2021年广东省高中学业水平考试数学模拟试卷
解可得：x＝2，
故选：D．
6．（4分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
A． B． C． D．
【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin（20°+10°）＝sin30° ，
故选：A．
9．（4分）角α的终边经过点（2，﹣1），则2sinα+3cosα的值为（ ）
A． B．，﹣1），∴|OP| ，
则sinα ，cosα ，
∵|MF|＝5，|AF|
∴ ，整理得4 ，解之可得p＝2或p＝8
因此，抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x．
故选：C．
方法二：
∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），∴焦点F（ ，0），
设M（x，y），由抛物线性质|MF|＝x 5，可得x＝5 ，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为 ，
又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，
于是得到平面ADC⊥平面ABC．
故选：D．
4．（4分）已知f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x（1+x），当x＜0时，f（x）等于（ ）
A．﹣x（1﹣x）B．x（1﹣x）C．﹣x（1+x）D．x（1+x）
【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，
A．25πB． πC．29πD． π
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其外接球相当于以俯视图为底面的三棱柱的外接球，
底面三角形的外接圆半径r ，
球心到底面的距离d ，
故球半径R满足，R2＝r2+d2 ，
故球的表面积S＝4πR2 π，
故选：D．
12．（4分）若数列﹣1，2，5，8，11，x，…中的项按一定规律变化，则实数x最有可能的值是（ ）
由已知圆半径也为 ，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即M（5 ，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16＝0，所以p＝2或p＝8．
所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x．
故选：C．
7．（4分）某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于（ ）
△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（ ）
A．面ABD⊥面ABCB．面ADC⊥面BDC
C．面ABC⊥面BDCD．面ADC⊥面ABC
【解答】解：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD．
在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，
所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．
【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），
∴焦点F坐标为（ ，0），可得|OF| ，
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
Rt△AOF中，|AF| ，
∴sin∠OAF ，
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF＝∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF ，
C．向右平移 个单位D．向右平移 个单位
【解答】解：将y＝sin2x向右平移 个单位得：y＝sin2（x ）＝sin（2x ），
故选：D．
14．（4分）一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为0.6，则估计样本在[40，60）内的数据个数为（ ）
∴A∩B＝{0，1，2}．
故选：B．
2．（4分）函数f（x） 的定义域为（ ）
A．[0，4）B．（4，+∞）
C．[0，4）∪（4，+∞）D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）
【解答】解：函数f（x） 中，
令 ，
解得x≥0且x≠4；
所以f（x）的定义域为[0，4）∪（4，+∞）．
故选：C．
3．（4分）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将
A．12B．13C．14D．15
【解答】解：根据题意，数列﹣1，2，5，8，11，x，…
分析可知，从第二项起，每一项与前一项的差等于3，
所以x＝11+3＝14．
故选：C．
13．（4分）要得到函数y＝sin（2x ）的图象，只需要将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移 个单位B．向左平移 个单位
则f（﹣x）＝x（1﹣x）．
又f（x）是R上的奇函数，所以当x＜0时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x（1﹣x）．
故选：A．
5．（4分）设向量 （4，5）， （1，0）， （2，x），且满足（ ）∥ ，则x＝（ ）
A．﹣2B． C． D．2
【解答】解：根据题意，向量 （4，5）， （1，0）， （2，x），则 （5，5），
A．35B．45C．54D．63
【解答】解：∵某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，
∴高三年级学生的数量占总数的 ，
∵分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，
∴n＝21 54．
故选：C．
8．（4分）sin20°cos10°+cos20°sin10°＝（ ）
∴2sinα+3cosα ．
故选：D．
10．（4分）命题“a＞b”是命题“ac2＞bc2”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【解答】解：由ac2＞bc2，可得a＞b．反之不成立，例如c＝0时．
∴命题“a＞b”是命题“ac2＞bc2”的必要不充分条件．
故选：B．
11．（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
2021年广东省高中学业水平考试数学模拟试卷解析版
一．选择题（共15小题，满分60分，每小题4分）
1．（4分）设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}
C．{0，1}D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，
广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷(六)(含解析)
广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（六）（含解析）广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（六）（含解析）年级：姓名：2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(六)(时间:90分钟 满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分) 1.不等式x (x-2)≤0的解集是( )A.[0,2)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2]2.全集为实数集R ,M={x|-2≤x ≤2},N={x|x<1},则(∁R M )∩N= ( ) A .{x|x<-2} B .{x|-2<x<1} C .{x|x<1} D.{x|-2≤x<1}3.为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,18号,44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是 ( ) A.23 B.27 C.31 D.334.直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是 ( ) A .12 B .1 C .2 D .45.函数f (x )=lg(x +1)x 的定义域是 ( ) A .(-1,0)∪(0,+∞) B .[-1,0)∪(0,+∞) C .(-1,+∞) D .[-1,+∞)6.以(a ,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为 ( )A.(x-1)2+(y-1)2=5 B .(x+1)2+(y+1)2=5C .(x-1)2+y 2=5D .x 2+(y-1)2=57.设函数f (x )={1-x 2,x ≤1,x 2+x -2,x >1,则f (1x (2))的值为 ( )A .18B .-2716C .89D .1516 8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( )A.πB.2πC.3πD.4π9.已知sin α=23,则cos(π-2α)等于 ( )A .-√53B .-19 C .19 D .√53 10.实数x ,y 满足{x +2x -3≤0,x +3x -3≥0,x ≤1,则z=x-y 的最大值是 ( )A.-1B.0C.3D.411.已知非零向量xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,且xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则向量xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C .13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D .13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −43xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗12.