八年级数学上册19微专题“手拉手”模型问题_共顶点的等腰三角形安徽热点习题讲评课件新版沪科版
2024年人教版八年级上册数学阶段拔尖专训11 “手拉手”(共顶点)模型的等腰三角形
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双等腰三角形构成的手拉手模型
【高分秘籍】
【条件】△ ABC ，△ ADE 均为等腰三角形，且∠ BAC ＝
∠ DAE .
【结论】△ ABD ≌△ ACE ，∠ BAC ＝∠ BFC .
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2. [荣德原创]如图，在△ ABC 和△ AEF 中， AB ＝ AC ， AE
∵△ CMN 是等腰直角三角形，
∴∠ CNM ＝45°.又∵ CF ⊥ CN ，∠ ACB ＝90°，
∴∠ FCN ＝90°＝∠ CNF ，∠ ACF ＝∠ BCN ，∴ CF ＝ CN . 又∵ AC ＝
BC ，∴△ ACF ≌△ BCN (SAS).∴ AF ＝ BN . ∵ CF ＝
CN ， CM ⊥ MN ，∴ MF ＝ MN ＝ CM . ∴ AM ＝ AF
＋ FM ＝ BN ＋ CM .
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②【解】∵ AM ＝4， BN ＝1， BN ＋ CM ＝ AM ，
∴ CM ＝ AM － BN ＝3.又∵ CM ＝ MN ，∴ MN ＝3.
∴ AN ＝ AM ＋ MN ＝7.
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(2)过点 A 作 AH ⊥ BD 于点 H ，求证： BH ＋ CD ＝ HD .
【证明】如图，连接 AD ，过点 A
作 AJ ⊥ DE 于点 J . ∵△ ABF ≌
△ ACE ，∴ S△ ABF ＝ S△ ACE ， BF ＝
CE . ∵ AH ⊥ BF ， AJ ⊥ EC ，
手拉手模型(压轴题专项讲练)(人教版)(解析版)—2024-2025学年八年级数学上册(苏科版)
手拉手模型（压轴题专项讲练）【典例1】（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，分别连接BD，CE．求证：BD=CE；（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．（3）问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，若AE=7，BE=2，请直接写出四边形ABEC的面积．本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键．（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答．（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得△BAD≌△CAE(SAS)，利用全等的性质可得BD=CE，∠ACE=∠ABC，又因为△ABC是等腰直角三角形，可得∠ABC=∠ACB=∠ACE=45°，从而可知∠BCE=90°，即BD⊥CE．（3）由△DCE是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，可证得CM=12DE=12(AE―AD)，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得△ACD≌△BCE，从而得AD=BE，即可求出CM的长，最后求出四边形ABEC的面积．（1）证明：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC―∠CAD=∠DAE―∠CAD即∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE．（2）BD与CE的数量关系是BD=CE，位置关系是BD⊥CE．理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，∵△ABC是等腰三角形且∠BAC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE．（3）解：由（1）的方法得，△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME，∵∠DCE=90°，∴DM =ME =CM ，∴ CM =12DE =12(AE ―AD)=12(AE ―BE)=12×(7―2)=2.5．∵∠ACB =90°，∴∠CAD +∠EAB +∠CBA =90°，∴∠CBE +∠EAB +∠CBA =90°，∴∠AEB =90°，即四边形ABEC 的面积=S △ACE +S △AEB =12AE·CM +12AE·BE =12×7×2.5+12×7×2=634．1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在△BCD 中，∠BCD <120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，连结AD 、BE 和CF 交千点P ，则以下结论中①AD =BE =CF ；②∠BEC =∠ADC ；③∠DPE =∠EPC =∠CPA =60°；④PB +PC +PD =BE ．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】证明△ABD≌△CBF (SAS)，△ACD≌△BCE (SAS)，可得∠BAD =∠BCF ，∠CAD =∠CBE ，进一步可判断①②，证明∠APC =60°，求出∠BPC =120°，进一步可判断③，在PA 上截取PG =PB ，连接BG ，证明∠BGA =∠BPC =120°，再证△BAG≌△BCP (AAS)，可得PC =GA ，进而可得PA =PB +PC ，进一步可判断④．【解题过程】解：∵△ABC ，△BDF是等边三角形，∴BA=BC，BD=BF，∠ABC=∠DBF=60°，∴∠ABD=∠CBF，∴△ABD≌△CBF(SAS)，∴∠BAD=∠BCF，AD=CF，同理可得△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，∠BEC=∠ADC，∴AD=BE=CF，故①②符合题意；∵∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAD+∠CBE=60°，∵∠ABC=60°，∴∠BAD+∠ABC+∠CBE=∠BAD+∠ABE=120°，∴∠BPA=60°=∠DPE，同理可得∠APC=60°，∴∠BPC=120°，∠EPC=60°，∴∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°，故③符合题意；如图，在PA上截取PG=PB，连接BG，∴△BPG是等边三角形，∴∠BGP=60°，∴∠BGA=120°，∴∠BGA=∠BPC，又∵∠BAG=∠BCP，AB=CB，∴△BAG≌△BCP(AAS)，∴PC=GA，∴PA =PG +GA =PB +PC ，∵AD =BE ，∴PB +PC +PD =PA +PD =AD =BE ；故④符合题意；故选D2．（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的△ABC 和△AED ，其中∠BAC =∠EAD =90°，点B 、C 、E 依次在同一条直线上，连结CD ．若BC =4，CE =2，则△DCE 的面积是 ．【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据SAS 证明△ACD≌△ABE ，由全等三角形的性质得出∠ACD =∠B ，CD =BE ，则可得出答案．【解题过程】解：∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAC +∠CAE =∠EAD +∠CAE ，即∠BAE =∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，AB =AC ∠BAE =∠CAD AD =AE，∴△ACD≌△ABE (SAS)，∴∠ACD =∠B ，CD =BE ，∵∠B =45°，∴∠ACD =45°，∴∠BCD =∠ACB +∠ACD =90°，∵BC =4，CE =2，∴BE =6，∴CD =6，∴S △DCE =12CE ⋅DC =12×2×6=6，故答案为：6．3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知：如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，AD 与BE 相交于点P ，AC 与BE 相交于点M ，AD 与CE 相交于点 ，连接MN ，PC ，则下列四个结论：①∠BMC =∠BMA ；②∠APB =60°；③AN =BM ；④PC 平分∠BPD ．