2015-2016学年第一学期数学检测考试答案 (2) - 副本 - 副本

试卷序号：
1
12.lim
x →0
tan x − sin x
2
16. 设函数 y ( x ) 由方程 2 x − 3 y = 8 所确定，求 y′( x), y′′( x) 。
3 2
e x sin x − 1 1 sin x ( − 1) cos = lim ..................................... （2分） x →0 x3 sin x (1 − cos) = lim （1分） ........................................ x →0 x 3 cos x 1 x x2 = lim 3 2 .................................................. （1分） x → 0 x cos x 1 = ................................................................... （1分） 2
姓名：
| | | | | | | |
装
防灾科技学院
2015-2016 学年 第一学期检测考试
高等数学（上）试卷 使用班级理工类财经类各班级 答题时间 120 分钟（本试卷理工财经各专业通用）
题号 得分 一 二 三 四 五 六 总分
+ − 4.若 f ( x0 ) 与 f ( x0 ) 都存在，则（ C
则 dy = arcsin
y ′ = 2 xf (cos x) + 2 ( − sin x) f ′(cos x) ,
……………………（3 分）
y′′ = (2 xf (cos x ) + x 2 (− sin x ) f ′(cos x ))′ = 2 f (cos x) − 4 x sin xf ′(cos x) − x 2 cos xf ′(cos x ) + x 2 sin 2 xf ′′(cos x ) ….（3 分）
6
dy d( ) dy dx d( ) d2y dx = dt = 2 dx dx dx dt
=
=−
3 .................................................................. （2分） 12π
6t 2 = 6t 2 + 6t 4 1 1+ t2 ………………………..（3 分）
y '' ( x0 ) =
20.若函数 y= f ( x ) 在 R 上可导且满足不等式 x f ′( x ) >－ f ( x ) 恒成立，且常数 a，b 满足 a>b， 求证：．a f ( a ) >b f (b) 证明： 构造函数 F ( x ) = xf ( x ) …………………………………………….…….（2 分）
车的总费用约为多少? 解. 总费用 y = (2 +
x 2 130 130 13 4940 )⋅ ⋅ 4 + 30 ⋅ = x+ (50 ≤ x ≤ 100) ……………(2 分) 360 x x 9 x
f ( x) ≡ C
…………………………………………………….…………………………(1 分)
令y ' =
n →+∞
14.lim
6
ln 2sin x 2 2 π x → π − 36 x
dy = dt = dx dx dt
2t 1 + t 2 = 2t 3 1 1+ t2 ………………………………………….（3 分）
1 2 cos x 2sin x = lim （3分） ........................................... π −72 x x→
3 2
, b=
9 ； 2
必要 条件。
10. f ( x) 在 x0 的某一去心邻域内无界是 lim f ( x) = ∞ 存在的
x → x0
班级：
阅卷教师 得分
三、求极限(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分)
| | | | | | | | |
11.lim(
x →∞
C. f ( x) 在 (a, b) 内可导，且在 a 点右连续，在 b 点左连续 D. f ( x) 在 (a, b) 内有连续的导数
dy d 2 y 2 所确定, 求 dx ， dx .
( n 2 + 1 − n)( n 2 + 1 + n) n2 + 1 + n ( n 2 + 1 − n)( n 2 + 1 + n)
........................... （2分）
........................... （2分） n2 + 1 + n (n 2 + 1 − n 2 ) （1分） = lim n .................................................. n →+∞ n2 + 1 + n 1 = 2 = lim n
)=
0
；
8. d ( −e − x + C ) = e − x dx ； 9. 函数 y = ax 3 + bx 2 的拐点为 (1,3) ，则 a = −
| | | | |
线
D.趋于无穷大的数列必无界 2.下列说法正确的是（ B ） A.若 f ( x) 在点 x0 处连续， g ( x ) 在点 x0 处不连续，则 f ( x) g ( x ) 在点 x0 处不连续 B.方程 x 3 − 3 x + 1 = 0 在区间 (0,1) 内有唯一实根 C.曲线 y = f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处有切线，则 f ′( x0 ) 一定存在 D.若函数 f ( x) ， g ( x ) 在点 x0 处均不可导，则 f ( x) + g ( x) 在点 x0 处不可导 3.下列条件不能使函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上应用拉格朗日中值定理的是（ D ） A. f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导 B. f ( x) 在 [a, b] 上可导
x 1 + x2
………………………………………………(1 分) 耗油率为 (2 +
x2 ) L/ h , 司机的工资为 30元 /小时 , 试问最经济的车速为多少 ? 此时行 360
1 f ′( x ) = − 1+x 2
1 1− ( x 1 + x2 )2
1 + x2 − x 1 + x2
x 1 + x 2 = 0 ……………………………….(3 分)
x − 1 2 x +1 ) x+3 −4 x−+43 x−+43 (2 x +1) = lim(1 + ) .......................................... （2分） x →∞ x+3 . x + 3 −4(2 x +1) −4 −4 x +3 = lim(1 + ) ............................................. （2分） x →∞ x+3 = e−8 ............................................................................. （1分）
x dx ……………………………………………………………………..（2 分） 3
2
阅卷教师 得分
五、证明题(本大题共 2 小题，每小题 6 分，共计 12 分)
把其定义域分为两个区间： (−∞, 2 ) , [2, +∞ ) . 对 ∀x ∈ (−∞, 2 ) ， f ′′( x ) = ( x − 2)e − x < 0 ， 则 f ( x ) = xe − x 在区间 (−∞, 2) 上是凸的，.. （1 分）
阅卷教师
阅卷教师 得 分
B.充分不必要
C.充分必要 D.既非充分又非必要
二、填空题（共计 5 小题，每小题 3 分，本大题共 15 分。）
得分 一、单项选择题（共计 5 小题，每小题 3 分，本大题共 15 分。） 6. y = arcsin
| | | | |
订
1.下列说法正确的是（ D ） A.凡是分段函数都不是初等函数
2 x − y ′2 2 xy 2 − x 4 = , ( y ≠ 0) …………………………..（3 分） y y3
13. lim n( n + 1 − n) = lim n
n →+∞
x = arctan t y = t 2 − ln(1 + t 2 ) 17. 设函数 y = y ( x) 由参数方程 1 x '(t ) = 1+ t2 解： y '(t ) = 2t − 2t 1+ t2 dy 2t −
13 4940 4940 × 9 − 2 =0，得唯一的驻点 x0 = ≈ 58.5. 9 x 13
13 4940 × 2 + >0，………………………………………（2 分） 9 x3 x = x0
f (1) = arctan1 + arccos
1 π π π π = + = , 即 C = . ……………………………….(1 分) 2 2 4 4 2
） B. lim f ( x ) 存在且不一定等于 f ( x0 )
x → x0
A. lim f ( x ) 存在且等于 f ( x0 )