函数f (x )=2x+3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)13.函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象如图所示,则f (x )的解析式为 ( )A .f (x )=12sin 12x+1B .f (x )=sin 12x+12 C .f (x )=12sinπx 2+1 D .f (x )=sinπx2+1214.设α,β为钝角,且sin α=√55,cos β=-3√1010,则α+β的值为 ( )A .3π4B .5π4C .7π4D .5π4或7π415.已知数列{a n }满足a n+1=11-x x,若a 1=12,则a 2 018=( )A.2B.-2C.-1D.12 二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是 .17.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3,则该直四棱柱的侧面积为 .18.若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )·b =0,则a 与b 的夹角为 .19.计算sin (-15π6)cos 20π3tan (-7π6)= . 三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.在锐角三角形ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b ,且2a sin B=√3b.(1)求角A 的大小;(2)若a=3,求△ABC 周长l 的最大值.21.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PC=AD=CD=12AB=2,AB ∥DC ,AD ⊥CD ,PC ⊥平面ABCD.(1)求证:BC ⊥平面PAC ;(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与线段PB 交于点N,确定点N的位置,说明理由;并求三棱锥N-AMC的体积.22.设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=2S n+1,数列{b n}满足a1=b1,点P(b n,b n+1)在直线x-y+2=0上,n∈N*.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设c n=x xx x,求数列{c n}的前n项和T n.答案：1.D【解析】不等式x(x-2)≤0对应方程的两个实数根为0和2,所以该不等式的解集是[0,2].故选D.2.A【解析】∵M={x|-2≤x≤2},∴∁R M={x|x<-2,或x>2},又∵N={x|x<1},∴(∁R M)∩N={x|x<-2}.故选A.3.C【解析】因为5号,18号,44号同学在样本中,18-5=13,44-18=26,所以抽样间隔为13,样本中还有一位同学的编号应该是18+13=31.故选C.4.B【解析】∵2x-y+2=0中,由x=0,得y=2;由y=0,得x=-1.∴直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是S=12×2×1=1.故选B.5.A【解析】{x+1>0,x≠0,解得,x>-1且x≠0,区间形式为(-1,0)∪(0,+∞),故选A.6.A【解析】由题意得,点(a,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径.∴√22+(-1)2=√22+(-1)2,解得a=1.∴r=√22+(-1)2=√5,∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.7.D【解析】f(2)=22+2-2=4,则f (1x (2))=f (14)=1-(14)2=1516.故选D .8.C 【解析】三视图还原的几何体是圆柱,底面半径为1、高为3,所以这个几何体的体积是π×12×3=3π. 故选C .9.B 【解析】由三角函数的诱导公式可知cos(π-2α)=-cos2α,由倍角公式可得cos 2α=1-2sin 2α=1-2×49=19,cos(π-2α)=-19,故选B . 10.C 【解析】作出不等式{x +2x -3≤0,x +3x -3≥0,x ≤1对应的平面区域如图,由z=x-y ,得y=x-z ,平移直线y=x-z ,由图象可知,当直线y=x-z 经过点B (3,0)时,直线y=x-z 的截距最小,此时z 最大. 此时z 的最大值为z=3-0=3.故选C .11.A 【解析】xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⇔xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A .12.B 【解析】∵f (-1)=12-3<0,f (0)=1>0,∴f (-1)·f (0)<0. 又函数f (x )的图象在(-1,0)上是连续不断的,故f (x )的零点所在的一个区间为(-1,0).故选B .13.C 【解析】由函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象可知,A=1.5-0.52=12,b=1.5+0.52=1,又最小正周期T=4=2πx ,∴ω=π2.又0×ω+φ=0,∴φ=0.∴f (x )的解析式为f (x )=12sin πx 2+1.故选C .14.C 【解析】∵α,β为钝角,且sin α=√55,cos β=-3√1010,∴cos α=-2√55,sin β=√1010, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-2√55×(-3√1010)−√55×√1010=√22, 又α,β为钝角,∴α+β∈(π,2π),∴α+β=7π4.故选C . 15.A 【解析】∵a n+1=11-x x,a 1=12,∴a 2=11-x 1=11-12=2,a 3=11-x 2=11-2=-1, a 4=11-x 3=11-(-1)=12,∴数列{a n }是以3为周期的周期数列, ∵2 018=672×3+2, ∴a 2 018=a 2=2.故选A .16.[1,2) 【解析】要使函数有意义,须满足{x -1≥0,2-x >0,解得1≤x<2,∴函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是[1,2).17.16√2 【解析】如图所示,直四棱柱底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3,∴侧棱长为CC 1=√(2√3)2-22=2√2,∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2√2=16√2.18.120° 【解析】(2a +b )·b =0⇔2|a||b|cos <a ,b >+b 2=0,因为|a |=|b |,所以cos <a ,b >=-12,所以<a ,b >=120°. 19.-√36 【解析】sin (-15π6)cos20π3tan (-7π6)=sin (-2π-π2)cos (6π+2π3)tan (-π-π6)=cos 2π3tan π6=(-12)×√33=-√36. 20.【解】(1)由题及正弦定理得2sin A sin B=√3sin B , ∵sin B ≠0,∴sin A=√32,又A ∈(0,π2),∴A=π3. (2)由a=3,A=π3得x sin x=x sin x=x sin x=√32=2√3,∴b=2√3sin B ,c=2√3sin C ,∴l=a+b+c=2√3sin B+2√3sin C+3=2√3sin B+2√3sin (2π3-x )+3 =3√3sin B+3cos B+3=6sin (x +π6)+3,当B=π3时,l 取最大值9.∴△ABC 的周长l 的最大值为9.21.【解】(1)证明:在直角梯形ABCD 中, AC=√xx 2+xx 2=2√2, BC=√(xx -xx )2+xx 2=2√2.∴AC 2+BC 2=AB 2,即BC ⊥AC.∵PC ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴BC ⊥PC. 又AC ∩PC=C ,∴BC ⊥平面PAC.(2)点N 是PB 的中点,连接MN ,CN ,理由如下; 如图,∵点M 为PA 的中点,点N 为PB 的中点, ∴MN ∥AB.又∵AB ∥DC ,∴MN ∥CD. ∴M 、N 、C 、D 四点共面.即点N 为过C 、D 、M 三点的平面与线段PB 的交点; ∵BC ⊥平面PAC ,N 为PB 的中点,∴点N 到平面PAC 的距离d=12BC=√2,S △ACM =12S △PAC =12·12·PC ·AC=14×2×2√2=√2.∴x 三棱锥xxxx =13S △AMC ·d=13×√2×√2=23.22.【解】(1)由a n+1=2S n +1可得,a n =2S n-1+1(n ≥2), 两式相减得a n+1-a n =2a n , 即a n+1=3a n (n ≥2).又a 2=2S 1+1=3,所以a 2=3a 1.故{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,所以a n =3n-1.由点P (b n ,b n+1)在直线x-y+2=0上,所以b n+1-b n =2. 则数列{b n }是首项为1,公差为2的等差数列, 则b n =1+(n-1)·2=2n-1.(2)因为c n =x x x x=2x -13x -1,所以T n =130+331+532+…+2x -13x -1, 则13T n =131+332+533+…+2x -33x -1+2x -13x,两式相减,得23T n =1+23+232+…+23x -1−2x -13x,所以T n =3-12·3x -2−2x -12·3x -1=3-x +13x -1.。
2021届广东省高三普通高中学业水平考试模拟考试数学试卷(七)及答案
