高中数学一轮复习 一元二次不等式及其解法
(Ⅱ)若 ax2＋bx＋c≤0 的解集为 R，求实数 c 的取值范围．
Байду номын сангаас解：(Ⅰ)依题意知，－3，2 是方程 ax2＋(b－8)x－a－ab＝0 的两
－3＋2＝－b－a 8，
根，且 a<0，则
所以 －3×2＝－aa－ab，
a＝－3，b＝5，则
f(x)＝－
1－ k1－k2}；
当 k＝－1 时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当 k＜－1 时，不等式的解集为 R．
点 拨： 解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化 为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据 一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写
出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数
－2152，所以实数 c 的取值范围为－∞，－2152．
点 拨： 三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，至
少有三分之一的题目与之相关．直接考查的不多见，以 间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居 核心地位．
(1) 已 知 不 等 式 ax2 － 3x ＋ 6>4 的 解 集 为
＋2＞0 的解集为 R．
(2)若关于 x 的不等式 ax2－x＋2a<0 的解集为∅，则
实数 a 的取值范围是________．
解：依题意知，问题等价于 ax2－x＋2a≥0 恒成立， 当 a＝0 时，－x≥0 不恒成立； 当 a≠0 时，要使 ax2－x＋2a≥0 恒成立，
需aΔ>≤0，0，即1a－>08，a2≤0，解得 a≥ 42，即 a 的取值
{x|x1＜x＜x2}
有两相等实根 x1＝x2＝ －2ba
②
∅
Δ＜0
无实根 R ③
4．分式不等式解法 (1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为 0， 左边化为gf（（xx））的形式．
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
gf（（xx））＞0 ⇔ f(x)g(x)＞0； gf（（xx））＜0 ⇔ f(x)g(x)＜0；
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都
可以化为 ax＞b(a≠0)的形式．当 a＞0 时，解集为__________； 当 a＜0 时，解集为__________．若关于 x 的不等式 ax>b 的 解集是 R，则实数 a，b 满足的条件是__________．
3．一元二次不等式及其解法
__________，小于号取__________”求解集．
(4)一元二次不等式的解
函数、方程与不等式
Δ＞0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
有两相异实根 x1,x2(x1＜x2) ①
②当
k＞0
时，若 Δ＝4－4k2＞0，即
0＜k＜1
时，不等式的解为1－
1－k2 k
＜x＜1＋ k1－k2；
若 Δ≤0，即 k≥1 时，不等式无解．
③当 k＜0 时，
若 Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0 时，x＜1＋ k1－k2或 x＞1－ k1－k2；
若 Δ＜0，即 k＜－1 时，不等式的解集为 R；
等式 bx2－5x＋a>0 为－6x2－5x－1>0，即(3x＋1)·(2x＋1)<0，所以解集为
x|－12<x<－13．故选 A．
(2017·贵阳一模)已知函数 f(x)＝ln(x2－4x－ a)，若对任意的 m∈R，均存在 x0 使得 f(x0)＝m，则
实数 a 的取值范围是________．
3x2－3x＋18＝－3x＋122＋745，
函数 f(x)的图象关于直线 x＝－12对称，且抛物线开口向
下，所以在区间[0，1]上 f(x)为减函数，所以函数的最大值
为 f(0)＝18，最小值为 f(1)＝12．故 f(x)在[0，1]内的值域为 [12，18]．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，不等式 ax2＋bx＋c≤0 即为－3x2＋5x＋ c≤0，因为二次函数 y＝－3x2＋5x＋c 的图象开口向下，要 使－3x2＋5x＋c≤0 的解集为 R，只需 Δ＝25＋12c≤0，即 c≤
若 Δ＝0，即 k＝－1 时，不等式的解为 x≠ －1．
综上所述，
当 k≥1 时，不等式的解集为∅；
| 当 0＜k＜1 时，不等式的解集为 {x
1－
1－k2 k
＜
x
＜
1＋ k1－k2}；
当 k＝0 时，不等式的解集为{x|x＞0}；
| 当－1＜k＜0 时，不等式的解集为{x x＜1＋ k1－k2或 x＞
(Ⅱ)x2－2x＋2＞0．
解：(Ⅰ)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为 x2
＋2x－3≤0． 方程 x2＋2x－3＝0 的解为 x1＝－3，x2＝1．
而 y＝x2＋2x－3 的图象开口向上，可得原不等式－
x2－2x＋3≥0 的解集是{x|－3≤x≤1}．
(Ⅱ)因为 Δ＜0，所以方程 x2－2x＋2＝0 无实数解， 而 y＝x2－2x＋2 的图象开口向上，可得原不等式 x2－2x
点 拨： 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的
两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解 集的形式判断二次项系数的正负．
(2)已知函数 f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当 x∈(－∞，－3)∪(2，
＋∞)时，f(x)<0．当 x∈(－3，2)时，f(x)>0．
解：依题意得，函数 f(x)的值域为 R，令函数 g(x) ＝x2－4x－a，则函数 g(x)的值域取遍一切正实数，因 此对于方程 x2－4x－a＝0，有 Δ＝16＋4a≥0，解得 a≥
－4．故填[－4，＋∞)．
(2017·信阳一模改编)已知关于 x 的不等式 x2 －ax－6a2>0(a<0)的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且
(2016·梧州模拟)不等式x＋2 1<1 的解集是
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1，1)
()
解：因为x＋2 1<1，所以x＋2 1－1<0，即1x＋－1x<0，该不等
式可化为(x＋1)(x－1)>0，所以 x<－1 或 x>1．故选 A．
(2016·青海模拟)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x
C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2 或 x>1}
解：由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两根，且 a＜0．
由韦达定理得
－（1－＋12）＝×－2ba＝，a2⇒ab＝＝－1．1，
所以不等式 2x2＋bx＋a<0，即 2x2＋x－1<0．
解得－1＜x＜12．故选 B．
所以 x1＝3a， x2＝－2a．又 x2－x1＝5 2，所以－5a＝5 2， 所以 a＝－ 2．故填－ 2．
(1)解下列不等式．
(Ⅰ)x2－7x＋12＞0；
(Ⅱ)x2－2x＋1＜0．
解：(Ⅰ)方程 x2－7x＋12＝0 的解为 x1＝3， x2＝4．
而 y＝x2－7x＋12 的图象开口向上，可得原不等式 x2－7x＋
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是 2 的不等式，称为__________不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元 二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做
一元二次不等式的________．
(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次 不等式 ax2＋bx＋c＞0(或 ax2＋bx＋c＜0)(其中 a＞0)的形式， 其对应的方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实根 x1，x2， 且 x1＜x2(此时 Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取
x2－x1＝5 2，则 a＝________．
解法一：由题意得，x1＋x2＝a ①，x1x2＝－6a2 ②，①2－ 4×②可得(x2－x1)2＝25a2，又 x2－x1＝5 2，所以 25a2＝50，解得
a＝± 2，因为 a<0，所以 a＝－ 2．
解法二：关于 x 的不等式 x2－ax－6a2>0(a<0)可化为(x＋2a)(x －3a)>0，因为 a<0，所以－2a>3a，所以解不等式得 x>－2a 或 x<3a，
－4<0，对一切 x∈R 恒成立，则实数 a 的取值范围是
()
A．(－∞，2]
B．(－2，2]
C．(－2，2)
D．(－∞，2)
解：当 a≠2 时，有aΔ－＜2＜0，0， 所以－2<a<2．当 a ＝2 时，原式化为－4<0，恒成立．所以－2<a≤2．故选 B．
(2018·温州九校联考)已知不等式 ax2－5x＋b>0
解得ab＝＝12，．
(Ⅱ)不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即 x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0．
①当 c>2 时，不等式的解集为{x|2<x<c}； ②当 c<2 时，不等式的解集为{x|c<x<2}；
③当 c＝2 时，不等式的解集为∅．
(2)(2018·江苏模拟)已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b(b∈R) 的值域为[0，＋∞)，若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m，
一元二次不等式及其解法
1．解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同，则称它们是__________．
第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法(十大题型)2025年高考数学一轮复习讲练测
知识梳理·基础回归
解题方法总结
1、已知关于的不等式 + + > 的解集为(，)，解关于的不等式 + + ≤ ．
由 + + > 的解集为(，)，得：( ) + + ≤ 的解集为(−∞, ] ∪ [ , +∞)
