解直角三角形知识点

在RT ABC ∆中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则：

sin A a A c ∠=

=的对边斜边 cos A b

A c ∠==的邻边斜边

tan A a A A b ∠=

=∠的对边的邻边 cot A b

A A a

∠==∠的邻边的对边

常用变形：sin a c A =；sin a

c A

=等，由同学们自行归纳。 二、

锐角三角函数的有关性质：

1、 当0°<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A >

2、 在0°90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、

cot ）的值，随角度的增大而减小。

三、 同角三角函数的关系：

22sin cos 1A A += tan cot 1A A = sin tan cos A A A =

cos cot sin A

A A

= 常用变形：2

sin 1cos A A =- 2

cos 1sin A A =- （用定义证明，易得，同学自行完成） 四、

正弦与余弦，正切与余切的转换关系：

如图1，由定义可得：sin cos cos(90)a

A B A c

=

==︒- 同理可得： sin cos(90)A A =︒- cos sin(90)A A =︒-tan cot(90)A A =︒- cot tan(90)A A =︒-

五、

特殊角的三角函数值：

三角函数 sin α cos α tan α cot α 30°

12 32 33

3

45° 22 22

1

1

60° 32

12

3

33

六、

解直角三角形的基本类型及其解法总结：

类型 已知条件 解法

两边

两直角边a 、b

2

2c a b =+，tan a

A b

=

，90B A ∠=︒-∠ 直角边a ，斜边c 22

b c a =-，sin a A c

=，90B A ∠=︒-∠

一边 一锐角

直角边a ，锐角A 90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin a

c A

=

斜边c ，锐角A 90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =

60°

30°

32

1

B

C

A

45°

22

2

B

C

A

已知ABC ∆中，∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别是a 、b 、c ，如图2，过点A 作AD ⊥BC 于点D 。在

RT ABD ∆中，sin AD

B AB

=

，即：sin AD AB B =（sin AD c B =） 111

sin sin 222

ABC S BC AD a c B ac B ∆===（其中：∠B 为a 、c 的夹角）

同理可得：111

sin sin sin 222ABC S ac B bc A ab C ∆===（三角形的面积公式）

由面积公式可得：11

sin sin 22ac B bc A =

两边同时除于12c 得： sin sin sin sin a b

a B

b A A B

=⇔=

同理可得，正弦公式：sin sin sin a b c

A B C

==

八、 余弦定理

如图2：sin AD b C =， cos BD BC CD a b C =-=-，在直角三角形ABD 中，由勾股定理得：

2

22222(sin )(cos )AB AD BD c b C a b C =+⇔=+- 整理得：

2222222222sin 2cos cos (sin cos )2cos c b C a ab C b C b C C a ab C =+-+⇔++-

2222cos c b a ab C ⇔=+- 整理得到余弦定理：2222cos c a b ab C =+-（∠C 为a 、b 的夹角）

同理可得：（余弦定理及其变形）

2

2

2

2cos a b c bc A =+- 222

cos 2b c a A bc

+-=

2

2

2

2cos b a c ac B =+- 222

cos 2a c b B ac

+-=

2

2

2

2cos c a b ab C =+- 222

cos 2a b c C ab

+-=

九、三角函数的高中定义：（图中的圆半径为单位1） 如图3，sin y y r α=

= 同理可得：cos x α=，tan y

x

α=，cot x y α= 如图4，也可以得到相同的

结论，但是此时要特别注意三角函数的符号所发生的变化，从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地。

D

A B

C

十、三角函数与相似：

如图5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解：

3.2cos 610AD AB x x A AE AC +=

=⇔= sin DE BC

A AE AC

==

如图6，6

tan 48DE BC x A AE AB ==⇔=

备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些

十一、相似与直角三角形的射影定理：

直角三角形射影定理：2CD AD BD = 2AC AD AB = 2BC BD AB =

2tan tan CD BD A BCD CD AD BD AD CD =

=∠=⇔= 2cos AC AD A AC AD AB AB AC ==⇔= 2cos BC BD

B B

C B

D AB AB BC ==⇔=

十二、三角函数与一次函数

设一次函数y kx b =+经过点11(,)A x y 与22(,)B x y 那么我们可以列出方程组：

1122

y kx b y kx b =+⎧⎨

=+⎩则可以得到：21

21y y k x x -=- 如下图所示：tan k α=

α

αy 2-y 1

x 2-x 1

y 2

y 1x 2x 1

B(x 2,y 2)

A(x 1,y 1)O