2021数学类考研陈纪修《数学分析》考研真题库
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第6章 不定积分【圣才出品】
第6章 不定积分6.1 复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。
（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。
2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。
（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。
2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。
三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。
若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。
（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。
这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。
对作变量代换，则。
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。
答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。
答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。
答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。
令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。
因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。
2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。
答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。
3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。
陈纪修《数学分析》配套题库【名校考研真题】(微分中值定理及其应用)
两式相减得
f (x) f (1) f (0) f ( ) x2 f () (1 x)2
2
2
,
所以
f (x) f (1) f (0) f ( ) x2 f () (1 x)2
2
2
f (1) f (0) x2 (x 1)2
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2
x
1 2
2
5 2
3.
综上，在[0,1] 上成立 f (x) 3．
３．（1）请具体地举例给出一个满足下列三个条件的函数 f：
①
，有 f（x）≤0；
②f（0）＝0；
③f'（x）在[0，+∞）上严格单调增加．
（2）证明：对于满足上述三个条件的任一函数 f，都可以推出函数
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第 5 章 微分中值定理及其应用
解答题
1．设函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 f (x) 0 . 若极限
f 2x a
lim
存在. 证明：
xa x a
（1）在 (a,b) 内 f (x) 0 ；
（2）在 (a,b) 内存在点 ，使
b2 a2
b
f (x)dx
f
2
；
a
（3）在 (a,b) 内存在不(2)中 丌同的点 ，使 f () b2 a2 2
b
f (x)dx .[福
a a
建师范大学 2006 研]
证明：（1）因为 lim f 2x a 存在，所以 lim f 2x a 0 ，由 f (x) 在[a,b] 上连
陈纪修《数学分析》配套题库【课后习题】(数列极限)
第2章数列极限§1 实数系的连续性1．（1）证明不是有理数；（2）是不是有理数？证明：（1）可用反证法若是有理数，则可写成既约分数．由可知m是偶数，设，于是有，从而得到n是偶数，这与是既约分数矛盾．（2）不是有理数．若是有理数，则可写成既约分数，于是，即是有理数，这与（1）的结论矛盾．2．求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：解：min A＝0；因为，有，所以max A不存在．；因为，使得，于是有，所以min B不存在．max C与min C都不存在，因为，所以max C与min C都不存在．3．A，B是两个有界集，证明：（1）A∪B是有界集；（2）也是有界集．证明：（1）设，有，有，则，有．（2）设，有，有，则，有．4．设数集S有上界，则数集有下界．