离散数学 第5章 树及其应用

例题1： 设G=<V,E>是有p个结点s条边的连通图，则从G 中删去 条边，才能确定G的一棵生成树。 s 解：设要删去k条边， k p 1, k s 1 p 例题2： 设G是有6个结点的完全图，从G中删去 C 条 边则能得到树。 A) 6 B) 9 C) 10 D) 15 解：∵G是有6个结点的完全图，∴G中共有 6×5/2=15条边，要使G成为树，G中只应留下5条 边，故应删去10条边，选C。
二、生成树
1。生成树 若图G的生成子图是一棵树，则称此树是G的生 成树。 2。树的补 图G中不属于生成树T的边的集合称为树T的补。 3。生成树的求法 一般可用破圈法做，即把图G中的回路去掉一 条边，使它不再是回路。如此做下去，直到恰好把 所有的回路都破坏掉，就得到了生成树。 用破圈法一共要去掉 e 1 v 条边。
例题6： 1 2 带权图如右，求图的最小生成树 6 5 e 4 解：选取含最大边(c,d)的回路cdec， 3 删去其中权数最大的边(c,d)，然后 b 1 c 再选取含最大边(a,b)的回路abea，删去其中权数最 大的边(a,b)，再选取含最大边(c,e)的回路bceb，删 去其中权数最大的边(c,e)，再选取含最大边(a,d)的 回路adea，删去其中权数最大的边(a,d)，即得最小 a 生成树。 d 1 T=<{a,b,c,d,e},{(c,b),(b,e),(e,a),(e,d)}>。 e 2
a
b
T=<{a,b,c,d,e}, {(d,e),(d,a),(c,a),(b,c)}>。
e
6
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5
4
c
d
5.2
根树的有关定义
一、根树的定义 1。恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均 为1的有向图称为根树。 根树中入度为0顶点称为树根，出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的顶点称为内点，树根 和内点统称为分支点。 2。正则树与完全树 ⑴每个分支点的出度最多为m的树称为m叉树， ⑵每个分支点的出度恰为m的树称为m叉正则树， ⑶顶点到树根的长度称为该顶点的层树， ⑷每个树叶的层数都相同的正则树称为完全树， ⑸m=2的二叉正则树简称为二叉树。
3。根树的有关定理 [定理1] 在m叉正则树中，若树叶数为 t ，分支数 为 i ，则 (m 1)i t 1 ，特别在二叉树中 i t 1 。 在根树中，分支点的长度称为内部通路长度， 树叶的长度称为外部通路长度 [定理2] 若二叉正则树有n个分支点，且内部通路长 度总和为 I ，外部通路长度总和为E ，则 E I 2n 。 例题8： 设T是有8片树叶的二叉树，则T中含有多少条边， 并以此验证定理2。 解： t 8, i t 1 7, v t i 15, e v 1 14 n 7, I 1 2 2 4 10, E 8 3 24, E I 2n
4。最小生成树 在带权图G中所生成的总权数最小的生成树称为 最小生成树。 5。最小生成树的求法——破圈法 选取权数最大的边所在的回路，去掉其中权数 最大的边，如此做下去，直到求出生成树为止。这 样求出的生成树一定是最小生成树。 还有一种方法称为避圈法。先去掉所有的边，然 后从权数最小的边的开始，从小到大逐步选取，如果 所选取的边和已选取的边构成了回路，则不选取这条 边重新选取，直到连接完所有的结点。这样求出的树 就是最小生成树。
例题3： 以下命题为真的是（ D ）。 A）无向完全图都是欧拉图 B）有n个结点n-1 条边的无向图都是树 C）无向完全图都是平面 图 D）树的每条边都是割边 例题4： 无向完全图 K 4 是（ B ）。 A．欧拉图 B. 汉密尔顿图 C. 树 D. 非平面图 例题5： 设无向图G＝<V,E>, 那么图G中V与E满足什 么条件，图G一定是树。 解：图G连通且E＝V－1，那么图G一定是树。
a
3
d
W (T ) 7
3
b
1
c
例题7： 16 7 56 用避圈法求图G的最小生成树。 b e 8 先去掉所有的边。从最小 11 6 4 边(d,e)开始选取，再选取(d,a)， 9 再选取(e,a)和(b,c)，但(e,a)构成 c d 13 回路，所以应去掉，再选取(c,a)， 这时已连接了所有的结点，最小 a 生成树求出。 6
计算机数学基础(上)
第2编
第五章
图论
树及其应用
5.1
树的定义及性质
一、树的定义与表示 1。连通且无回路的无向图称为树，用T表示。 T中的1度结点称为树叶，大于1度的结点称为分 支点。 孤点称为平凡树，仅由树组成的无向图称为森林。 2。树的性质 ⑴连通且无回路，⑵|E|=|V|-1，⑶增加任意一条 边必出现回路，⑷删除任意一条边必不连通，⑸每 对结点间仅有一条通路。 3。任何非平凡树中至少有2片树叶。