代数几何综合压轴题汇编(含答案)

代数几何综合压轴题真题汇编

一、选择题

1. （2019年四川省达州市）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：

①OA＝BC＝2；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质

【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），

∴OA＝BC＝2；故①正确；

②∵点D为OA的中点，

∴OD＝OA＝，

∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；

③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，

∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，

∴EF＝OC＝2，

设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，

在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝，

∴BE＝PE＝a，

∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），

∵PD⊥PC，

∴∠CPE+∠FPD＝90°，

∵∠CPE+∠PCE＝90°，

∴∠FPD＝∠ECP，

∵∠CEP＝∠PFD＝90°，

∴△CEP∽△PFD，

∴＝，

∴＝，

∴FD＝，

∴tan∠PDC＝＝＝，

∴∠PDC＝60°，故③正确；

④∵B（2，2），四边形OABC是矩形，∴OA＝2，AB＝2，

∵tan∠AOB＝＝，

∴∠AOB＝30°，

当△ODP为等腰三角形时，

Ⅰ、OD＝PD，

∴∠DOP＝∠DPO＝30°，

∴∠ODP＝60°，

∴∠ODC＝60°，

∴OD＝OC＝，

Ⅱ、OP＝OD，

∴∠ODP＝∠OPD＝75°，

∵∠COD＝∠CPD＝90°，

∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，

∴∠POD＝∠PDO＝30°，

∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去，

∴当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为（，0）．故④正确，

故选：D ． 二、解答题

1. （2019年四川省攀枝花市）已知抛物线的对称轴为直线x=1，其图像与

轴相交于、两点，与轴交于点。

（1）求，的值；

（2）直线l 与轴交于点。

①如图1，若l ∥轴，且与线段及抛物线分别相交于点、，点关于直线

的对称点为，求四边形面积的最大值；

②如图2，若直线l 与线段相交于点，当△PCQ ∽△ CAP 时，求直线l 的表达式。

【考点】二次函数极值问题、三角函数、相似三角形 【解答】解：（1）由题可知

解得

（2）①由题可知， ∴

由（1）可知， ∴：

设，则 ∴

2y x bx c =-++x A B y (0,3)C b c x P y AC E F C 1x =D CEDF BC

Q 123

b

c ⎧-

=⎪-⎨⎪=⎩23b c =⎧⎨=⎩(2,3)D CD EF ⊥2CD =(3,0)A (1,0)B -AC l 3y x =-+2(,23)F e e e -++(,3)E e e -+23EF e e =-+

∴ ∴当时，四边形的面积最大，最大值为

②由（1）可知

由∽可得 ∴ ∴ 由，可得 ∴ 作于点，设，则 ∴，

即

解得 ∴ ∴l ：

2.（2019年山东省滨州市）如图①，抛物线y ＝﹣

x 2+

x +4与y 轴交于点A ，与x 轴交于

点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． （1）求直线AD 的函数解析式；

（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为

时，求sin ∠PAD 的值．

12CEDF S CD EF =

g 四边形22393()24

e e e =-+=--+32e =CEDF 9

4

45OAC OCA ∠=∠=︒PCQ ∆CAP ∆45QCP OAC ∠=∠=︒QCP OCA ∠=∠ACP BCO ∠=∠(1,0)B -(0,3)C 1tan 3

BCO ∠=1tan 3

ACP ∠=

PH AC ⊥H (,0)P m 3AP m =-)PH AH m ==

-)CH m =+(3)

1tan 3m PH ACP CH -==∠=3133m m -=+3

2m =3(,0)2P 32

y x =-+

【考点】待定系数法、二次函数极值问题、三角函数、分类讨论思想

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），

当y＝0时，0＝﹣x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0），

∴OA＝OB＝4，

∴∠OBA＝∠OAB＝45°，

∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，

∴∠BAD＝90°，

∴OAD＝45°，

∴∠ODA＝45°，

∴OA＝OD，

∴点D的坐标为（4，0），

设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，

，得，

即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；

（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，

设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），

∴PN＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，

∴PN⊥x轴，

∴PN∥y轴，

∴∠OAD＝∠PNH＝45°，

作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，