2.1.2等式性质与不等式性质
2.1等式性质与不等式性质(共2课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
1 比较两数(式)的大小
目 录
01 新知探究
问题2你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
01 新知探究
问题2 常见的不等关系下列，你能用文字语言和符号语言表述吗？
文字 语言
大于
大于 等于
小于
小于 等于
至多
至少 不少于 不多于
符号 语言
>
≥
<
≤≤
≥ ≥≤
问题3 在初中阶段如何比较两个实数的大小关系呢？
还有其他方法吗
A
B
C
－4 －3 －2 －1
0
1 2 3 4 5x
实数与数轴上的点一一对应,且从左到右依次增大。
01 新知1——比较两数(式)的大小
1.两实数大小关系的基本事实 作差法
B
A
b
x
A（B）
（b）
x
A
B
b
x
0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”.
练一练
练一练
例 2.已知a≥1,试比较 M a 1 a
解 依题意，得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200.
例2.一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70， 用不等式表示为1_0_y_＋__x_>_7_0____.
解 ∵该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x>70.
04 题型1－作差法比较大小
例3 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小. 解 (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34. ∵x＋122≥0， ∴x＋122＋34≥34>0. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
2.1.2等式性质与不等式的性质【试题版】
2.1.2等式性质与不等式的性质1. 已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是() A．ad＞bc B．ac＞bdC．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d2. 给出下列命题：①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒ba<1；④a>b⇒1a<1b.其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2 D．33. 若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β＜0B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 4. 若a>b>0，c<d<0，则一定有()A.ac>bd B.ac<bdC.ad>bc D.ad<bc5．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是()A.1a<1b B．a2>b2C.ac2＋1>bc2＋1D．a|c|>b|c|6．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d >b ＋c ，a ＋c <b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )A ．d >b >a >cB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >a >d >b 7．已知a >0，b >0，c >0，若c a ＋b <a b ＋c <b c ＋a ，则有( ) A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a8.已知10,0a b -<<<，则2,,b a a b 的大小关系是（ ）A ．2b ab a b <<B ．2a b ab b <<C ．2a b b ab <<D ．2b a b ab <<9.已知实数0,0b a m >><，则mb _____ma ，b m a m --_____b a (用>，<填空). 10．已知若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac 0.(填“>”“<”或“＝”)11.已知12,36a b ≤≤≤≤，则32a b -的取值范围为_____．12．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是 .13.对于实数a ，b ，c ，有下列说法：①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a <b <0，则a 2>ab >b 2； 其中正确的是________(填序号)．14．设a ，b 为正实数，有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a－b|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.其中正确的命题为(写出所有正确命题的序号)．15．已知三个不等式：①ab>0；②ca>db；③bc>ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．16．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a＋bb≤c＋dd.17.已知a>b>c>0，求证：ba－b>ba－c>ca－c.18．已知a>b>0，c>d>0，求证：(1)ad>b c；(2)aca＋c>bdb＋d.。
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)PPT
不等式两边同乘一个正数， 所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，
所得不等式与原不等式反向.
高中数学
二、 不等式性质
性 质 1 : 如 果a=b, 那么b=a. 性 质 2 : 如 果a >b, b>c, 那么a >c.
性质3:如果a >b,那么a+c> b+c.
性 质 4 : 如 果 a>b,c> 0, 那么 ac>bc;
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
追问3:你能从性质3中得到什么结论吗? 由性质3可得
a+b>c→a+b+(-b)>c+(-b)
→a >c-b
如果a>b>0, 那么 a²>b²
性质7:如果 a>b>0, 那么a”>b”
(n∈N*,n≥2)
高中数学
三、 不等式的简单应用
例：已知a>b>0,c<0, 求证
【高中数学】等式性质与不等式性质课件 2023-2024学年高一数学人教A版(2019)必修第一册
；
如果 > ， < ，那么 <
不等式两边同时乘上一个负数，要变号
.
.
如果 > ， > ,那么 + > +
如果
≥ ， > ,那么 + > +
如果 > ， ≥ ,那么 + > +
问题6：不等式有什么性质
0是正数与负数的分界点，它
为实数比较大小提供了“标杆”
比较大小的基本方法【作差法】
比较 + + 和 + + 的大小.
【解】运用作差法：
+ + − + +
= + + − + +
=
因为2＞0，
所以 + + ＞ + + .
