2019年高考数学一轮复习理科：专题探究课5 平面解析几何中的高考热点问题

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2019高三数学理北师大版一轮专题突破练5 平面解析几何中的高考热点问题

专题突破练(五) 平面解析几何中的高考热点问题(对应学生用书第309页)1．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .【导学号：79140315】[解] (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.2．(2018·海口调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，离心率为255，点O 为坐标原点．图2(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如图2，过椭圆E 的左焦点F 任作一条不垂直于坐标轴的直线l ，交椭圆E 于P ，Q 两点，记弦PQ 的中点为M, 过F 作PQ 的垂线FN 交直线OM 于点N ，证明：点N 在一条定直线上．[解](1)由题易得⎩⎪⎨⎪⎧54a 2＋34b2＝1，e 2＝1－b 2a 2＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，所以c ＝2，所以椭圆E 的方程为x 25＋y 2＝1. (2)证明：设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立y ＝k (x ＋2)与x 25＋y 2＝1，可得(1＋5k 2)x 2＋20k 2x ＋20k 2－5＝0，所以x 1＋x 2＝－20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2.设直线FN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－10k 21＋5k 2，y 0＝k (x 0＋2)＝2k1＋5k 2，所以k OM ＝y 0x 0＝－15k ，所以直线OM 的方程为y ＝－15k x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－15k x ，y ＝－1k(x ＋2).解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52，y ＝12k ，所以点N 在定直线x ＝－52上．3．(2018·合肥二检)如图3，已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上一动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .图3(1)求抛物线E 的方程；(2)求点M 到直线CD 距离的最大值．[解] (1)由x A ＝2得y 2A ＝4，故4p ＝4，解得p ＝1. 于是抛物线E 的方程为y 2＝2x .(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝4－4k (2y 1－ky 21)＝0解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理，l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22，易得CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22，∴M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，即点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8x 0，－y 0x 0. 点M 到直线CD ：x 0x ＋y 0y ＝8的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8－y 20x 0－8x 20＋y 20＝y 20x 0＋1622＝8－x 20x 0＋1622＝8x 0－x 0＋1622为关于x 0的单调递减函数，故当且仅当x 0＝2时，d max ＝1822＝922.4．(2018·陕西质检(一))已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)过F 1的直线l 1，l 2分别交椭圆E 于A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，问是否存在常数λ，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.【导学号：79140316】[解] (1)∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴2a ＝4，a ＝2. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2b 2＝1. 将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入可得b 2＝3， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)存在．①当AC 的斜率为零或斜率不存在时， 1|AC |＋1|BD |＝13＋14＝712；②当AC 的斜率k 存在且k ≠0时，设AC 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，并化简得 (3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k2， |AC |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1·x2]＝12(1＋k2) 3＋4k2.同理，∵直线BD的斜率为－1 k，∴|BD|＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫－1k23＋4⎝⎛⎭⎪⎫－1k2＝12(1＋k2)3k2＋4.∴1|AC|＋1|BD|＝3＋4k212(1＋k2)＋3k2＋412(1＋k2)＝712.综上，2λ＝1|AC|＋1|BD|＝712，∴λ＝724.∴存在常数λ＝724，使得1|AC|，λ，1|BD|成等差数列．。

专题05 平面解析几何(原卷版)

专题05 平面解析几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．83．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B ．1CD ．29．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．10．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．11．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.12．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u ur u u u u r ，则C 的离心率为____________．13．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .14．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .15．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若，求|AB |．16．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之323AP PB =u u u r u u u r积为−12.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：PQG△是直角三角形；（ii）求PQG△面积的最大值.17．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.18．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．19．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4 （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．20．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．21．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．22．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科数学（二）】经过点(3,0)M 作圆22243x y x y +---0=的切线l ，则l 的方程为A ．30x y +-=B ．30x y +-=或3x =C ．30x y --=D ．30x y --=或3x =23．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>P 到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为A ．8B ．6C ．5D ．424．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为A ．y x =B ．y =C ．2y x =±D ．y =25．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若4BC BF =，且6AF =，则p 为A ．94B ．92C ．9D ．1826．【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学试题】双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M上存在点P ，使12PF F △是有一个内角为2π3的等腰三角形，则M 的离心率是______. 27．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左顶点为(20)M -，（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(10)N ，的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当MA MB ⋅u u u r u u u r取得最大值时，求MAB △的面积．28．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】已知抛物线()2:20C y px p >＝的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且2QF PQ ＝.（1）求p 的值；（2）已知点(),2T t -为C 上一点，M ，N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为83-，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标．【扫描二维码关注更多精彩★玩转高中数学研讨】。

