复旦大学数学系陈纪修《数学分析》(第二版)习题答案ex2-1,2

第二章 数列极限

习 题 2.1 实数系的连续性

1. (1) 证明6不是有理数；

(2) 3+2是不是有理数?

证（1）反证法。若6是有理数，

则可写成既约分数n

m

=6。由，可知是偶数，设，于是有，从而得到是偶数，这与

226n m =m k m 2=2223k n =n n

m

是既约分数矛盾。 （2）3+2不是有理数。若3+2是有理数，则可写成既约分数

32+n m

=，于是222623n

m =++，252622−=n m ，即6是有理数，与

（1）的结论矛盾。

2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： ； A x x =≥{|}0 ⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧<

<=320|sin πx x B ； ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<∈=+m n n m m n C 并且N ,。

解 ；因为，有0min =A A x ∈∀A x ∈+1，x x >+1，所以不存在。

A max 12sin max ==π

B ；因为B x ∈∀，⎦⎤

⎜⎝⎛∈∃2,0πα，使得αsin =x ，于是有B ∈2

sin

α

，x <2

sin

α

，所以B min 不存在。

C max 与都不存在，因为C min C m n ∈∀

，有C m n ∈+1，C m n ∈++1

1， 1

1

1++<

<+m n m n m n ，所以与都不存在。 C max C min 3. A B ,是两个有界集，证明： (1) 是有界集；

A B ∪(2) 也是有界集。

S x y x A y B =+∈∈{|,}证 （1）设A x ∈∀，有1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则B A x ∪∈∀，有

{}21,max M M x ≤。

（2）设，

有A x ∈∀1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则S x ∈∀，有21M M x +≤。 4. 设数集S 有上界，则数集T x x S =−∈{|}有下界，且sup S =T inf −。 证 设数集S 的上确界为，则对任意S sup ∈x T x x S =−∈{|}，有，

即；同时对任意S x sup ≤−S x sup −≥0>ε，存在S y ∈，使得ε−>S y sup ，于是，且T y ∈−ε+−<−S y sup 。所以S sup −为集合T 的下确界，即

。

S T sup inf −=5. 证明有界数集的上、下确界唯一。

证 设既等于S sup A ，又等于B ，且B A <。取02

>−=

A

B ε，因为B 为集合的上确界，所以存在S S x ∈，使得A B x >−>ε，这与A 为集合的上确界矛盾，所以S B A =，即有界数集的上确界唯一。同理可证有界数集的下确界唯一。

6. 对任何非空数集S ，必有sup S ≥inf S 。当sup S =inf S 时，数集S 有什么特点?

解 对于任意的，有S x ∈S x S sup inf ≤≤，所以。当

S S inf sup ≥sup S =inf S 时，数集S 是由一个实数构成的集合。

7. 证明非空有下界的数集必有下确界。 证 参考定理2.1.1的证明。 8. 设S }3|{2<∈=x x x 并且Q ，证明： (1) S 没有最大数与最小数；

(2) S 在Q 内没有上确界与下确界。

证 （1）S p q ∈∀，0>p q ，则32

<⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛p q ，2

r 2

234⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−<+p q r r ，于是<++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛+r p q r p q r p q 22

2

2

3422

<++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r r p q ，即

S r p

q

∈+，所以没有最大数。同理可证S S 没有最小数。 （2）反证法。设S 在内有上确界，记Q m

n

S =sup （且互质），则显然有+∈N n m ,n m ,20<

n

。由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能：

（i ）32<⎟⎠⎞⎜⎝⎛m n ，由（1）可知存在充分小的有理数，使得0>r 32

<⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛+r m n ，

这说明

S r m

n

∈+，与m n S =sup 矛盾；

（ii ）32

>⎟⎠⎞⎜⎝⎛m n ，取有理数充分小，使得0>r 342

2−⎟⎠⎞⎜⎝⎛<−m n r r ，于是

>+−

⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−22

2

2r r m n m n r m

n

3422

>+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛r r m n ，这说明r m n −也是的上界，与S m

n

S =

sup 矛盾。所以S 没有上确界。 同理可证S 没有下确界。

习 题 2.2 数列极限

1. 按定义证明下列数列是无穷小量：

⑴⎭⎬⎫⎩⎨⎧++112n n ； ⑵{()}；

(.)−1099n n ⑶⎭⎬⎫⎩

⎨⎧+−n n 51； ⑷⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧++++3

321n n ； ⑸⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n n 32； ⑹⎭

⎬⎫⎩⎨⎧!3n n ； ⑺⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n n n !；

⑻⎭⎫⎩

⎨⎧−+−+++−n n n n n 21)1(21111 。证 （1）)20(<<∀εε，取⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=ε2

N ，当时，成立N n >ε<<++

1102。 （2）)10(<<∀εε，取lg lg 0.99N ε⎡⎤

=⎢

⎥

⎣⎦

，当时，成立 N n >lg lg0.99

(1)(0.99)(0.99)

n

n

εε−<=。

（3）)20(<<∀εε，取⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=ε21N ，当时，成立1N n >2

1ε

；取252log N ε⎡

⎤=⎢⎥⎣

⎦

，

当时，成立2N n >5n −2

ε

<；则当{}21,max N N N n =>时，成立1

5n n

ε−+<。

（4）)10(<<∀εε，取⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=ε1

N ，当时，成立 N n >ε<<+=+++<

n n

n n n 1

212102

3 。 （5）当时，有11>n 222

n 33

3(12)2n n n n n C =<+n

n n n 1)2)(1(86<−−=。于是0>∀ε，取⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎦⎤⎢⎣⎡=ε1,11max N ，当时，成立N n >ε<<