江西省重点中学协作体 2021届高三文科数学联考试卷附答案
命题人：上饶中学 俞振 鹰潭一中 欧阳福查 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．C 8．A 9．B 10．C 11．C 12．A
故最小值为 F1 1 ，则 a 1 。--------------------------------------------------12 分
21．（12 分）
解：因为 MA AB MB BA ，所以 MA MB AB MA MB MB MA 0 则
| MA || MB | ，即 M 到 A 点的距离等于 M 到直线 y 1 的距离，故 M 是以 A 为焦点，
解：（1） x 3 ， y 120 ，-------------------------------------------2 分
b
2
10 1 5 22 12
0 10 1
02 12 22
5
2
20
20
55 10
40
7
，
a 120 7 3 99 ,则线性回归方程为 y 7x 99 -----------5 分
2CD 2
2
，则
BE AB
CD BC
，
BAE DBC ， 则 BD AE ， 则 AE 面 PBD ，
------------------------------------------------------------------------4 分
AE 面 PAE，则面 PAE 面 PDB；--------------------------------------------------6 分
3
3
VC-PAE
1 3
1 2
6
5
3 3
d
5
2 6
d
--------------------------------------10
分
因为 VP-AEC VC-PAE ，求得 d 2 3 。------------------------------12 分 5
20．（12 分）
解 ： （ 1 ） 依 题 意 得 ， f x 1 x3 ln x 1 1 x 2 x ， f 1 1 1 1 7 ，
以直线 y 1为准线的抛物线，方程为 x 2 4 y 。----------------------------------4 分
（2）可知 P2 ,1 ，设 Dx1，y1 ，Ex2，y2 ，直线 PD
的 斜 率 为 k ， 则 直 线 PE 的 斜 率 为 1 ， 则 k
lPD：y 1 kx 2，联立抛物线方程 x 2 4 y ，消 y
综上有 1 个△PDE，是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形。------------------12 分
解法
2：设点
D
x1，y1 ，Ex2，y2
，则中点
Q
x1
2
x2
，y1
2
y2
，
kPQ
y1 y2 1
2
x1 x2 2
x12 4 x1
x22 x2
8 16
，
k DE
y2 y1 x2 x1
当 x=6 时， y 7 6 99 141 ，预测第 6 次的数学成绩约为 141 分。--6 分
（2） p1 0.9 0.9 0.9 0.729 ，---------------------------------8 分
p2 0.85 0.85 0.7225 ，---------------------------------10 分
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． 1
14． 10 11
15． 2
16． 0 ，1
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17．
分
3x 2，x 2
（2）由
f
x
x
2，0
x
2 ，可知
f
x 的最小值为
2，--------------------------7
分
2 3x，x 0
（3）因 为 a b c 6 ， 则 有 b2 a 2b ， c 2 b 2c ， a 2 c 2a ， 相 加 可 得
x
1 ，x x
0 ，则
F' x
ln
x
1
1 x2
，x
0 ，-----------------8
分
可知 F' x 在 x 0 上单调递增， F' 1 0 ，则当 x 1时， F' x 0 ，当 0 x 1 时，
F' x 0 ，故 Fx 在 0, 1上单调递减，在 1， 上单调递增，--------------------10 分
2x1 x2
8
64 x1 x2
，整理得
x1 x2
x1
x2 2
2
32 x1 x2
4 ，代入（1）式有
x1
x2 2
2
2x1
x2
32 x1 x2
4
Hale Waihona Puke 20 --------（2），----------------------------------10 分
若 x1 x2 0 ，则 DE//x 轴，此时 PQ x 轴，不成立。令 t x1 x2，t 0，则
（2）设 C 点到面 PAE 的距离为 d，由 CE 2 ， CD 2 ，故 ED 6 ，又 PE=3，则
PD
3 ， VP-AEC
1 3
1 2
2 2
3 6 ，---------------------------------8 分 3
记 AE 与 BD 的交点为 M，则 PM 为△PAE 的高，BD= 2 3 ，MD= 4 3 ，则 PM= 5 3 ，
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
3x 2，x 2
解：（1）依题意得 f x x 2，0 x 2 ，------------------------------------------3 分
2 3x，x 0
由
f
x
4 ，解得
x
|
2 3
x
2
；----------------------------------------------------5
可知直线与椭圆相离，则 PQ 的最小值为 P 到直线的距离最小值。-------------------8 分
则 d | 4 cos t 3sin t 12 | | 5sint 12 | 12 5sint ，当 sint 1时，
13
13
13
有最小值 7 13 。-------------------------------------------------------------------------------------10 分 13
4k
42
1
1 k2
4 k
42
，即
k 2 k 12 1 12 ，则有 kk 1 1 1（1）或kk 1 1 1（2），
k
k
k
将 k 1 后，（1）即为（2）所以分析（1）即可。-----------------------------10 分 k
第3页共5页
（1） 令f k k 3 k 2 k 1， f ' k 3k 2 2k 1 3k 1k 1，当 k 1或k 1
可 得 x 2 4kx 8k 4 0 ， 则 有 x1 4k 2 ，
y1 k4k 4 1 4k 2 4k 1 ， 同 理 可 得
x2
4 k
2，
y2
4 k2
4 k
1，由
PD=PE，可得
4k
42
k 2 4k
42
4 k
42
1 k2
4 k
42 ，
整 理 得
1
k2
因为 p2 p1 ，所以选择第一种方法。--------------------------12 分
n
n
xi x yi y
xi yi nx y
参考公式：b i1 n xi x 2
i1 n
xi 2
2
nx
,a y bx
i 1
i 1
18．（12 分）
解：（1）依题意得 1 bc sin A 2
x1 x2 4
，
2
k PD
x1
4
2
，k
PE
x2 2 ，因为三角形是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形，所以 4
k PD k PE 1，得 x1x2 2x1 x2 20 --（1）----------------------------8 分
由 k PQ
kDE
1 ，即 x1
x2 2
t 2 2t 32 24 0 ------（3），即 t 3 4t 2 48t 64 0 t 0。
2
t
令 gt t 3 4t 2 48t 64 ， g't 3t 2 8t 48 ，△ 0 ，开口向上，所以 g't 恒大于
0，则 gt 单调递增，又 g1 0 ， g2 0 ，故 gt 只有一个零点，则方程（3）只有一
（2）依题意，由正弦定理得 a b b
b
，则 b 4 cos A ；由
江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学试题(文科)与答案
江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1log |A 2<=x x ，{}032|B 2<--=x x x ，则A B =（ ） A ． ()2，∞- B ．()20， C ．()21，- D ．()3，∞- 2．若202121ii z +-=，则||=z （ ）A ．0B ．1C ．2D ．23．设{}n a 是等差数列，且1321=++a a a ，2432=++a a a ，则=++876a a a （ ）A ．5B ．6C ．16D ．324．有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（ ） A ．101 B ．25 C ．53 D ．1095．江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ） A ．得分在[40,60)之间的共有40人B ．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5C ．这100名参赛者得分的中位数为65D ．可求得005.0=a6．已知圆C ：2260x y x +-=，过点P （6，4）向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值为（ ）A ．257 B ．2524 C ． 257- D ．2524- 7．已知函数()x x x f 2cos 32sin -=，则下列说法正确的是（ ）A.()x f 的最大值是1+3B.()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上是递增的C.⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+x f x f 125125ππ D.()x f 向右平移6π后为奇函数8．设53ln 52=a ，52ln 53=b ，53ln 53=c ，则c b a ，，的大小关系是（ ） A ．b c a >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．a c b >> 9．执行右边的程序框图，则输出的n =（ ）A ．87B ．89C ．91D ．9310．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的。
江西省重点中学盟校2021届高三下学期第一次联考数学文科试题(解析版)
2021年江西省重点中学盟校高考数学第一次联考试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3，4}，N＝{4，5，6}，则（∁U M）∩N ＝（）A．{6} B．{4，6} C．∅D．{5，6}2．已知i是虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i3．已知||＝2，||＝1，且＝﹣1，则＝（）A．6 B．8 C．3 D．﹣34．甲乙俩人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，则甲乙俩人各投篮一次，至少有一人命中的概率为（）A．0.7 B．0.58 C．0.12 D．0.465．如图所示，在三棱锥D﹣ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°．若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的周长为（）A．B．C．6 D．6．算法流程图表示如图，若输入a＝30，b＝24，i＝0，则输出的结果为（）A．a＝6，i＝10 B．a＝12，i＝5 C．a＝6，i＝5 D．a＝8，i＝107．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，若b sin（B+C）＝2c sin B，，b＝2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．8．若直线l平行于平面α，则（）A．α内所有直线与l平行B．在α内不存在直线与l垂直C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l成60°角9．北师大版高中数学教材《选修1﹣1》第二章引言中有：过一个圆锥的侧面一点（不是母线的端点）作圆锥的截面．则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分中的（）A．①②③④B．①③④C．①②D．①②④10．设函数的最小正周期为T，则f（x）在（T，2T）上的零点之和为（）A．B．C．D．11．已知点A（﹣5，﹣5）在动直线mx+ny﹣m﹣3n＝0上的射影为点B，若点C（5，﹣1），那么BC的最大值为（）A．16 B．14 C．12 D．1012．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）﹣f（x）＞1恒成立，e为自然常数．则下列选项中正确的是（）A．f（1）﹣e2f（﹣1）＜e2﹣1 B．ef（2020）﹣f（2019）＜1﹣eC．ef（0）﹣f（1）＜1﹣e D．f（2020）＞f（2019）二、填空题（共4小题）.13．若变量x，y满足，则2x+y的最小值为．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0．当x≥0时，f（x）＝x2﹣x+a ﹣1，则f（﹣3）＝．15．将连续正偶数有规律地排列如下：则在此表中第15行第14列出现的数字是．16．已知抛物线C：x2＝8y，焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，分别作抛物线C在A，B处的切线，且两切线交于点P，则点P的轨迹方程为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
解析2021届江西省重点中学盟校高三第二次联考数学(文)试卷
绝密★启用前2021届江西省重点中学盟校高三第二次联考数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1}答案：D对参数分类讨论，结合判别式法得到结果. 解：①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件； ②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a =-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}． 故选：D ．2．关于复数Z a bi =+（,a b ∈R ，i 为虚数单位），下列说法中正确的是（ ） A ．1222i i +>-+ B ．若Z 为Z 的共轭复数，则2Z Z Z ⋅= C ．若1Z i =-+，则||2Z = D ．2(1)i -+的虚部小于11ii+-的虚部 答案：D根据复数的运算性质，共轭复数概念，模长定义等对选项一一分析. 解：虚数没有大小关系，故A 错误；22()()a bi a Z Z bi a b +-=+⋅=，222222()2Z a bi a b abi a b =+=-+≠+，故B 错误；若1Z i =-+，则||Z C 错误；22(1)(1)212i i i -+=---=-，虚部为-2；()()()21121112i i i i i i i ++===--+，虚部为1； 故D 正确； 故选：D3．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级γ可定义为0.6lg I γ=.2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（ ）倍． A ．2 B ．10C ．100D ．1000答案：C 解：略4．下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（ ）A ．1y x=B ．)lg y x =C ．tan y x =D ．11212x y =+- 答案：B对于A ，C ，由基本函数的性质判断即可，对于B ，D ，由奇偶性的定义和单调性的判断方法判断即可解：解：对于A ，反比例函数1y x=为奇函数，在(,0)-∞和(0,+)∞都为减函数，但在整个定义域内不是减函数，所以A 不合题意； 对于B，因为1())))()f x x x x f x --===-=-，所以)lgy x=（x ∈R）为奇函数，令y x =，则'210y x =-=<，所以y x =在R 上为减函数，所以)lgy x =在R 上为减函数，所以B 正确；对于C ，tan y x =为奇函数，在(,)()22k k k Z ππππ-++∈为增函数，所以C 不合题意；对于D ，因为11112111()()0212212122212x x x x xf x f x --+=+++=+++=----，所以11212x y =+-为奇函数，因为2xy =在R 上为增函数，所以11212x y =+-在(,0)-∞和(0,+)∞都为减函数，但在整个定义域内不是减函数，所以D 不合题意，故选：B5．“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A先求出方程221x ny +=表示焦点在x 轴 上的圆锥曲线对应的n 的范围，再结合两者的关系可得两者之间的条件关系.解：当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=， 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >， 故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件， 故选：A.6．抛掷两枚均匀的硬币，出现恰好有一枚硬币正面向上的概率记为1P ；有四个阄，其中只有一个代表奖品，四个人按序依次抓阄决定奖品的归属，第三个人中奖的概率记为2P ．则1P 与2P 满足（ ）A ．12P P =B ．1234P P =C ．12P P <D ．122P P =答案：D抛硬币利用列举法可求得1P ，因为只有一个奖品，第三个人中奖时，前两人均没有中奖，由此可求出2P ，进而可得答案解：解：设两枚硬币分别为A ，B ，则可能出现的情况只有4种： AB 都是正面；AB 都是反面；A 正面B 反面；A 反面B 正面， 所以12142P ==， 四个人按序依次抓阄，则第三个人中奖的概率111321211143214C C C P C C C =⋅⋅=， 所以122P P =， 故选：D7．已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同平面．