(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习_第九章平面解析几何专题探究课五课件理新人教B版

高考导航 1.圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是高考必考知识，主要以一个小题一个大题的形式呈现，难度中等偏上；2.高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质，高考中的解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高.热点一定点定值问题(教材VS高考)定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.命题角度 1圆锥曲线中定点问题2 2 x y 【例 1－1】(满分 12分)(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆 C ：＋ 2＝1(a >b 四点 P 1(1，2 a b 1)，P 2(0，1)，P 3－1， 23，P 41， 23中恰有三点在椭圆 C上.(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P 2点且与 C 相交于 A ，B 两点.若直线 P 2A 与直线 P 2B 斜率的和为－1，证明：l 过定点.教材探源本题第(1)问源于教材选修2－1P40例1，主要考查利用待定系数法及方程思想求曲线方程.本题第(2)问源于教材选修2－1P41例3，主要考查利用坐标法研究几何问题，充分考查学生解决综合问题的能力.1 1 1满分解答(1)解由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.又由a b a2 2＋2>＋43b2知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.1分(得分点 1)1 b 2＝1，2 a ＝4，因此13 解得b 2＝1. 3分(得分点 2) ＋ 2＝1， 2 a 4b 2 故 C 的方程为x 4＋y 2＝1.5分 (得分点 3) (2)证明设直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率分别为 k 1，k 2.如果直线 l 的斜率不存在，l 垂直于 x 轴.设 l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，y A －1－y A －1－2 k 1＋k 2＝＋＝ m ＝－1，得 m ＝2，m m此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.6分 (得分点 4)从而可设 l ：y ＝kx ＋m (m ≠1).2 将 y ＝kx ＋m 代入x 4＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.7分 (得分点 5)由题设可知 Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.4m 2－4 8km 4k 2＋1 设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝ 4k 2＋1.8分(得分点 6)y 1－1 y 2－1 kx 1＋m －1 kx 2＋m －1 则 k 1＋k 2＝ x 1＋ x 2＝＋ x 1 x 2 2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2） x 1x 2 ＝ .由题设 k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 4m 2－4 －8km ∴(2k ＋1)·4k 2＋1＋(m －1)·4k 2＋1＝0.10分(得分点 7)解之得 m ＝－2k －1，此时 Δ＝32(m ＋1)>0，方程有解， ∴当且仅当 m >－1时，Δ>0，11分(得分点 8) ∴直线 l 的方程为 y ＝kx －2k －1，即 y ＋1＝k (x －2).当 x ＝2时，y ＝－1，所以 l 过定点(2，－1).12分(得分点 9)❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1) 问中，分析隐含信息，列出方程组，求出方程.在第(2)问中，分类讨论设出直线方程→联立方程→写出根与系数的关系→利用公式化简求解.❷得关键分：(1)列出方程组.(2)直线方程.(3)韦达定理.(4)斜率公式.都是不可少的过程，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点3)，(得分点5)，(得分点7).解答圆锥曲线中的定点问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点.第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论.第三步：下结论，综合上面两种情况定结论.命题角度 2圆锥曲线中的定值问题2 2 x y 【例 1－2】 (2017·唐山一模)已知椭圆 C ：＋ 2＝1(a >b >0)的离心22，点 2 a b a Q b ，在椭圆上，O 为坐标原点.b (1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P ，M ，N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边形，明四边形 OPMN 的面积 S 为定值，并求该定值.2 2x y(1)解∵椭圆＋ 2＝1(a >b >0)的离心率为 22， 2 a b a 2－b 2 2∴e 2＝c ＝＝12，得 a 2＝2b 2，① 2 aa 2 a 又点 Qb ，在椭圆 C 上， b 2 2b a ∴＋ 4＝1，② 2 a b 2 2x y 联立①、②得 a 2＝8，且 b 2＝4.∴椭圆 C 的方程为＋＝1. 8 4(2)证明当直线 PN 的斜率 k 不存在时，PN 方程为 x ＝ 2或 x ＝－ 2，有|PN |＝2 3，所以 S ＝12|PN |·|OM |＝×2 3×2 2＝2 6； 1 2当直线 PN 的斜率 k 存在时，设直线 PN 方程为 y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将 PN 的方程代入椭圆 C 的方程，整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，－4km 1＋2k 22m 2－8 所以 x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝1＋2k 2，－4km 2m 1＋2k 2 2m y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝，由OM →＝OP →＋ON →，得 M 1＋2k 2，1＋2k. 2将 M 点坐标代入椭圆 C 方程得 m 2＝1＋2k 2. |m | 又点 O 到直线 PN 的距离为 d ＝ 1＋k 2， |PN |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|，48k 2＋24 所以 S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝ 1＋2k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝综上，平行四边形 OPMN 的面积 S 为定值 2 6. 2k 2＋1＝2 6.探究提高 1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.2 2x y 【训练 1】 (2017·菏泽调研)已知焦距为 2 2的椭圆 C ：＋ 2＝1(a >b >右顶点 2 a b 为 A ，直线 y ＝43与椭圆 C 交于 P ，Q 两点(P 在 Q 的左边)，Q 在 x 轴上的影为B ，且四边形 ABPQ 是平行四边形.(1)求椭圆 C 的方程；(2)斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 M ，N .若 M 是椭圆的左顶点，D 是直线 MN 上一点，且 DA ⊥AM .点 G 是 x 轴上异于点 M 的点，且以 D 为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点，求证：点 G 是定点.