其中，正确的是 （只填写序号）【思路点拨】当M 是AC 的中点或者BM 平分∠ABC 时，∠BMC =∠BMA ，故①错误；根据等边三角形的性质得CA =CB,CD =CE ，∠ACB =60°，∠DCE =60°，则∠ACE =60°，可得△ACD≌△BCE (SAS)，故∠CAD =∠CBE ，再判断△ACN≌△BCM (ASA)，所以AN =BM ；可以判断③正确，根据三角形内角和定理可得∠CAD +∠CDA =60°，而∠CAD =∠CBE ，则∠CBE +∠CDA =60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BPD =120°，故∠APB =②正确；作CH ⊥BE 于H ，CQ ⊥AD 于Q ，由△ACD≌△BCE 得到∠CAD =∠CBE ，即可证明△AQC≌△BHC (AAS)，故CQ =CH ，根据角平分线的判定定理即可得到PC 平分∠BPD ，进而可以判断④正确．【解题过程】证明：∵△ABC 是等边三角形，∴当M 是AC 的中点或者BM 平分∠ABC 时，∴∠BMC =∠BMA ，但题中M 的位置不确定，∴∠BMC 和∠BMA 不一定相等，故①错误；∵△ABC 和△DEC 都是等边三角形，∴CA =CB,CD =CE ，∠ACB =60°，∠DCE =60°，∴∠ACE =60°，∴∠ACD =∠BCE =120°，在△ADC 和△BCE 中，CA =CB ∠ACD =∠BCE CD =CE∴△ACD≌△BCE (SAS)，∴∠CAD =∠CBE ，在△ACN 和△BCM 中，∠ACN =∠BCM CA =CB ∠CAN =∠CBM，∴△ACN≌△BCM (ASA)，∴AN =BM ，故③正确；∵∠CAD +∠CDA =60°，而∠CAD =∠CBE ，∴∠CBE +∠CDA =60°，∴∠BPD =120°，∴∠APB =60°，故②正确；作CH ⊥BE 于H ，CQ ⊥AD 于Q∵△ACD≌△BCE ，∴AC =BC ，∠CAD =∠CBE又∵∠BHC =∠AQC =90°∴△AQC≌△BHC (AAS)∴CQ =CH ，又∵∠CHP =∠CQP =90°，∴CP平分∠BPD，故④正确．综上所述：正确的是②③④．故答案为：②③④．4．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F．（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为______，线段AE与BD的数量关系为______．（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α(0°≤α≤360°)时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．（3）若AC=4，CD=3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围．【思路点拨】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键．（1）利用等边三角形的性质证明△ACE≌△BCD，结合三角形的外角就可以得出结论；（2）同（1）中方法证明△ACE≌△BCD，得出AE=BD，∠2=∠3，再根据三角形的内角和得出∠AFB=60°；（3）当B、C、D三点共线时得出BD的最大和最小值，即可得出结论．【解题过程】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE=CD，∠DCE=60°，∴∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE =∠BCD ，在△ACE 和△BCD 中，AC =BC ∠ACE =∠BCD CE =CD∴△ACE≌△BCD ，∴AE =BD ，∠CAE =∠CBD ，∵∠AFB =∠CAE +∠BDC ，且∠ACB =60°∴∠AFB =∠CBD +∠BDC =∠ACB =60°（2）（1）中结论仍成立，∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠ACB =60°，∵△ECD 是等边三角形，∴CE =CD ，∠DCE =60°，∴∠ACB =∠DCE =60°∴∠ACB +∠1=∠DCE +∠1，即∠ACE =∠BCD ，在△ACE 和△BCD 中，AC =BC ∠ACE =∠BCD CE =CD∴△ACE≌△BCD ，∴AE =BD ，∠2=∠3，∵∠AFB +∠3=∠ACB +∠2，且∠ACB =60°，∴∠AFB =60°；（3）∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=4，当旋转α=60°时，B、C、D三点共线，此时BD=BC+CD=7，当旋转α=240°时，B、C、D三点共线，此时BD=BC―CD=1；∴1≤BD≤7．5．（23-24七年级下·四川成都·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：__________，∠BDC=；（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；（3）拓展应用：在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，将△AEF 绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时∠AFC的度数．【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）设AC交BD于点G，由∠BAC=∠EAF=30°可得∠BAE=∠CAF=30°+∠CAE，而AB=AC、AE=AF，即可根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，所以BE=CF，∠ABE=∠ACF，则∠BDC=∠AGD―∠ACF=∠AGD―∠ABE=∠BAC=30°即可解答；（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF可得BE=CF,∠AEB=∠AFC，然后再根据等腰三角形的性质即可解答；（3）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF可得∠AFC=AEB,AE=AF，再说明∠AEB=135°即可．【解题过程】（1）解：如图1，设AC 交BD 于点G ，∵∠BAC =∠EAF =30°，∴∠BAE =∠CAF =30°+∠CAE ，在△ABE 和△ACF 中，AB =AC ∠BAE =∠CAF AE =AF，∴△ABE≌△ACF (SAS)，∴∠ABE =∠ACF ，BE =CF ，∴∠BDC =∠AGD ―∠ACF =∠ACD ―∠ABE =∠BAC =30°．故答案为：BE =CF ，30．（2）解：BE =CF ，∠BDC =60°，理由如下：∵∠BAC =∠EAF =120°，∴∠BAC ―∠EAC =∠EAF ―∠EAC ，即∠BAE =∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中，AB =AC ∠BAE =∠CAF AE =AF，∴△ABE≌△ACF (SAS)，∴BE =CF ,∠AEB =∠AFC ，∵∠EAF =120°,AE =AF ，∴∠AEF =∠AFE =30°，∴∠BDC =∠BEF ―∠EFD =∠AEB +30°―(∠AFC ―30°)=60°．（3）解：如图3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB=∠EAF=90°，AB=AC，AE=AF，∴∠CAB―∠CAE=∠FAE―∠CAE，即：∠BAE=∠CAF，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴∠AFC=AEB,AE=AF，∵∠EAF=90°，∴∠AEF=45°,∴∠AEB=180°―∠AEF=135°,∴∠AFC=∠AEB=135°．6．（2024·河南·一模）如图，（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．①∠AEC的度数为______；②线段AE、BD之间的数量关系为______；（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．（1）①根据等边三角形的性质可得∠BDC =120°，证明△ECA≌△DCB (SAS)，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答；（2）证明△ECA≌△DCB (SAS)，根据等腰直角三角形的性质可得∠CDB =135°，进而得到∠CEA =∠CDB =135°，∠AEB =∠CEA ―∠CEB ，即可得到∠AEB 的度数；由△DCE 是等腰直角三角形，CM 为△EDC 中DE 边上的高，可得BE =AE +2CM ，即可得到线段CM 、AE 、BM 之间的数量关系；（3）证明△ECA≌△DCB (SAS)，得到∠CEA =∠CDB =108°，推出∠EAC +∠ECA =72°，最后根据∠EAB +∠ECB =∠EAC +∠CAB +∠ECA +∠ACB ，即可求解．