八年级数学上册第二章实数2平方根第1课时算术平方根课件新版北师大版
《平方根第1课时》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】
第二章
实数
2. 2 算术平方根
第 1 课时 教学设计
学生对数的认识由有理数扩展到实数范围,而本课是学习无理数的前提,是学习实数的衔接与过度,通过学习算术平方根,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维,算术平方根的学习为后面的平方根学习以及立方根的学习奠定坚实的基础.
1. 了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根；了解一个正数的算术平方
根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆关系求某些非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质.
2. 加强概念形成的教学，提高学生的思维水平；鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识
和合作精神.
3. 让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲；训练学生动脑，动口和动手的能力.
【教学重点】
算术平方根的概念，性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.
【教学难点】
算术平方根的概念，性质.
多媒体课件，白板.
一、 创设情境，引入新知
学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴，她想裁出一块面积为25分米2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？（谁来说 ◆教材分析
◆教学目标
◆教学重难点
◆
◆课前准备
◆
◆教学过程
这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？）
二、合作交流，探究新知
（一）算术平方根的概念
1. 完成下表：
正方形的面积 1 9 16 36
254
边长
这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积
求边长的问题.（通过解决这个问题，我们就引出了算术平方根的概念.）
正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根.
正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根.
说说6和36这两个数？
……（多让几位同学说，学生说得不正确的地方教师随即纠正）
说说1和1这两个数？（师让学生拿出提前准备好这样的10张卡片，一面写1－10，
北师大版初二(上)数学第二章实数讲义(二)
第二章实数
2.2平方根
1．平方根
(1)平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).32＝9，所以3是9的平方根．(－3)2＝9，所以－3也是9的平方根，所以9的平方根是3和－3.
(2)平方根的表示方法：正数a的平方根可记作“±a”，读作“正、负根号a”．“ ”读作“根号”，“a”是被开方数．例如：2的平方根可表示为±2.
(3)平方根的性质：若x2＝a，则有(－x)2＝a，即－x也是a的平方根，因此正数a的平方根有两个，它们互为相反数；只有02＝0，故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都不会是负数，故负数没有平方根．综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根．
一个数a的平方根可以表示成±a.
（1）不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，（2）式子√a只有当a≥0时才有意义,因为负数没有平方根.
【例1】 求下列各数的平方根：
(1)81；(2)(－7)2；(3)11549.
【例2】 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．
(1)94；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22.
【例3】如果一个正数的两个平方根为a+1和2a-7，请你求出这个正数 .
2.算术平方根
(1)算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根．
(2)算术平方根的表示方法：正数a的算术平方根记作“a”，读作“根号a”．
(3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，当然也没有算术平方根．
算术平方根的性质
(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；
(2)一个正数a的正的平方根就是它的算术平方根．如果知道一个数的算术平方根，就可以写出它的负的平方根．
八年级数学上册第二章实数7二次根式第1课时二次根式和最简二次根式教案新版北师大版
7 二次根式
第1课时 二次根式和最简二次根式
1．了解二次根式和最简二次根式的概念．
2．探究二次根式的性质，并能利用性质将二次根式化为最简二次根式．
重点
正确判断最简二次根式．
难点
利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．
一、复习导入
1．什么是平方根、算术平方根？
2．课件出示题目：
观察下列代数式：5，11，7.2，49121，（c＋b）（c－b）(其中b＝24，c＝25)．上述式子有什么共同特征？
生：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数．
二、探究新知
二次根式的概念．
一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．强调条件：a≥0.
师：二次根式有些什么性质呢？
课件出示教材第41页“做一做”．
师：观察上面的结果，你得出了什么结论？从上面得出的结论中，你发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？
板书：ab＝a·b(a≥0，b≥0)，ab＝ab(a≥0, b>0)．
积的算数平方根，等于算数平方根的积；
商的算数平方根，等于算数平方根的商．
三、举例分析
1．课件出示教材第42页例1.
师：化简以后的结果中，被开方数有什么特征？
例1的化简结果56，53中，被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数．一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．
2．课件出示教材第42页例2.
