上海市徐汇区2019-2020学年高二下学期期末数学试卷 含答案
上海市徐汇区2019-2020学年高二下学期期末考试
数学试卷
2020.7
一、填空题
1．已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为 ． 2．抛物线2:4C y x =的准线方程为 ．
3．直线1:210l x y −+=与直线2:210l x y ++=的夹角为 ．
4．已知长方体1111A BCD A B C D −的1A A 、A B 、A D 的长分为3、4、5，则点A 到棱11B C 的距离为 ．
5．若O 为坐标原点，P 是直线20x y −+=上的动点，则||OP 的最小值为 ． 6．如图，以长方体1111A BCD A B C D −的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在真线为坐标轴，建立空间直角坐标系． 若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1A C 的坐标为 ．
7．经过点(1,3)A 且与圆22:4C x y +=相切的直线方程是 ． 8．已知21(0,0)x y x y +≤≥≥，则x y −的最大值是 ． 9．如图，已知三棱柱111A BC A B C −的体积为4，则四面体11C A BC − 的体积为 ．
10．已知双曲线22
:
12
x y C a a −=−的焦点坐标为(0,6)±，则a 的值为 ． 11．从m （m *∈N ，且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人发言．假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果事件A 和事件B 的概率相等，则m = ．
12．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里， 母线长为40公里，B 是母线SA 上一点，且10A B =公里．为了发展旅 游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路．这条铁路从A
出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里． 二、选择题
13．在正方体1111A BCD A B C D −中，1A B 和1BC 所成角的大小是（ ）
A ．
6π B ．4π C ．3π D ．2
π 14．已知1F 、2F 是定点，12||6F F =．若动点M 满足12||||6M F M F +=，则动点M 的轨迹是（ ）
A ．直线
B ．线段
C ．圆
D ．椭圆 15．如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45︒ 且腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）
A ．
222+ B ．12
2
+ C ．22+ D ．12+ 16．如图，点A 是曲线22(2)y x y =+≤上的任意一点，(0,2)P −， (0,2)Q ，射线QA 交曲线21
8
y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，
垂足为点C ．则下列判断：①||||AP AQ −为定值22； ②||||QB BC +为定值5．其中正确的说法是（ ）
A ．①②都正确
B ．①②都错误
C ．①正确，②错误
D ．①都错误，②正确 三、解答题
17．已知关于x 的一元二次方程210()x kx k −+=∈R 的两根为12,x x ． （1）若1x 为虚数，求k 的取值范围； （2）若12||2x x −=，求k 的值．
18．己知(21)()n x n *−∈N 的二项展开式中二项式系数之和为256． （1）求n 的值；
（2）求该展开式中3x 项的系数．
19．如图，己知正方体1111A BCD A B C D −的棱长为1． （1）求证：11A C A D ⊥；
（2）求1A C 与平面1A CD 所成角的大小．
20．高二A 班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务．已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米．单球冰激凌的平均直径约为5厘米，一副一次性杯勺的成本约1元（其他成本忽略不计）．根据前期调查，冰激凌球能全部售完．
高二A 班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由．
21．已知：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且经过点3
(1,)2
M ，A 、B 是椭圆上异
于M 的两个动点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若90A M B ∠=︒，求证：直线A B 过定点，并求出该定点坐标．
上海市徐汇区2019-2020学年高二下学期期末考试
数学试卷参考答案
一、填空题
1．2 2．1x =− 3．90︒ 4．5 52 6．(4,3,2)− 7．340x y −= 8．1 9．
4
3
10．2− 11．10 12．18 【第12题解析】如图，展开圆锥的侧面，过点S 作A B '的垂线，垂足为H ，
记点P 为A B '上任意一点，联结P S ，2102
A A A OA SA A OA π
π'''=∠⋅=⋅⇒∠=，
由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A B '，2250A B SA SB ''=+=， 上坡即P 到山顶S 的距离P S 越来越小，下坡即P 到山顶S 的 距离P S 越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的H B ， 由Rt Rt SA B HSB '△∽△，可求出18H B =． 二、选择题
13．C 14．B 15．C 16．A
【第16题解析】曲线22(2)y x y =+≤两边平方， 得2
2
2y x −=，为双曲线22
122
y x −
=22y ≤的部分， (0,2)P −，(0,2)Q 恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，
知||||||22AP AQ −=||||A P A Q >，∴||||22AP AQ −= 曲线21
8
y x =即抛物线28x y =，其焦点为(0,2)Q ，准线方程为2y =−，
由抛物线定义，知||||||||||5QB BC BD BC CD +=+==，②正确；选A ． 三、解答题
17．（1）24022k k ∆=−<⇒−<<；
（2）①0∆≥时，222121212||()44422x x x x x x k k −=+−=−=⇒=±；
②0∆<时，222121212||[()4]440x x x x x x k k −=−+−=−=⇒=；综上，k 的值为22±0． 18．（1）22568n n =⇒=；
（2）818
(2)(1)r r r r T C x −+=⋅⋅−，5r =时，5
33368(2)(1)448T C x x =⋅⋅−=−，
即3x 项的系数为448−． 19．（1）略；（2）1
arcsin 3
．
20．2212.5203125V R h πππ==⋅⋅=圆柱，3344125
2.5336V r πππ==⋅=球，
每个单球冰激凌的成本价为125
296130019.6731253
π
π⋅+=≈（元）
， 定价为15元，利润率约为55%，较为合理． 21．（1）22
143
x y +=； （2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，
①直线A B 的斜率存在时，设直线A B 的方程为y kx m =+， 与椭圆方程联立可得，222(43)84120k x kmx m +++−=， ∴1222
12284341243km x x k m x x k ⎧
+=−⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩
（*）且22043k m ∆>⇒<+， ∵90A M B ∠=︒，∴112233
(1,)(1,)022M A M B x y x y ⋅=−−⋅−−=，
即121233
(1)(1)()()022
x x kx m kx m −−++−+−=，
化简得221212313
(1)[()1]()3024
k x x k m x x m m ++−−++−+=，
将（*）式代入，得229
7(89)()04
m k m k +−+−=，2236144144(612)m k k k ∆=−+=−，
∴m 13714m k =−−或3
2m k =−−（舍，此时直线A B 过点M ）
∴直线A B 的方程为1313()714714y kx k k x =−−=−−，过定点13
(,)714
−；
②直线A B 的斜率不存在时，设直线A B 的方程为x t =，(2,1)(1,2)t ∈−，
可设11(,),(,)A t y B t y −，且2
21
143
y t +=，由1133(1,)(1,)022M A M B t y t y ⋅=−−⋅−−−=，
即2222
199(1)(1)3(1)0444t t y t −+−=−+−−=，解得17
t =或1t =（舍），
此时直线A B 的方程为17x =
，也过定点13
(,)714
−； 综上，直线A B 过定点13
(,)714
−．。
2019-2020学年上海市徐汇区八年级(下)期末数学试卷 解析版