2021届广东省高三普通高中学业水平考试模拟考试数学试卷（七）★祝考试顺利★ (含答案)(时间:90分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共15小题.每小题6分,满分90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={-1,0,1,2},N={x|-1≤x<2},则M ∩N= ( )A.{0,1,2}B.{-1,0,1}C.MD.N2.对任意的正实数x ,y ,下列等式不成立的是 ( ) A.lg y-lg x=lg yx B.lg (x+y )=lg x+lg yC.lg x 3=3lg xD.lg x=lnxln103.已知函数f (x )={x 3-1,x ≥02x ,x <0,设f (0)=a ,则f (a )=( )A.-2B.-1C.12D.04.定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x=2对称,且f (x )在(-∞,2)上是增函数,则 ( ) A .f (-1)<f (3) B .f (0)>f (3) C .f (-1)=f (3)D .f (0)=f (3)5.圆E 经过三点A (0,1),B (2,0),C (0,-1),且圆心在x 轴的正半轴上,则圆E 的标准方程为( )A .(x -32)2+y 2=254 B .(x +34)2+y 2=2516C .(x -34)2+y 2=2516 D .(x -34)2+y 2=2546.已知向量a =(1,1),b =(0,2),则下列结论正确的是 ( )A.a ∥bB.(2a -b )⊥bC.|a |=|b |D.a ·b =37.某校高一(1)班有男、女学生共50人,其中男生20人,用分层抽样的方法,从该班学生中随机选取15人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是 ( )A.6和9B.9和6C.7和8D.8和78.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形,则该几何体的体积为 ( )A.1B.2C.4D.89.若实数x ,y 满足{x -y +1≥0,x +y ≥0,x ≤0,则z=x-2y 的最小值为( ) A.0B.-1C.-32D.-210.如图,O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点,则下列等式正确的是 ( )A.DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗B.DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ 11.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=√3,b=2,c=√13,则C= ( ) A.5π6B.π6C.2π3D.π312.函数f (x )=4sin x cos x ,则f (x )的最大值和最小正周期分别为 ( )A.2和πB.4和πC.2和2πD.4和2π。
广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷(三)(含解析)
广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（三）（含解析）广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（三）（含解析）年级：姓名：2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(三)(时间:90分钟 满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分) 1.集合{0,1,2}的所有真子集的个数是 ( )A.5B.6C.7D.8 2.函数f (x )=lg(x-1)的定义域是 ( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.[ 1,+∞) D.[2,+∞)3.已知平面向量a =(3,1),b =(x ,-3),若a ⊥b ,则实数x 等于 ( ) A.-1 B.1 C.-9 D.94.若函数f (x )=sin (x +x3)(0≤φ≤2π)是偶函数,则φ= ( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π35.已知直线的点斜式方程是y-2=-√3(x-1),那么此直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π66.如图是2019年在某电视节目中七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 ( )7 98 4 4 6 4 7 9 3A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6 D .85,4 7.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x 的图象 ( ) A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位C.向左平移12个单位D.向右平移12个单位 8.下列说法不正确的是 ( ) A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9.函数y=log a x (a>0,a ≠1)的反函数的图象过(12,√22),则a 的值为 ( )A.2B.12 C.2或12 D.310.已知等差数列{a n }中,a 2=2,a 4=6,则前4项的和S 4等于 ( ) A.8 B.10 C.12 D.1411.某几何体的三视图及其尺寸如图所示,则这个几何体的体积是()A.6B.9C.18D.3612.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中正确的是()A.log2a>0B.2a-b<12C.log2a+log2b<-2D.2(xx +xx)<1213.设x,y满足约束条件{x+x-6≤0,x-3x+2≤0,3x-x-2≥0,则z=x-2y的最小值为()A.-10B.-6C.-1D.014.sin 47°-sin 17°cos 30°cos 17°=()A.-√32B.-12C.12D.√3215.小李从甲地到乙地的平均速度为a,从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0),他往返甲、乙两地的平均速度为v,则() A.v=x+x2B.v=√xxC.√xx<v<x+x2D.b<v<√xx二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S4= .17.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面的概率是.18.已知函数f(x)={log2x,x>0,3x,x≤0,则f(x(14))的值是.19.锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2a sin B=b,则角A等于.三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程;(3)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.21.已知四棱锥A-BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥平面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)求证:平面ADE⊥平面ACD;(3)求四棱锥A-BCDE的体积.22.已知等差数列{a n}满足a2+a5=8,a6-a3=3.(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)若b n=1x x+3·2n-2,求数列{b n}的前n项和T n.答案：1.C【解析】真子集个数为23-1=7,故选C.2.B【解析】由题意得,x-1>0,x>1,即函数的定义域是(1,+∞),故选B.3.B【解析】a·b=3x-3=0,即x=1,故选B.4.C【解析】只需x3=π2+kπ⇒φ=3kπ+3π2(k∈Z),而φ∈[0,2π],所以φ=3π2,选C.5.C【解析】∵k=tan α=-√3,∴α=π-π3=2π3.故选C.6.C【解析】由茎叶图知,去掉一个最高分93和一个最低分79后,所剩数据为84,84,86,84,87,平均数为84+84+86+84+875=85,方差为15[(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85)2]=85=1.6.故选C .7.C 【解析】y=cos 2x →y=cos(2x+1)=cos [2(x +12)].故选C .8.D 【解析】A.一组对边平行且相等就决定了是平行四边形,故A 正确;B.由线面垂直的性质定理知,同一平面的两条垂线互相平行,因而共面,故B 正确;C.由线面垂直的定义知,这些直线都在同一个平面内即直线的垂面,故C 正确;D.由实际例子,如把书本打开,且把书脊垂直放在桌上,则由无数个平面满足题意,故D 不正确.故选D.9.B 【解析】函数y=log a x (a>0,a ≠1)的反函数为y=a x,过点(12,√22),即√22=x 12,解得a=12,故选B .10.C 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,则a 4=a 2+(4-2)d ⇒d=6-22=2,a 1=a 2-d=2-2=0,所以S 4=4(x 1+x 4)2=2×(0+6)=12.故选C .11.C 【解析】由题意可知,几何体是以正视图为底面的三棱柱,其底面面积S=12×4×√52-42=6,高是3,所以它的体积为V=Sh=18.故选C .12.C 【解析】由题意知0<a<1,故log 2a<0,A 错误; 由0<a<1,0<b<1,故-1<-b<0.又a<b ,所以-1<a-b<0,所以12<2a-b <1,B 错误; 由a+b=1>2√xx 得ab<14,因此log 2a+log 2b=log 2ab<log 214=-2,C正确;由0<a<b 可知x x +x x >2√x x ·x x =2,因此2(x x +xx )>22=4,D 错误.13.B 【解析】由z=x-2y 得y=12x-x2,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分),平移直线y=12x-x2,由图象可知,当直线y=12x-x 2过点B 时,直线y=12x-x2的截距最大,此时z 最小,由{x +x -6=0,3x -x -2=0解得{x =2,x =4,即B (2,4).代入目标函数z=x-2y , 得z=2-8=-6,∴目标函数z=x-2y 的最小值是-6.