树德中学2017-2018学年高一上学期12月数学试题

树德中学高2017级高一学年上期12月月考数学试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案集中填写在答题卷上．）1．设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =， 则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A.{}2B.{}4,6C.{}1,3,5D.{}4,6,7,8 【答案】B 【解析】(){}4,6U C A B =【考点】集合的运算 【难度】★★★2．设12log 3a =，0.60.5b =，132c =，则（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c << 【答案】A【解析】12log 30a =<，0.60.61100.5122b ⎛⎫⎛⎫===<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，103221c =>= c b a ∴>>【考点】对数运算 【难度】★★★3．下列判断正确的是（ ）A.若1sin 2α=，且α为第一象限角，则6πα=B.若由2,2017a a 组成的集合M 中有且仅有一个元素，则2017a =C.若a be e <，则ln ln a b <D.若函数()y f x =在区间(3,1)k k -+上具有奇偶性，则1k = 【答案】D 【解析】1.sin 226A k πααπ⇒=+或526k παπ=+，A 错； 2.20170B a a a =⇒=或2017a =，B 错；.a b C e e a b <∴<，当0a b <<时，ln a ，ln b 无意义，C 错；().D y f x =在区间(3,1)k k -+上具有奇偶性，3101k k k ∴-++=⇒=，D 正确. 【考点】函数的性质4．直角坐标系中，已知角α的终边不在坐标轴上，则式子|sin ||cos ||tan |sin cos tan αααααα++的值的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】①α在第一象限时，()3fα=；②α在第二象限时，()1f α=-； ③α在第三象限时，()1f α=-； ④α在第三象限时，()1f α=-；故答案为：{}1,3- 【考点】三角函数的定义 【难度】★★★ 5．函数x x y -=2log 的图象大致是（ ）【答案】A【解析】()()()()110;40;160;646820f f f f =-<===-=-<，故选A 【考点】函数图像 【难度】★★★★6．已知θ是第二象限角，那么3θ是（ ） A.第一象限角 B.第一或第二象限角C.第一或第二或第三象限角D.第一或第二或第四象限角 【答案】D 【解析】222k k ππθππ+<<+，2236333k k ππθππ∴+<<+；①3k n =时，22633n n πθπππ+<<+，3θ第一象限； ②31k n =+时，52263n n πθπππ+<<+，3θ第二象限； ③32k n =+时，3522233n n πθπππ+<<+，3θ第四象限； 故选D.【考点】三角函数的定义7．函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且为偶函数．若(1)3f -=，(3)1f =，则满足1(23)3f x ≤-≤的x 的取值范围是（ ）A.[]1,3B.[]2,3C.[][]0,12,3D.[]0,1【答案】C【解析】()()1(23)33(23)1f x f f x f ≤-≤⇒≤-≤-,又()f x 为偶函数，()()()3(23)231f f x fx f ∴≤-=-≤()f x 在[0,)+∞上单调递减，123301x x ∴≤-≤⇒≤≤或23x ≤≤；故选C.【考点】解抽象函数不等式 【难度】★★★★8．已知函数2()24(0)f x ax ax a =++>，若12x x <，120x x +=，则（ ）A.12()()f x f x <B.12()()f x f x =C.12()()f x f x >D.1()f x 与2()f x 的大小不能确定 【答案】A【解析】()()()()1212122f x f x a x x x x -=-⋅++，()()1212120,,0,0a x x x x f x f x ><+=∴-<，即()()12f x f x <，选A.【考点】二次函数根的分布 【难度】★★★★9．已知5,6()1,6(2)x x f x x f x -≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，则(1)f -=（ ） A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C 【解析】()()()()()1111(1)3752111537f f f f f f -======-= 【考点】分段函数求值【难度】★★★10．