(1)解设坐标原点为O，∵四边形ABPQ是平行四边形，∴|AB→|＝|PQ→|，∵|PQ→|＝2|OB→|，∴|AB→|＝2|OB→|，则点B的横坐标为a3，a4∴点Q的坐标为，，代入椭圆C的方程得b 2＝2， 3 32 2x y又c2＝2，∴a2＝4，即椭圆C的方程为＋＝1.4 2(2)证明设直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，N (x 0，y 0)，DA ⊥AM ，∴D (2，4k ).x 2 y 2＋＝1， 4 2由消去 y 得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 2－4k 2 y ＝k （x ＋2），8k 2－4 则－2x 0＝1＋2k 2，即 x 0＝1＋2k 2，2－4k2 4k 1＋2k 24k ∴y 0＝k (x 0＋2)＝，则 N 1＋2k 2，1＋2k ， 2设 G (t ，0)，则 t ≠－2，若以 DN 为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点，则DG ⊥AN ，∴GD →·AN →＝0恒成立. －8k2 4k ∵GD →＝(2－t ，4k )，AN →＝， 1＋2k 2，1＋2k 2－8k 2 4k ∴GD →·AN →＝(2－t )· 8k 2t 2＋4k · 2＝0恒成立， 1＋2k 1＋2k即1＋2k 2＝0恒成立，∴t ＝0，∴点 G 是定点(0，0).热点二圆锥曲线中的范围(最值)问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.2 2x y 【例 2】 (2018·石家庄质检)已知椭圆 C ：＋ 2＝1(a >b >0)的左、右顶点为 A ，2 a b B ，且长轴长为 8，T 为椭圆上一点，直线 TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆 C 的方程； (2)设 O 为原点，过点 M (0，2)的动直线与椭圆 C 交于 P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围.解 (1)设 T (x ，y )，则当 x ≠±4时，直线 TA 的斜率为 k 1＝x ＋y 4，直线 T 斜率为2 2 x yk 2＝ .于是由 k 1k 2＝－34，得 y · ＝－，整理得＋＝1，而点(－4，0y y 3 416 12 x －4 x ＋4 x －4 2 2x y 和(4，0)也满足此方程，故椭圆 C 的方程为＋＝1. 16 12 (2)当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y ＝kx ＋2，点 P ，Q 的坐分别 x 2 y 2 16 12 为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线 PQ 与椭圆方程联立－32＝0，＋＝1，消去 y 得(4k 2＋3)x 2＋16kx y ＝kx ＋216k，x x＝－32则x1＋x2＝－4k2＋3，2 1 24k＋3从而OP→·OQ→＋MP→·MQ→＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)·(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1－80k2－52 8＋x2)＋4＝4k2＋3＝－20＋4k2＋3，∴－20<OP→·OQ→＋MP→·MQ→≤－523，当直线PQ斜率不存在时，OP→·OQ→＋MP→·MQ→的值为－20.综上所述OP→·OQ→＋MP→·MQ→的取值范围为－20，－532.探究提高求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.2【训练2】(2018·合肥质检)设直线l与抛物线x2＝2y交于A，B两点，与椭x4＋2y3＝1交于C，D两点，直线OA，OB，OC，OD(O为坐标原点)的斜率分为k1，k2，k3，k4.若OA⊥OB.(1)是否存在实数t，满足k1＋k2＝t(k3＋k4)，并说明理由；(2)求△OCD面积的最大值.解设直线 l 的方程为 y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4). 联立y ＝kx ＋b ，得 x 2－2kx －2b ＝0，x 2＝2y ，则 x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2b ，Δ1＝4k 2＋8b >0.因为 OA ⊥OB ，所以 x 1x 2＋y 1y 2＝0，得 b＝ 2. y ＝kx ＋2， 3x 2＋4y 2＝12得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，联立所以 x 3＋x 4＝－ 16k ，x x ＝ 4 3＋4k 2 ，由 Δ2＝192k 2－48>0得k2>14. 3＋4k 2 3 4 y y y y (1)存在实数 t .因为 k 1＋k 2＝＋ 2＝k ，k 3＋k 4＝＋ 4＝－6k ， 1 3 x x 1 x x 3 42k 1＋k 2 ＝－16，即 t ＝－16.所以k 3＋k 4 4k 2－1 (2)根据弦长公式|CD |＝ 1＋k 2|x 3－x 4|得|CD |＝4 3· 1＋k 2· 3＋4k 2，2 根据点 O 到直线 CD 的距离公式得 d ＝ 1＋k 2，4k 2－1 所以 S △OCD ＝12|CD |·d ＝4 3· 3＋4k 2，设 4k 2－1＝m >0，则 S △OCD ＝ 4 3m ≤ 3，2 m ＋4所以当 m ＝2，即 k ＝± 25时，S △OCD 有最大值 3.热点三圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立. 涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题.2 2x y 【例 3】 (2018·沈阳调研)已知椭圆 C ：＋ 2＝1(a >b >0)的离心率12，且过点 2 a b 3P 1，，F 为其右焦点. 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设过点 A (4，0)的直线 l 与椭圆相交于 M ，N 两点(点 M 在 A ，N 两点之间)，是否存在直线 l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)因为ac ＝12，所以 a ＝2c ，b ＝ 3c ，2 2 x y 设椭圆方程＋ 2＝1， 2 4c 3c3 1 3 又点 P 1，在椭圆上，所以＋ 2＝1，2 2 4c 4c 解得 c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3， 2 2 x y 所以椭圆方程为＋＝1. 4 3(2)易知直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为 y ＝k (x －4)， y ＝k （x －4），2 2 消去 y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，由 x y ＋＝1， 4 3由题意知 Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)>0， 1 1 解得－ <k < .设 M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 2 2 32k 2则 x 1＋x 2＝ 2，① 3＋4k64k 2－12 x 1x 2＝ 3＋4k 2 .②因为△AMF 与△MFN 的面积相等，所以|AM|＝|MN|，所以2x1＝x2＋4.③4＋16k2由①③消去x2得x1＝3＋4k2 .④64k2－12将x2＝2x1－4代入②，得x1(2x1－4)＝3＋4k2 .⑤将④代入到⑤式，整理化简得36k2＝5.∴k＝± 65，经检验满足题设故直线l的方程为y＝65(x－4)或y＝－65(x －4).探究提高 1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.【训练3】(2018·衡水联考)在平面直角坐标系xOy中，过点C(2，0)的直线与抛物线y＝4x相交于A，B两点，设A(x1，2y1)，B(x2，y2).(1)(一题多解)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由.(1)证明法一当直线AB垂直于x轴时，y1＝2 2，y2＝－22.因此y1y2＝－8(定值).当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)，由y＝k（x－2），得ky 2－4y－8k＝0. y 2＝4x，∴y1y2＝－8.因此有y1y2＝－8为定值.法二设直线 AB 的方程为 my ＝x －2，由my ＝x －2，得 y 2－4my －8＝0. y 2＝4x ，∴y 1y 2＝－8.因此有 y 1y 2＝－8为定值.(2)解设存在直线 l ：x ＝a 满足条件， x 1＋2 y 则 AC 的中点 E，， 1 2 2|AC |＝（x 1－2）2＋y 12.因此以 AC 为直径的圆的半径 r ＝12|AC |＝21（x 1－2）2＋y ＝ x ＋4， 1 2 2 1 2 1x 1＋ 2 又点 E 到直线 x ＝a 的距离 d ＝－a2 1 4 x ＋2 2 －a 1 故所截弦长为 2 r 2－d 2＝2 （x 21＋4）－2＝ x ＋4－（x 1＋2－2a ）22 1＝－4（1－a ）x 1＋8a －4a 2.当 1－a ＝0，即 a ＝1时，弦长为定值 2，这时直线方程为 x ＝1.。

