《等式性质与不等式性质》一元二次函数、方程和不等式PPT优质课件
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高中数学统编版第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质课件(34张)
()
④当 x>-3 时,一定有1������<-13. (
)
⑤若 a>b,则1������ < 1������. (
)
答案:①× ②× ③× ④× ⑤×
一二三四
(2)若a>b,则下列各式正确的是( ) A.a-2>b-2 B.2-a>2-b C.-2a>-2b D.a2>b2 解析:因为a>b,所以a-2>b-2,2-a<2-b,-2a<-2b,故A正确,B、C错误; 又取a=0,b=-1时,a>b,但a2<b2,D错误,故选A. 答案:A
性质 6(同向同正可乘性) 性质 7(可乘方性)
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)
一二三四
3.做一做
(1)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.
() ②同向不等式具有可加性和可乘性.( ) ③若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.
探究一
探究二
探究三 思维辨析 随堂演练
用不等式(组)表示不等关系 例1已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:
食物
甲乙
维生素 A/(单位/kg) 维生素 B/(单位/kg)
600 700 800 400
设用x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成混合食物,并使混合食 物内至少含有56 000单位的维生素A和63 000 单位的维生素B.试用 不等式组表示x,y所满足的不等关系.
分析:根据维生素A和B分别至少为56 000单位和63 000 单位列不 等式.
高中课件 一元二次函数、方程和不等式
b＋c． 这就是说，不等式的两边都加上同一个
实数，所得不等式与原不等式同向．
B1
A1
b+c
aa+c
探究3：移项
用性质2证明 a＋b＞c ⟺ a＞c－b．
a + b > c a + b +(-b)> c +(-b) a > c - b.
一般地说，不等式中任何一项可以改变符号 后移到不等号的另一边.
补充练习
15．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是 a， b，c，d，已知 a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球
由重到轻的排列顺序是( A )
A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b
解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c ＋(c＋d)，即 a>c.∴b<d.又 a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.
于是a× 1 ab
即 1 > 1.
>
b×a1同的b号实，的数两，个两不边相同等时 取倒数不等号
ba
改变方向
由c < 0,得 c > c .
ab
思考：还可以利用作差法证明吗？ 证明:
思考
糖水加糖后变得 更甜了
已知b克糖水中含有a克糖 （b＞a＞０），再添加m克 糖 （m＞０）（假设全部溶 解），糖水变甜了． 请将这一事实表示为一个不 等式，并证明这个不等式成 立．
cc
类比等式的基本性质，你能 猜想不等式的基本性质吗？
实数，所得不等式与原不等式同向．
B1
A1
b+c
aa+c
探究3：移项
用性质2证明 a＋b＞c ⟺ a＞c－b．
a + b > c a + b +(-b)> c +(-b) a > c - b.
一般地说，不等式中任何一项可以改变符号 后移到不等号的另一边.
补充练习
15．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是 a， b，c，d，已知 a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球
由重到轻的排列顺序是( A )
A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b
解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c ＋(c＋d)，即 a>c.∴b<d.又 a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.
于是a× 1 ab
即 1 > 1.
>
b×a1同的b号实，的数两，个两不边相同等时 取倒数不等号
ba
改变方向
由c < 0,得 c > c .
ab
思考：还可以利用作差法证明吗？ 证明:
思考
糖水加糖后变得 更甜了
已知b克糖水中含有a克糖 （b＞a＞０），再添加m克 糖 （m＞０）（假设全部溶 解），糖水变甜了． 请将这一事实表示为一个不 等式，并证明这个不等式成 立．
cc
类比等式的基本性质，你能 猜想不等式的基本性质吗？
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)
综上所述，当a＝b时，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，a3＋b3>a2b＋ab2.
④下结论
方法归纳
反思感悟
单调性）
作差法比较两个实数大小的基本步骤（后续证明函数的
新知探究
D
C
F
G
E
a
b
H
A
B
追问1：如果直角三角形的两条直角边边长分别为，b (a≠b)，你能
将发现的不等关系用不等式表示吗？
范围，再去求其他不等式的范围.
课堂练习
已知-1≤x＋y≤4，2≤x-y≤3，则z=2x-3y的取值范围是_____________.
