文科立体几何知识点方法总结高三复习

立体几何知识点整理（文科）

一．直线和平面的三种位置关系：

1. 线面平行

l

符号表示：

2. 线面相交

符号表示：

3. 线在面内

符号表示：

二．平行关系：

1.线线平行：

方法一：用线面平行实现。

方法二：用面面平行实现。

方法

用线

直实

现。

若α

α⊥

⊥m

l,，则m

l//。

方法四：用向量方法：

若向量和向量共线且l、m不重合，则m

l//。

2.线面平行：

方法一：用线线平行实现。

方法二：用面面平行实现。

方法三：用平面法向量实现。

若n为平面α的一个法向量，l

n⊥且α

?

l,则

α

//

l。

3.面面平行：

方法一：用线线平行实现。

β

α

α

β

//

'

,'

,

'

//

'

//

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

且相交

且相交

m

l

m

l

m

m

l

l

方法二：用线面平行实现。

三．垂直关系：

1. 线面垂直：

方法一：用线线垂直实现。

方法二：用面面垂直实现。

2. 面面垂直：

方法一：用线面垂直实现。

方法二：计算所成二面角为直角。

3.线线垂直：

方法一：用线面垂直

实现。

方法二：三垂线定理及其逆定理。

方法三：用向量方法：

若向量和向量的数量积为0，则m

l⊥。

三．夹角问题。

(一)异面直线所成的角：

(1) 范围：]

90

,

0(?

?

(2)求法：

方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)

余弦定理：

(计算结果可能是其补角

)

θ

c

b

a

l

方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)： (二) 线面角

(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 (2)范围：]90,0[??

当?=0θ时，α?l 或α//l 当?=90θ时，α⊥l (3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。 (三) 二面角及其平面角

(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。 (2)范围：]180,0[?? (3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。 步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面βα和，则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。 步骤一：计算121212

cos n n n n n n ?=

?

步骤二：判断θ与12n n 的关系，可能相等或者互补。 四．距离问题。 1．点面距。 方法一：几何法。

步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。

步骤2：计算线段PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)

2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。

如图，m 和n 为两条异面直线，α?n 且α//m ，

则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。 方法二：直接计算公垂线段的长度。 方法三：公式法。

如图，AD 是异面直线m 和n 的公垂线段，

'//m m ，则异面直线m 和n 之间的距离为：

高考题典例

考点1 点到平面的距离例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D

为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；

（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．考点2 异面直线的距离

A

B

C D

O F

例2 已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为

AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离.

考点3 直线到平面的距离

例3． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到

平面11D GB 的距离 考点4 异面直线所成的角

例4如图，在Rt AOB △中，π6

OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC

△可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面

角．D 是AB 的中点．

（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；

（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． 考点5 直线和平面所成的角

例5. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，22BC =，3SA SB ==．

（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． 考点6 二面角

例6．如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30．（I ）证明BC PQ ⊥ （II ）求二面角B AC P --的大小． 考点7 利用空间向量求空间距离和角

例7． 如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体， 点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面； （2）若点G 在BC 上，2

3

BG =，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求

证：EM ⊥平面11BCC B ；

（3）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θ

<一>常用结论

1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线

平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.

B

A C

D

O

G

H D

C

S

B

P

2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面

面平行.

3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面

垂直.

4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的

射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.夹角公式 ：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉

.

8．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ==

21

||||||

a b a b x ?=

?+

（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,

所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 9.直线AB 与平面所成角：sin

||||

AB m

arc AB m β?=(m 为平面α的法向量).

10、空间四点A 、B 、C 、P 共面z y x ++=?，且 x + y + z = 1 11.二面角l αβ--的平面角

cos

||||m n arc m n θ?=或cos ||||

m n

arc m n π?-（m ，n 为平面α，β的法向量）.

12.三余弦定理：设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所

成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 13.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则

,A B d =||AB AB AB =?221()x x =-+14.异面直线间的距离： ||

||

CD n d n ?=

(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).