2019高三数学文北师大版一轮：第8章热点探究课5 平面解析几何中的高考热点问题

热点探究课(五)平面解析几何中的高考热点问题(对应学生用书第128页)[命题解读]圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．热点1圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的另一重点，涉及a，b，c 三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．(2018·太原模拟)如图1，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.图1(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.[解](1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝2 3. 3分即c＝3，从而b＝a2－c2＝1，故所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1. 5分(2)连接F1Q，如图，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，又|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＝(2a－|PF1|)＋(2a－|QF1|)，可得|QF1|＝4a－2|PF1|. ①又因为PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，所以|QF1|＝2|PF1|.②8分由①②可得|PF1|＝(4－22)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝(22－2)A．由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(4－22)2a2＋(22－2)2a2＝4c2，10分可得(9－62)a2＝c2，即c2a2＝9－62，因此e＝ca＝9－62＝6－ 3. 12分[规律方法] 1.用定义法求圆锥曲线的标准方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用．2．圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只需明确a，b，c中任意两量的关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制．[对点训练1]已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为22，它的一个顶点为抛物线x2＝4y的焦点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y＝x－1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程．【导学号：00090306】[解] (1)椭圆中心在原点，焦点在x 轴上．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，所以b ＝1.2分由离心率e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2＝1＋c 2，从而得a ＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)由⎩⎨⎧ x 2＝4y ，y ＝x －1，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以点A (2,1).8分因为抛物线的准线方程为y ＝－1，所以圆的半径r ＝1－(－1)＝2，所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.12分热点2 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．角度1 圆锥曲线的定值问题(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【导学号：00090307】 [解] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.2分又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.4分(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.5分由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 6分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12.8分所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，－12，半径r ＝m 2＋92.10分故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 12分[规律方法] 1.求定值问题的常用方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的．角度2 圆锥曲线中的定点问题设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－62.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左顶点是A ，若直线l ：x －my －t ＝0与椭圆E 相交于不同的两点M ，N (M ，N 与A 均不重合)，若以MN 为直径的圆过点A ，试判定直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．[解] (1)由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，可得a 2＝2b 2，2分椭圆方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－62可得b 2＝2，a 2＝4，故椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1. 5分(2)由x －my －t ＝0得x ＝my ＋t ，把它代入E 的方程得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4tm 2＋2， x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋tm (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－4m 2m 2＋2.8分因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2 ＝2t 2－4m 2m 2＋2＋2×4t m 2＋2＋4＋t 2－4m 2＋2＝3t 2＋8t ＋4m 2＋2＝(t ＋2)(3t ＋2)m 2＋2＝0.10分因为M ，N 与A 均不重合，所以t ≠－2，所以t ＝－23，直线l 的方程是x ＝my －23，直线l 过定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，由于点T 在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l 过定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0.12分[规律方法] 1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点．2．从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．热点3 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．图2(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． [解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋B ．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 2分因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0.①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞.5分(2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 7分设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12，即m ＝±2时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.12分[规律方法] 范围(最值)问题的主要求解方法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解．[对点训练2] 已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围． [解] (1)由椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4. 得曲线C 的焦点F 1(0，－2)，F 2(0,2). 2分又点(2，－2)在椭圆C 上， 2a ＝2＋0＋2＋(2＋2)2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1. 5分(2)若直线l 垂直于x 轴，①则点E (0,22)，F (0，－22)，OE →·OF →＝－8. ②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋2，点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到：(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k 2，8分所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8.10分因为0<202＋k 2≤10，所以－8<OE →·OF →≤2. 综上可知，OE →·OF →的取值范围是(－8,2].12分热点4 圆锥曲线中的探索性问题(答题模板)圆锥曲线中的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.【导学号：00090308】[规范解答] (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).1分又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.3分y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.5分故所求切线方程为ax －y －a ＝0或ax ＋y ＋a ＝0. 6分(2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.7分将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4A ． 8分从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a .10分当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.12分[答题模板] 第一步：分别求出曲线y ＝x 24在M 点，N 点处的导数．第二步：利用点斜式分别写出在M 点、N 点的切线方程．第三步：联立直线y ＝kx ＋a 与抛物线y ＝x 24，并写出根与系数的关系式．第四步：由k PM ＋k PN ＝0，结合根与系数的关系式，探索点P 的坐标．第五步：检验反思，查关键点，规范步骤．[温馨提示] 1.(1)在第(2)问中，不能把条件∠OPM ＝∠OPN 适当转化为k 1＋k 2＝0，找不到解题的思路和方法，而不能得分．(2)运算能力差或运算不细心，导致运算结果错误而扣分或者不得分． 2．数学阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有则得分，无则扣分，所以解题时要写全关键步骤．(1)本题的关键点一是利用导数的几何意义求切线方程，二是把条件中转化为只需直线PM ，PN 的斜率之和为0.(2)解析几何对运算能力要求较高，解题时一定要细心准确，否则可能是思路正确，但是运算结果错误，而不得分．[对点训练3] 如图3，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD→＝－1.图3(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． [解] (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝ 2.4分所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.5分(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.8分其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.10分此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ．此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3. 12分。

