以2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++. ………………12分即，所以当时，三条边所在直线的斜率的乘积有最大值. ……14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：函数在区间上不是单调函数. …………………1分求导，得，…………………2分令，解得.当变化时，与的变化如下表所示：所以函数在区间上为单调递增，区间上为单调递减.所以函数在区间上不是单调函数. …………………4分（Ⅱ）解：当时，函数，，.由题意，若对任意的，都有恒成立，只需当时，. …………………5分因为.令，解得.当变化时，与的变化如下表所示：所以. …………………7分又因为.令，解得.当变化时，与的变化如下表所示：精品文档所以. …………………9分综上所述，得. …………………10分（Ⅲ）解：满足条件的的取值集合为. …………………13分28042 6D8A 涊meNX35463 8A87 誇35017 88C9 裉30998 7916 礖f27595 6BCB 毋2\a实用文档。
2021年高三第一次模拟数学(文)试题 含答案
2021年高三第一次模拟数学（文）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．） 1.若集合{}{}22|228,|20x A x Z B x R x x +=∈<≤=∈->,则所含的元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．复数,则对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若则“”是“方程表示开口向右的抛物线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为( )A ．B ．C ．D ．5．已知等比数列,且则的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．106．如图所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图， P 表示估计的结果，则图中空白框内应填入 A. B. C. D.7. 0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ． B ． C ． D ． 8．已知,满足约束条件,若的最小值为,则（ ）A ．B ．C ．D ．29．设函数是定义在R 上的奇函数，当时，则的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）11..6225..36A B C D11．设P 是双曲线上除顶点外的任意一点，、分别是双曲线的左、右焦点，△的内切圆与边相切于点M ，则A ．5B ．4C ．2D ．1 12．已知数列满足：(m 为正整数),则m 的所有可能值为A. 2或4或8B. 4或5或8C. 4或5或32D. 4或5或16第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．三棱锥中，平面，，则该三棱锥外接球的表面积为14．的外接圆半径为1，圆心为，且，则的值为15．如图，在中，是边上一点，，则的长为 正视图 侧视图俯视图11116. 已知，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=_______。
2021年高三数学第一次模拟考试试题 文(含解析)
2021年高三数学第一次模拟考试试题文（含解析）【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、频率分布直方图及独立性检验思想，不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【题文】1. 已知集合，，则（）A． B． C． D．【知识点】集合A1【答案解析】D解析：因为，，所以，选D.【思路点拨】一般遇到不等式的解集，可先对不等式求解再判断集合之间的关系.【题文】2.已知复数，则它的共轭复数等于( )A． B． C． D．【知识点】复数的概念与运算L4【答案解析】C解析：因为，所以，则选C.【思路点拨】复数的概念及代数运算是常考知识点，熟记运算规则是解题的关键.【题文】3.命题“”的否定是（）A ．B ．C ．D ．【知识点】特称命题与全称命题A3【答案解析】B 解析：根据特称命题的否定是全称命题，其否定格式是特称变全称，结论变否定，所以选B.【思路点拨】熟悉特称命题与全称命题的否定格式是快速判断的关键. 【题文】4．已知是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（ ） ①在一条直线, ③存在两条平行直线； ②存在一个平面； ④存在两条异面直线.A.①③B.②④C.①④D.②③ 【知识点】两面平行的判定G4【答案解析】C 解析：由垂直同一直线的两面平行知①正确，排除B,D ，两个平面内各有一个直线与另一个面平行，两面还可能相交所以③错误，排除A ，则选C. 【思路点拨】对于多项选择问题，可用排除法进行判断. 【题文】5．已知平面向量的夹角为且，在中，，，为中点，则( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【知识点】向量的数量积F3 【答案解析】A 解析：因为，所以()22222AD m n m n=+=-== .【思路点拨】求向量的模通常利用模的平方等于向量的平方进行转化求值.【题文】6．能够把圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【知识点】奇函数、圆B4 H3【答案解析】C 解析：若为和谐函数，则该函数为过原点的奇函数，显然A,B,D 都满足条件，而C 不是奇函数，所以不是圆O 的和谐函数，所以答案为C.【思路点拨】由“和谐函数”的定义及选项知，该函数若为“和谐函数”，其函数须为过原点的奇函数，由此逐项判断即可得到答案.【题文】7.已知sin α＋2cosα＝3，则tan α＝( ) A ．22 B ． 2 C ．－ 22D ．－ 2 【知识点】同角三角函数基本关系式C2 【答案解析】A 解析：因为 sin α＋2cosα＝3，所以，得，整理得)211,tan 2ααα-=-=，所以选A.【思路点拨】本题主要考查的是同角三角函数基本关系式及其应用，可把已知通过两边平方转化为熟悉的正弦余弦二次式，再化切求值. 【题文】8．已知等比数列的前An 项和为，且，，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【知识点】等比数列D3【答案解析】D解析：设等比数列的公比为q，则，所以1111121122112nnnnnaSaa-⎛⎫⎛⎫-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭-==-⎛⎫⎪⎝⎭，所以选D.【思路点拨】抓住等比数列特征直接求出公比，再利用前n项和与通项公式特征求其比值. 【题文】9.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A． B. C．D.【知识点】程序框图L1【答案解析】D解析：依次执行循环结构得：第一次执行s=,n=2，第二次执行s=+,n=3，第三次执行s= s=+,n=4，因为输出的值为4，所以，则选D.【思路点拨】对于循环结构的程序框图，可依次执行循环体，直到跳出循环，再进行解答.【题文】1 0．已知实数满足，则的最大值为（）A．11 B．12 C．13 D．14【知识点】二元一次不等式组表示的平面区域E5【答案解析】D解析：不等式组表示的平面区域为如图三角形ABC表示的区域，则，显然点A到直线3x+4y﹣7=0的距离最大，又A点坐标为(﹣1, ﹣1)，所以A到直线3x+4y﹣7=0的距离为，则所求的最大值为14，所以选D..【思路点拨】一般遇到不等式组表示的平面区域问题时经常利用其几何意义数形结合解答. 【题文】11．设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使=,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )(A) (B) (C) (D) 【知识点】双曲线的几何性质H6【答案解析】A解析：由双曲线的基本性质对称轴是坐标轴，这时只须考虑双曲线的焦点在x轴的情形．因为有且只有一对相较于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，所以直线A1B1和A2B2，关于x轴对称，并且直线A1B1和A2B2，与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意．则有，得，所以选A. 【思路点拨】本题抓住双曲线的对称性得到两直线的相互位置，再结合双曲线的渐近线确定两直线的变化范围，进而得到其离心率的范围.【题文】12．已知函数()3111,0,36221,,112x xf xxxx⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈⎥⎪+⎝⎦⎩，函数若存在，使得成立，则实数的取值范围是（）[A. B. C. D.【知识点】函数的值域B3【答案解析】B解析：因为当时，，所以此时函数单调递增，其值域为，当x时，值域为，所以函数f(x)在其定义域上的值域为[0,1]，又函数g(x)在区间[0,1]上的值域为[﹣2a+2, ﹣+2]，若存在，使得成立，则解得，所以选B .【思路点拨】本题的本质是两个函数的值域交集非空，可通过求值域解答.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题（每题5分，共20分。