单因素方差分析的计算步骤

一、 单因素方差分析的计算步骤

假定实验或观察中只有一个因素（因子）A ,且A 有m 个水平，分别记为,,,21m A A A 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做ij x 表示在第j 个水平下的第i 个试验值()m j n i ,2,1;,2,1==。结果如下表3.1： 表3.1 单因素方差分析数据结构表

为了考察因素A 对实验结果是否有显著性影响，我们把因素A 的m 个水平m A A A ,,21看成是m 个正态总体，而()m j n i x ij ,2,1;,2,1==看成是取自第j 总体的第i 个样品，因此，可设(

)

m j n i a N x j ij ,2,1;,2,1,,~2

==σ。

可以认为j j j a εεμ,+=是因素A 的第j 个水平j A 所引起的差异。因此检验因素A 的各水平之间是否有显著的差异，就相当于检验：

μ====m a a a H 210:或者 0:210====m H εεε

具体的分析检验步骤是： （一） 计算水平均值

令j x 表示第j 种水平的样本均值，

j

n i ij

j n x

x j

∑==

1

式中，ij x 是第j 种水平下的第i 个观察值，j n 表示第j 种水平的观察值次数 （二）计算离差平方和

在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。

首先，总离差平方和，用SST 代表，则，

2)(∑∑-=x x SST ij

其中,n

x

x ij

∑∑=

它反映了离差平方和的总体情况。

其次，组内离差平方和，用SSE 表示，其计算公式为：

()∑∑⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=j i j ij x x SSE 2

其中j x 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。 最后，组间平方和，用SSA 表示，SSA 的计算公式为：

()

()

2

2

∑∑∑-=-=x x n x x SSA j j j

用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA 。可以看出，它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素，也包括系统因素。 根据证明，SSA SSE SST ,,之间存在着一定的联系，这种联系表现在：

SSA SSE SST +=

因为：

()

()()[]

2

2

∑∑∑∑-+-=-x x

x x

x

x

j

j

ij

ij

()()

()()

x x x x x x x x j j ij j j ij --+-+-=∑∑∑∑∑∑22

2

在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，

222)()()(∑∑∑∑∑∑-+-=-x x x x x x

j j ij ij

即 SSA SSE SST +=

（三）计算平均平方

用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对SST 来说，其自由度为1-n ，因为它只有一个约束条件，即

0)(=-∑∑x x

ij

。对SSA 来说，其自由度是1-m ，这

里m 表示水平的个数，SSA 反映的是组间的差异，它也有一个约束条件，即要求：

0)(=-∑x x n

j j

对SSE 来说，其自由度为m n -，因为对每一种水平而言，其观察值个数为j n ，该水平下的自由度为1-j n ，总共有m 个水平，因此拥有自由度的个数为m n n m j -=-)1(。 与离差平方和一样，SSE SSA SST ,,之间的自由度也存在着关系，即

)()1(1m n m n -+-=-

这样对SSA ，其平均平方MSA 为：

1

-=

m SSA

MSA 对于SSE ，平均平方MSE 为：

m n SSE

MSE -=

（四）方差分析表

由F 分布知，F 值的计算公式为：

MSE

MSA

F ==

组内方差组间方差

为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚，通常把有关计算结果列成方差分析表如下表3.2：

表3.2 方差分析表

（五）作出统计判断

对于给定的显著性水平α，由F 分布表查出自由度为),1(m n m --的临界值αF ，如果αF F >，则拒绝原假设，说明因素对指标起显著影响；如果αF F ≤，则接受原假设，说明因素的不同水平对试验结果影响不显著。