平面向量数量积的坐标表示
§5.7
平面向量数量积的坐标表示
教学目的：
要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标
表示的充要条件。
教学重点：
平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式
教学难点：
向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用
教学方法; 启发式
教学过程：
一、复习引入
1．两平面向量垂直的充要条件。2．两向量共线的坐标表示：
二、新课讲解：
1．x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 0
2．设a = (x1, y1)，b = (x2, y2) 则
∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j
∴ab = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j
2
= x1x2 + y1y2.从而获得公式：ab = x1x2 + y1y
2
3．长度、夹角、垂直的坐标表示
1长度：a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =22yx
2两点间的距离公式：若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则AB=221221)()(yyxx
3 夹角：cos =||||baba222221212121yxyxyyxx
4垂直的充要条件：∵ab ab =0即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标
表示的区别）
4、阅读课本120页例1与例2.完成课本121页练习。
三、例与练习
例1、如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，
求点B和向量AB的坐标。
A
O
B
解：设B点坐标(x, y)，则OB= (x, y)，AB= (x5, y2)
∵OBAB ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x 2y = 0
又∵|OB| = |AB| ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29
由2723232729410025221122yxyxyxyxyx或
∴B点坐标)23,27(或)27,23(；AB=)27,23(或)23,27(
例2、在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值。
解：当A = 90时，ABAC= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23
当B = 90时，ABBC= 0，BC=ACAB= (12, k3) = (1, k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =311
当C = 90时，ACBC= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =2133
四、小结：两向量数量积的坐标表示：长度、夹角、垂直的坐标表示
五、作业：课本121页习题5.7
平面向量数量积的坐标表示
第六节 平面向量数量积的坐标学习目标：1．掌握两个向量数量积的坐标表示，能通过两个向量的坐标进行两个向量数量积的运算．2．能运用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量的垂直关系．3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．重点、难点：重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的条件．难点：对向量的长度公式，两个向量垂直条件的灵活运用．学习过程：(一) 课前预习检查1.设单位向量j i ,分别与平面直角坐标系中的x 轴、y 轴方向相同，O 为坐标原点，若向量,23j i OA +=则向量OA 的坐标是 ，若向量)2,1(-=a ，则向量a 可用j i ,表示为 .2. 已知,1==j i ,j i ⊥,23j i a +=,j i b -==⋅b a .3. A 点坐标(x 1，y 1)，B 点坐标(x 2，y 2),_____,=AB ______,=BA ．.______=AB4. (1) ______;=⋅b a(2) _____;______;==⋅a a a(3) .______cos ______;=⇔⊥θb a 5. 向量的数量积满足哪些运算律？(二） 提出问题，揭示课题我们学过向量的加法、减法、数乘向量可以用它们相应的坐标来运算,那么怎样用b a 和的坐标来表示b a ⋅呢？ (三） 新课探究1. 平面向量数量积的坐标表示问题1：如图，i 是x 轴方向上的单位向量,j 是y 轴方向上的单位向量,请计算下列式子：(1) ____,=⋅i i (2) ____,=⋅j j(3) ____,=⋅j i (4) .____=⋅j j问题2：如何推导b a ⋅的坐标公式.已知非零向量),(),,(2211y x b y x a == ，设j i 和分别是x 轴和y 轴方向上的单位向量,则有,11j y i x a += j y i x b 22+=)()(2211j y i x j y i x b a +⋅+=⋅∴j j y y i j y x j i y x i i x x ⋅+⋅+⋅+⋅=211221210,1,122=⋅=⋅==i j j i j i2121y y x x b a +=⋅∴两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.2. 向量的模和两点间的距离公式(1) 向量的模.,),,(22222y x a y x a y x a +=+== 或则设（2）两点间的距离公式.)()(),,(),(2212212211y y x x AB y x B y x A -+-=则、设3. 两向量垂直和平行的坐标表示（1）垂直 0=⋅⇔⊥b a b a0)(),(21212,21,1=+⇔⊥==y y x x b a y x b y x a 则设（2）平行 0//)(),(12212,21,1=-⇔==y x y x b a y x b y x a 则设4. 两向量夹角公式的坐标运算.c o s ,180000ba b a b a ⋅=≤≤θθθ则）（的夹角为和设 .c o s ,1800),(),,(222221212121002,211y x y x y y x x b a y x b y x a +⋅++=≤≤==θθθ则）（的夹角为和设.0,022222121≠+≠+y x y x 其中 (四）讲解例题 探究新知例1. 已知)1,1(),32,1(=+-=b a ，求.,,θ的夹角和b a b a b a ⋅⋅解： ,311)32(11+=⨯++⨯-=⋅b a322)32()1(22+=++-=a ， 21122=+=b)31(23242+=+=⋅∴b a,21)31(231c o s =++=θ001800≤≤θ 060=∴θ 例2. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC ∆的形状，并给出证明. 证明： )3,3()25,12(),1,1()23,12(-=---==--=AC AB031)3(1=⨯+-⨯=⋅∴AC ABAC AB ⊥∴是直角三角形A B C ∆∴变式：.),,1(),3,2(的值求实数中，在k k OB OA OAB Rt ==∆例3. 求以点C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程.解: 设M(x,y)是圆C 上一点,则CM |=r,即 2r CMCM =⋅因为 (),,b y a x CM--= 所以()()222r b y a x =-+-,即为圆的标准方程.如果圆心在坐标原点上,这时a=0,b=0,那么圆的标准方程就是.222r y x =+由解析几何知给定斜率为k 的直线l ,则向量),1(k m = 与直线l 共线,我们把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量.例4 已知直线01243:1=-+y x l 和0287:2=-+y x l ,求直线1l 和2l 的夹角.解: 任取直线1l 和2l 的方向向量)43,1(-=m 和)7,1(-=n . 设向量m 与n 的夹角为θ, 因为θcos n m n m =⋅,从而,22)7(1)43(1)7()43(11cos 2222=-+⨯-+-⨯-+⨯=θ 所以θ=45°,即直线1l 和2l 的夹角为45°.（五） 课堂练习1. 已知)1,1(),432,2(=-=b a ，求.,θ的夹角和b a b a ⋅2. 已知),9,6(),2,3(-==b a 求证.b a ⊥3. 若),6,5(),3,4(=-=b a 则.___432=⋅-b a a4. 若),3,(),1,3(-==x b a ，且b a ⊥，则实数.____=x5. 若),7,4(),3,2(-==b a ，则b a 在方向上的投影是 ；6. 若()2,4=a ，则与a 垂直的单位向量的坐标是 ；（六） 小结：平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.（七） 布置作业 课后巩固1. 已知三点()()(),7,6,3,2,5,7-C B A ，求证：ABC ∆直角三角形.2. 已知),5,(),0,3(k b a == ，.1350的值，求的夹角是与且k b a3. 已知直线017618:1=-+y x l 和09105:2=-+y x l ,求直线1l 和2l 的夹角.。