则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥B ．若//m α，αβ⊥，则//m βC ．若//m α，n α⊥，则m n ⊥D ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥答案：C对于A ，由线面平行的性质和空间线线垂直的关系判断即可；对于B ，由线面平行和面面垂直的性质判断；对于C ，由线面平行和线面垂直的性质判断；对于D ，由面面垂直的性质和判定进行判断解：解：对于A ，当//m α，m n ⊥时，n 与α有可能平行，有可能相交，也有可能直线n 在平面α内，所以A 错误；对于B ，当//m α，αβ⊥时，则m 与β有可能平行，有可能相交，也有可能直线m 在平面β内，所以B 错误；对于C ，当n α⊥时，则直线n 垂直于平面α内的所有直线，而//m α，所以m n ⊥，所以C 正确；对于D ，当αγ⊥，βγ⊥时，α，β有可能平行，有可能相交，所以D 错误 故选：C8．在ABC 中，2AB =，90A ∠=︒，点D 在线段AC 上，则BA BD ⋅=（ ） A ．4- B ．4C ．5D ．5-答案：B由向量数量积的定义得||||cos BA BD BA BD DBA ⋅=∠，在Rt △DBA 中有||||cos BA BD DBA =∠，即可求BA BD ⋅.解：∵||||cos BA BD BA BD DBA ⋅=∠，而||||cos BA BD DBA =∠， ∴2||BA BD BA ⋅=，又2AB =， ∴4BA BD ⋅=.故选：B.9．数列{}n a 中，已知11a =，23a =，数列{}n b 是公差为2的等差数列，且1n n n b a a +=-，则20a 的值为（ ）A ．381B ．380C ．191D ．190答案：A根据数列{}n b 是公差为2的等差数列，求得通项公式，然后由1n n n b a a +=-，利用累加法求解.解：因为11a =，23a =，且1n n n b a a +=-， 所以1212b a a =-=，又因为数列{}n b 是公差为2的等差数列， 所以()112n b b n d n =+-=， 所以1122n n n a a b n ---==-，由累加法得()2011231919238 (3802)a ab b b b +-=++++==， 所以20381a =， 故选：A10．已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（ ） A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：D由幂函数的性质求参数a 、b ，根据点在直线上得2m n +=，有14111n m m +=-++且02m <<，进而可求11n m ++的取值范围. 解：由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上， ∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<， ∴11(,3)13n m +∈+. 故选：D.点评：关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m 、n 的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围. 11．ABC 中，3a =，4b =，3sin 5A =，则ABC 的面积为（ ） A ．6 B ．4225 C ．6或4225D ．2425或6 答案：C 解：略12．已知函数()()(ln )e xf x x ax ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．1,e e ⎫⎛ ⎪⎝⎭B ．1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(0,e)D ．(1,e)答案：A作出y ax =，x y e =，ln y x =的图象，结合重要不等式即可得到结果. 解：若()0f x <，则ln x ax -与e x ax -异号， 如图所示，ln >x e x 恒成立∴问题等价于y ax =在x y e =与ln y x =之间转动 根据重要不等式x e ex ≥，ln xx e≤. ∴1a e e<<， 故选：A点评：关键点点睛：重要切线放缩不等式，x e ex ≥，ln x x e≤. 二、填空题13．某四棱锥的三视图如图所示（图中每个小方格的边长为1），则该四棱锥的侧面积为__________．答案：2223+ 解：略14．公元1231年，南宋著名思想家，教育家陆九渊的弟子将象山书院改建于三峰山徐岩（徐岩旧址，现为贵溪市第一中学），在信江河畔便可望见由明正德皇帝御笔亲题的“象山书院”红色题刻．为测量题刻CD 的高度，在A 处测得仰角分别为45︒，30，前进40米后，又在B 处测得仰角分别为60︒，45︒，则题刻CD 的高度约为__________米．答案：40 解：解析：AC//BD ，且45CAB ∠=︒，故40CD AB ==．15．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB 的两个端点分别在x 轴和y 轴上运动，点M 是直线40x y +-=上的动点，则||MA MB +的最小值为__________． 答案：423- 取AB 的中点P ，32OP =，2MA MB MP +=，然后求出MP 的最小值即可. 解：取AB 的中点P ，32OP =，P 点的轨迹是圆心在原点，半径为32的圆，其方程为2294x y +=因为2MA MB MP +=，MP 的最小值为原点到直线40x y +-=3322222-=所以||MA MB +的最小值为32224232⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：423-16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，点P 为双曲线右支上一点，直线OP 交双曲线于另一点Q ，若直线AQ 恰好平分线段PF ，则该双曲线的离心率为__________．答案：3设PF 的中点为M ，连接OM ，分析可知//OM FQ 且12OM FQ =，进而可得出12OAAF =，可得出关于a 、c 所满足的等式，由此可求得双曲线的离心率. 解：设PF 的中点为M ，连接OM ，O 、M 分别为PQ 、PF 的中点，则//OM FQ 且12OM FQ =，所以，12OA OMAFFQ ==，即12a c a =-，3c a =∴，因此，该双曲线的离心率为3ce a ==.故答案为：3.点评：方法点睛：求双曲线离心率的方法： （1）若可求得a 、c ，直接利用ce a=求解； （2）若已知a 、b ，可直接利用21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）若得到的是关于a 、c 的齐次方程220pc qac ra ++=（p 、q 、r 为常数，且0p ≠），则转化为关于e 的方程20pe qe r ++=求解.三、解答题17．已知数列{}n a ，若存在正整数T ，对一切*n N ∈，都有n T n a a +=，则称数列{}n a 为周期数列，T 是它的一个周期． （1）已知sin 2n n b π⎫⎛=⎪⎝⎭，n c n =，求数列{}n n b c ⋅的前40项和40S ； （2）数列1，2，1，2，…的最小正周期是多少？并求这个数列的前n 项和n T ．答案：（1）20-；（2）最小正周期为2；31(1)24nn n T --=-． （1）根据特殊角的正弦函数值写出数列{}n b 的通项公式，结合数列{}n b 的周期性进行求解即可；（2）根据周期数列的定义，分类讨论求解即可.解：解：（1）1,410,42sin ()1,4320,4n n k n k n b k N n k n kπ=+⎧⎪=+⎪⎛⎫==∈⎨ ⎪-=+⎝⎭⎪⎪=⎩，故40(1030)(5070)S =+-+++-+(370390)21020+⋅⋅⋅+-+=-⨯=- （2）由周期数列的定义可知该数列的最小正周期为2； 当n 为正奇数时，113112222n n n n T +--=⋅+⋅=， 当n 为正偶数时，3(12)22n n n T =⋅+=， 因此当n 为正整数时，31(1)24nn n T --=-. 18．长方形纸片ABCD 中，4AB =，3BC =，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，沿对角线AC 把纸片折成空间四边形ABCD '．（1）求四面体ABCD '的外接球的表面积；（2）当折起到平面ACD '垂直于平面ABC 的位置时，求四面体AEFC 的体积． 答案：（1）25π；（2）65． （1）先确定球心，然后求出球半径，进而可得外接球的表面积；（2）E 、F 分别是AB 、CD '的中点，所以四面体AEFC 的体积14AEFC F AEC D ABC VV V '--==.解：（1）设AC 的中点为O ，依题意可知，OA OB OC OD '===，所以点O 为四面体ABCD '的外接球的球心，显然，其半径1522R AC ==，故外接球的表面积2425S R ππ==球.（2）由等面积法易得直角△D AC '斜边AC 上的高为125，当平面ACD '⊥平面ABC 时，显然，直角△D AC '斜边AC 上的高即为三棱锥D ABC '-的高， 又E 、F 分别是AB 、CD '的中点，所以四面体AEFC的体积14AEFC F AEC D ABC V V V '--==1112664355=⨯⨯⨯=.19．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．从进入大数据时代以来，人们阅读方式发生了改变，数字媒体阅读方式因为便携，容量大等优点越来越被大众接受，下表是国际数据公司（IDC ）研究的全球近6年每年数字媒体阅读产生的数据量（单位：ZB ）及相关统计量的值： 年份 201520162017201820192020序号x 12 3 4 5 6 年数据量y7917223443xyz()621ii x x =-∑()621ii zz =-∑()621ii zz =-∑()()61iii x x zz =--∑3.5 22 2 18 14 124 9表中ln i i z y =，6116i i z z ==∑．（1）根据上表数据信息判断，方程21e c xy c =⋅（e 是自然对数的底数）更适宜作为该公司统计的年数据量y 关于年份序号x 的回归方程类型，试求此回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预计2024年全世界数字媒体阅读产生的数据量是2021年的多少倍？并说明理由．（参考数据：e 2.718≈1.648≈，结果精确到0.1）参考数据：回归方程ˆˆˆy a bx=+中，斜率最小二乘法公式为()()()121ˆnii i nij xx y y bxx ==--=-∑∑1221ni ii nii x ynxyxnx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-． 答案：（1）0.250.5e x y +=；（2）4.5倍；答案见解析．（1）根据21e c xy c =⋅，两边同时取自然对数并令ln z y =，化简得到12ln z c c x =+，然后利用公式求得2c ，1ln c ，写出回归方程；（2）根据（1）的回归方程，分别令7x =，10x =，求得数据值相比即可；解：解：（1）由21e c x y c =⋅，两边同时取自然对数得()2112ln ln eln c xy c cc x =⋅=+，设ln z y =，则12ln z c c x =+． 因为 3.5x =，2z =，()62118ii x x =-=∑，()()619i i i x x z z =--=∑，所以()()()122191182nii i ni i xx y z c x x ==--===-∑∑， 12ln 20.5 3.50.25c z c x =-=-⨯=．所以0.250.5ln z x y =+=，所以0.250.5e x y +=；（2）令7x =，得0.250.57 3.751ˆe e y+⨯==．令10x =，得 5.252ˆe y =1.521ˆe 4.5ˆyy==≈，预计2024年全世界产生的数据规模是2021年的4.5倍． 20．已知抛物线22x py =上一点()0,1M x 到其焦点F 的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，过直线:2l y =-上一点A 作抛物线的两条切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，且直线PQ 与y 轴交于点N ．设直线AP ，AQ 与x 轴的交点分别为B ，C ，求四边形ABNC 面积的最小值． 答案：（1）24x y =；（2）42 （1）由抛物线的定义求出p 即可得方程；（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，可求出PQ 的方程，联立抛物线方程，由韦达定理求出四边形面积，求最值即可. 解：（1）由||122pMF =+=，得2p =，所以抛物线的方程为24x y =． （2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，可知在点P 处的切线方程为：()211142x x y x x -=-，即21124x x y x =-，同理，在点Q 处的切线方程为：22224x x y x =-，可得1,02x B ⎛⎫⎪⎝⎭，2,02x C ⎫⎛ ⎪⎝⎭又两切线均过点(,2)A t -，所以211112222222422242x x x t t y x x xt t y ⎧-=-=-⎪⎪⎨⎪-=-=-⎪⎩， 于是PQ 的方程为22ty x =+， 所以点(0,2)N ． 将22ty x =+与24x y =联立可得2280x tx --=，则122x x t +=，128x x =-，记四边形ABNC 面积为S ，则122||ABC BCN S S S BC x x =+==-△△()2221212S x x x x =-=+212443232x x t -=+≥（当且仅当0t =时，等号成立）所以min S =点评：关键点点睛：设()11,P x y ，()22,Q x y 后写出切线的方程，抽象出PQ 的方程为22ty x =+是解题的关键，属于中档题. 21．已知()ln f x x =．（1）若直线1y kx =+与函数()f x 图象 相切，求k 的值； （2）若函数21()2g x mx =+与函数()f x 有两个不同的交点，求m 的取值范围； （3）设120x x <<，()'f x 为()f x 的导函数，试比较()()2121f x f x x x --与()()12f x f x +''的大小．答案：（1）21e k =；（2）210,2e m ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭；（3）()()()()211221f x f x f x f x x x -''<+-． （1）根据导数几何意义，设切点，且直线过定点(0,1)，则000ln 11x k x x -==，从而解得k ；（2）分离参数，构造函数，通过导数研究单调性，数形结合解得参数取值范围； （3）两式作差，令211x t x =>，构造函数1()ln g t t t t ⎫⎛=-- ⎪⎝⎭，利用导数研究新函数值域情况，从而比较两式大小. 解：解：（1）1()f x x'=，且直线过定点(0,1)，设切点为()00,ln x x ， 则000ln 11x k x x -==，可得20x e =．故21k e =． （2）21ln (0)2mx x x +=>，21ln 2x m x -=，令21ln 2()x h x x -=，322ln ()x h x x-'= 当(0,)x e ∈时，()0h x '>；(,)x e ∈+∞时，()0h x '<．()h x 在(0,)e 单增，在(,)e +∞单减，故max 21()()2h x h e e == 由图可知：210,2m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（3）()()22112121lnx f x f x x x x x x -=--，()()121212x x f x f x x x +''+=，作差 222122211*********ln1ln x x x x x x x x x x x x x x x x ⎫⎛+--=-⎪ --⎝⎭221211121ln x x x x x x x x ⎫⎛⎫⎛=--⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 令211x t x =>，设1()ln g t t t t ⎫⎛=-- ⎪⎝⎭，222111()1t t g t t t t -+-'=--=()2210t t t--+=<，()g t 在1t >上单调递减，则()(1)0g t g <=，()()()()211221f x f x f x f x x x -''∴<+-点评：方法点睛：（1）导数几何意义求切线斜率；（2）分离参数，把函数图像交点问题转化为新函数交点问题，借助数形结合解得参数取值范围；（3）双变量问题可以通过一个变量如21x t x =来表示，从而构造新函数，通过导数研究新函数单调性，求得其他相关的量.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为31tan x y θ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）设点M 的极坐标为32,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||||MA MB AB ⋅． 答案：（1）221(0)3x y y -=≠；20x y --=；（2． （1）根据同角的三角函数关系式，结合极坐标方程与直角坐标方程互化公式进行求解即可；（2）把直线的参数代入曲线C 的标准方程中，得出根与系数的关系，由点的参数几何意义可得答案.解：解：（1）1sin 11tan tan x y y θθθ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，又22222111cos 1sin tan sin sin θθθθθ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以得221(0)3x y y -=≠，cos cos 4πρθρθ⎫⎛+= ⎪⎝⎭sin 2ρθ-=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得20x y --=， 所以曲线C 的普通方程是221(0)3x y y -=≠，直线l 的直角坐标方程为20x y --=；（2）设(0,2)M -，点A ，B 所对应的参数为12,t t ，则l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数） ，代入2213x y -=得212150t t t -+=⇒+=1215t t =，于是1212||||||MA MB t t AB t t ⋅=-2==． 点评：方法点睛：极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，即四个公式：tan yxρθ==，cos ,sin x y ρθρθ==； 利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的弦长，方法是：（1）将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数t 的一元二次方程； （2）利用韦达定理写出12t t +，12t t ；（3）利用弦长公式12AB t t =-=.23．已知函数8()|2|f x ax b ax b=-++． （1）证明：()8f x ≥；（2）当2a =，0b >时，若(1)10f ≤成立，求b 的取值范围． 答案：（1）证明见解析；（2）[1,4]．（1）由绝对值不等关系及基本不等式求得最小值；（2）将参数值代入，讨论b 的值去绝对值，分别解得f (1)≤10的解集，取并集即可. 解：解：（1）()88()22f x ax b ax ax b ax b b ⎛⎫=-++≥--+ ⎪⎝⎭882|2|8b b b b ≥+=+≥（2）0b >，()81222f b b ∴=-++8|22|2b b=-++ 当1b ≥时，()81210f b b=+≤，解得：14b ≤≤； 当01b <<时，由()814210f b b=-+≤，解得：4b ≤-或1b ≥，与01b <<不符，综上：b 的取值范围为[1,4]点评：方法点睛：利用绝对值不等式及基本不等关系求得最小值；分类讨论参数值，去绝对值解得解集.。