【解题过程】（1）解：①∵ △ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴ CE =CD ，CA =CB ，∠ECD =∠ACB =60°，∴ ∠BDC =180°―∠EDC =120°，∴ ∠ECD ―∠ACD =∠ACB ―∠ACD ，即∠ECA =∠DCB ，在△ECA 和△DCB 中，CE =CD ∠ECA =∠DCB CA =CB， ∴ △ECA≌△DCB (SAS)，∴ ∠AEC =∠BDC =120°，故答案为：120°；②∵ △ECA≌△DCB ，∴ AE =BD ，故答案为：AE =BD ；（2）解：∵ △ABC 和△EDC 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，EC =DC,AC =BC,∠ECD =∠ACB =90°,∠CDE =∠CED =45°，∴∠ECD ―∠ACD =∠ACB ―∠ACD ，∴∠ECA =∠DCB ，在△AEC 与△BDC 中，EC =DC ∠ECA =∠DCB AC =BC，∴△AEC≌△BDC(SAS)，∴∠AEC =∠BDC,AE =BD，∵∠CDE=45°，点B、D、E在同一条直线上，∴∠BDC=135°，∴∠AEC=∠BDC=135°，∴∠AEB=∠AEC―∠CEB=135°―45°=90°，∵△EDC都是等腰直角三角形，CM⊥DE，∴CM=EM=MD，∴ED=2CM，∴BE=BD+DE=AE+2CM，∠AEB的度数为90°，线段CM、AE、BE之间的数量关系为：BE=AE+2CM；（3）解：根据（1）（2）中结论可知：△AEC≌△BDC，得∠AEC=∠BDC，∵△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，=72°，∴∠CDE=∠ABC=180°―36°2∴∠AEC=∠BDC=180°―72°=108°，∴∠AEC+∠ABC=108°+72°=180°，∴∠EAB+∠ECB=360°―180°=180°．7．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）问题情境如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：△ABD≌△ACE．（2）迁移应用如图2，△ABC和△ADE都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是AD的中点，N是AC的中点，P在BE上，△MNP是等边三角形，求证：P是BE的中点．（3）拓展创新如图3，P是线段BE的中点，BE=9，在BE的下方作等边△PFH（P，F，H三点按逆时针顺序排列，△PFH的大小和位置可以变化），连接EF，BH．当EF+BH的值最小时，直接写出等边△PFH 边长的最小值．【思路点拨】（1）证出∠BAD=∠CAE，根据SAS证明△ABD≌△ACE；（2）在AE 上取点K ，使得AK =AM ，连接KM ，证明△AMN≌△KMP(SAS)，由全等三角形的性质得出AN =KP ，证出EP =BP ，则可得出结论；（3）作∠EPQ =60°， 使PQ =PE ，连接QE,QB ，证明△EPF≌△QPH(SAS)，由全等三角形的性质得出EF =QH ，则EF +BH =QH +BH ，当点H 在线段QB 上时，EF +BH 的值最小，由直角三角形的性质可得出答案．【解题过程】（1）证明:∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴∠BAC =∠DAE =60°，AB =AC , AD =AE ，∴∠BAC ―∠ACD =∠DAE ―∠ACD ，∴∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)；（2）证明: 在AE 上取点K ，使得AK =AM ，连接KM ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形.∴∠DAE =60°，AD =AE ，AC =AB ，∴△AMK 是等边三角形,∴AM =MK =AK ，∠AMK =60°，∵△MPN 是等边三角形,∴MN =MP ，∠PMN =60°，∴∠PMN =∠KMA ，∴∠PMN ―∠AMP =∠KMA ―∠AMP ，即∠AMN =∠KMP ，在△AMN 和△KMP中AM =KM∠AMN =∠KMP MN =MP，∴△AMN≌△KMP(SAS)，∴AN =KP ，∴AM =AK =AP +AN ，∵M 为AD 的中点, 点N 为AC 的中点,∴AE =AD =2AM ，AB =AC =2AN ，设AP =x ，AN =y ，则AK =x +y ，AB =2y ，∴AE =2AK =2x +2y ，BP =AB +AP =x +2y ，∴EP =AE ―AP =x +2y ，∴ EP =BP ，∴点P 为BE 的中点；（3）作∠EPQ =60°，使PQ =PE ，连接EQ,QB ，∵△PFH 是等边三角形,∴ PF =PH ，∠FPH =60°，∴∠EPF =∠QPH ，∴△EPF≌△QPH (SAS)，∴EF =QH ，∴EF +BH =QH +BH ，当点H 在线段QB 上时，EF +BH 的值最小，此时PH ⊥BQ ，PH 的值最小，∵PQ =PB =PE ，∴∠PBQ =∠PQB =30°，在Rt △PBH 中，PH =12PB =14BE =94，即当EF +BH 的值最小时，△PFH 边长的最小值为 94.8．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】（1）如图1，在△ABC 和△AEF 中，AB =AC ，AE =AF ，∠BAC =∠EAF =30°，连接BE ，CF ，BE 交AC 于点O ，延长BE 交CF 于点D ．①试说明：BE =CF ；②求∠BDC 的度数．【问题探究】（2）如图2，在△ABC 和△AEF 中，AB =AC ，AE =AF ，∠BAC =∠EAF =120°，连接BE ，CF ，延长BE ，FC 交于点D ，请猜想BE 与CF 的数量关系及∠BDC 的度数，并说明理由．【思路点拨】（1）①利用SAS 证明△ABE≌△ACF ，即可得出结论；②由全等三角形的性质以及三角形外角的性质可得出结论；（2）利用SAS 证明△ABE≌△ACF ，由全等三角形的性质即可得出BE =CF ；然后，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可求出∠BDC 的度数．【解题过程】解：（1）①∵∠BAC =∠EAF =30°，∴∠BAC +∠CAE =∠EAF +∠CAE ，即∠BAE =∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中，AB =AC ∠BAE =∠CAF AE =AF，∴△ABE≌△ACF (SAS)，∴BE =CF ；②如图，设AC 与BD 交于点O ，∵△ABE≌△ACF ，∴∠ABE =∠ACF ，∵∠AOE =∠ABE +∠BAC ，∠AOE =∠ACF +∠BDC ，∴∠BDC =∠BAC =30°；（2）BE =CF ，∠BDC =60°，理由如下：∵∠BAC =∠EAF =120°，∴∠BAC ―∠EAC =∠EAF ―∠EAC ，即∠BAE =∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中，AB =AC ∠BAE =∠CAF AE =AF，∴△ABE≌△ACF (SAS)，∴BE =CF ，∠AEB =∠AFC ，∵∠EAF =120°，AE =AF ，∴∠AEF =∠AFE =12(180°―∠EAF )=12×(180°―120°)=30°，∴∠BDC =∠BEF ―∠EFD=(∠AEB +∠AEF )―(∠AFC ―∠AFE )=∠AEB ―∠AFC +∠AEF +∠AFE=∠AEF +∠AFE=30°+30°=60°．9．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）已知，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边在AD的右侧作等腰直角△ADE，∠DAE=90°，AD=AE．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．①如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），请直接写出线段CE与BD之间的数量关系：___________，位置关系：___________；（只写结论，不用证明）②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，写出结论并加以论证；（2）如果AB≠AC，∠BAC<90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD （点C，E重合除外）？请写出条件，并借助图3简述CE⊥BD成立的理由．【思路点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，旋转性质，全等三角形（1）①根据等腰直角三角形性质得到∠B=∠ACB=45°,推出∠BAD=∠CAE，得到△ABD≌△ACE(SAS)，得到CE=BD，∠ACE=∠B=45°，得到∠BCE=90°，CE⊥BD；②根据等腰直角三角形性质得到∠B=∠ACB=45°,推出∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△ACE(SAS)，得到CE=BD，∠ACE=∠B=45°，得到∠BCE=90°，即得CE⊥BD；（2）当∠ACB=45°时，CE⊥BD．过点A作AF⊥AC交CB的延长线于点F，得到△AFC是等腰直角三角形，根据∠DAE=90°，AD=AE，推出∠FAD=∠CAE，得到△FAD≌△CAE(SAS)，得到∠ACE=∠F=45°，得到∠BCE=90°，即得CE⊥BD．