2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的分布问题.
3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会求高次方程和绝对值不等式.
02
03
知识梳理·基础回归
知识点1：一元二次不等式
一元二次不等式 2 + + > 0( ≠ 0)，其中Δ = 2 − 4，1 , 2 是方程 2 + + > 0( ≠ 0)
所以不等式 2 − 3 − 18 > 0的解集是(−∞, −3) ∪ (6, +∞)．
故答案为：(−∞, −3) ∪ (6, +∞)．
题型突破·考法探究
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【典例2-1】设函数() = 2 + (1 − ) + − 2( ∈ R)
（1）若不等式() ≥ −2对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
1
−
< < 1}．
题型二：含参数一元二次不等式的解法
题型突破·考法探究
【典例2-1】设函数() = 2 + (1 − ) &#≥ −2对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
新高考数学一轮复习练习-一元二次不等式解法及运用(提升)(解析版)
2.1 一元二次不等式解法及运用(提升）一、单选题1．（2021·广东珠海市·高三二模）已知，满足，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因，，则a>0，b<0，，A 不正确；，则，B 不正确；又，即，则，，C 正确；由得，D 不正确.故选：C2．（2021·天津高三一模）已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】（由函数为增函数）对于A ，，故正确；对于B ，取，，故错误；对于C ，取，显然不成立，故错误；对于D ，假设成立，则，即，可得，而时，不能一定有，故不成立.,a b ∈R 0ab <0a b +>a b >11a b<0b a a b+>22a b >a b<0ab <a b >110,0a b><0,0b a a b <<0b aa b +<0a b +>0a b >->22()a b >-22a b >0a b >->||a b >0,0,lnlg y xx y x y >>>11x y>sin sin y x>y x x y<10x y yxe >lnlg y x x y> ln ln lg lg y x x y ∴->-ln lg ln lg y y x x∴+>+0x y ∴>>ln lg y x x =+011x x y y>>⇒>,2y x ππ==sin 0sin 1y x =<=2,1y x ==10x y yxe >ln ln10x y yxe >ln10y xx y>22ln10y x >0y x >>22ln10y x >故选：A3．（2021·全国高三专题）若关于的不等式()的解集为空集，则的最小值为（ ）AB ．C ．D．【答案】D【解析】关于的不等式()的解集为空集所以，，得，∴，令，则，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值为4，故选：D.4．（2020·上海市建平中学）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的整数的值之和是（ ）A ．13B ．18C ．21D ．26【答案】C 【解析】x 210x bx c a++<1ab >1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--24x 210x bx c a++<1ab >10a >240c b a -≤24ab c ≥221(2)122(1)12(1)a b c ab a b T ab ab ab +++=+≥---1ab m -=0m >212(1)(1)22422m m m T m m++++≥=++≥2m =1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--设，其图象是开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5<a ⩽8，又a ∈Z ，∴a =6，7，8.则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21.故选C.5．（2020·全国高三）设是关于的一元二次方程的两个实根，则的最小值是（ ）A ．B ．18C ．8D ．-6【答案】C【解析】因为是关于的一元二次方程的两个实根所以由韦达定理得 ，且所以2()6f x x x a =-+260x x a -+≤()()2010f f ⎧⎪⎨>⎪⎩…2226201610a a ⎧-⨯+⎨-⨯+>⎩…,a b x 2260x mx m -++=22(1)(1)a b -+-494-,a b x 2260x mx m -++=26a b m ab m +=⎧⎨=+⎩()2460m m ∆=--≥()()22222224(1)(1)610a b ab b y m a b a m =+-=-+--++=--2349444m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭且或由二次函数的性质知，当时，函数取得最小值为即的最小值为故选C.6．（2021·山西太原市）设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A，若A⊆[1，3]，则实数a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则不等式的解集，①若，则，即，解得②若，则，∴综上，故实数的取值范围是故选A．7．（2021·全国高三专题练习）已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是（）A．2－<m<2＋B．m<2C．m<2＋D．m≥2＋【答案】C【解析】令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)＝0，有或,3m≥2m≤-3m=2349444y m⎛⎫=--⎪⎝⎭822(1)(1)a b-+-8111,5⎛⎤- ⎥⎝⎦111,5⎛⎤⎥⎝⎦112,5⎛⎤⎥⎝⎦(]1,3-222f x x ax a=-++（）2220x ax a-++≤[]13A⊆，A∅=24420a a=-+V（）＜220a a--＜12a＜＜-A∅≠()()103013ffa∆≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪<<⎩1125a≤≤1115a-<≤a111]5-（，()()2410m m∆=--+<()121110mf m m∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩解得，所以m <2＋.故选：C8．（2021·全国高三专题练习）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）A ．0B ．-2C ．D ．-3【答案】B【解析】，，由对勾函数性性质可知，当为减函数，当时，为增函数，故，即恒成立，，故的最小值为-2故选：B9．（2021·浙江高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选B.10．（2021·全国高三专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意构造函数：，由于当时，不等式恒成立，即，解得，即 ，故选A.11．（2021·四川成都市·高三月考）给出下列命题:①且;②22m -<<+2m ≤-210x ax ++≥(]0,2x ∈a 52-(]0,2x ∈ 2110x ax x a x∴++≥⇔+≥-()0,1,x ∈()1f x x x =+()12x ,∈()1f x x x=+()()min 1112f x f ==+=2a -≤2a ≥-a ()2223122x axx a -+<a (0,1)-3(,)4+∞3(0,43(,)4-∞22231()22x axx a -+<222(3)11()()22x ax x a --+<222(3)x ax x a ->-+22(32)0x a x a +-+>22(32)40a a ∆=--<34a >a 3(,)4+∞()1,2x ∈240x mx ++<m 5m ≤-5m <-5m <5m ≥()()241,2f x x mx x =++∈，12x ∈（，）240x mx ++<()()1020f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩45m m ≤-⎧⎨≤-⎩5m ≤-11x y x y -≠⇔-≠1y x -≠;③.其中真命题的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于①，且的逆否命题为：或，因为：或是真命题，所以原命题是真命题；对于②，由得，解得或，所以是假命题；对于③，由得，由得，即，因为， 即，所以是真命题.故选：C.12．（2021·全国高三专题练习）下列选项中，使成立的的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】故选A.13．（2020·湖北高三期中）已知，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意，函数，令，111x x <⇒>22330aba b ab a b>⇔>-012311x y x y -≠⇔-≠1y x -≠1x y -=1y x -=⇔1x y -=1x y -=1y x -=⇔1x y -=11x <10xx-<1x >0x <22a b ab >()0ab a b ->330ab a b>-()330ab a b ->()()220ab a b a ab b -++>22223024b a ab b a b⎛⎫⎛⎫++=++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()3300ab a b ab a b ->⇔->22330aba b ab a b >⇔>-21x x x<<x (,1)-∞-(1,0)-(0,1)(1,)+∞22(1)(1)11,01{,{{ 1.11,0(1)(1)0x x x x x xxx x x x x x x x x+-<<<-<<∴∴∴<-><-++<> 或原不等式可化为，或2()41f x x x a =+++,(())0x R f f x ∀∈≥⎫+∞⎪⎪⎭[2,)+∞[1,)-+∞[3,)+∞2()41f x x x a =+++()2241(2)33t f x x x a x a a ==+++=+-+≥-又由恒成立，即对任意恒成立，当时，即时，，解得，此时无解；当时，即时，，解得，综上可得，实数a 的取值范围为.14．