故选B .14.C 【解析】 sin 47°-sin 17°cos 30°cos 17°=sin(30°+17°)-sin 17°cos 30°cos 17°=sin 30°cos 17°+cos 30°sin 17°-sin 17°cos 30°cos 17°=sin 30°cos 17°cos 17°=sin 30°=12.故选C .15.D 【解析】设甲地到乙地的距离为s.则他往返甲、乙两地的平均速度为v=2x x x +x x=2xxx +x ,∵a>b>0,∴2x x +x >1,∴v=2xxx +x >b.v=2xx x +x <2√xx =√xx .∴b<v<√xx .故选D .16.15 【解析】S 4=1-241-2=15.17.38 【解析】试验结果有:(正正正)(正正反)(正反正)(反正正)(反反正)(反正反)(正反反)(反反反)共8种情况,其中出现一次正面情况有3种,即P=38.18.19 【解析】f (14)=log 214=-2,f (x (14))=f (-2)=3-2=19. 19.π6 【解析】因为2a sin B=b ,由正弦定理有2sin A sin B=sinB.因为△ABC 中sin B ≠0,从而sin A=12,而A 是锐角,故A=π6.20.【解】(1)已知圆C :(x-1)2+y 2=9的圆心为C (1,0),因直线过点P ,C ,所以直线l 的斜率为2,直线l 的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB 被点P 平分时,l ⊥PC ,直线l 的方程为y-2=-12(x-2),即x+2y-6=0.(3)当直线l 的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l 的方程为y-2=x-2,即x-y=0.圆心到直线l 的距离为√2,圆的半径为3,弦AB 的长为√34. 21.【解】(1)证明:如图所示,取AC 中点G ,连接FG ,BG. ∵F ,G 分别是AD ,AC 的中点,∴FG ∥CD ,且FG=12DC=1.∵BE ∥CD ,∴FG 与BE 平行且相等,∴EF ∥BG.又∵EF ⊄平面ABC ,BG ⊂平面ABC , ∴EF ∥平面ABC.(2)证明:由题意知△ABC 为等边三角形, ∴BG ⊥AC.又∵DC ⊥平面ABC ,BG ⊂平面ABC , ∴DC ⊥BG ,∴BG 垂直于平面ADC 的两条相交直线AC ,DC , ∴BG ⊥平面ADC.∵EF ∥BG ,∴EF ⊥平面ADC. 又∵EF ⊂平面ADE , ∴平面ADE ⊥平面ACD.(3)连接EC ,该四棱锥分为两个三棱锥E -ABC 和E -ADC.x xxxxx =x xxxx +x xxxx =13×√34×1+13×1×√32=√34.22.【解】(1)由a 6-a 3=3得数列{a n }的公差d=x 6-x 33=1,由a 2+a 5=8,得2a 1+5d=8,解得a 1=32,∴S n =na 1+x (x -1)2d=x (x +2)2.(2)由(1)可得1x x=2x (x +2)=1x −1x +2,∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n=(1-13)+(12-14)+…+(1x -1x +2)+32(1+2+…+2n-1)=(1+12+13+…+1x )−(13+14+…+1x +1x +1+1x +2) +32×2x -12-1 =32−1x +1−1x +2+32×(2n -1) =3·2n-1-1x +1−1x +2.。
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(八) Word版含答案
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(八)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(本大题共15小题,每小题6分,满分90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={0,2,4},B={-2,0,2},则A∪B=()A.{0,2}B.{-2,4}C.[0,2]D.{-2,0,2,4}2.用a,b,c表示三条不同的直线,y表示平面,给出下列命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥y,b∥y,则a∥b;④若a⊥y,b⊥y,则a∥b.其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①④D.③④3.函数y=log3(x+2)的定义域为()A.(-2,+∞)B.(2,+∞)C.[-2,+∞)D.[2,+∞)4.已知向量a=(2,-2),b=(2,-1),则|a+b|=()A.1B.√5C.5D.255.直线3x+2y-6=0的斜率是()A.32B.-32C.23D.-236.不等式x2-9<0的解集为()A.{x|x<-3}B.{x|x<3}C.{x|x<-3或x>3}D.{x|-3<x<3}7.已知a>0,则3=()A.a 12 B.a32C.a 23 D.a138.某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为:9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为()A.7和53B.8和83C.7和1D.8和239.如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,BD 1=2,则AA 1= ( )A.1B.√2C.2D.√3 10.若不等式-4<2x-3<4与不等式x 2+px+q<0的解集相同,则pq = ( )A.127B.-127C.65D.5611.设x ,y 满足约束条件{x -y +3≥0,x +y -1≤0,y ≥0,则z=x-2y 的最大值为( )A.-5B.-3C.1D.412.已知圆C 与y 轴相切于点(0,5),半径为5,则圆C 的标准方程是 ( )A.(x-5)2+(y-5)2=25B.(x+5)2+(y-5)2=25C.(x-5)2+(y-5)2=5或(x+5)2+(y-5)2=5D.(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=2513.如图,△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,用a ,b 表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,正确的是( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a +34b B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =54a +14b C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =34a +14bD.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =54a -14b14.若数列{a n }的通项a n =2n-6,设b n =|a n |,则数列{b n }的前7项和为 ( )A.14B.24C.26D.2815.已知函数f (x )={3+log 2x ,x >0,x 2-x -1,x ≤0,则不等式f (x )≤5的解集为( )A.[-1,1]B.(-∞,-2]∪(0,4)C.[-2,4]D.(-∞,-2]∪[0,4]二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,满分24分)16.已知角α的顶点与坐标原点重合,终边经过点P(4,-3),则cos α=.17.在等比数列{a n}中,a1=1,a2=2,则a4=.18.袋中装有五个除颜色外完全相同的球,其中2个白球,3个黑球,从中任取两球,则取出的两球颜色相同的概率是.19.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-4x,则当x∈(-∞,0)时,f(x)=.三、解答题(本大题共2小题,每小题12分,满分24分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)20.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A=35,bc=5.(1)求△ABC的面积;(2)若b+c=6,求a的值.21.如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PA=PB=PC=2,E是AC的中点,点F在线段PC上.(1)求证:PB⊥AC;(2)若PA∥平面BEF,求四棱锥B-APFE的体积.(参考公式:锥体的体积公式V=13Sℎ,其中S是底面积,ℎ是高.)22.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2017年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数;(2)若从年龄在[20,40)的广场舞者中任取两名,求这两名广场舞者恰有一人年龄在[30,40)的概率.答案：1.D 【解析】由并集的定义,可得A ∪B={-2,0,2,4}.故选D.2.C 【解析】②不正确,a ,c 的位置关系有三种,平行、相交或异面;③不正确.3.A 【解析】要使y=log 3(x+2)有意义,则x+2>0,解得x>-2,即定义域为(-2,+∞).故选A.4.C 【解析】由a =(2,-2),b =(2,-1),可得a +b =(4,-3),则|a +b |=√42+(-3)2=5.故选C. 5.B 【解析】直线3x+2y-6=0,可化为y=-3x+3,故斜率为-3.故选B. 6.D 【解析】由x 2-9<0,可得-3<x<3.故选D. 7.D【解析】√a 23=a 23,则3=aa 23=a1-23=a 13.故选D.8.A 【解析】平均数x =16×(9+8+7+6+5+7)=7,方差s 2=16[(9-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(7-7)2]=53.故选A.9.B 【解析】在长方体中,B D 12=AB 2+AD 2+A A 12,则22=12+12+A A 12,解得AA 1=√2.故选B.10.A 【解析】∵不等式-4<2x-3<4,∴-12<x<72.∵不等式-4<2x-3<4与不等式x 2+px+q<0的解集相同, ∴不等式x 2+px+q<0的解集为{x |-12<x <72}, ∴-12,72是方程x 2+px+q=0的两个根,。