【解题过程】（1）①当AB=AC，∠BAC=90°时，∠B=∠ACB=45°，∵∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE=BD，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD；故答案为：CE=BD，CE⊥BD；②CE=BD，CE⊥BD仍然成立，理由：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°,∵∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAD―∠CAD=∠CAE―∠CAD=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE=BD，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD；（2）当∠ACB=45°时，CE⊥BD，理由：如答图，过点A作AF⊥AC交CB F，则∠FAC=90°，∵∠ACB=45°，∴∠F=90°―∠ACB=45°，∴AC=AF，∵∠DAE=90°，AD=AE，∴∠FAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，∴∠FAD=∠CAE，∴△FAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE=∠F=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD．10．（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．（1）【初步把握】如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有△ABD≌；线段BD和CE的数量关系是；（2）【深入研究】如图2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图3，直线l1⊥l2，垂足为点O，l2上有一点M在点O右侧且OM=4，点N是l1上一个动点，连接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，连接OP．请直接写出线段OP的最小值及此时ON的长度．【思路点拨】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．（1）由∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，根据SAS可得△ABD≌△ACE，则可得出结论；（2）由∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE，即可证△ABD≌△ACE(SAS)，有BD=CE，∠ACE=∠ABC，而△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，知∠ABC=∠ACB=45°，故∠ACE=∠ABC=45°，即可得∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，BD⊥CE；（3）证明∠O′MO=45°，当OP有最小，即O′P′最小，即垂线段最短，当O′P′⊥y轴时，O′P′最小，则可得出答案．【解题过程】（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)；故答案为：△ACE；BD=CE；（2）解：BD与CE的数量关系是BD=CE，位置关系是BD⊥CE ∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE；（3）∵△MNP是等腰直角三角形，∴∠MNP=∠NPM=45°，将△OPM绕M点顺时针旋转90°得△O′P′M（N与P′重合），连接OO′，∴△PMO≌△P′MO′，∴MO=MO′，OP=O′P′，∴∠O′MO=45°，当OP有最小，即O′P′最小，当O′P′⊥y轴时，由∠O′OP′=45°，∠O′P′O=90°，∴O′P′=OM=4，ON=OP′=4，∴ON=4，OP最小值为4．11．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△AEC≌△ADB；【尝试应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,B、D、E 三点在一条直线上，AC与BE交于点F，若点F为AC中点，①求∠BEC的大小；②CE=2，求△ACE的面积；【拓展提高】（3）如图3，△ABC与△ADE中，AB=AC,DA=DE,∠BAC=∠ADE=90°,BE与CA 交于点F,DC=DF,△BCF的面积为32，求AF的长．【思路点拨】（1）由SAS证△AEC≌△ADB即可；（2）①同（1）得△AEC≌△ADB (SAS)，得∠AEC =∠ADB =135°，即可得出结论；②过点A 作AG ⊥DE 于点G ，证△AGF≌△CEF (ASA)，得AG =CE =2，GF =EF ，再由等腰直角三角形的性质得DG =EG =AG =2，则GF =EF =1，然后由三角形面积关系即可得出结论；（3）连接CE ，同（2）得△CDE≌△FDA (SAS)，则CE =AF ，∠DCE =∠DFA =135°，得∠ACE =90°，再证△ACE≌△BAF (SAS)，得CE =AF ，S △ACE =S △BAF ，然后证CE∥AB ，得S △ABE =S △ABC =12AC 2，进而由S △ABC +S △ACE ―S △ABE ―S △CEF =S △BCF ，得AC ⋅AF ―AF ⋅CF =64，则AF 2=64，即可得出结论．【解题过程】（1）证明：∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC ―∠BAE =∠DAE ―∠BAE ，即∠CAE =∠BAD ，在△AEC 和△ADB 中，AC =AB ∠CAE =∠BAD AE =AD，∴△AEC≌△ADB (SAS)；（2）解：①∵AD =AE ，∠DAE =90°，∴∠ADE =∠AED =45°，∴∠ADB =180°―∠ADE =180°45°=135°，同（1）得：△AEC≌△ADB (SAS)，∴∠AEC =∠ADB =135°，∴∠BEC =∠AEC ―∠AED =135°―45°=90°；②如图2，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，则∠FGA =90°，由①可知，∠FEC =90°，∴∠FGA =∠FEC，∵点F 为AC 中点，∴AF =CF ，又∵∠AFG =∠CFE ，∴△AGF≌△CEF (AAS)，∴AG =CE =2，GF =EF ，∵AD =AE ，∠DAE =90°，∴DG =EG =AG =2，∴GF =EF =12EG =1，∴S △ACE =2S △CEF =2×12CE ⋅EF =2×1=2；（3）解：如图3，连接CE ，同（2）得：△CDE≌△FDA (SAS)，∴CE =AF ，∠DCE =∠DFA =135°∴∠ACE =∠DCE ―∠ACB =135°―45°=90°，在△ACE 和△BAF 中，AC =AB ∠ACE =∠BAF =90°CE =AF，∴△ACE≌△BAF (SAS)，∴S △ACE =S △BAF ，∵∠ACE =∠BAC ，∴CE∥AB ，∴S △ABE =S △ABC =12AC ⋅AB =12AC 2，∵S △ABC +S △ACE ―S △ABE ―S △CEF =S △BCF ，∴ 1AC 2+1AC ⋅CE ―1AC 2―1CE ⋅CF =32，∴AC⋅AF―AF⋅CF=64，∴AF(AC―CF)=64，∴AF2=64，∴AF=8，负值舍去，即AF的长为8．12．（2023·甘肃张掖·模拟预测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作：（1）观察猜想：如图①，已知△ABC,△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，且不与点B、C重合，连接CE，易证△ABD≌△ACE，进而判断出AB与CE的位置关系是___________（2）类比探究：如图②，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC=60°，试说明点B，D，E在同一直线上；（3）解决问题：如图③，已知点E△ABC的外部，并且与点B位于线段AC的异侧，连接AE、BE、CE．若∠BEC=60°,AE=3,CE=2，请求出BE的长．【思路点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：（1）利用SAS证明△BAD≌△CAE，可求出∠BAC=∠ACE=60°，利用平行线的判定即可得出结论；（2）利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得出∠ADB=∠AEC=120°，进而得出∠ADB+∠ADE=180°，即可得证；（3）在线段BE上取一点H，使得BH=CE，设AC交BE于点O，先利用外角的性质证明∠ABH=∠ACE，再利用SAS证明△ABH≌△ACE，得出∠BAH=∠CAE，AH=AE，则可证明△AEH是等边三角形，得出AE=EH，即可求解．