平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。
2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。
3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。
教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。
二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。
2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。
三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。
2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。
引导学生思考其中的计算思想和规律。
四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。
2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。
五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。
2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。
教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。
2. 学生课堂参与和讨论。
3. 学生课后完成的作业和练习题。
教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。
2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。
6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计高一下学期数学人教A版
教学设计注意：公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉与a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．探究二:平面向量模的坐标表示问题4：若a ＝(x ，y )，，如何计算向量的模|a |呢？ 问题5：若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的模？ 探究三:平面向量夹角的坐标表示问题6：已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用坐标表示a 与b 的夹角呢？与向量的模、夹角相关的几个重要公式：1.向量的模的坐标表示：设a ＝(x ，y )，则|a |＝ .2.两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝ . 3.向量的夹角的坐标表示：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝ .注意：由三角函数值cos θ 求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π自我检测题： 判断正误(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ⊥b ⇔x1x2＋y1y2＝0.( )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( ) (4)若a ·b>0，则a ，b 的夹角为锐角．( ) (5)若a ·b ＝|a||b|，则a ，b 共线．( ) 自主学习问题反馈 【探究学习】 课堂探究目标：通过探究，理解并能用坐标表示平面向量的数量积，会表示坐两个平面向量的夹角，能用坐标表示平面向量共线和垂直的条件题型一:平面向量的夹角和垂直问题 例1. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，则ABC 是什么形状？证明你的猜想.(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则B. 5-C. 5D. 6已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =解决向量夹角问题的方法先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a ·以及|a |，|b |，再由θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 2＋y 222直接求出θ例4. 已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2【链接高考】（2022·全国乙） 已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5点拨：求向量的模的两种方法：(1).字母表示下的运算，利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝ x 2＋y 2【归纳总结】知识总结：(一个意义、四个公式)方法总结：化归与转化、数形结合、分类讨论（三种方法） 易错点总结：两向量的夹角公式容易记错（一个易错点） 【分层作业】A 层：基层巩固（必做）、拓广探索（选做） 基础巩固1.若向量(,2),a x =(1,3),b =- a b •＝3，则x ＝( ) A.3 B.－3 C.53 D.－532.已知(3,1),a =--(1,3),b =那么,a b 的夹角θ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6a 等于。
平面向量的数量积的坐标表示课件
平面向量数量积在物 理中有哪些应用？请 举例说明。
平面向量数量积的性 质有哪些？如何证明 ？
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பைடு நூலகம்
坐标运算实例
计算
已知$overrightarrow{a} = (2, 3)$ ，$overrightarrow{b} = (4, 5)$， 求$overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b}$。
解
根据数量积的坐标表示， $overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b} = 2 times 4 + 3 times 5 = 8 + 15 = 23$。
分配律
$overrightarrow{a} cdot (overrightarrow{b} + overrightarrow{c}) = overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b} + overrightarrow{a} cdot overrightarrow{c}$。
CHAPTER 05
总结与回顾
内容总结
平面向量数量积的定义
平面向量数量积定义为两个向量的模 长之积与它们夹角的余弦值的乘积。
应用实例
平面向量的数量积在物理学、工程学 等领域有广泛的应用，例如在计算力 的合成与分解、速度和加速度等物理 量时都会用到。
知识点回顾
平面向量数量积的性质
平面向量数量积具有交换律、结合律、分配律等基本性质。这些性质在解决实际问题时非 常重要，可以帮助我们简化计算过程。
数量积满足结合律，即 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) cdot overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{c} + overset{longrightarrow}{b} cdot overset{longrightarrow}{c}$。
平面向量的坐标表示与向量的数量积
平面向量的坐标表示与向量的数量积平面向量是二维向量，可以用坐标表示。
在笛卡尔坐标系中，一个平面向量可以表示为一个有序数对，即两个实数构成的向量。