且．证明：设数集S的上确界为sup S，则对，有-x≤sup S，即；同时对，存在，使得，于是．所以-sup S为集合T的下确界，即．5．证明有界数集的上、下确界惟一．证明：设sup S既等于A，又等于B，且A<B．取，因为B为集合S的上确界，所以，使得，这与A为集合S的上确界矛盾，所以A＝B，即有界数集的上确界惟一．同理可证有界数集的下确界惟一．6．对任何非空数集S，必有．当时，数集S有什么特点？解：对于，有，所以．当时，数集S 是由一个实数构成的集合．7．证明非空有下界的数集必有下确界．证：参考定理2.1.1的证明．具体过程略．8．设并且，证明：（1）S没有最大数与最小数；（2）S在Q内没有上确界与下确界．证：（1）．取有理数r>0充分小，使得，于是．即，所以S没有最大数．同理可证S没有最小数．（2）反证法．设S在Q内有上确界，记（m，n∈N+且m，n互质），则显然有．由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能：（i），由（1）可知存在充分小的有理数r>0，使得，这说明，与矛盾；（ii），取有理数r>0充分小，使得，于是，这说明也是S的上界，与矛盾．所以S没有上确界．同理可证S没有下确界．§2 数列极限1．按定义证明下列数列是无穷小量：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）．证明：（1），取，当n>N时，成立．（2），取，当时，成立．（3），取，当时，成立；取，当时，成立，则当时，成立．（4），取，当n>N时，成立．（5）当n>11时，有．于是，取，当n>N时，成立．（6）当n>5，有．于是，取，当n>N时，成立．（7），取，当n>N时，成立（8）首先有不等式，取，当n>N时，成立．2．按定义证明下述极限：证明：（1），取，当时，成立（2），取，当时，成立（3），取，当n>N时，成立（4）令，则．当n>3时，有所以，取，当时，成立．（5），取，当n>N时，若n是偶数，则成立；若z是奇数，则成立．3．举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的：（1）对任意给定的，存在正整数N，使当n>N时，成立；（2）对任意给定的，存在无穷多个，使．解：（1）例如，则满足条件，但不是无穷小量．（2）例如则满足条件，但不是无穷小量．4．设k是一正整数，证明：的充分必要条件是．证明：设，则，成立，于是也成立，所以；设，则，成立，取，则，成立，所以．5．设，证明：．证明：由可知，成立，成立．于是，成立．6．设．且，证明：．证明：首先有不等式．由，可知，成立，于是．7．是无穷小量，是有界数列，证明也是无穷小量．证明：设对一切．因为是无穷小量，所以，，成立．于是，成立，所以也是无穷小量．。
电子科技大学601数学分析考研真题及答案
【答案】错查看答案
【解析】举反例：数列 ， 和 都收敛，但 不收敛．
3．序列 收敛，则序列 收敛，其逆命题也成立．（ ）[武汉大学研]
【答案】错查看答案
【解析】举反例： 收敛，但 不收敛．
4． 收敛，则 ．（ ）[武汉大学研]
【答案】错查看答案
说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。
试看部分内容
名校考研真题
说明：本部分从指定欧阳光中主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
【解析】举反例： 收敛，但
5．函数序列 ，满足对任意自然数p及 ，有
，则 一致收敛．（ ）[武汉大学研]
【答案】错查看答案
【解析】比如 在 上满足条件，但 在[0，1]上不一致收敛．
二、解答题
1．用极限定义证明，当a>1时， ，并讨论当0＜a≤1时，极限 是否存在。如果存在，极限是多少。[上海理工大学研]
证明：
（1） （2） [四川大学、天津大学研]
证明：（1） ，由L’Hospital法则
（2）当x→＋∞时，令 则 由两边夹法则可知：
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2021年电子科技大学《601数学分析》考研全套
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1．考研真题
电子科技大学数学科学学院《601数学分析》历年考研真题汇编（含部分答案）
全国名校数学分析考研真题汇编（含部分答案）
陈纪修《数学分析》配套题库【名校考研真题】(不定积分)
