离散数学最小生成树例题
离散数学样卷十二套(含答案)
一、证明下列各题1、 （10分）证明蕴涵式：()P P Q Q ∧→⇒2、（10分）证明：,1111f g f g -⇒-I 为函数为函数。
5、 3、（10分）给定代数结构,N ⨯和{}0,1,⨯，其中N 是自然数集合，⨯是数的乘法。
设{}:0,1f N →，定义为：12,,()0k n n k N f n ⎧=∈=⎨⎩否则试证}01N ⨯≅⨯，，，。
4、（10分）给定代数结构,R *，其中R 是实数集合，对R 中任意元a 和b ，*定义如下：a b a b a b *=++⨯ 试证明：,R *是独异点。
二、求下列各题的解：1、试求下列公式的主析取范式和主合取范式（15分）：()()P Q P Q ⌝∨⌝→⌝€2、（15分）{}010*********R =设，，，，，，，，，，，，试求（1）、R R *，（2）、{}1R ↑，（3）、{}11R -↑，（4）、{}1R ⎡⎤⎣⎦，（5）、{}11R -⎡⎤⎣⎦3、（15分给定无向图,G V E =，如图，试求： F E DCA B（1） 从A 到D 的所有基本链； （2） 从A 到D 的所有简单链；（3） 长度分别是最小和最大的简单圈； （4） 长度分别是最小和最大的基本圈； （5） 从A 到D 的距离。
4、（15分）给定二部图12,,G E V =，如图 9v 8v 7v 6v 1V1v 2v 3v 4v 5v 2V 试求1V 到2V 的最大匹配一、证明下列各题1、 （10分）证明蕴涵式：()P Q P P Q →⇒→∧2、（10分）证明：()()()A B C A B A C ⨯-=⨯-⨯3、（10分）给定群,G ，则,G 为Abel 群⇔222()()(,())∀∀∈→=a b a b G a b a b4、（10分）给定代数结构,S *，其中S 中元为实数有序对，*定义为 ,,,2a b c d a c b d bd *=+++，试证,S *是可交换独异点。
华中科技大学计算机学院离散数学(二) 2017 A 卷 with 答案
一. 单项选择（每小题3分，共15分）( ) 1. 5种不同的球中取出8个，共有多少种取法(A) C(8, 5) (B) C(12, 5) (C) C(12, 8) (D) C(13, 5)( ) 2. 递推式x n = 4x n-1 - 4x n-2的通解是(A)C 1+C 22n (B)C 1n +C 22n (C) C 1n +C 2n 2n (D) (C 1+C 2n )2n( ) 3. 5个结点的完全图去掉一条边后，一定不是(A) 连通图 (B) 欧拉图 (C) 哈密顿图 (D) 平面图( ) 4. 5个结点的简单平面图的边数最多是(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10( ) 5. 完全正则二元树（满二叉树）的叶结点数是t ， 则该树的结点数一定是(A) t +t /2+1(B) 2t -1 (C) 2t (D) 2t +1二. 填空（每小题3分，共15分）1. 6个人平均分到3个不同部门的分法有___90___种；2. 5个不同的球分成3堆的分法有___25___种；3. 图G 分支数是3，节点数是10，则其边数至少是___7___；4. n 个结点的多重图（无单边弧）的邻接矩阵的主对角线以上部分所有项的和等于图的_____边数______；5. 利用欧拉定理，可得11890 ≡___1___ (mod 15)三. 解答题（共40分）1. 排列26个字母，使得a与b之间恰有7个字母，求方法数。
（6分）2×C(24,7)A(7，7)A(18，18) = 36×24!这道题的解答并不难，可以有以下的几种解法。
解法1：从24个字母（a,b除外）中任选7个字母，放置于ab之间，然后将这选出来7个字母与ab构成一个整体当成一个对象，再于剩下的17个字母（已经选了7个，再除掉ab），共18个对象全排列。
结论是C(24,7)A(7，7)A(18，18) = 36×24! 但还需要考虑到a在前b在后和b在前a在后两种不同的情况，所以答案是：2×C(24,7)A(7，7)A(18，18) = 36×24!这种做法中，不少同学没有考虑到上面ab两个字母顺序的问题，没有乘以2; 也有不少同学只考虑了剩下17个字母的全排列，没有考虑的a*******b这个整体在整个排列中的位置不同的问题。
