高中数学(文科)立体几何知识点总结

l立体几何知识点整理（文科）l // ml //m m直线和平面的三种位置关系：一．αl1. 线面平行方法二：用面面平行实现。

l//l //αl符号表示：2. 线面相交βl lαAα方法三：用平面法向量实现。

符号表示：n 为平若面线在面内3. 的一个法向量，lnn l ll //且。

,则lαα符号表示：二．平行关系：线线平行：1.方法一：用线面平行实现。

3. 面面平行：l mβl //l方法一：用线线平行实现。

l'l // ml m'αl // l 'm m // m'm//且相交l , m且相交l ' , m'方法二：用面面平行实现。

//l βl // mlγm mα方法二：用线面平行实现。

方法三：用线面垂直实现。

l //l, m l // m //m //若。

，则l l , m且相交mβ方法四：用向量方法：m l l // m。

若向量和向量共线且l、m不重合，则α2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

1/11lC A方法三：用向量方法：Bαl m l m ，则的数量积为和向量若向量0。

三．垂直关系：夹角问题。

三．线面垂直：1.异面直线所成的角：一)(方法一：用线线垂直实现。

(0 ,90 ]范围：(1)ACl ABl 求法：(2)P n lABAC A方法一：定义法。

AθO AC, ABα：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤1方法二：用面面垂直实现。

)常用到余弦定理步骤2：解三角形求出角。

(余弦定理：βl lm a c222cab l m, l mcosθ2ab bα)计算结果可能是其补角(面面垂直：2.方法二：向量法。

转化为向量方法一：用线面垂直实现。

C的夹角βl lθl：)(计算结果可能是其补角BA AB ACαcos AB AC方法二：计算所成二面角为直角。

线面角)(二线线垂直：3.上任取一点(1) 定义：直线l ，作（交点除外）P方法一：用线面垂直实现。

内，则连结AO AO 为斜线PA 在面于O,PO l lm PAO 图中(与面)为直线l l所成的角。

的射影，mαP方法二：三垂线定理及其逆定理。

θA αOP POPAl OAl[0 ,90 ] (2)范围：l OAαl112/l l //0或时，当n1n l90时，当2θ求法：(3)方法一：定义法。

nn：作出线面角，并证明。

步骤121cos nn步骤一：计算21nn：解三角形，求出线面角。

步骤221n n二面角及其平面角三)(的关系，可能相等或步骤二：判断与21(1) 定义：在棱l 上取一点P，两个半平面内分别作者互补。

l 的垂线（射线）m、n，则射线m 和n 的夹角为四．距离问题。

—l —的平面角。

二面角．点面距。

1方法一：几何法。

m l P PnOA[0 ,180 ]范围：(2) 步骤1：过点P 作PO于O，线段PO 即为所求。

步骤2：计算线段PO 的长度。

(直接解三角形；等(3) 求法：体积法和等面积法；换点法)2．线面距、面面距均可转化为点面距。

方法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。

3．异面直线之间的距离：解三角形，求出二面角的平面角。

步骤2方法一：转化为线面距离。

方法二：截面法。

m和同时垂直于平面POA 步骤1：如图，若平面，n则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。

n为两条异面直线，n和如图，m 且步骤2：解三角形，求出二面角。

m //，则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直βP线m 与平面之间的距离。

θA方法二：直接计算公垂线段的长度。

Oα方法三：公式法。

)。

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补3/11如图，AD 是异面直线m 和n 的公垂线段，mB aA nd m // m' ，则异面直线m 和n 之间的距离为：c m'Db2222ab cosadcb C空间向量五．A A1空间向量基本定理一)(C C1Dp a, b, c ，都存在唯一的有序实数对为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量若向量BB1zc p xayb、z y、x。

，使得三点共线，四点共面问题) (二三点共线 C 1. A，B，，且OA xOB yOCx1y1y x当的A时，是线段BC2AB AC三点共线A，C ，BCBA，，，D 四点共面2.yOC zOD xOBOA xz 1y，且1xy z当的BCD时，A 是△3ABy ADx AC四点共面，D CA，B，空间向量的坐标运算)(三A 1.已知空间中、两点的坐标分别为：B) B( x ) , z, yA( x , y , z则：，211122d ABAB; A ,B，) , y( x , y , z b (x ) , za若空间中的向量2. 111222aa bb则114/a bcos a b六．常见几何体的特征及运算(一)长方体1.长方体的对角线相等且互相平分。

222+coscos+cos、、 2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为，则αβγβαγ222 cos +cos+ cos、、，则若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为，则体对角线长为若长方体的长宽高分别为a、b、c3. ，体积为，表面积为。