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知，，对任意的实数均有，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，，对任意的实数均有，令，则有对任意的恒成立；若，则，原不等式可化为，因为，所以解不等式可得或，因，所以不满足原不等式对任意的恒成立；即不满足题意；若，当时，，则原不等式可化为，令，则是开口向上的二次函数，且零点为和，为使对任意的恒成立；只有；当时，；若，则由不等式可得或，解得或，因为，所以不能满足原不等式对任意的恒成立；若，则由不等式可得或,(())0x R f f x ∀∈≥()0f t ≥3t a ≥-32a -≤-1a ≤()min (2)30f t f a ==-≥3a ≥32a ->-1a >()2min (3)20f t f a a a =-=--≥2a ≥[2,)+∞a b R ∈x ()()()210x a x b x a +---≥2+a b 1581782a b R ∈x ()()()210x a x b x a +---≥t x =()()()210t a t b t a +---≥[)0,t ∈+∞0b ≤0t b -≥()()210t a t a +--≥()2221311024a a a a a ⎛⎫+--=++=++> ⎪⎝⎭()()210t a t a +--≥21t a ≥+t a ≤-21a a +>-[)0,t ∈+∞0b ≤0b >0a ≥0t a +≥()()210t b t a ---≥()()()21f t t b t a =---()f t t b =21t a =+()()210t b t a ---≥[)0,t ∈+∞21b a =+0a <0a ->21a b a -<<+()()()210t a t b t a +---≥()()210t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩21t a ≥+a t b -≤≤21b a <+[)0,t ∈+∞21b a a <-<+()()()210t a t b t a +---≥()()2010t b t a t a -≥⎧⎪⎨+--≥⎪⎩，解得或，因为，所以不满足原不等式对任意的恒成立；若，则由不等式可得或，解得或，因为，所以不满足原不等式对任意的恒成立；若，则不等式可化为，解得或，不满足原不等式对任意的恒成立；若，则不等式可化为，解得，不满足原不等式对任意的恒成立；综上，为使对任意的恒成立，只有，所以，令，则其是开口向上的二次函数，对称轴为，所以其在上单调递增，因此.故选：D.二、多选题15．（2021·烟台市教育局高三三模）已知，，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD【解析】对A ，由，，且可得，则，()()210t b t a t a -≤⎧⎪⎨+--≤⎪⎩21t a ≥+b t a ≤≤-21a a -<+[)0,t ∈+∞21a a b -<+<()()()210t a t b t a +---≥()()2010t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩t b ≥21a t a -≤≤+21a b +<[)0,t ∈+∞=-b a ()()()210t a t b t a +---≥()()2210t a t a +--≥21t a ≥+t a =-[)0,t ∈+∞21b a =+()()()210t a t b t a +---≥()()2210t a t a +--≥t a ≥-[)0,t ∈+∞()()()210t a t b t a +---≥[)0,t ∈+∞21a b a ≥⎧⎨=+⎩222111511522222216848a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211522248y a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭14a =-[)0,+∞2220022y a a =++≥++=0a >0b >1a b -=e e 1a b ->e e 1a b -<914a b-≤222log log 2a b -≥0a >0b >1a b -=0a b >>()()11ba abbb eee e e e -=-=--，，又，，即，故A 正确；对B ，令，则，故B 错误；对C ，，当且仅当时等号成立，故C正确；对D ，，当且仅当，即时等号成立，故D 正确.故选：ACD.16．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知实数a ，b ，c ，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若，则B ．若，则的最小值为8C ．若，，则D ．若，则【答案】ABC 【解析】选项A 中，则A 正确；B ，，当且仅当，即时，等号成立，则B 正确；选项C 中，因为，所以，则，所以，则C 正确；若，满足，而，D 不正确，故选:ABC ．17．（2021·全国高三专题练习）下列四种说法中正确的有（ ）A ．命题“，”的否定是“，”；B ．若不等式的解集为，则不等式的解集为C ．复数满足，在复平面对应的点为，则D ．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范0b > 1b e ∴>11e ->()11be e ∴->e e 1a b ->2,1a b ==e e 211e a b =-->()9191910104b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9b a a b =()22222222112log log log log lo 2g 22log b a b b b b a b ⎛⎫+⎛⎫==++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭-⎝=1b b=1b =0a b >>11a b>0,0,21a b a b >>+=21a b+0a b >>1ab =12a b a b<+0a b >>sin sin a b>110b a a b ab --=>214(2)48b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭4b a a b =11,24a b ==1,0ab a b =>>10>>>a b 11122,222a ab a a b a +=>=<⋅12a b a b <+,2a b ππ==0a b >>sin sin a b <x R ∀∈231x x >+x R ∃∈231x x <+210ax bx ++>{}13x x -<<23650ax bx ++<()(),15,-∞-+∞ z 21z i -=z (),x y ()2221x y +-=1:32p x ≤≤()21:100q x a x a a ⎛⎫-++≤> ⎪⎝⎭p q a围是【答案】BCD【解析】选项A ：命题“，”的否定应该是“，”，故选项A 错误；选项B ：因为不等式的解集为，所以方程的两个根为和3，且.由，解出.所以不等式可化为：，即，解得或.所以不等式的解集为，故选项B 正确；选项C ：设，，所以满足.故选项C 正确；由得到：.当时，，所以有.由题意可得：，解得；当时，，[)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U x ∀∈R 231x x >+0x ∃∈R 02031xx ≤+210ax bx ++>{}13x x -<<210ax bx ++=1-0a <213b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1323a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23650ax bx ++<2450x x -++<2450x x -->1x <-5x >23650ax bx ++<()(),15,-∞-+∞ i z a b =+()2i 2i 1z a b -=+-==()2221x y +-=()21100x a x a a ⎛⎫-++≤> ⎪⎝⎭()10x a x a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭1a ≥1a a>1:q x a a≤≤1123a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩3a ≥01a <<1a a<所以有.由题意可得：，解得.因此，实数的取值范围是.故选项D 正确.故选：BCD.18．（2021·全国高三专题练习）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】ABC【解析】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为，则解得，.又，故可以为6，7，8.故选：ABC19．（2021·全国高三专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）A ．-8B ．-5C ．1D ．41:q a x a≤≤1213a a⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩103a <≤a [)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U a Z ∈x 260x x a -+≤a 26y x x a =-+3x =x 260x x a -+≤3x =2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩a a 58a <≤a Z ∈a 2340x x +-<()222330x k x k k -+++>k【答案】ACD【解析】，解得，即，解得或，由题意知，所以或，即.故选：ACD三、填空题20．（2020·奉新县第一中学高三月考）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____【答案】或.【解析】由题意得应满足解得：或.故答案为：或.21．（2020·全国高三专题练习）要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，设，要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足，即，即，解得，即实数的取值范围是.22．（2021·固原市第五中学高三期末）若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________..2340x x +-<41x -<<()222330x k x k k -+++>()[(3)]0x k x k --+>x k <3x k >+(4,1)-n (,)(3,)k k -∞⋃++∞1k ³34k +≤-(,7][1,)k ∈-∞-⋃+∞2(1)30mx m x -++=1-m 2m <-5m ≥+0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩2m <-5m ≥+2m <-5m ≥+x ()22120x a x a +-+-=a 21a -<<()22(1)2f x x a x a =+-+-x 22(1)20x a x a +-+-=()10f <220a a +-<(1)(2)0a a -+<21a -<<a 21a -<<(,1]x ∈-∞-21()2()12x xm m --<m【答案】【解析】不等式转化为,化简为，令,又,则,即恒成立，令，又，当时，取最小值，所以，恒成立,化简得，解不等式得.