【解题过程】（1）解：AB∥CE，理由如下：∵△ABC 、△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =∠B =60°，∴∠BAC ―∠DAC =∠DAE ―∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD≌△CAE (SAS)，∴∠B =∠ACE =60°，∴∠BAC =∠ACE =60°，∴AB∥CE ；故答案为：AB∥CE ；（2）证明：∵△ABC 、△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =∠ADE =60°，∴∠BAC ―∠DAC =∠DAE ―∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，∵∠AED =60°，∠DEC =60°，∴∠AEC =120°，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD≌△CAE (SAS)，∴∠ADB =∠AEC =120°，∴∠ADB +∠ADE =180°，∴点B ，D ，E 在同一直线上；（3）解：如图③，在线段BE 上取一点H ，使得BH =CE ，设AC 交BE 于点O ，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=60°，∵∠BEC=60°，∴∠BAO=∠OEC=60°，∵∠AOB=∠EOC，∴∠ABH=∠ACE，在△ABH和△ACE中，AB=AC∠ABH=∠ACE，BH=CE∴△ABH≌△ACE(SAS)，∴∠BAH=∠CAE，AH=AE，∴∠HAE=∠BAC=60°，∴△AEH是等边三角形，∴AE=EH，∴BE=BH+EH=EC+AE，即BE=AE+EC，∵AE=3，CE=2，∴BE=3+2=5．13．（23-24八年级上·河北沧州·期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），把线路AD绕着点A逆时针旋转至AD=AE），使得∠DAE=∠BAC，连接DB、CE．（1）如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=__________度．Array（2）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，则∠BCE=__________度．（3）如图3，设∠BAC =α，∠BCE =β，当点D 在线段BC 上移动时，α，β的数量关系是什么？请说明理由．（4）设∠BAC =α，∠BCE =β，当点D 在直线BC 上移动时，请直接写出α，β的数量关系，不用证明．【思路点拨】（1）由“SAS ”可证△BAD≌△CAE ，得∠ABC =∠ACE =45°，可求∠BCE 的度数；（2）由“SAS ”可证△BAD≌△CAE ，得∠ABC =∠ACE =60°，可求∠BCE 的度数；（3）由“SAS ”可证△BAD≌△CAE 得出∠ABD =∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；（4）由“SAS ”可证△BAD≌△CAE 得出∠ABD =∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．【解题过程】（1）解：∵∠BAC =90°，∴∠DAE =∠BAC =90°，∵AB =AC ，AD =AE ，∴∠B =∠ACB =45°，∠ADE =∠AED =45°，∵∠DAE =∠BAC ，∴∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD≌△CAE (SAS)，∴∠ACE =∠B =45°，∴∠BCE =∠ACB +∠ACE =90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC =60°，∴∠DAE =∠BAC =60°，∵AB =AC ，AD =AE，∴∠B=∠ACB=60°，∠ADE=∠AED=60°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，故答案为：120；（3）α+β=180°，理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE=∠B，∴∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB，∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=β，∴∠B+∠ACB=β，∵∠BAC=α，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；（4）如图4，当点D在BC的延长线上时，α+β=180°，证明方法同（3）；如图5，当点D 在CB 的延长线上时，α=β，理由如下：∵∠DAE =∠BAC ，∴∠DAB +∠BAE =∠EAC +∠BAE ，∴∠DAB =∠EAC ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD≌△CAE (SAS)，∴∠ABD =∠ACE ，∵∠ABD =∠BAC +∠ACB ，∠ACE =∠BCE +∠ACB ，∴∠BAC =∠BCE ，∵∠BAC =α，∠BCE =β，∴α=β．综上，α+β=180°或α=β．14．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】（1）如图1，已知△ABC 为等边三角形，点D 为边BC 上一动点（点D 不与点B ，点C 重合）．以AD 为边向右侧作等边△ADE ，连接CE ．求证：△ABD≌△ACE；【类比探究】（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，随着动点D 的运动位置不同，线段EC ，AC ，CD 之间的数量关系为__________，请证明你的结论．【拓展应用】（3）如图3，在等边△ABC 中，AB =5，点P 是边AC 上一定点且AP =2，若点D 为射线BC 上动点，以DP 为边向右侧作等边△DPE ，连接CE ，BE ．请问：PE +BE 是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．【思路点拨】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．（1）由△ABC 和△ADE 是等边三角形，推出AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°，又因为∠BAC =∠DAE ，则∠BAC ―∠DAC =∠DAE ―∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，利用SAS 证明△ABD≌△ACE 即可；（2）证明△ABD≌△ACE (SAS)，得出CE =BD ，结合AC =BC ，则CE =BD =BC +CD =AC +CD ；（3）在射线BC 上截取PC =DM ，连接EM ，易证△EPC≌△EDM ，则EC =EM ，∠CEM =∠PED =60°，得出△CEM 是等边三角形，则∠ECM =60°，即点E 在∠ACD 角平分线上运动，在射线CD 上截取CP ′=CP ，连接EP ′，证明△CEP≌△CEP ′(SAS)，得出PE =P ′E ，推出BE +PE =BE +P ′E ，由三角形三边关系可得，BE +P ′E ≥BP ′，即当点E 与点C 重合时，BE +P ′E =BP ′时，BE +PE 有最小值BP ′．【解题过程】（1）证明：∵ △ABC 和△ADE 是等边三角形，∴ AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°．∵ ∠BAC =∠DAE ，∴ ∠BAC ―∠DAC =∠DAE ―∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ．在△ABD 和△ACE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．（2）解：EC=AC+CD，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴CE=BD，∵AC=BC，∴CE=BD=BC+CD=AC+CD．（3）解：有最小值，在射线BC上截取PC=DM，连接EM，，∵△ABC和△DPE是等边三角形，∴PE=ED，∠DPE=∠ACB=60°，∴∠ACD=180°―∠ACB=120°，∴∠ACD+∠DEP=180°，∵∠PCE+∠CEP+∠EPC=180°，∠ECD+∠CDE+∠CED=180°，∴∠ECD+∠CDE+∠CED+∠PCE+∠CEP+∠EPC=360°，∵∠PCE+∠ECD+∠CEP+∠CED―∠ACD+∠DEP=180°，∴∠EPC+∠CDE=180°，∴∠EPC=∠EDM，在△EPC和△EDM 中，PE=ED∠EPC=∠EDM，PC=DM∴△EPC≌△EDM(SAS)，∴EC=EM，∠PEC=∠DEM，∵∠PEC+∠CED=∠DEP=60°，∴∠CEM=∠DEM+∠CED=60°，∴△CEM是等边三角形，∴∠ECM=60°，∴∠ECD=60°，∠ACE=180°―∠ECD―∠ACB=60°，即点E在∠ACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP′=CP，连接EP′，在△CEP和△CEP′中，PC=P′C，∠PCE=∠P′CECE=CE∴△CEP≌△CEP′(SAS)，∴PE=P′E，∴BE+PE=BE+P′E，由三角形三边关系可得，BE+P′E BP′，即当点E与点C重合时，BE+P′E=BP′时，BE+PE有最小值BP′，∵AP=2，AC=BC=AB=5，∴PC=AC―AP=3，∴BE+PE=BE+P′E=BP′=BE+CP′=BC+CP=5+3=8∴BE+PE的最小值为8．