2020届新高考艺术生数学复习冲关训练：第五章 第4节数列求和

第五章 第4节
1．数列{a n }中，a n ＝
1n (n ＋1)
，若{a n }的前n 项和为2 019
2 020，则项数n 为( )
A ．2 019
B ．2 016
C ．2 017
D ．2 018
解析：A [a n ＝
1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
，
S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 019
2 020，所以n ＝2 019.]
2.12＋12＋38＋…＋n
2n 等于( ) A.2n －n －12n
B.2n ＋
1－n －22n
C.2n －n ＋12n
D.2n ＋1－n ＋22n
解析：B [法一：令S n ＝12＋222＋323＋…＋n
2n ，①
则12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n
2n ＋
1，② ①－②，得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－
12－n 2n ＋1.∴S n ＝2n ＋1－n －22n .故选B.
法二：取n ＝1时，n 2n ＝1
2
，代入各选项验证可知选B.]
3．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋4
5，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和
为( )
A ．4⎝⎛⎭
⎫1－1
n ＋1
B ．4⎝⎛⎭
⎫12－1n ＋1
C ．1－1
n ＋1
D.12－1n ＋1
解析：A [由题意知a n ＝
1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，b n ＝1
a n a n ＋1
＝
4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋4⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－1
3＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1n ＋1.]
4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －
1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400
解析：B [S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.]
5．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前100项和为( )
A.100101
B.99100
C.101100
D.200
101
解析：D [数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ， ∴a n ＋1－a n ＝1＋n ，∴a n －a n －1＝n ，
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)
2，
∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1， ∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前100项和 2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13
＋…＋1100－1101＝2⎝⎛⎭⎫1－1101＝200
101，故选D.] 6．(2019·聊城市一模)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，若b n ＝2a n ，则数列{b n }的前n 项和T n ＝_________________________________________________________________.
解析：∵S n ＝n 2，① 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1， 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2，② 由①－②可得a n ＝2n －1， 当n ＝1时也成立，∴a n ＝2n －1，
∴b n ＝2a n ＝2×4n －1，∴T n ＝2(1－4n )1－4＝23(4n －1)．
答案：2
3
(4n －1)
7．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.
∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－1，n ＝1，2n －5，n ≥2.
令2n －5≤0，得n ≤5
2
，∴当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，
a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66. 答案：66
8．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝________.
解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，
又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n
＝4n －1. ∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．
∴a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝1·(1－4n )1－4＝1
3(4n －1)． 答案：1
3
(4n －1)
9. (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设可得
⎩⎪⎨
⎪⎧ a 1(1＋q )＝2a 1(1＋q ＋q 2
)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝－2，
a 1＝－2，
故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .
(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n ·2n ＋13.
由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n
·2n ＋3－2n ＋23
＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2
3＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．
10．(2018·天津卷)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.
(1)求S n 和T n ；
(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值． 解：(1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1，
b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0，因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以，T n ＝1－2n
1－2＝2n －1.
设等差数列{a n }的公差为d ，由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4，由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n .所以S n ＝n (n ＋1)
2
.
(2)由(1)，有
T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝
2×(1－2n )
1－2
－n ＝2n ＋1－n －2.
由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得n (n ＋1)
2＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，
解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.。