高考数学一轮复习基本不等式
最小值为( )
A．2
B．6
C．12
D．3＋2 2
解析 因为直线 2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，所以 2m＋2n －2＝0，即 m＋n＝1，所以m1 ＋n2＝m1 ＋n2(m＋n)＝3＋mn ＋2nm≥3＋2 2，当 且仅当“mn ＝2nm，即 n＝ 2m”时取等号，所以m1 ＋n2的最小值为 3＋2 2。 故选 D。
。
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时等号成立。
(3)其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 几何平均数 。
算术平均数 ， ab叫做正数 a，b 的
3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当且仅当 x＝y
时，
x＋y 有最小值 2 P。(简记：“积定和最小”)
答案 D
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
考点一 配凑法求最值
【例 1】 (1)(2019·泉州检测)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大值时 x
的值为( )
A．31
B．12
C．34
D．23
解析 (1)因为 0<x<1，所以 x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋21－x2＝34。当 且仅当 x＝1－x，即 x＝12时等号成立。
答案 (2)C
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用 拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数 的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提。
【变式训练】 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器 生产的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关 系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________ 万元。
解析 每台机器运转 x 年的年平均利润为yx＝18－x＋2x5，而 x>0，故yx ≤18－2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年平均利润最大，最大 值为 8 万元。
co9s2θ的取值范围为(
)
A．[6，＋∞)
B．[10，＋∞)
C．[12，＋∞)
D．[16，＋∞)
解析 因为 θ∈0，π2，所以 sin2θ，cos2θ∈(0,1)，所以 y＝sin12θ＋co9s2θ
＝
sin12θ＋co9s2θ
(sin2θ
＋
cos2θ)
＝
10
＋
cos2θ sin2θ
答案 C
2．(必修 5P100A 组 T2 改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地， 则矩形场地的最大面积是________m2。
解析 设矩形的一边为 x m，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，所以 y＝x(10－x)≤x＋120－x2＝25，当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25。
(2)已知 x＋3y＝1(x>0，y>0)，则 xy 的最大值是________。
解析 (2)因为 x>0，y>0，所以 xy＝13·x·3y≤13x＋23y2＝112，当且仅当 x
＝3y＝12时， 等号成立，故 xy 的最大值是112。
答案
1 (2)12
考点二 常数代换法求最值
【例 2】 若直线 2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，则m1 ＋2n的
(2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当且仅当 x＝y 时，xy
有最大值S42。(简记：“和定积最大”)
4．常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2 ab(a＞0，b＞0)。
(2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)。 (3)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)。
答案 8
教师备用题 1．(配合例 1 使用)设等差数列{an}的公差是 d，其前 n 项和是 Sn(n∈N*)， 若 a1＝d＝1，则Sna＋n 8的最小值是________。
解析 an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n1＋ 2 n，所以Sna＋n 8＝n1＋ 2 nn＋8＝21 n＋1n6＋1≥122 n·1n6＋1＝92，当且仅当 n＝4 时取等号。所以Sna＋n 8的最
D．120 件
解析 若每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备费用是80x0元，仓
储费用是8x元，总的费用是80x0＋8x≥2 ＝80 时取等号。故选 B。
答案 B
80x0·8x＝20，当且仅当80x0＝8x，即 x
对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确 挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的 范围，然后再利用基本(均值)不等式求最值。
3．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。若必 须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。
一、走进教材
1．(必修 5P99 例 1(2)改编)设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( )
A．80
B．77 C．81
D．82
解析 因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅 当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81。
答案 25
二、走近高考 3．(2018·天津高考)已知 a，b∈R，且 a－3b＋6＝0，则 2a＋81b的最小值 为________。
解析
由
a － 3b ＋ 6 ＝ 0 ， 得
a ＝ 3b － 6 ， 所 以
2a
＋
1 8b
＝
23b
－
6
＋
1 23b
≥2 23b－6×213b＝2×2－3＝14，当且仅当 23b－6＝213b，即 b＝1 时等号成立。
答案 B
考点四 基本不等式的实际应用
【例 4】 某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为 800
