第三章晶体振动和晶体的热学性质详解
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第三章晶体振荡动和晶体的热学性质
q
N N h 2 2
N 个不同的值
—— 为晶体中的原胞数目
所以，q也只能取N个不同值，每个q对应两个解ω±
因此，有2N个不同的格波，正好等于原子链的自由度
—— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2N =原子的数目 2N
推论
一维单原子 一维双原子
晶体振动的波数=晶体的原胞数
三、玻恩－卡门周期性边界条件
—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价 的，每个原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两 头的原子不能用中间原子的运动方程来描述
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等 价的特点
N很大，原子运 动近似为直线运动
处理问题时要考
2 n 1 Be
相邻原胞之间位相差
波矢q的值
2a
q
2a
—— 第一布里渊区
布里渊区大小 采用周期性边界条件
/a
h q 2 h 2aN Na
每个波矢在第一布里渊区占的线度 q 第一布里渊区允许的q值的数目
Na
N
a Na
/
2a 2a N N h取从 到 2 2
只有频率在 0 2 / m 之间的格波才能在晶体中 传播，其它频率的格波被强烈衰减 —— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
格波 —— 长波极限情况
aq 2 sin( ) m 2
当
qa qa sin( ) 2 2
vElastic q
（线性关系）
—— 长波极限情况一维单原子格波的色散 关系与连续介质中弹性波的色散关系一致
第三章 晶格振动与晶体的热学性质(全部课件)
3. 波数q： μ nq = Ae i (ωt − naq ) (3-22)
格波波数q具有2π/λ格式，量纲为[L]-1。aq改变2π的
整数倍，即aq→ n2π + aq 时所有原子振动没有不
同。如：
q1
格= 波24πa1（红相色位）差：aq1
=
π 2
格波2（绿色）：
q2
=
2π
/
4a 5
=
5π 2a
按一般小振动近似能保留到δ2，得到相邻原子间的 作用力为：
F
=
− dV dδ
≈
−βδ
(3 - 20)
这说明了相邻原子间的力是正比于相对位移的弹性 恢复力。
1、建立运动方程和求解：
a) 建立方程（考查图中第n个原子的运动方程）：
n-2 n-1
n
n+1 n+2
aa
β：力常数
β
β
μn-2
μn-1
μn
μn+1
4、分析力学得到的哈密顿量:
∑ H
=
1 2
3N
(
Q&
2 i
i=1
+
ω
2 i
Q
2 i
)
（3-7） （3-9）
1
5、正则方程及解形式 :
在简正坐标下的简谐振动就是简正振动，它的正则
方程(简正坐标下的运动方程)：
Q&&i
+
ω
2 i
Qi
=0
i=1,2,…,3N （3-10）
这是3N个相互无关的方程，表明在简正坐标下的振 动是独立的简谐振动，其中的任意解为:
¾ 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。
晶格振动和晶体的热学性质精品PPT课件
(q)
nn+)(00M
=c0q
2mcos+12aq m M2m2
ei12aq 2Mmcos
aq
q
光波： ＝c0q， c0为光速
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远 红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
久期方程：
2
Mm
M
m
M
2
m2
2Mm
cos
aq
＝
M Mm
m
1
1
4 Mm
M m2
sin 2
1 2
aq
q
a
a
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
π nn
Aei12aq B
2cos 12aq ei12aq 2M2
M
2mcos12 aqei12aq m M2m22Mmcosaq
j
• 一种格波即一种振动模式称为一种声子， nj：声子数。
•
当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以
E
N j=1
nj
1 2
为 j
单元交换能量。
• 声子具有能量 q ，也具有准动量 Mn nn12n ，但它不能
脱离固体而单独存在，并不是一种真实的粒子, 只是一 种准粒子。
• 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
当q0时，＋，原胞中两种原子振动位相完全相反。
i 1 aq
M
2
2mcos
1 2
aqe
2
m2 2Mmcosaq
M
m
Rei
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
第三章晶格振动与晶体的热学性质
第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。
晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。
本章的主题用最邻近原子间简谐力模型来讨论劲歌振动的本征频率；并用格波来描述晶体原子的集体运动；再用量子理论来表述格波相应的能量量子、3.1 连续介质中的波波动方程22220u ux Y tρ??-=??对足够长的介质，求行波的解：s v q ω=其中波相速ω=称作色散关系。
