文科立体几何知识点方法总结高三复习
高中数学(文科)立体几何知识点总结
l立体几何知识点整理（文科）l // ml //m m直线和平面的三种位置关系：一．αl1. 线面平行方法二：用面面平行实现。
l//l //αl符号表示：2. 线面相交βl lαAα方法三：用平面法向量实现。
符号表示：n 为平若面线在面内3. 的一个法向量，lnn l ll //且。
,则lαα符号表示：二．平行关系：线线平行：1.方法一：用线面平行实现。
3. 面面平行：l mβl //l方法一：用线线平行实现。
l'l // ml m'αl // l 'm m // m'm//且相交l , m且相交l ' , m'方法二：用面面平行实现。
//l βl // mlγm mα方法二：用线面平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
l //l, m l // m //m //若。
，则l l , m且相交mβ方法四：用向量方法：m l l // m。
若向量和向量共线且l、m不重合，则α2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
1/11lC A方法三：用向量方法：Bαl m l m ，则的数量积为和向量若向量0。
三．垂直关系：夹角问题。
三．线面垂直：1.异面直线所成的角：一)(方法一：用线线垂直实现。
(0 ,90 ]范围：(1)ACl ABl 求法：(2)P n lABAC A方法一：定义法。
AθO AC, ABα：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤1方法二：用面面垂直实现。
)常用到余弦定理步骤2：解三角形求出角。
(余弦定理：βl lm a c222cab l m, l mcosθ2ab bα)计算结果可能是其补角(面面垂直：2.方法二：向量法。
转化为向量方法一：用线面垂直实现。
C的夹角βl lθl：)(计算结果可能是其补角BA AB ACαcos AB AC方法二：计算所成二面角为直角。
线面角)(二线线垂直：3.上任取一点(1) 定义：直线l ，作（交点除外）P方法一：用线面垂直实现。
高中文科立体几何基础知识点
高中《立体几何》（文科数学知识要点）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,mlα方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角) (二) 线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
高中文科数学立体几何知识点
立体几何知识点(文科)一．平行关系1. 线线平行:方法一：用线面平行实现。
m l m l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
m l m l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα 方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥m l,，则m l //。
方法四:用向量方法:若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则m l //。
2。
线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////l l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ 方法二：用面面平行实现。
αββα////l l ⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量,l n ⊥且α⊄l ,则α//l 。
3。
面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l方法二:用线面平行实现.βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交m l m l 二．垂直关系： 2. 线面垂直:方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 2。
面面垂直:方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现.m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭三 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角：（1） 范围:]90,0(︒︒（2）求法:方法一：定义法。
l步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
（常用到余弦定理）余弦定理:abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)(二) 线面角（1)定义:直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O ，连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
高中文科数学立体几何知识点
高考立体几何中直线、平面之间的地点关系知识点总结（文科）一．平行问题（一）线线平行：方法一：常用初中方法（ 1 中位线定理； 2 平行四边形定理；3 三角形中对应边成比率；4 同位角、内错角、同旁内角）方法二： 1 线面平行线线平行ll //l l // m mm方法三： 2 面面平行线线平行lβ//γml l // mαm方法四： 3 线面垂直线线平行若 l, m，则 l // m 。