(二)正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。

(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

(四)正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。

(只有五种正多面体)(五)棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

VV)体积：(六棱锥棱柱球(七)1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。

2. 设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O，球心O 到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关1。

系是3.球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

4. 球的表面积公式：体积公式：高考题典例考点1点到平面的距离5/11，为中点．2 D CC如图，正三棱柱例 1 的所有棱长都为CABCAB1111平面；（Ⅱ）求二面角的大小；⊥AB BDA （Ⅰ）求证：DAA B 111（Ⅲ）求点到平面的距离．BDAC 1解答过程（Ⅰ）取中点，连结．AO O BC为正三角形，．BC ⊥AO△ABC平面，中，平面正三棱柱ABC ⊥ABC11BCCB BCA 111A A1别为．连结BO BC，CC分，在正方形平面中， D BCCB，O BBCC AO ⊥111111F C．BD⊥，ABBO⊥BD C的中点，D111OB中，平面．在正方形，AB AB ⊥AB ABB⊥A B BDA1111111于交于点，在平面连中，作⊥结，（Ⅱ）设与 F G GF111ABABD1，平面．的平面角．BDA B 为二面角DA A DA ⊥AF ⊥AB ∠AFG ，由（Ⅰ）得AF 1111中，由等面积法可求得在DAA4 5 △，AF1 51，又AB2 AG．10 2AG 1AFG∠sin24AF4 55的大小为 B所以二面角A10 arcsin．DA14中，（Ⅲ）ABD．，，，△△△12S6S BDAD5A B2．的距离为在正三棱柱中，到平面BCCBA3BCD BDA1111A BD 111d．设点到平面的距离为 CSV．33SV111，，得由2 d Sd△△BCD△BD BCDAA A BDBCD11C12 33S BDA△12 ．的距离为ABD点到平面 C 122考点异面直线的距离24ABC S，底面是边长为2 例已知三棱锥的正三角形，棱AB 、D BC、E SC 的中点，求.分别为，且垂直于底面的长为2116/CD 与SE 间的距离 .解答过程：如图所示，取BD 的中点F，连结EF ，SF ，CF ，BCD CD, CDSEFCD SEF EF EF 的距离即为两异面直线间的∥面的中位线，,∥到平面为CD SEF到平面C上一点又 .距离线面之间的距离可转化为线2 BC 4、的中点，h ，由题意知，AB,D、、E、FBC 分别是BD的距离，设其为1 CD6, DF2, SC22 6,EFCD2V11EFDF SC116222 3S CEF3332222CESCSE2 3 SCE 中，Rt在22CFSCSF424230 SCF 中，Rt在S1 3 hh 1 S，即6,3EF VV h2 332由于，解得又SEF CS SEF SEF CEF33332 3间的距离为CD与SE故.3考点3直线到平面的距离AC AA GBD的距离的正方体 .的中点，求中，BD G 到平面是2．例 3 如图，在棱长为1111：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解思路启迪.D1C1O1DGB BD ，∥平面：解析一解答过程11A1B1GBD BD 的距离皆为所求，以下求上任意一点到平面H 11GGBD的距离,点O 平面D11COAC BDA A BD A ACC DB,，平面，AB 11111111111GB D A ACCGBD BDOG ，两个平面的交线是平面又平面,111111111OGGBD OHGBD OH 平面H于，则有作点到平面，即OH是O .的距离1111111222O AO O. OG O S中，在1OG1O 1227/111126S又3OH2, OHGOH O.1OG O 132262DGB的距离等于即BD 到平面.113GBD BD ，∥平面解析二11GB D GBD的距离平面 . 的距离皆为所求，以下求点B BD上任意一点到平面1111GB DB GB D的距离为h 的高，则，将它视为三棱锥设点 B 到平面1111由于1114, V V，6 VS 2 2 22 2 3DDGBBB GB,1111D GBDGBB11113232 42 6 h,3626DGB.的距离等于到平面即BD 113都是线面距离 .所以求线面距离关键是直线上的每一点到平面的距离都相等，：当直线与平面平行时，小结选准恰当的点，转化为点面距离 .本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离 .考点4异面直线所成的角πAO AB4 为轴旋转以直线，斜边．例 4 如图，在中，可以通过AOB△RtAOC△RtRt△AOB OAB6AC AO B AB D 的中点．是的直二面角．得到，且二面角CODAOB ；平面）求证：平面I（D AO CD ）求异面直线II （所成角的大小．与z AO BOCOAO，I）由题意，，解答过程：（AE B O B AO C BOC 是直二面角，是二面角CBO O AOB COAOBOCO，，，又平面DCO COD COD AOB ．