2019-2020学年上海市徐汇区八年级（下）期末数学试卷一．选择题（共6小题）1．下列方程中，有实数解的是（）A．x6+1＝0B．＝2C．+3＝0D．2．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第三象限，则k、b的取值范围是（）A．k＜0，b≥0B．k＞0，b＞0C．k＜0，b＞0D．k＞0，b＜0 3．在平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选一个图形，那么下列事件中为不可能事件的（）A．这个图形是中心对称图形B．这个图形既是中心对称图形又是轴对称图形C．这个图形是轴对称图形D．这个图形既不是中心对称图形又不是轴对称图形4．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，那么下列结论中正确的是（）A．与是相等向量B．与是相等向量C．与是相反向量D．与是平行向量5．下列命题中：①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则HE：AH 等于（）A．1：1B．1：2C．2：1D．3：2二．填空题（共12小题）7．若关于x的一次函数y＝（2﹣k）x+1（k为常数）中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是．8．用换元法解方程＝3时，如果设＝y时，那么得到关于y的整式方程为．9．方程（x+3）＝0的解是．10．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（5，0）与B（0，﹣4），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是．11．袋中有两个黄球、四个白球、三个绿球，它们除颜色外其它都一样，现从中任意摸出一个球，摸出绿球的概率是．12．化简：＝．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是边形．14．已知菱形的周长是48cm，一条较小的对角线的长是12cm，则该菱形较大的内角是度．15．梯形的中位线长8cm，高10cm，则该梯形的面积为cm2．16．如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AE⊥BD于点E．若OE：OD＝1：2，AE ＝3cm，则BE＝cm．17．函数y＝和y＝﹣（k≠0）的图象关于y轴对称，我们把函数y＝和y＝﹣（k ≠0）叫做互为“镜子”函数．类似地，如果函数y＝f（x）和y＝h（x）的图象关y轴对称，那么我们把函数y＝f（x）和y＝h（x）叫做互为“镜子”函数．则函数y＝2x﹣4的“镜子”函数是．18．一次函数y＝2x+4的能像与x、y轴分别用交于点A和点B，点C在直线x＝4上，点D 是直角坐标平面内一点，若四边形ABCD是菱形，则点D的坐标为．三．解答题（共8小题）19．解方程：＝1．20．解方程组．21．解方程：+x＝7．22．某工厂储存了30吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，且储存的煤比原计划多用20天，原计划每天烧煤多少吨？23．如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．24．如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，点O是对角线AC的中点，联结DO并延长与AB边交于点E，联结CE，设＝，＝，．（1）试用向量，表示下列向量：＝，＝．（2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）25．如图，直线AB经过点A（﹣3，0），B（0，2），经过点D（0，4）并且与y轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C．（1）求直线AB的表达式；（2）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△OCP为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上．（1）若BE＝DF，①求证：∠BAE＝∠DAF；②联结AC交EF于点O，过点F作FM∥AE，交AC的延长线于M，联结EM，求证：四边形AEMF是菱形．（2）联结BD，交AE、AF于点P、Q．若∠EAF＝45°，AB＝1，设BP＝x，DQ＝y，求y关于x的函数关系及定义域．2019-2020学年上海市徐汇区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列方程中，有实数解的是（）A．x6+1＝0B．＝2C．+3＝0D．【分析】利用乘方的意义可对A进行判断；通过解无理方程可对B进行判断；利用二次根式的性质可对C进行判断；通过解分式方程可对D进行判断．【解答】解：A、x6≥0，x6+1＞0，方程x6+1＝0没有实数解；B、两边平方得2﹣x＝4，解得x＝﹣2，经检验x＝﹣2为原方程的解；C、≥0，则+3＝0没有实数解；D、去分母得x＝2，经检验原方程无解．故选：B．2．若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第三象限，则k、b的取值范围是（）A．k＜0，b≥0B．k＞0，b＞0C．k＜0，b＞0D．k＞0，b＜0【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，∴直线y＝kx+b经过第一、二、四象限或第二、四象限，∴k＜0，b≥0．故选：A．3．在平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选一个图形，那么下列事件中为不可能事件的（）A．这个图形是中心对称图形B．这个图形既是中心对称图形又是轴对称图形C．这个图形是轴对称图形D．这个图形既不是中心对称图形又不是轴对称图形【分析】根据“不可能事件”的意义，结合平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的性质进行判断即可．【解答】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，因此选项D是不可能事件，故选：D．4．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，那么下列结论中正确的是（）A．与是相等向量B．与是相等向量C．与是相反向量D．与是平行向量【分析】根据等腰梯形的性质，即可得AC＝BD，然后根据相等向量与相反向量，以及平行向量的定义，即可求得答案．【解答】解：A、∵AB＝CD，但AB不平行于CD，≠，故本选项错误；B、∵AD∥BC，AB＝CD，∴AC＝BD，但AC不平行于BD，∴≠，故本选项错误；C、∵AD≠BC，∴与不是相反向量，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴与是平行向量，故本选项正确．故选：D．5．下列命题中：①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形；③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形．其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据梯形、菱形和矩形的判定判断即可．【解答】解：①有两个内角相等的梯形不一定是等腰梯形，原命题是假命题；②顺次联结矩形的各边中点所成四边形是菱形，是真命题；③两条对角线相等的梯形是等腰梯形，是真命题；④对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题．故选：C．6．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则HE：AH 等于（）A．1：1B．1：2C．2：1D．3：2【分析】由DE是△ABC的中位线，即可得DE∥BC，DE＝BC，AE＝EC，然后由平行线分线段成比例定理，即可求得答案，注意比例变形．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，AE＝EC，∵F是DE的中点，∴EF＝DE＝BC，∴，∴，∴．故选B．或：过D作DG平行于AC交BF于G，∵△DGF≌△EHF，∴DG＝HE．而D为AB中点，∴DG＝AH．于是HE：AH＝1：2．二．填空题（共12小题）7．若关于x的一次函数y＝（2﹣k）x+1（k为常数）中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是k＞2．【分析】根据一次函数的增减性可求得k的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（2﹣k）x+1（k是常数）中y随x的增大而减小，∴2﹣k＜0，解得k＞2，故答案为：k＞2．8．用换元法解方程＝3时，如果设＝y时，那么得到关于y的整式方程为y2﹣3y+1＝0．【分析】可根据方程特点设设＝y，则原方程可化为y+＝3，再去分母化为整式方程即可．【解答】解：设＝y，则原方程可化为：y+＝3，去分母，可得y2+1＝3y，即y2﹣3y+1＝0，故答案为：y2﹣3y+1＝0．9．方程（x+3）＝0的解是x＝2．【分析】因为（x+3）＝0可以得出x+3＝0，x﹣2＝0且x﹣2≥0，由此求得原方程的解即可．【解答】解：∵（x+3）＝0，∴x+3＝0，x﹣2＝0且x﹣2≥0，解得x＝﹣3，x＝2且x≥2，∴x＝2．故答案为：x＝2．10．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（5，0）与B（0，﹣4），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5．【分析】首先利用图象可找到图象在x轴下方时x＜5，进而得到关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5．【解答】解：由题意可得：一次函数y＝kx+b中，y＜0时，图象在x轴下方，x＜5，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5，故答案为：x＜5．11．袋中有两个黄球、四个白球、三个绿球，它们除颜色外其它都一样，现从中任意摸出一个球，摸出绿球的概率是．【分析】因为球的总数为9个，即n＝9，又因为有三个绿球，即m＝3，利用公式p＝，可求出摸出绿球的概率．【解答】解：∵n＝9，m＝3，∴P（摸出绿球）＝＝，＝．故答案为：．12．化简：＝．【分析】利用三角形法则化简即可．【解答】解：∵＝﹣＝+＝．故答案为．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是五边形．【分析】任何多边形的外角和是360°．