方法五：用向量方法：若向量 l 和向量 m 共线且l、m不重合，则l // m。
（二）线面平行：方法一： 4 线线平行线面平行ll // m mm l //αl方法二： 5 面面平行线面平行lβ//l //αl方法三：法向量n l若 n 为平面的一个法向量，n l且 l, 则l //。
α（三）面面平行： 6 方法一：线线平行面面平行l // l 'lm // m'βm //l , m且订交l'l ', m'且订交αm'方法二： 7 线面平行面面平行l //， m //βlml , m//l m Aα方法三： 8 线面垂直面面平行面l// 面面面l方法三：用向量实现。
平面、的法向量分别是m、 nm // n 面 // 面二．垂直问题：（一）线线垂直方法一：常用初中的方法（ 1 勾股定理的逆定理； 2 三线合一；3 直径所对的圆周角为直角；4 菱形的对角线相互垂直。
）方法二： 9 线面垂直线线垂l直mαll mm方法三：三垂线定理及其逆定理。
PPO A Ol OA l PAαll l方法四：直线 l、 m上的向量分别是l 、 m ml m l mα（二）线面垂直：10 方法一：线线垂直线面垂直l AC ll ABlAC AB A CAAC ,ABBα方法二： 11 面面垂直线面垂直βlmm ll m, lα方法三：平面的法向量是 nn// l平面l（面）面面垂直：方法一： 12 线面垂直面面垂直βlllα方法二：平面、的法向量分别是 m、 n n m面面三、夹角问题：异面直线所成的角：( 一) 范围：(0 ,90 ]增补：空间向量在立体几何问题中的应用1 A(x, y, z) ， x叫横坐标， y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
2021年文科立体几何知识点方法总结高三复习
立体几何知识点整顿（文科）一．直线和平面三种位置关系：1. 线面平行l符号表达：2. 线面相交符号表达：3. 线在面内符号表达：二．平行关系：1.线线平行：办法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα办法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα办法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
办法四：用向量办法：若向量l和向量m共线且l、m不重叠，则ml//。
2.线面平行：办法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂办法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂办法三：用平面法向量实现。
若为平面α一种法向量，⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：办法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll办法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：办法一：用线线垂直实现。
lαα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,办法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：办法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l办法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：办法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα办法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭办法三：用向量办法：若向量和向量数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成角： (1) 范畴：]90,0(︒︒ (2)求法： 办法一：定义法。
环节1：平移，使它们相交，找到夹角。
环节2：解三角形求出角。
(惯用到余弦定理) 余弦定理：cos =θ(计算成果也许是其补角) 办法二：向量法。
文科立体几何知识点、方法总结材料高三复习
立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一)异面直线所成的角：(1) 围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abc b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)：=θcos(二)线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
文科立体几何知识点、方法总结高三复习 (1)
立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
高中文科数学立体几何知识点总结材料
高中文科数学立体几何知识点总结材料立体几何知识点整理（文科）l 若向量 l 和向量 m 共线且 l 、m一． 直线和平面的三种地点关系：αm 不重合，则 l // m 。
1. 线面平行l2. 线面平行：α 符号表示：方法一：用线线平行实现。