15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）问题发现：学习三角形全等的知识时，小明发现重合两个等腰直角三角形的顶点会产生一对新的全等三角形．如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，以AD为边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，请连接图中标有字母的点，补全图形，直接写出一对全等三角形和∠BCE的度数．问题探究：小明想，如果将上图中的等腰直角三角形换成等边三角形，那么这组全等三角形是否还存在？如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点B，D，E在同一直线．（1）证明：△ABD≌△ACE ．（2）探索线段BE ，AE ，CE 三者间的数量关系，写出结论并说明理由．问题拓展：经过上面的探究，小明联想到几天前一道不会的题，请你帮小明再想一想，是否有新的发现．如图3，边长为a 的等边△ABC 中，D 是AC 中点，BD =b ，E 是线段BD 上一动点，连接AE ，在AE 右侧作等边△AEF ，连接FD ，求△AFD 周长的最小值（用含a ，b 的代数式表示），并直接写出取最小值时∠AFD 的度数．【思路点拨】问题发现：由∠BAC =90°，∠DAE =90°，得到∠BAD =∠CAE ，可证明△ABD≌△ACE ，推出∠ABD =∠ACE ，由Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，可得∠ABC =∠ACB =45°，得到∠ACE =45°，即可求解；问题探究：（1）由△ABC 和△ADE 是等边三角形，得到∠BAC =∠DAE =60°，AB =BC =AC ，AD =AE =DE ，推出∠BAD =∠CAE ，即可证明；（2）由△ABD≌△ACE 可得BD =CE ，推出BE =DE +BD =AE +CE ；问题拓展：证明△ABE≌△ACF ，得到∠ACF =∠ABE ，由于∠ABE 是定值，所以∠ACF 为定值，P 在一条固定的线段上运动，延长CF 至点P ，使得BD =CP ，推出点F 在线段CP 上运动，以直线CP 为对称轴，作点A 的对称点A ′，得到AC =A ′C ，AF =A ′F ，根据三角形的三边关系可得AF +DF =A ′F +FD ≥A ′D ，令A ′D 与CP 交于点F ′，则有AF ′+F ′D =A ′D ，根据全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质推出DA ′=BD ，得到C △AFD =AF +DF +AD ≤AF ′+DF ′+AD =DA ′+AD ，可求出△AFD 周长的最小值；延长AF ′交A ′C 于点D ′，由∠AF ′D =180°―∠ADF ′―∠F ′AD 可求出此时∠AFD 的度数．【解题过程】解：问题发现：∵ ∠BAC =90°，∠DAE =90°，∴ ∠BAC ―∠DAC =∠DAE ―∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°；问题探究：（1）∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=AE=DE，∴∠BAC―∠DAC=∠DAE―∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)；（2）BE=AE+CE，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∵AE=DE，∴BE=DE+BD=AE+CE；问题拓展：连接CF，∵△ABC和△AEF是等边三角形，∴∠BAC=∠EAF=60°，AB=BC=AC，AE=AF=EF，∴∠BAC―∠EAD=∠EAF―∠EAD，即∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中，AB=AC∠BAE=∠CAF，AF=AE∴△ABE≌△ACF(SAS)∴∠ACF=∠ABE，由于∠ABE是定值，所以∠ACF为定值，P在一条固定的线段上运动，如图3，延长CF至点P，使得BD=CP，。
初中数学模型【讲义】全等“手拉手”模型(上)
全等“手拉手”模型一、模型背景全等“手拉手”模型：两个顶角相等的等腰三角形，若顶点重合，则构成全等“手拉手”模型，其中连接左、右对应的底角顶点所得线段，称为“拉手线”（如图中BE和CF）全等“手拉手”模型，主要是利用全等三角形的知识，判断拉手线之间的数量关系和位置关系（夹角度数）二、模型内容（一）等边三角形的“手拉手”模型1. 共线型（特例）如图，已知等边三角形ABC与等边三角形ADE，其中C、A、D三点共线，连接BD、CE交于点H.问题1. 判断BD与CE的数量关系；问题2. 求∠BHC的度数（BD与CE的夹角）【证明】2. 不共线型（一般情况）如图，已知等边三角形ABC与等边三角形ADE，连接BD、CE交于点H.问题1. 判断BD与CE的数量关系；问题2. 求∠BHC的度数(BD与CE的夹角)【证明】引申：（判断以下结论哪些依然满足，哪些不满足，无需证明）(1)全等关系：△ABD≌△ACE；△ACM≌△ABN；△AEM≌△ADN(2)线段相等：BD=CE；BN=CM；EM=DN(3)角度：∠BHC=60°；∠DHE=60°；∠MHN=120°(4)角平分线：AH平分∠CHD(5)等边三角形：△AMN是等边三角形(6)平行：MN∥CD(7)截长补短线段相等：CH=BH+AH；DH=EH+AH；MH+NH=AH(8)四点共圆：A、M、H、N四点共圆；A、C、B、H四点共圆；A、D、E、H四点共圆（二）等腰直角三角形的“手拉手”模型如图，已知等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形ADE，连接BD、CE交于点H.问题1. 判断BD与CE的数量关系；问题2. 求∠BHC的度数(BD与CE的夹角)（三）正方形的“手拉手”模型如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG，连接BE、DG交于点H，连接AH.（四）等腰三角形的“手拉手”模型(类型一、二、三的一般情况)如图，已知等腰三角形ABC与等腰三角形ADE，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD、CE.问题1. 判断BD与CE的数量关系；问题2. 延长BD和CE相交于点H，求∠BHC的度数(BD与CE的夹角)。
八年级数学上册：手拉手模型及应用
八年级数学上册：手拉手模型及应用知识导航1．手拉手模型的特点：两个等腰三角形顶角顶点公共，且顶角相等．得到一对能够旋转重合的全等三角形．2．手拉手模型的基本构图：等膜△ABC和△DAE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．B AEECA3．手拉手模型的性质：(1)三角形全等；(△ABD≌△ACE)(2)第三边或所在直线的夹角与等腰三角形的顶角相等或互补；(∠BPC＝∠BAC或∠BPC＋∠BAC＝180°)(3)第三边或所在直线的交点与顶角顶点的连线平分第三边的夹角或其邻补角．(AP平分∠BPE或∠BPE的邻补角)【板块一】双等边三角形构成的手拉手模型【例1】如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边△ABD和等边△ACE，连BE，CD交于P，连接AP．(1)求证：BE＝CD；(2)求∠BPD的度数；(3)求证：PA平分∠DPE．P EDC BA针对练习11．在例1的条件下，将图形旋转至如图所示的位置，例1中的三个结论还成立吗？请说明理由．PEDCBA【板块二】 双等腰直角三角形构成的手拉手模型【例2】如图，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，连接BD ，CE 交于点P ． (1)求证：△ABD ≌△ACE ； (2)判断BD ，CE 的关系并证明； (3)连接PA ，求∠APB 的度数．PEDCBA【例3】如图，等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，P 为△ABC 外一点，∠APB ＝45°，连PC ，求∠APC 的度数．PCB A针对练习21．在例2的条件下，将图形旋转至如图所示的位置，BD 与CE 的关系还成立吗？请说明理由．EDCBA2．在例3的条件下，将P 点移至BC 的下方，∠APB ＝45°不变，求∠APC 的度数．PCBA【板块三】 一般双等腰三角形构成的手拉手模型【例4】如图1，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝α，连BD ，CE 交于P ，连接AP ． (1)求证：BD ＝CE ；(2)求∠APB 的度数(用α表示)；(3)将图形旋转至如图2所示的位置，其余条件不变，在图2中画出点P ，直接写出∠APB ＝ (用α表示) ．