第6章不定积分一、判断题1．连续函数的不定积分一定存在．（）[重庆大学研]【答案】对【解析】设f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上必有原函数．令，则对[a，b]上任意确定的x，当且时，由积分第一中值定理，有由于f（x）在x点连续，故有．由x在[a，b]上的任意性，证得F（x）为f（x）在[a，b]上的一个原函数．２．若f（x）在I上有原函数且单调，则f（x）在I上连续．（）[南京师范大学2006研]【答案】对【解析】否则若不连续，则f（x）在I上一定有第一类间断点或第二类间断点，下证这两种情况均不存在．首先有第一类间断点的函数不可能有原函数，若有，假设F（x）为f(x)在I上的一个原函数，则成立，因此F（x）不可导，与F（x）为f（x）在I上的一个原函数矛盾．同理有第二类间断点更不可能有原函数．所以f（x）在I上不可能有间断点，所以f（x）在I上连续．二、解答题 1.22ln(1).x dx x +⎰[暨南大学2013研] 解：22222222ln(1)1ln(1)ln(1)121ln(1)121ln(1)2arctan .x dx x d x xx x dx x x xx dxx x x x C x+=-++=-+⋅++=-+++=-++⎰⎰⎰⎰ 2．[兰州大学2009研]解：应用分部积分公式3．若不定积分()22d 1ax bx cx x x ++-⎰为有理式，则c b a ,,应满足什么条件？[浙江师范大学2005研]解：因()2221(1)ax bx c c ax b cx x x x x ++++=-+--，故当且仅当⎩⎨⎧=+=00c b a 时，不定积分()22d 1ax bx c x x x ++-⎰为有理式.４．计算[清华大学研]解：令５．不定积分[浙江大学研]解：方法一 令，则可证那么，作积分变换x=sht ，则由于②③将②，③代入①得方法二６．求．[中山大学2007研]解：由分部积分可得令，则，，所以故得．7．计算[华东师范大学研]解：其中C为任意常数。
陈纪修《数学分析》(第2版)(上册)名校考研真题【圣才出品】
但
（
也可说
明）。
2．对数列 和
若 是有界数列，则 是有界数列。（ ）[北京大学研]
【答案】对
【解析】设｜Sn｜<M，则
3．数列
存在极限
的充分必要条件是：对任一自然数 p，都有
（ ）[北京大学研]
【答案】错
【解析】反例：
，但 不存在．
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二、解答题
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陈纪修《数学分析》（第 2 版）（上册）名校考研真题
第 2 章 数列极限
一、判断题
1．对任意的 p 为正整数，如果
，则
存在。（ ）[重
庆大学研]
【答案】错
【解析】根据数列收敛的 Cauchy 收敛准则，可举出反例：
，虽然对任意的
n p1
对任意 0, 存在正整数 N ,使得对任意正整数 p ，成立 ak , kN
(N p)aN p ln(N p) (N p)aN p ln N ,
在上式中，令 p ，取极限，则得
0
lim ( N
p
p)aN p
ln( N
p)
,
由 0 的任意性，则得
lim ( N
．[南开大学
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2011 研]
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证明：（1）因为
{nan}
为正的单调递减数列，由单调有界定理得
lim
n
nan
L
存在，
由 an 收敛，可知必有 L 0 n1
an
n1
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第8章 反常积分【圣才出品】
（6）当 时积分发散；当 时，
（7）令
则
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（8）令
则
（9）利用习题 6.3 第 1（10）题的结果
即可得到
（10）
对等式右端任一积分（例如第二个积分）作变量代换
则
所以
4．计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）：
8.2 课后习题详解
§1 反常积分的概念和计算
1．物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所做的功为电场在该 点处的电位．一个带电量 的点电荷产生的电场对距离 处的单位正电荷的电场力为
为常数），求距电场中心 处的电位（见图 8-1）．
解：
图 8-1
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若下列两个条件之一满足，则 （1）Abel 判别法
收敛：
收敛，g（x）在[a，+∞）上单调有界； （2）Dirichlet 判别法
在[a，+∞）上有界，g（x）在[a，+∞）上单调且
两个判别法有时也统称为 A-D 判别法。 4．无界函数反常积分的收敛判别法 （1）柯西收敛原理
反常积分
收敛的充分必要条件是：对任意给定的 ε>0，存在 δ>0，使得对
2．证明：若
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台
和
收敛， 和 为常数，则
也收敛，且
证明：设
则
3．计算下列无穷区间上的反常积分（发散也是一种计算结果）：
解： 所以
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所以
（4）当 时， 当 时，