分析：例2是在学习了最简二次根式之后设计的，学生已经能分辨出哪些二次根式是最简的，哪些不是最简的，旨在利用所学公式将非最简二次根式化为最简二次根式．
3．课件出示教材第42页“议一议”．
分析：对于较大的数，我们一般采取小学学过的短乘法的形式来判断，如50＝2×5×5，从而发现含有开得尽方的因数，14＝2×7，故判断是最简二次根式．含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略乘号．
八年级数学上册2.2平方根第1课时算术平方根教案 新版北师大版
八年级数学上册2.2平方根第1课时算术平方根教案 新版北师大版
一. 教材分析
平方根是八年级数学上册第2.2节的内容，主要介绍平方根的定义、性质和运算方法。本节课的内容是学生进一步学习数学的基础，对于培养学生的逻辑思维和运算能力具有重要意义。
二. 学情分析
学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘方和二次根式，对于根式的概念和性质有一定的了解。但平方根的概念和性质较为抽象，需要学生通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标
1. 理解平方根的定义和性质；
2. 掌握求一个数的平方根的方法；
3. 能够运用平方根的概念解决实际问题。
四. 教学重难点
1. 平方根的定义和性质；
2. 求一个数的平方根的方法。
五. 教学方法
采用问题驱动法和案例教学法，通过引导学生自主探究和合作交流，让学生在实际问题中感受平方根的概念和性质，提高学生的数学思维和解决问题的能力。
六. 教学准备
3. 练习题。
七. 教学过程
1. 导入（5分钟）
利用PPT展示一些生活中的实例，如测量身高、计算面积等，引导学生思考这些实例中是否涉及到平方根的概念。通过讨论和回答问题，引出平方根的概念。
2. 呈现（10分钟）
讲解平方根的定义和性质，通过PPT展示相关的例题和解释，让学生理解和掌握平方根的概念。 3. 操练（10分钟）
让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 巩固（10分钟）
让学生分组讨论，互相提问，巩固对平方根的理解。教师可以提出一些问题，引导学生深入思考。
5. 拓展（10分钟）
讲解求一个数的平方根的方法，并通过PPT展示相关的例题和解释，让学生掌握求平方根的技巧。
6. 小结（5分钟）
让学生总结本节课所学的内容，教师进行补充和讲解。
7. 家庭作业（5分钟）
布置一些有关平方根的练习题，让学生回家巩固所学知识。
8. 板书（5分钟）
板书本节课的重点内容，方便学生复习和记忆。
北师大版八上数学2.2平方根知识精讲
知识点总结
平方根
1. 概念：若果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a，那么x叫做a的平方根，记作+-√a（a≧0）（有些同学容易弄混，所以直接可以理解为，一个非负数开平方出来，其中的正数就是算术平方根，例：+-√36=+-6，其中6就是算术平方根，+-6整体就是平方根）
2. 平方根的性质：一、正数有两个平方根，它们互为相反数
注意：
一、根号下面的整体必须大于等于0（例子：√x-3（根号下x-3）中隐含着x-3≧0，）
二、0的平方根是0
三、负数没有平方根
知识点汇总
1
基本概念
1、平方根
如果x的平方等于a，那么x叫做a的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算.
a（a≥0）的平方根的符号表达为±√a(a≥0)，其中√a是a的算术平方根。（根号电脑无法输入，此处仅为示意，请以授课中的根号表示方法为准）
【要点诠释】 当式子√a有意义时，a一定表示一个非负数，即√a≥0，a≥0。
平方根和算术平方根的区别
2、区别：
（1）定义不同；（2）结果不同；
3、联系：
（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
【要点诠释】
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
4.平方根的性质
5.平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：
今日练习
1
1.计算的结果是：
A．2 B．±2 C．-2 D．4
【参考答案】
1.根据22=4，即可得出4的算术平方根.
考点：算术平方根
点评：此题考查了算术平方根。注意：一个正数的算术平方根为正数. 教学设计：
八年级数学上册 第2章 第2节《平方根》讲学稿1(新版)北师大版
平方根（一）
课型：新授课
学习目的：1.理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；
2.会用平方运算求某些非负数的算术平方根.
模块一：自主学习
模块二：交流研讨 学习内容
摘 记
【温故知新】
1、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.1415926， 2.1， －π， －311， -12，1.010010001…….
解：有理数：__________________________________________
无理数：
27 213 221= 225
（+ ）2=225 （+ ）2=400 （+ ）2=64
【自主探究】
1、如图所示，右边的大正方形是由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大的正方形，那么有2a ，2是 ，而a是 ，怎样表示a呢？
2、请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
2x ，2y ，2z ，2w ．
wzyx,,,中哪些是有理数？哪些是无理数？怎样表示它们？
3、 求下列各数的算术平方根.
（1） 900 （2） 1 （3） 4925 (4) 7
解：（1）∵ 2= 900，∴ 900的算术平方根是 即900
（2）
（3）
（4） 【知识的回顾】
1、无理数是
小数。
2、无限小数包括 。
3、无限循环小数和有限小数统称为 。
【知识的归纳】
北师大数学八年级上册第二章2.2平方根讲义
1
2.2平方根 （解析）
知识点
一．平方根
定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．
表示 若2xa，则x就叫做a的平方根，例：25=25（），25的平方根就是5．
一个非负数a的平方根可用符号表示为“a”.
特征 1．正数有两个平方根，且互为相反数，和为0；
2．0的平方根只有一个，是它本身；
3．负数没有平方根．
二．算术平方根
概念 如果一个非负数x的平方等于a，即 2xa，那么非负数x是a的算术平方根．
表示 a的算术平方根用a表示．a叫做被开方数（0a）．
例：9=3 ，9叫做被开方数，3是9的算术平方根.
性质 双重非负性，在xa中有0x，0a．
三．开平方
概念 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．
意义 开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．
性质 1．当被开方数扩大(或缩小)2n倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n倍（0n）．例：1扩大100倍为100，它的平方根相应的变为10.