故答案为：23．（2021·全国高三专题练习）设关于x 的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________【答案】【解析】设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解可以求得，又，所以或，则不等式为和，可分别求得和，因为位整数，所以和，所以全部不等式的整数解的和为.故答案为：.24．（2021·全国高三专题练习）设函数,若对于恒成立,则的取值范围是________.【答案】()2,3-()21212xxm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭2214x x m m +-<2211(22x x m m -<+12x t =(],1x ∈-∞-[)2,t ∈+∞22m m t t -<+2()f t t t =+[)2,t ∈+∞2t =()f t min ()(2)6f t f ==26m m -<260m m --<23m -<<()2,3-28(1)7160,()ax a x a a Z ++++≥∈10-28(1)716y ax a x a =++++a 0y ≥0a <167a ≥-a Z ∈2a =-1a =-22820x x --+≥290x -+≥22x --≤≤-33x -≤≤x 4,3,2,1x =----3,2,1,0,1,2,3x =---10-10-2()1,(0)f x mx mx m =--≠[1,3],()5x f x m ∈<-+m 6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或【解析】 要使上恒成立,则在上恒成立.令,当时,在上是增函数,,则当时,在上是减函数,,故:综上所述,的取值范围是.故答案为:.四、解答题25．（2021·全国高三专题练习）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )．【答案】答案见解析【解析】若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1．若a <0，原不等式等价于，解得或x >1．若a >0，原不等式等价于．①当a ＝1时，，无解； [1,3],()5x f x m ∈<-+∴260mx mx m -+-<2136024m x m ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭[1,3]x ∈213()624g x m x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭[1,3]x ∈0m >[1,3]∴max ()(3)760g x g m ==-<∴67m <607m <<0m <()g x [1,3]∴max ()(1)60g x g m ==-<∴6m <0m <m 6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭1x a <()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11a =()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭②当a >1时，，解，得；③当0<a <1时， ，解，得；综上所述，当a <0时，解集为或； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为； 当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为．26．（2021·上海市）已知，其中.（1）当时，解关于的不等式；（2）若在时恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）∵，∴，∵，∴当时，的解集为当时，的解集为当时，的解集为（2）根据题意得，在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立即11a <()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11x a <<11a >()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11x a <<1|x x a ⎧<⎨⎩}1x >1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()()21f x ax a x =-+()13g x a x =-+a R ∈0a <x ()0f x <()()f x g x <[]2,3x ∈a 6a ≤()()21f x ax a x =-+()()21010ax a x ax a x -+<⇔--<0a <01a >>-()0f x <()1,0,a a ⎛⎫-∞+∞ +⎪⎝⎭ 1a =-()0f x <()(),00,-∞+∞ 1a <-()0f x <(),0,1a a ⎛⎫-∞+∞+⎪⎝⎭ ()2113ax a x a x -+<-+[]2,3x ∈()2140ax a x a -++<[]2,3x ∈()2114a x x x -+≤[]2,3x ∈21414111x a x x x x≤=-++-[]2,3x ∈min 1411a x x ⎛⎫ ⎪≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭∵在，单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围是．27．（2021·全国高三）解关于x 的不等式：．【答案】见解析【解析】将不等式变形为.当a <0或时，有a < a 2，所以不等式的解集为或；当a =0或时，a = a 2=0，所以不等式的解集为且；当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为或；28．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式：.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】原不等式移项得，即.∵，∴当时，当时，当时，综上所述：当时，解集为当时，解集为当时，解集为29．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式:【答案】当时，解集为 ；当 时，解集为或； 11y x x =+-[]2,3x ∈max 173133y =+-=14673a ≤=a 6a ≤()2230x a ax a -++>()2230x a a x a -++>()()20x a x a -->1a >{|x x a <2}x a >1a ={|,x x R ∈}x a ≠2{|x x a <}x a >x ()2220ax x ax a -≥-<()2220ax a x +--≥()()120x ax +-≥0a <()210x x a ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭20a -<<21x a≤≤-2a =-1x =-2a <-21x a -≤≤20a -<<21x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭2a =-{}1x x =-2a <-21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭x 22(2)20().ax a x a a R -++>∈0a ={}0x x <0a <<2{|x x a>}x a <当或；当 时，解集为；当 时，解集为； 当；当；【解析】由则 因为，故对分情况讨论当时，则，所以，不等式的解集为 当 时，由，不等式的解集或 当或当 时，不等式的解集为当 时，不等式的解集为 当当30．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式【答案】当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.【解析】不等式可化为.①当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于.a >{|x x a >2}x a <0a <<2{|}x x a a <<a <2{|}x a x a <<a ={|x x ≠a =∅22(2)20().ax a x a a R -++>∈(2)()0ax x a -->a R ∈a 0a =20x ->0x <{}0x x <0a <<(2)()0ax x a -->2{|x x a >}x a <a >{|x x a >2}x a <0a <<2{|}x x a a<<a <2{|}x a x a <<a ={|x x ≠a =∅x 2(21)20()ax a x a R -++<∈0a <1{|x x a <2}x >0a ={|2}x x >102a <<1{|2}x x a <<12a =∅12a >1{|2}x x a<<(1)(2)0ax x --<0a >1(2)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1(2)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭因为方程的两个根分别是2，，所以当时，，则原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；当时，，则原不等式的解集是.②当时，原不等式为，解得，即原不等式的解集是.③当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于，由于，故原不等式的解集是或.综上所述，当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.1(2)0x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1a 102a <<12a<1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭12a =∅12a >12a <1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭0a =(2)0x --<2x >{|2}x x >0a <1(2)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1(2)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭12a<1{|x x a<2}x >0a <1{|x x a <2}x >0a ={|2}x x >102a <<1{|2}x x a <<12a =∅12a >1{|2}x x a <<。