202005-离散数学
庆大学网络教育院 离散数学参考资料一、单项选择题（本大题共 0 分，共 70 小题，每小题 0 分）1. 一棵有向树，如果恰有一个节点的入度为０，其余所有节点的入度都为１， 则称为（ ）。
A. 根树B. 普通树C. 树根D. 树节点2. 设< A,+, >是一个环，且< B,⊕,⊙>是关于同态映射 f 的同态象。
则< B,⊕,⊙>必定是（）A. 环B. 整环C. 含幺环D. 交换环3.设有向图（a ）、（b ）、（c ）、（d ）如下图所示，则下列结论成的是（）A.（a ） 是强连通的B.（b ） 是强连通的C.（c ） 是强连通的D.（d ） 是强连通的4. 设<, >是正实数乘法群，<R,+>是实数加法群。
令 f ： f(x) ，则（ ）1 2 nA . f 是<R +,∙>到<R,+>的满同态映射B . f 是<R +,∙>到<R,+>的单一同态映射C . f 是<R +,∙>到<R,+>的同构映射D . f 是<R +,∙>到<R,+>的自同构映射5. 不是命题的是（）。
A. 5 大于 3B. 11 是质数C. 他是优秀学生D. k 是太阳6. 公式 为仅含有逻辑联结词┐，∧，∨及命题变元，，…， 的命题公式， 是 A 的对偶式，则 (┐,┐ ，…，┐ ) ( )。
A. ┐A(P 1，P 2，…，P n )B. A(P 1，P 2，…，P n )C. A *(P ,P ，…，P )*(P 1,P 2，…，P n )7. 设<G,*>是 n 阶有限群，如果 n 为（ ）,则<G,*>必是循环群。
A. 奇数B. 偶数C. 质数D. 合数8. n 个节点的无向完全图 K n 的边数为( )。
A.B.D. ┐AC.D.9.无向简单图 G 是棵树，当且仅当（）A.G 连通且边数比结点数少 1B.G 连通且结点数比边数少 1C.G 的边数比结点数少 1D.G 中没有回路10.P：今天下雨。
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
第一部 离散数学 (4)
这与握手定理的推论相矛盾，
所以假设不成立，原结论正确。
14-43、有向图 D 如图 14.22 所示： （2）求 a 到 d 的短程线和距离 d<a,d> （4）判断 D 是哪类连通图 解： （2）a 到 d 的短程线为 aed 距离 d<a,d>=2 （4）D 中存在经过每个顶点的通路 aebdc，但是不存在经过每个顶点的回路， 所以 D 是单向连通图。
0
0
0
2
⎥ ⎥
⎢⎢0
2
0
2
0
⎥ ⎥
⎢⎢4
0
4
0
0
⎥ ⎥
A= ⎢0 0 0 0 1 ⎥ A2 = ⎢0 1 0 1 0 ⎥ A3 = ⎢2 0 2 0 0 ⎥ A4 = ⎢0 0 0 0 4 ⎥
⎢⎢1
0
1
0
0
⎥ ⎥
⎢⎢0
0
0
0
2
⎥ ⎥
⎢⎢0
2
0
2
0
⎥ ⎥
⎢⎢4
0
4
0
0
⎥ ⎥
⎢⎣0 1 0 1 0 ⎥⎦
≤
i
≤
n
-1）相邻，这样得到一个n阶无向简单图G
。
n
G n的边数为m
=
K n -1的边数
+1
=
1 2
(n
−1)(n
−
2)
+ 1，
显然G
不是哈密顿图。
n
习题十六
16-2、一棵无向树 T 有 5 片叶子，3 个 2 度分支点，其余的分支点都是 3 度顶点， 问 T 有几个顶点？ 解：
-7-
设 3 度顶点为 x 个，则阶数 n=5+3+8=8+x，边数 m=7+x， 由握手定理可得： 2m=14+2x=5*1+3*2+3x=11+3x 解得：x=3； 所以 T 的顶点个数为：8+3=11。
最小生成树（普里姆算法）
最⼩⽣成树（普⾥姆算法）：所谓⽣成树，就是n个点之间连成n-1条边的图形。
⽽最⼩⽣成树，就是权值（两点间直线的值）之和的最⼩值。
⾸先，要⽤⼆维数组记录点和权值。
如上图所⽰⽆向图：int map[7][7];map[1][2]=map[2][1]=4;map[1][3]=map[3][1]=2;......然后再求最⼩⽣成树。
具体⽅法是：1.先选取⼀个点作起始点，然后选择它邻近的权值最⼩的点（如果有多个与其相连的相同最⼩权值的点，随便选取⼀个）。
如1作为起点。
visited[1]=1;pos=1;//⽤low[]数组不断刷新最⼩权值，low[i](0<i<=点数)的值为：i点到邻近点（未被标记）的最⼩距离。