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟试卷
当n≤11时，数列{an}递减，且an＜1，
当n≥12时，数列{an}递减，且an＞1，
故在数列{an}的前40项中最大项和最小项分别是a12和a11；
故选：D．
13．（4分）函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ| ）的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0， ]上的最小值为（ ）
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟试卷解析版
一．选择题（共15小题，满分60分，每小题4分）
1．（4分）已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]D．（3，4]
【解答】解：由题意得：A＝{x∈N*|x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，
A． B． C． D．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）图象向左平移 个单位得 ，
由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，
又|φ|＜π，∴ ，得 ，
∴ ，
由于 ，∴0≤2x≤π，
∴ ，
当 ，即x＝0时， ．
故选：A．
14．（4分）统计与人类活动息息相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋元时代学者马端临所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间（公元1068﹣1077年），天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如表的统计表格：
求得n＝6，
故选：B．
8．（4分）若 ， ，则sinα的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ， ，可得：sinα＞0，
2021年广东省学业水平考试数学科模拟训练题(三)无答案word
第 1 页2021 广东省学业程度考试数学科模拟训练题〔三〕汕头市高中数学老师工作室 编一．单项选择题〔本大题共 15 小题，每题 4 分，总分值 60 分。
在每题给出的四个选项 中，只有一个是符合题目要求的。
〕1.复数21+i i〔 i 是虚数单位〕的虚部是 A ．1 B ． - 1 C ．i D ． - i 2.集合 A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {0, 3, 6, 9,12},那么 A C N B =A. {1, 5, 7} B ．{3, 5, 7} C ．{1, 3, 9} D ．{1, 2, 3} 3．函数 f (x )2lg(31)x ++的定义域是 A ． (-13,+∞) B ．(-13,1) C ． (-13,13) D ．(-∞,-13)4． a = log 3 2 ，那么 2 l og 3 2 - log 3 6 用 a 表示是A ． a +1B ． 3a -1C ． a -1D ．1- 2a5- y -1 = 0 的倾斜角为A ．150oB ．120oC ．30oD ． 60o6．平面向量 a = (1, 2), b = (-假设a 与ba b + =A ． 3BC ．5D ． 7.以下函数中，既是偶函数又存在零点的是A ． y = ln xB ． y = cos xC ． y = sin xD ． y = x 2 + 18.设数列{}n a (n ∈ N * ) 是等差数列，假设 a 2= 4 ， a 4 = 6 ，那么 a 1+ a 3+ a 5=A ．13B ．14C ．15D ．109.某公司10 位员工的月工资〔单位：元〕为 x 1 ， x 2 ，…， x 10 ，其均值为 x ， 假设从下月起 有一半员工的月工资增加100 元，一半员工的月工资增加 200 元，那么这10 位员工下月工资的均值为A ．x +175B ． x +150C ．x +100D ．x10. cos 3()25πα+=，且α ∈3(,)22ππ，那么 tan α = A ．34 B ．43 C ．34- D ． 34± 11.设函数210()210ax x f x x x -⎧=⎨+≤⎩，假设f ⎡⎣ f (-1)⎤⎦ = 5 ，那么 a = A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 212．给定命题 p :假设 a 2 < 2a ，那么 a < 2 ；命题 q :假设 x ≥ 0 ，那么 x 2 ≥ 0 .那么以下各命题中,假命题的是A ． p ∨ qB ． (⌝p ) ∨ qC ．(⌝p ) ∧ qD ． (⌝p ) ∧ (⌝q )13．如右图所示，D 是△A BC 的边AB 上的中点，那么向量CD =A．12BC BA-+B．12BC BA--C．12BC BA-D．12BC BA+14．某所学校方案招聘男老师x 名,女老师y 名, x 和y 须满足约束条件2526x yx yx-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩那么该校招聘的老师人数最多是A．6 B．8 C．10 D．1215．设m,n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．以下命题中正确的选项是 A．假设α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，那么m ⊥n B．假设m ⊥α，m / /n ，n / / β，那么α⊥βC．假设α/ / β，m ⊂α，n ⊂β，那么m / /n D．假设m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，那么α⊥β二．填空题〔本大题共4 小题，每题4 分，总分值16 分。
广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷
广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷年级：姓名：2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(一)(时间:90分钟 满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.已知集合A={x ∈R |2x-3≥0},集合B={x ∈R |x 2-3x+2<0},则A ∩B= ( )A.{x |x ≥32}B.{x |1<x <2}C.{x |32≤x <2} D.{x |32<x <2} 2.下列函数中,与函数y=√x定义域相同的函数为 ( )A .y=1x B .y=√xC .y=x -2D .y=ln x3.已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2),则直线AB 的斜率为 ( ) A.3 B.-2 C.2 D.不存在4.已知a=log 0.60.5,b=ln 0.5,c=0.60.5,则 ( ) A .a>b>c B.a>c>b C .c>a>b D .c>b>a5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 5=9,S 2=4,则a 2= ( ) A.1 B.2 C.3 D.56.函数f (x )=(12)x -x+2的零点所在的一个区间是 ( ) A .(-1,0) B .(0,1) C .(1,2) D .(2,3)7.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为 ( ) A .√34πB .√33πC .√32πD .√3π8.已知向量a ,b ,|a |=2,b =(3,4),a 与b 的夹角等于30°,则a ·b 等于 ( )A .5B .103√3 C .5√2 D .5√39.为了得到函数y=cos 13x 的图象,只需要把y=cos x 图象上所有的点的 ( ) A .横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变B.横坐标缩小到原来的13,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变D.纵坐标缩小到原来的13,横坐标不变10.在[-3,3]中取一实数赋值给a ,使得关于x 的方程4x 2-4ax+2-a=0有两个实根的概率为 ( ) A .16 B .14 C .13 D .12 11.计算sin 240°的值为 ( )A .-√32B .-12C .12D .√3212.在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边长分别是2,3,4,则cos B 的值为 ( ) A.78 B.1116 C.14D.-1413.设x ,y 满足约束条件{x +1≥0,x -2x ≥0,x +x -3≤0,则z=x-y 的最大值为( ) A.3 B.1 C.-1 D.-514.函数f (x )=12-cos 2(π4-x )的单调增区间是 ( )A.[2x π-π2,2x π+π2],k ∈ZB .[2x π+π2,2x π+3π2],k ∈ZC .[x π+π4,x π+3π4],k ∈Z D .[x π-π4,x π+π4],k ∈Z15.圆:x 2+y 2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最小值是 ( ) A .2 B .1+√2 C .√2-1 D .1+2√2二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.不等式x 2-3x+2<0的解集是 .17.如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数为 .18.计算log 28+log 212的值是 .19.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫作等和数列,这个常数叫作该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=-1,公和为1,那么这个数列的前2 018项和S 2 018= . 三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos A=12.(1)求角A 的大小;(2)若b=2,c=3,求a 的值;(3)求2sin B+cos (π6+x )的最大值.21.