用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．【解答】解：360÷72＝5．故这个多边形是五边形．故答案为：五．14．已知菱形的周长是48cm，一条较小的对角线的长是12cm，则该菱形较大的内角是120度．【分析】先根据菱形的性质求出菱形的边长，然后根据对角线长为12cm，可判断出菱形一个角的度数，继而可求得该菱形较大的内角度数．【解答】解：∵菱形的周长为48cm，∴菱形的边长为：48÷4＝12cm，∵一条对角线的长是12cm，∴这条对角线跟相邻的两边组成的三角形为等边三角形，则菱形的较小的内角为60°，则较大内角为180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．15．梯形的中位线长8cm，高10cm，则该梯形的面积为80cm2．【分析】根据梯形中位线定理求出梯形的上底+下底，根据梯形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：∵梯形的中位线长8，∴梯形的上底+下底＝16，∴该梯形的面积＝×16×10＝80（cm2），故答案为：80．16．如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AE⊥BD于点E．若OE：OD＝1：2，AE ＝3cm，则BE＝3cm．【分析】由矩形的性质可得AO＝BO，由线段的垂直平分线的性质可得AO＝AB，可证△ABO是等边三角形，∠ABO＝60°，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO，∵OE：OD＝1：2，∴OE＝OB，∴BE＝OE，又∵AE⊥BD，∴AO＝AB，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AE＝BE＝3cm，∴BE＝cm，故答案为：3．17．函数y＝和y＝﹣（k≠0）的图象关于y轴对称，我们把函数y＝和y＝﹣（k ≠0）叫做互为“镜子”函数．类似地，如果函数y＝f（x）和y＝h（x）的图象关y轴对称，那么我们把函数y＝f（x）和y＝h（x）叫做互为“镜子”函数．则函数y＝2x﹣4的“镜子”函数是y＝﹣2x﹣4．【分析】根据题目中的新定义，可以直接写出函数y＝2x﹣4的“镜子”函数．【解答】解：由题意可得，函数y＝2x﹣4的“镜子”函数是y＝﹣2x﹣4，故答案为：y＝﹣2x﹣4．18．一次函数y＝2x+4的能像与x、y轴分别用交于点A和点B，点C在直线x＝4上，点D 是直角坐标平面内一点，若四边形ABCD是菱形，则点D的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．【分析】根据菱形的性质找出点C的坐标即可得出D点的坐标．【解答】解：∵一次函数解析式为线y＝2x+4，∴B（0，4），A（﹣2，0），∴AB＝＝2，如图∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，设C（4，n），∴＝2，解得n＝6或2，∴C1（4，6），C2（4，2），∴D（2，2）或（2，﹣2），故答案为（2，2）或（2，﹣2）．三．解答题（共8小题）19．解方程：＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：分式方程整理得：﹣＝1，去分母得：（x+2）2﹣20＝x2﹣4，整理得：x2+4x+4﹣20＝x2﹣4，移项合并得：4x＝12，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，则分式方程的解为x＝3．20．解方程组．【分析】由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个一元一次方程，重新组合成二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程的解．【解答】解：由①，得（x﹣y）2＝16，所以x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4．由②，得（x+3y）（x﹣3y）＝0，即x+3y＝0或x﹣3y＝0所以原方程组可化为：，，，解这些方程组，得，，，．所以原方程组的解为：，，，．21．解方程：+x＝7．【分析】先移项得到＝7﹣x，两边平方把无理方程化为整式方程，解整式方程，然后进行检验确定无理方程的解．【解答】解：＝7﹣x，两边平方得x﹣1＝（7﹣x）2，整理得x2﹣15x+50＝0，解得x1＝5，x2＝10，经检验，原方程的解为x＝5．22．某工厂储存了30吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，且储存的煤比原计划多用20天，原计划每天烧煤多少吨？【分析】设原计划每天烧煤x吨，由“储存的煤比原计划多用20天”，列出方程，即可求解．【解答】解：设原计划每天烧煤x吨，由题意可得：，解得：x1＝3，x2＝﹣1（不合题意舍去），经检验：x＝3是原方程的解，答：原计划每天烧煤3吨．23．如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．【分析】（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，根据平行四边形的性质得到CE＝BD，CD＝BE，求得AC＝BD，推出△ACE是等腰直角三角形，得到AC＝CE＝6，求得CH＝AE＝3，根据梯形的面积公式即可得到结论；（2）如图2，延长NM交AD于G，连接DM并延长交AB于H，根据平行线的性质得到∠DCM＝∠HAM，根据线段中点的定义得到AM＝CM，根据全等三角形的性质得到DM＝HM，求得DN＝BN，得到AG＝DG，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，∵AB∥CD，∴四边形DBEC是平行四边形，∴CE＝BD，CD＝BE，∵AC⊥BD，∴AC⊥CE，∵AD＝BC，AB∥CD，∴AC＝BD，∴AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝6，∴AE＝AC＝6，∴CH＝AE＝3，∴梯形ABCD的面积＝×6×3＝18；（2）如图2，延长NM交AD于G，连接DM并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠DCM＝∠HAM，∵M是对角线AC的中点，∴AM＝CM，∵∠CMD＝∠AMH，∴△AMH≌△CMD（ASA），∴DM＝HM，∵N是对角线BD的中点，∴DN＝BN，∴MN∥AB∥CD，∴AG＝DG，∴GM＝CD＝，∵MN＝2，∴GN＝，∴AB＝2GN＝7．24．如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，点O是对角线AC的中点，联结DO并延长与AB边交于点E，联结CE，设＝，＝，．（1）试用向量，表示下列向量：＝﹣，＝﹣．（2）求作：．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）【分析】（1）首先证明四边形AECD是平行四边形，利用三角形法则求出，即可．（2）如图，过点C作CT∥DE交AE于T.即为所求．【解答】解：（1）∵CD∥AE，∴∠OCD＝∠OAE，∵∠DOC＝∠AOE，OC＝OA，∴△DOC≌△EOA（AAS），∴CD＝AE，∵CD∥AE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝CE，AD∥EC，∵＝+，＝，＝，∴＝＝﹣，∵＝+，，∴＝﹣+＝﹣，故答案为﹣，﹣．（2）如图，过点C作CT∥DE交AE于T.即为所求．25．如图，直线AB经过点A（﹣3，0），B（0，2），经过点D（0，4）并且与y轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C．（1）求直线AB的表达式；（2）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△OCP为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由待定系数法求出直线AB的表达式为：y＝x+2；（2）求出点C的坐标为（3，4），由勾股定理求出OC＝5，分三种情况，由等腰三角形的性质和勾股定理进行解答即可．【解答】解：（1）设直线AB的表达式为：y＝kx+b，把A（﹣3，0）、B（0，2）代入表达式得：，解得：，∴直线AB的表达式为：y＝x+2；（2）∵经过点D（0，4）并且与y轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C，∴点C的纵坐标为：4，∴4＝x+2，解得：x＝3，∴点C的坐标为：（3，4），∴OC＝＝5，分三种情况：如图，①当OP＝PC时，设点P的坐标为：（a，0），则OP2＝PC2，即a2＝（a﹣3）2+42，解得：a＝，∴点P的坐标为：（，0）；②当OC＝OP＝5时，点P的坐标为：（5，0）；③当OC＝CP时，由点C的横坐标为3，可得点P的横坐标为6，∴点P的坐标为：（6，0）；综上所述，△OCP为等腰三角形，点P的坐标为（，0）或（5，0）或（6，0）．26．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上．（1）若BE＝DF，①求证：∠BAE＝∠DAF；②联结AC交EF于点O，过点F作FM∥AE，交AC的延长线于M，联结EM，求证：四边形AEMF是菱形．（2）联结BD，交AE、AF于点P、Q．若∠EAF＝45°，AB＝1，设BP＝x，DQ＝y，求y关于x的函数关系及定义域．【分析】（1）①证明△ABE≌△ADF（SAS），即可推出∠BAE＝∠DAF．②证明△FOM≌△EOA（ASA），推出AE＝FM，由FM∥AE，可得四边形AEMF是平行四边形，再根据AE＝AF可得结论．（2）如图2中，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，连接PT．证明△APQ≌△APT（SAS），推出PQ＝PT，由题意BD＝＝，推出PQ＝PT＝﹣x﹣y，在Rt△TBP中，根据PT2＝BT2+PB2，构建关系式即可解决问题．【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．②证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∵∠BAE＝∠DAF，∴∠EAO＝∠F AO，∵△BAE≌△DAF，∴AE＝AF，∴AC⊥EF，OE＝OF，∵FM∥AE，∴∠OFM＝∠OEA，∵∠FOM＝∠EOA，∴△FOM≌△EOA（ASA），∴AE＝FM，∵FM∥AE，∴四边形AEMF是平行四边形，∵AE＝AF，∴四边形AEMF是菱形．（2）解：如图2中，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，连接PT．∵△ADQ≌△ABP，∴AQ＝AT，∠ADQ＝∠ABT＝45°，∠DAQ＝∠BAT，∵∠ABD＝45°，∴∠TBP＝90°，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAQ+∠BAP＝∠BAT+∠BAP＝45°，∴∠P AT＝∠P AQ＝45°，∵P A＝P A，AT＝AQ，∴△APQ≌△APT（SAS），∴PQ＝PT，∵AB＝AD＝1，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∴PQ＝PT＝﹣x﹣y，在Rt△TBP中，∵PT2＝BT2+PB2，∴（﹣x﹣y）2＝x2+y2，∴y＝（0≤x≤）．。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
