3.2一元二次不等式及其解法_第2课时
综上所述：当
1 a<0，解集为xx< ，或x>1 a
；
当 a＝0 时，解集为{x|x>1}； 当 0<a<1
1 时，解集为 x 1<x< a ； .
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－a＝1＋2， b＝1×2， a＝－3， 即 b＝2，
(6 分)
∴不等式 bx2＋ax＋1>0，就是 2x2－3x＋1>0. 1 由于 2x －3x＋1>0⇔(2x－1)(x－1)>0⇔x< 或 x>1. 2
2
(10 分) (12 分)
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∴bx ＋ax＋1>0
(iii)当 a<0 时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程 2 2 的两个根为 x1＝ ，x2＝2，则 <2，所以原不等式的解集为 a a
2 x <x<2 a
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题型三
三个“二次”间对应关系的应用
【例3】 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为(1,2)，试求 关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 审题指导 可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，故由根与 系数的关系可求出a，b的值，从而得解． [规范解答] 由根与系数的关系，可得
2 xx> ，或x<2 a ；
2 ②当 a＝1 时， ＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}； a
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2 ③当 a>1 时， <2，所以原不等式的解集为 a
2 xx>2，或x< a .
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1 方程(2x－1) ＝0 的根为 x＝ . 2
2
∴4x －4x＋1≤0
2
1 的解集为 x x＝ 2
.
(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0， 而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6. ∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1<x<6}． 当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先 化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不 等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以 及二次函数的图象．
2
当 a＝4 时，原不等式的解集为{x|x∈R，且 x≠－1}． (2)若 a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得 x>1. 若
1 a<0，则原不等式等价于x－ (x－1)>0， a
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1 解得 x< ，或 x>1. a 若
1 a>0，原不等式等价于x－ (x－1)<0. a
1 1 ①当 a＝1 时， ＝1，解x－ (x－1)<0 得，解集为 Ø； a a 1 1 1 ②当 a>1 时， <1，解 x－ (x－1)<0 得 <x<1； a a a
1 ③当 0<a<1 时， >1， a
1 解x－ (x－1)<0 a
1 得 1<x< . a
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【变式1】 解下列不等式 (1)2x2－x＋6>0； 1 2 (2)－ x ＋3x－5>0； 2 (3)(5－x)(x＋1)≥0. 解 (1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点． ∴原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝62－40＝－4<0， ∴原不等式的解集为∅. (3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
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题型二
解含参数的一元二次不等式
【例2】 解关于x的不等式(a∈R)： (1)2x2＋ax＋2>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0. [思路探索] (1)对相应方程的判别式进行讨论，按照一元二次 不等式的解法求解； (2)先对不等式中二次项的参数讨论，再按照不等式的求法求 解． 解 (1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论： ①当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以 原不等式的解集为R. ②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个 根为
[错解] 不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 的解集为 R，
a－2<0， ∴ Δ<0 a<2， ⇔ 2 4a－2 －4a－2－4<0.
⇔－2<a<2.
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当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式， 不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立． [正解] 当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0， 所以a＝2时成立． 当a－2≠0时，由题意得 即解得－2<a<2. 综上所述可知：－2<a≤2. 二次项系数含参数时，要严格分系数为正，系 数为0，系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，只要题 目没有明确说明不等式是一元二次不等式，就必须讨论这 种情况．
2
1 的解集为－∞， ∪(1，＋∞)． 2
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【变式3】 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求 a，b的值． 解 法一 由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0 的两实根． b 1＋2＝a， 由根与系数的关系，知 1×2＝2， a
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1 1 2 x1＝ (－a－ a －16)，x2＝ (－a＋ a2－16)． 4 4 当 a＝－4 时，原不等式的解集为{x|x∈R，且 x≠1}； 当 a>4 或 a<－4 时，原不等式的解集为
1 xx< －a－ 4
1 a －16，或x> －a＋ a2－16 ； 4
当 a＝1 时，解集为∅；当 a>1
1 时，解集为x <x<1 a
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【变式2】解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0. 解 (i)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，解得x<2， 所以原不等式的解集为{x|x<2}．
(ii)当 a>0 时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0，对应方程 2 的两个根为 x1＝ ，x2＝2. a 2 ①当 0<a<1 时， >2，所以原不等式的解集为 a
• 第2课时
一元二次不等式及其解法
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题型一
一元二次不等式的解法
【例1】 求下列一元二次不等式的解集． (1)x2－5x>6； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6. [思路探索] 先将二次项系数化为正，再求对应方程的根．并 根据情况结合二次函数图象，写出解集． 解 (1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0. ∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6. ∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． (2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，
a＝1， 解得 b＝3.