平面向量的数量积是向量运算中的一种，用于计算两个向量之间的夹角。
下面将详细介绍平面向量的坐标表示和向量的数量积。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对来表示，常用的表示形式有点表示法、分量表示法和单位向量表示法。
1. 点表示法在平面上给定两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，以点A为起点，点B为终点的向量可以用点表示法表示为AB。
例如，向量AB表示为展示向量的箭头上方带上一条小线，表示从A指向B的方向。
2. 分量表示法平面向量也可以用坐标表示，即用向量的水平和垂直分量表示。
假设有向量v，v的水平分量为x，垂直分量为y，那么向量v可以表示为v = (x, y)，其中x和y分别为v在x轴和y轴上的投影长度。
3. 单位向量表示法单位向量是长度为1的向量，可以用坐标表示。
例如，单位向量i 指向x轴的正方向，单位向量j指向y轴的正方向，那么向量v可以表示为v = xi + yj，其中x和y为v的水平和垂直分量。
二、向量的数量积向量的数量积（也称为点积或内积）是一种运算，用于计算两个向量之间的夹角。
向量的数量积可以表示为以下公式：A ·B = |A| |B| cosθ其中A和B为两个向量，|A|和|B|分别为它们的模，θ为两个向量的夹角。
数量积的计算方法如下：A ·B = x₁x₂ + y₁y₂其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)分别是向量A和向量B的坐标。
数量积还有一些性质：1. A · B = B · A（数量积的交换律）2. A · A = |A|²（向量的模的平方等于向量的数量积）3. 若A与B垂直，则A · B = 0，即夹角为90°4. 若A与B平行，则A · B = |A| |B|，即夹角为0°三、结论平面向量可以通过坐标表示法来表示，在笛卡尔坐标系中，一个平面向量可以表示为一个有序数对。
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(解析版)
6.3.5平面向量数量积的坐标表示导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.会用坐标表示平面向量的数量积.2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角.3.能够利用坐标判断向量的垂直关系.【自主学习】知识点1 面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．知识点2 平面向量长度(模)的坐标表示(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，知识点3 两向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.知识点3 向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.【合作探究】探究一平面向量数量积的坐标运算【例1】已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解(1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．归纳总结：进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.【练习1】若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.答案(－16，－8)(－8，－12)解析∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．探究二向量的模的问题【例2】向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( )A ．(－7,8)B ．(9，－4)C ．(－5,10)D ．(7，－6)[解析] (1)∵向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，∴设AB →＝k a ＝k (－3,4)＝(－3k,4k )(k <0)．由此可得|AB →|＝(－3k )2＋(4k )2＝10，解之得k ＝－2(k ＝2舍去)．∴AB →＝(6，－8)，设B (m ，n )，得AB →＝(m －1，n －2)＝(6，－8)，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝6n －2＝－8，解得m ＝7，n ＝－6， ∴B (7，－6)，故选D.归纳总结：(1)要求向量的模需先由条件求出向量的坐标，再求模．(2)已知向量的模求坐标，要设出坐标列方程(组)求解．【练习2】已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD→|与点D 的坐标．解 设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ. ∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)．∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．探究三 向量的夹角与垂直问题【例3-1】已知a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，且a 与b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(－2，12) B ．(12，＋∞) C ．(－2，23)∪(23，＋∞)D ．(－∞，12) [答案] A[解析] ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∵cos θ>0且cos θ≠1，即a·b >0且a 与b 方向不同，即a·b ＝1－2λ>0，且a ≠m b (m >0)，解得λ∵(－∞，－2)∵(－2，12)．故选A. 【例3-2】已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.[答案] 7[解析] 因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.【例3-3】已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]．∴a 与b 的夹角为π4.归纳总结：根据向量的坐标表示求a 与b 的夹角时，需要先求出a ·b 及|a |，|b |，再求夹角的余弦值，从而确定θ.【练习3-1】已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．解 设a 与b 的夹角为θ，则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12. (2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，所以a·b <0且a 与b 不反向．由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12， 由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，所以a·b >0且a ，b 不同向．由a·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2. 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．【练习3-2】设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1，－1)，cos θ＝________.[答案] 1[解析] b ＝12a ＋12(－1，－1)＝(1,1)，a·b＝6.又|a|＝32，所以cosθ＝a·b|a|·|b|＝66＝1.课后作业A 组 基础题一、选择题1.若单位向量,a b 满足a b ⊥，向量c 满足()1a c b +⋅=，且向量,b c 的夹角为60°，则c =（ ）A. 12B. 2C.D. 【答案及解析】：B【分析】由向量垂直得其数量积为0，从而由向量数量积的运算律可求得c b ⋅，再由数量积的定义可得模．【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，因为()=1+⋅=⋅+⋅=⋅a c b a b c b c b ，所以1=cos60==12⋅⋅c b c b c ，所以2c =， 故选：B .2.已知向量(),2(31),,a m b ==，若向量a 在向量b 方向上的投影为－2，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案及解析】：C【分析】由已知结合向量数量积的定义可求m ，然后根据向量夹角公式即可求解． 