课堂小结
等式性质与不等式性质(2)
实际问题、
几何问题
不等
关系
数学抽象
不等式
不等式
性质
两个实数大小
关系的基本事
实（作差法）
性质的应用
判断命题的真假
基本不等式
D
G
正方形
4个直角三角
大于
ABCD的面积
形的面积和
1
2
2
＞
+
4 ×
2
A
H
F
a
2 + 2
C
E
b
B
≠
追问2：如果直角三角形的两条直角边边长相等( = )，不等式
D
2 + 2＞2还成立吗？
2 + 2
=
2GΒιβλιοθήκη AHFE
B
C
新知讲授
追问3：∀， ∈ R，2 + 2 ≥ 2,这个猜想成立吗？请证明.
关系的基本事
实（作差法）
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
高考数学一轮总复习第二章一元二次函数方程和不等式第一节等式性质与不等式性质课件
对点训练 1 若
ln2
ln3
a= 2 ,b= 3 ,则
a
b.(填“>”或“<”)
答案 <
解析(方法 1)易知 a,b
都是正数,
=
2ln3
3ln2
=
ln 32
3
ln 2
=
ln9
=log89>1,所以
ln8
b>a.
ln
1-ln
(方法 2)构造函数 f(x)= (x>0),∴f'(x)= 2 ,当 x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,∴f(x)在区
用不等式的性质求得取值范围.
对点训练3(1)(2023江苏南通模拟)已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],则4a-2b的取
值范围是(
)
A.[1,5] B.[2,7]
C.[1,6] D.[0,9]
(2)已知2b<a<-b,则 的取值范围为
答案 (1) B
.
(2) (-1,2)
解析(1)设4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,
(1)对称性:a>b⇔ b<a .
(2)传递性:a>b,b>c⇒ a>c .
3.不等式的性质
(3)可加性:a>b⇔
a+c>b+c
.
ac<bc
ac>bc
;a>b,c<0⇒
(5)同向可加性:a>b,c>d⇒ a+c>b+d .
(4)可乘性:a>b,c>0⇒
1 2.1 等式性质与不等式性质ppt课件
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用不等式的性质证明不等式的方法 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质， 通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的 性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形， 根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最 终的符号，完成证明．
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
因此菜园面积 S＝x15－x2， 依题意有 S≥110，即 x15－x2≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 0<x≤18， x15－x2≥110.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过 11 m，对面积没有 要求，则 x 应满足的不等关系是什么？ 解：因为矩形的另一边 15－x2≤11，所以 x≥8，又 0<x≤18， 且 x≤11，所以 8≤x≤11. 2．本例(2)中，若要求 x∈N，则 x 可以取哪些值？ 解：函数 S＝x15－x2的对称轴方程为 x＝15，令 S≥110，x∈ N，经检验当 x＝13，14，15，16，17 时 S≥110.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
某工厂在招标会上，购得甲材料 x 吨，乙材料 y 吨，若维持
工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要 120 吨，则 x，y
应满足的不等关系是( )
A．x＋y>120
B．x＋y<120
C．x＋y≥120
D．x＋y≤120
答案：C
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用不等式的性质证明不等式的方法 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质， 通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的 性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形， 根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最 终的符号，完成证明．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
因此菜园面积 S＝x15－x2， 依题意有 S≥110，即 x15－x2≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 0<x≤18， x15－x2≥110.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过 11 m，对面积没有 要求，则 x 应满足的不等关系是什么？ 解：因为矩形的另一边 15－x2≤11，所以 x≥8，又 0<x≤18， 且 x≤11，所以 8≤x≤11. 2．本例(2)中，若要求 x∈N，则 x 可以取哪些值？ 解：函数 S＝x15－x2的对称轴方程为 x＝15，令 S≥110，x∈ N，经检验当 x＝13，14，15，16，17 时 S≥110.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
某工厂在招标会上，购得甲材料 x 吨，乙材料 y 吨，若维持
工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要 120 吨，则 x，y
应满足的不等关系是( )
A．x＋y>120
B．x＋y<120
C．x＋y≥120
D．x＋y≤120
答案：C
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
等式性质与不等式性质 PPT课件
垂直于AB，垂足为 D，E 是线段AB 上不同于D的任意
一点，则 CD<CE
生活中的相等和不等关系
问题2某种杂志原以每本 25元的价格销售，可以售出8万本据市场调查，杂志的单价每提高
0.1元，销量就可能减少 2 000本如定才能使提价后的销总收入不低于 20万元?