高考数学一轮复习 22一元二次不等式及其解法检测试题(1)文(1)
【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 2-2一元二次不等式及其解法检测试题（1）文1．[2014·青海质检]不等式x 2－4＞3|x |的解集是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：∵|x |2－3|x |－4＞0，∴(|x |－4)(|x |＋1)＞0，∴|x |＞4，x ＞4或x ＜－4，选A 项．答案：A2．[2014·常州质检]已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1＜0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜－35或a ＞1B ．－35＜a ＜1C ．－35＜a ≤1或a ＝－1D ．－35＜a ≤1 解析：①当a ＝1时，原不等式化为－1＜0，恒成立，故a ＝1符合题意．②当a ＝－1时，原不等式化为2x －1＜0，不恒成立，∴a ＝－1不合题意．③当a 2－1≠0时，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＜0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1＜0.解得－35＜a ＜1. 综合①②③可知，a 的取值范围是－35＜a ≤1. 答案：D3．[2014·兰州调研]已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋6＝－a ，m m ＋6＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：94．[2014·青岛调研]设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________. 解析：显然a ＝1不能使原不等式对x ＞0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2＜x 3，易知x 2＜0，x 3＞0.当x ＞0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案：32 5．[2014·天津调研]设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解析：依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立． 即1m 2－4m 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 2－2x ＋1min . 当x ＝32时函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞。
2025届新高考数学一轮复习精讲：一元二次函数(方程,不等式)(知识+真题+6类高频考点)( 精讲)
一元二次函数（方程，不等式）目录第一部分：基础知识.............................................................1第二部分：高考真题回顾.........................................................3第三部分：高频考点一遍过. (4)高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）............................4高频考点二：一元二次不等式解法（含参）......................................7高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系..................10高频考点四：一元二次不等式恒成立问题 (15)角度1：x R ∀∈上恒成立（优选∆法）......................................15角度2：x R ∃∈上成立（优选∆法）........................................16角度3：x D ∀∈上恒成立（优选分离变量法）...............................16角度4：x D ∃∈上成立（优选分离变量法）.................................17角度5：已知参数a D ∈，求x 取值范围（优选变更主元法）. (17)高频考点五：分式不等式.....................................................23高频考点六：一元二次不等式的应用...........................................25第四部分：典型易错题型.. (28)备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。
...............................28备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 5 一元二次不等式的解法
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结5 一元二次不等式的解法 高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥32 答案 A解析 不等式可化为⎩⎨⎧4x （x －1）≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.故选A.2．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于( )A ．－81B ．81C ．－64D ．64答案 B解析 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集为{x |1<x <3}，所以1，3是方程x 2－ax －b ＝0的根，所以⎩⎨⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－3，所以b a ＝(－3)4＝81. 3．不等式5x －102x －3≤0的解集为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32≤x ≤2 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥2或x <32 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤2 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32 答案 C解析 不等式5x －102x －3≤0等价于(5x －10)(2x －3)≤0，且2x －3≠0，解得32<x ≤2.故选C.4．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－6]C ．[－6，2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)答案 D解析 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).故选D.5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( )A ．{k |0＜k ≤1}B ．{k |k ＜0或k ＞1}C ．{k |0≤k ≤1}D ．{k |k ＞1}答案 C解析 当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎨⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎨⎧k ＞0，36k 2－4k （k ＋8）≤0，则0＜k ≤1.综上，0≤k ≤1.6．已知点A (－3，－1)与点B (4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B ．(－7，24)C ．(－24，7)D ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)答案 B解析 由题意可得(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以－7<a <24.故选B.7．关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为( )A ．(5，6]B ．(5，6)C ．(2，3]D ．(2，3)答案 A解析 关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0可化为(x －m )(x －2)<0，∵该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x |2<x <m }，且5<m ≤6，即实数m 的取值范围是(5，6].故选A.8．对任意实数x ，不等式3x 2＋2x ＋2x 2＋x ＋1>k 恒成立，则正整数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1恒为正数，∴原不等式等价于3x 2＋2x ＋2>kx 2＋kx ＋k 对x ∈R 恒成立，即(k －3)x 2＋(k －2)x ＋k －2<0恒成立，∵当k ＝3时，x ＋1＜0不恒成立，∴⎩⎨⎧k －3<0，Δ<0，Δ＝(k －2)2－4(k －3)(k －2)＝(k －2)(k －2－4k ＋12)＝(k －2)(10－3k ).由Δ<0，得k <2或k >103.又k <3，∴k <2，∵k 为正整数，∴k ＝1.9．(多选)设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，则关于x 的不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为( )A ．10B ．3C ．－4.5D ．－5答案 BC解析 不等式[x ]2＋[x ]－12≤0可化为([x ]＋4)([x ]－3)≤0，解得－4≤[x ]≤3.又[x ]表示不小于实数x 的最小整数，且[10]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5，所以不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC.10．