【详解】解：由数量积的定义知向量a 在向量b 方向上的投影为3||cos ,22||a b m a a b b ⋅+⋅〈〉===-，所以m =- 所以621cos ,422||||a b a b a b ⋅-+〈〉===-⨯，所以夹角,120a b ︒〈〉=. 故选：C. 3.已知向量,a b 满足||1,||3a b ==，且a 与b 的夹角为6π，则|2|a b -=（ ）A. 12B.C. 1D. 13【答案及解析】：C【分析】根据22|2|44a b a a b b -=-⋅+求解即可.【详解】解析：22|2|444411a b a a b b -=-⋅+=-⨯=. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积与模长的运算等，属于基础题.4.已知1,12a b b ⋅=-=，则a 在b 方向上的射影为（ ） A. 12 B. 1-2 C. 3π D. 23π 【答案及解析】：B【分析】由于a 在b 方向上的射影为a b b ⋅，代入值直接求解即可.【详解】解：因为1,12a b b ⋅=-=， 所以a 在b 方向上的射影为112=12a b b -⋅=-，故选：B5.已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m = ( )A. －1B. 1C. 2D. －2 【答案及解析】：B【分析】根据向量坐标的线性运算得到a b -，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案.【详解】因为向量()5,a m =，()2,2b =-所以()3,2a b m +=+， 因为()a b b -⊥， 所以()0a b b -⋅=所以()6220m -+=解得1m =.故选：B.6.已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且a 与b 的夹角为3π，则向量a b -与b 的夹角为（ ） A. 6π B. 3π C. 23π D. 56π 【答案及解析】：D【分析】 先求a b ⋅，进而可求()a b b -，再求()2a b -，即可求a b -，利用()cos a b b a b b θ-⋅=-⋅结合[]0,θπ∈，即可求解. 【详解】1cos 12132a b a b π⋅=⨯⨯=⨯⨯=， ()22212521232a b a b a b -=+-⋅=-⨯⨯⨯=， ()2·143a b b a b b -=⋅-=-=-，设向量a b -与b 的夹角为θ， ()3cos 223a b b a b b θ-⋅-===--⋅， 因为[]0,θπ∈，所以56πθ=， 所以a b -与b 的夹角为56π. 故选：D7.若||2a =，1b ||=，且(4)a a b ⊥-，则向量,a b 的夹角为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案及解析】：B【分析】 由向量垂直则数量积为零，求得1a b ⋅=，再根据夹角公式求得结果.【详解】根据题意，由于向量||2a =，1b ||=，且(4)a a b ⊥-，2(4)040a a b a a b ∴⋅-=⇔-⋅=，1a b ∴⋅=， 故1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅，又向量夹角的范围为[]0,π， 故可知向量,a b 的夹角为60︒. 故选：B ．8.已知非零向量a 、b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A. 6πB. 4πC. 3πD. 23π 【答案及解析】：C【分析】 由()a b b -⊥，可得()0a b b -⋅=.根据数量积的运算律和定义，可求a 与b 的夹角. 【详解】,a b 是非零向量，且()a b b -⊥，()220,0,a b b a b b a b b ∴-⋅=∴⋅-=∴⋅=，设a 与b 的夹角为θ，则0θπ≤≤. 221cos ,2,cos 2ba b b a b a b θθ∴==∴==， 3πθ∴=.故选：C9.设非零向量m ，n 则“m n ⊥”是“22m n m n +=-”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案及解析】：C【分析】根据m n ⊥可得0m n ⋅=，由22m n m n +=-也可得0m n ⋅=，再根据充分条件和必要条件的定义来判断即可. 【详解】因为m n ⊥，所以0m n ⋅=， 因为22m n m n +=-， 两边平方可得：22222424m m n n m m n n ++=-+ 即0m n ⋅=，由充分条件和必要条件可判断出m n ⊥是22m n m n +=-的充分必要条件故选：C二、填空题10.已知单位向量a ，b 满足||3a b +=，则a 与b 的夹角是_________.【答案及解析】：3π 【分析】 将+3a b =两边平方，代值计算即可.【详解】设a 与b 的夹角是θ，由题意+3a b =两边平方后，得：22+23a b a b +⋅=， 因为a ，b 为单位向量，11+2cos 3θ∴+=，1cos 2θ∴=. 0θπ≤≤，3πθ∴=. 故答案为：3π. 11.若向量()1,2a =，()2,1b =，则a b +与a b -的夹角等于______.【答案及解析】：2π 【分析】求出a b +与a b -的坐标，由两垂直向量的数量积关系即可判断. 【详解】()3,3a b +=，()1,1a b -=-， ()()=0+⋅-a b a b ，∴()()a b a b +⊥-，a b +与a b -的夹角等于2π. 故答案为：2π 12. 向量()1,0a =，()21,b m =，若()a ma b ⊥-，则m =_________.【答案及解析】：1【分析】利用向量垂直的表示列方程，解方程求得m 的值.【详解】因为()21,ma b m m-=--，且()0a ma b ⋅-=，故10m -=，解得1m =. 故答案为：113.已知单位向量1e ，2e 的夹角是23π，向量123a e e λ=+，若2a e ⊥，则实数λ=________. 【答案及解析】：32【分析】根据题设知122(3)0e e e λ+⋅=，又单位向量1e ，2e 的夹角是23π，即可得方程求λ值 【详解】由向量123a e e λ=+，2a e ⊥，知：122(3)0e e e λ+⋅=∴212230e e e λ⋅+=，而单位向量1e ，2e 的夹角是23π ∴23cos 03πλ⨯+=，解得32λ= 故答案为：32三、解答题14.已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，27a b -=. （1）求a b ⋅；（2）若()()a b a b λ+⊥-，求λ 【答案及解析】：（1）32；（2）521【分析】（1）对27a b -=进行平方，然后利用平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）由27a b -=得22447a a b b -⋅+=，已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =， 所以化简得；2230b b --=；解得3b =或1b =-（舍去）∵3b =；13cos 13322a b a b π∴⋅=⋅⋅=⨯⨯= （2）由()()0a b a b λ+⋅-=得2235(1)01(1)90221a a b b λλλλλ+-⋅-=⇒+-⋅-=⇒=15.已知平面向量()3sin ,2sin m x x ωω=，()2cos ,sin n x x ωω=，0>ω，函数()f x m n =⋅图象的两条相邻的对称轴之间的距离是2π． （Ⅰ）求函数f (x )的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f (x )在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．【答案及解析】：（Ⅰ）()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）最小值为1-1+. 【分析】（Ⅰ）利用向量数量积的坐标运算、二倍角公式、辅助角公式化简()f x 表达式，结合()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离求得ω，利用整体代入法求得()f x 的单调减区间. （Ⅱ）利用三角函数最值的求法，求得函数()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值． 【详解】（Ⅰ）()223sin cos 2sin f x m n x x x ωωω=⋅=+2cos 212sin 216x x x πωωω⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭. 由于()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，即22T T ππ=⇒=， 由于0>ω，所以212T ππωω==⇒=. 