2021届江西省重点中学协作体高三第二次联考数学(文)试题解析
2021届江西省重点中学协作体高三第二次联考数学（文）试题一、单选题1．若集合{}22A x x =-<<，{}2280B x x x =∈+-<N ，则AB =（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}2,1,0,1--答案：B先利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再利用交集的运算求解. 解：由题意得()(){}{}2400,1B x x x =∈-+<=N ， ∴{}0,1AB =.故选：B.2．设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，复数z 在复平面内对应的点为()3,4，则zz=（ ） A ．4355i - B ．3455-i C ．4355i +D ．3455i +答案：B由复数的坐标得出对应的复数，再由共轭复数的定义得出34,34z i z i =+=-，由模长公式、复数的运算得出答案.解：由题意可知34,34z i z i =+=-则34||55z i z ==- 故选：B3．如图，在棱长都为1的直棱柱1111ABCD A BC D -中，60BAD ∠=，三棱锥11C A BD -的体积为（ ）A 3B 3C 3D ．13答案：C由题意先求出三棱锥1A ABD -的体积，再求出直棱柱1111ABCD A BC D -的体积，三棱锥11C A BD -是直棱柱1111ABCD A BC D -切去角上的4个小三棱锥而得到的，从而可得出答案.解：由棱柱1111ABCD A BC D -为直棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD 由题意在ABD △中，60BAD ∠=，1AB AD ==,所以13sin 6024ABDSAD AB =⨯⨯⨯︒=所以11133A ABD ABD V S AA -=⨯⨯=所以32ABCDABDSS==, 则直棱柱1111ABCD A BC D -的体积为111113ABCD A B C D ABCD V S AA -=⨯=由题意可知三棱锥11C A BD -是直棱柱1111ABCD A BC D -切去角上的4个小三棱锥而得到的. 即切去4个小三棱锥为11111111,,,A ABD D BCC D A DC B A B C ---- 由题意可得这4个小三棱锥的高均为1AA ,且有1111111ABDBCC A D C A B C S SSS===所以11111111A ABD D BCC D A D C B A B C V V V V ----=== 所以1133342126C A BD V -=-⨯=故选：C4．连续郑两次股子，以先后得到的点数,m n 为点()P m n ,的坐标，那么点P 在椭圆22194x y+=内部的概率是（ ） A ．136B ．118C ．112D ．19答案：B 解：略5．某个国家某种病毒传播的中期，感染人数y 和时间x （单位：天）在18天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数y 和时间x 的回归方程类型的是（ ）A ．y a bx =+B ．e x y a b =+C ．ln y a b x =+D ．y a b x =+答案：B根据散点图据曲线形状判断． 解：0b >，(0,)x ∈+∞，A 中y b '=是常数，B 中x y be '=是增函数，C 中b y x '=是减函数，D 中2y x'=是减函数，散点图所有点所在曲线的切线的斜率随x 的增大，而增大，而四个选项中，A 斜率不变，CD 的斜率随x 的增大而减小，只有B 满足． 故选：B ．6．已知方程2234-+=-kx k x k 的取值范围是（ ） A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．53,124C ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．53,124⎛⎫⎪⎝⎭ 答案：B如图，当直线在AC 位置时，斜率303224k -==+，当直线和半圆相切时，由半径22002321k k --+=+解得k 值，即得实数k 的取值范围． 解：由题意得，半圆24y x =-与直线32y kx k =+-有两个交点，又直线323(2)y kx k y k x =+-⇒-=-过定点C (2,3)，如图所示，又点(2,0),(2,0)A B -，当直线在AC 位置时，斜率303224k -==+. 当直线和半圆相切时，由半径2002321k k --+=+解得512k =， 故实数k 的取值范围为53(,]124故选：B【点睛】关键点点睛：由函数解析式转化为直线与半圆有两个公共点，根据直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求出直线在AC 位置时的斜率k 值及切线CD 的斜率，是解题的关键．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*121n n S S n +-=∈N ，11a =，则7S =（ ）A ．255B ．63C ．128D ．127答案：D利用数列{}n S 的首项和相邻项的递推关系逐项计算出7S 即可.解：由()*121n n S S n +-=∈N 知，()*121n n S S n +=+∈N ，而111S a ==，故12213S S +==，32217S S =+=，432115S S =+=，542131S S =+=，652163S S =+=，7621127S S =+=.故选：D.8．若135a⎛⎫= ⎪⎝⎭，则515a -=（ ）A ．1-B ．1C ．15D ．3答案：B 解：略9．为了寻找满足111123T n+++⋅⋅⋅+>(T 是大于1的常数)的最小正整数n ，设计了如图所示的程序框图，则①、②中填写的内容依次是（ ）A ．?S T <，输出1i -B ．?S T ≤，输出1i -C ．?S T <，输出iD ．?S T ≤，输出i 答案：B根据算法的功能和累加变量与计算变量的顺序可得答案.解：由算法的功能知，当S T >时结束循环，故①处应填“?S T ≤”， 又循环过程中先执行累加变量，再执行计数变量，故②处应填“输出1i -”， 故选：B.10．设0>ω，将函数()sin 43f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移3ωπ个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数yg x 的图象.若()g x 在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（ ）A ．362k -，k ∈NB ．362k +，k ∈NC ．32D ．3答案：C由图象变换知识得到()()sin g x x ω=，根据3x π=时取得最大值得到362k ω=+，由单调区间长度小于等于半个周期，求出ω的范围，从而确定ω的值.解：由题意知，()()sin g x x ω=.当3x π=时，函数()g x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，k Z ∈.解得362k ω=+，k ∈N .因为()g x 在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-，解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=或0x ωϕπ+=)，即可求出ϕ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和ϕ，若对,A ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11．设1F 、2F 分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0B ．(0C ．1)D ．1)答案：D结合题意，计算出2122PF F F c ==，结合两点距离公式，距离方程，用c 表示m ，结合ce a=，建立关于e 的不等式，计算范围，即可．解：设2,a P m c ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F c -，()2,0F c ，由线段1PF 的中垂线过点2F 得2122PF F F c ==，即2c =，得224222224230a a m c c a c c c ⎛⎫=--=-++≥ ⎪⎝⎭，即4224320c a c a +-≥，得423210e e +-≥，解得213e ≥，故e ≥ D.【点睛】本道题考查了椭圆的性质，考查了离心率的计算方法，关键构造关于e 的不等式，计算范围，即可，难度偏难．12．已知函数2()31f x x x =---，()e g 2x exx ex+=，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A ．1 BC．D答案：A利用导数求得()g x 的单调区间和最小值.画出()f x 和()g x 的图象，结合图象求得n m -的最大值. 解：()()()()'22222222214222xx x x x x x e e ex e ex eex e e e x e e x g x e e x ex exex +⋅-+⋅⋅-⋅⋅--====⋅， 所以当01x <<时，()()'0,g x g x <递减；当1x >时，()()'0,g x g x >递增. 所以在区间()0,∞+上，()g x 的最小值为()112e eg e+==. ()23524f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，故()f x 在32x =-时取得最大值54.画出()()0f x x <和()()0g x x >图象如下图所示， 令()1f x =，解得2x =-或1x =-.依题意，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立， 由图可知，n m -的最大值为()121---=. 故选：A【点睛】恒成立、存在性问题的求解，可通过结合图象以及函数的最值来求解. 二、填空题13．若实数,x y 满足3,3,2.x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最小值为___________.答案：15- 解：略14．已知向量()(),1,3,4a m b =-=-，且1a =，则⋅=a b ___________. 答案：4 解：略15．已知公比不等于1的等比数列{}n a 和公差不等于0的等差数列{}n b 满足201820192020202123,m n m n a a a a a a b b b b =+=+，则22n m -=___________.答案：20- 解：略16．已知点,,A B C 在半径为5的球面上，且214,27,AB AC BC P ===为球面上的动点，则三棱锥P ABC -体积的最大值为___________. 567解：略 三、解答题17．如图，在四边形ABCD 中，33CD =，7BC =，7cos 14CBD ∠=-.（1）求BDC ∠； （2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值. 答案：（1）6π；（2）12 （1）在BCD △中，利用正弦定理可求得结果；（2）在BCD △中，由余弦定理可求得4BD =，在ABD △中，3A π∠=，设,AB x AD y ==，由余弦定理得22161cos 22x y A xy -+==，即2216x y xy -+=，利用基本不等式求得()max x y +，进而求出 ABD △周长的最大值. 解：（1）在BCD △中，7cos CBD ∠=273sin 11421CBD ∠⎛⎫∴=--= ⎪ ⎪⎝⎭利用正弦定理得：sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，37sin 1142sin 2331BC CBDBDC CD⋅∠∴∠===又CBD ∠为钝角，BDC ∴∠为锐角，6BDC π∴∠=（2）在BCD △中，由余弦定理得22227cos 2142733BC BD CD CBD BC BD ∠+===-⋅⨯- 解得：4BD =或5BD =-（舍去） 在ABD △中，3A π∠=，设,AB x AD y ==由余弦定理得22222161cos 222AB AD D x y A AB B AD xy -+=⋅-+==，即2216x y xy -+= 整理得：()2163x y xy +-=，又0,0x y >>利用基本不等式得：()()2231346x y x y xy +=≤-+，即()2416x y +≤，即()264x y +≤，当且仅当4x y ==时，等号成立，即()max 8x y +=，所以()max 8412AB AD BD ++=+= 所以ABD △周长的最大值为12 【点睛】方法点睛：本题考查利用正余弦定理解三角形，及利用基本不等式求三角形周长的最值，利用条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题. 18．截止到2021年，全国大部分省市已经进入了新高考改革模式，新高考模式为语文数学英语三门必选，然后从物理､化学､生物､政治､历史､地理6门学科中任选3门，（1）某学生由于非常喜欢历史，因此该学生决定三门选修课中的历史必选，剩下的两门从化学，生物，政治，地理四门学科中任选两门，假设该学生选择这四门学科中的任意一门是等可能性的，请问该学生所选的三门学科中既有文科又有理科的概率(物理化学生物为理科，政治历史地理为文科)？（2）为了解学生的选科情况，某学校统计，在总共800名学生中，有300人选择了历史，其中男生有120人；未选历史的学生中男生有280人，请问能否有99.9%的把握认为选择历史学科与性别有关？参考数据：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++答案：（1）6；（2）有99.9%的把握认为选择历史学科与性别有关. （1）先列举出任选两门的所有可能结果，得出其中满足既有文科又有理科的结果，从而得出概率. （2）先根据题意22⨯列联表，由公式求出2K 的值，与临界值表对照得出结论解：解：（1）用1212A A B B ，，，分别表示化学、生物、政治、地理四个学科， 该学生从中任选两门的所有可能结果有：121112212212,,,,,A A A B A B A B A B B B 共6种，其中满足既有文科又有理科的结果有1211122122,,,,A A A B A B A B A B ，共5种， 所以该学生所选的三门学科中既有文科又有理科的56P =（2）根据题意22⨯列联表如下：选历史 不选历史 合计男生 120 280400 女生 180 220 400 合计 300500 800 22800(120220180280)19.210.828400400300500K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 所以有99.9%的把握认为选择历史学科与性别有关.19．点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，点M 在边AB 上，且3AB AM =，沿图1中的虚线DE ，EF ，FD 将,,ADE BEF CDF ，折起使A ，B ，C 三点重合，重合后的点记为点P ，如图2.（1）证明：PF DM ⊥；（2）若正方形ABCD 的边长为6，求点M 到平面DEF 的距离.答案：（1）证明见解析；（2）23. （1）根据折起后有PD PF ⊥，PE PF ⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）设点P 到平面DEF 的距离为h ，根据3AB AM =，得到点M 到平面DEF 的距离为3h ，然后由D PEF P DEF V V --=，利用等体积法求解.解：（1）因为ABCD 是正方形，所以折起后有PD PF ⊥，PE PF ⊥.又,PD PE 交于点P ，所以PF ⊥平面PDE .又DM ⊂平面PDE ，所以PF DM ⊥.（2）设点P 到平面DEF 的距离为h ，因为AB =3AM ，所以PE =3ME ，所以点M 到平面DEF 的距离为3h . 又,,PD PE PF 两两垂直，所以PD ⊥平面PEF . 因为92PEF S =△，6PD =， 所以196932D PEFV -=⨯⨯=. 而927369922DEF ABCD BEF CDE CDF S S SS S =---=---=， 所以11279332P DEF DEF D PEF V S h h V --=⋅⋅=⨯⨯==， 解得2h =， 所以点M 到平面DEF 的距离为233h =. 【点睛】本题考查了图形翻折问题，考查了线线垂直的证明，同时考查了等体积法求距离，需要一定的逻辑思维能力，属于中档题.解决此类立体几何的关键有：（1）理解空间线线以及线面之间的垂直关系，并能简单应用；（2）等体积法的应用，等体积法是解决体积问题以及距离问题的重要方法.20．已知函数()()1sin cos 2x a f x x x x e =---. （1）当0a =时，判断函数()f x 的单调性；（2）已知()1f x ≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.答案：（1）在x ∈R 上单调递增；（2）12a ≤-. 