2019高三数学(人教A版文)一轮热点探究训练5 平面解析几何中的高考热点题型

热点探究训练(五)平面解析几何中的高考热点题型(对应学生用书第129页)1．(2018·长春模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，B ．【导学号：79170313】[解] (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3aC ． 2分将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.5分(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4A ． ① 8分由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.10分代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27. 12分2．已知椭圆C 的方程为：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为坐标原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．[解] (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 2分因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.5分(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0，所以tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.8分又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4).10分因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.12分3．如图4，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．图4(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．[解] (1)证明：依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8. 直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2.2分解得交点D 的坐标为⎩⎨⎧x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2.因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0).5分(2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0.8分由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2. 分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为 N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2， 10分则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.12分4．(2018·郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M . (1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．[解] ∵b ＝1，e ＝22， ∴⎩⎨⎧c a ＝22，a 2＝1＋c 2，解得a 2＝2.3分故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设M (x M,0)，由于点A (m ，n )在椭圆C 上， ∴－1<n <1.5分∵直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ， ∴x M ＝m1－n，则 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0. (2)∵点B 与点A 关于x 轴对称，∴B(m，－n)．设N(x N,0)，则x N＝m1＋n. 8分“存在点Q(0，y Q)使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，y Q)使得|OM| |OQ|＝|OQ||ON|”，即y Q满足y2Q＝|x M||x N|.∵x M＝m1－n ，x N＝m1＋n，m22＋n2＝1，∴y2Q＝|x M||x N|＝m21－n2＝2. 10分∴y Q＝2或y Q＝－ 2.故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ.点Q的坐标为(0，2)或(0，－2). 12分5．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|＝1.图5(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t,0)，使得 MP →·MQ →＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3， 3分故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. 5分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2.8分设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km3＋4k2＝－4km ， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .∵M (t,0)，Q (4,4k ＋m )，∴MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km －t ，3m ，MQ →＝(4－t,4k ＋m )，10分∴MP →·MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －t ·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m (t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t －1＝0，t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1.∴存在点M (1,0)符合题意.12分6．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点． (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【导学号：79170314】[解] 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设直线l 1的方程为y ＝a ，直线l 2的方程为y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 2分(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b1＋a 2＝a －ba 2－ab ＝1a ＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .5分(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.8分由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1). 10分而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以，所求的轨迹方程为y 2＝x －1.12分。

19年高考数学一轮复习热点探究训练5平面解析几何中的高考热点问题文北师大版180409333

热点探究训练(五) 平面解析几何中的高考热点问题1．(2018·长春模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，B ．【导学号：00090313】[解] (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3aC ．2分将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.5分(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4A ． ① 8分由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.10分代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27. 12分2．已知椭圆C 的方程为：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为坐标原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．[解] (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 2分因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. 5分(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0，所以tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.8分又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 2＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋－x 2x 20＋4 ＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4).10分因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.12分3．如图4，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．图4(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．[解] (1)证明：依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8.直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2.2分解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 1＝－8y 14y 1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0).5分(2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0.8分由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2. 分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2，10分则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝⎛⎭⎪⎫2a＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.12分4．(2018·郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． [解] ∵b ＝1，e ＝22， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝1＋c 2，解得a 2＝2.3分故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)，由于点A (m ，n )在椭圆C 上， ∴－1<n <1.5分∵直线PA 的方程为y －1＝n －1mx ， ∴x M ＝m 1－n ，则 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m1－n ，0.(2)∵点B 与点A 关于x 轴对称， ∴B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.8分“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.∵x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，∴y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.10分∴y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ . 点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2).12分5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |＝1.图5(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t,0)，使得 MP →·MQ →＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3， 3分故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.5分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2.8分设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4km， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k m，3m .∵M (t,0)，Q (4,4k ＋m )，∴MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－t ，3m ，MQ →＝(4－t,4k ＋m )，10分∴MP →·MQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－t ·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m(t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t －1＝0，t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1.∴存在点M (1,0)符合题意. 12分6．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点． (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【导学号：00090314】[解] 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设直线l 1的方程为y ＝a ，直线l 2的方程为y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 2分(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .5分(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 8分由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1). 10分而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以，所求的轨迹方程为y 2＝x －1.12分。