(多选)关于下列四个不等式的说法，正确的有( )A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为－1答案 BCD解析 对于A ，由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)·(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)，故错误；对于B ，∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0，∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23，故正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a ，故a ＝3，故正确；对于D ，依题意得q ，1是方程x 2＋px －2＝0的两根，∴q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故正确．故选BCD.11．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎨⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________．答案 (a ，－a )解析 因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a ).12．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0.则同时满足①②的x 的取值范围为________．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则实数m 的取值范围为________．答案 (2，3) (－∞，9]解析 由①得1<x <3，由②得2<x <4，故同时满足①②的x 的取值范围为2<x <3.要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2，3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2，3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2，3)上大于9，所以实数m 的取值范围为m ≤9.二、高考小题13．(2022·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23 解析 3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23. 14．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示).答案 (－4，1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.15．(经典江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎨⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.三、模拟小题16．(2022·山东枣庄八中月考)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－2)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)答案 B解析 令f (x )＝x 2－4x －2－a ，则函数的图象为开口向上且以直线x ＝2为对称轴的抛物线，故在区间(1，4)上，f (x )<f (4)＝－2－a ，若不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则－2－a >0，解得a <－2，即实数a 的取值范围是(－∞，－2).故选B.17．(2022·北京房山区月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．{x |－1≤x ≤2}答案 A解析 ∵函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2，即⎩⎨⎧x ≤0，x ＋2≥x 2①或⎩⎨⎧x >0，－x ＋2≥x2②.解①可得－1≤x ≤0，解②可得0<x ≤1.综上可得，不等式f (x )≥x 2的解集为[－1，1].故选A.18．(2022·湖南湘潭高三模拟)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是( )A ．(－3，5)B ．(－2，4)C ．[－3，5]D ．[－2，4]答案 D解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为1<x <a ，要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4，即1<a ≤4；当a ＝1时，不等式的解集为∅，满足题意；当a <1时，不等式的解集为a <x <1，要使得解集中至多包含2个整数，则a ≥－2，即－2≤a <1.综上，实数a 的取值范围是[－2，4].故选D.19．(2022·山西运城模拟)某电商新售A 产品，售价每件50元，年销售量为11.8万件．为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额x %的营业税(即每销售100元征税x 元).第二年，电商决定将A 产品的售价提高50·x %1－x %元，预计年销售量减少x 万件．要使第二年A 产品上交的营业税不少于10万元，则x 的最大值是( )A ．2B ．5C ．8D ．10答案 D解析 由题意，第二年A 产品年销售量为(11.8－x )万件，A 产品的售价为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %元，所以第二年A 产品年销售额为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %(11.8－x )万元，则第二年A 产品上交的营业税为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %(11.8－x )x %万元．由题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋50·x %1－x %(11.8－x )x %≥10，化简得x 2－12x ＋20≤0，即(x －2)(x －10)≤0，所以2≤x ≤10，所以x 的最大值是10.故选D.20．(多选)(2022·湖北宜昌模拟)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( )A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－66D ．若不等式的解集为∅，则k ≥66答案 ACD解析 因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25，故A 正确；因为不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，所以⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66，故B 错误；由题意，得⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66，故C 正确；由题意，得⎩⎨⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66，故D 正确．故选ACD.21．(多选)(2022·江苏省淮安市清江浦区校级期末)若关于x 的一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，则下列说法中正确的是( )A ．当m ＝0时，x 1＝2，x 2＝3B ．m ＞－14C ．当m ＞0时，2＜x 1＜x 2＜3D ．当m ＞0时，x 1＜2＜3＜x 2答案 ABD解析 当m ＝0时，方程为(x －2)(x －3)＝0，解得x 1＝2，x 2＝3，所以A 正确；方程整理可得x 2－5x ＋6－m ＝0，有不同的两实数根的条件为Δ＝25－4(6－m )＞0，可得m ＞－14，所以B 正确；当m ＞0时，即(x －2)(x －3)＞0，函数f (x )＝(x －2)(x －3)－m 的图象与x 轴交于点(x 1，0)，(x 2，0)，可得x 1＜2＜3＜x 2，所以C 不正确，D 正确．故选ABD.22．(2022·广西柳州模拟)若不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对任意的实数a ，b 均成立，则实数λ的取值范围为________．答案 [－8，4]解析 由已知可得a 2－λab ＋(8－λ)b 2≥0，若b ＝0，则a 2≥0恒成立；若b ≠0，对不等式两边同除以b 2可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－λ·a b ＋8－λ≥0恒成立，故Δ＝λ2－4(8－λ)≤0，解得－8≤λ≤4，故实数λ的取值范围为[－8，4].一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·河南信阳高三模拟)已知关于x 的不等式(ax －1)(x －1)<0.(1)当a ＝2时，解上述不等式；(2)当a <1时，解上述关于x 的不等式．解 (1)当a ＝2时，代入可得(2x －1)(x －1)<0，解不等式可得12<x <1，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)关于x 的不等式(ax －1)(x －1)<0.若a <1，当a ＝0时，代入不等式可得－x ＋1<0，解得x >1；当0<a <1时，化简不等式可得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，由1a >1，可得1<x <1a ； 当a <0时，化简不等式可得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，解不等式可得x ＞1或x <1a . 综上可知，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <1a . 2．(2022·湖北襄阳模拟)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1，1]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.解 (1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的x ∈[－1，1]恒成立， 设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1，x ∈[－1，1]，①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，无解；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1；③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0恒成立．综上，实数a 的取值范围为(1－2，＋∞).