解：解：（1）当0a =时，()()1sin cos 2f x x x x =--()()11cos sin 1024f x x x x π⎛⎫=-+=+> ⎪⎝⎭' ()f x ∴在x ∈R 上单调递增（2）()()1sin cos 12x a f x x x x e =---≥ ()11sin cos 2x a x x x e ≤--- 111sin cos 22x a x x x e ⎛⎫≤--+ ⎪⎝⎭令()111sin cos 22x g x x x x e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭()11111cos sin 1sin cos 2222x g x x x x x x e ⎛⎫=--+--+ ⎪⎝⎭' ()sin x x x e =-令()sin x x x ϕ=-()1cos 0x x ϕ'=-≥()x ϕ∴在在x ∈R 上单调递增又()00ϕ=(),0x ∴∈-∞时，()0x ϕ<即()()0,g x g x '<单调递减()0,x ∈+∞时，()0x ϕ>即()()0,g x g x '>单调递增()min 1()02g x g ∴==- 12a ∴≤- 21．已知开口向右的拋物线E 的顶点在原点，焦点F 在x 轴上，点(),2M m 在抛物线E 上，且2MF =.（1）求拋物线E 的方程；（2）经过焦点F 的直线与拋物线E 交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线的切线并交于点D ，求三角形DAB 面积的最小值.答案：（1）24y x =；（2）最小值为4.解：解：（1）设拋物线E 的方程为22y px =，将(),2M m 坐标代入方程得42=pm ，① 又22p MF m =+=，② 由①，②解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =.（2）设AB 的方程为()()11221,,,ty x A x y B x y =-联立方程214ty x y x=-⎧⎨=⎩ 2440y ty ⇒--=12124,4y y t y y ∴+==-直线DA 的方程为()112y y x x =+直线DB 的方程为()222y y x x =+联立直线DA DB ､的方程解得2112122114x y x y y y x y y -===-- ()212122x x y t y y -==-()1,2D t ∴-点D 到直线AB的距离d ==()241AB t ==+，所以DAB 的面积 ()()3222114141422S AB d t t ==⨯+⨯=+≥，当且仅当0t =时取等号，综上，DAB 面积的最小值为4.22．直线l的参数方程为1(x t t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，曲线C 的极坐标方程()221sin 2θρ+=，（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于两点,A B，若点(2P ，求PA PB +的值. 答案：（10y -=，2212x y +=；（2）327. 解：解：（1）1t x =-，代入第二个方程得到)1y x =-=，所以直线1方程为0y -=；根据222y ,sin x y ρρθ=+=代入曲线C 的极坐标方程，得到曲线C 直角坐标方程为2212x y += （2）将直线1的参数方程化为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪(t '为参数)，代入曲线22:22C x y +=， 得'2732320t t '++=，设､A B 两点在直线l 中对应的参数为''12,t t ，则 ''''''1212123232,,0,077t t t t t t +=-=<<， 所以''''1212327PA PB t t t t +=+=+= 23．已知不等式()12153x x x +-<+的解集为(),m n （1）求,m n 的值； （2）若0a b >>，0ab mn +=，求22a b a b+-的最小值. 答案：（1）2,1m n =-=；（2）最小值为4.解：解：（1）当12x <-时，由()12153x x x +-<+可得()12153x x x --+<+，解得2x >-，此时12;2x -<<- 当102x -≤<时，由()12153x x x +-<+可得()12153x x x ++<+，解得14x <，此时 102x -≤< 当0x ≥时，由()12153x x x +-<+可得()12153x x x +-<+，解得1x <，此时01x ≤<综上所述，不等式()12153x x x +-<+的解集为()2,1-，则2,1;m n =-= （2）由（1）可得2ab =所以222()2a b a b ab a b a b+-+=--()2()444a b a b a b a b -+==-+==--，当且仅当4a b a b -=-，即1,1a b ==时，等号成立，22a b a b +∴-的最小值为4.。
2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学(文)试题Word版含解析
2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8I =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则()() IIA B =（ ）A ．{}7,8B ．{}3,4C ．{}3,4,7,8D ．5,6【答案】A 【解析】计算出集合IA 和IB ，利用交集的定义可求得集合()()I I A B ⋂.【详解】全集{}1,2,3,4,5,6,7,8I =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则{}5,6,7,8IA =，{}1,2,7,8IB =，因此，()(){}7,8IIA B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足()()12i z i +=+，则z =（ ）A B ．5C D 【答案】C【解析】根据复数z 满足()()12i z i +=+，利用复数的除法和乘法，化简为35iz +=，再利用复数的模公式求解. 【详解】因为复数z 满足()()12i z i +=+， 所以()()()()12132225i i i iz i i i +-++===++-，所以z ==.故选：C本题主要考查复数的运算及复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．下列命题中，是假命题的是（ ） A ．若a b a c ⋅=⋅，则()a b c ⊥- B ．x R ∀∈，2330x x -+>C ．函数()sin cos f x x x =+的最小正周期为πD ．2log 323= 【答案】A【解析】选项A. 由数量积的运算性质，当a b a c ⋅=⋅时，则()0a b a c a b c ⋅-⋅=⋅-=，结合向量垂直的定义，从而可判断.选项B. x R ∀∈，223333024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,从而可判断.选项C. 函数()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，从而可判断.选项D. 由对数运算可得2log 323=，从而可判断. 【详解】选项A. 由数量积的运算性质，当a b a c ⋅=⋅时，则()0a b a c a b c ⋅-⋅=⋅-=，当0a =或者b c =时，a 与()b c -不垂直，当0a ≠且b c ≠时，有()a b c ⊥-，从而A 不正确.选项B. x R ∀∈，223333024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,从而B 正确.选项C. 函数()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象如图.由()()sin =44f x x x f x ππππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数的图象，可得()f x 的最小正周期为π，从而C 正确. 选项D. 设2log 3t =，则23t =，所以2log 3223t == 所以2log 323=，从而D 正确.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量垂直的判断，三角函数的周期的判断，对数的运算，属于基础题. 4．如图，样本容量均为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如下，则其中标准差最大的一组是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据每组的条形统计图计算标准差，进而可得出合适的选项. 【详解】对于第一组，9个数均为5，其标准差为10S =；对于第二组，标准差为()22223101693S ⎡⎤⨯-++⎣⎦==；对于第三组，标准差为3S ==；对于第四组，标准差为4S ==因此，标准差最大的为第四组. 故选：D. 【点睛】本题考查标准差的大小比较，根据条形统计图计算出标准差是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 5．已知单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ，若点Q 的横坐标为12-，则点P 的横坐标为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．【答案】B【解析】根据任意角的三角函数的定义可得1cos 2xOQ ∠=-，从而可得()223xOQ k k Z ππ∠=+∈，进而求出()23xOP k k Z ππ∠=+∈，再利用三角函数的定义即可求解.【详解】由单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ， 点Q 的横坐标为12-，所以1cos 2xOQ ∠=-，即()223xOQ k k Z ππ∠=+∈， 所以()23xOP k k Z ππ∠=+∈，设点P 的横坐标为x ，则1cos cos 2cos 332x xOP k πππ⎛⎫=∠=+== ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的定义，理解任意角的三角函数定义是关键，属于基础题. 6．函数sin xy e x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析函数sin xy e x =在0x =处的取值，以及该函数在区间(),2ππ和(),0π-函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数sin xy e x =，当0x =时，sin 0xy e x ==，即该函数图象过原点，排除B 选项； 当(),2x ∈ππ时，sin 0x <，则sin 0xy e x =<，排除C 选项；当(),0x π∈-时，sin 0x <，则sin 0xy e x =<，排除D 选项.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得出正确选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A ．28B ．56C ．84D ．120【答案】C【解析】由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解. 【详解】模拟程序的运行，可得：0,0,0i n S === 执行循环体，1,1,1i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，2,3,4i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，3,6,10i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，4,10,20i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，5,15,35i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，6,21,56i n S ===； 不满足判断条件7i ≥，执行循环体，7,28,84i n S ===； 满足判断条件7i ≥，退出循环，输出S 的值为84. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8．已知平面向量,a b 满足1a b ，12a b ⋅=，若()12c a b =+，()1d a b λλ=+-，()R λ∈，则c d ⋅的值为（ ） A ．13BC ．34D ．与λ有关【答案】C【解析】根据向量数量积运算律进行展开，代入对应数值即得结果. 【详解】()()()()2211[1][11]22c d a b a b a b a b a b λλλλλλ⋅=+⋅+-=+-+⋅+-⋅ ()()221113[1][1]2224a b a b λλλλ=+-+⋅=+-+= 故选：C 【点睛】本题考查向量数量积运算律，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知双曲线()222:10y C x b b-=>，(),0F c 为双曲线的右焦点，过3,02c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭作斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点，若F 为OAB 的内心，则双曲线方程为（ ） A ．2241x y -= B ．2212y x -=C ．2213y x -=D ．2214y x -=【答案】A【解析】设直线AB 的方程为322c y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据内心为内切圆的圆心可知焦点F 到OAB 的三边距离相等，进而列式可得b 即可得出双曲线方程. 【详解】直线AB 的方程为322c y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即230x y c --=.因为F 到渐近线y bx =b =.且F 为OAB 的内心，故焦点F 到OABb = ，故2222515c b b b =⇒+=，解得214b =.故双曲线方程为22114y x -=，即2241x y -=. 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求解，需要根据题意利用内心的性质，结合点到线的距离公式列式求解.属于中档题.10．已知函数()f x 是定义在R 上的单调减函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，且10100a >，则()()()()()12320182019...f a f a f a f a f a +++++的值（ ）A ．恒为负数B ．恒为正数C ．恒为0D ．可正可负【答案】A【解析】先根据等差数列性质得12019a a >-，再根据奇函数性质以及单调性得()()120190f a f a +<，最后根据类推可判断选择. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以1201910101201920a a a a a +=>∴>- 因为函数()f x 是定义在R 上的单调减函数且为奇函数， 所以()()()()()120192019120190f a f a f a f a f a <-=-∴+< 同理可得()()()()()()2201832017100910110,0,,0,f a f a f a f a f a f a +<+<+<()()()10101010101000,f a f a f a +<⇒<因此()()()()()12320182019...0f a f a f a f a f a +++++< 故选:A 【点睛】本题考查等差数列性质、奇函数性质以及单调性，考查综合分析判断能力，属中档题. 11．已知3e a =，3b e =，则下列选项正确的是（ ） A ．a b > B ．ln2a be +< C ．2lnabe a b>+ D ．ln ln 2a be +< 【答案】C【解析】对于选项A ：先构造函数，利用导数研究其单调性，进而根据单调性作判断；对于选项B,选项C 与选项D ，利用放缩进行判断. 【详解】对于选项A ：构造函数ln x y x =，则21ln xy x -'=，所以函数在(),e +∞上单调递减，所以ln ln 33e e >，即3ln ln3e e >，即3ln ln3e e >，即33e e >，故A 错；对于选项B ：由33ee >可得3333ln ln ln 3ln 322e e ee e e e ++>==>，故B 错；对于选项D ：3ln 3ln ln 3ln 3ln 3ln 322e e ee e e e ++>==>，故D 错；对于选项C ：3222lnlnlnln 3ln 3111111333e eee e ea be=>==>+++，故C 正确.故选：C 【点睛】本题考查利用函数单调性以及放缩法比较大小,考查综合分析与求解能力，属中档题.12．已知直角三角形ABC 中，1AC =，BC =斜边AB 上两点,M N ，满足30MCN ∠=︒，则MCN S △的最小值是（ ） ABCD【答案】D【解析】法一：设CM x =，CN y =，MCN S △记为S ，利用三角形的面积公式可得4xy S =，点C 到斜边的距离为d ，可得12S d MN =⋅=，由余弦定理可得2222cos30MN x y xy =+-︒，利用基本不等式即可求解.法二：设ACM θ∠=，0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，CM x =，CN y =，在ACM 和BCN △中，由正弦定理求出2sin 3x y πθ⎧=⎪⎪-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪=⎪⎩，再利用三角形的面积公式，结合三角函数的性质即可求解.【详解】解析：（法一）设CM x =，CN y =，MCN S △记为S ， 则在MCN △中有11sin 3024S xy xy =︒=，即4xy S =. 在ACB △中，点C到斜边的距离为d =故12S d MN =⋅=，即MN =由余弦定理可得：222222cos302MN x y xy x y xy =+-︒=+-≥-， 当且仅当x y =时，取等号.即(224S S ⎫≥⋅⎪⎭，可得S ≥. 