所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由3222262k x k πππππ+≤-≤+， 解得536k x k ππππ+≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以2263x πππ-≤-≤，所以1sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭22sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭12sin 2116x π⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭.所以()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-1.B 组 能力提升一、选择题1.非零向量,m n 满足：()0,m m m n m n ⋅--==，则m n -与n 夹角的大小为（ ） A. 34π B. 23π C. 3π D. 4π 【答案及解析】：.A【分析】由()0m m n ⋅-=得向量垂直，m n m -=，作图表示向量m n -和m ，由向量减法法则得n ，从而可得夹角．【详解】因为()0m m n ⋅-=，所以()m m n ⊥-，如图,OA m OB m n ==-，则()BA m m n =--，又m n m -=，所以4OBA π∠=，所以m n -与n 夹角，即,OB BA 的夹角为34π． 故选：A ．【点睛】本题考查求向量的夹角，考查向量垂直与数量积的关系，本题采取几何作图法得出向量的夹角，方法简便．2.已知向量(b →=，向量a →在b →方向上的投影为-4，若a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则实数λ的值为（ ） A. 3B.12C.13D.23【答案及解析】：B 【分析】由(b →=，根据向量模的方法求得b →，再根据a →在b →方向上的投影为-4，求得4a b b →→→=-，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数λ的值.【详解】解：由题可知(b →=，则2b →==，∵a →在b →方向上的投影为4-，∴4a bb→→→⋅=- ，则4a b b →→→⋅=- ，又a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，∴0a b b λ→→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即20a b b λ→→→⋅+= ，即240bb λ→→-+=，则840λ-+=，解得：12λ=.故选：B.3.已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为56π，则a b -=（ ）A. 2B.C.D. 1【答案及解析】：B 【分析】求出a 、b ，利用平面向量数量积的运算性质求出2a b -的值，即可得解.【详解】()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，则2cos 1a θ==，同理3b =，()222222522cos 1213376a b a ba ab b a a b b π⎛-=-=-⋅+=-⋅+=-⨯⨯+= ⎝⎭，因此，7a b -=.故选：B.4.如图所示，在OAB ∆中，设P 为OAB ∆的外心，向量OA a →→=，OB b →→=，OP p →→=，若4a →=，2b →=，则p a b →→→⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭等于（ ）A. 6B. 5C. 3D. 1【答案及解析】：A【分析】取AB 中点C ，根据平面向量线性运算将所求数量积化为12a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据数量积的运算律可求得结果.【详解】取AB 中点C ，连接,CP OC ，P 为OAB ∆的外心，CP ∴为AB 的垂直平分线，p a b OP BA OC CP BA OC BA CP BA →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫∴⋅-=⋅=+⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CP AB ⊥，0CP BA →→∴⋅=，又12OC a b →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，BA a b →→→=-，()221111646222p a b a b a b a b →→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅-=+-=-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A .5.已知a 、b 、c 是在同一平面内的单位向量，若a 与b 的夹角为60°，则()()2a b a c -⋅-的最大值是（ ）A.12B. －2C.D.52【答案及解析】：D 【分析】计算出a b -的值，设向量a b -与c 的夹角为θ，利用平面向量数量积运算律和定义可求得()()2a b a c -⋅-的最大值.【详解】单位向量a 与b 的夹角为60，则1cos 602a b a b ⋅=⋅=， 2221212112a b a a b b -=-⋅+=-⨯+=，则1a b -=，所以，()()()211152212cos 2cos 22222a b a c a a b a b c a b c θθ-⋅-=-⋅--⋅=---⋅=-≤+=.故选：D.二、填空题6.如图，在平面四边形ABCD 中，2CAD π∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，则AE AF ⋅=______．【答案及解析】：6【分析】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系xAy ，计算出AE 、AF 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出AE AF ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,1F -、(3,E -，()2,1AF ∴=-，(3,AE =-，因此，()()(2316AE AF ⋅=-⨯-+⨯=-故答案为：6-【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.7.在△ABC 中，若120BAC ∠=︒，2BA =，3BC =，1132BM BC BA =+，则MA MC ⋅=______.【答案及解析】【分析】利用余弦定理可求得1AC =,建立平面直角坐标系,根据1132BM BC BA =+求出M的坐标,进而求得MA MC ⋅即可.【详解】由余弦定理可得2222cos120BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒,即2250AC AC +-=,因为0AC >,故解得1AC =.过B 作BO 垂直AC 的延长线于O ,再以O 为坐标原点,OC 为x 轴, OB 为y 轴建立平面直角坐标系.则)0C,(B ,1,0A .设(),M x y ,因为1132BM BC BA =+,故((11,1,32x y =+,故13232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩,解得1326x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即1326,M ⎛ ⎝+⎭.故1114122431,2MA MC -⎛-⋅=⋅= ⎝-+⎭⎝=⎭8.在锐角△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =，AC AF λ=，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=，1ED =，则实数λ的值为_______． 【答案及解析】：3 【分析】将EF 表示为11133EF BC AC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由题意得知ED 与AC 不垂直，由3ED EF ⋅=可得出1103λ-=，进而可求得实数λ的值. 【详解】如下图所示：3AB AD =，AC AF λ=，13AD AB ∴=，1AF AC λ=， ()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，ABC 是锐角三角形，则ED 与AC 不垂直，即0ED AC ⋅≠，1ED =，6ED BC ⋅=，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED ACλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅=⎪⎝⎭， 0ED AC ⋅≠，1103λ∴-=，因此，3λ=. 