平面向量数量积的坐标表示

§5.7平面向量数量积的坐标表示

教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。

教学重点：平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式

教学难点：向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用 教学方法; 启发式

教学过程：

一、复习引入

1．两平面向量垂直的充要条件。2．两向量共线的坐标表示：

二、新课讲解：

1．x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ⋅i = 1，j ⋅j = 1，i ⋅j = j ⋅i = 0 2．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2) 则

∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j

∴a ⋅b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ⋅j + x 2y 1i ⋅j + y 1y 2j 2

= x 1x 2 + y 1y 2.从而获得公式：a ⋅b = x 1x 2 + y 1y 2

3．长度、夹角、垂直的坐标表示

1︒长度：a = (x , y ) ⇒ |a|2 = x 2 + y 2 ⇒ |a | =22y x +

2︒两点间的距离公式：若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则AB =221221)()(y y x x -+- 3︒ 夹角：co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212

121y x y x y y x x +++=

4︒垂直的充要条件：∵a ⊥b ⇔ a ⋅b =0即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示的区别）

4、阅读课本120页例1与例2.完成课本121页练习。

三、例与练习

例1、如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒， 求点B 和向量AB 的坐标。

解：设B 点坐标(x , y )，则OB = (x , y )，AB = (x -5, y -2) ∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0

又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+272323272941002522112

2y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)2

7,23(；AB =)27,23(--或)23,27(- 例2、在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，

求k 值。

解：当A = 90︒时，AB ⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2

3- 当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2, k -3) = (-1, k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =3

11 当C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =

2133± 四、小结：两向量数量积的坐标表示：长度、夹角、垂直的坐标表示

五、作业：课本121页习题5.7