法二：设ACM θ∠=，0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，CM x =，CN y = 则在ACM 和BCN △中，由正弦定理可得：2sin sin 33sin sin 62CA CM CB CN ππθππθ⎧=⎪⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩，即12sin 31cos 2y πθθ⎧=⎪⎛⎫-⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎪⎩，得2sin 3x y πθ⎧=⎪⎪-⎪⎪⎨⎝⎭⎪⎪=⎪⎩所以1sin 26S xy π=142sin 3πθ=- ⎪⎝⎭132244sin cos cos sin cos 33ππθθθ=⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭==31cos2sin2822θθ=+⎫+⎪⎭=38sin23πθ=⎛⎫++⎪⎝⎭.∵0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,33ππθπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴面积的最小值为S==，故选：D.【点睛】本题考查了三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理、三角函数的性质、基本不等式，综合性比较强，属于中档题.二、填空题13．cos15sin15︒=︒______.【答案】2【解析】根据154530︒=︒-︒，再根据正余弦的差角公式求解即可.【详解】()()cos4530cos15cos45cos30sin45sin30sin15sin4530sin45cos30cos45sin30︒-︒︒︒︒+︒︒==︒︒-︒︒︒-︒︒2112+====+故答案为：2+【点睛】本题主要考查了根据正余弦差角公式求解三角函数值的问题，需要转换到特殊角的三角函数进行求解，属于基础题.14．已知()22,01,0x x f x x x-≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()2f a a >，则实数a 的解集是______.【答案】()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【解析】先根据分段函数解析式分类列不等式，再解不等式得结果. 【详解】()0242a f a a a a ≥⎧>∴⎨->⎩或012a a a<⎧⎪⎨->⎪⎩解得23a >或0a < 故答案为：()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查解分段函数不等式，考查分类讨论思想方法以及基本求解能力，属基础题.15．已知直线1y kx =-与焦点在x 轴上的椭圆()222:104x yC b b +=>总有公共点，则椭圆C 的离心率取值范围是______.【答案】0,2⎛ ⎝⎦【解析】由焦点在x 轴上得24b <，再由直线1y kx =-与椭圆总有公共点，得20114b +≤，解不等式得12b ≤<，最后根据离心率公式求结果.【详解】因为椭圆焦点在x 轴上，所以24b <，因为0b >，所以02b <<；因为直线1y kx =-与椭圆总有公共点，所以220(1)1014b b b -+≤>∴≥，综上12b ≤<,222311(0,]42c b b e a a ==-=-∈ 故答案为：30,2⎛⎤⎥ ⎝⎦【点睛】本题考查椭圆离心率、直线与椭圆位置关系,考查基本分析求解能力，属中档题. 16．已知三棱锥P ABC -中，满足1PA BC ==，3PC AB ==，2AC =，则当三棱锥体积最大时，直线AC 与PB 夹角的余弦值是______. 【答案】105【解析】先确定三棱锥体积最大时位置，再作平行得直线AC 与PB 的夹角，最后根据余弦定理求结果. 【详解】如图所示，因为ABC 的面积为定值，所以当平面PAC ⊥平面ABC 时，三棱锥PAC 体积最大，过P 作//PE AC ，过A 作AE PE ⊥，所以BPE ∠为AC 与PB 所成角或补角； 过点P 作PD AC ⊥交AC 于D ，则PD ⊥平面ABC ， 所以AE ⊥平面ABC ，即AE AB ⊥， 因为1PA =，3PC =，2AC =，所以PAC 为直角三角形，所以32PD AE ==，12AD PE ==，因为1BC =，3AB =2AC =，所以ABC 为直角三角形，6BAC π∠=所以211732424BD=+-⋅=，则2375442BP=+=，2315344BE=+=，所以1515cos5BPE+-∠==-.因此直线AC与PB夹角的余弦值是5故答案为：5【点睛】本题考查线线角、余弦定理以及三棱锥体积，考查基本分析与求解能力，属中档题.17．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x2tcosy3tsinαα=+⎧⎨=+⎩（t为参数，α为直线l的倾斜角），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求3πα=时直线l的普通方程；（2）若直线l和曲线C交于两点,A B，点P的直角坐标为()2,3，求PA PB+的最大值.【答案】（1）22220x y x y+--=30y--=（2）【解析】（1）由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得2sin2cosρθθ=+，两边同时乘以ρ，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，由直线l的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，化为关于t的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时t的几何意义求解即可．【详解】解：（1）因为2sin2cos4πρθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，得22sin2cosρρθρθ=+∴黄线C的直角坐标方程为22220x y x y+--=当3πα=时，直线l 过定点()2,3，斜率k =∴直线l 的普通方程为)32y x -=-30y --= （2）把直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22220x y x y +--=，得()22cos 4sin 30t t αα+++=.设A 、B 的参数分别为12,t t ，所以()122cos 4sin t t αα+=-+，123t t ⋅=，则1t 与2t 同号，()22cos 4sin 120αα=+->△，则()22cos 4sin 12αα+>，即2cos 4sin αα+>得2cos 4sin αα+>2cos 4sin αα+<-∴()122cos 4sin PA PB t t αααθ+=+=+=+≤∴PA PB +的最大值为【点睛】本题考查曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，属于中档题．三、解答题18．某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下22⨯列联表：（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关？（2）若已经从40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取了5名，现从这5名被调查者中随机选取3名，求这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率.（注：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）没有99.9%的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关（2）35【解析】（1）先根据卡方公式求卡方，再对照数据作判断；（2）先根据分层抽样确定各层抽取人数，再利用枚举法确定事件所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】解：（1）()2210010503001009.09110.8285050455511K ⨯-==≈<⨯⨯⨯∴没有99.9%的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关.（2）由题得40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取的5名人员中有3名对手机游戏很兴趣， 设为a 、b 、c ；有2名对手机游戏无兴趣，设为d 、e ，从a 、b 、c 、d 、e 中随机选取3名的基本事件有{},,a b c 、{},,a b d 、{},,a b e 、{},,a c d 、{},,a c e 、{},,a d e 、{},,b c d 、{},,b c e 、{},,b d e 、{},,c d e 共10个.其中,d e 恰有1个的有{},,a b d 、{},,a b e 、{},,a c d 、{},,a c e 、{},,b c d 、{},,b c e 共6个 ∴这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率为35. 【点睛】本题考查卡方公式以及古典概型概率，考查基本分析求解与判断能力，属基础题. 19．已知非零数列{}n a 满足11a =，1121n na a +=+； （1）证明：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析；121n n a =-（2）()212122n n n n S n ++=-⋅-【解析】（1）根据递推关系式，利用等比数列的定义即可证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式即可求解. （2）利用分组求和法、错位相减法以及等差数列、等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】解：（1）依题意：1121n na a +=+，所以111211n n a a ++=+， 即数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比2q 的等比数列，所以1111112n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，可得121nn a =-，所以121n n a =-（2）由（1）可知2n nnn n a =⋅-，令23122232...2n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅， 则23412122232...2n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅，所以()21121222 (22212)n n n n n T n n ++--=+++⋅=-⋅-，即()1212n n T n +=+-⋅，所以()212122n n n nS n ++=-⋅- 【点睛】本题考查了等比数列的定义、递推关系式求通项公式、分组求和法、错位相减法以及等差数列、等比数列的前n 项和公式，属于中档题.20．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别为棱1111,,BB DD D C 和1A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1EFC ； （2）求点1A 到平面1EFC 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）63【解析】（1）证法一：连结1AC 交EF 于点G ，利用平几知识证四边形1NGC M 为平行四边形，再根据线面平行判定定理得结果；证法二：取1CC 中点P ，利用平几知识证MN ∥112AC 11=2MN AC ，再根据线面平行判定定理得结果；（2））解法一与解法二，利用等体积法求点到直线距离. 【详解】（1）证法一：如图连结1AC 交EF 于点G ，则点G 为1AC 的中点，连结1AD ，NG ∵N 为1AD 的中点，∴NG 为11AC D △的中位线，∴NG ∥11C D ，1112NG C D =∵M 为11C D 的中点，∴NG ∥1C M ，1NG C M =，∴四边形1NGC M 为平行四边形 ∴MN ∥1C G ，∵MN ⊄平面1BFC ，1C G ⊂平面1EFC ∴MN ∥平面1EFC .证法二：如图取1CC 中点P ，连接,AF AE ，,PF PB ，因为正方体1111ABCD A B C D -，,,E F P 分别为111,,BB DD CC 中点，所以可得四边形1BPC E 和四边形ABPF 均为平行四边形，所以AF ∥BP ∥1EC ，所以平面1EFC 即为平行四边形1AEC F 所在平面，因为N 为1A D 的中点，所以也为1AD 中点，且M 为11C D 中点，所以MN ∥112AC 11=2MN AC ，∴MN ∥平面1EFC .（2）解法一：延长1DD 到点O ，使得112DD D O =，连结1A O ，则1A O ∥平面1EFC ， 则1A 到平面1EFC 的距离即O 到平面1EFC 的距离，112OC F S =△，点E 到平面1OC F 的距 离为1，164C EF S =△，设1A 到平面1EFC 的距离为h ，则1111A EFC O EFC E OC F V V V ---==，即11161323h ⋅⋅=⋅可得h =，即点1A 到平面1EFC解法二：由证法二知点1A 到平面1EFC 的距离为1A 到平面1AEC F 的距离，所以11A AEF E A AF V V --=，且12AEFS==，112A AFS =，所以1A 到平面1EFC的距离为1113A AF AEF S S ⨯==. 【点睛】本题考查线面平行的判断以及利用等体积法求点面距离，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 21．已知函数()sin ln 1f x x x =+-.（1）求函数()f x 在点,ln 22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程；（2）当()0,x π∈时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】（1）2ln12y x ππ=+-（2）()f x 在区间()0,π内有且只有一个零点【解析】（1）求出2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭和2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，应用点斜式求出切线的方程； （2）应用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点个数. 【详解】（1）因为()1cos f x x x '=+，所以22k f ππ⎛⎫'== ⎪⎝⎭，所求切线方程为：2ln 22y x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即2ln12y x ππ=+-（2）∵()1cos f x x x '=+，∴当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>，则()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，且ln 022f ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，1ln 0662f ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一零点当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，由()21sin 0f x x x ''=--<，知()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且()20f x π'=>，()110f ππ'=-+<，知存在唯一0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x π∈时，()0f x '<，()f x 单调递减且02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()ln 10f ππ=->，所以()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，综上可知()f x 在区间()0,π内有且只有一个零点. 【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数在某个点处的切线方程，利用导数研究函数的零点，属于简单题目.22．已知圆()()222:11C x y r r +-=>，设点A 为圆C 与y 轴负半轴的交点，点P 为圆C 上一点，且满足AP 的中点在x 轴上.（1）当r 变化时，求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线E ，M 、N 为曲线E 上两个不同的点，且在M 、N 两点处的切线的交点在直线2y =-上，证明：直线MN 过定点，并求此定点坐标.【答案】（1）()240x y y =>；（2）证明见解析，定点坐标为()0,2. 【解析】（1）求得点()0,1A r -，设点(),P x y ，求得线段AP 的中点,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由0CD DP ⋅=结合平面向量数量积的坐标运算化简可求得点P 的轨迹方程；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为y kx b =+，利用导数求出曲线E 在点M 、N 的切线方程，并将两切线方程联立，求出交点Q 的坐标，可得出128x x =-，再将直线MN 的方程与曲线E 的方程联立，利用韦达定理可求得b 的值，进而可求得直线MN 所过定点的坐标.【详解】（1）依题意()0,1A r -，设(),P x y ，则弦AP 中点,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由0CD DP ⋅=得,1,022x x y ⎛⎫⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()240x y y =>； （2）设()11,M x y 、()22,N x y ，依题意可设抛物线在M 、N 两点处的切线交点为()0,2Q x -，设直线MN 的方程为y kx b =+，对函数24x y =求导得2x y '=， 所以，抛物线在点M 处的切线为()11112y y x x x -=-，即2111124y x x x =-， 抛物线在点N 处的切线为()22212y y x x x -=-，即2221124y x x x =-， 联立211222124124x y x x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12012224x x x x x +⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 联立直线MN 与曲线E 的方程得24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx b --=， 由韦达定理得1248x x b =-=-，解得2b =，所以，直线MN 的方程为2y kx =+，过定点()0,2.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了直线过定点问题的处理，考查了抛物线的切线方程，考查计算能力，属于中等题.23．已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=.证明： （1）114a b c+≥+； （2）1113222a b b c c a ++≥+++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）由条件有()11112a b c a b c a b c a b c b c a +⎛⎫+=++⋅+=++ ⎪+++⎝⎭，由均值不等式可证明结论. （2）令2x a b =+，2y b c =+，2z c b =+，则3x y z ++=，即证1113x y z++≥，则()11111113x y z x y z x y z ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式可证. 【详解】证明：（1）因为,,a b c R +∈，又因为1a b c ++=所以()1111224a b c a b c a b c a b c b c a +⎛⎫+=++⋅+=++≥+= ⎪+++⎝⎭， 当且仅当b c a +=时取等号. 所以114a b c+≥+ （2）令2x a b =+，2y b c =+，2z c b =+，则3x y z ++=，且,,x y z R +∈， 所以111111222a b b c c a x y z++=+++++， 所以()11111113x y z x y z x y z ⎛⎫++=++++= ⎪⎝⎭133x x y y z z y z x z x y ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭1333⎛≥+= ⎝（当且仅当x y z ==时取等号.） 【点睛】本题考查利用均值不等式证明不等式，考查条件的应用，注意数字1的灵活处理，属于中档题.。