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2021数学类考研陈纪修《数学分析》考研真题库
第1部分名校考研真题
第9章数项级数
一、判断题
1．若对任意的自然数p都有，则收敛．（）[东南大学研]
【答案】错查看答案
【解析】根据级数收敛的Cauchy收敛准则，举出反例：例如，对任意的自然数p，有
，但是发散．正确的说法应该是，关于p一致有
．
2．若，且对任意的n，有，则收敛．（）[重庆大学研]
【答案】错查看答案
【解析】举反例：例如，虽然对任意的n，有，但是发散．n 必须足够大，才可以成立．
二、解答题
1．设收敛，证明：[华东师范大学研]
证明：记级数的前n项和S n．则
对上式两边取极限，从而
即
2．证明下列级数收敛．
[东北师范大学研]
证明：（1）方法一
所以
所以收敛。
方法二
由于
所以
而收敛，从而收敛．
（2）
由比值判别法知收敛，再由比较判别法知收敛，即
收敛。
3．证明：[浙江大学研]
证明：因为且单调减，
所以
反复利用分部积分法，
又
所以
将②代入①得
4．讨论级数的敛散性．[复旦大学研]
解：（1）若p、q>1，则
绝对收敛。
（因为，例如p>q，则为优级数）；
（2）若0＜p=q≤1，应用莱布尼兹定理知级数收敛，且是条件收敛；
（3）当p、q>0，原级数与级数同时敛散，若p>1，0＜q ≤1或q>1，0＜p≤1时级数
一敛一散，故原级数发散．
若0＜p＜q＜1，则，且与同阶（当）；故级数发散，从而原级数发散．
同理可证，若0＜q＜p＜1，原级数发散．
5．若一般项级数与都收敛且下列不等式成立
证明：级数也收敛．又若与都发散，试问一定发散吗？[汕头大学研、北京工业大学研]
证明：由于级数与都收敛，所以由Cauchy收敛准则知对任意的ε＞0，存在N∈N，使得当n＞N及对任意的正整数p，都有
又，所以，从而由Cauchy收敛准则知级数也收敛．
若与都发散，不一定发散．反例：．6．设，证明：收敛．[浙江大学2006研]
证明：因为
令，则
易知，所以
因为，而收敛，所以收敛．
7．设，举例说明存在（从而级数收敛），但
，从而级数收敛的D’Alember判别法失效．[天津工业大学2006研]
解：级数．由于
故，所以用D’Alember判别法无法判别其敛散性．又
，所以由根式判别法知收敛．
8．判断级数的敛散性．[青岛科技大学研]
解：令，则
故由Raabe判别法知收敛．
9．设f（x）在[1，+∞）上单调，证明：若广义积分收敛，则级数
也收敛．[北京化工大学研]
证明：不妨设f（x）在[1，+∞）上单调递减．先证明f（x）在[1，+∞）上非负，若存在，使得
．
由于当时，，又发散，故由比较判别法知发散，矛盾，所以f（x）在[1，+∞）上非负．
因为f（x）在[1，+∞）上非负且单调递减，对任意的正数A，f（x）在[1，A]上可积，从而有
依次相加可得
由于收敛，于是对任意正整数m，有
即非负级数部分和有界，故收敛．
10．设是严格递减的正数列，且，证明：级数收敛．[南京农业大学研、上海理工大学研]
证明：因为是严格递减的正数列，所以
即是严格递减的数列．又由极限的性质知
故由Leibniz判别法知收敛．
11．讨论级数的收敛性．[厦门大学研]
解：利用带Peano余项的Taylor公式（当x→0时），有
于是．所以当x＞1－p时收敛，当x≤1－p时发散．12．，证明：存在，并求之．[上海大学研]
证明：令，则
从而
因为，所以
故有
14．判断级数的绝对收敛性和相对收敛性．[武汉大学2005研]
解：（1）绝对收敛性（主要使用放缩法）
（2）相对收敛性：（A-D判别法）
①；
②。
15．表格填空
绝对收敛条件收敛发散
参数a,b,c的取值范围
[中山大学2014研]
解：
绝对收敛条件收敛发散
参数a,b,c取值范围0＜a＜1,b＜－1,
c任意
－1＜a＜0,b＜0,c
任意
－1＜a＜0,b＜0,c任意
浙江大学819数学分析考研真题
浙江大学攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：数学分析（A）（819）
考生注意：
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；
2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、（40分，每小题10分）
（1）；
（2）；
（3）设，表示不超过的最大整数，计算二重积分；
（4）设.求.
二、（10分）论证是否存在定义在上的连续函数使得.
三、（15分）讨论函数项级数的收敛性与一致收敛性.
四、（15分）设均为上的连续函数，且为单调递增的，
，同时对于任意，有.
证明：对于任意的，都有.
五、（5分）；
（10分）.
六、（5分）构造一个在闭区间上处处可微的函数，使得它的导函数在
上无界；
（15分）设函数在内可导，证明存在，使得
在内有界.
七、（15分）设二元函数的两个混合偏导数在附近存在，且在处连续.证明：.
八、（20分）已知对于实数，有公式，其中求和是对所有不超过的素数求和.求证：
，
其中求和也是对所有不超过的素数求和，是某个与无关的常数.。