如图所示,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,PA=AB ,点E 为PB 的中点. (1)求证:PD ∥平面ACE ;(2)求证:平面ACE ⊥平面PBC.22.在等比数列{a n }中,公比q ≠1,等差数列{b n }满足b 1=a 1=3,b 4=a 2,b 13=a 3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记c n =(-1)nb n +a n ,求数列{c n }的前2n 项和S 2n .答案：1.D 【解析】由题意可得,A={x |x ≥32},B={x |1<x <2},结合交集的定义可得A ∩B={x |32≤x <2}. 2.D 【解析】函数y=√x的定义域是(0,+∞),A 中函数的定义域是{x|x ≠0},B 中函数的定义域是{x|x ≥0},C 中函数的定义域是{x|x ≠0},D 中函数的定义域是(0,+∞).3.B 【解析】由直线的斜率公式得直线AB 的斜率为k=4-20-1=-2.4.B 【解析】log 0.60.5>1,ln 0.5<0,0<0.60.5<1,即a>1,b<0,0<c<1,故a>c>b ,故选B .5.C 【解析】设等差数列{a n }的公差为d , 则a 5=a 1+4d=9,S 2=2a 1+d=4, 解得a 1=1,d=2, ∴a 2=a 1+d=3.6.D 【解析】f (2)·f (3)=(12)2·[(12)3-3+2]=14·(18-1)<0.7.B 【解析】该几何体是底面直径和母线都为2的圆锥,其高为√32×2=√3,体积为13·π·(22)2·√3=√33π.故选B .8.D 【解析】b =(3,4)⇒|b |=5,a ·b =|a |·|b |·cos <a ,b >=2×5×√32=5√3.故选D .9.A 【解析】观察周期2π6π,所以横坐标伸长到原来的3倍,又值域没变,所以纵坐标不变.故选A .10.D 【解析】在[-3,3]中取一实数赋值给a ,则-3≤a ≤3,若方程4x 2-4ax+2-a=0有两个实根,则判别式Δ=16a 2-16(2-a )≥0,即a 2+a-2≥0,解得a ≥1或a ≤-2,故满足条件的概率P=-2-(-3)+3-13-(-3)=36=12.故选D .11.A 【解析】sin 240°=sin (180°+60°)=-sin 60°=-√32.故选A .12.B 【解析】由余弦定理得,cos B=22+42-322×2×4=1116.故选B . 13.B 【解析】作出可行域如图所示,y=x-z ,作l 0:y=x ,当l 0移至l 1,l 2两直线交点H 时截距-z 最小,即z 最大,H (-1,-2),z max =-1+2=1.故选B .14.C 【解析】f (x )=12-cos 2(π4-x )=12−1+cos (π2-2x )2=-12sin 2x ,即求g (x )=12sin 2x 的单调递减区间: 2k π+π2≤2x ≤2k π+3π2,k ∈Z ,k π+π4≤x ≤k π+3π4,k ∈Z .故选C .15.C 【解析】把圆的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-1)2=1,∴圆心坐标为(1,1),半径r=1,∴圆心到直线x-y=2的距离d=√2=√2,则圆上的点到已知直线距离的最小值为d-r=√2-1. 故选C .16.(1,2) 【解析】∵x 2-3x+2<0,∴(x-2)(x-1)<0,∴{x|1<x<2}. 17.85 【解析】去掉一个最高分93分和一个最低分79分后,余下的五个分数依次是:84,84,85,86,87,中位数是85.18.2 【解析】log 28+log 212=log 2(8×12)=log 24=log 222=2log 22=2×1=2.19.1 009 【解析】根据题意,得a n +a n+1=1,n ∈N *且a 1=-1, 所以a 1+a 2=-1+a 2=1,即a 2=2,a 3=-1,a 4=2,…, 所以数列的周期T=2,所以S 2 018=(-1+2)+(-1+2)+…+(-1+2)=20182=1 009.20.【解】(1)△ABC 中,∵cos A=12,∴A=π3. (2)若b=2,c=3,则a=√x 2+x 2-2xx ·cos x =√4+9-12×12=√7.(3)2sin B+cos (π6+x )=2sin B+√32cos B-12sin B=32sin B+√32cosB=√3sin (x +π6), ∵B ∈(0,2π3),∴B+π6∈(π6,5π6),故当B+π6=π2时,2sin B+cos (π6+x )取得最大值为√3. 21.【证明】(1)连接BD 交AC 于O ,连接EO , ∵四边形ABCD 为矩形,∴O 为BD 中点. ∵E 为PB 的中点,∴EO ∥PD. 又EO ⊂平面ACE ,PD ⊄平面ACE , ∴PD ∥平面ACE.(2)∵PA ⊥平面ABCD ,BC ⊂底面ABCD , ∴PA ⊥BC.∵底面ABCD 为矩形,∴BC ⊥AB. ∵PA ∩AB=A ,∴BC ⊥平面PAB , ∵AE ⊂平面PAB ,∴BC ⊥AE.∵PA=AB ,E 为PB 中点,∴AE ⊥PB. ∵BC ∩PB=B , ∴AE ⊥平面PBC , 而AE ⊂平面ACE ,∴平面ACE ⊥平面PBC.22.【解】(1)设等差数列{b n }的公差为d ,则有{3+3x =3x ,3+12x =3x 2,解得{x =3,x =2或{x =1,x =0(舍). 所以a n =3n,b n =2n+1.(2)由(1)可知c n =(-1)n (2n+1)+3n, 则S 2n =(3+32+…+32n )+{(-3)+5+(-7)+9+…+[-(4n-1)]+(4n+1)}=3×(1-32x )1-3+[(5-3)+(9-7)+…+(4n+1-4n+1)]=32x +1-32+2n.。
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(六) Word版含答案
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(六)(时间:90分钟 满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分) 1.不等式x (x-2)≤0的解集是 ( ) A.[0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2]2.全集为实数集R ,M={x|-2≤x ≤2},N={x|x<1},则(∁R M )∩N= ( ) A .{x|x<-2} B .{x|-2<x<1} C .{x|x<1} D.{x|-2≤x<1}3.为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,18号,44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是 ( ) A.23 B.27 C.31 D.334.直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是 ( ) A .12 B .1 C .2 D .45.函数f (x )=lg (x+1)x的定义域是 ( )A .(-1,0)∪(0,+∞)B .[-1,0)∪(0,+∞)C .(-1,+∞)D .[-1,+∞)6.以(a ,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为 ( )A.(x-1)2+(y-1)2=5 B .(x+1)2+(y+1)2=5 C .(x-1)2+y 2=5 D .x 2+(y-1)2=57.设函数f (x )={1-x 2,x ≤1,x 2+x -2,x >1,则f (1f (2))的值为 ( )A .18B .-2716C .89D .1516 8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.πB.2πC.3πD.4π9.已知sin α=23,则cos(π-2α)等于 ( )A .-√53B .-19 C .19 D .√53 10.实数x ,y 满足{x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y ≤1,则z=x-y 的最大值是( )A.-1B.0C.3D.411.已知非零向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A .13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB⃗⃗⃗⃗⃗ B .23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ C .13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ D .13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −43OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 12.函数f (x )=2x+3x 的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)13.函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象如图所示,则f (x )的解析式为( )A .f (x )=12sin 12x+1B .f (x )=sin 12x+12 C .f (x )=12sin πx2+1 D .f (x )=sin πx2+1214.设α,β为钝角,且sin α=√55,cos β=-3√1010,则α+β的值为 ( )A .3π4 B .5π4C .7π4D .5π4或7π4 15.已知数列{a n }满足a n+1=11-a n,若a 1=12,则a 2 018=( )A.2B.-2C.-1D.12二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分) 16.函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是 .17.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3,则该直四棱柱的侧面积为 .18.若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )·b =0,则a 与b 的夹角为 . 19.计算sin (-15π6)cos20π3tan (-7π6)= .