【K12教育学习资料】2019年一轮北师大版(理)数学教案：热点探究课5 平面解析几何中的高考热点题

热点探究课(五) 平面解析几何中的高考热点题型[命题解读]圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．热点1圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c 三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．(2017·石家庄质检)如图1，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.图1(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.[解](1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2. 2分设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝2 3.即c＝3，从而b＝a2－c2＝1，故所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1. 5分(2)连接F1Q，如图，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，又|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＝(2a－|PF1|)＋(2a－|QF1|)，可得|QF1|＝4a－2|PF1|. ①又因为PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，所以|QF1|＝2|PF1|.②由①②可得|PF1|＝(4－22)a，8分从而|PF2|＝2a－|PF1|＝(22－2)a.由PF1⊥PF2知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(4－22)2a2＋(22－2)2a2＝4c2，10分可得(9－62)a2＝c2，即c2a2＝9－62，因此e＝ca＝9－62＝6－ 3. 12分[规律方法] 1.用定义法求圆锥曲线的方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用．2．圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只要明确a，b，c中任意两量的等量关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制．[对点训练1]已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为22，它的一个顶点为抛物线x2＝4y的焦点．(1)求椭圆方程；(2)若直线y＝x－1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程．[解](1)椭圆中心在原点，焦点在x轴上．设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．因为抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，所以b＝1. 4分由离心率e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2＝1＋c 2，从而得a ＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. 6分(2)由⎩⎨⎧ x 2＝4y ，y ＝x －1，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以点A (2,1). 8分因为抛物线的准线方程为y ＝－1，所以圆的半径r ＝1－(－1)＝2， 10分所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.12分热点2 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．☞角度1 圆锥曲线中的定值问题(2016·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 3分所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 5分(2)证明：由(1)知，A (2,0)，B (0,1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 8分令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1. 所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝4. 10分当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.综上，|AN |·|BM |为定值. 12分[规律方法] 1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．☞角度2 圆锥曲线中的定点问题设椭圆E: x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－62. (1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左顶点是A ，若直线l ：x －my －t ＝0与椭圆E 相交于不同的两点M ，N (M ，N 与A 均不重合)，若以MN 为直径的圆过点A ，试判定直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标.【导学号：57962427】[解] (1)由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，可得a 2＝2b 2， 2分椭圆方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－62可得b 2＝2，a 2＝4，故椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1. 5分(2)由x －my －t ＝0得x ＝my ＋t ，把它代入E 的方程得：(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)得：y 1＋y 2＝－2mt m 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4tm 2＋2，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋tm (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－4m 2m 2＋2. 8分因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝2t 2－4m 2m 2＋2＋2×4t m 2＋2＋4＋t 2－4m 2＋2＝3t 2＋8t ＋4m 2＋2＝(t ＋2)(3t ＋2)m 2＋2＝0.因为M ，N 与A 均不重合，所以t ≠－2，所以t ＝－23，直线l 的方程是x ＝my －23，直线l 过定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，10分由于点T 在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l 过定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0. 12分[规律方法] 1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点．2．从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．热点3 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．(2017·杭州调研)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B关于直线y ＝mx ＋12对称．图2(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0. 2分因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0. ①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.② 由①②得m <－63或m >63.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞. 5分 (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 9分设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，即m ＝±2时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 12分[规律方法] 范围(最值)问题的主要求解方法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解．[对点训练2] 如图3所示，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；图3(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．[解] (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p 2＝1，即p ＝2. 5分(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2,2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)．由⎩⎨⎧y 2＝4x x ＝sy ＋1，消去x 得y 2－4sy －4＝0. 故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t . 8分又直线AB 的斜率为2t t 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t . 从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t . 设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2t t 2－m ＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1＝2＋2t 2－1，所以m <0或m >2. 10分经推理知，m <0或m >2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞). 12分热点4 圆锥曲线中的探索性问题(答题模板)圆锥曲线中的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．[规范解答] (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ). 1分．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0. 3分y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0或ax ＋y ＋a ＝0. 6分(2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 8分将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a. 10分当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意． 12分[答题模板] 第一步：分别求出曲线y ＝x 24在M 点，N 点处的导数．第二步：利用点斜式分别写出在M 点、N 点的切线方程．第三步：联立直线y ＝kx ＋a 与抛物线y ＝x 24，并写出根与系数的关系式．第四步：由k PM ＋k PN ＝0，结合根与系数的关系式，探索点P 的坐标．第五步：检验反思，查关键点，规范步骤．[温馨提示] 1.(1)在第(2)问中，不能把条件∠OPM ＝∠OPN 适当转化为k 1＋k 2＝0，找不到解题的思路和方法，而不能得分．(2)运算能力差或运算不细心，导致运算结果错误而扣分或者不得分．2．数学阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有则得分，无则扣分，所以解题时要写全关键步骤．(1)本题的关键点一是利用导数的几何意义求切线方程，二是把条件中转化为只需直线PM ，PN 的斜率之和为0.(2)解析几何对运算能力要求较高，解题时一定要细心准确，否则可能是思路正确，但是运算结果错误，而不得分．[对点训练3] 如图4，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD→＝－1.图4(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1， 2分于是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝ 2.中小学资料学习永无止境所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1. 5分(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0. 8分其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2. 所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3. 10分此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3. 12分。