江西省五市九校协作体2021届高三上学期第一次联考数学(文)答案
江西省五市九校协作体2021届高三上学期第一次联考数学（文）试题参考答案1．B 【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-.故选：B.2．D 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-，所以z 的虚部为1-.故选：D.3．C 【详解】由于位向量1e 、2e 夹角为60，则12121cos602e e e e ⋅=⋅=，()2222121122124444132a e e e e e e ∴=-=-⋅+=-⨯+=，因此，3a =.故选：C.4．A 【详解】()()22a b a b a b -=+-, ()()22a b a b a b a b a b ∴-<-⇔-<+-.当1a b >>时1a b +>且0a b ->,则()()a b a b a b -<+-成立.当()()a b a b a b -<+-时, 不一定得到1a b >>.所以“1a b >>”是“22a b a b -<-”的充分不必要条件.故A 正确. 5．B 【详解】12180m m a a a a -+++=，由等差数列的性质可知，121m m a a a a -+=+，故140m a a +=，()12020202m m m a a S m +===，故101m =，故选：B6．B 【详解】设AC 的高度为x ，则由已知可得3AB x =，2BC BE x ==，tan ABBD ADB==∠，所以279DE BD BE x =-=-=，解得24.7x =≈，所以楼高324.774.174AB ≈⨯=≈（米）．故选：B ．7．D 【详解】由题意，圆2240x y y +-=化为标准方程为22(2)4x y +-=，可得圆心坐标为(0,2)，半径为2r，因为渐近线被圆2240x y y +-=截得的弦长为2，即2222r d，可得2213d r=-=，又由双曲线的渐近线方程为b y xa =±，即0bx ay±=，所以2223aa b±=+，即23ac=，所以离心率为23cea==.故选：D. 8．A【详解】3cos28cos5αα-=，得26cos8cos80αα--=，即23cos4cos40αα--=，解得2cos3α=-或cos2α=（舍去），又25(0,),sin1cos3απαα∈∴=-=.故选：A.9．B【详解】由已知可得()()()11332233a b a b a b a b+=+=+++⎡⎤⎣⎦()()11122322a b a ba b a b⎛⎫=+++⋅+⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭1222322a b a ba b a b++⎛⎫=++⎪++⎝⎭1224223223a b a ba b a b⎛⎫++≥+⋅=⎪⎪++⎝⎭，当且仅当2222a b a ba b a b++=++，即23b=时取等号，所以+a b的最小值为43．故选：B10．C【详解】设,A B在准线上的摄影分别为,M N，过抛物线22(0)y px p=>的焦点F 的直线交抛物线于,A B两点，线段AB的延长线交抛物线的准线l于点C，若2,1BC FB==，由BNC AMC，可得12BN AMBC AM FB BC==++，可得3AF AM==，所以4AB AF FB=+=.故选：C.11．A【详解】三棱锥A BCD-中，侧面ABC⊥底面BCD，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；设三棱锥外接球的球心为O，取BC的中点M，BD的中点N，三角形ABC的重心G，连接OG，则333 AM AB==，2233333AG AM==⨯=，112OG CD==，所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG==+=+=，所以三棱锥外接球的体积为3344232333RVπππ⨯===．故选：A．12．D【详解】由题意，函数()f x的定义域为()0,∞+，对函数()f x求导得()()()2221212()2(1)21xx x e xef x tx x xtxx⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，2()2(ln)xef x t x xx x=-++恰有一个极值点为1，∴()220xe xt+=-在()0,∞+上无解，即()22xtex=+在()0,∞+上无解，令()()()022xeg x xx=≥+，则()()()()()22222212222x x xe x e e xg xx x+-+'==>++，∴函数()g x在[)0,+∞单调递增，当()0,x∈+∞时，()()14g x g>=，∴14a≤.故选：D.13．8【详解】约束条件所示的可行解域如下图所示：在可行解域内平移直线13y x =-，当直线13y x z =-+经过A 点时，直线在纵轴上的截距最大，A 点的坐标是方程组222y y x =⎧⎨=-⎩的解，解得22y x =⎧⎨=⎩，所以3z x y =+的最大值是2328+⨯=.14．1【详解】由题得()2cos ,() 1.3f x x k f π''=∴==所以1()1,1a a ⨯-=-∴=.15．14【详解】因为sin 2sin 2cos sin A B A C +=，所以()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得sin 2sin cos 0A A C +=，所以()sin 120cos A C +=，又sin 0A ≠，所以1cos 2C =-．又因为0πC <<，所以2π3C =，所以113sin 322ABCSab C ab ==⨯=，解得4ab =．又由余弦定理，可得()2222222cos 18414c a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-=-=，所以14c =．16．23【详解】如图，连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，则BO OD =，在线段PE 取一点G 使得GE ED =，则23PG PE =.连接,BG FG ，则//BG OE ， 又因为OE ⊆平面AEC ，BG ⊄平面AEC ，所以//BG 平面AEC . 因为//BF 平面ACE 且满足BG BF B ⋂=，故平面//BGF 平面AEC . 因为平面PCD 平面BGF GF =，平面PCD平面AEC EC =，则//GF EC .所以23PF PG PC PE ==，即23λ=为所求. 17．【详解】（1）设数列{a n }的公比为q ,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a , 所以q 2＝19.由条件可知q ＞0,故q ＝13. 由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n. （2）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()12n n +.故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭. 121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 18．【详解】（Ⅰ）取CD 的中点F ，连接EF ，AF ． 因为E 为PD 的中点，所以//EF PC ，又EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ． 因为2CD AB =，所以AB CF =．又//AB CD ，所以四边形ABCF 是平行四边形，所以//BC AF ， 因为AF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AF 平面PBC ； 因为EFAF F =，且EF ⊂平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以平面//AEF 平面PBC ；因为AE ⊂平面AEF ，所以//AE 平面PBC ．（Ⅱ）因为E 是PD 的中点，所以点E 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 距离的12． 因为PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ．所以BC PB ⊥． 所以1112223323BCD P BCD V S PA BC BC -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=三棱锥△． 在Rt PAB 中，1AB =，22415PB PA AB =++=所以15522PCB S BC BC =⨯=△． 设点D 到平面PBC 的距离为d ， 则15233d BC BC ⨯=，解得45d =． 所以点E 到平面PBC 25． 19．【详解】（1）体育成绩大于或等于70分的学生有1431330++=人，100030=75040⨯人 （2）记体育成绩在[60,70)的2名学生编号为1，2，体育成绩在[80,90)的3名学生编号为3，4，5，从中任取3人，有123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，共10种不同的情况，每种情况都是等可能的，至少有1人为非“体育良好”，即“至少有1人体育成绩在[)60,70”，记作事件A ，只有345是不含1、2的，∴有9种不同的情况，∴()910P A =. （3） 69,74,80a b c ===（或69,75,80a b c ===）.20．【详解】（1）由题意可得：222112c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程：24x +y 2＝1；（2）证明：作点P 关于x 轴的对称点P '，由椭圆的对称性可知， 点P '在椭圆上，且∠P AB ＝∠P 'AB ，∠QBA ＝∠P 'BA ， 因为∠P AB +∠QAB ＝180°．所以∠P 'AB +∠QAB ＝180°， 所以P '，A ，Q 三点共线，由题意可知直线P 'Q 不与x 轴平行或重合，设直线P 'Q 的方程为：x ＝ty +m ，（mt ≠0）， 设()()()()1122,,,,,0,,0A B P x y Q x y A x B x '，联立直线与椭圆的方程：224=4x ty m x y =+⎧⎨+⎩，消x 可得()2224240t y tmy m +++-=， 则有y 1+y 2224mt t =-+，y 1y 22244m t -=+，因为∠QBA ＝∠P 'BA ，所以0BQ BP k k '+=，即12120B By y x x x x +=--，所以()()12210B B y ty m x y ty m x +-++-=， 即()()121220B ty y m x y y +-+= 即()222242(044)Bt m mt m x tt---=++，解得4B x m=， 因为A x m =，所以44A B x x m m⋅=⋅=， 故点A ，B 横坐标之积为定值4．21．【详解】（Ⅰ）由()21xax x f x e+-=， 则()()()()()222211212x xxxax e ax x e ax a x f x e e +-+--+-+'==，()02f '=，由()01f =-，所以()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为21y x =-， 所以在点()()0,0f 处的切线方程与实数a 的取值无关，即证.（Ⅱ）()212xax x f x e+-=≥-对[]1,1x ∈-恒成立， 即2120x ax x e +-+≥对[]1,1x ∈-恒成立，212x ax x e ∴≥--对[]1,1x ∈-恒成立，当0x =时，恒成立，当0x ≠时，212xx e a x --≥对[)(]1,00,1x ∈-恒成立，令()212xx e g x x--=， ()()()()24212122xx e x e x xg x x+-+++-⋅'=()()()()()24421222212xx e x x x x x x e xx+-++---==，令()0g x '=，解得ln2x =-，()g x ∴在[]1,ln 2--，(]0,1上单调递增，在[)ln 2,0-上单调递减，()()(){}11max ln 2,1max ,2ln 2ln 2g x g g e ⎧⎫∴=-=-=⎨⎬⎩⎭，()max 1ln 2a g x ∴≥=， 故实数a 的取值范围为1,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 22．【详解】（Ⅰ）由)sin 2ρθθ-=2y -=，即2y =-；即曲线1C的直角坐标方程为2y =-；曲线2C 的参数方程为()31cos 23sin x t y t⎧=+⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得2C 的普通方程为()()22329x y -++=．（Ⅱ）曲线1C的参数方程可写为1222x s y s⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（s 为参数），代入曲线2C的普通方程，得221922s ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得280s s --=． 设A ，B 所对应的参数分别为1s ，2s ，则121218s s s s +=⎧⎨=-⎩，所以12AB s s =-==23．【详解】（1）()31,212123,22131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩.由()4f x >，可得2314x x ≤-⎧⎨-->⎩，或12234x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩，或12314x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩， 解得2x -≤或21x -<<-或1x >.所以不等式的解集为{1x x <-或}1x > （2）由（1）易求得()min 11531222f x f ⎛⎫==⨯+=⎪⎝⎭，即52m =. 所以3425a b m -==，即3450a b --=.()()2221a b -++表示点()2,1-与点(),a b 的距离的平方.又点(),a b 在直线3450x y --=上.因为点()2,1-到直线3450x y --=的距离1d ==，所以()()2221a b -++的最小值为21d =.。
江西省五市九校协作体2021届高三上学期第一次联考数学(文)试题(含答案解析)
13．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是______.
14．曲线 在 处的切线与直线 垂直，则 ________.
15．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ， ， 的面积是 ，则 ______．
16．如图，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，点 是棱 上一点， ，若 且满足 平面 ，则 ______．
注： ，其中 .
20．已知椭圆C： 1（a＞b＞0）的离心率为 ，点M（a，0），N（0，b），O（0，0），且△OMN的面积为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A，B是x轴上不同的两点，点A（异于坐标原点）在椭圆C内，点B在椭圆C外．若过点B作斜率不为0的直线与C相交于P，Q两点，且满足∠PAB+∠QAB＝180°．证明：点A，B的横坐标之积为定值．
A．65米B．74米C．83米D．92米
7．若双曲线 (a>0，b>0)的一条渐近线被圆 截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）
A．2B．3C． D．
8．已知 ，且 ，则 （）
A． B．
C． D．
9．若 ， 为正实数，且 ，则 的最小值为（）．
A． B． C．2D．4
10．已知过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于 两点，线段 的延长线交抛物的准线 于点C，若 ，则 （）
考点：充分必要条件.
5．B
【分析】
由等差数列的性质可得 ，再由等差数列前 项和公式列式可算出结果.