3.2 一维晶格振动格波讨论晶格振动时采用了绝热近似，近邻近似和简谐近似。
绝热近似：考虑离子运动时，可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。
为简单化，可以将离子的运动看成是近似成中性原子的运动。
近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用；简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。
0020021()()()()......2r r dU d U U r U r dr dr δ+=+++简谐近似——振动很微弱，势能展式中作二级近似：00'''001()()||2r r U r U r U U δ+=++相邻原子间的作用力02222,r Ud U d U f dr dr δβδβδ=-=-=-= ? ??????一维晶格振动格波考虑第n 个例子的受力情况，它只受最近邻粒子的相互作用即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个例子的弹性力11()n n n f u u β--=-- 11()n n n f u u β++=--1111(2)n n n n n n f f f u u u β-++-=-=--- 2112(2)n n n n d uf ma m u u u dtβ+-===---试探解以行波作试探解()i t naq nq u Ae ω-=2()()(2)i t naq i t naq iaq iaq m e e e e ωωωβ----=---利用：222cos()24sin (/2)iaq iaq e e qa qa -+-=-=得224sin (/2)qa m βω=，/2)qa ω=色散关系 s i n (/2)qa ω=长波极限因为色散曲线是周期的且关于原点对称，在0/q a π<<的区间内，频率仅覆盖在0m ωω<<的范围内。
晶格振动与晶体的热学性质
格波： 连续介质弹性波：
Ae
i t naq
i t xq
Ae
将 µ nq
Ae i t qna
i t naq
代入运动方程得
m 2 Ae
Ae
m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
解 得
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内 原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶 体中形成各种模式的波，称为格波。只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是 简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。由于晶体的平 移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。通常用一系列独立的简谐振子 来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
nj Aje
i jt naqj
频率为 j 的特解：
方程的一般解：
n
线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为：
Ae
j j
i jt naqj
Q q, t einaq Nm
q
1
1 N
＝N＝晶体链的原胞数 晶格振动格波的总数=N· 1 =晶体链的自由度数 三、格波的简谐性、声子概念
1 2 n m 2 n 2 1 U n 晶体链的势能： n 1 2 n
晶体链的动能：T
系 统 的总 机械 能 即 体系的哈密顿量为：
H
：
2 1 1 2 n m n n 1 2 n 2 n
1 d2V dV V a V a 2 2 d x a d x
第三章晶格振动和晶体的热学性质PPT
(3)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数
a
波恩-卡门边界条件
（周期性边界条件）
a
q的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：
u1 u N 1
N为晶格中的原子个数（晶胞数 ）
即：
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
un Ae i(qnat)
u1 u N 1
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
eiqNa 1
得： qNa 2l l =0，±1，±2……等整数
q 2 l
Na
在第一布里渊区，q取值为
/a q /a
对应于 N / 2l N / 2 ( 只l 能取N个值----模数 )
结论：在第一布里渊区内的q值唯一地描述了所有的晶格 振动模式，这些值的数目等于晶格的自由度数N。
设 un,1、u是n,相2 应于原子M、m在沿链方向对其平衡位置的偏离
方程和解
和单原子链类似，若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
Mun,1 2un,1 un,2 un1,2 mun,2 2un,2 un1,1 un,1
类似于前面的讨论，可取解的形式为：
代入运动方程得：
(2 m 2 )A (2 cos qa)B 0
2 cos qa
2
2
2 M 2
0
Mm 4
2
(M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
Mm 4