low[1]=0; //起始点i到邻近点的最⼩距离为0low[2]=map[pos][2]=4;low[3]=map[pos][3]=2;low[4]==map[pos][4]=3;low[5]=map[pos][5]=MaxInt; //⽆法直达low[6]=map[pos][6]=MaxInt;2.再在伸延的点找与它邻近的两者权值最⼩的点。
//low[]以3作当前位置进⾏更新visited[3]=1;pos=3;low[1]=0; //已标记，不更新low[2]=map[1][2]=4; //⽐5⼩，不更新low[3]=2; //已标记，不更新low[4]=map[1][4]=3; //⽐1⼤，更新后为：low[4]=map[3][4]=1;low[5]=map[1][5]=MaxInt;//⽆法直达，不更新low[6]=map[1][6]=MaxInt;//⽐2⼤，更新后为：low[6]=map[3][6]=2;3.如此类推...当所有点都连同后，结果最⽣成树如上图所⽰。
所有权值相加就是最⼩⽣成树，其值为2+1+2+4+3=12。
⾄于具体代码如何实现，现在结合POJ1258例题解释。
大学试卷《离散数学》及答案.docx
离散数学一、填空题(本大题共48分，共16小题，每小题3分)1.--公式为之充分必要条件是其合取范式之每一合取项中均必同时包含一命题变元及其否定2.无向图G具有是生成树，当且仅当的，若G为(n,m)连通图，要确定G的一棵生成树必删掉G的条边。
3.一个无向图的欧拉回路要求经过图中一次且仅一次，汉密顿图要求经过图中一次且仅一次。
4.设P：我生病，Q：我去学校(1)命题“我虽然生病但我仍去学校”符号化为o (2)命题“只有生病的时候，我才不去学校”符号化为o (3)命题"如果我生病，那么我不去学校”符号化为o5.设有33盏灯，拟公用一个电源，则至少需要5个插头的接线板数6.若HlAH2A-AHn是 ,则称Hl, H2, -Hn是相容的，若HlAH2A-AHn是 ,则称H1.H2, -Hn是不相容的7.设f,g,h 是N 到N上的函数(N 为自然数集合),f(n)=n+l;g(n)=2n;h(n)=0；贝lj(fdg)oh=8.K5的点连通度为 ,边连通度为o9.A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 24, 36}, R 是A 上的整除关系。
子B={1, 2, 3, 4},那么B的上界是； B的下界是；：6的上确界是; B的下确界为10.命题公式P-*QAR的对偶式为11.设入={1, {2}, <t>},则A的幕集有元素个。
12.设A={0, 1,2, 3}, B={4,6, 7}, C={8, 9, 12, 14}, R1 是由A 到B 的关系,R2 是由B到C原关系，分别定义为Rl={<2, 6>, <3, 4>, <0, 7>} ;R2={<4, 8>, <4, 12>, <6, 12>,〈7, 14〉},则复合关系RloR2 为：13.设A= {<i)}, B={<t>, (<!>}},贝i]P(A) nP(B)= 。
离散数学模拟试题(05年6月)
离散数学模拟试题（一）一、选择题1、由集合运算的定义，下列各式中，正确的是( )。
(A) A ∪E = A; (B) A ∩∅ = A; (C) A ⊕ ∅ = A; (D) A ⊕ A = A.2、设G 如右图：那么G 不是( ). (A)平面图； (B)完全图；(C)欧拉图； (D)哈密顿图.3、设个体域为整数，下列公式中真值为1的是( )。
(A)∀x ∀y(x + y = 1); (B)∀x ∃y(x + y = 1); (C)∃x ∀y(x + y = 1); (D) ⌝ ∃x ∃y(x + y = 1)。
4、下列命题为假的是( )。
(A) {∅}∈ρ(∅); (B) ∅ ⊆ρ({∅});(C) {∅} ⊇ρ(∅); (D)ρ(∅) ∈ρ({∅})。