上海市徐汇区董恒甫高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
2024~2025学年董恒甫高级中学高二（上）期中考试数学试卷一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．空间内，两异面直线所成角的取值范围是_______．2．已知，则点P 与直线l 的位置关系用相应的符号表示为_______．3．设和的两边分别平行，若，则的大小为_______．4．分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是_______．5．己知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的表面积为_______．6．将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_______．7．如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为_______．8．在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为_______．9．如图，己知平面，则二面角的大小为_______．10．已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则三棱锥的表面积是_______．11．一圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_______．12．如图，圆锥形容器的高为h ，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥倒置，水面高为，则等于_______．,,,l m n m n P αβαβ=⊂⊂= A ∠B ∠45A ∠=︒B ∠30︒1cm 2cm 2cm 2cm O A B ''' OAB 3,4O A OB '''==OAB 1111ABCD A B C D -11B C 11A D C PA⊥,,2,ABC AC BC AB BC PB ⊥===P BC A --1h 113h h =2h 2h二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）A ．三点确定一平面B ．不共线三点确定一平面C ．两条相交直线确定一平面D ．两条平行直线确定一平面14．设是平面M 外的两条直线，且，那么是的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要15．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④16．己知正方体，点P 在直线上，Q 为线段的中点．则下列说法不正确的是（ ）A ．存在点P ，使得B ．存在点P ，使得C ．直线始终与直线异面D ．直线始终与直线异面三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．如图，正四棱柱的底面边长，若与底面所成的角的正切值为．（1）求正四棱柱的体积；a b 、//a M //a b //b M ,m n ,αβ,,m n n m αβα=⊂⊥ αβ⊥,m m αβ⊥⊥//αβ//,,//m n m ααβ⊂//n β,,m n m n αβ⊥⊥⊥αβ⊥1111ABCD A B C D -1AD BD 11PQ A C ⊥1//PQ A B PQ 1CC PQ 1BC 1111ABCD A B C D -2AB =1BDABCD 1111ABCD A B C D -（2）求异面直线与所成的角的大小．18．如图，是正方形，平面．（1）求证：；（2）求二面角的大小．19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，O 是与的交点，平面是的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．20．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年故入世界文化遗产名景（如图1）现测量一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．C 是母线的一个三等分点（靠近点S ）．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处取3.14，结果精确到个位）；（2）从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．21．如图，是圆柱的直径且是圆柱的母线且，点C 是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的侧面积和体积；1A A 1B C ABCD SD ⊥,2ABCD SD AD ==AC SB ⊥S AC D --P ABCD -ABCD AC BD 45,2,ADC AD AC PO ∠=︒==⊥,2,ABCD PO M =PD //PB ACM AM ABCD Trullon SO AB 12m SA 18m SA πAB 2AB PA =，3PA =（2）求三棱锥体积的最大值；（3）若是的中点，点E 在线段上，求的最小值．P ABC -1AC D =，PB PA CE ED +参考答案1．【答案】2．【答案】3．【答案】或4．【答案】平行或异面5．【答案】6．【答案】7．【答案】1289．【答案】10．【答案】111213．【答案】B15．【答案】D16．【答案】C17．【答案】（1）16；（2）18．（1）连接，如图，因是正方形，则，又平面平面，则，而，且平面，于是得平面，又平面，所以；π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦P l∈45︒135︒12π4ππ41arctan2,AC BD ABCD AC BD ⊥SD ⊥,ABCD AC ⊂ABCD AC SD ⊥BD SD D = ,BD SD ⊂SBD AC ⊥SBD SB ⊂SBD AC SB ⊥（2）取线段中点O ，连接，由题意易知，，且是正方形，，故，，故为二面角的平面角，由平面，可知，故故二面角的大小为．19．（1）连接，在平行四边形中，为与的交点，为的中点，又M 为的中点，，又平面平面平面；（2）取的中点N ，连接，为的中点，，且，由平面，得平面，是直线与平面所成的角，，在中，，，从而，AC DO SO 、,SD AD SD CD ⊥⊥ABCD 2SD AD ==2,AD CD DO AC ==⊥SA SC SO AC ==⊥SOD ∠S AC D --SD ⊥ABCD SD DO ⊥tan SD SOD OD∠===S AC D --OM ABCD O AC BD O ∴BD PD //PB MO ∴PB ⊂,ACM MO ⊂,//ACM PB ∴ACM DO ,MN AN M PD //MN PO ∴112MN PO ==PO ⊥ABCD MN ⊥ABCD MAN ∴∠AM ABCD 45,2,45,90ADC AD AC ACD ADC CAD ∠=︒==∴∠=∠=︒∴∠=︒ Rt DAO 12,12AD AO AC ===DO ∴=12AN DO ==在中，直线与平面．20．【答案】（1）20347朵；（2）．21．【答案】（1）；（2）1；（3）Rt ANM tan MN MAN AN ∠===∴AM ABCD 6π,3πS V ==侧52。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。
2023-2024学年上海市徐汇区九年级(上)期末数学试卷(一模)及答案解析