2．平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
若0a，则2()aa；
不管a为何值，总有2(0)||(0)aaaaaa注意二者之间的区别及联系．
四．易错点：
1．只有非负数才有平方根，负数没有平方根；
2．正数的平方根有两个，且互为相反数；
3．0的平方根和算术平方根都是0；
4．计算.例如，求 16的算术平方根，学生会错写为4，应该是2；
5．求一个带分数的平方根时，必须把带分数化为假分数.
重点、难点
《平方根》(第1课时)示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】
第二章实数
2.平方根（1） 教学设计
一、教学目标
1．了解算术平方根的定义,会用根号表示一个数的算术平方根.
2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根，了解算术平方根的性质.
二、教学重点及难点
重点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示正数的算术平方根；
难点：对算术平方根的概念和性质的理解．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
有关图片
五、教学过程
【复习回顾】复习回顾，引出新课
1.有理数和无理数的区别：
2. 22=
； 22=3 ；
若ax2，则a叫x的平方，x叫a的什么？
这就是本节课我们探究的内容.
设计意图：带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．
板书：2.平方根（1）
【新知讲解】合作交流，探究新知
探究一：算数平方根定义
前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
2x 2 ，2y 3 ，2z 4 ，2w 5 ．
已知幂和指数，求底数，你能求出来吗？
定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00．
设计意图：在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出算数平方根的定义，并让学生明白平方和算数平方根之间的互逆关系，为求算数平方根作铺垫.
探究二：算数平方根的性质
活动1.填空：（1）因为22＝4，所以2叫做4的____________；
（2）因为32＝9，所以3叫做9的____________；
（3）因为52＝25，所以5叫做25的____________；
（4）因为02＝0，所以0叫做0的____________；
北师大版八年级上册第二章实数知识点梳理及题型解析
第二章《实数》知识点梳理及题型解析
一、知识归纳
（一）平方根与开平方
1. 平方根的含义
若是一个数的平方等于a，那么那个数就叫做a的平方根。
即ax2，x叫做a的平方根。
2.平方根的性质与表示
⑴表示：正数a的平方根用a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根，a叫做a的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：a（根指数2省略）
0有一个平方根，为0，记作00 ，负数没有平方根
⑶平方与开平方互为逆运算
开平方：求一个数a的平方根的运算。
aa2==aa 00aa aa2
（0a）
⑷a的双重非负性
0a且0a （应用较广）
例：yxx44 得知0,4yx
⑸若是正数的小数点向右或向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一名。
区分：4的平方根为____ 4的平方根为____
____44开平方后，得____ 3.计算a的方式精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294
*假设0ba，那么ba
（二）立方根和开立方
1．立方根的概念
若是一个数的立方等于a，呢么那个数叫做a的立方根，记作3a
2. 立方根的性质
任何实数都有唯一确信的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.
3. 开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。
aa33 aa33 33aa
（a取任何数）
这说明三次根号内的负号能够移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推行： n次方根
１. 若是一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，那个数就叫做a的n次方根。
当n为奇数时，那个数叫做a的奇次方根。
当n为偶数时，那个数叫做a的偶次方根。
２. 正数的偶次方根有两个：na；０的偶次方根为０：00n；负数没有偶次方根。
北师大版初中数学八年级(上)第二章实数2-7二次根式(第1课时)教学详案
第二章 实 数
7 二次根式
第1课时 二次根式及其化简
教学目标
1.会区分二次根式与最简二次根式;
2.能运用算术平方根的性质，进行二次根式的化简;
3.经历二次根式的基本性质，运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象、从特殊到一般的概括能力,体验归纳、猜想的思想方法.
教学重难点
重点：运用算术平方根的性质，进行二次根式的化简;
难点：会利用积与商的算术平方根的性质化简二次根式.
教学过程
导入新课
1.做一做：
√169= 13 ，√42= 4 ，（√4）2= 4 ，√𝑎2= ｜a｜ , （√𝑎）2=a.
2.观察下列代数式：
(1)√5 ； (2)√11 ； (3)√7.2 ； (4)√49121；
(5)√𝑎2+1 ； (6)√(𝑐+𝑏)(𝑐−𝑏)(其中b=24，c=25).
这些式子有什么共同特征？
(1)形式上含有根号;(2)根指数都为2;(3)被开方数为正数.
探究新知
一般地，形如√𝑎（a≥0）的式子叫做二次根式,其中a是被开方数.
判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方数为非负数.
【例1】 说一说下列各式哪些是二次根式.
(1) √32； (2)6； (3) √−12；
(4) √−𝑚（m≤0）； (5) √𝑥𝑦； (6)√53.
【解】（1）（4）.
（2）没有开方运算；
（3）被开方数是负数；
（5）xy可能是负数；
（6）根指数不是2
活动：探究二次根式的性质
计算下列各式，你能发现什么?
（1）√4×√9= 6， √4×9=6 ；
√16×√25= 20， √16×25=20；
√4√9＝23，√49＝23；√16√25＝45，√1625＝45．
（2）用计算器计算：