元，若每批生产 x 件，1 元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应
生产产品( )
A．60 件
B．80 件
C．100 件
A．23 2
B．
2 3
C．
3 3
D．2 3 3
解析 因为正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0，所以 y＝1－6xx2。由xy>>00，， 即
x>0， 1－6xx2>0，
解得 0<x<1。所以 x＋2y＝x＋1－3xx2＝23x＋31x≥2
23x·31x＝2 3 2，
当且仅当23x＝31x，即 x＝ 22，y＝122时取等号。故 x＋2y 的最小值为232。 答案 A
＋
9sin2θ cos2θ
≥10
＋
2
cos2θ 9sin2θ sin2θ ·cos2θ
＝16，当且仅当csoins22θθ＝9csoisn22θθ，即 θ＝π6时等号成立，所以 y＝sin12θ＋co9s2θ的
取值范围为[16，＋∞)。故选 D。
答案 D
考点三 消元法求最值
【例 3】 若正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0，则 x＋2y 的最小值是( )
第六章 不等式、推理与证明
第四节 基本不等式
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2019 考纲考题考情
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1．重要不等式
a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)(当且仅当 a＝b 时等号成立)。
2．基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0
【变式训练】 (1)若 a>0，则 a＋2a8＋1的最小值为________。
解析 (1)由题意可知 a＋2a8＋1＝a＋12＋a＋4 12－12≥2
a＋12×a＋4 12
－12＝72，当且仅当 a＋12＝a＋4 12，即 a＝23时等号成立。所以 a＋2a8＋1的最小
值为27。
答案
7 (1)2
答案
1 4
4．(2017·天津高考)若 a，b∈R，ab>0，则a4＋a4bb4＋1的最小值为________。
解析 由题意得 a2>0，b2>0，ab>0，所以a4＋4abb4＋1＝a22＋a2bb22＋1 ≥4a2abb2＋1＝4ab＋a1b≥2 4＝4，当且仅当 a2＝2b2＝ 22时，等号成立。
通过消元法求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转 化为函数的最值求解。有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基 本不等式求解。但应注意保留元的范围。
【变式训练】 若 a，b，c 都是正数，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的
最小值是( )
A．2
B．3
答案 D
常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为 1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的 形式； (4)利用基本不等式求解最值。
【变式训练】 (2019·大庆质检)若 θ∈0，π2，则 y＝sin12θ＋
答案 (1)B
(2)若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于(
)
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3
D．4
解析 (2)因为 x>2，所以 x－2>0，所以 f(x)＝x＋x－1 2＝(x－2)＋x－1 2＋
2≥2· x－2·x－1 2＋2＝2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2，即(x－2)2＝1 时 等号成立，解得 x＝1 或 3。又因为 x>2，所以 x＝3，即 a 等于 3 时，函数 f(x)在 x＝3 处取得最小值，故选 C。
基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)
2.2 基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)一、单选题(共13题；共65分)1．（5分）若a >0，b >0，则“a +b =1”是“1a +1b≥4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）已知直线ax +by −1=0(ab >0)过圆(x −1)2+(y −2)2=2022的圆心，则1a +1b的最小值为（ ） A ．3+2√2B ．3−2√2C ．6D ．93．（5分）已知正实数a 、b 满足a +b =2，则4b +1a的最小值是（ ）A ．72B ．92C ．5D ．94．（5分）已知m >0，n >0，命题p ：2m +n =mn ，命题q ：m +n ≥3+2√2，则p 是q 的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为 a ，从乙地到甲地的平均速度为 b(a >b >0) ，他往返甲乙两地的平均速度为 v ，则（ ） A ．v =a+b 2B ．v =√abC ．√ab <v <a+b 2D ．b <v <√ab6．（5分）设 a >0 ， b >0 ，则“ a +b ≤4 ”是“ 1a +1b≥1 ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．（5分）已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点（不包括端点）.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2x +1y的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．（5分）已知二次函数f(x)=ax 2+2x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞)，则1c +4a的最小值为（ ） A ．-4B ．4C ．8D ．-89．（5分）已知直线ax+by+c−1=0(b，c>0)经过圆x2+(y−1)2=6的圆心，则4b+1c的最小值是（）A．2B．8C．4D．910．（5分）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C.若sin2C=2sin2A−3sin2B，则tanB的最大值为（）A．√53B．√52C．11√520D．3√5511．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若tanA=−√3，△ABC的面积为√3a，则bc的最小值为（）A．16B．16√3C．48D．24√312．（5分）若a>0，b>0，且ln(2a)+lnb≥a2+b2−1，则a+b=（）A．