(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a －1>0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0，因为a <0，所以(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a <0， 因为1－⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ＝2a ＋1a ， 所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <－a ＋1a ； 当a ＝－12时，不等式可化为(x －1)2<0，不等式无解；当a <－12时，1>－a ＋1a ，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－a ＋1a <x <1. 3．(2022·陕西咸阳高三阶段检测)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n ).(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小.解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n ).当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m＝a (x －m )(x －n )＋x －m＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a ，所以x －m <0，1－an ＋ax >0.所以f (x )－m <0，即f (x )<m .4．(2022·上海松江区高三检测)已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5).(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式组⎩⎨⎧f （x ）>0，f （x ＋k ）<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (3)若对于任意x ∈[－1，1]，不等式tf (x )≤2恒成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0，5)，所以0，5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＋5＝－b 2，0×5＝c 2，解得⎩⎨⎧b ＝－10，c ＝0， 所以f (x )＝2x 2－10x .(2)不等式组⎩⎨⎧f （x ）>0，f （x ＋k ）<0， 即⎩⎨⎧2x 2－10x >0，2（x 2＋2kx ＋k 2）－10（x ＋k ）<0， 解得⎩⎨⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ，因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解就是6，可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1， 所以实数k 的取值范围是[－2，－1).(3)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0， 当t ＝0时显然成立；当t >0时，有⎩⎨⎧t ·1－5t ·（－1）－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0， 即⎩⎨⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0，解得－14≤t ≤16，所以0<t ≤16；当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1，1]上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以有t －5t －1≤0，解得t ≥－14，即－14≤t <0.综上，实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，16.。
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第七篇 第2讲 一元二次不等式及其解法
![[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第七篇 第2讲 一元二次不等式及其解法](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/33a0440f03d8ce2f00662333.webp)
第2讲 一元二次不等式及其解法A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·南通二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为( )．A ．{x |x ≥4}B ．{x |x <4}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－3}解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2. 当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0. 综上，x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}． 答案 B2．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ( )． A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4，故选D. 答案 D3．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝ ( )． A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －ba . ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3. 答案 B4．(2013·莆田二模)不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( )．A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析 原不等式等价于⎩⎨⎧ x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎨⎧x 2－2<0，log 2x <0.∴x >2或0<x <1，即不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)6．在实数集上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )＝－x 2＋x ＋a 2－a .故－x 2＋x ＋a 2－a <1对任意x ∈R 都成立．即－x 2＋x <－a 2＋a ＋1对任意x ∈R 都成立．而－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，只需－a 2＋a ＋1>14即可，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32三、解答题(共25分)7．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1. 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式的解集为∅.8．(13分)(2013·淮南质检)已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围． 解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m ，x 1·x 2＝11－m ，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2 ＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )．A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a <－56，又a ∈Z ， ∴a ＝－1，不等式f (x )>1即为－x 2－x >0， 解得－1<x <0. 答案 C2．(2012·南通期末)若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1的解集为( )．A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(－2,2)D ．(－3,2)解析 若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立，则Δ＝4a 2－4a <0，所以0<a <1.又a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1，则2t ＋1>t 2＋2t －3>0，即⎩⎨⎧2t ＋1>t 2＋2t －3，t 2＋2t －3>0，所以1<t <2. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·大同一模)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b ∈R )，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________． 解析 依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，且开口向下， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )是增函数．若f (x )>0恒成立，则f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1>0，即b 2－b －2>0，∴(b －2)(b ＋1)>0，∴b >2或b <－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)4．(2012·浙江)设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________. 解析 显然a ＝1不能使原不等式对x >0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2<x 3，易知x 2<0，x 3>0.当x >0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案 32三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注 e 为自然对数的底数．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a ＞0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2，对x ∈[1，e]恒成立， 只要⎩⎨⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e. 6．(13分)(2013·金华模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