5、设集合A = {1,2,3,4}，A 上的关系R = {(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)},则R 具有( ). (A)自反性； (B)传递性； (C)对称性； (D)以上都不是.6、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是( )(A) ))()((y yR x P x ∃∨∀ (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ∃∨ (D) )(x Q7、谓词公式∃xA (x )∧⌝∃xA (x )的类型是（ ）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 不属于(A),(B),(C)任何类型8、设L (x )：x 是演员，J (x )：x 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老师”符号化为( ) (A) ),()(y x A x xL →∀ (B) )),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀(C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀9、设命题公式⌝(P ∧(Q →⌝P ))，记作G ，则使G 的真值指派为0的P ，Q 的取值是( ) (A) (0,0) (B) (0,1) (C) (1,0) (D) (1,1) 10、与命题公式P →（Q →R ）等值的公式是( )(A) (P ∨Q )→R (B)(P ∧Q )→R (C) (P →Q )→R (D) P →(Q ∨R ) 二、填空题1、命题: ∅ ⊆ {{a }} ⊆ {{a },3,4,1} 的真值 = ____ .2、 设A= {a,b}, B = {x | x 2－(a+b) x+ab = 0}, 则两个集合的关系为:A____B.3、设集合A ＝{a ,b ,c },B ={a ,b }, 那么 ρ(B )－ρ(A )=______ .4、无孤立点的有限有向图有欧拉路的充分必要条件为: _______________________________________________.5、公式))(),(()),()((x S z y R z y x Q x P x →∃∨→∀的自由变元是 , 约束变元是 .6、设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 .7、设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为 8、设G 是n 个结点的简单图，若G 中每对结点的度数之和 ，则G 一定是哈密顿图. 9、设全集合E ＝{1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={2,5},～A ⋃～B = .10、设集合A ＝{a ,b ,c },B ={a ,b },那么P (A )－P (B )= 三、计算题1、求公式 G = (P ∧Q)→R 的主析取范式和主合取范式。
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离散数学最小生成树例题
（实用版）
目录
1.最小生成树的概念
2.最小生成树的性质
3.最小生成树的算法
a.Prim 算法
b.Kruskal 算法
4.最小生成树的应用
正文
最小生成树是图论中的一个重要概念，它指的是在一个图中选择一些
边，使得这些边连接的所有节点构成一棵树，同时使得这些边的代价之和
最小。最小生成树具有一些重要的性质，比如生成树中的边一定是最短的
边，生成树中不存在环等。
最小生成树的算法主要有两种：Prim 算法和 Kruskal 算法。Prim 算
法是一种基于贪心的算法，它从任意一个节点开始，不断地寻找距离当前
生成树最近的边，直到所有节点都被包含在生成树中。Kruskal 算法则是
一种基于边的算法，它从所有的边中选择代价最小的边，直到生成树中有
n-1 条边（n 为节点数），此时再加入一条边就可以构成最小生成树。
最小生成树在实际应用中有广泛的应用，比如在网络设计中，可以通
过最小生成树来确定网络的拓扑结构，使得网络的代价最小；在数据压缩
中，最小生成树可以帮助我们找到一个最优的编码方案，使得数据的压缩
效果最好；在图像处理中，最小生成树可以帮助我们找到一个最优的像素
连接顺序，使得图像的压缩效果最好。