2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第8章热点探究课5 平面解析几何中的高考热点问题

热点探究课(五)平面解析几何中的高考热点问题(对应学生用书第128页)[命题解读]圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．热点1圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的另一重点，涉及a，b，c 三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．(2018·太原模拟)如图1，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.图1(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.[解](1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝2 3. 3分即c＝3，从而b＝a2－c2＝1，故所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1. 5分(2)连接F1Q，如图，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，又|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＝(2a－|PF1|)＋(2a－|QF1|)，可得|QF1|＝4a－2|PF1|. ①又因为PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，所以|QF1|＝2|PF1|.②8分由①②可得|PF1|＝(4－22)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝(22－2)A．由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(4－22)2a2＋(22－2)2a2＝4c2，10分可得(9－62)a2＝c2，即c2a2＝9－62，因此e＝ca＝9－62＝6－ 3. 12分[规律方法] 1.用定义法求圆锥曲线的标准方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用．2．圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只需明确a，b，c中任意两量的关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制．[对点训练1]已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为22，它的一个顶点为抛物线x2＝4y的焦点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y＝x－1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程．【导学号：00090306】[解](1)椭圆中心在原点，焦点在x轴上．设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，因为抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，由离心率e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2＝1＋c 2，从而得a ＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，y ＝x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以点A (2,1).8分因为抛物线的准线方程为y ＝－1，所以圆的半径r ＝1－(－1)＝2，所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.12分热点2 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．角度1 圆锥曲线的定值问题(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【导学号：00090307】 [解] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.4分(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.5分由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 6分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12.8分所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，－12，半径r ＝m 2＋92.10分故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 12分[规律方法] 1.求定值问题的常用方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的．角度2 圆锥曲线中的定点问题设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－62.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左顶点是A ，若直线l ：x －my －t ＝0与椭圆E 相交于不同的两点M ，N (M ，N 与A 均不重合)，若以MN 为直径的圆过点A ，试判定直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．[解] (1)由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，可得a 2＝2b 2，2分椭圆方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－62可得b 2＝2，a 2＝4，故椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.5分(2)由x －my －t ＝0得x ＝my ＋t ，把它代入E 的方程得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4t m 2＋2，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋tm (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－4m2m 2＋2.8分因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2 ＝2t 2－4m 2m 2＋2＋2×4t m 2＋2＋4＋t 2－4m 2＋2＝3t 2＋8t ＋4m 2＋2＝(t ＋2)(3t ＋2)m 2＋2＝0. 10分因为M ，N 与A 均不重合，所以t ≠－2，所以t ＝－23，直线l 的方程是x ＝my －23，直线l 过定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，由于点T 在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l 过定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0.12分[规律方法] 1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点．2．从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．热点3 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．图2(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． [解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋B ．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2bm x ＋b 2－1＝0. 2分因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0.①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞.5分(2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 7分设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12，即m ＝±2时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.12分[规律方法] 范围(最值)问题的主要求解方法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解．[对点训练2] 已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围． [解] (1)由椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4. 得曲线C 的焦点F 1(0，－2)，F 2(0,2). 2分又点(2，－2)在椭圆C 上，2a ＝2＋0＋2＋(2＋2)2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1. 5分(2)若直线l 垂直于x 轴，①则点E (0,22)，F (0，－22)，OE →·OF →＝－8.②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋2，点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到：(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k 2， 8分所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8. 10分因为0<202＋k 2≤10，所以－8<OE →·OF →≤2. 综上可知，OE →·OF →的取值范围是(－8,2].12分热点4 圆锥曲线中的探索性问题(答题模板)圆锥曲线中的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N两点．(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.【导学号：00090308】[规范解答](1)由题设可得M(2a，a)，N(－2a，a)，或M(－2a，a)，N(2a，a). 1分又y′＝x2，故y＝x24在x＝2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为y－a＝a(x－2a)，即ax－y－a＝0. 3分y＝x24在x＝－2a处的导数值为－a，C在点(－2a，a)处的切线方程为y－a＝－a(x＋2a)，即ax＋y＋a＝0. 5分故所求切线方程为ax－y－a＝0或ax＋y＋a＝0. 6分(2)存在符合题意的点．证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2. 7分将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4A．8分从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a . 10分当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.12分[答题模板] 第一步：分别求出曲线y ＝x 24在M 点，N 点处的导数．第二步：利用点斜式分别写出在M 点、N 点的切线方程．第三步：联立直线y ＝kx ＋a 与抛物线y ＝x 24，并写出根与系数的关系式．第四步：由k PM ＋k PN ＝0，结合根与系数的关系式，探索点P 的坐标．第五步：检验反思，查关键点，规范步骤．[温馨提示] 1.(1)在第(2)问中，不能把条件∠OPM ＝∠OPN 适当转化为k 1＋k 2＝0，找不到解题的思路和方法，而不能得分．(2)运算能力差或运算不细心，导致运算结果错误而扣分或者不得分．2．数学阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有则得分，无则扣分，所以解题时要写全关键步骤．(1)本题的关键点一是利用导数的几何意义求切线方程，二是把条件中转化为只需直线PM ，PN 的斜率之和为0.(2)解析几何对运算能力要求较高，解题时一定要细心准确，否则可能是思路正确，但是运算结果错误，而不得分．[对点训练3] 如图3，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.图3(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝ 2.4分所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1. 5分(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧ x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0. 8分其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.10分此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ．此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3. 12分。