故答案为：3.9.已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =,若点P 是△ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅的最大值等于________.【答案及解析】：13 【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化PB PC ⋅为1174t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求得它的最大值.【详解】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ,1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()0,C t ,4AB AC AP ABAC=+()1,4P ∴,11,4PB t ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--11PB PC t ⎛⎫∴⋅=-- ⎪⎝⎭()144174t t t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭1713≤-=,当且仅当14t t =，即12t =时，取等号 PB PC ∴⋅的最大值为13,故答案为：13.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.三、解答题10.已知向量33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x xb =-（x k π≠，k ∈Z ），令()f x =2()a b a bλ+⋅（R λ∈）.（1）化简2()()a b f x a bλ+=⋅，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集；（2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素f (x )与集合P 的关系，说明理由.【答案及解析】：（1）()212sin sin xf x xλλ+-=-，26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z ；（2）12λ=时，()f x P ∈，12λ≠时，()f x P ∉ 【分析】（1）直接将向量33(cos ,sin )22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-代入()f x =2()a b a bλ+⋅中化简，可求出()f x 的解析式，再解方程()2f x =-即可；（2）由()()2f x f x +-=化简变形可得结果.【详解】解：（1）因为33(cos ,sin)22a x x =，(sin ,cos )22x x b =-， 所以()f x =22233(cos sin )(sin cos )()222233cos sin sin cos 2222x xx x a b x x a b x x λλλ++-+=⋅- 212sin sin()xx λλ+-=-212sin sin xxλλ+-=-，当1λ=时，22sin ()sin xf x x-=-，由()2f x =-得，1sin 2x =解得26x k ππ=+或526x k ππ=+，k ∈Z 所以方程的解集为26x x k ππ⎧=+⎨⎩或52,6x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭（2）当()()2f x f x +-=时，2212sin 12sin()2sin sin()xx xx λλλλ+-+--+=---，化简得， 2212sin 12sin 2sin x x x λλλλ--++++=解得12λ=， 所以当12λ=时，()f x P ∈，当12λ≠时，()f x P ∉ 【点睛】此题考查向量的数量积和向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中档题.C 组 挑战压轴题一、选择题1.设a ，b ，c 为非零不共线向量，若()()1a tc t b a c t R -+-≥-∈则（ ） A. ()()a b a c +⊥-B. ()()a b b c +⊥+C. ()()b c a b -⊥+ D. ()()a cbc -⊥+【答案及解析】：D 【分析】()()()()11a tc t b a c t c b a c -+-=-+-+≥-，化简得到()()204c b a c ⎡⎤+∆-⎦=⋅≤⎣，故()()0c b a c +⋅-=，得到答案.【详解】()()()()11a tc t b a c t c b a c -+-=-+-+≥-，故()()()221a c t c ba c -+-+≥-，化简整理得到：()()()()()221210t c b t c b a c -++-+⋅-≥，即()()()()()()()()2222220c btc b c b a c t c b c b a c +-+++⋅-++++⋅-≥，()()204c b a c ⎡⎤+∆-⎦=⋅≤⎣，故()()0c b a c +⋅-=，故()()a cbc -⊥+.故选：D.2.已知△ABC 中，4AB =，AC =8BC =，动点P 自点C 出发沿线段CB 运动，到达点B 时停止，动点Q 自点B 出发沿线段BC 运动，到达点C 时停止，且动点Q 的速度是动点P 的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中AP AQ ⋅的最大值是（ ）A.72B. 4C.492D. 23【答案及解析】：C 【分析】由题意2BQ CP =-，,60,30AB AC ABC ACB ⊥∠=∠=，故()()AC CP AP AQ AB BQ =+⋅⋅+，展开可得关于CP 的一元二次函数，配方，即可求得AP AQ ⋅的最大值.【详解】△ABC 中，4AB =，AC =8BC =，222,,60,30AB AC BC AB AC ABC ACB ∴+=∴⊥∠=∠=.由题意2BQ CP =-，()()AC CP AB BQ AC AB AC BQ CP AB CP Q A B AP Q ∴=+⋅+=⋅++⋅⋅⋅+⋅ 02cos30cos602cos180AC CP CP AB CP CP =+-++-23124222CP CP CP =⨯+⨯⨯- 22749214222CP CP CP ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,∴当72CP =时， AP AQ ⋅取得最大值，最大值为492. 故选：C.二、填空题3.已知平面向量,,a b e 满足||1e =，1a e ⋅=，1b e ⋅=-，||4a b -=，则a b ⋅的最小值为_____【答案及解析】：－4 【分析】 设(1,0)e =，11(,)ax y ，22(,)b x y =，由1a e ⋅=，1b e ⋅=-可求12,x x ，再代入||4a b -=，可得12y y =±21221(4a b y y y ⋅=-+=-，从而可求出最小值.【详解】设(1,0)e =，11(,)a x y ，22(,)b x y =，由1a e ⋅=，1b e ⋅=-得：1211x x =⎧⎨=-⎩， 又||4a b -=，则22216a a b b -⋅+=，解得：12y y =±221222211(4a b y y y y ⋅=-+=-+±=-，故a b ⋅的最小值为-4. 故答案为：-4.4.已知平面向量a 、b 、c 满足21b a ==、2c =，()()440c a c b -⋅-=，则2a b-的取值范围是______.【答案及解析】：,22⎣⎦【分析】可根据()()440c a c b -⋅-=得出()182a b c a b +⋅=+，然后根据()22c a b c a b+≤⋅+解得3388a b -≤⋅≤，最后通过2224a b a b -=-⋅即可得出结果. 【详解】22224424a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅，因为()()440c a c b -⋅-=，所以()24160c c a b a b -++⋅=，()182a b c a b +⋅=+，因为()2222222c a b c a b a a b b +≤⋅+=⋅+⋅+，所以5182224a b a b +⋅≤⋅+⋅，解得3388a b -≤⋅≤，所以217224,22a b a b ⎡⎤-=-⋅∈⎢⎥⎣⎦，解得14222a b ≤-≤，所以2a b -的取值范围是⎣⎦.故答案为：,22⎣⎦5. △ABC 是等腰直角三角形，90A ∠=︒，BC =D 满足DA AC =，点E 是BD所在直线上一点.如果CE xCA yCB =+，则2x y +=__________；CA 在CE 上的投影的取值范围是__________.