已知函数2()lg(2)f x ax x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A.[1,1]-B.[0,1]C.(,1)(1,)-∞-+∞D.(1,)+∞【答案】B【解析】令()22g x ax x a =-+，①0a=，()2g x x R =-∈；②0a≠，0010a a >⎧⇒<≤⎨∆≥⎩；综上，[]0,1a ∈.【考点】复合函数 【难度】★★★★11．已知1x 是函数2()log 2017f x x x =-的一个零点，2x 是函数()22017xg x x =⋅-的一个零点，则12x x ⋅的值为（ ）A.4034B.22017 C.2017 D.1 【答案】C【解析】由题2211220172017log =,2,x x x x =，又2log =2x y x y =与互为反函数，故201720171121=⋅=⋅x x x x 【考点】零点问题 【难度】★★★★12．若定义在R 上的函数()f x 满足：1212()()()1f x x f x f x -=--，其中12,x x R ∈， 则下列说法一定正确的是（ ）A.()f x 为奇函数B.()1f x +为奇函数C.()f x 为偶函数D.()1f x +为偶函数 【答案】B【解析】易知，[](0)1()1()1()(0)()1f f x f x f x f f x =-⎧⇒--+=+⎨-=--⎩，故B 正确。

【考点】函数的奇偶性【难度】★★★★二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填写在答题卷上．） 13．23012lg 42lg 564-⎛⎫+--=⎪⎝⎭___________．【答案】15 【解析】23012lg 42lg 516121564-⎛⎫+--=+-=⎪⎝⎭【考点】指对数运算 【难度】★★★14.已知幂函数253()(1)m f x m m x --=--在(0,)+∞上是增函数，则m =_________．【答案】-1【解析】2(1)11530m m m m ⎧--=⇒=-⎨-->⎩【考点】幂函数 【难度】★★★15．已知非空集合M 同时满足条件：①{1,2,3,4,5}M ⊆； ②若a M ∈，则6a M -∈． 那么，这样的集合M 一共有 个． 【答案】7【解析】依题意，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=}5,4,3,2,1{}5,4,2,1{}4,3,2{},5,3,1{}4,2{},5,1{}3{M ,共7个。

【考点】集合 【难度】★★★16．已知定义在[2,2]-上的函数)(x f y =和)(x g y =，其图象如下图所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上） 【答案】①③④【解析】]2,1[,0],1,2[--三个)(x f 零点在)(x g 图像上都有两个x 满足，故①对，同理②错， ③④对。

【考点】函数与方程 【难度】★★★★★三、解答题（共6题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卷的相应题号的下面．）17．（本题满分10分）（Ⅰ）如图，记扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，面积为S 扇形．若已知圆心角3πα=，扇形的周长为243π+，请求S 扇形和S 弓形． 【答案】23π，233π【解析】（Ⅰ）由周长2423R l π+=+及弧长3l R R πα==， OAB R R lα可解得2R =21223S R απ∴==扇形………………………………3分 又2334OABS R ∆==，233OAB S S S π∆∴=-=-弓形扇形…………………………5分 【考点】扇形面积 【难度】★★★（Ⅱ）请化简：9sin()cos(3)cos()cos()211cos(2)sin()sin()sin()22ππαπαπααπππαπααα----+-++-．【答案】tan α-【解析】（Ⅱ）原式sin (cos )(cos )(sin )tan cos (sin )cos (cos )ααααααααα⋅-⋅-⋅-==-⋅-⋅⋅-． ………………………10分【考点】三角函数诱导公式 【难度】★★★ 18．（本题满分12分）记56sin 1,66A y y x x ππ⎧⎫==+-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}2lg(43)B x y x x ==-+， {}121C x m x m =+<<-．（Ⅰ）请求出A B ．（Ⅱ）若A C A =⋃，请求出实数m 的取值范围． 【答案】[2,1)(3,7]-；4m ≤【解析】（Ⅰ）由566x ππ-≤≤可得1sin 12x -≤≤，6sin 1[2,7]y x =+∈-， [2,7]A ∴=-．