所以 + ≥
因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
+ ≥ ，当且仅当 = 时，等号成立.
问题5：等式有什么性质
思考
请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下
发现等式基本性质的方法吗？
★性质1【对称性】
如果 = ，那么 =
★性质2【传递性】
2
2
2
( x 1) ( y 1) 1 0,
2
2
所以x 2 y 2 1 2( x y 1)
2
问题4：一个重要不等式
如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标
灵感来源于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关
高中数学人教A版必修第一册课件2.1等式性质与不等式性质(课件共11张PPT)
性质3的推论 若a b c,则a c b. 不等式中的项移到另一边时，要改变符号.
性质4 若a b, c 0则ac bc. 若a b, c 0则ac bc.
不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变. 不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
探究: 当 a>b 时, 1a与1b的大小关系如何？
一个重要的常用不等式:
a>b,
ab>0
11 a<b
例1
(1)已知a b, c d , 求证：a c b d; (2)已知a b c 0, 求证： b b c .
ab ac ac
练习
(1)已知 a>b>0,c<0, 求证: ac>bc
达式中，从而用f (1)与f (2)来表示f (3)。最后运用已知条
件确定f (3)的取值范围。
解：
f
x
ax2
c
f (1) a c f (2) 4a c
即4aacc
f (1) .
f (2)
解之得ca113[[ff((22))4ff((11))]]
f
(3)
9a c
8 3
f
(2)
5 3
f
例 2 已知 f(x)=ax2－c, 且－4≤ f(1) ≤－1, －1≤f(2)≤5, 求 f(3)的取值范围.
例 2:已知函数f (x) ax2 c, 4 f (1) 1,
1 f (2) 5,求f (3)的取值范围.
分析：利用f (1)与f (2)设法表示a、c然后再代入f (3)的表
数学人教A版必修第一册2.1.2等式性质与不等式性质课件
∴（a－b）＋（c－d）＞0，即（a＋c）－（b＋d）＞0．
∴a＋c＞b＋d．
证明（法2）：由性质3，得a＋c＞b＋c，c＋b＞d＋b；
由性质2，得a＋c＞b＋d．
性质6：（同向同正可乘性）
a b 0且c d 0 ac ___
bd .
利用不等式乘法性质和不等式的传递性可证明
利用不等式基本性质和两正数和仍是正数来证明
a b a b 0
a b b c 0 a c 0 a c
b c b c 0
性质3：如果a b，那么a c b c；（可加性）
不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．
√
C.a＋b<ab
B.a<b
3>b3
D.a
√
1 1
由 a<b<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确；
a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；
a3>b3，D正确.
反思感悟
利用不等式的性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱
化条件，尤其是不能想当然随便捏造性质.
1
1
解析 因为 a<b<0,所以|a|>|b|>0, <0, <0,则
1
1
2
2
a >b ,
| |
1
1
<
1
1
,所以
| |
项 ACD 正确;取 a=-2,b=-1,则 a<b<0,则 - =-1, =-2,此时
高数数学必修一《2.1.2等式性质与不等式性质》教学课件
(5)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”
是单向的还是双向的，即符号“⇔”表示等价关系，可以互相推出，
而符号“⇒”只能从左边推右边，该性质不具备可逆性，尤其在证明
不等式时，要注意是否可逆．
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
由于(－3)2>(－2)2，但－3<|－2|，故D选项错误．故选C.
题型 2 利用不等式的性质证明不等式
例2 已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
证明：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，
1
1
c
c
所以a－c>b－c>0，所以0<a−c<b−c，所以a−c>b−c.
c
c
> .