√2B．√3C．3√22D．5√3213．（5分）已知正实数a，b满足a2+2ab+4b2=6，则a+2b的最大值为（）A．2√5B．2√2C．√5D．2二、多选题(共5题；共25分)14．（5分）已知a，b∈R，a>0，b>0，且a+b=2，则下列说法正确的为（）A．ab的最小值为1B．log2a+log2b≤0C．2a+2b≥4D．1a+2b≥2+√215．（5分）已知a，b∈R，则使“ a+b>1”成立的一个必要不充分条件是（）A．a2+b2>1B．|a|+|b|>1C．2a+2b>1D．4a+b+1b>1016．（5分）若−1<a<b<0，则（）A．1a>1bB．a2+b2>2ab C．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b17．（5分）已知2a=3b=6，则a，b满足（）A．a<b B．1a+1b<1C．ab>4D．a+b>418．（5分）已知正数a，b满足a2+b2=1，则（）A．a+b的最大值是√2B．ab的最大值是12C．a-b的最小值是−1D．ab−2的最小值为−√3 3三、填空题(共5题；共30分)19．（10分）如图，在 △ABC 中， ∠BAC =π3 ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 在线段CD 上（P 不与C ，D 点重合），若 △ABC 的面积为 4√3 ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m ＝ ， |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 ．20．（5分）在 △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a +c =4 ，且 sinA ，sinB ， sinC 成等差数列，则 △ABC 的面积的最大值为 ．21．（5分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，若 AD =√2 ， CD =2 ， ∠D =34π ， cosB =34，则 △ABC 的面积的最大值为 ．22．（5分）已知a ，b 为正实数，且 a +b =6+1a +9b，则 a +b 的最小值为 ． 23．（5分）△ABC 中，∠BAC =120°，AO 为BC 边上的中线，AO =√3，则AB −2AC 的取值范围是 ．四、解答题(共3题；共30分)24．（10分）ΔABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若已知 asinA+C2=bsinA ． （1）（5分）求角B 的大小；（2）（5分）若 b =2√3 ，求 ΔABC 的面积的最大值．25．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(tanA −sinC)(tanB −sinC)=sin 2C ．（1）（5分）求证：c 2=ab ；（2）（5分）若a +b =3，求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．26．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AC的中点，若2bcosC=2a+ c．（1）（5分）求∠B；（2）（5分）若a+c=6，求BD的最小值．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：当a+b=1时，1 a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+b a+a b≥2+2√b a⋅a b=4，当且仅当ba=ab，即a=b=12时，取等号，所以1a+1b≥4，当a=b=13时，1a+1b=6≥4，此时a+b=23≠1，所以“a+b=1”是“1a+1b≥4”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由a>0，b>0，a+b=1可得1a+1b=2+b a+a b，根据基本不等式得1a+1b≥4，反之代入特殊值即可得到答案.2．【答案】A【解析】【解答】由圆的方程知：圆心(1，2)；∵直线ax+by−1=0(ab>0)过圆的圆心，∴a+2b=1(ab>0)；∴1a+1b=(a+2b)(1a+1b)=3+ab+2ba≥3+2√ab⋅2ba=3+2√2（当且仅当ab=2b a，即a=√2b时取等号），∴1a+1b的最小值为3+2√2.故答案为：A.【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得∴a+2b=1(ab>0)，由∴1a +1b=(a+2b)(1a+1b)，利用基本不等式可求得结果.3．【答案】B【解析】【解答】4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)≥12(4+5)=92，当且仅当4a b=b a时等号成立.故答案为：B.【分析】根据题意可得4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)，再利用基本不等式求出4b+1a的最小值。
高考数学一轮专项复习讲义-基本不等式(北师大版)
§1.4基本不等式课标要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理1.基本不等式：a ＋b2≥ab (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立.(3)其中a ＋b2称为a ，b 的算术平均值，ab 称为a ，b 的几何平均值.2.利用基本不等式求最值(1)若x ＋y ＝s (s 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (p 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(3)ab (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab 与ab ≤a ＋b2等号成立的条件是相同的．(×)(2)y ＝x ＋1x的最小值是2.(×)(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x 4.(×)2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于()A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4答案C解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时，取等号，即当f (x )取得最小值时x ＝3，即a ＝3.3．已知0<x <1，则x (1－x )的最大值为()A.14B.18C.116D ．1答案A解析因为0<x <1，所以1－x >0，所以x (1－x )＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立，故x (1－x )的最大值为14.4．