三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.在锐角三角形ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b ,且2a sin B=√3b. (1)求角A 的大小;(2)若a=3,求△ABC 周长l 的最大值.21.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PC=AD=CD=12AB=2,AB ∥DC ,AD ⊥CD ,PC ⊥平面ABCD.(1)求证:BC ⊥平面PAC ;(2)若M 为线段PA 的中点,且过C ,D ,M 三点的平面与线段PB 交于点N ,确定点N 的位置,说明理由;并求三棱锥N -AMC 的体积.22.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n+1=2S n +1,数列{b n }满足a 1=b 1,点P (b n ,b n+1)在直线x-y+2=0上,n ∈N *. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)设c n =bn a n,求数列{c n }的前n 项和T n .答案：1.D 【解析】不等式x (x-2)≤0对应方程的两个实数根为0和2,所以该不等式的解集是[0,2]. 故选D .2.A 【解析】∵M={x|-2≤x ≤2}, ∴∁R M={x|x<-2,或x>2}, 又∵N={x|x<1},∴(∁R M )∩N={x|x<-2}. 故选A .3.C 【解析】因为5号,18号,44号同学在样本中,18-5=13,44-18=26,所以抽样间隔为13,样本中还有一位同学的编号应该是18+13=31.故选C .4.B 【解析】∵2x-y+2=0中, 由x=0,得y=2;由y=0,得x=-1.∴直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是 S=12×2×1=1. 故选B .5.A 【解析】{x +1>0,x ≠0,解得,x>-1且x ≠0,区间形式为(-1,0)∪(0,+∞),故选A .6.A 【解析】由题意得,点(a ,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径.∴|2a -1+4|√2+(-1)=√2+(-1),解得a=1.∴r=|2×1-1+4|√2+(-1)=√5,∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5. 7.D 【解析】f (2)=22+2-2=4,则f (1f (2))=f (14)=1-(14)2=1516. 故选D .8.C 【解析】三视图还原的几何体是圆柱,底面半径为1、高为3, 所以这个几何体的体积是π×12×3=3π. 故选C .9.B 【解析】由三角函数的诱导公式可知cos(π-2α)=-cos 2α,由倍角公式可得cos 2α=1-2sin 2α=1-2×49=19,cos(π-2α)=-19,故选B .10.C 【解析】作出不等式{x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y ≤1对应的平面区域如图,由z=x-y ,得y=x-z ,平移直线y=x-z ,由图象可知,当直线y=x-z 经过点B (3,0)时,直线y=x-z 的截距最小,此时z 最大.此时z 的最大值为z=3-0=3.故选C .11.A 【解析】BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇔OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A . 12.B【解析】∵f (-1)=12-3<0,f (0)=1>0,∴f (-1)·f (0)<0.又函数f (x )的图象在(-1,0)上是连续不断的,故f (x )的零点所在的一个区间为(-1,0).故选B . 13.C 【解析】由函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象可知,A=1.5-0.52=12,b=1.5+0.52=1, 又最小正周期T=4=2πω,∴ω=π2.又0×ω+φ=0,∴φ=0.∴f (x )的解析式为f (x )=12sin πx2+1.故选C .14.C 【解析】∵α,β为钝角,且sin α=√5,cos β=-3√10, ∴cos α=-2√55,sin β=√1010,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-2√55×(-3√1010)−√55×√1010=√22,又α,β为钝角,∴α+β∈(π,2π),∴α+β=7π4.故选C . 15.A 【解析】∵a n+1=11-a n,a 1=12,∴a 2=11-a1=11-12=2, a 3=11-a2=11-2=-1, a 4=13=1=1, ∴数列{a n }是以3为周期的周期数列,∵2 018=672×3+2, ∴a 2 018=a 2=2.故选A .16.[1,2) 【解析】要使函数有意义,须满足{x -1≥0,2-x >0,解得1≤x<2,∴函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是[1,2).17.16√2 【解析】如图所示,直四棱柱底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3,∴侧棱长为CC 1=√(2√3)2-22=2√2,。
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(七)含答案
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(七)(时间:90分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共15小题.每小题6分,满分90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={-1,0,1,2},N={x|-1≤x<2},则M ∩N= ( ) A.{0,1,2} B.{-1,0,1} C.M D.N2.对任意的正实数x ,y ,下列等式不成立的是 ( )A.lg y-lg x=lg yx B.lg (x+y )=lg x+lg y C.lg x 3=3lg xD.lg x=lnxln10 3.已知函数f (x )={x 3-1,x ≥02x ,x <0,设f (0)=a ,则f (a )=( )A.-2B.-1C.12 D.04.定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x=2对称,且f (x )在(-∞,2)上是增函数,则 ( ) A .f (-1)<f (3) B .f (0)>f (3) C .f (-1)=f (3) D .f (0)=f (3)5.圆E 经过三点A (0,1),B (2,0),C (0,-1),且圆心在x 轴的正半轴上,则圆E 的标准方程为 ( ) A .(x -32)2+y 2=254 B .(x +34)2+y 2=2516 C .(x -34)2+y 2=2516 D .(x -34)2+y 2=2546.已知向量a =(1,1),b =(0,2),则下列结论正确的是 ( ) A.a ∥b B.(2a -b )⊥b C.|a |=|b | D.a ·b =37.某校高一(1)班有男、女学生共50人,其中男生20人,用分层抽样的方法,从该班学生中随机选取15人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是 ( ) A.6和9 B.9和6 C.7和8 D.8和78.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形,则该几何体的体积为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.89.若实数x ,y 满足{x -y +1≥0,x +y ≥0,x ≤0,则z=x-2y 的最小值为 ( )A.0B.-1C.-32 D.-210.如图,O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点,则下列等式正确的是 ( )A.DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗B.DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ 11.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=√3,b=2,c=√13,则C= ( ) A.5π6 B.π6 C.2π3 D.π3 12.函数f (x )=4sin x cos x ,则f (x )的最大值和最小正周期分别为 ( )A.2和πB.4和πC.2和2πD.4和2π13.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别为棱AA 1,B 1C 1,C 1D 1,DD 1的中点,则下列直线中与直线EF 相交的是 ( ) A .直线CC 1 B .直线C 1D 1 C .直线 HC 1 D .直线GH14.设函数f (x )是定义在R 上的减函数,且f (x )为奇函数,若x 1<0,x 2>0,则下列结论不正确的是 ( ) A.f (0)=0 B.f (x 1)>0C.f (x 2+1x 2)≤f (2) D.f (x 1+1x 1)≤f (2)15.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n+1-2,则a 1+a 2+…+a n =( )A.4(2n -1)2B.4(2n -1+1)2C.4(4n -1)3D.4(4n -1+2)3二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,满分24分)16.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地……”,则该人最后一天走的路程为 。
2021年广东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷(含解析)