lβ2. 线面订交α l // m m l //llAα符号表示：方法二：用面面平行实现。
3. 线在面内nl//ll //αlα符号表示：二． 平行关系：1. 线线平行：方法三：用平面法向量实现。
方法一：用线面平行实现。
若 n 为平面的一个法向量，n l 且 l,则ll //l // 。
ll // mmm方法二：用面面平行实现。
lβ//3. 面面平行：γl l // mαmm方法一：用线线平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
l // l 'm // m'//若 l, m，则 l // m 。
l , m 且订交l ', m'且订交lβml' αm'高中文科数学立体几何知识点总结材料2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
C方法二：用线面平行实现。
βll //m ////l αl , m且订交mβllθAB方法二：计算所成二面角为直角。
α3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
lC AαBlllmmmα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PPOlOAl PA三．垂直关系：A Ol1. 线面垂直：αl方法一：用线线垂直实现。
l AC 方法三：用向量方法：lAB若向量 l 和向量 m 的数目积为0 ，则 lm 。
AC lAB A AC,AB三． 夹角问题。
(一 )异面直线所成的角：方法二：用面面垂直实现。
(1) 范围： (0 ,90 ](2) 求法：Pβlnmlmlm, lα方法一：定义法。
αAθO步骤 1 ：平移，使它们订交，找到夹角。
步骤 2 ：解三角形求出角。
(常用到余弦定理 )余弦定理：aca 2b 2c 2θbcos2ab(计算结果可能是其补角 )方法二：向量法。
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立体几何知识点整理方法二：用面面平行实现。
•直线和平面的三种位置关系:// ll //1.线面平行方法三：用平面法向量实现。
若n 为平面的一个法向量，n2.线面相交则丨〃3.面面平行:符号表示:方法一：用线线平行实现。
l //l' m// m' l, m 且相交 l',m' 且相交方法用线面平行实现。
二•平行关系: 1.线线平行: l // 方法一：用线面平行实现。
l //l 〃m mm//且相交•垂直关系:1.线面垂直://方法二：用面面平行实现。
『二'刁7〃 a m 丰 方法三：用线面垂直实现。
l l //m m 方法一：用线线垂直实现。
l AC l AB lAC AB A AC, AB方法二：用面面垂直实现。
若 I ,m ，则 l // m 。
方法四：用向量方法： 若向量l 和向量m 共线且I 、m 不重合，则l//m 。
m ll m,l2.面面垂直:2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。
l//m ml //方法一：用线面垂 直实现。
（1）定义：直线l上任取一点P （交点除外），作PO 于O,连结AO ,则AO为斜线PA在面内的射影，PAO （图中）为直线I与面所成的角。
方法二：计算所成二面角为直角。
3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
方法二：三垂线定理及其逆定理。
方法三：用向量方法: POl OAll PA⑵范围：[0 ,90 ]当0时，l 或丨〃当90时，l（3）求法：方法一：定义法。
步骤1:作出线面角，并证明。
步骤2:解三角形，求出线面角。
若向量l和向量m的数量积为0,则l m。
三•夹角问题。
（一）异面直线所成的角：（1）范围：（0,90] （三）二面角及其平面角（1）定义：在棱I上取一点P,两个半平面内分别作I的垂线（射线）m、n,则射线m和n的夹角为二面角一l —的平面角。
（2）求法：方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2:解三角形求出角。
（常用到余弦定理）余弦定理：2 2 2a b ccos2ab b ⑵范围：[0,180] （3）求法：方法一：定义法。
（计算结果可能是其补角）方法二：向量法。
转化为向量的夹角（计算结果可能是其补角）：AB ACcos —: ------ rAB AC 步骤1：作出二面角的平面角（三垂线定理），并证明。
步骤2:解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1:如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线（射线）AP和AO的夹角就是二面角。
步骤2:解三角形，求出二面角。
（二）线面角和等面积法；换点法）2 .线面距、面面距均可转化为点面距。
3 .异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。
如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，m//m', 则异面直线m和n之间的距离为：步骤1:过点P作PO 于0,线段PO即为所求。
步骤2:计算线段P0的长度。