(2023·重庆模拟)已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4解析由x ＋y ＝1得1x ＋1y ＝x ＋y )＝2＋y x ＋xy≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立，即1x ＋1y的最小值为4.题型一基本不等式的理解及常见变形例1(1)若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是()A ．b >a ＋b2>a >abB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案C解析∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b 2>ab .∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b 2>ab >a .(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于点D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为点E ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b2≤ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)D.a 2＋b 22≥a ＋b 2(a >0，b >0)答案C解析根据图形，利用射影定理得CD 2＝DE ·OD ，又OD ＝12AB ＝12(a ＋b )，CD 2＝AC ·CB ＝ab ，所以DE ＝CD 2OD＝ab a ＋b 2，由于OD ≥CD ，所以a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．由于CD ≥DE ，所以ab ≥2aba ＋b ＝21a ＋1b (a >0，b >0)．思维升华基本不等式的常见变形(1)ab ≤a 2＋b 22.(2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．跟踪训练1(1)已知p ：a >b >0，q ：a 2＋b 22>，则p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2，∴a 2＋b 22>，∴由p 可推出q ；当a <0，b <0时，q 也成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(多选)已知a ，b ∈R ，则下列不等式成立的是()A.a ＋b 2≥abB.a ＋b 2≤a 2＋b 22C.2ab a ＋b ≤a ＋b 2D ．ab ≤a 2＋b 22答案BD解析A 选项，由选项可知a 与b 同号，当a >0且b >0时，由基本不等式可知a ＋b2≥ab 恒成立，当a <0且b <0时，a ＋b2<0，ab >0，该不等式不成立，故A 选项错误；B 选项，当a ＋b >0时，a ＋b2>0，则＝a 2＋b 2＋2ab －2a 2－2b 24＝－(a －b )24≤0恒成立，即a ＋b2≤a 2＋b 22恒成立，当a ＋b ≤0时，原不等式恒成立，故B 选项正确；C 选项，当a ＋b >0时，2ab －(a ＋b )22＝－(a －b )22≤0，即2ab ≤(a ＋b )22，2ab a ＋b ≤a ＋b2恒成立，当a ＋b <0时，2ab －(a ＋b )22＝－(a －b )22≤0，即2ab ≤(a ＋b )22，2ab a ＋b ≥a ＋b2，故C 选项错误；D 选项，由重要不等式可知，a ，b ∈R ，ab ≤a 2＋b 22恒成立，故D 选项正确．题型二利用基本不等式求最值命题点1直接法例2(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是()A ．x －1x B ．2x ＋2－xC ．x 2＋1x 2D.x 2＋2＋1x 2＋2答案BC解析选项A 中，当x <0时，函数y ＝x －1x单调递增，无最小值，不符合题意；选项B 中，2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，当且仅当x ＝0时，等号成立，满足题意；选项C 中，x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2，当且仅当x ＝±1时，等号成立，满足题意；选项D 中，x 2＋2＋1x 2＋2≥2x 2＋2·1x 2＋2＝2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意．(2)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．答案3解析由已知，得12＝4x ＋3y ≥24x ·3y ，即12≥24x ·3y ，解得xy ≤3(当且仅当4x ＝3y 时取等号)．命题点2配凑法例3(1)(2023·许昌模拟)已知a ，b 为正数，4a 2＋b 2＝7，则a 1＋b 2的最大值为()A.7B.3C ．22D ．2答案D解析因为4a 2＋b 2＝7，则a 1＋b 2＝12×2a ×1＋b 2＝124a 2(1＋b 2)≤12×4a 2＋1＋b 22＝2，当且仅当4a 2＝1＋b 2，即a ＝1，b ＝3时，等号成立．(2)已知x >1，则x 2＋3x －1的最小值为()A ．6B ．8C ．10D ．12答案A解析因为x >1，所以x －1>0，x 2＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋4x －1＝x －1＋2＋4x －1≥2＋2(x －1)·4x －1＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立．与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型如图，对于函数f (x )＝x ＋kx，k ＞0，x ∈[a ，b ]，[a ，b ]⊆(0，＋∞)．(1)当k ∈[a ，b ]时，f (x )＝x ＋kx ≥2k ，f (x )min ＝f (k )＝k ＋k k ＝2k ；(2)当k ＜a 时，f (x )＝x ＋k x 在区间[a ，b ]上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝a ＋ka ；(3)当k ＞b 时，f (x )＝x ＋k x 在区间[a ，b ]上单调递减，f (x )min ＝f (b )＝b ＋kb.因此，只有当k ∈[a ，b ]时，才能使用基本不等式求最值，而当k ∉[a ，b ]时只能利用对勾函数的单调性求最值．典例函数f (x )＝x 2＋3x 2＋2的最小值是______．答案32解析由f (x )＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋3x 2＋2－2，令x 2＋2＝t (t ≥2)，则有f (t )＝t ＋3t－2，由对勾函数的性质知，f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝2时，f (t )min ＝32，即当x ＝0时，f (x )min ＝32.命题点3代换法例4(1)已知正数a ，b 满足8b ＋4a ＝1，则8a ＋b 的最小值为()A ．