2 (M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
解关于2的一元二次方程得：
2
(q)
mM mM
第三章晶格振动与晶体的热学性质PPT课件
4ed
0
e
2
1
CV 1254NkBTD3T3
德拜 T3 定律 ：CV 与 T3 成比例
注意：T3 定律一般只适用于大约
1 T 30 D
的范围
这表明，Debye模型可以很好地解释在很低 温度下晶格热容CV∝ T3的实验结果。
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
的色散关系，称为晶格振动的振动谱。 (q )
利用波与格波的相互作用，以实验的方法直接
测定 (q)
一、格波振动使中子流的非弹性散射 二、（可见光）光子与晶格的非弹性散射 三、X光的非弹性散射
只讨论单声子过程
因而，光散射只能和长波声子，即接近布里渊区 心的声子发生相互作用。
用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一 部分长波声子的振动谱，而不能测定整个晶格振 动谱，这是光可见散射法的最根本缺点。
<<1
(1)★ 声学波
2m m M M 11m 4 m M M 2si2n aq 1/2
2m m M M 11m 4 mM M2sin2aq1/2
简化
m4mMM2sin2aq1 1m 4 m M 2 M si2a n 1 q /2 11 2m 4 m M 2 M si2a nq
32
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
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Ae x e
n
①
x n1 x n1 2 x n
i qnat iqa
e
iqa
e
iqa
2 2 x n cosqa 1
Ae
i qnat
e
iqa
2 Ae
i qnat
②
4 2 qa m x n 2 x n cosqa 1 sin m 2
第三章 晶体振动和晶体的热学性质
一、晶体振动
1.晶体振动 晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固 定不动，而是为绕其平衡位置作振动。 2.振动的特点 晶体中各原子的振动是相互联系的。 3.振动模式 用格波表述原子的各种振动模式
二、晶体振动的分类(根据振动的剧烈程度分类) 1.晶格振动——原子在平衡位置附近的微振动。 2.空位或间隙原子——少数原子脱离其格点的振 动。 3.熔解——温度相当高，整个晶体瓦解，即长程 序解体。
f n f n1 f n1 xn x n1 x n1 x n
根据牛顿第二定律，可得第n个原子的运动方程： d 2 xn n 1, 2, 3, N m x n1 x n1 2 x n 2 dt 共有N个类似的运动方程。
d 2U dU 1 d 2U 恢复力：f 2 2 2 d 2 dr a dr a d U 2 恢复力系数。 0。 dr a
2
U
a
r
δ
δ>0 间距增大
δ<0 间距缩小
三、晶格振动的特点
1.当原子间相互作用微弱时，原子的振动可近似 为相互独立的简谐振动。 2.由于晶体的周期性，振动模式所取的能量值不 是连续的，而是分立的。
3.可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而 又分立的振动模式。简谐振子的能量用能量量子 ħω(称为声子， ω微振动模式的角频率。)描述。
振子之间不会发生相互作用，即不能有能量的交
12
qa sin 2
2n q q ( n为整数) ， a
2 m
12
2n a sin q 2 a 2 m
12
qa sin 2
q和q表示的是同一个状态。
b 2
换。声子一旦被激发出来，它的数目就一直保持
不变。不能把能量传递给其它频率的声子。
4.如果原子间的相互作用稍强时，就必须考虑非简
谐效应——声子间发生能量的交换。
5.晶体的宏观性质，例如，比热、热膨胀和热传导
等都与晶格振动有关。
§3.1 一维原子链的振动 一、一维布喇菲晶格的振动
1.原子的运动方程 (1)振动示意图——m为原子质量；xn为位移。
2 dU 1 d U 2 U a U a 2 2 dr a dr a
dU 由于 0，且当振动很微弱时，很小，所以， dr a 泰勒展开式中只保留到 项。
2
1 d 2U U a U a 2 2 2 dr a
波速：v p / q
3.ω和q的关系——色散关系(振动频谱)
把方程的解x n Ae
2
i qnat
代入运动方程
d xn m x n1 x n1 2 x n 可得： 2 dt
d 2 xn 2 2 i qnat 2 m mi Ae m xn 2 dt
n-2 n-1 n n+1 n+2
x n 2
xn1
xn
x n 1
x n 2
x n 1 x n
第n个原子和第n+1个原子间的相对位移。
(2)两原子间的相互作用力 U(a)：平衡时两原子间的互作用势能； U(a+δ)：产生相对位移δ后的互作用势能。 把U(a+δ)在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得：
2.运动方程的求解及结果分析 (1)方程的解
x n Ae
i qnat
振幅为A，角频率为ω的简谐振动。其中qna表示 第n个原子的振动的位相因子。 (2)结果分析 ①原子之间的振动存在着固定的位相关系
2s 如果qna qna 2s na na ( s为整数), 可得： q x n Ae i qnat Ae i 2s qnat Ae i qnat e i2s Ae i qnat x n
2 2
2 m
12
qa sin 一维布喇菲格子色散关系。 2
2 M
2 2 O a a a a 一维布喇菲格子色散关系( 振动频谱)