（直接解三角形；等体积法高考题典例考点1点到平面的距离例1如图，正三棱柱ABC ABQ的所有棱长都为2 , D为CG中点.（I）求证：AB丄平面ABD ；（D ）求二面角 A A1D B的大小；（川）求点C到平面ABD的距离.解答过程（I）取BC中点0,连结AO . Q A ABC为正三角形，A0丄BC . Q正三棱柱ABC AB1C1中，平面ABC丄平面BCGB1, AO丄平面BCGB .连结BQ，在正方形BBCQ中，O, D分别为BC, CG的中点，BO丄BD ,步骤一：计算ir uuLTuucos n i n2步骤二：判断与IT UUq n2的关系，可能相等或者互补。
如图，m和n为两条异面直线，n 且m〃则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。
方法三：公式法。
四•距离问题。
1 .点面距。
方法一：几何法。
d c2a2b22ab cos方法三：坐标法）。
AB i 丄BD .在正方形 ABBiA 中，AB ’丄A ,B , AB ’丄平面ABD •（^）设AB I 与AB 交于点G ,在平面 ABD3中，作GF 丄AD 于F ,连结AF ，由（I ）得AB 丄平面A BD . AF 丄A D ,/AFG 为二面角 A AD B的平面角.在厶AA D 中 ，由等面 sin Z AFG 竺 2 卫•4所以二面角AF 4.5法可求得AF 土卫，又Q AG - AB 12 ， 521A DB 的大小为 arcsi m）△ ABD 中，4BD AD .5, A B 2 2,S A A BD6 , S △ BCD在正三棱柱中， A 到平面BCGB 的距离为 3 .设点C到平面 A l BD 的距离为 d .由 V A BCDV C A BD ，得 BCD g 31S ^ A B°gd ， d 二•点 C 到平33S A A BD2面ABD 的距离为』2 .考点2 异面直线的距离2例2已知三棱锥S ABC ，底面是边长为4.. 2的正三角形，棱 SC 的长为2，且垂直于底面.E 、D 分别 为BC 、AB 的中点，求CD 与SE 间的距离.解答过程：如图所示，取 BD 的中点F ，连结EF , SF , CF ,EF 为 BCD 的中位线， EF // CD, CD //面 SEF , CD到平面SEF 的距离即为两异面直线间的距离 •又 线面之间的距 离可转化为线 CD 上一点C 到平面SEF的距离，设其为h ,由题意知，BC 4：2,D 、E 、F 分别是AB 、 BC 、BD 的中点，CD 2 6, EF -CD . 6, DF . 2, SC 2 2V S 1 1CEF——EF DF SC1 -6 2 2 2.33 23 23在Rt SCE中，SESC2CE 22 3在Rt SCF SFSC 2 CF 24 24 230又 EF 6, S SEF 3由于V C SEFVS CEF3S SEF1 h ，即一3 h32一3 3故CD 与SE 间的距离为2 -312 ；6即BD 到平面GB i D i 的距离等于 ——3解析二 BD //平面GB i D i ,BD 上任意一点到平面 GB i D i 的距离皆为所求，以下求点 B 平面GB i D i 的距离.设点B 到平面GB i D i 的距离为h ，将它视为三棱锥 B GB i D i 的高，则V B GB i D i V D i GBB i，由于 SGB i Di即BD 到平面GB i D i 的距离等于 小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等,选准恰当的点，转化为点面距离•本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距考点4异面直线所成的角考点3 直线到平面的距离例3 .如图，在棱长为 2的正方体 AG 中，G 是AA 的中点，求 BD 到平面GB 1D 1的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解解答过程：解析一 BD //平面GB i D i ,BD 上任意一点到平面 GB i D i 的距离皆为所求，以下求点0平面GB i D 1的距离,B i D i A iC i , B iD iA 1A ，B i D i 平面 AACG ,又 B 1D 1平面GB 1D 1平面A i ACC iGB i D i ，两个平面的交线是 O i G ,作OH 0i G 于H ，则有 0H 平面GB D i ，即0H 是0点到平面GB i D i 的距离.在 O i OG 中，S O -OG1 O i O AO2 OQGAA_-OH O i G- .3 OH 2 22, OH &3V D i GBB i都是线面距离•所以求线面距离关键是例4如图，在Rt A AOB 中，OAB 芒，斜边 AB 4 . Rt △ AOC 可以通过Rt △ AOB 以直线 AO 为轴旋转6得到，且二面角B AO C 的直二面角.D 是AB 的中点.(I) 求证：平面COD 平面AOB ； (II) 求异面直线 AO 与CD 所成角的大小. 解答过程：(I )由题意，CO AO , BO AO ,BOC 是二面角B AO C 是直二面角， CO BO ，又 Q AOI BO O , CO 平面 AOB ,又CO 平面COD . 平面COD 平面AOB .(II )作DE OB ，垂足为E ,连结CE (如图)，则DE // AO ,小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直 线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体， 其目的在于容易发现两条异面直线间的关系， 如解析三•一般来说，平移法是最常 用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法•同时要特别注意异面直线所成的角的范围：0_，2考点5直线和平面所成的角例5.