平面平面．又平面E CE DE ∥AO OB DE，（如图），则，连结，垂足为（II）作y CDAO所成的角．与是异面直线CDE BO12x C BO2．中，在5 OERt CO△COE BO，，2CE COOE128/11RtCDE中，．在又1△tanCDE15 3 DE AO．5CE 33DE2AO CD 15 ．所成角的大小为异面直线与arctan3小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间如解析三 .一般来说，平移法是最常其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，图形补成熟悉的几何体，.0,.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法2考点 5 直线和平面所成的角AB2 ，，∠ABC45 为平行四边形，侧面例5. 四棱锥S底面．已知ABCD 中，底面ABCD SBCABCD．SB3BC 2 2，SA S（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．SAB SABC SDC B解答过程：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面⊥⊥BC AO SBC SO O，得底面．A B SO⊥ABCD S BO AOD ASA SB，因为，所以AOB ∠ABC 45 △为等腰直角三角形，，故又O BC SA⊥AO ⊥BO ．，由三垂线定理，得C B SA⊥BC AD ∥BC ，，依题设（Ⅱ）由（Ⅰ）知D A AD SA⊥，由故，，，ADBC22SA 3AO2121△SAB SD 112的面积SO 1 AB S．，得．AB 2SA1221 AB AD sin135S△DAB2DB 的面积连结，得2211V V hSAB D ，解得h2 ．，由于的距离为到平面设h S，得SO S D SABS ABD213322 SAB SD ．所成角为设与平面，则2h sin11SD11SD SBC 22 ．所成的我为所以，直线与平面arcsin 111 ）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（小结面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，9/11③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.6考点二面角APQ BC CACB PQ，，，，，已知直二面角例6 ．如图，CBC⊥PQ CA 45 30BAP．（I）证明和平面，直线所成的角为A PQ P B AC的大小．II）求二面角（B CCO⊥PQ O OB ．，连结内过点于点作）在平面过程指引：（ICPQ CO⊥⊥，，所以，因为HA P Q OB CB OA CA．又因为，所以O BBAOABO 45 AOB9045，而，，所以BO⊥PQCO⊥PQ，从而，又OBC PQ BC⊥BC PQ ⊥OBC ．所以平面．因为平面，故PQ⊥BO⊥PQ ，又）知，（II）由（I，，BO ⊥O OH ⊥AC BH ⊥ACBO BHH．故，所以，由三垂线定理知，于点．过点，连结作BHO BP AC的平面角．是二面角⊥COCAO CA 30 CAO由（I）知，，是和平面所成的角，则，所以3 3 AO OH ACAO sin 302．，则，不妨设2BOA O 3Rt △BOH Rt△OAB45ABOBAO，所以在是，在于中中，，BP arctan 2 AC3BO．的大小为．故二面角2t a n BHO OH32. 解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面：本题是一个无棱二面角的求解问题小结角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.10/117考点利用空间向量求空间距离和角D1DABCABCD3A是棱长为如图，已知例7 ．的正方体，11111B1C1AE FC CC E AA1F上，且在在上，点点．111E FD，B，F，E四点共面；（1）求证：1M A2D GM ⊥BFBGBCG，上，上，在（2）若点HBB M 为足垂在，点1B G C3BCCB EM ⊥H；平面，求证：11EBFDBCCB tan和侧面（3）用表示截面所成的锐二面角的大小，求．111DD DN 1N ENCN 上取点，使过程指引：（ 1 ）如图，在，，，连结1D1A1ND 2CF DN 1 AE B．，则11C1CFND∥N CFD DN AE ∥ADNE N，所以四边形因为，都为平行四，E F11M EN∥AD FD ∥CN ．边形．从而，A1D H B G AD ∥BC EN ∥BC BCNEC是平行四边形，由此，故四边形又因为，所以CNBE∥FD ∥BE E，B，F，D 四点共面．，从而推知．因此，11GM⊥BFBM ⊥BC∠CFB ∠BGM，又，所以，（2）如图，BC32CFB BGMBG tan∠BG tan∠BM1BG．3CF2AE ∥BMEMABMEAB∥．，所以为平行四边形，从而因为BCCBBCCB EM AB ⊥⊥．，所以又平面平面1111∠EHM．于是BF⊥EH ⊥⊥BFEMBFBF⊥EMHMHEH，得，平面，所以（3）如图，连结．因为∠EHM．是所求的二面角的平面角，即∠MBH∠CFB MHBM sin ∠MBHBM sin∠CFB，所以因为EM．，tanBC1BM331322222BC 3CF MH13 11/ 1131。