2020年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练04一元二次不等式及其解法(含解析)
课下层级训练(四) 一元二次不等式及其解法[A 级 基础强化训练]1．(2019·山东济南检测)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B 【答案】B [集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R .]2．(2019·广东汕头联考)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －2x ≤0，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{1}D ．{1，2，3} 【答案】A [∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －2x ≤0＝{x |0＜x ≤2}，∴A ∩B ＝{1，2}．] 3．(2019·山东淄博检测)已知不等式x 2－3x ＜0的解集是A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，那么a ＝( )A ．－2B ．1C ．－1D ．2 【答案】A [解不等式x 2－3x ＜0，得A ＝{x |0＜x ＜3}，解不等式x 2＋x －6＜0，得B ＝{x |－3＜x ＜2}，又不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ＝{x |0＜x ＜2}，由根与系数的关系得－a ＝0＋2，解得a ＝－2.]4．若不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )【答案】B [由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a＝－2，解得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94，结合图象知选B ．] 5．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(－2，－1)∪(3，4)C ．(3，4]D ．[－2，－1)∪(3，4] 【答案】D [由题意得，原不等式化为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时，解得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2，3，则3＜a ≤4；当a ＜1时，解得a ＜x ＜1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a ＜－1，故a ∈[－2，－1)∪(3，4]．]6．(2019·江西九江模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6) 【答案】A [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]7．(2019·山东潍坊检测)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2，3)，则a ＋b 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C [∵x ⊗y ＝x (1－y )，∴(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )(x －b －1)＜0.∵不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2，3)，∴x ＝2和x ＝3是方程(x －a )(x －b －1)＝0的根，即x 1＝a 或x 2＝1＋b ，∴x 1＋x 2＝a ＋b ＋1＝2＋3，∴a ＋b ＝4.] 8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________. 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a <x <1a [原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1，得a <1a ，∴a <x <1a .] 9．(2019·山东泰安模拟)若关于x 的不等式x －a x －b ＞0(a ，b ∈R )的解集为(－∞，1)∪(4，＋∞)，则a ＋b ＝__________.【答案】5 [若关于x 的不等式x －a x －b＞0(a ，b ∈R )的解集为(－∞，1)∪(4，＋∞)，则a ＝1，b ＝4，或a ＝4，b ＝1，则a ＋b ＝5.] 10．若不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________.【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞) [∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.][B 级 能力提升训练]11．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间 【答案】C [设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．]12．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4，1]B ．[－4，3]C ．[1，3]D ．[－1，3] 【答案】B [原不等式可化为(x －a )(x －1) ≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.]13．(2019·山东东营月考)已知定义域为R 的函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(1，7)，则实数c 的值为________.【答案】9 [∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，∴函数f (x )的最小值为0，即Δ＝a 2－4b ＝0，∴b ＝14a 2. 又∵关于x 的不等式f (x )＜c 可化成x 2＋ax ＋b －c ＜0，即x 2＋ax ＋14a 2－c ＜0， 且不等式f (x )＜c 的解集为(1，7)，∴方程x 2＋ax ＋14a 2－c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝7， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋7＝－a ，1×7＝14a 2－c ，解得c ＝9.] 14．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值．【答案】解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1，3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝a 6－a 3，－1×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧ a ＝3±3，b ＝－3.15．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.【答案】解 (1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1， 综上，a 的取值范围是[0，1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋12＋1－a ， ∵a >0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意，得1－a ＝22，∴a ＝12.∴x 2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12<0，即(2x ＋1)(2x －3)<0，－12<x <32.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 32.。
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
2016版高考数学大一轮复习课件：第6章-第2节一元二次不等式及其解法
基 础 知 识 点
当 c＞2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|2＜x＜c}；
方 法
技
当 c＜2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为{x|c＜x＜2}； 巧
当 c＝2 时，不等式(x－2)(x－c)＜0 的解集为∅.
所以，当 c＞2 时，不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0 的解集
课
核
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
第十五页，编辑于星期五：二十三点 五十五分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
(2)a∈R，解关于 x 的不等式 x－1x≥a(x－1)．
基 础 知 识 点
【解】 原不等式可转化为x－1[1x－ax＋1]≥0(*)
方 法 技
巧
(1)当 a＝1 时，(*)式为x－x 1≥0，解得 x＜0 或 x≥1.
核
即 Δ＝4a2－4(2－a)≤0 或a<－1，
心 考 向
f－1≥0.
解得－3≤a≤1.
故 a 的取值范围为{a|－3≤a≤1}．
菜单
课 时 限 时 检 测
第二十六页，编辑于星期五：二十三点 五十五 分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
考向三 [104] 一元二次不等式的实际应用
时 检 测
菜单
第二十四页，编辑于星期五：二十三点 五十五 分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
(3)若 x∈[－1，＋∞)时，x2－2ax＋2≥a 恒成立，试求 a
基 础
的取值范围．
知
识 点
【解】 法一 令 f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，＋∞)，