q
4.q的取值范围 (1)周期性——ω是q的周期函数，周期为2π/a。
q ， 2 m
O
f
f
f <0
引力(r>a)
f >0
斥力(r<a)
O
rm
r
(3)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析
n-1 n n+1
正方向
f n 1 x n 1 x n
f n 1
f n1 xn xn1
f n1
x n1 x n1 2 x n (4)运动方程
2 当第n个原子和第n个原子的距离 ( na na )为 的整倍 q 时，两个原子因振动而产生的位移相等。 即：x n x n
n
n
2 q
n
②格波——描述晶格中原子振动的、角频率为ω 平面波称为格波。 2 1 2 na na 格波的波长： q q 2 2 波矢：q q n q 相当于波矢k 。
n
①
x n1 x n1 2 x n
i qnat iqa
e
iqa
e
iqa
2 2 x n cosqa 1
Ae
i qnat
e
iqa
2 Ae
i qnat
②
4 2 qa m x n 2 x n cosqa 1 sin m 2
第三章 晶体振动和晶体的热学性质
一、晶体振动
1.晶体振动 晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固 定不动，而是为绕其平衡位置作振动。 2.振动的特点 晶体中各原子的振动是相互联系的。 3.振动模式 用格波表述原子的各种振动模式
二、晶体振动的分类(根据振动的剧烈程度分类) 1.晶格振动——原子在平衡位置附近的微振动。 2.空位或间隙原子——少数原子脱离其格点的振 动。 3.熔解——温度相当高，整个晶体瓦解，即长程 序解体。
f n f n1 f n1 xn x n1 x n1 x n
根据牛顿第二定律，可得第n个原子的运动方程： d 2 xn n 1, 2, 3, N m x n1 x n1 2 x n 2 dt 共有N个类似的运动方程。
d 2U dU 1 d 2U 恢复力：f 2 2 2 d 2 dr a dr a d U 2 恢复力系数。 0。 dr a
2
U
a
r
δ
δ>0 间距增大
δ<0 间距缩小
三、晶格振动的特点
1.当原子间相互作用微弱时，原子的振动可近似 为相互独立的简谐振动。 2.由于晶体的周期性，振动模式所取的能量值不 是连续的，而是分立的。
3.可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而 又分立的振动模式。简谐振子的能量用能量量子 ħω(称为声子， ω微振动模式的角频率。)描述。
振子之间不会发生相互作用，即不能有能量的交
12
qa sin 2
2n q q ( n为整数) ， a
2 m
12
2n a sin q 2 a 2 m
12
qa sin 2
q和q表示的是同一个状态。
b 2
换。声子一旦被激发出来，它的数目就一直保持
不变。不能把能量传递给其它频率的声子。
4.如果原子间的相互作用稍强时，就必须考虑非简
谐效应——声子间发生能量的交换。
5.晶体的宏观性质，例如，比热、热膨胀和热传导
等都与晶格振动有关。
§3.1 一维原子链的振动 一、一维布喇菲晶格的振动
1.原子的运动方程 (1)振动示意图——m为原子质量；xn为位移。
2 dU 1 d U 2 U a U a 2 2 dr a dr a
dU 由于 0，且当振动很微弱时，很小，所以， dr a 泰勒展开式中只保留到 项。
2
1 d 2U U a U a 2 2 2 dr a
波速：v p / q
3.ω和q的关系——色散关系(振动频谱)
把方程的解x n Ae
2
i qnat
代入运动方程
d xn m x n1 x n1 2 x n 可得： 2 dt
d 2 xn 2 2 i qnat 2 m mi Ae m xn 2 dt
n-2 n-1 n n+1 n+2
x n 2
xn1
xn
x n 1
x n 2
x n 1 x n
第n个原子和第n+1个原子间的相对位移。
(2)两原子间的相互作用力 U(a)：平衡时两原子间的互作用势能； U(a+δ)：产生相对位移δ后的互作用势能。 把U(a+δ)在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得：
2.运动方程的求解及结果分析 (1)方程的解
x n Ae
i qnat
振幅为A，角频率为ω的简谐振动。其中qna表示 第n个原子的振动的位相因子。 (2)结果分析 ①原子之间的振动存在着固定的位相关系
2s 如果qna qna 2s na na ( s为整数), 可得： q x n Ae i qnat Ae i 2s qnat Ae i qnat e i2s Ae i qnat x n
2 2
2 m
12
qa sin 一维布喇菲格子色散关系。 2
2 M
2 2 O a a a a 一维布喇菲格子色散关系( 振动频谱)
q
4.q的取值范围 (1)周期性——ω是q的周期函数，周期为2π/a。
q ， 2 m
O
f
f
f <0
引力(r>a)
f >0
斥力(r<a)
O
rm
r
(3)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析
n-1 n n+1
正方向
f n 1 x n 1 x n
f n 1
f n1 xn xn1
f n1
x n1 x n1 2 x n (4)运动方程
2 当第n个原子和第n个原子的距离 ( na na )为 的整倍 q 时，两个原子因振动而产生的位移相等。 即：x n x n
n
n
2 q
n
②格波——描述晶格中原子振动的、角频率为ω 平面波称为格波。 2 1 2 na na 格波的波长： q q 2 2 波矢：q q n q 相当于波矢k 。