54B ．56C ．72D ．81答案C解析8a ＋b ＝(8a ＋b ＝64a b ＋4ba＋40≥264a b ·4ba＋40＝72，当且仅当64a b ＝4ba，即a ＝6，b ＝24时取等号．延伸探究已知正数a ，b 满足8a ＋4b ＝ab ，则8a ＋b 的最小值为________．答案72解析∵8a ＋4b ＝ab ，a >0，b >0，∴8b ＋4a＝1，∴8a ＋b ＝(8a ＋b ＝64a b ＋4ba＋40≥264a b ·4ba＋40＝72，当且仅当64a b ＝4ba，即a ＝6，b ＝24时取等号．(2)已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝3恒成立，则1a ＋1＋2b 的最小值为()A.32B.94C ．2D ．3答案B解析由a ＋2b ＝3得(a ＋1)＋2b ＝4，于是1a ＋1＋2b ＝·(a ＋1)＋2b 4＝141＋4＋2(a ＋1)b ＋2ba ＋1≥145＋22(a ＋1)b ×2ba ＋1＝94，当且仅当2(a ＋1)b＝2b a ＋1，且a >0，b >0，即a ＝13，b ＝43时，等号成立．所以1a ＋1＋2b的最小值为94.命题点4消元法例5已知正数a ，b 满足a 2－2ab ＋4＝0，则b －a4的最小值为()A ．1 B.2C ．2D ．22答案B解析∵a >0，b >0，a 2－2ab ＋4＝0，则b ＝a 2＋2a ，∴b －a 4＝a 2＋2a －a 4＝a 4＋2a ≥2a 4·2a＝2，当且仅当a 4＝2a ，即a ＝22时，等号成立，此时b ＝322.命题点5构造不等式法例6若a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为()A ．9B ．6C ．3D ．12答案A解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．又ab ＝a ＋b ＋3，所以ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，整理可得ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)．所以ab ≥3，所以ab ≥9.所以当a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练2(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是()A ．y ＝sin x xB ．y ＝2－x －4x (x ＜0)C ．y ＝x 2＋6x 2＋5D ．y ＝4x ＋4－x答案AD解析对于A ，因为0＜x ≤π2，所以0＜sin x ≤1，则y ＝sin x ＋1sin x ≥2，当且仅当sin x ＝1sin x，即sin x ＝1时取等号，符合题意；对于B ，因为x ＜0，所以－x ＞0，－x ＝4，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时等号成立，所以y ＝2－x －4x ≥2＋4＝6，即y ＝2－x －4x (x ＜0)的最小值为6，不符合题意；对于C ，y ＝x 2＋6x 2＋5＝x 2＋5＋1x 2＋5，设t ＝x 2＋5，则t ≥5，则y ≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D ，y ＝4x ＋4－x ＝4x ＋14x≥24x ·14x ＝2，当且仅当x ＝0时取等号，故y ＝4x ＋4－x 的最小值为2，符合题意．(2)(多选)已知正实数a ，b 满足ab ＋a ＋b ＝8，下列说法正确的是()A ．ab 的最大值为2B ．a ＋b 的最小值为4C ．a ＋2b 的最小值为62－3D.1a (b ＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A ，因为ab ＋a ＋b ＝8≥ab ＋2ab ，即(ab )2＋2ab －8≤0，解得－4≤ab ≤2，又因为a >0，b >0，所以0<ab ≤2，则ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故A 错误；对于B ，ab ＋a ＋b ＝8≤(a ＋b )24＋(a ＋b )，即(a ＋b )2＋4(a ＋b )－32≥0，解得a ＋b ≤－8(舍)或a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故B 正确；对于C ，由题意可得b (a ＋1)＝8－a ，所以b ＝8－aa ＋1>0，解得0<a <8，所以a ＋2b ＝a ＋2×8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D，1a(b＋1)＋1b＝181a(b＋1)＋1b[a(b＋1)＋b]＝182＋ba(b＋1)＋a(b＋1)b≥18×(2＋2)＝12，当且仅当ba(b＋1)＝a(b＋1)b，即b＝4，a＝45时取等号，故D正确．课时精练一、单项选择题1．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是() A．9B．18C．93D．27答案B解析因为m>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2mn得，m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18.2．已知a>0，b>0，且1a＋1b＝1，则4a＋9b的最小值是() A．23B．26C．22D．25答案D解析由题意得a>0，b>0，1a＋1b＝1，故4a＋9ba＋9b)＝9ba＋4ab＋13≥29ba·4ab＋13＝25，当且仅当9ba＝4ab，即a＝52，b＝53时取等号，故4a＋9b的最小值是25.3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是() A．2B．3C．4D．5答案D解析对原条件式转化得3x＋1y＝5，则3x＋4yx＋4y)＋4＋12yx＋＋5，当且仅当12yx＝3xy且x＋3y＝5xy，即x ＝1，y ＝12时取等号．故3x ＋4y 的最小值为5.4．“∀x ∈(1,4]，不等式x 2－mx ＋m >0恒成立”的充分不必要条件是()A ．m >4B ．m <163C ．m <4D ．m <2答案D解析已知∀x ∈(1,4]，由不等式x 2－mx ＋m >0恒成立，得x 2x －1>m 恒成立，因为x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号，所以m <4，所以m <2是m <4的充分不必要条件．5．若x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则xy3x ＋y的最大值为()A.19B.112C.116D.120答案C解析因为x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则3x ＋y xy＝3y ＋1xx ＋3y )＝3x y ＋3yx ＋10≥23x y ·3yx＋10＝16，当且仅当3x y ＝3yx ，即x ＝y ＝14时，等号成立，所以0<xy 3x ＋y ≤116，即xy 3x ＋y的最大值为116.6．