2023-2024学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列抛物线中，对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝x2+2x D．y＝x2﹣2x 2．（4分）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα的值是（）A．B．C．D．3．（4分）下列两个三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个等腰三角形C．两个等边三角形D．两个面积相等的三角形4．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，设，，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（）A．B．＝﹣C．﹣D．5．（4分）世博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是60°，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是（）A．米B．米C．200米D．米6．（4分）如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别联结AD、AE、CE，如果，那么下列结论正确的是（）A．CE∥AD B．BD＝ADC．∠ABE＝∠CBE D．BO•AE＝AO•BC．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）求值：2sin60°﹣cot30°＝．8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，那么BP ＝．9．（4分）已知△ABC∽△DEF，如果它们对应高的比AM：，那么△ABC和△DEF的面积比是．10．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：AB＝2：3，AE＝4，CE ＝2，DE＝3，那么BC的长是．11．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，那么BE的长是．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果△BCD和△ABD的面积比为9：16，CD＝12，那么AB的长是．13．（4分）如图，一段东西向的限速公路MN长500米，在此公路的南面有一监测点P，从监测点P观察，限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西60°方向，端点N在监测点P的东北方向，那么监测点P到限速公路MN的距离是米（结果保留根号）．14．（4分）将抛物线y＝﹣x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联结OA、AB，如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是．15．（4分）如图，在△ABC中，AD和BE是△ABC的高，且交于点F，已知AB＝13，BC ＝14，AC＝15，那么∠AFE的正切值是．16．（4分）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即EA＝8里），出西门往前直走2里到B处（即DB＝2里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是里．17．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，如果将△ABC绕着点B旋转，使得点C落在边AC上，此时，点A落在点A′处，联结AA′，那么AA′的长是．18．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，，如果点P在△ABC的内部，且满足∠APC＝∠BPC＝135°，那么CP的长是．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）已知：．（1）求代数式的值；（2）当2a+3b﹣3＝35时，求a、b的值．20．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，顶点为D．（1）求此抛物线的表达式及顶点D坐标；（2）联结CD、BD，求∠CDB的余弦值．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，CD＝BD＝8，AB＝5．（1）求BC的长；（2）设，，求向量（用向量，表示）．22．（10分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：（1）求高楼AB的高度；（2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，＝1.73）23．（12分）如图，在▱ABCD中，点E在边AB上，DE2＝AE•CD．（1）求证：AD•CD＝CE•DE；（2）当点E是边AB的中点时，分别延长DE、CB交于点F，求证：AB2＝2EF2．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，第二象限的点M在抛物线y＝ax2（a＞0）上，点M到两坐标轴的距离都是2．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝ax2（a＞0）先向右平移个单位，再向下平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线与x轴交于点A（m，0）和点B（n，0），已知m＜n，且mn＝﹣4，与y 轴负半轴交于点C．①求k的值；②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为D，点P是直线上位于点D下方的一点，分别联结CD、CP，如果，求点P的坐标．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，点D是边AB上的动点（点D不与点B重合），以CD为斜边在直线BC上方作等腰直角三角形DEC．（1）当点D是边AB的中点时，求sin∠DCB的值；（2）联结AE，点D在边AB上运动的过程中，∠EAC的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠EAC的大小；（3）设DE与AC的交点为G，点P是边BC上的一点，且∠CPD＝∠CGD，如果点P 到直线CD的距离等于线段GE的长度，求△CDE的面积．2023-2024学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列抛物线中，对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝x2+2x D．y＝x2﹣2x【分析】分别求出题目中四个选项中所给出的抛物线的对称轴即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+1的对称轴为y轴；∴选项A不符合题意；∵抛物线y＝x2﹣1的对称轴为y轴；、∴选项A不符合题意；∵抛物线y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴该抛物线的对称轴为x＝﹣1；∴选项C不符合题意；∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴该抛物线的对称轴为x＝1，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法与技巧是解决问题的关键．2．（4分）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα的值是（）A．B．C．D．【分析】过点A作x轴的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为B，由点A的坐标为（4，3）可知，OB＝4，AB＝3，所以AO＝．在Rt△AOB中，sinα＝．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，能构造出直角三角形是解题的关键．3．（4分）下列两个三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个等腰三角形C．两个等边三角形D．两个面积相等的三角形【分析】由相似三角形的判定，即可判断．【解答】解：A、B、D中的两个三角形不一定相似，故A、B、D不符合题意；C、两个等边三角形相似，故C符合题意．故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形、等腰三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法．4．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，设，，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（）A．B．＝﹣C．﹣D．【分析】根据平行四边形对角线互相平分结合平面向量的运算法则逐一判断即可．【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，，，∴，，＝，＝，故选项A、C、D错误，选项B正确，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的运算法则，平行四边形的性质，熟记平面向量的运算法则是解题的关键．5．（4分）世博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是60°，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是（）A．米B．米C．200米D．米【分析】根据正切的定义求出AB，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝200米，∠ABC＝60°，∵sin B＝，∴AB＝＝＝（米），故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（4分）如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别联结AD、AE、CE，如果，那么下列结论正确的是（）A．CE∥AD B．BD＝ADC．∠ABE＝∠CBE D．BO•AE＝AO•BC．【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵，∴△ADE∽△ABC，∴∠ACB＝∠AED，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠AOE＝∠BOC，∴△AOE∽△BOC，∴，∴BO•AE＝AO•BC．∴D选项的结论正确．∵，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABE＝∠ACE，显然OE与OC不一定相等，∴∠ACE与∠BEC不一定相等，∴CE与BD不一定平行，∴A，C不一定正确，∵BD与AD不一定相等，∴B不一定正确．