a−c b−c
同向
同向
同正
微点拨❷
(1)性质3说明不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原
不等式同向．性质3是不等式移项法则的基础．不等式中任何一项改
变符号后，可以把它从一边移到另一边．
(2)性质4证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘
得负”的法则来完成的，一定要注意性质4中c的符号，因为c的符号
第2课时
等式性质与不等式性质
预学案
共学案
预学案
一、等式性质❶
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
a b
2.1.2等式性质与不等式的性质
主题 2.1.2等式性质与不等式性质教学内容课堂笔记学习目标：1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．重点：利用不等式的性质比较大小，利用不等式的性质求范围难点：利用不等式的性质比较大小，利用不等式的性质求范围阅读教材40—42页，完成书后42页练习1 2。
一不等式的基本性质性质1 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.———————————————————————性质2 如果a>b，b>c，那么a____c..（________）证明：性质3：如果a>b，则a+c_____b+c性质4：如果a>b，c>0，则ac______bc；如果a>b，c<0，则ac_____bc.性质5：如果a>b，c>d，则a+c____b+d.性质6：如果a>b>0，c>d>0，则ac____bd.性质7：______________________________________性质8：______________________________________二利用不等式性质比较大小例1(1)给出下列命题：①若ab>0，a>b，则1a<1 b；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③对于正数a，b，m，若a<b，则ab<a＋mb＋m.其中真命题的序号是________．例2 已知 a > b >0, c <0, 求证:三、利用不等式的性质求范围例3已知12<a<60,15<b<36.求a－b和ab的取值范围．运用今日所学，试一试吧！1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是() A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>bC．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是()acbc>>A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >bC.⎭⎪⎬⎪⎫a >bab <0⇒1a >1bD.⎭⎪⎬⎪⎫ab >0a >b ⇒1a >1b3．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d <b c C.a c >b dD.a c <b d4．若a >b >c ，则下列不等式成立的是( ) A.1a －c >1b －c B.1a －c <1b －c C ．ac >bc D ．ac <bc本节课有什么收获，自己写下来吧！做作业之前，先回顾一下课堂上所学的知识吧！1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a <1b B.－a <b C ．a 2<b 2D ．|a |>|b |2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bc C.c 2a －b>0 D ．(a －b )c 2≥03．已知a >b >c ，则1b －c ＋1c －a的值是( ) A ．正数 B ．负数 C ．非正数D ．非负数4．若x >1>y ，下列不等式不一定成立的是( ) A ．x －y >1－y B ．x －1>y －1 C ．x －1>1－yD ．1－x >y －x5．下列命题正确的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b ，则a <b D ．若a <b ，则a <b6．不等式a >b 和1a >1b 同时成立的条件是________．7.若α，β满足－12<α<β<12，则α－β的取值范围。
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b b＋m
①③
一、利用不等式的性质比较大小
例3 已知 a > b >0, c <0, 求证: c
c
＞
.
证明：因为a > b >0,
a 所以 ab >0,
1b
>0.
性质1 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那 么a>b.
abba
性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性．
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c.（传递性）
a b，b c a c
这个性质也可以表示为c<b，b<a，则c<a. 这个性质是不等式的传递性．
于是 a 1 b 1 ,
ab
ab ab
即
1 1.
ba
思考？
由 c<0 , 得
c b
c a
,
能否用 作差法
即
c c. ab
证明 ？
二、利用不等式的性质求范围
例3
已知12<a<60,15<b<36.求a－b和
b a
的取值
范围．
解 ∵15<b<36， ∴－36<－b<－15，
又 1 <1< 1 36 b 15
∴12－36<a－b<60－15， ∴12<a<60
即－24<a－b<45.
36 bt;a－b<45，1<a<4. 3b
小结
1.用不等式表示不等关系是一种数学建模，准确 理解题意，设定字母表示相关数量，是正确建模的 关键.对具有多个不等关系的实际问题，要用不等 式组来表示.
2.两个实数的差的符号能反映这两个实数的大小 关系，这是确定两个实数大小关系的基本原理，同 时也是发掘不等式性质的理论依据.
3.用“作差法”比较两个实数的大小，一般分三 步进行：作差→变形→判断符号. 其中变形的目的 在于判断差式的符号，常用的变形技巧有因式分解、 配方等.
性质3：如果a>b，则a+c>b+c.
性质3表明，不等式的两边都加上同一 个实数，所得的不等式与原不等式同向.
a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b. 结论：不等式中的任何一项都可以改变 符号后移到不等式另一边（移项法则）
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc.
性质5：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向.
性质6：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
几个两边都是正数的同向不等式的两边 分别相乘，所得的不等式与原不等式同向.
性质7：如果a b 0, 那么an bn , (n N, n 2) 性质7说明,当不等式两边都是正数时,不等式 两边同时乘方所 得的不等式和原不等式同向.
性质8：如果a b 0, 那么n a n b, (n N , n 2)
性质8说明,当不等式的两边都是正数时,不等 式两边同时开方所得不等式与原不等式同向.
以上这些关于不等式的事实和性质是解决不 等式问题的基本依据
一、利用不等式的性质比较大小
例 1 (1)给出下列命题： ①若 ab>0，a>b，则1<1；