已知x >y >0且4x ＋3y ＝1，则12x －y ＋2x ＋2y的最小值为()A ．10B ．9C ．8D ．7答案B解析由x >y >0得2x －y >0，x ＋2y >0，令a ＝2x －y ，b ＝x ＋2y ，则a ＋2b ＝4x ＋3y ，由4x ＋3y ＝1得a ＋2b ＝1，故12x －y ＋2x ＋2y＝a ＋2b )＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当2b a ＝2ab，且a ＋2b ＝1，即a ＝b ＝13时取等号，也即2x －y ＝13，x ＋2y ＝13，即x ＝15，y ＝115时，等号成立，故12x －y ＋2x ＋2y的最小值为9.二、多项选择题7．已知x ，y 是正数，且x ＋y ＝2，则()A ．x (x ＋2y )的最大值为4B ．log 2x ＋log 2y 的最大值为0C ．2x ＋2y 的最小值为4D.1x ＋2y 的最小值为32＋2答案BCD解析由x ，y 是正数，且x ＋y ＝2，可得0<x <2,0<y <2，x (x ＋2y )＝(x ＋y －y )(x ＋y ＋y )＝(x ＋y )2－y 2＝4－y 2，由0<y 2<4可得0<4－y 2<4，所以x (x ＋2y )无最大值，故A 错误；由x ＋y ＝2≥2xy ，得0<xy ≤1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ≤log 21＝0，故B 正确；由基本不等式可得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故C 正确；1x ＋2y ＝x ＋y )＋y x ＋＋＝32＋2，当且仅当x ＝22－2，y ＝4－22时取等号，故D 正确．8．(2022·新高考全国Ⅱ)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析因为ab ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )，由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x 2＋y 2)－1＝xy ≤x 2＋y 22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确；因为x 2＋y 2－xy ＝1可变形为＋34y 2＝1，设x －y 2＝cos θ，32y ＝sin θ，所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ，因此x 2＋y 2＝cos 2θ＋53sin 2θ＋233sin θcos θ＝1＋33sin 2θ－13cos 2θ＋13＝43＋23sin θ∈23，2，所以D 错误．三、填空题9．若x <2，则x ＋9x －2的最大值为________．答案－4解析x ＋9x －2＝x －2＋9x －2＋2，由于x <2，所以2－x >0，故2－x ＋92－x ≥6，当且仅当2－x ＝92－x，即x ＝－1时，等号成立，所以x －2＋9x －2＝－－x －6，故x ＋9x －2＝x －2＋9x －2＋2≤－4，所以x ＋9x －2的最大值为－4.10．函数f (x )＝3x －32x 2－x ＋1在(1，＋∞)上的最大值为________．答案37解析因为f (x )＝3x －32x 2－x ＋1x ∈(1，＋∞)，令x －1＝t ，则t >0，则f (t )＝3t 2(t ＋1)2－(t ＋1)＋1＝3t2t 2＋3t ＋2＝32t ＋3＋2t ≤322t ·2t＋3＝37，当且仅当2t ＝2t ，t ＝1，即x ＝2时，等号成立．故f (x )在(1，＋∞)上的最大值为37.11．已知a >1，b >2，a ＋b ＝5，则1a －1＋4b －2的最小值为________．答案92解析因为a >1，b >2，所以a －1>0，b －2>0，又a ＋b ＝5，所以(a －1)＋(b －2)＝2，即12[(a －1)＋(b －2)]＝1，所以1a －1＋4b －2＝12[(a －1)＋(b －2)]·＝121＋b －2a －1＋4(a －1)b －2＋4≥125＋2b －2a －1·4(a －1)b －2＝12×(5＋4)＝92，当且仅当b－2a－1＝4(a－1)b－2，即a＝53，b＝103时取等号，所以1a－1＋4b－2的最小值为92.12．已知正数a，b满足(a＋5b)(2a＋b)＝36，则a＋2b的最小值为________．答案4解析因为a>0，b>0，所以36＝(a＋5b)(2a＋b)≤(a＋5b)＋(2a＋b)22＝94(a＋2b)2，所以a＋2b≥4＋5b＝2a＋b，a＋5b)(2a＋b)＝36，即a＝83，b＝23时，等号成立，所以a＋2b的最小值为4.四、解答题13．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：(1)xy的最大值；(2)2x＋y的最小值．解(1)因为x>0，y>0，根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥22xy＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，令xy＝t(t>0)，则t2＋22t－30≤0，解得－52≤t≤32，又t>0，所以0<t≤32，即0<xy≤32，所以0<xy≤18，故xy的最大值为18.(2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝30－x2＋x >0,0<x<30,2x＋y＝2x＋30－x2＋x＝2(x＋2)＋322＋x－5≥22(x＋2)·322＋x－5＝11，当且仅当2(x＋2)＝322＋x，即x＝2时取等号，所以2x＋y的最小值为11.14．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900a (1＋x )x 元(a >5)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求实数a 的取值范围．解(1)设甲工程队的总报价为y 元，依题意，左右两面墙的长度均为x 米(2≤x ≤6)，则屋子前面新建墙体长为12x米，则y ＝×2x ＋4007200＝7200≥900×2x ·16x＋7200＝14400，当且仅当x ＝16x，即x ＝4时，等号成立，故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．(2)由题意可知，7200>900a (1＋x )x对任意的x ∈[2,6]恒成立，即(x ＋4)2x >a (1＋x )x ，所以(x ＋4)2x ＋1>a ，即a <(x ＋4)2x ＋1min ，(x ＋4)2x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1＋6≥2(x ＋1)·9x ＋1＋6＝12，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立，则(x ＋4)2x ＋1的最小值为12，即0<a <12，又a >5，所以a 的取值范围是(5,12)．15．已知x ，y 为正实数，则y x ＋16x2x ＋y 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．