设提价后每本杂志的定价为工元，则销售总收
以从等式的性质及其研究方法中获得启发.
不等式性质
等式有下面的基本性质：
性质1 如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b。
性质1 如果a=b，那么b=a；
即a＞b ⇌b＜a
性质2 如果a=b，b=c，那么a=c；
性质3 如果a=b，那么a士c=b士c；
性质4 如果a=b，那么ac=bc；
性质5 如果a=b，c≠0，那么 =
人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系
和不等关系吗?
① 由正方形ABCDA的面积和＞四个直角三角形的面
积和，可以得到：a²+b²＞2ab
② 当直角三角形变为等腰直角三角形时，即a=b时，
可以得到：a²+b²=2ab
③ 以上汇总可得：a²+b²≥2ab
④ 利用完全平方公式，a²+b²-2ab=(a-b)²
a>b，c>0，ac>bc；a>b，c<0，ac<bc
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c。(要了解证明过程)
即a>b，b>c ⇒ a>c
性质3 如果a>b，那么a+c>b+c。
a+b>c ⇒ a+b+(-b)>c+(-b) ⇒ a>c-b。
一点，则 CD<CE
生活中的相等和不等关系
问题2某种杂志原以每本 25元的价格销售，可以售出8万本据市场调查，杂志的单价每提高
0.1元，销量就可能减少 2 000本如定才能使提价后的销总收入不低于 20万元?
设提价后每本杂志的定价为工元，则销售总收
以从等式的性质及其研究方法中获得启发.
不等式性质
等式有下面的基本性质：
性质1 如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b。
性质1 如果a=b，那么b=a；
即a＞b ⇌b＜a
性质2 如果a=b，b=c，那么a=c；
性质3 如果a=b，那么a士c=b士c；
性质4 如果a=b，那么ac=bc；
性质5 如果a=b，c≠0，那么 =
人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系
和不等关系吗?
① 由正方形ABCDA的面积和＞四个直角三角形的面
积和，可以得到：a²+b²＞2ab
② 当直角三角形变为等腰直角三角形时，即a=b时，
可以得到：a²+b²=2ab
③ 以上汇总可得：a²+b²≥2ab
④ 利用完全平方公式，a²+b²-2ab=(a-b)²
a>b，c>0，ac>bc；a>b，c<0，ac<bc
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c。(要了解证明过程)
即a>b，b>c ⇒ a>c
性质3 如果a>b，那么a+c>b+c。
a+b>c ⇒ a+b+(-b)>c+(-b) ⇒ a>c-b。
高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1.2 不等式的性质课件 a高一第一册数学课件
(2)×.取a=4，c=5，b=6，d=2.满足a+c>b+d，但不满足a>b.
(3)√.
12/8/2021
第十页，共三十七页。
2.(教材(jiàocái)二次开发：例题改编)若a>b>0，c<d<0，则一定有
A. >a Bb . <
ab
c
d
C. >a Db . <
cd ab
【解d 析】选c D.因为c<d<d0， c
【证明】方法一：因为(yīn wèi)a>b>0，所以1
因为c>0，所以 <c ， c
a
a 所以 c -1< -1，c 即
b
< c ，a c b
因为c>aa>b>0，b 所以c-a>0，ca-b>0. b
<1 ，
b
所以 a > . b 方法二c： 因a 为c>ca>bb >0，
所以0<c-a<c-b，
< ，1 故不1 正确；
ab
3.选C.对于A，若a<b，当a<0，b<0时，a2<b2不成立；
对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立；
对于C，因为a<b， 1>0，所以 对于D，当a=-1，b=1a时2 b ，2 = b=-1.
a
1 ab 2
；
1
a2b
12/8/2021
又因为-3<-b<-2，所以-9<a-b<6.①
又((12))当当13 0-1b6≤<aa12<<.80时时，，00≤<-a<<46. ，ab