【详解】
，由等差数列的性质可知，
故
故
故选：B
【点睛】
解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：
1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；
江西省六校2021届高三联合考试数学(文)试卷(有答案)
江西省六校2021届高三联合考试数学（文）试卷一、选择题1.已知，,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)i 1i x y --=-+则(1i)x y ++的值为（ ） A. 4B.44i +C.4i -D. 2i2.已知集合{}1,2A =,{}|10B x mx =-=,若A B B ⋂=,则符合条件的实数m 的值组成的集合为( ) A. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 11,0,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭3.设1234518,19,20,21,22x x x x x =====将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S 的值及其统计意义分别是( )A.2s =，这5个数据的方差B.2s =，这5个数据的平均数C.10s =，这5个数据的方差D.10s =，这5个数据的平均数4.函数22()cos x xf x x x -+=-的图象大致为( )A. B. C. D.5.直线5y =与1y =-在区间4π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上被曲线sin (0,0)2y m x n m n ω=+>>所截得的弦长相等且不为零，则（ ） A. 53,2m n >=B. 3,2m n ≤=C. 35,22m n ≤=D.3,2m n >=6.一种电子小型娱乐游戏的主界面是半径为r 的一个圆,点击圆周上点A 后该点在圆周上随机转动,最终落点为B ,当线段AB 的长不小于r 3时自动播放音乐,则一次转动能播放出音乐的概率为( ) A.13B.12C.23D.567.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等. 设,A B 为两个等高的几何体，:,p A B 的体积不相等，:,q A B 在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知三棱锥，P ABC -,在底面ABC ∆中，60,A BC ∠==PA ⊥面ABC ，2PA =，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A.3B.C.π3D. 8π 9.已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3)f x f x f ++=，且(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，则(2016)f =（ ） A.0B.1-C.1D. 610.若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q ⋅的值等于（ ） A. 17B. 18C.19D.2011.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB ∠α=，则当α最大时cos α的值为（ ）A.12B.910C. 0D. 12-12.已知1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12,F F 为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，1PF 与双曲线相交于点Q ，且1||3PQ QF =，则该双曲线的离心率为（ ）C.32二、填空题13.已知向量()1,2a =，向量(),2b x =-，()a ab ⊥-，则实数x 等于___________. 14.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a bc ．若π1,4a B =∠=，ABC △的面积2S =，则的ABC △的外接圆的面积__________．15.已知m R ∈,动直线1:20l x my +-=过定点A ，动直线2:230l mx y m --+=过定点B ，若 1l 与2l 交于点p (异于点,A B ),则PA PB +的最大值为__________.16.设函数()2ln 3f x x mx x =-+, 若存在唯一的整数0x 使得()00f x >, 则实数m 的取值范围是____________.三、解答题17.已知数列{}n a 满足13a =,且121n n a a +=-. (1)证明:数列{}1n a -为等比数列;(2)记12nn n n b a a +=⋅,nS 是数列{}n b 前n 项的和,求证:18.在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为,,,,A B C D E 五个等级，某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人.（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（2）若等级,,,,A B C D E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（3）已知参加本考查测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A ，在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率. 19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，111,AA BC A B BB ⊥⊥.(1)求证：11AC CC ⊥ (2)若1AB =,AC =BC 问1AA 为何值时，三棱柱111ABC A B C -体积最大，并求体积最大值。
2021年江西省玉山一中、临川一中等九所重点中学高考数学联考试卷(文科)
2021年江西省玉山一中、临川一中等九所重点中学高考数学联考试卷（文科）（3月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|1<x<log2k}，集合A中至少有2个元素，则()A. k≥4B. k>4C. k≥8D. k>82.设Z=2i1+i2021(i为虚数单位)，则|Z|=()A. √22B. √2 C. 12D. 23.据有关文献记载：我国古代一座9层塔挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多d(d为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的顶层共有灯()A. 2盏B. 3盏C. 4盏D. 5盏4.在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，如图是各国公布的2020年第二季度国内生产值(GDP)同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于−15%的概率为()A. 310B. 12C. 35D. 7105.已知两个单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为120°，则下列向量是单位向量的是()A. a⃗+b⃗B. a⃗−12b⃗ C. a⃗−b⃗ D. a⃗+12b⃗6.设函数f(x)=xln1−x1+x，则函数的图象可能为()A.B.C.D.7. 如图，P 是椭圆x 29+y 24=1上的一点，F 是椭圆的左焦点且PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则|PF|=( ) A. 2 B. √5 C. 3 D. 48. 中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+SN ).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1000提升至8000，则C 大约增加了( )(lg2≈0.3010)A. 10%B. 30%C. 60%D. 90%9. 在四棱锥A 1−ABCD 中，A 1A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC =π3，AA 1=2，BD =2√3，经过直线BD 且与直线A 1C 平行的平面交直线AA 1于点P ，则三棱锥P −ABD 的外接球的表面积为( )A. √172πB. 17πC. √576π D.114π310. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则关于函数f(x)下列说法正确的是( )A. f(x)的图象关于直线x =π6对称 B. f(x)的图象关于点(π4,0)C. f(x)在区间[−5π12,−π6]上是增函数D. 将y=sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到f(x)的图象11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点F1，F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AF2|=3|F2B|，|AF1|=|AB|，则该双曲线的离心率为()A. √52B. 2C. √5D. √312.函数f(x)=kx，g(x)=2lnx+6(1≤x≤4)，若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M，N关于直线y=3对称，则实数k的取值范围是()A. (−2e ,−ln2] B. [−2e,0] C. [−ln2,0] D. [−2e,−ln2]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=xe x+x在点(0,0)处的切线方程为______ ．14.若实数x，y满足{x−1≥02x−y−2≤0y−3≤0，则Z=2x+y的最大值为______ ．15.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,−1)，P(t,t−2)，若动点满足|MA||MO|=√2(O为坐标原点)，则|MP|的最小值是．16.数列{a n}满足a1=1，a n+1+(−1)n a n=2n+1，S n为其前n项和，则S101=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA=√3acosB，sinC=4sinA．(1)求B；(2)在△ABC的边AC上存在一点D满足AD=4CD，连接BD，若△BCD的面积为2√35，求b．18.某疫苗进行安全性临床试验.该疫苗安全性的一个重要指标是：注射疫苗后人体血液中的高铁血红蛋白(MetHb)的含量(以下简称为“M含量”)不超过1%，则为阴性，认为受试者没有出现高铁血红蛋白血症(简称血症)；若M含量超过1%，则认为受试者没有出现血症.若一批受试者的M含量平均数不超过0.65%，出现血症的被测试者的比例不超过5%，同时满足这两个条件则认为该疫苗在M含量指标上是“安全的”；否则为“不安全”.现有男、女志愿者各200名接受了该疫苗注射.经数据整理，制得频率分布直方图如图.(注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作代表.)(1)请说明该疫苗在M含量指标上的安全性；(2)按照性别分层抽样，随机抽取50名志愿者进行M含量的检测，其中女性志愿者被检测出阳性的恰好1人.请利用样本估计总体的思想，完成这400名志愿者的2×2列联表，并判断是否有超过95%的把握认为，注射该疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关？性别男女合计阴性阳性阳性阴性合计．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.82819.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AA1=1，AB=√3，AC=2，E，F分别为棱CC1，BC的中点．(1)求异面直线EF与A1B所成角的大小；(2)若G为线段AA1的中点，试在图中作出过E，F，G三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分(较小部分与较大部分)的体积的比值．20.已知函数f(x)=2x−asinx．(1)证明：当a=2时，函数f(x)在区间(0,π)没有零点；(2)若x∈(0,π)时，f(x)≥−sin2x，求a的取值范围．21.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆C：(x−3)2+y2=4的两条切线，切点为M，N，|MN|=2√3．(1)求抛物线E的方程；(2)设A ，B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =94(其中O 为坐标原点)，求△FAB 与△OAF 面积之和的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为{x =2cosα−2sinαy =cosα+sinα(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(3π4−θ)=4√2．(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于A ，B 两点，求1|OA|+8|OB|的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −a|+|x +2a|．(1)若a =1，求不等式f(x)≤4−x 2的解集；(2)已知m +n =2，若对任意x ∈R ，都存在m >0，n >0，使得f(x)=4m 2+2n mn，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x∈N|1<x<log2k}，集合A中至少有2个元素，∴A={2,3}，∴log2k>3，∴k>8．故选：D．首先确定集合A，由此得到log2k>3，由此求得k的取值范围．本题考查了集合的化简与应用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：Z=2i1+i2021=2i1+i⋅i2020=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，则|Z|=√2．故选：B．由已知结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的模长公式即可求解．先根据复数四则运算求出Z，再根据复数的模长公式可求．3.【答案】A【解析】解：设顶层有x盏灯，则最下面有(x+8d)盏，则x+8d=13x，即23d=x，由题意得x+(x+d)+(x+2d)+⋯+(x+8d)=126，整理得9x+36d=126，所以9×2d3+36d=126，解得d=3，x=2，所以顶层有2盏灯．故选：A．由已知结合等差数列的求和公式及通项公式即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：如图是中国、澳大利亚、印度、英国、美国公布的2020年第二季度国内生产值(GDP)同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，基本事件总数n=C52=10，五个国家中印度、英国第二季度GDP同比增长率低于−15%，这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于−15%包含的基本事件个数：m=C31C21+C22=7，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于−15%的概率为：P=mn =710．故选：D．从这5个国家中任取2个国家，基本事件总数n=C52=10，五个国家中印度、英国第二季度GDP同比增长率低于−15%，这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于−15%包含的基本事件个数m=C31C21+C22=7，由此能求出这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于−15%的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、条形统计图等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等数学核心素养，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵两个单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为120°，∴a⃗⋅b⃗ =1×1×cos120°=−12，∴|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2=√a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =√1+1−1=1，∴a⃗+b⃗ 是单位向量；∵|a⃗−12b⃗ |=√(a⃗−12b⃗ )2=√a⃗2+b⃗24−a⃗⋅b⃗ =√1+14+12=√72≠1；|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√1+1+1=√3≠1；∵|a⃗+12b⃗ |=√(a⃗+b⃗2)2=√a⃗2+b⃗24+a⃗⋅b⃗ =√1+14−12=√32≠1，故选：A．由题意利用两个向量的数量积的定义，求出a⃗⋅b⃗ ，再求出向量的模，结合单位向量的定义，得出结论．本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模，单位向量的定义，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：函数f(x)=xln 1−x 1+x 定义域为：(−1,1)，f(−x)=−xln 1+x 1−x =xln 1−x1+x =f(x)，函数f(x)为偶函数，排除AC ； f(12)=12ln 13<0，排除B ．故选：D ．求出函数的定义域，容易判断函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f(12)<0，结合选项运用排除法即可得到答案．本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，单调性，特殊点等角度运用排除法求解，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由椭圆的方程可得：a =3， 设椭圆的右焦点为M ，则|PM|+|PF|=2a =6，又因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点Q 为PF 的中点，又O 为FM 的中点， 所以在三角形PFM 中，OQ 为中位线，所以|OQ|=12|PM|， 则|PM|=4，所以|PF|=2， 故选：A ．先求出a 的值，然后求出椭圆的右焦点，利用椭圆的定义以及三角形的中位线的性质即可求解．本题考查了椭圆的方程与性质，定义，涉及到三角形的中位线性质，考查了学生的呀能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：当SN =1000时，C 1=Wlog 21000，当SN =8000时，C 2=Wlog 28000， ∴C 2C 1=Wlog 28000Wlog 21000=lg8000lg1000=3+3lg23≈1.3，∴C 大约增加了30%， 故选：B ．