8答案C解析由题得y x ＋16x 2x ＋y ＝y x ＋162＋yx，设yx＝t (t >0)，则f (t )＝t ＋162＋t ＝t ＋2＋162＋t－2≥2(t ＋2)·162＋t－2＝8－2＝6，当且仅当t ＋2＝162＋t，即t ＝2，即y ＝2x 时取等号．所以y x ＋16x 2x ＋y的最小值为6.16．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是________．答案4解析∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0，∴a (a －b )＞0，a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2＋ab －ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4，(a －b )＝1a (a －b )，＝1ab，即a ＝2，b ＝22时，等号成立．∴a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是4.。
高考数学一轮复习 基本不等式课件
4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2
且c2＝d2且ab＝cd.
1.已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
求证：(11)(11)(11)≥8. abc
证明：∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
(11)(11)(11) abc
当且仅当a＝b＝c＝ 时取等号.
1.利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积为定值； (3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件 缺一不可.
三、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
，几何平均
数为 ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数 .
四、利用基本不等式求最值
设x，y都是正数. (1)如果积xy是定值P，那么当 x＝y 时，和x＋y有
最小值
.
(2)如果和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时积xy有最大
x 1 (x1) 1;1=3 答案：C
4.已知
＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是
.
解析：2＝
，所以xy≥15，当且仅当
时等号成立.所以xy的最小值是15.
答案：15
5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4
万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费
4.基本不等式的几种变形公式 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它 的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：
2ab≤ ab≤ ab≤ a2b2(a0,b0).
ab
2
2
求下列各题的最值. (1)已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，求z＝ (2)x＞0，求f(x)＝ ＋3x的最小值. (3)x＜3，求f(x)＝ ＋x的最大值.
高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件
(a2＋b2) 2
图 1-5-2
解析：∵△ACD∽△CBD，∴CADD＝CBDD， 即 CD＝ AD·BD＝ ab. ∵OC＝A2B＝AD＋2 BD＝a＋2 b， ∴ ab≤a＋2 b.故选 B.
答案：B
考点二 利用基本不等式求最值 考向 1 通过配凑法求最值
[例 2]设 0<x<23，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________.
2－x x·2－x x＋2＝2，
当且仅当2－x x＝2－x x，即 x＝1 时取等号，所以 y 的最小值为
2.故选 B.
答案：B
2.(考向 2)(2023 年罗湖区校级期中)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋ y＝xy，则 x＋2y 的最小值为( )
A.8
B.8 2
C.9
D.9 2
解析：x＞0，y＞0，且 2x＋y＝xy，可得：1x＋2y＝1，则 x＋2y
错误. (3)连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一
致. (4)若 a≥b＞0，则 a≥ a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb≥b.
考点一 基本不等式的证明 [ 例 1](1)(2023 年广西一模) 《几何原本》中的“几何代数 法”(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依 据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现
【变式训练】
如图1-5-2所示，线段AB为半圆的直径，O为
圆心，点 C 为半圆弧上不与 A ，B 重合的点. 作 CD⊥AB于点D，设 AD＝a，BD＝b，则下列不等
式中可以直接表示 CD≤OC 的是( )
A.a2＋abb≤ ab
B. ab≤a＋2 b
C.a＋2 b≤
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
＋
b
＝
＋ b ≥2
2
＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1
＝
，
2
��
2
＝，
即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则
的最大值为
1 .
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于
＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4
新教材高考数学一轮复习第一章1.3等式不等式的性质与基本不等式课件
ab.其中所有正确结论的序号是(
+
>2;③lg
a2>lg
)
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
(2)(多选)(202X山东青岛5月模拟,9)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式
中正确的是(
)
A.log2(ab)>log2b2
C. <1<
B.ac2>bc2
1 a 1 b
D.( ) >( )
所示,则下列式子中正确的是(
A.b-a<c+a
B.c2<ab
C.
