四川绵阳南山中学高2014级文科数学高考模拟考试一(文数)

绵阳南山中学高2014级文科数学高考模拟试题（一）题卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．1.已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A C B =(A){}|12x x << (B){}|0x x < (C){}|2x x > (D){}|01x x << 2.在复平面内，复数ii4332-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的(A )充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4.若x =6π是=)(xf x ω+cos x ω的图象的一条对称轴，则ω可以是 (A) 4 (B) 6 (C) 2(D) 15.已知R b ∈，且41≤≤-b ，则事件“函数1)(2+-=bx x x f 有两个零点”的概率为(A)53 (B) 21 (C) 31 (D) 52 6.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 (A) 34 (B)1 (C)54 (D)747.如图，在半径为R 的圆C 中，已知弦AB 的长为5，则⋅=(A)25(B)225-(C)R 25(D) R 225- 8.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为(A)1007 (B) 1008 (C) 2013 (D) 20149.已知函数m x x e x f x-+-=)1()(2，若,,a b c R ∃∈，且a b c <<，使0)()()(===c f b f a f . 则实数m 的取值范围是(A))1,(-∞ (B))3,1(e(C)()31,e (D)),()1,(3+∞⋃-∞e 10.对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列}{n x 满足11x =，且对任意*n ∈N ，点),(1+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，则123420132014x x x x x x ++++++ 的值为(A)7549 ( B)7545 (C)7539 (D)7535二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷题中横线上．11.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则cos 2α= ．12.若x 、y 满足条件2102101x y x y y x --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤+⎩，则z =x +3y 的最大值是 .13.在三棱锥D ABC -中，2AC BC CD ===，CD ⊥平面ABC, 90ACB ∠= . 若其主视图，俯视图如图所示，则其左视图的面积为 .14.已知1,0=>>ab b a ，则22a ba b+-的最小值为 . 15.已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意R x ∈，有()f x m x ≤，则称函数()f x 为F -函数.给出下列函数：①2()f x x =；②2()1xf x x =+；③()2x f x =； ④()sin 2f x x =. 其中是F -函数的序号为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本题满分12分）某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，根据每份调查表得到每个调查对象的幸福指数评分值（百分制）．现从收到的调查表中随机抽取n 份进行统计，得到右图所示的频率分布表：（1）请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；（2）该部门将邀请被问卷调查的部分居民参加 “幸福愿景”的座谈会．在题中抽样统计的这n 人中，已知幸福指数评分值在区间（80，100]的5人中有2人被邀请参加座谈，求其中幸福指数评分值在区间(80，90]的仅有1人被邀请的概率．CDBA俯视图17.（本题满分12分） 在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且(1)2n n n S +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2nn na b =，数列{}n b 前n 项和为n T ，比较n T 与2的大小．18.（本题满分12分）已知角C B A ,,为△ABC 的三个内角，其对边分别为c b a ,,，若→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，32=a ，且→m·→n ＝12． （1）若△ABC 的面积3=S ，求c b +的值； （2）求c b +的取值范围．19.（本题满分12分）已知CD 是正△ABC 的边AB 上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的 中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B ，如图所示. （1）试判断折叠后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （2）若AC=2，求棱锥E-DFC 的体积；（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使BP ⊥DF ？如果存在，求出ACAP的值；如果不存在，请说明理由．A BCD ABCD EF20. (本题满分13分) 已知函数()ln bf x x a x x=-+在1x =处取得极值，且3a >. （1）求a 与b 满足的关系式； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）设函数22()3g x a x =+，若存在121,,22m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12|()()|9f m g m -<成立，求a 的取值范围．21. (本题满分14分)已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为0x =．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A 、B 两点． （1）求椭圆E 的方程；（2）若点P 为椭圆的左顶点，2PG GO = ，求22||||GA GB + 的取值范围；（3）若点P 满足PB PA =，求证222112||||||OA OB OP ++为定值.绵阳南山中学高2014级文科数学高考模拟试题（一）答案DBACD CBABA 257-；11；2；22；②④ 15.【解析】因为2()f x x x x x ==，所以()f x x x=，没有最大值，所以①不是F -函数.2()111f x x x =≤+，所以存在1m =，有()f x m x ≤成立，所以②是F -函数.③不是F -函数.因为()sin222f x x x x =≤=，所以此时存在2m =，所以④是F -函数，所以是F -函数的有②④.16．解析：20=n . （Ⅰ）频率分布表：频率分布直方图：………………………………6分（Ⅱ）记幸福指数评分值在（80，90]的3人分别是A 1，A 2，A 3，（90，100]的2人分别是B 1，B 2，则全部基本事件有（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2）（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 2，A 3），（B 1，B 2）共10个， …………………9分其中幸福指数评分值在(80，90]区间有1人被邀请的基本事件有6个． 故幸福指数评分值在(80，90]区间仅有1人被邀请的概率63105P ==． ……12分17解：（1）当n=1时，111==s a ; 当n 2≥时，()()n nn n n s s a n n n =--+=-=-21211。

经验证，11=a 满足上式。

∴{}n a 的通项公式为n a n = ………………………………6分 （2）n n n T 233222122++++=，∴1432233222121+++++=n n nT 。

则两式相减，得13222121212121+-++++=-n n n n nT T 12211+--=n n n所以2222<+-=nn n T ………………………………12分18解：（Ⅰ）∵→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，且→m·→n ＝12， ∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝12，即－cosA ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. ………………………………3分又由S △ABC ＝12bcsinA ＝3，所以bc ＝4，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4. ………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3，∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π3)， ………10分∵0＜B ＜π3，则π3＜B ＋π3＜2π3，则32＜sin(B ＋π3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4]………………12分19.解答：（1）AB//平面DEF ，理由如下：如图，在中，由E 、F 分别是AC 、BC 的中点，得EF//AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊆平面DEF ，AB//平面DEF 。

………………4分 （2） AD ⊥CD ，BD ⊥CD ，将∆ABC 沿CD 翻折成直二面角A-CD-B 。

∴AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BCD 。

取CD 的中点M ，这时EM//AD 。

∴EM ⊥平面BCD ，EM=1。

2433412131=⋅⋅=-DFC E V ………………8分（3）在线段AC 上存在点P ，使BP ⊥DF证明如下：在线段AC 上取点P 。

使AP=AC/3,过P 作PQ ⊥CD 于Q 所以BDC ∆相似于BDQ ∆∴DF ⊥平面BPQ ，∴BP ⊥DF此时AP=AC/3,∴AP ：AC=1/3. ………………12分20.解：（Ⅰ）2()1a bf x x x'=--，由(1)0f '=得1b a =-． ………………2分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0)+∞，，由（Ⅰ）可得22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x-------'=--==． 令()0f x '=，则11x =，21x a =-．3a >时，11a ->，所以()f x 单调递增区间为(01)，，(1)a -+∞，；单调递减区间为(11)a -，． …………………7分（Ⅲ）3a >时，由（Ⅱ）得()f x 在112⎫⎡⎪⎢⎣⎭，上为增函数，在(12]，上为减函数， 所以()f x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为(1)20f a =-<.因为函数()g x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调递增函数，所以()g x 的最小值为2113024g a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭. 所以()()g x f x >在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立.若存在1m ，2122m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，要使得12()()9f m g m -<成立， 只需要1(1)92g f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即213(2)94a a +--<，所以84a -<<.又因为3a >，所以a 的取值范围是(34)a ∈，． ……………………………13分21.解答：（1）由双曲线12222=-by a x 的焦距为23，则223=c .2922=+∴b a ① 渐近线x a b y ±=，由题意知 22=a b ②。