15.点B 到平面α的距离：||

||

AB n d n ?=

（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 16.三个向量和的平方公式：2

2

2

2

()222a b c a b c a b b c c a ++=+++?+?+?

17. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有

222

2123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ?++=222123sin sin sin 2θθθ?++=.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）

.

18. 面积射影定理 'cos S S θ

=.(

平面多边形及其射影的面积分别是S 、'

S ，它们所在平面所成锐二面角的θ).

19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组

合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径

,. 20.?求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）

〈二〉温馨提示：

1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？

① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.

② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是

．

③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．

〈三〉解题思路：

1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线面平行的判定： a

b b a a ∥，面，∥面???ααα a

b

α

线面平行的性质：

三垂线定理（及逆定理）： 线面垂直： 面面垂直：

2、三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90° （2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

（三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理)

高中数学立体几何 空间距离

1.两条异面直线间的距离

和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.

2.点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离

如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.

4.两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.

题型一：两条异面直线间的距离

【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.

(1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；

【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.

(2)在Rt △BEF 中，BF =

a 23

,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2

12，即EF =a 22

.

由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为

a 2

2

. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .

∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .

∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.

∵CE =23

,∴CF =FD =2

1,∠EFC =90°,EF =

2221232

2

=??? ??-???

? ??. ∴AB 、CD 的距离是

2

2

. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：

（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.

题型二：两条异面直线间的距离

【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =

3

2BE =332332=

?. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =363312

22=???

?

??-=-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36. 【例4】

在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =

2

π,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面

ABCD ,P A =a ,

求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离. 【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F ,连结PF , ∵AP ⊥平面ABCD ,AF ⊥DC ,∴PF ⊥DC ,

例1题图

例2题图

例3题图

B

A

C

D

∴∠PF A 就是二面角P —CD —A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD =90°,∠ADF =arcsin

55

,AD =3a ,∴AF =5

3a , 在Rt △P AF 中tan ∠PF A =

3

5

35=

=a a AF PA ,∴∠PF A =arc tan 35. (2)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥BC ,又BC ⊥AB ,

∴BC ⊥平面P AB ,作AH ⊥PB ,则BC ⊥AH ,∴AH ⊥平面PBC ,∵P A ⊥AB ,P A =AB =a ,

∴PB =2a ,∴AH =

a 2

2. 【例5】 如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中

AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.

解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.

∴DF=C 1H=2. .622

2

=+=∴DF BD BF （Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，

由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ?面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.

在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到面AEC 1F 的距离. 解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.

∵AEC 1F 为平行四边形，

（II ）设1n 为面AEC 1F 的法向量，)1,,(,1y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然

111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则1111433

cos ||||

CC n CC n α?=

=

? ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11

33

4333343cos ||1=?==αCC d 【例6】

正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。

（1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离． 解：（1）连结BD ，D B 1，由三垂线定理可得：AC D B ⊥1， 所以D B 1就是1B 点到直线AC 的距离。 在BD B Rt 1?中,6810222211=-=-=

BC C B BB 34=BD ．

2122121=+=∴B B BD D B ．

（2）因为AC 与平面BD 1C 交于ＡＣ的中点Ｄ， 设E BC C B =?11，则1AB //DE ，所以1AB //平面BD C 1， 所以1AB 到平面BD 1C 的距离等于Ａ点到平面BD 1C 的距离，等于Ｃ点到平面BD 1C 的距离，也就等于三棱 锥1BDC C -的高， BDC C BDC C V V --=11 ，

13

1

311CC S hS BDC BDC ??=∴，131312=

∴h ，即直线1AB 到平面BD 1C 的距离是131312． 【解后归纳】 求空间距离注意三点：

1

A

1

A 1．常规遵循一作二证三计算的步骤； 2．多用转化的思想求线面和面面距离；

3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．

【范例4】如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；

（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；

（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4

π

.

解析：法1

（1）∵AE ⊥面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E

（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2，

故.2

121,232152211=??==-??=

??BC AE S S ACE C AD 而 （3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ，

∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角.

设AE=x ，则BE=2－x