D.|b|c<|a|c
>
)
(2)(2020 山西太原三模,理 3)已知 a>b>1,c<0,则(
A.
<
C.ac<bc
B.ca<cb
D.loga(b-c)>logb(a-c)
)
答案 (1)D
(2)C
解析 (1)(方法1)根据数轴可得c<b<a<0,且|c|>|b|>|a|,对于A:因为c<b,a<0,
<
1
2
2
<0.代入验证①(-1)
<(-2)
成立,代入②
5
>2 成立,代入③lg(-1)2=0<lg
2
2 错误,由此排除 B,C,D 三个选项,故选
(2)由 a>b>0,得 ab>b2,
所以 log2(ab)>log2b2,故 A 正确;
高三数学 第一轮复习 04：基本不等式
高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。
2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。
4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
A．3
B．4
+ − 的最小值是（ C．6
） D．7
解：因为 x＞1，所以 + − =2（x﹣1）+ − +2≥ 当且仅当 2（x﹣1）= − ，即 x＝2 时等号成立， 所以 + − 的最小值是 6． 故选：C．
( − ) × − +2＝6，
二次比一次型
分离常数法
已知函数 f(x)＝x2＋ax＋3(x∈R)．若存在 x∈(－∞，1)，使关于 x 的不等式 f(x)≤a 有
2 ab≥1＋1(a>0，b>0)的应用
ab
【多选题】若正实数 a，b 满足 a＋b＝2，则下列结论中正确的有( )
A．ab 的最大值为 1
B.1＋1的最大值为 2 ab
C. a＋ b的最小值为 2 D．a2＋b2 的最小值为 2
a＋b 2 【解析】 因为 ab≤ 2 ＝1，当且仅当 a＝b＝1 时取等号，则 ab 的最大值为 1，故 A 正确；
2
2
跟踪训练
（多选）（2024•随州模拟）设正实数 a，b 满足 a+b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A． + 有最小值 4
B． 有最小值
C． + 有最大值
解：正实数 a，b 满足 a+b＝1， 对于 A，即有 a+b≥2 ，可得 0＜ab≤ ，
D．a2+b2 有最小值
即有 + = ≥4，即有 a＝b 时， + 取得最小值 4，故 A 正确；
对于 B，由 0＜ ≤ ，可得 有最大值 ，故 B 错误；
对于 C，由 + = + +
=+
≤ +×= ，
基本不等式课件——2025届高三数学一轮复习
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是(
A．y＝x(4－x)
1
C．y＝ +
B．y＝
1
(0＜x＜1)
1−
)
2 +9
2 +5
D．y＝ +
4
(2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小
是(
)
2 +2
B．ab≤
2
2 + 2
+ 2
C．
≥
2
2
A．
+ ≥2
BC
[当 <0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．]
D．
2
≤
+
4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长18
15
15
m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
2
1
2
1
于是得
+
＝1＋ ＋2＋ ＝3＋
−1
−1
−1
−1
−1
＝3＋2
1
2
2，当且仅当 ＝ ，
−1 −1
2
2
即x＝1＋ ，y＝1＋ 2时取“＝”，
2
+
的最小值为3＋2
−1
−1
2025年高考数学一轮复习第4节 基本不等式
2
考点聚焦突破
KAODIANJUJIAOTUPO
索引
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1 配凑法
例 1 (1)已知 0＜x＜ 22，则 x
2 1－2x2的最大值为____4____.
解析 ∵0＜x＜ 22，∴1－2x2＞0，
x
1－2x2＝
2 2·
2x2
1－2x2≤
22·2x2＋21－2x2＝
索引
感悟提升
1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法，主要解决形如“已知 x＋y＝t(t 为常数)，求ax＋by的最值”的问题，
索引
角度 2 常数代换法 例 2 (1)(2023·邵阳联考)若 a>0，b>0，a＋b＝9，则3a6＋ba的最小值为____8____.
解析 由 a>0，b>0，a＋b＝9， 得3a6＋ab＝4（a＋ a b）＋ab＝4＋4ab＋ba≥4＋2
4ab·ab＝8(当且仅当4ab＝ba，即 a＝6，
b＝3 时等号成立)， 故3a6＋ab的最小值为 8.
用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
索引
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式 ab≤a＋2 b2与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的.( × ) (2)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.( × ) (3)函数 y＝sin x＋sin4 x，x∈0，π2的最小值是 4.( × ) (4)“x＞0 且 y＞0”是“xy＋xy≥2”的充要条件.( × )
索引
4. 若 把 总 长 为 20 m 的 篱 笆 围 成 一 个 矩 形 场 地 ， 则 矩 形 场 地 的 最 大 面 积 是 ___2_5____m2. 解析 设矩形的一边为x m，面积为y m2， 则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)(m)，其中 0＜x＜10， 所以 y＝x(10－x)≤x＋（120－x）2＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立， 所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2.