2021年广东省普通高中学业水平考试科合格性考试数学仿真模拟卷01（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不．正确的是()A．a－d＞b－c B.ad＞bcC．a＋d＞b＋c D．ac＞bd1．【答案】C【解析】可利用不等式的基本性质一一验证．由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正确；由c＞d＞0，得1d＞1c＞0，又a＞b＞0，所以ad＞bc，即B正确；显然D正确．2．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝()A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}2. 【答案】C【解析】借助数轴可得{x|2＜x＜3}．3．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是()A．4 B．3 C．2 D．13. 【答案】C【解析】函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.4．已知三个数a＝60.7，b＝0.70.8，c＝0.80.7，则三个数的大小关系是()A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．a>c>b4. 【答案】D【解析】 a ＝60.7>60＝1，c ＝0.80.7>0.70.7>0.70.8＝b ，且c ＝0.80.7<0.80＝1，所以a >c >b . 5．若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．3 5. 【答案】B【解析】等差数列中，设S 2＝a 1＋a 2＝x ，则a 3＋a 4＝S 4－S 2＝4－x ，a 5＋a 6＝S 6－S 4＝8，则S 2，S 4－S 2，S 6－S 4仍成等差数列，所以2(4－x )＝x ＋8，解得x ＝0，即S 2＝0故选B.6．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( )A.2 B ．2－2 C.2－1D.2＋16．【答案】C 【解析】由点到直线的距离公式知d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1± 2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.7．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)7. 【答案】B【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 8．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C ．59 D ．538. 【答案】A【解析】利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，∵2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33＞0，∴2kα＋α2＜α＜2kα＋34α(k∈Z)，∴4kα＋α＜2α＜4kα＋32α(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53.9．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310B.15C.110D.1129．【答案】A【解析】随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{}1，2，{}1，5，{}2，4，共3种，故所求答案为A.10．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 10. 【答案】B【解析】作出满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域，如图所示，作直线l 1：2y －2x ＝t ，当l 1经过B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.故选B.11．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，若a ∥b ，则tan θ＝( ) A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－3 11. 【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴sin θ－3cos θ＝0，即sin θ＝3cos θ.故tan θ＝ 3.12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A ．π4B ．π－22C ．π6 D ．4－π412. 【答案】D【解析】如图所示，区域D 是正方形OABC ，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π，所以所求事件的概率P ＝4－π4.13．设函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为M ，则( ) A ．T ＝π，M ＝1 B ．T ＝2π，M ＝1 C ．T ＝π， M ＝2 D ．T ＝2π，M ＝213. 【答案】A【解析】由于三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的最小正周期T ＝2αω，最大值为A ＋B ；∴函数y＝2sin2x －1的最小正周期T ＝2α2＝α，最大值M ＝2－1＝1.14．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 14. 【答案】C【解析】∵n ⊥β，且α，β交于直线l .l ⊂β，∴n ⊥l .15．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值为2，方差为1，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1，平均值和方差分别为( )A ．5，4B ．5，3C ．3，5D ．4，5 15. 【答案】A【解析】一组数据x 1，x 2，x 3…，x n 的平均值为2，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均数是2×2＋1＝5；又数据x 1，x 2，x 3，…x n 的方差为1，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的方差是22×1＝4，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上)16．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．16. 【答案】15【解析】由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.17．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是________米．17. 【答案】1.76【解析】由小到大排列为1.69，1.72，1.75, 1.77，1.78, 1.80.中位数是1.75＋1.772＝1.76.18．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________．18．【答案】6766升【解析】设最上面一节的容积为a 1，公差为d ，则有⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4.即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝6766，故第5节的容积为6766升．19．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________． 19. 【答案】4【解析】∵A ，B ，C 三点共线，∴a －35－4＝5－36－4，∴a ＝4.三、解答题(本大题共3个题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 20．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如图所示坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．20.解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －α4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2α2＝α，初相为－α4. (2)列表并描点画出图象：故函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－α2，α2上的图象是21．(12分)已知四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，E 是P A 的中点．求证：(1)PC ∥平面EBD ； (2)平面PBC ⊥平面PCD ．21.证明：(1)连接AC 交BD 与O ，连接EO ，∵E ，O 分别为P A ，AC 的中点， ∴EO ∥PC .∵PC ⊄平面EBD ，EO ⊂平面EBD ， ∴PC ∥平面EBD . (2)∵PD ⊥平面ABCD BC ⊂平面ABCD ∴PD ⊥BC ∵ABCD 为正方形 ∴BC ⊥CD 又∵PD ∩CD ＝D ∴BC ⊥平面PCD ∵BC ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面PCD .22．(12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．22．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，得a 1＝13. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n . (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝ －(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2. 故1b n＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)．1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n}的前n 项和为－2n n ＋1.。