………………………………………2分由2430x x -+>可得3x >或1x <，(,1)(3,)B ∴=-∞+∞………………4分从而得[2,1)(3,7]A B ∴=-………………………………………6分（Ⅱ）由A C A =⋃，可知C A ⊆,分类讨论如下：（1）若C =∅，符合题意，此时有121m m +≥-，即得2m ≤………………8分（2）若C ≠∅，此时有12112217m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得24m <≤………………10分综上可得，4m ≤为所求．………………………………………12分【考点】集合的运算 【难度】★★★ 19．（本题满分12分）设在海拔x （单位：m ）处的大气压强是y （单位：Pa ），y 与x 之间的关系为kxy ce =，其中,c k 为常量．某游客从大气压为51.0110Pa -⨯的海平面地区，到了海拔为2700m 、 大气压为50.8810Pa -⨯的一个高原地区．（Ⅰ）请根据已有信息，求出c 和2700k 的值． （Ⅱ）由于该游客感觉自己并没有产生明显的高山反应，于是便准备攀登当地海拔为5400m 的雪山．请你从身体需氧的角度出发（当大气压低于50.77510Pa -⨯时，就会比较危险），分析这位游客的决定是否太冒险？（参考数据:ln0.880.13≈-,ln1.010.01≈,0.240.787e-≈,0.260.771e -≈,0.280.756e -≈）【答案】（Ⅰ）51.0110-⨯，0.14-；（Ⅱ）这位游客的决定比较冒险【解析】（Ⅰ）由已知可得50527001.01100.8810k ce ce --⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩55527001.01100.8810 1.0110kc e---⎧=⨯⎪⇒⎨⨯=⨯⎪⎩ 51.01100.882700ln 0.130.010.141.01c k -⎧=⨯⎪⇒⎨==--=-⎪⎩51.0110,27000.14c k -∴=⨯=-……6分（Ⅱ）由已知有，海拔5400m 处，大气压5540050.281.0110 1.0110ky ee ---=⨯⋅=⨯⋅ 结合参考数据，则有5551.01100.7560.76356100.77510y ---≈⨯⨯=⨯<⨯故这位游客的决定比较冒险．……………………………………12分 【考点】对数函数 【难度】★★★20．已知二次函数()f x 满足(5)(5)f x f x +=-，且(5)9f =-，(0)16f =． （Ⅰ）请求出函数()f x 的解析式．（Ⅱ）若当(0,)απ∈时，(sin )(cos )35f f αα+=，请求出tan α的值． （Ⅲ）若关于x 的方程[]lg ()lg(186)f x m x -=-在区间(0,3)内有唯一解， 请求出实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2()1016f x x x =-+；（Ⅱ）3tan 4α=-；（Ⅲ）52m -≤<-或6m =- 【解析】（Ⅰ）（方法不唯一）由已知可得二次函数()f x 对称轴为5x =，顶点坐标为(5,9)-，故可设2()(5)9f x a x =--．再由(0)16f =可解得1a =则所求函数解析式为2()1016f x x x =-+………………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）及(sin )(cos )35f f αα+=，化简整理得到1sin cos 5αα+=- （以下解法不唯一）平方整理之得到242sin cos 025αα⋅=-<，(0,)απ∈，sin 0,cos 0αα∴>< 从而有sin cos 0αα->，且249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=则7sin cos 5αα-=，联立1sin cos 5αα+=-可解得34sin ,cos 55αα==-从而有3tan 4α=-……………………………………8分（Ⅲ）方程等价于2101618603x x m xx ⎧-+-=-⎨<<⎩有唯一解即224m x x +=-在区间(0,3)内有唯一解，转化为直线2y m =+与24(03)y x x x =-<<图象有唯一公共点作图分析可得，320m -≤+<或24m +=-则52m -≤<-或6m =-………………………12分 【考点】对数函数、三角函数 【难度】★★★★ 21．