17-101-2018年高一上同步讲义【5】——不等式的解法

高一上同步讲义——不等式的解法
一、同步知识梳理
1.一元二次不等式：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，其一般形式是：22
00ax bx c ax bx c ++>++<或
3. 解一元二次不等式的步骤：
①移项，系数变正；
②解二次方程；（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）
③画二次函数图像；
④结合图象及不等号写出不等式的解集。

4. 常用区间的形式
[],x a x b a b ≤≤⇔｛｝ ； {}(,)x a x b a b <<⇔； {}[,)x a x b a b ≤<⇔ {}(,]x a x b a b <≤⇔； {}[,)x
a x a ≤⇔+∞； {}(,]x x a a ≤⇔-∞ (,)R =-∞+∞
5. 分式不等式的解法
（1）()0()()0()f x f x g x g x >⇔> ；()0()()0()
f x f x
g x g x <⇔<
（2）()()0()0()()0()0()0
()f x g x f x f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⇔>=⎨≠⎩或 （3）
()()()0()()f x f x c g x c g x g x -⨯>⇔>（先移项，再通分） 6. 高次不等式：“数轴标根法”
其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集.
若n a a a a <<<< 321，则不等式0)())((21>---n a x a x a x 或0)())((21<---n a x a x a x 的解法如下图（即“数轴标根法”）：
【提醒】
标根法主要用于简单的一元高次不等式题型，因为上海高考不作要求，可以简单的了解.
7. 绝对值不等式（关键在“去绝对值号”）
()(0)()f x a a a f x a <>⇔-<<， ()(0)()()f x a a f x a f x a >>⇔><-或， ()()()()()
f x
g x g x f x g x <⇔-<<，
()()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><-或，
22()()()()f x g x f x g x >⇔>
8.简单无理不等式的解法（了解）: （1）⎪⎩
⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型; （2）⎩⎨⎧<≥⎪⎩
⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型; （3）
⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型
二、同步例题精讲：
题型1：一元二次不等式的解法
例1、解下列一元二次不等式：
(1) 22320x x --＞； (2) 2
3620x x -+-＞
(3) 24410x x -+≤； (4) 2230x x -+-＞.
例2、解不等式：2666x x -≤--＜
例3、已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|24}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．
例4、解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．
例5 、若不等式()
()221110a x a x ----<对于一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。

例6、已知2{|320}A x x x =-+≤，2{|(1)0}B x x a x a =-++≤，
（1）若A B ⊂≠，求a 的取值范围；
（2）若B A ⊆，求a 的取值范围．
题型2：分式不等式的解法
例1、不等式204
x x ->+的解集是 。

例2、解不等式：
(1)(2)0(2)(1)
x x x x x +-≥+-.
例3、解不等式 0)2)(1()1()2(32<-+-+x x x x 。

题型3：绝对值不等式
例1、解不等式（1）0212<---x x ；
（2）解不等式242+<-x x .
例2、解不等式113x x -++≥
例3、若不等式571x x ->+和不等式220ax bx +->的解集相同，求,a b 的值。

题型4：无理不等式
例1、解不等式0343>---x x
例2、解不等式 125->-x x
例3、解不等式x x x 211322+<+-
三、课堂练习：
1. 解不等式2
4410x x -+>.
2. 解不等式22350x x -++>.
3. 解不等式2230x x -+->.
4. 求不等式2310x x -++>的解集.
5. 不等式
204
x x ->+的解集是 。

6. 不等式13x x +＜的解为 .
7. 不等式的解集为 （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 8.解关于x 的不等式
10832<-+x x
9.解不等式125x x -++<。

10.解不等式⑴0231≤---x x ⑵解不等式x x x 211322+>+-；
2601
x x x ---＞{}2,3x x x -＜或＞{}
213x x x -＜，或＜＜{}213x x x -＜＜，或＞{}2113x x x -＜＜，或＜＜
四、难题突破：
例1. 若关于x 的一元二次不等式为20ax bx c ++>的解集为1{3}2x x -
<<，求关于x 的一元二次不等式2c 0x bx a ++<的解集。

例2. 若不等式()
()221110a x a x ----<对于一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。

五、回顾总结：
1.主要方法:
①转化为一元一次或一元二次不等式(组)，即通过去掉不等式中的“绝对值”或“分母”或“指数对数的底数”； 将其等价转化是解不等式的主要思路；
②去掉绝对值的主要方法有:
⑴根据绝对值得几何意义；⑵依定义法: 零点分段法；⑶平方法: 不等式两边都是非负时，两边同时平方.
2.易错、易漏点:
①一元二次不等式:
⑴当∆>0时，注意2x 的系数为正时不等式的解集，大于0时两根之外，小于0时两根之间； ⑵特别注意∆=∆<，00时，如何求二次不等式的解集；
②分式不等式要注意一般不直接去分母，特殊情况分母符号确定可以去分母，特别注意分母不为零；
③不等式组的求解过程中，注意集合之间的交、并等的运算.
六、课后练习：
1.下列不等式中无解的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2、不等式|32|1x -<的解是 .
3、不等式的解集是 .
4、不等式13x x
+＜的解为 . 5、不等式
的实数解为 . 6、解下列不等式：
（1）22320x x --≥ ；(2)291
0x x ++＞； (3)245x x -＜ ；(4)2210x x ++≤
7、解下列不等式或不等式组。

2(1)440x x ++≤ 211(2)1032
x x --≥
2(3)84x x +≤ 2(4)1573x x <-+<
22320x x -+<2440x x ++≤2440x x --<22320x x -+->130x x +--≥1|2||1|≥++x x
222310(5)121760
x x x x ⎧-+<⎪⎨-+≥⎪⎩ 22564(6)280x x x x ⎧+>⎪⎨--≤⎪⎩
8、解不等式0
4125
622<-++-x x x x
9、解不等式331042<--x x ．
11、不等式202
m x mx ++＞恒成立的条件是 ( ) A ． 2m ＞ B ． 2m ＜ C ． 0m ＜或2m ＞ D ． 02m ＜＜
12、已知关于x 的不等式(1)(1)0ax x -+<的解集是1
(,)(1,)a -∞-+∞，则实数a 的取值范围
是___________.
13、设关于的不等式的解集为，且，则实数的取
值范围是______________。

14、已知关于x 的不等式|2|3x x m -+-<的解集为非空集合，则实数m 的取值范围是
( )
A. 1m <
B.1m ≤
C.1m >
D.1m ≥
15、解不等式x x
x x x <-+-+222322．
x 4|4|2+≤+-x m x x A A A ∉∈2,0m
【思考题】
1、解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++>
2、解不等式(2)(2)0x ax -->
3、设{}{}12,5A x x B x x k =->=-<，若A B A =，求实数k 的取值范围.。