PEDCBA EDCBA图1 图2针对练习31．如图，△AOB 和△ACD 都是等边三角形，其中AB ⊥x 轴于E 点，点C 在x 轴上． (1)若OC ＝5，求BD 的长度；(2)设BD 交x 轴于点F ，求证：∠OFA ＝∠DFA ；(3)若正△AOB 的边长为4，点C 为x 轴上一动点，以AC 为边在直线AC 下方作正△ACD ，连接ED ，求ED 的最小值．2．已知△ABC ，分别以AB ，AC 为边作等腰△ABD 和等腰△ACE ，且AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠EAC ，G ，F 分别为DC 与BE 的中点．(1)如图1，若∠DAB ＝60°，则∠GAF ＝ ，∠AGF ＝ ；如图2，若∠DAB ＝45°，期∠AGF ＝ ； (2)如图3，若∠DAB ＝α，∠AGF 与α的数量关系是 ．(请说明理由)FEGDCBAABCDGEFABCDGEF3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AE ＝AD ，∠DAE ＝∠BAC ，连接CE ，设∠BAC ＝α，∠DCE ＝β．(1)如图①，点D 在线段BC 上移动时，角α与β之间的数量关系是 ，证明你的结论； (2)如图②，点D 在线段BC 的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是 ，请说明理由；(3)当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想α与β之间的数量关系是 ．EDCB AAB C DECB A。
初中数学全等三角形手拉手模型
∵ቐ∠ABE = ∠EBC
= BC
∴△ABE≌△DBC(SAS)
过B点分别向AE和DC作垂线，垂足为点M，N
∵BM，BN分别为△ABE和△DBC对应边上的高
∴BM=BN
在Rt△BMF和Rt△BNF中
BF =
∵ቊ
BM =
∴Rt△BMF≌Rt△BNF(HL）
手拉手模型-等边三角形
为右手顶点。
B(左手）
(头 ）
(头）
B(左手
）
C(右手 ）
C(右手）
手拉手模型基于
“ASA全等判定”
2、手拉手模型-模型分析
二、“手拉手模型”的基本构图：
常见变形：
手拉手模型-等边三角形
例1、如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD与△BCE，连结AE与CD.
证明：（1）△ ≌△ （2） = （3）与之间的夹角为60°（4）△ ≌△ （5）△ ≌△ （6）
∴AE=DC
（3）延长AE分别交BD于点N，CD于H
由（1）可知，∠BDC=∠BAE
又∵∠ANB=∠HND（对顶角相等）
∴180°-（ ∠BDC + ∠HND ）=
180°-(∠BAE + ∠ANB )
即∠DHN=∠ABD=60°
∴ 与的夹角为60°
（4）过点B分别向AE和DC所在直
变式1-4.
D
如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
1. △ABE≌△DBC
2. AE=DC
3. AE与DC的夹角为60°
4. AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
【解析】①利用角度的和差关系证明∠ABE=∠DBC，且AB=DB，BC=BE
初中几何模型之手拉手模型
∠1=25°,∠2=30°,则∠3=_______.
A
1
E
3
D
2
C
B
模型练习5
模型练习6
如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AD,BE分别为BC,AC边上的高,AD,BE相交
于点F,连结CF,则有下列结论:①BF=AC;②∠FCD=45°.③若BF=2EC,则
①②③
△FDC的周长等于AB的长.其中正确的有_______.
C
模型练习8
2
2
已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形(
∠AOB=∠MON=90°.
(1)如图1,连结AM,BN,求证:△AOM≌△BON.
A
A
N
N
O
O
B
M
M
图1
图1
B
< = ),
(2)若将△MON绕点O顺时针旋转.
①如图2,当点N恰好在AB边上时,求证: 2 + 2 = 2 2 .
A
E
F
B
D
模型练习6
C
模型练习7
如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°.
连结AC,BD交于点M,连结OM.有下列结论:①∠AMB=36°.②AC=BD.③OM
①②④
平分∠AOD.④MO平分∠AMD.其中正确的结论有________.
O
A
B
D
M
模型练习7
∴∠1+∠3=∠2+∠3(等角共点推等角)
∴∠ABE=∠CBD
=
在△ABE和△CBD中, ቐ∴∠ABE=∠CBD
=
初二数学培优专题 (1)——共点“手拉手”模型(又称旋转“一拖二”模型)(答案详解)
共点手拉手模型（又称旋转“一拖二”模型）——兼谈最值、轨迹问题特点——公共点是等腰三角形顶角的顶点如图，若连接BB’、CC’，易证明△ABB’≌△ACC’（SAS）。
这就是传说中的“旋转一拖二”，又称为“手拉手模型”。
典型问题：【例1】（成都高新区2017-2018八年级上期27题）【例2】（成都金牛区2017-2018八年上期27题）如图，在△ABC中,∠B=45°，AB=22，2=BC，等腰直角∆ADE中，∠DAE=90°，2+3且点D是边BC上一点。
(1)（3 分）求AC的长；(2)（4 分）如图1，当点E恰在AC上时,求点E到BC的距离；(3)（3 分）如图2, 当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值。
图1【例3】（2017届初二上期七中联盟半期）已知：ABC △是等腰直角三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，其中90PCQ =∠，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P 在线段AB上，且AC =，12PA =，则： ①线段PB =________，PC =________；②猜想：222,,PQ PA PB 三者之间的数量关系为_______________________；（2）如图②，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程； （3）若动点P 满足4PA PB =,求PQAC的值．（提示：请利用备用图进行探求）图① 图② 备用图QCBPAQCB ACBA【例4】如图,已知30MON ∠=︒ ,B 为OM 上一点,BA ON ⊥ 于A ,四边形ABCD 为正方形,P 为射线BM 上一动点,连结CP ,将CP 绕点C 顺时针方向旋转90︒ 得CE ,连结BE ,若 4AB = ,则BE 的最小值为【例5】（成都武侯区2016-2017八年上期27题）如图，已知直线x y =过点A ，y AB ⊥轴于点B ，x AC ⊥轴于点C ，点P 是y 轴上的一动点，连接AP 交直线BC 于点E .点N 在直线BC 上，连接AN 且︒=∠90PAN ，在射线AN 上截取AE AD =，连接DE .（1）求证：2222AE EC BE =+；（2）若点A 的坐标是（6，m ），点P 的坐标是（0，m 32），求线段AD 的长； （3）当31=EC BE 时，求BPDE的值.27题【例6】（成都青羊区2016-2017八上期27题）在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，AC=BC ，D 为AB 上一点，连结CD ，将CD 绕C 点逆时针旋转90︒至CE ，连结DE ，过C 作CF ⊥DE 交AB 于F ，连结BE.（1）求证：AD=BE ；（2）求证：222AD BF DF +=； （3）若15ACD ∠=︒，1CD =+，求BF.【例7】（1）问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ，易证△BCE ≌△ACD ．则 ①∠BEC ＝；②线段AD 、BE 之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，若AE ＝15，DE ＝7，求AB 的长度．（3）探究发现：如图3，P 为等边△ABC 内一点，且∠APC ＝150°，且∠APD ＝30°，AP ＝5，CP ＝4，DP ＝8，求BD 的长．E答案典型问题：【例1】（2017-2018上期成都高新区27题）解：（1）∵∠BAC=∠DAE=︒90 ∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC ，AD=AE ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）取AB 的中点G ，连接DG（I ）∵∠BAC=∠DAE=︒120且点D是边BC上一点。
微专题二手拉手模型2021安徽中考数学高分分项突破方法分析模型应用PPT课件
AC 2
如解图，将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，
∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴BD＝ AB2 AD2
52
5 2
2
5 2
3.
