文科立体几何知识点、方法总结高三复习

立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。

mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。

若αα⊥⊥ml,，则ml//。

方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。

2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。

αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。

若为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l,则α//l。

3.面面平行：方法一：用线线平行实现。

βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。

βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。

αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。

三．夹角问题。

(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

(常用到余弦定理) 余弦定理：abc b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。

转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)：=θcos(二) 线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。

(2)范围：]90,0[︒︒当︒=0θ时，α⊂l 或α//l 当︒=90θ时，α⊥l (3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。

步骤2：解三角形，求出线面角。

(三) 二面角及其平面角(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。

(2)范围：]180,0[︒︒(3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。

步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。

方法二：截面法。

步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面βα和，则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。

步骤2：解三角形，求出二面角。

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

步骤一：计算121212cos n n n n n n ⋅<⋅>=⋅步骤二：判断θ与12n n <⋅>的关系，可能相等或者互补。

四．距离问题。

1．点面距。

方法一：几何法。

步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。

步骤2：计算线段PO 的长度。

(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2．线面距、面面距均可转化为点面距。

3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。

m如图，m 和n 为两条异面直线，α⊂n 且α//m ，则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。

方法二：直接计算公垂线段的长度。

方法三：公式法。

如图，AD 是异面直线m 和n 的公垂线段，'//m m ，则异面直线m 和n 之间的距离为：θcos 2222ab b a c d ±--=高考题典例考点1 点到平面的距离ABC D1A1C1B例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．解答过程（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1B C C C，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ． 1AF A D ∴⊥， AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得AF ，又112AG AB ==sin AG AFG AF ∴==∠．所以二面角1A A D B--的大小为．（Ⅲ）1ABD △中，111A BD BD A D A B S ==∴=△1BCD S =△．在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B ．设点C 到平面1A BD 的距离为d ．由11A BCD C A BD V V --=，得111333BCDA BD S S d=△△，1A BD d ∴=△．∴点C 到平面1A BD ．考点2 异面直线的距离例2 已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求ABC D1A1C1BO FCD 与SE 间的距离.解答过程： 如图所示，取BD 的中点F ，连结EF ，SF ，CF ，EF ∴为BCD ∆的中位线，EF ∴∥CD CD ∴,∥面SEF ,CD ∴到平面SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又 线面之间的距离可转化为线CD 上一点C 到平面SEF的距离，设其为h ，由题意知，24=BC ,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、BD 的中点，2,2,621,62=====∴SC DF CD EF CD 33222621312131=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴-SC DF EF V CEF S 在Rt SCE ∆中，3222=+=CE SC SE在Rt SCF ∆中，30224422=++=+=CF SC SF又3,6=∴=∆SEF S EF 由于h S V V SEF CEF S SEF C ⋅⋅==∆--31，即332331=⋅⋅h ，解得332=h 故CD 与SE 间的距离为332. 考点3 直线到平面的距离例3． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程：解析一BD ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点O 平面11D GB 的距离,1111C A D B ⊥ ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A ,又⊂11D B 平面11D GB ∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1, 作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1∆中，222212111=⋅⋅=⋅⋅=∆AO O O S OG O . BACDOGH 1A 11D1B 1O又362,23212111=∴=⋅⋅=⋅⋅=∆OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 解析二 BD ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则，由于632221,111111=⨯⨯==∆--D GB GBB D D GB B S V V 34222213111=⨯⨯⨯⨯=-GBB D V ,,36264==∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4 异面直线所成的角例4如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． 解答过程：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AOBO O =，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴B又12DE AO ==∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE ==∴异面直线AO 与CD所成角的大小为小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π.考点5 直线和平面所成的角例5. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． 解答过程：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面AB ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故A O B △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO =，得 1SO =，SD = S A B △的面积211122S AB SA ⎛=- ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =，解得h= 设SD 与平面SAB所成角为α，则sinh SD α==所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为．小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.DBCSODBCAS考点6 二面角例6．如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30．（I ）证明BC PQ ⊥ （II ）求二面角B AC P --的大小．过程指引：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ． 因为αβ⊥，PQ αβ=，所以CO α⊥，又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=， 从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥，所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥． （II ）由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ=，BO α⊂，所以BO β⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥．故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=， 不妨设2AC =，则AO =3sin 30OH AO ==在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO =，于是在Rt BOH △中，t a n 22BOBHO OH∠===．故二面角B AC P --的大小为arctan 2． 小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.考点7 利用空间向量求空间距离和角ABCQαβ P ABCQαβ P O HCAHMDEF1B1A1D1C例7． 如图，已知1111ABCD A BC D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面； （2）若点G 在BC 上，23BG =，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ； （3）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θ． 过程指引：（1）如图，在1DD 上取点N ，使1DN =，连结EN ，CN ，则1AE DN ==，12CF ND ==．因为AE DN ∥，1ND CF ∥，所以四边形ADNE ，1CFD N 都为平行四边形．从而EN AD ∥，1FD CN ∥．又因为AD BC ∥，所以EN BC ∥，故四边形BCNE 是平行四边形，由此推知CN BE ∥，从而1FD BE ∥．因此，1E B F D ，，，四点共面． （2）如图，GM BF ⊥，又BM BC ⊥，所以BGM CFB =∠∠，tan tan BM BG BGM BG CFB ==∠∠23132BC BGCF ==⨯=． 因为AE BM ∥，所以ABME 为平行四边形，从而AB EM ∥． 又AB ⊥平面11BCC B ，所以EM ⊥平面11BCC B ．（3）如图，连结EH ．因为MH BF ⊥，EM BF ⊥，所以BF ⊥平面EMH ，得EH B F ⊥．于是EHM∠是所求的二面角的平面角，即EHM θ=∠．因为MBH CFB =∠∠，所以sin sin MH BM MBH BM CFB ==∠∠21BMBC CF ===+ tan EM MH θ==CAHMDE F 1B1A1D1CN。