2019年高考数学一轮复习专题探究课5平面解析几何中的高考热点问题理北师大版

五平面解析几何中的高考热点问题(对应学生用书第153页)[命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对运算能力，分析问题解决问题的能力要求较高，难度较大，常以压轴题的形式出现．圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a ，b ，c 三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．(2017·石家庄质检)如图1，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.【导学号：79140313】图1(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e . [解] (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝2 3. 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)连接F 1Q ，如图，由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，又|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2| ＝(2a －|PF 1|)＋(2a －|QF 1|)，可得|QF 1|＝4a －2|PF 1|.①又因为PF 1⊥PQ 且|PF 1|＝|PQ |，所以|QF 1|＝2|PF 1|.② 由①②可得|PF 1|＝(4－22)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝(22－2)a . 由PF 1⊥PF 2知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(4－22)2a 2＋(22－2)2a 2＝4c 2，可得(9－62)a 2＝c 2，即c 2a2＝9－62，因此e ＝ca＝9－62＝6－ 3.轴上，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的长是8，AB 的中点到x 轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P ，Q 两点．连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程．[解] (1)设抛物线的方程是x 2＝2py (p ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义可知y 1＋y 2＋p ＝8，又AB 的中点到x 轴的距离为3，∴y 1＋y 2＝6，∴p ＝2， ∴抛物线的标准方程是x 2＝4y .(2)由题意知，直线m 的斜率存在，设直线m ：y ＝kx ＋6(k ≠0)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋6，x 2＝4y 消去y 得x 2－4kx －24＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝4k ，x 3·x 4＝－24.(*)易知抛物线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，x 234处的切线方程为y －x 234＝x 32(x －x 3)，令y ＝－1，得x ＝x 23－42x 3，∴R ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－42x 3，－1，又Q ，F ，R 三点共线，∴k QF ＝k FR ，又F (0,1)，∴x 244－1x 4＝－1－1x 23－42x 3，即(x 23－4)(x 24－4)＋16x 3x 4＝0，整理得(x 3x 4)2－4[(x 3＋x 4)2－2x 3x 4]＋16＋16x 3x 4＝0，将(*)式代入上式得k 2＝14，∴k ＝±12，∴直线m 的方程为y ＝±12x ＋6.定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，③证明：l过定点． [审题指导]3434 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上.2分因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设.6分从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.8分而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.10分即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1).12分 [阅卷者说]根据题意选择参数，建立一个含参数的直线系或曲线系方程，经过分析、整理，对方程进行等价变形，以找出适合方程且与参数无关的坐标该坐标对应的点即为所求定点从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.[跟踪训练] (2016·北京高考)已知椭圆C ：a 2＋b2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值． [解] (1)由题意得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4. 又A (2,0)，B (0,1)，所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值．圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．(2018·石家庄质检(二))已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围.【导学号：79140314】[解] (1)设T (x ，y )，则直线TA 的斜率为k 1＝yx ＋4，直线TB 的斜率为k 2＝yx －4.于是由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2，得(4k 2＋3)x 2＋16kx－32＝0，所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP →·OQ →＋MP →·MQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)] ＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3. －20＜OP →·OQ →＋MP →·MQ →≤－523.当直线PQ 斜率不存在时，易得P ，Q 两点的坐标为(0,23)，(0，－23)，所以OP →·OQ →＋MP →·MQ →的值为－20.综上所述，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20，－523. 最值问题的主要求解方法几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解[跟踪训练作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．[解] (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又有PQ ⊥y 轴，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，y ，∵点P 是圆：x 2＋y 2＝1上的点， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2＝1. 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知直线l 与y 轴不垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1，①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝ty ＋m 消去x ，并整理得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0，其中Δ＝4m 2t 2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝48＞0，则y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.②∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(t 2＋1)(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，将①②代入上式得|AB |＝t 2＋14m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1＝12·43|m |m 2＋3＝23|m |＋3|m |≤2323＝1，当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立，∴(S △AOB )max ＝1.圆锥曲线中的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．(2018·郑州第二次质量预测)已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m ＞0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．[解] (1)将椭圆化成标准方程x 2m ＋y 2m2＝1(m ＞0)，e ＝1－m2m ＝22.(2)由题意，直线AB 的斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，设AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1，联立x 2＋2y 2＝m (m ＞0)，得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(2k －1)2－m ＝0(m ＞0)．x 1＋x 2＝4k (2k －1)1＋2k2＝4，k ＝－1，此时由Δ＞0，得m ＞6. 则AB 的方程为x ＋y －3＝0，则CD 的方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋2y 2＝m ，得3y 2＋2y ＋1－m ＝0，y 3＋y 4＝－23，故CD 的中点N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.由弦长公式可得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·12(m －6)3， |CD |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2|y 3－y 4|＝2·12m －83＞|AB |，若存在符合题意的圆，则圆心在CD 上，CD 的中点N 到直线AB 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－13－312＋12＝423.|NA |2＝|NB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫423＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |2＝6m －49. 又⎝⎛⎭⎪⎫|CD |2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12m －83＝6m －49，所以存在m ＞6，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上．探索性问题通常采用“肯定顺推法”.其步骤如下：假设满足条件的元素点、直线、曲线或参数存在，组，若方程组有实数解，则元素存在，否则，元素不存在反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法.[跟踪训练] (2017·湖北武汉调研)已知直线y ＝k (x －2)与抛物线Г：y 2＝2x 相交于A ，B两点，M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Г于点N .(1)证明：抛物线Г在点N 处的切线与直线AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →·NB →＝0？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝12x 消去y 并整理，得2k 2x 2－(8k 2＋1)x ＋8k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2＋12k2，x 1x 2＝4，∴x M ＝x 1＋x 22＝8k 2＋14k2，则y M ＝k (x M －2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋14k 2－2＝14k，由题设条件可知，y N ＝y M ＝14k ，则x N ＝2y 2N ＝18k 2，∴N ⎝⎛⎭⎪⎫18k 2，14k ，设抛物线在点N 处的切线方程为y －14k ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18k 2，将x ＝2y 2代入上式，得2my 2－y ＋14k －m 8k 2＝0，∵直线与抛物线相切，∴Δ＝12－4×2m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k －m 8k 2＝(m －k )2k 2＝0，∴m ＝k ，即抛物线Г在点N 处的切线与直线AB 平行． (2)假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0，则NA ⊥NB ， ∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |，由(1)得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋12k 22－4×4＝1＋k 2·16k 2＋12k 2， ∵MN ⊥y 轴，∴|MN |＝|x M －x N |＝8k 2＋14k 2－18k 2＝16k 2＋18k2， ∴16k 2＋18k 2＝121＋k 2·16k 2＋12k 2，解得k ＝±12，故存在k ＝±12，使NA →·NB →＝0.。

近年年高考数学一轮复习专题探究课5平面解析几何中的高考热点问题理北师大版(2021学年)

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五平面解析几何中的高考热点问题（对应学生用书第153页)［命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容,每年高考必考一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低,但在第（2）问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对运算能力，分析问题解决问题的能力要求较高，难度较大，常以压轴题的形式出现.圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位.一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题,最常用的方法是定义法与待定系数法.离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点,涉及a，b,c三者之间的关系．另外抛物线的准线,双曲线的渐近线也是命题的热点.(201７·石家庄质检)如图１,椭圆错误!+错误!＝1(a>b〉0)的左、右焦点分别为F１，Ｆ2,过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PＦ１。

【导学号：7914031３】图1(1）若｜ＰF1｜=２＋错误!，｜PＦ2｜=2-错误!,求椭圆的标准方程;(2)若|PF１|=|ＰQ|，求椭圆的离心率ｅ.[解］ (1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|ＰF2|=(2+2)+（2-错误!)＝4,故ａ=2．设椭圆的半焦距为ｃ,由已知ＰＦ1⊥PF2，因此2c＝｜F1F2|＝|PF1｜2+|ＰＦ2|２＝错误!=2错误!。

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