第2题解图
AB＝DB ABE＝DBC ， BE＝BC
∴△ABE≌△DBC(SAS)． ∴∠EAB＝∠CDB. ∴∠AHD＝∠ABD＝60°；
(2)如解图，过B作AH、DC的垂线，
垂足分别为点M、N.
∵△ABE≌△DBC，
∴S△ABE＝S△DBC.
即 1 AE·BM＝ 1 CD·BN.
22ຫໍສະໝຸດ 又∵AE＝CD，结论 等)
模型应用 1. 如图，△ABD与△BCE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于
点H. (1)求证：∠AHD＝60°； (2)连接HB，求证：HB平分∠AHC.
第1题图
证明：(1)∵∠ABE＝∠ABD-∠EBD， ∠DBC＝∠EBC－∠EBD，∠ABD＝∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝∠DBC. 在△ABE和△DBC中，
连接BD、CE，∠EAC＝∠DAB.
(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)求证：△BAD∽△CAE； (3)已知BC＝4，AC＝3，AE＝32 .将△AED绕点A旋转， 当点E落在线段CD上时，求BD的长．
第2题图
(1)证明：∵∠EAC＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠EAD， ∵∠ACB＝∠AED＝90°， ∴△ABC∽△ADE；
微专题系列二
微专题 手拉手模型
(2016、2015、2014年23题， 2011年22题)
模型一 共顶点两等腰三角形，旋转后产生全等三角形
(2016、2015、2014年23题)
手拉手模型 讲义 八年级数学上册
【手拉手模型】例1：在直线ABC的同侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD。
证明：（1）△ABE△△DBC（2）AE=CD（3）△AHD是60°（4）△AGB△△DFB（5）△EGB△△CFB（6）BH平分△AHC（7）GF△AC（8）HC=HB+HE；HA=HB+HD（9）△BGF是等边三角形练习：1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD。
证明：（1）△ABE△△DBC（2）AE=CD（3）AE与CD的夹角是60°（4）若AE与CD的交点为H，BH平分△AHC2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD。
证明：（1）△ABE△△DBC（2）AE=CD（3）△AHD是60°（4）若AE与CD的交点为H，BH平分△AHC例2：如果两个等腰直角三角形△ADC和△EDG，连接AG与CE，二者交于H。
证明：（1）△ADG△△CDE（2）AG=CE（3）△AHC为90°（4）HD平分△AHE练习：1、如果两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者交于H。
证明：（1）△ADG△△CDE（2）AG=CE（3）△AHC为90°（4）HD平分△AHE2、如果两个等腰三角形△ABD和△BCE，AB=BD,CB=EB,△ABD=△CBE=α，连接AE与CD。
证明：（1）△ABE△△DBC（2）AE=CD（3）AE与CD的夹角为多少度？（4）HB平分△AHC练习：1、已知△ABC，分别以AB、AC 为边做△ABD 和△ACE 且AD=AB,AC=AE,△DAB=△CAE，连接DC、AG、BE，G、F 分别是DC 与BE 的中点。
（1）求证DC=BE（2）求证：AG=AF（3）若△DAB=α，试探究△AFG与△α的数量关系，并予以证明2、如图1，已知△ABC，分别以AB、AC 为边作△ABD 和△ACE，且AD=AB，AC=AE，△DAB=△CAE，连接DC 与BE．（1）求证：△DAC△△BAE；（2）F、H 分别是BE 与DC 的中点；△如图2．当△DAB=△CAE=90°时，求△AFH 的度数；△请探究当△DAB 等于多少度时，AF=FH？请说明理由．3、在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B．C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，△DAE=△BAC，连接CE．(1)如图1,当点D在线段BC上,如果△BAC=90△，则△BCE= 度；(2)如图2，△说明：△ABD△△ACE．△说明：CE+DC=BC．△设△BAC=α，△BCE=β．当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．4．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于60°），AD 与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．试说明：（1）AD=BE；（2）填空△AOE= °；（3）CP=CQ；5．如图，在ABC和ADE中，△BAC=△DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）问题提出：如图1，若AD=AE，AB=AC．△BD与CE的数量关系为；△△BPC的度数为．（2）猜想论证：如图2，若△ADE=△ABC=30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．如果不正确请写出正确结论．（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB=3，AD=1，若把ADE绕点A旋转，当△EAC=90°时，直接写出PB的长．6．在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B．C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，△DAE=△BAC，连接CE．(1)如图1,当点D 在线段BC 上,如果△BAC =90△，则△BCE = 度；(2)如图2，△说明：△ABD △△ACE ．△说明：CE+DC=BC ．△设△BAC =α，△BCE =β．当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．7．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．8．探究等边三角形“手拉手”问题．（1）如图1，已如△ABC ，△ADE 均为等边三角形，点D 在线段BC 上，且不与点B 、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若△DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若△BEC ＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．9．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知△DCB=30°．△求证：△BCE是等边三角形；△求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．。
人教版八年级数学上册第十三章轴对称专题五模型拓展——特殊三角形中的“手拉手”模型教学课件
专题五 模型拓展—— 特殊三角形中的“手拉手”模型
目录
01 模型解读 02 针对训练
模型解读
类型一：等边三角形中的“手拉手”模型 已知：△ABC和△ADE都是等边三角形. 结论：①△ABD≌△ACE； ②BD＝CE； ③直线BD与直线CE的夹角为60°.
针对训练 1.（教材改编）如图Z13-5-1，△ABC，△CDE均为等 边三角形，连接BD，AE交于点O.求证：AE＝BD.
∴BD＝CE，∠DBA＝∠ECA. ∵∠ECA+∠ECB+∠ABC＝90°， ∴∠DBA+∠ECB+∠ABC＝90°， 即∠DBC+∠ECB＝90°. ∴∠BPC＝180°-（∠DBC+∠ECB）＝90°. ∴BD⊥CE. 综上所述，BD＝CE且BD⊥CE.
模型解读
类型二：等腰直角三角形中的“手拉手”模型 已知：△ABC ②BD＝CE； ③直线BD与直线CE的夹角为90°.
针对训练 2.（教材改编）如图Z13-5-2，两个等腰直角三角形 △ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝ 90°，连接BD，CE交于点P，试判断BD和CE的数量关系 和位置关系，并说明理由.