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）求值：2sin60°﹣cot30°＝0．【分析】把sin60＝，cot30°＝代入原式得到2×﹣，然后进行二次根式的运算即可．【解答】解：原式＝2×﹣＝﹣＝0．故答案为0．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°＝，cot30°＝．8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，那么BP＝3﹣．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以AP＝AB，代入数据即可得出AP的长度，进而得出BP．【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP＞BP，则AP＝a＝＝﹣1．BP＝2﹣（﹣1）＝；故答案为：3﹣【点评】此题考查黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．9．（4分）已知△ABC∽△DEF，如果它们对应高的比AM：，那么△ABC和△DEF的面积比是2：9．【分析】相似三角形面积的比等于相似比的平方，由此即可计算．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们对应高的比是AM：，∴△ABC和△DEF的相似比是：3，∴△ABC和△DEF的面积比是：32＝2：9．故答案为：2：9．【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．10．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：AB＝2：3，AE＝4，CE＝2，DE＝3，那么BC的长是．【分析】根据题意推出＝，结合∠A＝∠A，即可推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，∵AE＝4，EC＝2，∴AC＝AE+EC＝6，∴＝＝，∵AD：AB＝2：3，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝3，∴BC＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．11．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，那么BE的长是 4.2．【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，∴＝，解得BE＝4.2．故答案为：4.2．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果△BCD和△ABD的面积比为9：16，CD＝12，那么AB的长是．【分析】先证明△ABD∽△BCD，根据相似三角形的性质求出AD和BD，进而求出AB 即可．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵BD⊥AC，∴∠ABD+∠A＝90°，∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠CBD＝∠A，∴△ABD∽△BCD，∴，∵△BCD和△ABD的面积比为9：16，∴＝，∵CD＝12，∴BD＝16，AD＝，∴AB＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．13．（4分）如图，一段东西向的限速公路MN长500米，在此公路的南面有一监测点P，从监测点P观察，限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西60°方向，端点N在监测点P的东北方向，那么监测点P到限速公路MN的距离是（250﹣250）米（结果保留根号）．【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则∠PAM＝∠PAN＝90°，设PA＝x米，证△PAN是等腰直角三角形，得NA＝PA＝x米，再由锐角三角函数定义得MA＝x米，然后由MA+NA＝MN，求出x＝250﹣250，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，则∠PAM＝∠PAN＝90°，设PA＝x米，由题意可知，∠MPA＝60°，∠NPA＝45°，∴△PAN是等腰直角三角形，∴NA＝PA＝x米，∵tan∠MPA＝＝tan60°＝，∴MA＝PA＝x（米），∵MA+NA＝MN＝500，∴x+x＝500，解得：x＝250﹣250，即监测点P到限速公路MN的距离是（250﹣250）米，故答案为：（250﹣250）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．（4分）将抛物线y＝﹣x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联结OA、AB，如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是（2，0）．【分析】由题意设A点的坐标为（m，﹣m2），然后根据等边三角形的性质得到B（2m，0），m＝m2，解得m＝，从而求得B（2，0）．【解答】解：∵点A抛物线y＝﹣x2上，∴设A点的坐标为（m，﹣m2），∵△AOB是等边三角形，∴B（2m，0），m＝m2，∴m＝或m＝0（舍去），∴B（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．15．（4分）如图，在△ABC中，AD和BE是△ABC的高，且交于点F，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，那么∠AFE的正切值是．【分析】利用勾股定理求出BE的长，再将∠AFE转化成∠C即可解决问题．【解答】解：令AE＝x，在Rt△ABE中，BE2＝132﹣x2．在Rt△BCE中，BE2＝152﹣（14﹣x）2．则132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，所以BE＝，CE＝14﹣5＝9．又因为∠AFE+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，所以∠AFE＝∠C．在Rt△BCE中，tan C＝，所以tan∠AFE＝tan C＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，利用勾股定理求出BE的长是解题的关键．16．（4分）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即EA＝8里），出西门往前直走2里到B处（即DB＝2里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是8里．【分析】先根据正方形的性质得出OB∥CE，再根据相似三角形的性质列方程求解．【解答】解：设正方形是灭一面城墙的长度为2x里，∵正方形的中心为O，∴OD＝CD＝OE＝CE＝x里，OB∥CE，∴△ACE∽△ABO，∴，即：，解得：x＝4，或x＝﹣4（不合题意，舍去），∴2x＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了正方形的性质，掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解题的关键．17．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，如果将△ABC绕着点B旋转，使得点C落在边AC上，此时，点A落在点A′处，联结AA′，那么AA′的长是4．【分析】作出图形，可以利用SAS证明△BA'A≌△ABC，从而得到AA'＝BC，进而得到AA'的长．【解答】解：作出符合题意的图形如下：由题意，知△A'BC'≌△ABC，∴∠A'BC'＝∠ABC，∴∠A'BC'﹣∠ABC'＝∠ABC﹣∠ABC′，即∠A'BA＝∠C'BC，∵AB＝AC，BC＝BC'，∴∠ABC＝∠C＝∠BC'C，∴∠C'BC＝∠BAC，∴∠A'BA＝∠BAC，∵A'B＝AB＝AC，∴△BA'A≌△ABC（SAS），∴AA'＝BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，准确画出图形是解题的关键．18．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，，如果点P在△ABC的内部，且满足∠APC＝∠BPC＝135°，那么CP的长是．【分析】通过证明△ACP∽△CBP，可得CP＝AP，BP＝CP，由勾股定理可求解．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝，∴BC＝AC＝，∠ACB＝45°，∵∠APC＝∠BPC＝135°，∴∠ACP+∠CAP＝45°＝∠ACP+∠BCP，∠APB＝90°，∴∠BCP＝∠CAP，∴△ACP∽△CBP，∴，∴CP＝AP，BP＝CP，∴BP＝2AP，∵BP2+AP2＝AB2，∴5AP2＝5，∴AP＝1，∴CP＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△ACP∽△CBP是解题的关键．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）已知：．（1）求代数式的值；（2）当2a+3b﹣3＝35时，求a、b的值．【分析】令a＝2k，b＝5k，（1）把a＝2k，b＝5k，代入即可求值；（2）把a＝2k，b＝5k，代入2a+3b﹣3＝35，求出k＝2，即可得到a＝4，b＝10．【解答】解：∵，∴令a＝2k，b＝5k，（1）＝＝＝﹣2；（2）∵2a+3b﹣3＝35时，∴2×2k+3×5k﹣3＝35，∴k＝2，∴a＝2k＝4，b＝5k＝10．【点评】本题考查比例的性质，关键是令a＝2k，b＝5k，即可求解．20．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，（1）求此抛物线的表达式及顶点D坐标；（2）联结CD、BD，求∠CDB的余弦值．