【答案及解析】：2 ;⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】首先由条件确定出点D 的位置，然后由,,B D E 三点共线可得22x y +=，根据条件分别计算出CA CE x y ⋅=+和2||CE x =||CA CECE ⋅=，然后消元变形、分类讨论可求出其范围.【详解】由CA DA =知，D 在边CA 的延长线上，且A 为CD 的中点，因为点E 是BD 所在直线上一点，且2xCE xCA yCB CD yCB =+=⋅+， 所以12xy +=即22x y +=. 因为2CA CE xCA yCA CB ⋅=+⋅，由题意||1,1CA CA CB =⋅=，所以CA CE x y ⋅=+， 由22||CE xCA yCB =+得2||CE x =所以||CA CECE⋅=.令m=，由于22x y +=，所m =，令1t y =-，则1y t =-且m =当0t =时，0m =；当0t >时，y =2≥， 当且仅当2t =时等式成立，可得01m <≤.当0t <时，m =1>，所以可得0m << 综上可得，]m ⎛∈ ⎝故答案为：2，,12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦6.在面积为1的平行四边形ABCD 中，6DAB π∠=，则AB BC ⋅=___________；点P 是直线AD 上的动点，则22PB PC PB PC +-⋅的最小值为___________.【答案及解析】 【分析】由平行四边形的面积为1可得2AB AD ⋅=，根据向量数量积的定义即可得出AB BC ⋅的值；由于222PB PC PB PC BC PB PC +-⋅=+⋅，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，()()2214PB PC PB PC PB PC ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦，再利用基本不等式的性质即可得出结果.【详解】∵平行四边形ABCD 的面积为1，即sin 1AB AD DAB ⋅∠=， ∴2AB AD ⋅=，故cos 22AB BC AB BC DAB ⋅=⋅∠=⨯= ()2222PB PC PB PC PC PB PB PC BC PB PC +-⋅=-+⋅=+⋅，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，()()2214PB PC PB PCPB PC ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦， ∴()()2222221344PB PCP BC PB PC BC BC P P Q B C ⎡⎤+--=⎢⎥⎣+⋅++⎦=223334ABCD S BC PQ BC PQ ≥=⋅≥=⋅四边形，此时PQ BC ⊥，32PQ BC =，。
平面向量数量积的坐标表示教学设计
5．6平面向量的数量积及运算律一、内容及其解析1、内容：平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式及用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。
2、解析：平面向量的数量积是两向量之间的一种运算，前面我们已经做了充分研究，这次课通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式后，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算, 这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。
本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。
由于向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。
把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。
所以向量的数量积的坐标表示为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。
二、目标及解析1、目标1）、掌握平面向量数量积的坐标表示2）、了解用平面向量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题3）、掌握向量垂直的条件2、解析：1）、通过建立直角坐标系，用坐标表示出平面向量的数量积；2）、引入数量积的坐标表示后,可以用坐标将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从而解决有关这些方面的几何问题.3）、两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
(注意: 垂直的坐标表示x1x2+ y1y2 =0 , 共线的坐标表示x1y2－x2y1=0) 三、教学问题诊断本节课是在学生充分理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，并已经掌握了向量的数量积的概念和运算律的基础上进行学习的，应该说，从知识的接受上学生并不困难，也能理解各个公式的坐标表示。
本节课的重点是掌握平面向量数量积的坐标表示，并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题，难点是向量垂直的条件的理解与掌握，解决问题的关键是在掌握向量数量积概念的基础上，通过建立直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标的运算，即数之间的运算。
《平面向量数量积的坐标表示》教案(1)
平面向量数量积的坐标表示教学目标：掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.教学过程：Ⅰ.课题引入上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 和b 的坐标表示a ·b 呢?这是我们这一节将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：记a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 1j 2＝x 1x 2＋y 1y 21.平面向量数量积的坐标表示：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 22.两向量垂直的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0［例1］已知a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)，则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝(1， 3 )，b ＝( 3 ＋1， 3 －1)有a ·b ＝ 3 ＋1＋ 3 ( 3 －1)＝4，｜a ｜＝2，｜b ｜＝2 2 .记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜ ＝22又∵0≤θ≤π， ∴θ＝π4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.［例2］已知a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，求x ，y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且｜x a ＋y b ｜＝1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，有x a ＋y b ＝(3x ＋4y ，4x ＋3y )又(x a ＋y b )⊥a ⇔(x a ＋y b )·a ＝0⇔3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0即25x ＋24y ＝0 ①又｜x a ＋y b ｜＝1⇔｜x a ＋y b ｜2＝1⇔(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1整理得：25x 2＋48xy ＋25y 2＝1即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1②由①②有24xy ＋25y 2＝1 ③将①变形代入③可得：y ＝±57再代入①得：x ＝2435∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=753524y x［例3］在△ABC 中，AB →＝(1，1)，AC →＝(2，k )，若△ABC 中有一个角为直角，求实数k的值.解：若A ＝90°，则AB →·AC →＝0，∴1×2＋1×k ＝0，即k ＝－2若B ＝90°，则AB →·BC →＝0，又BC →＝AC →－AB →＝(2，k )－(1，1)＝(1，k －1)即得：1＋(k －1)＝0，∴k ＝0若C ＝90°，则AC →·BC →＝0，即2＋k (k －1)＝0，而k 2－k ＋2＝0无实根，所以不存在实数k 使C ＝90°综上所述，k ＝－2或k ＝0时，△ABC 内有一内角是直角.