利用香农公式分别计算出信噪比为1000和8000时的C 的值，再利用对数的运算性质求出C 的比值即可得到结果．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是基础题．9.【答案】B【解析】解：如图，连接AC ，交BD 于E ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴E 为AC 的中点， ∵A 1C//平面PBD ，PE ⊂平面PBD ，PE 、A 1C ⊂平面PECA 1，∴A 1C//PE ，则P 为A 1A 的中点，设三角形ABD 的外心为G ，外接圆半径为r ，由已知可得，∠BAD =2π3，则r =2√32sin 2π3=2，再设三棱锥P −ABD 的外接球的球心为O ，连接OG ，则OG ⊥平面ABCD ，又AA 1⊥平面ABCD ，且AA 1=2，∴外接球半径R 满足R 2=r 2+(14AA 1)2=4+14=174，则三棱锥P −ABD 的外接球的表面积为4πR 2=17π． 故选：B ．由题意画出图形，证明P 为AA 1的中点，再求出底面三角形ABD 外接圆的半径，利用勾股定理求得三棱锥P −ABD 的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：由函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象得， f(0)=sinφ=√32，由五点法画图知φ=π3，又f(5π6)=sin(5π6ω+φ)=0，所以5π6ω+π3=2π，解得ω=2， 所以f(x)=sin(2x +π3).对于A ，f(π6)=sin(π3+π3)=√32，所以f(x)的图象不关于直线x =π6对称，A 错误；对于B ，f(π4)=sin(π2+π3)=12，所以f(x)的图象不关于点(π4,0)对称，B 错误； 对于C ，x ∈[−5π12,−π6]时，2x +π3∈[−π2,0]，所以f(x)在区间[−5π12,−π6]上是增函数，C 正确；对于D，把y=sin2x向右平移π3个单位，得y=sin2(x−π3)=sin(2x−2π3)，得不到f(x)的图象，D错误．故选：C．根据函数f(x)的图象求出f(x)的解析式，再对选项中的命题进行分析、判断，即可得出正确的结论．本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式，以及函数的图象与性质的应用问题，是基础题．11.【答案】B【解析】解：设|F2B|=m(m>0)，则|AF2|=3m，|AF1|=|AB|=4m，由双曲线的定义得，|AF1|−|AF2|=2a，则m=2a，|BF1|−|BF2|=2a，则|BF1|=2m，∴|AF1|=8a，|AF2|=6a，|BF1|=4a，|F2B|=2a，在△AF1F2中，由余弦定理可得，cos∠AF2F1=|AF2|2+|F1F2|2−|AF1|22|AF2||F1F2|=36a2+4c2−64a224ac=c2−7a26ac，在△BF1F2中，同理可得cos∠BF2F1=c2−3a22ac，则c2−7a26ac +c2−3a22ac=0，解得e=ca=2(e>1)，故选：B．设|F2B|=m(m>0)，则|AF2|=3m，|AF1|=|AB|=4m，由双曲线的定义可得m=2a，再把|AF1|，|AF2|，|BF1|，|BF2|用含有a的值表示，在△AF1F2与△BF1F2中，利用余弦定理列式求解．本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：设函数g(x)上的一点N(x0,2lnx0+6)，关于直线y=3的对称点M(x0,−2lnx0)，又因为点M在函数f(x)图象上，∴−2lnx0=kx0，∴k=−2lnx0x0，(x0∈[1,4])，令ℎ(x)=−2lnx x，x ∈[1,4]，ℎ′(x)=2(lnx−1)x 2，∴x ∈[1,e]时ℎ′(x)≤0，x ∈(e,4]时，ℎ′(x)>0，即ℎ(x)在[1,e]上单调递减，在(e,4]上单调递增，ℎ(1)=0，ℎ(e)=−2e ，ℎ(4)=−ln2， ∴k ∈[−2e ,0]， 故选：B ．设函数g(x)上的一点N ，关于直线y =3的对称点M 的坐标能表示出来，代入f(x)解析式，即可解出．本题考查了函数的性质，逻辑推理，数学运算等核心素养．13.【答案】y =2x【解析】解：y =xe x +x 的导数为y′=xe x +e x +1，可得曲线y =xe x +x 在点(0,0)处的切线斜率为k =0+1+1=2， 则所求切线的方程为y =2x ． 故答案为：y =2x ．求出函数的导数，由导数的几何意义，代入x =0可得切线的斜率，再得到切线方程． 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.【答案】8【解析】解：作出实数x ，y 满足{x −1≥02x −y −2≤0y −3≤0表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A(1,3)，B(1,0)，C(52,3) 设z =F(x,y)=2x +y ，将直线l ：z =2x +y 进行平移， 当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值∴z最大值=F(52,3)=2×52+3=8．故答案为：8．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y 对应的直线进行平移，即可求解结论．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．15.【答案】√22【解析】【分析】本题考查了动点轨迹方程的求解，涉及了与圆有关的最值问题的求解，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．先分别求出动点M和动点P的轨迹方程，然后将问题转化为求解圆上的点到直线的距离最小问题，利用圆心到直线的距离减去半径即可．【解答】解：设动点M(x,y)，因为点A(0,−1)，且动点满足|MA||MO|=√2(O为坐标原点)，所以|MA|2|MO|2=2，即x2+(y+1)2x2+y2=2，整理可得x2+(y−1)2=2，故点M的轨迹是以(0,1)为圆心，r=√2为半径的圆，因为P(t,t−2)，故点P的轨迹是直线x−y−2=0，因为圆心(0,1)到直线x−y−2=0的距离d=2=3√22，所以|MP|的最小值即为d−r=3√22−√2=√22．故答案为√22．16.【答案】5151【解析】解：由a n+1+(−1)n a n=2n+1，可知当n为偶数时，a n+1+(−1)n a n=2n+1，即a n+1+a n=2n+1，所以S101=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a100+a101)=1+(2×2+1)+(2×4+1)+⋯+(2×100+1)=51+(2×2+2×4+⋯+2×100)=51+2×12×50×(2+100)=5151．故答案为：5151．当n为偶数时，a n+1+a n=2n+1，从而得到S101=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+ (a100+a101)，再根据等差数列的求和公式，求出S101的值．本题考查等差数列数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)由正弦定理知，asinA =bsinB，∵bsinA=√3acosB，∴sinAsinB=√3sinAcosB，∵sinA≠0，∴tanB=sinBcosB=√3，∵B∈(0,π)，∴B=π3．(2)依题意可知，S△ABCS△BCD =ACDC=51，∵△BCD的面积为2√35，∴S△ABC=2√3=12ac⋅sinB=12ac⋅sinπ3，∴ac=8，∵sinC=4sinA，∴c=4a，∴c=4√2，a=√2，由余弦定理知，b=√a2+c2−2accosB=√26．【解析】(1)利用正弦定理将bsinA=√3acosB中的边化角，可得tanB=√3，从而得解；(2)由S△ABC=2√3=12ac⋅sinB，知ac=8，再结合正弦定理和余弦定理，即可得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式和余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解(1)由频率分布直方图得，M含量数据落在区间(1.0,1.2]上的频率为0.15×0.2=0.03，故出现血症的比例为3%<5%，由直方图得平均数为x−=0.3×0.2+0.5×0.3+0.7×0.3+0.9×0.17+1.1×0.03= 0.606，即志愿者的M含量的平均数为0.606%<0.65%，综上，该疫苗在M含量指标上是“安全的”．(2)依题意得，抽取的50名志愿者中女性志愿者应为25人，由已知，25名女性志愿者被检测出阳性恰有1人，故女性中阳性的频率0.04，所以全部女性志愿者共有200×0.04=8人，由(1)知400名志愿者中，阳性的频率为0.03，所以阳性的人数共有400×0.03=12人，因此男性志愿者被检测出阳性的人数是12−8=4人，所以完成表格如下：性别男女合计阴性阳性阳性4812阴性196192388合计200200400≈1.375<3.841，由2×2列联表可K2=400×(4×192−8×196)2200×200×12×388故没有超过95%的把握认为注射疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关．【解析】(1)根据频率分布直方图求出M含量数据落在区间(1.0,1.2]上的频率，从而得到出现血症的比例，由频率分布直方图估算出平均数，再根据题意判断即可．(2)先计算出抽取的50人中男女人数，再根据女性志愿者被检测出阳性恰有1人，计算出女性中阳性的频率的频率，进而求出女性中阳性的人数，再根据阳性总人数得到男性中阳性的人数，完成2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题主要考查了频率分布直方图，独立性检验，同时考查了学生的计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)连接BC1，则EF为△BCC1的中位线，故∠A1BC1为所求异面直线所成的角．又A1C1⊥A1B1，A1C1⊥A1A，且AA1∩A1B1=A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∠C1A1B=90°．在Rt△C1A1B中，∵A1C1=2，A1B=2，∴∠A1BC1=45°，故异面直线EF与A1B所成角的大小为45°；(2)取AB中点M，连接EG、MG、MF，可得EG//AC，MF//AC，∴MF//EG，则M、F、E、G四点共面，则EFMG为所求截面的多边形．V ABC−A1B1C1=S△ABC⋅AA1=12×2×√3×1=√3，连接AF，GF，则V ACEGMF=V G−AMF+V F−ACEG=13×12×√32×1×12+13×2×12×√32=5√324，∴该截面分三棱柱成两部分(较小部分与较大部分)的体积的比值为5√32419√324=519．【解析】(1)连接BC1，则∠A1BC1为所求异面直线所成的角，证明△C1A1B为等腰直角三角形，即可求得异面直线EF与A1B所成角的大小；(2)取AB中点M，证明M、F、E、G四点共面，则EFMG为所求截面的多边形，求出棱柱体积，再由棱锥体积公式公式求得多边形ACEGMF的体积，则答案可求．本题考查异面直线所成角及多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)证明：f′(x)=2−2cosx=2(1−cosx)∵x∈(0,π)，∴f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,π)上单调递增，又f(0)=0，∴x∈(0,π)，都有f(x)>f(0)=0，∴f(x)在区间(0,π)上没有零点．(2)f(x)≥−sin2x即2x−asinx+sin2x≥0，由x∈(0,π)得a≤2x+sin2xsinx =2xsinx+2cosx，令ℎ(x)=2xsinx+2cosx，x∈(0,π)，ℎ′(x)=2sinx−2xcosx−2sin3xsin2x =2sinxcos2x−2xcosxsin2x=2cosx(sinxcosx−x)sin2x，令m(x)=sinxcosx−x，x∈(0,π)，m′(x)=cos2x−sin2x−1=cos2x−1<0，得m(x)在(0,π)单调递减，m(x)<m(0)=0，从而x∈(0,π2)，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以x ∈(π2,π)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， ∴ℎmin (x)=ℎ(π2)=π，得a ≤π，所以a 的取值范围为(−∞,π]．【解析】(1)求导得f′(x)=2(1−cosx)>0在(0,π)上恒成立，得f(x)单调性，得出f(x)>f(0)=0，进而可得答案．(2)要证f(x)≥−sin2x ，即证2x −asinx +sin2x ≥0，需证x ∈(0,π)得a ≤2x+sin2x sinx=2x sinx+2cosx ，令ℎ(x)=2x sinx+2cosx ，x ∈(0,π)，只需a ≤ℎ(x)min 即可得出答案．本题考查导数的综合应用，不等式的证明，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)由已知可得K(−p2,0)，圆C ：(x −3)2+y 2=4的圆心C(3,0)，半径r =2．设MN 与x 轴交于R ，由圆的对称性可得|MR|=√3.于是|CR|=1，∠MCR =60°， 即|CK|=4，即有3+p2=4，解得p =2，则抛物线E 的方程为y 2=4x ， (2)设直线AB ：x =my +t ，A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，设y 1>0，y 2<0，联立抛物线方程可得y 2−4my −4t =0，∴y 1+y 2=4m ，y 1⋅y 2=−4t ， 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =94有y 124⋅y 224+y 1⋅y 2=94， 解得y 1⋅y 2=−18或2(舍去)，即−4t =−18，解得t =92．则有AB 恒过定点Q(92,0)；S △FAB +S △AOF =12⋅|OF|⋅y 1+12⋅|FQ|⋅|y 1−y 2|=12y 1+12×72×(y 1−y 2)=12y 1+74×(y 1+18y 1)=12y 1+7y 14+632y 1=9y 14+632y 1≥2√9y 14⋅632y 1=9√142，(当且仅当9y 14=632y 1，即y 1=√14时取等号)，∴△FAB 与△OAF 面积之和的最小值9√142．【解析】(1)求出圆的圆心与半径，设MN 与x 轴交于R ，由圆的对称性可得|MR|=√3.于是|CR|=1，通过|CK|=4，解得p =2，得到抛物线E 的方程． (2)设直线AB ：x =my +t ，A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，设y 1>0，y 2<0，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及向量的数量积求解直线系方程得到经过的定点坐标，然后求解面积的表达式，求解最值即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)由曲线C 的参数方程得：x24+y 2=(cosα−sinα)2+(cosα+sinα)2=2∴曲线C 的直角坐标方程为x 28+y 22=1又由ρsin(3π4−θ)=4√2，ρcosθ+ρsinθ=8， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ，代入上式， 得直线l 的直角坐标方程为x +y −8=0． (2)在极坐标系内，A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ)， 则ρ12cos 2θ8+ρ12sin 2θ2=1，ρ2cosθ+ρ2sinθ=81|OA|2+8|OB|2=1ρ12+8ρ22=cos 2θ+4sin 2θ+1+sin2θ8=7+√13sin(2θ−φ)16≤7+√1316(当sin(2θ−φ)=1时取等号，符合题意) ∴1|OA|2+8|OB|2的最大值为7+√1316【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用极径的应用，三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =1时，不等式f(x)≤4−x 2即为|x −1|+|x +2|≤4−x 2①， 当x <−2时，①化为x 2−2x −5≤0无解， 当−2≤x ≤1时，①化为x 2≤1，从而−1≤x ≤1， 当x >1时，①化为x 2+2x −3≤0无解． ∴原不等式的解集为{x|−1≤x ≤1}；(2)f(x)=|x −a|+|x +2a|≥|(x −a)−(x +2a)|=3|a|，4m 2+2n mn =4m n+2m =4m n+m+n m =4m n+n m +1≥2√4m n⋅nm +1=5，当且仅当2m =n ，即m =23，n =43时等号成立，∴5≤3|a|， ∴a ≤−53或a ≥53，∴a 的取值范围为(−∞,−53]∪[53,+∞)．【解析】(1)由题意可得|x −1|+|x +2|≤4−x 2，由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由绝对值不等式的性质求得f(x)的最小值，再由基本不等式求得4m 2+2n mn的最小值，可得a 的不等式，解得a 的范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，以及基本不等式的运用，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
江西省重点中学协作体2021届高三第二次联考数学(文)试题
故选：B．
6．B
【分析】
如图，当直线在 位置时，斜率 ，当直线和半圆相切时，由半径2 解得 值，即得实数 的取值范围．
【详解】
由题意得，半圆 与直线 有两个交点，
又直线 过定点 ，如图所示，
【详解】
由题意知， .当 时，函数 取得最大值，所以 ， .解得 ， .因为 在区间 上递增，在 上递减，所以 且 ，解得 .因此 .
故选：C
【点睛】
求三角函数的解析式时，由 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 ，则令 或 )，即可求出 ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出 和 ，若对 的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
A． ，输出
B． ，输出
C． ，输出
D． ，输出
10．设 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数 的图象.若 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则 （）
A． ， B． ， C． D．3
11．设 、 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点，若在直线 上存在点 ，使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是
所以 平面 .
因为 ， ，
所以 .
而 ，
所以 ，
解得 ，
所以点 到平面 的距离为 .
【点睛】
本题考查了图形翻折问题，考查了线线垂直的证明，同时考查了等体积法求距离，需要一定的逻辑思维能力，属于中档题.解决此类立体几何的关键有：
（1）理解空间线线以及线面之间的垂直关系，并能简单应用；