【分析】（1）依据题意，将（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3求出b进而的表达式，再化成顶点式可得D的坐标；（2）依据题意，令y＝0，可求得B的坐标，令x＝0，求得C的坐标，再分别求出BC，BD，CD的长，由勾股定理逆定理可得∠DCB＝90°，进而求出cos∠CDB的值．【解答】解：（1）由题意，将（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3得，﹣1﹣b+3＝0，∴b＝2．∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3．又y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D为（1，4）．（2）如图，由题意，令y＝0，即﹣x2+2x+3＝0．∴x＝3或x＝﹣1．∴B（3，0）．又令x＝0，∴y＝3．∴CD＝＝，DB＝＝2，BC＝＝3．∴BC2+CD2＝BD2．∴∠BCD＝90°．∴cos∠CDB＝＝＝．【点评】本题主要考查了抛物线的图象与性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，CD＝BD＝8，AB＝5．（1）求BC的长；（2）设，，求向量（用向量，表示）．【分析】（1）证明△ABD∽△DBC，得出比例式求出BC的长即可；（2）过点D作DE∥AB，求出，再根据平行四边形法则求出即可．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD＝5，∵CD＝BD＝8，∴∠DBC＝∠C，∴∠ABD＝∠DBC，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△DBC，∴，∴，∴BC＝；（2）如图，过点D作DE∥AB，则四边形ABED是菱形，∴BE＝AD＝5，∴BE＝BC，∴，∵，∴＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△ABD∽△DBC，是解（1）的关键．22．（10分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：（1）求高楼AB的高度；（2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，＝1.73）【分析】（1）根据正切的定义求出AB；（2）过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H，设DG＝x米，根据坡度的概念用x 表示出DH，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝20米，∠ACB＝60°，∵tan∠ACB＝，∴AB＝BC•tan∠ACB＝20×＝60（米），答：高楼AB的高度为60米；（2）过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H，则四边形HBGD为矩形，∴BH＝DG，DH＝BG，设DG＝x米，∴AH＝AB﹣BH＝（60﹣x）米，∵斜坡CD的坡比是i＝1：6，∴CG＝6x米，∴BG＝（20+6x）米，在Rt△AHD中，tan∠ADH＝，∴≈0.75，解得：x＝≈6.2，经检验，x是原方程的解，答：点D离地面的距离约为6.2米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（12分）如图，在▱ABCD中，点E在边AB上，DE2＝AE•CD．（1）求证：AD•CD＝CE•DE；（2）当点E是边AB的中点时，分别延长DE、CB交于点F，求证：AB2＝2EF2．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解即可；（2）结合平行四边形的性质利用AAS证明△ADE≌△BFE，根据全等三角形的性质得出DE＝EF，等量代换即可得解．【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠AED＝∠CDE，∵DE2＝AE•CD，∴＝，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴AD•CD＝CE•DE；（2）如图，在▱ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，∴∠A＝∠FBE，∠ADE＝∠F，∵点E是边AB的中点，∴AE＝BE，∴△ADE≌△BFE（AAS），∴DE＝EF，∵DE2＝AE•CD，∴EF2＝AB•AB，∴AB2＝2EF2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，第二象限的点M在抛物线y＝ax2（a＞0）上，点M到两坐标轴的距离都是2．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝ax2（a＞0）先向右平移个单位，再向下平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线与x轴交于点A（m，0）和点B（n，0），已知m＜n，且mn＝﹣4，与y 轴负半轴交于点C．①求k的值；②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为D，点P是直线上位于点D下方的一点，分别联结CD 、CP ，如果，求点P 的坐标．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①令y ＝（x ﹣）2﹣k ＝0，解得：x ＝±，即可求解；②由直线OD 的表达式知，tan ∠CPH ＝，则tan ∠POH ＝，在Rt △OPH 中，tan ∠POH＝＝＝，即可求解．【解答】解：（1）由题意得，点M （﹣2，2），将点M 的坐标代入抛物线表达式得：2＝4a ，解得：a ＝，则抛物线的表达式为：y ＝x 2；（2）①平移后的抛物线表达式为：y ＝（x ﹣）2﹣k ，令y ＝（x ﹣）2﹣k ＝0，解得：x ＝±，∵mn ＝﹣4，则（+）（﹣）＝﹣4，解得：k ＝；②由①抛物线的表达式为：y ＝（x ﹣）2﹣k ＝x 2﹣x ﹣2，其对称轴为直线x ＝，则点C （0，﹣2），当x ＝时，＝﹣2，即点D （，﹣2），∵点C 、D 的纵坐标相同，则CD∥x轴，由直线OD的表达式知，tan∠CPH＝，则tan∠POH＝，∵＝tan∠CPH，设CH＝3x，则PH＝4x，在Rt△OPH中，tan∠POH＝＝＝，解得：x＝，则点P的坐标为：（，﹣）．【点评】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，点D是边AB上的动点（点D不与点B重合），以CD为斜边在直线BC上方作等腰直角三角形DEC．（1）当点D是边AB的中点时，求sin∠DCB的值；（2）联结AE，点D在边AB上运动的过程中，∠EAC的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠EAC的大小；（3）设DE与AC的交点为G，点P是边BC上的一点，且∠CPD＝∠CGD，如果点P 到直线CD的距离等于线段GE的长度，求△CDE的面积．【分析】（1）作DH⊥CB于点H，由勾股定理求出CD的长，则可得出答案；（2）连接AE，证出A，D，C，E四点共圆，得出∠EAC＝∠EDC，由等腰直角三角形的性质可得出答案；（3）过点D作DN⊥BC于点N，PM⊥CD于点M，连接PG，证明△CEG≌△CMP（AAS），由全等三角形的性质得出CP＝CG，证明△CGD≌△CPD（SSS），由全等三角形的性质得出∠DCG＝∠PCD，DA＝DN＝BN，设DA＝a，则BD＝a，求出a的值，则可得出答案．【解答】解：（1）作DH⊥CB于点H，∵∠BAC＝90°，，∴BC＝AB＝4，∵点D是边AB的中点，∴BD＝，∴DH＝BH＝1，∴CH＝BC﹣BH＝3，∴CD＝＝＝，∴sin∠DCB＝；（2）∠EAC的大小不变化．连接AE，∵∠DAC＝∠DEC＝90°，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠EAC＝∠EDC，∵△DEC为等腰直角三角形，∴∠EDC＝45°，∴∠EAC＝45°．（3）过点D作DN⊥BC于点N，PM⊥CD于点M，连接PG，∵点P到直线CD的距离等于线段GE的长度，∴PM＝EG，∵∠DCE＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠BCD，∵∠E＝∠PMC＝90°，∴△CEG≌△CMP（AAS），∴CP＝CG，∴∠CGP＝∠CPG，又∵∠CGD＝∠CPD，∴∠DGP＝∠DPG，∴DG＝DP，∴△CGD≌△CPD（SSS），∴∠DCG＝∠PCD，∵DN⊥BC，DA⊥AC，∴DA＝DN＝BN，设DA＝a，则BD＝a，∴a+a＝2，∴CD2＝AD2+AC2＝＝32﹣16，＝＝＝8﹣4．∴S△CDE【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键。
上海市徐汇区2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题含解析
若 CH 面 OAHB ， HA, HB 面 OAHB ，则 CH HA,CH HB ，
过
H
作
HA
a,
HB
b
，
OA
在
a
上，
OB
在
b
上，
OA,
OB
面
OAHB
，
则 CH
OA,CH
OB
，即 CH
a,CH
b ，
又 HA CH H , HA,CH 面 CHA ，则 a 面 CHA ，即 OA 面 CHA ，
由 CA 面 CHA ，故 OA CA ，同理证 OB CB ，
又 cos AOH OA OH
2 2
， cos COH
OH OC
， cos COB
OB OC
32 10
，
所以 cos COH
cos COB
3
，即 sin COH
4
，
cos AOH 5
5
而 ma
nb 表示面 OAHB
上的任意点，要使
a
6,1,
m
与向量
b
2,
n,1
平行，
所以
a
b
，则
6 2 1 n m
，解得
3
n
1 3
m 3
，所以
m
n
1，
故答案为：1.
9. 已知事件 A 与 B 互斥，它们都不发生的概率是 1 .且 P A 3P B ，则 P A ______. 5 【答案】 2 ## 0.4
5
【解析】
数是______.