评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.［例4］已知：O 为原点，A (a ，0)，B (0，a )，a 为正常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB → (0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值是多少?解：设P (x ，y )，则AP →＝(x －a ，y )，AB →＝(－a ，a )，由AP →＝tAB →可有： ⎩⎨⎧=-=-at y at a x ，解得⎩⎨⎧=-=at y at a x ∴OP →＝(a －at ，at )，又OA →＝(a ，0)，∴OA →·OP →＝a 2－a 2t∵a ＞0，可得－a 2＜0，又0≤t ≤1，∴当t ＝0时，OA ·OP →＝a 2－a 2t ，有最大值a 2.［例5］已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝2，a ，b 夹角为60°，m 为何值时两向量3a ＋5b 与m a －3b 互相垂直？解法：(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m ｜a ｜2－9a ·b ＋5m a ·b －15｜b ｜2＝27m ＋(5m －9)×3×2cos60°－15×4＝42m －87＝0∴m ＝8742 ＝2914时，(3a ＋5b )⊥(m a －3b ). Ⅲ.课堂练习课本P 82练习1～8.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. Ⅴ.课后作业课本P 83习题 6，8，9，10平面向量数量积的坐标表示1．在已知a ＝(x ，y ），b ＝(－y ，x )，则a ，b 之间的关系为 （ ）A.平行B.不平行不垂直C.a ⊥bD.以上均不对2．已知a ＝（－4，3），b ＝(5，6），则3|a |2－4a ·b 为 （ ）A.63B.83C.23D.573．若a ＝（－3，4），b ＝(2，－1），若（a －x b )⊥（a －b )，则x 等于 （ ）A.－23B. 72C.－73D.－744．若a ＝（λ，2），b ＝(－3，5），a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）A.（103 ，+∞）B.［103 ，+∞）C.（－∞，103） D.（－∞，103 ］ 5．已知a ＝（－2，1），b ＝（－2，－3），则a 在b 方向上的投影为 （ ） A.－1313 B. 1313 C.0 D.16．已知向量c 与向量a ＝（ 3 ，－1）和b ＝（1， 3 ）的夹角相等，c 的模为 2 ，则 c ＝ .7．若a ＝（3，4），b ＝(1，2）且a ·b ＝10，则b 在a 上的投影为 .8．设a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x `2，y `2)有以下命题：①|a |＝x 12＋y 12 ②b 2＝x 22＋y 22③a ·b ＝x 1x `2＋y 1y `2 ④a ⊥b x 1x `2＋y 1y `2＝0，其中假命题的序号为 .9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4）， （1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.平面向量数量积的坐标表示答案1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．(3＋12，3－12)或(－3＋12，1－32) 7．2 8．② 9．已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4），（1）求证：AB →⊥AD → ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.（1）证明：∵AB →＝（1，1），AD →＝（－3，3）∴AB →·AD →＝1×3＋1×(－3)＝0， ∴AB →⊥AD →.（2）解：∵A BC D 为矩形，设C （x ，y ），∴AB →＝DC →，（1，1）＝（x +1，y －4)∴x ＝0，y ＝5，∴C （0，5）.10．已知a ＝（3，－2），b ＝(k ，k ）（k ∈R)，t ＝|a －b |，当k 取何值时，t 有最小值？最小值为多少？解：∵a －b ＝(3－k ，－2－k )∴t ＝|a －b |＝（3－k ）2＋（－2－k ）2＝2k 2－2k ＋13 ＝2（k －12 ）2＋252∴当k ＝12 时，t 取最小值，最小值为522. 11．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.解：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2),∴|a |＝|b |＝1，∴x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1 ① 3a －2b ＝3(x 1，y 1)－2(x 2，y 2)＝(3x 1－2x 2，3y 1－2y 2),又|3a －2b |＝3,∴(3x 1－2x 2)2＋(3y 1－2y 2)2＝9,将①代入化简，得x 1x 2＋y 1y 2＝13 ②又3a ＋b ＝3(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(3x 1＋x 2，3y 1＋y 2),∴|3a ＋b |2＝(3x 1＋x 2)2＋(3y 1＋y 2)2＝9(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＋6(x 1x 2＋y 1y 2)＝12, 故|3a ＋b |＝2 3 .。
平面向量数量积的坐标表示说课稿通用二篇
平面向量数量积的坐标表示说课稿通用二篇平面向量数量积的坐标表示说课稿 1一、教材分析1.本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的__。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
2学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。
因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。
我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
教学重点平面向量数量积的坐标表示及应用教学难点探究发现公式二、教学方法和__1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生__思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。
在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。
《平面向量数量积的坐标表示》课件2
3、 cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
4、 a // b x1y2 x2 y1 0 5、 a b x1 x2 y1 y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0, 20 a 0, 3a b a c b c,
4 a b a b , 其中正确的个数为:
A. 4个 B.3个 C. 2个
D
D.1个
2. 已知a, b均为单位向量下列结论正确的是 , :
B
D.a b 0
证明：
AB (2 1,3 2) (1,1)
BC (2 2,5 3) (4,2)
AC (2 1,5 2) (3,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
∴ ＡＢ⊥ＡＣ 又∵ ︱ＡＢ︱ ≠ ︱ＡＣ︱
∴△ABC是直角三角形
练习: 书P107，1，2， 书P108习题2.4A第5题（１）
x2 y2 .
2 2
如何计算？
2）、若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则向量AB的 模
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
这就是A、B两点间的距离公式.
探索3： 你能写出向量夹角公式的坐标表示式
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)
其中假命题序号是:
(2)
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是
A．-1 B.0 C.1 D.2