四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD .已知/ ABC 45°, AB BC 2 2, SA SB 3 .(I)证明SA BC ； (n)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. 解答过程：(I)作SO 丄BC ,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC 丄ABCD ，得SO 丄底面ABCD .因为SA SB ，所以AO BO ,又Z ABC 45° ,故△ AOB 为等腰直角三角形，AO 丄BO ,由三垂线定理，得 SA 丄BC .(n)由(I)知 SA 丄BC ，依题设AD // BC ,在 Rt A COE 中，CO BO 2 , OE 1BO 〔,2CECO 2 OE 2又 DE 1AO 3 .在 Rt △CDE 中，tanCDECE5 315 . 2DE 3异面直线AO 与CD 所成角的大小为arcta n 153ADE.z -DB yCDE 是异面直线AO 与CD 所成的角. AB故 SA 丄 AD ，由 AD BC 2、2 , SA 、3 , AO ,2，得 SO 1 , SD J1 . △ SAB 的面积 S 1 ABg SA 2 1 AB .2 • 连结 DB ，得△ DAB 的面积 S 2 丄ABgAD sin135° 2 2 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于V SAB V S ABD 设SD 与平面SAB 所成角为，则si n 所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为 h _2 SD 11.V22 arcs in11，得丄 hgS - SOgS 2，解得 h 2 . 3 322 11小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（ 1 ）先判断直线和平面的位置关系； （2）当直线和平 面斜交时，常用以下步骤：①构造一一作出斜线与射影所成的角，②证明一一论证作出的角为所求的角, ③计算一一常用解三角形的方法求角，④结论一一点明直线和平面所成的角的值 考点6 二面角 例6 .如图，已知直二面角 PQ , A PQ , B , C , CA BAP 45°,直线CA 和平面 所成的角为30o . （I ）证明BC 丄PQB AC Q过程指引：（1）在平面 内过点C 作CO 丄PQ 于点O ,连结OB .因为 丄 ,I PQ ，所以CO 丄,又因为CA CB ，所以 OA OB .而 BAO 45°，所以 ABO 45°, AOB 90°,从而 BO 丄 PQ ，又 CO 丄 PQ ,所以 PQ 丄平面OBC . 因为BC 平面OBC , 故PQ 丄BC .(II ) 由（1）知，BO 丄PQ ，又 丄 ，1 PQ ,BO所以BO 丄 .过点O 作OH 丄AC 于点H ，连结BH（II ）求二面角 P 的大小.,由三垂线定理知， BH 丄AC .故QBHO 是二面角B AC P 的平面角.由（I ）知，CO 丄，所以 CAO 是CA 和平面 所成的角，贝U CAO 30°,不妨设AC 2，贝V AO 、3 , OH AOsin 30°3•2在Rt A OAB 中, ABO BAO 45°,所以BO AO 、、3 ,于是在Rt△BOH 中,tan BHO 2 .故二面角B AC P的大小为arctan2 .OH 船T小结：本题是一个无棱二面角的求解问题•解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角•无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小考点7利用空间向量求空间距离和角例7 .如图，已知ABCD A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE FC1 1 .(1)求证：E, B, F, D1四点共面；2垂足为(2)若点G 在BC 上, BG ，点M 在BB1 上, GM 丄BF ,3H，求证：EM丄平面BCC1B1；(3)用表示截面EBFD1和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小，求tan过程指引：(1)如图，在DD1上取点N，使DN 1，连结EN , CN ,则AE DN 1 , CF ND12.因为AE // DN , ND1 // CF，所以四边形ADNE , CFD1N都为平行四边形.从而EN /AD , FD1// CN .又因为AD /BC，所以EN /BC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN // BE,从而FD1// BE •因此，E, B, F, D1四点共面.(2)如图，GM 丄BF，又BM 丄BC，所以/ BGM / CFB ,BC 2 3BM BGgtan/ BGM BGgtan/CFB BGg 1.因为AE //BM ，所以ABME 为平行四边形，从而 AB // EM •又AB 丄平面BCG Bi ，所以EM 丄平面BCC i B •是所求的二面角的平面角，即 / EHM因为 /MBH / CFB ，所以 MH BM gsin / MBHBMg 「BC 2 i pip 亠，tan 列用•JBC 2 CF 2 拧 22 寸13MH(3)如图，连结EH •因为MH 丄BF , EM 丄BF ，所以BF 丄平面EMH ，得EH 丄BF • 是 / EHMBM gsin / CFB。