（本题满分12分）已知()xf x e =能表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 的和． （Ⅰ）请分别求出()g x 与()h x 的解析式；（Ⅱ）记()()()g x F x h x =，请判断函数()F x 的奇偶性和单调性，并分别说明理由． （Ⅲ）若存在21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式22(ln )(3ln )0F x m F x ⎡⎤-+->⎣⎦能成立， 请求出实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()2x x e e g x --=，()2x x e e h x -+=；（Ⅱ）()x xx xe e F x e e---=+为R 上单调递增的奇函数；（Ⅲ）(,6)-∞【解析】（Ⅰ）由已知可得()()xg x h x e +=，则()()xg x h x e--+-=又由奇函数()g x 和偶函数()h x ，上式可化为()()xg x h x e --+=，联立()()xg x h x e +=可得()2x x e e g x --=，()2x xe e h x -+=…………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()x xx xe e F x e e---=+，已知其定义域为R （1）由()()x x xxe e F x F x e e ----==-+，可知()x xx x e e F x e e ---=+为R 上的奇函数……5分 （2）由22212()111x x x x x x x e e e F x e e e e ----===-+++或应用定义法证明，或结合复合函数单调性分析等方法，可得()x xx xe e F x e e---=+在R 上单调递增……………………………………………………8分2（Ⅲ）由()F x 为R 上的奇函数，则22(ln )(3ln )0F x m F x ⎡⎤-+->⎣⎦等价于 2(ln )(32ln )(32ln )F x m F x F x ⎡⎤->--=-+⎣⎦又由()F x 在R 上单调递增，则上式等价于2(ln )32ln x m x ->-+ 即2(ln )2ln 3m x x <-+记2(ln )2ln 3y x x =-+，令21ln ,,t x x e e ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，可得223y t t =-+，[]1,2t ∈-，易得当1t =-，即1x e=时，max 6y = 由题意知，max m y <，故所求实数m 的取值范围是(,6)-∞．………………………12分【考点】函数的单调性、奇偶性 【难度】★★★★22．（本题满分12分）对于定义域为I 的函数，如果存在区间[,]m n I ⊆，同时满足下列条件：（1）()f x 在区间[,]m n 上是单调的；（2）当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ．则称[,]m n 是函数()y f x =的一个“优美区间”．（Ⅰ）请证明：函数43(0)y x x =->不存在“优美区间”． （Ⅱ）已知函数222y x x =-+在R 上存在“优美区间”，请求出它的“优美区间”．（Ⅲ）如果[,]m n 是函数22()1(0)a a x y a a x+-=≠的一个“优美区间”，请求出n m -的 最大值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）[]1,3； 【解析】（Ⅰ）由43y x=-为(0,)+∞上的增函数，则有()f m m =，()f n n = 即方程43x x-=有两个不同的解,m n 而243340x x x x-=⇔-+=，易知该方程无实数解， 所以函数43(0)y x x=->不存在“优美区间” …………………3分（Ⅱ）记[,]m n 是函数222y x x =-+的一个“优美区间”()m n <，由2(1)11y x =-+≥及此时函数值域为[,]m n ，可知1m ≥，而其图象对称轴为1x = 那么222y x x =-+在[,]m n 上必为增函数同（Ⅰ）中的分析，有方程222x x x -+=有两个不同的解,m n解之则得1,3m n ==，故该函数有唯一一个“优美区间”[1,3]…………………7分（Ⅲ）由222()111()a a x a f x a x a a x+-+==-在(,0)-∞和(0,)+∞上均为增函数， 已知()f x 在“优美区间”[,]m n 上单调，所以[,](,0)m n ⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞，且()f x 在[,]m n 上为单调增，则同理可得()f m m =，()f n n = 即,()m n m n <是方程211a x a a x+-=的两个同号的实数根 等价于方程222()10a x a a x -++=有两个同号的实数根，并注意到210mn a=> 则只要222()40a a a ∆=+->，解得1a >或3a <-而由韦达定理知22211,a a a n m mn a a a+++===所以n m -====其中1a >或3a <-，所以当3a =时，n m -………………12分 【考点】新定义、函数性质、最值运算综合 【难度】★★★★★。