三角形中考压轴题(带答案).docx

中考专题……三角形

一.选择题（共3小题）

1.（2014*山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为（）

考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

专题：几何图形问题；压轴题.

分析：过E作EP丄BC于点P, EQ丄CD于点Q, AEPM^AEQN,利用四边形EMCN的而积等于正方形PCQE的面积求解.

解答：解：过E作EP丄BC于点P, EQ丄CD于点Q,

・・•四边形ABCD是正方形，

・・・ZBCD二90°,

又•・・ZEPM=ZEQN=90°,

・・・ZPEQ=90°,

・•・ ZPEM+ZMEQ=90°,

・・•三角形FEG是直角三角形，

・・・ Z NEF= Z NEQ+ Z MEQ=90°,

.*.ZPEM=ZNEQ,

VAC 是ZBCD 的角平分线，ZEPC=ZEQC=90°, ・・・EP二EQ,四边形PCQE是正方形，在ZXEPM 和△EQN 屮，

(ZPEM 二ZNEQ

JEP二EQ ，

〔ZEPM 二ZEQN

AAEPM^AEQN (ASA)

S AEQN=S AEPNb

・・・四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积,

・・•正方形ABCD的边长为a,

/. AC=V2a,

B \M

VEC=2AE,

3

AEP=PC=^a,

3

正方形PCQE的而积—ax—a—a2,

3 3 9

・•・四边形EMCN的面积二V,

9

故选：D.

点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出AEPM^AEQN.

2.(2014*武汉模拟)如图ZA二ZABOZC二45。，E、F分别是AB、BC的屮点，则下列结论，①EF丄BD,

②EF」BD,③ZADOZBEF+ZBFE,④AD二DC,其中正确的是( )

2

A.①②③④

B.①②③

C.①②④

D.②③④

考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质.

专题：压轴题.

分析：根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边〃同吋利用三角形的全等性质求解.

解答：解：如下图所示：连接AC,延长BD交AC于点M,延长AD交BC于Q,延长CD交AB于P.

•・• ZABC=ZC=45°.*.CP 丄AB

・.・ ZABC=ZA=45°AAQ 丄BC

点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM丄AC.

山中位线定理可得EF〃AC, EF二丄AC・・・BD丄EF,故①正确.

2

TZDBQ+ZDCA二45°, ZDCA+ZCAQ=45°,

・ \ZDBQ=ZCAQ,

VZA=ZABC, ・・・AQ二BQ,

VZBQD=ZAQC=90°,

・••根据以上条件得△AQC^ABQD, ・・・BD二AC・・・EF二丄AC,故②正确.

2

VZA=ZABC=ZC=45°

・•・ ZDAC+ZDCA=180° - ( ZA+ZABC+ZC) =45°

・•・ ZADC=180°・(ZDAC+ZDCA) = 135°= ZBEF+ ZBFE= 180。- ZABC

故③ZADOZBEF+ZBFE 成立；

无法证明AD=CD,故④错误.

点评：本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用.

3.（2013・河北模拟）四边形ABCD屮，AC和BD交于点E,若AC平分ZDAB,且AB=AE, AC=AD, 有以

下四个命题：©AC丄BD；②BODE；③ZDBC=^ZDAB；④AB二BE二AE.其屮命题一淀成立的是

2

（）

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

专题：压轴题.

分析：根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质判断各选项是否正确即可.

解答：解：TAB二AE, —个三角形的直角边和斜边一定不相等，・・・AC不垂直于BD,①错误；

利用边角边定理可证得厶ADE^AABC,那么BC=DE,②正确；

由厶ADE^AABC 可得ZADE=ZACB,那么A, B, C, D 四点共[H], ZDBC=ZDAC=^ZDAB,

2

③正确；

AABE不一定是等边三角形，那么④不一定正确；

②③正确，故选B.

点评：此题主要考查了全等三角形的性质，以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对应边相等；等边三角形的三边相等.

二.填空题（共6小题）

4.（2015*泰安一模）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的考点：等边三角形的性质.

B.②③

C.①③

D.②④

•••如此继续下去,

结果如下表，则a n=_3n+l （用含n的代数式表示）. 所剪次数14...n

正二和形个数471013... a n

故选B.

A

方法剪成四个更小的正三角形,

专题：压轴题；规律型.

分析：根据图跟表我们可以看出n 代表所剪次数，如代表小正三角形的个数，也可以根据图形找出规律加 以

求解.

解答：解：由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的个数3n+l ・ 故答案

为：3n+l.

点评：此题主要考验学生的逻辑思维能力以及应变能力.

5. （2013*宜兴市一模）如图，在ZXABC 屮，AC 二BC>AB,点P 为ZXABC 所在平面内一点，且点P 与AABC 的任意两个顶点构成APAB, APBC, APAC 均是等腰三饬形，则满足上述条件的所有点P 的个数为6 个.

考点：等腰三介形的判定与性质.

专题：压轴题.

分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作III AB 的垂直平分线，首先AABC 的外 心满

足，再根据圆的半径相等，以点C 为圆心，以AC 长为半径画圆，AB 的垂直平分线相交于两 点，分

别以点A 、B 为圆心，以AC 长为半径画圆，与AB 的垂直平分线相交于一点，再分别以点 A 、B 为圆

心，以AB 长为半径画圆，与（DC 相交于两点，即可得解.

解答：解：如图所示，作AB 的垂直平分线，①AABC 的外心Pi 为满足条件的一个点，

② 以点C 为圆心，以AC 长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，

③ 分别以点A 、B 为圆心，以AC 长为半径画圆，P4为满足条件的点，

④ 分别以点A 、B 为圆心，以AB 长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，

综上所述，满足条件的所有点P 的个数为6.

故答案为：6.

B