241
【答案】120.5##
2
【解析】
2019-2020学年上海市复旦附中高二(下)期末数学试卷
2019-2020学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷1.（填空题，4分）函数y=lg（10x-1）的定义域为___ ．2.（填空题，4分）函数f（x）=x2+1（x≤-1）的反函数是f-1（x）=___ ．3.（填空题，4分）已知a＞0，b＞0，且2a +3b=√ab，则ab的最小值是___ ．4.（填空题，4分）已知（x-1）（2x-1）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a2等于___ ．5.（填空题，4分）将A，B，C，D，E这5名同学排成一排，则A与B相邻的排法共有___ 种．6.（填空题，4分）已知集合A={0，1，a}，B=（0，2），若A∩B={1}，则实数a的取值范围是___ ．7.（填空题，5分）函数f（x）=9x+3x（t≤x≤t+1），若f（x）的最小值为2，则f（x）的最大值为___ ．8.（填空题，5分）一个个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为___ ，表面积为___ ．9.（填空题，5分）一名工人维护甲、乙、丙3台独立的机床，在一小时内，甲、乙和丙需要维护的概率分别为0.9，0.8和0.85，则至少有一台机床不需要维护的概率为___ ．10.（填空题，5分）某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个实心圆柱体和一个实心半球体组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为34πcm3．现设圆柱的底面半径为2xcm，工艺品的表面积为Scm2，半球与圆柱的接触面积忽略不计．试写出S关于x的函数关系式及x的取值范围 ___ ．11.（填空题，5分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，BC=1，点P在侧面A1ABB1上．若点P到直线AA1和CD的距离相等，则A1P的最小值是___ ．12.（填空题，5分）若函数y=f（x）对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得f （x1）•f（x2）=1成立，则称f（x）为“自倒函数”．给出下列命题：① 单调函数一定是自倒函数；② 自倒函数f（x）可以是奇函数；③ 自倒函数f（x）的值域可以是R；④ 若y=f （x），y=g（x）都是自倒函数，且定义域相同，则y=f（x）•g（x）也是自倒函数．则以上命题正确的是___ （写出所有正确命题的序号）．13.（单选题，5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：① 若m⊥α，n⊥α，则m || n；② 若m || α，n || α，则m || n；③ 若n || α，m || β，α || β，则m || n；④ 若m⊥α，n || β，α || β，则m⊥n．则以上命题中真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.314.（单选题，5分）已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x-b的零点所在的区间是（）A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（1，2）15.（单选题，5分）定义在R内的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）= {−x2+4x，2≤x≤3x2+2x，3＜x＜4g（x）=ax+1，对∀x1∈[-2，0），∃x2∈[-2，1]，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围为（）A.（-∞，- 18]∪[ 18，+∞）B.[- 14，0）∪（0，18]C.（0，8]D.（-∞，- 14]∪[ 18，+∞）16.（单选题，5分）已知定义在R上的两个函数y=f（x）、y=g（x）的最大值，最小值分别为M f，m f与M g，m g．给出如下两个命题：① 若M f＜m g，则不等式f（x）≤a≤g（x）对一切x∈R恒成立的充要条件是M f≤a≤m g；② 若m f＜M g，则不等式f（x）≤a≤g（x）在x∈R上有解的充要条件是m f≤a≤M g．关于两个命题的真假，下面判断正确的是（）A.命题① 、② 均为真命题B.命题① 为真命题，命题② 为假命题C.命题① 、② 均为假命题D.命题① 为假命题，命题② 为真命题17.（问答题，14分）设函数f（x）=log2（x+m）（m∈R）．（1）当m=2时，解不等式f（1x）＜1；（2）若m=10，且关于x的方程f（x）=√2x+λ在[-2，6]上有实数解，求实数λ的取值范围．18.（问答题，14分）用水清洗一份蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）= 11+x2．（1）求f（0）的值，并解释其实际意义；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药0．比较少？说明理由．19.（问答题，14分）如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC和△ABC均是等腰三角形，且∠APC=∠BAC=90°，PB=AB=4．（1）求证：直线AB与直线PC不垂直；（2）求直线PB与平面ABC所成角的正弦值．20.（问答题，16分）设函数y=f（x），x∈D．如果对任意一个三角形，它的三边长a，b，c∈D，且f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）求证：g（x）=x2（x＞0）不是“保三角形函数”；（2）试判断h（x）=x+ √x（x＞0）是否为”保三角形函数”，并说明理由；（3）若p（x）=log4x，x∈[M，+∞）是“保三角形函数”，试求M的最小值．21.（问答题，18分）已知函数f a（x）=|x|+|x-a|，其中a∈R．（1）判断函数y=f a（x）的奇偶性，并说明理由；（2）记点P（x0，y0），求证：存在实数a，使得点P在函数y=f a（x）图象上的充要条件是y0≥|x0|；（3）对于给定的非负实数a，求最小的实数l（a），使得关于x的不等式f a（x+1）≥f a（x）对一切x∈[l（a），+∞）恒成立．。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
2019-2020学年上海市徐汇区上海世界外国语小学沪教版三年级上册期末考试数学试卷
绝密★启用前2019-2020学年上海市徐汇区上海世界外国语小学沪教版三年级上册期末考试数学试卷试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题 1．小强和小刚经常向王爷爷借书来读。
已知王爷爷有100本书，其中小强读过的书有60本，小刚读过的书有50本，两人都读过的书有20本，那么（ ）。
A ．两人都没读过的书有20本 B ．小强读过但小刚没读过的书有30本 C ．小刚读过但小强没读过的书有40本 D ．只有一人读过的书有70本2．在一张长10厘米，宽7厘米的长方形纸上剪下一个正方形，这个正方形的周长最大是（ ）。
A ．17B ．28C ．493．体育老师去年买了25个篮球，今年买了40个篮球，每个篮球65元，体育老师今年买篮球比去年多付了（ ）。
A ．2600元B ．1625元C ．975元D ．225元4．被减数是355，差是55，减数是（ ）。
A ．300B ．55C ．4105．50千米与500吨相比较（ ）。
A ．50千米大B ．500吨大C ．无法比较6．爸爸到家具店买家具，5把椅子共420元，一张桌子855元，爸爸要买5把椅子和…外………………○…………装………A ．1300元B ．3000元C ．1000元7．分针走6小格，秒针走了（ ）圈。
A ．1B ．6C ．608．250×4的积的末尾有（ ）个0。
A ．一个0B ．两个0C ．三个09．东东和李明一起做同样多的速算题，东东做了14，李明做了13，（ ）的速算题剩的多。
A ．东东B ．李明C ．无法比较第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 10．三（2）班参加短跑跳高的同学的学号是1、3、4、9、11、12、18，参加跳远比赛的同学的学号是1、2、6、7、9、10、12，参加短跑比赛或跳远比赛的一共有( )名同学。
上海市徐汇区2019年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word版)
徐汇区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试 数学试卷 2018.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为___________.2.已知全集U =R ，集合{}2,,0A y y x x x -==∈≠R ，则U A =ð___________. 3.若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为___________.4.若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________. 5.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________.6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =r是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()1,n n a a +均在l 上.若26a =，则3a 的值为 .7.已知()212nx n N x *⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x 项的系数是 .（结果用数值表示）8.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：其他人的成绩至少是B 级及以上，平均分是64分.这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为___________人.9.已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()(1,2)g x f x x =∈，则()g x 的反函数为______________________.10.已知函数sin y x =的定义域是[],a b ，值域是12⎡⎤⎢⎥⎣⎦-1，，则b a -的最大值是___________.11.已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩.若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．12.已知圆M :1)1(22=-+y x ，圆N :1)1(22=++y x .直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点.点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.设R θ∈，则“=6πθ”是“1sin =2θ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）（A ）16 （B ） （C ）163 （D ）128315.对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{}(,)|()()0x y y x y x +-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”.已知函数：①sin y x =；②y ，下列结论正确的是( )（A ）①、②均不是“蝶型函数” （B ）①、②均是“蝶型函数”（C ）①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数” （D ）①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数”16.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S .若对任意的*n N ∈，都有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（ ） （A ）2 （B ）53 （C ）32 （D ）43三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1.（1）正方体''''ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线'A B 是异面直线？（2）若,M N 分别是','A B BC 的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2(),2ax f x x -=+其中.a R ∈ （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角3AOB π∠=. 该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点,A B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里. （1）求海域ABCD 的面积；海（2） 现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B点. 判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的长轴长为1,直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于,A B 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A 为椭圆的上顶点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，连接OM 并延长交椭圆Γ于N，ON =u u u r u u ur ,求k 的值； （3）若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=u u u r u u u r ，当4556λ≤≤时，求OAB ∆的面积S 的范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知项数为0n 0(4)n ≥项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件：①011,n a a m ==(m 为正整数)；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =…；③任取数列{}n a 中的两项,()p q a a p q ≠，剩下的02n -项中一定存在两项,()s t a a s t ≠，满足p q s t a a a a +=+. 则称数列{}n a 为Ω数列.（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω数列，并说明理由；（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中*123,,d d d N ∈，求证：1234,2,4d d d ≥≥≥；（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值.徐汇区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案。