法二
把 x＝1,2 分别代入方程 ax2－bx＋2＝0 中，
a＝1， 解得 b＝3.
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a－b＋2＝0， 得 4a－2b＋2＝0.
误区警示
忽略二次项系数为零而出错
【示例】 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实 数a的取值范围．
【超级经典】一元二次不等式及其解法(含答案)
1 ， 2
由函数 y 4 x 4 x 1的图象为：
2
原不等式的的解集是 { } . 方法二：∵ 原不等式等价于： (2 x 1) 0 ,
2
1 2
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∴原不等式的的解集是 { } . （4）方法一：
2 2 因为 0 ，方程 x 4 x 5 0 无实数解，
函数 y x 4x 5 的简图为：
2
所以不等式 x 4 x 5 0 的解集是 .
2
所以原不等式的解集是 . 方法二：∵ x 4x 5 ( x 2) 1 1 0
2
函数 y x 5x 的简图为：
2
因而不等式 x 5x 0 的解集是 {x | 0 x 5} .
2
方法二： x 5x 0 x( x 5) 0
2
x 0 x 0 或 x 5 0 x 5 0
解得
x 0 x 0 或 ，即 0 x 5 或 x . x 5 x 5
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【经典例题】 类型一：解一元二次不等式 例 1. 解下列一元二次不等式 （1） x 5x 0 ；
2
（2） x 4 x 4 0 ；
2
（3） x 4 x 5 0
2
思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为 (5)2 4 1 0 25 0 所以方程 x 5x 0 的两个实数根为： x1 0 ， x2 5
一元二次不等式及其解法
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学点 四
根的分布问题
关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根
都大于2，求实数m的取值范围.
图3-2-1
【解析】
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图3-2-2
【评析】二次方程根的分布问题多借助根的判别式、 韦达定理或者用数形结合法由二次函数图象求解.
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3.如何研究根的分布问题？ 实数k取何值时，含参数m的二次方程ax2+bx+c=0 （1）有实根、无实根、有两个相等实根. （2）有两正根、两负根，一正一负根. （3）有零根. （4）有两个大于k的根，有两个小于k的根，一根大 于k另一根小于k…的一般讨论方法通常考虑以下几个方 面:①求根公式.②判别式.③对称轴.④开口方向.⑤区间 端点处的函数值. 方法有三类：（一）判别式、韦达定理法；（二） 判别式、对称轴、构造函数法；（三）求根公式法. 以下几类是常见问题：（在a≠0条件下） （1）方程ax2+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实 根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号. 返回目录
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m<-5或m>1， ≨ ≨1<m<19. 1<m<19，
综上1≤m<19. 【评析】（1）ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件为
a>0,
Δ<0.
（2）ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件为 a<0, Δ<0.
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不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)对任意x∈R恒成立，求 a与m之间的关系. 解：
3.2一元二次不等式及其解法
• 例3.某汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽 车车速x km/h有如下关系：
1 1 2 s = x+ x 2 180
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大 于39.5m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为 多少？
• 例4.一个车辆制造厂引进了一个摩托车整车装配流 水线，这条流水线生产的摩托车数量x与创造的价 值y之间有如次方程和函数的零点你还 记得多少？
ax + bx + c = （a ≠ 0） 0
2
y = ax + bx + c（a ≠ 0）
2
什么叫做一元二次不等式？？？
我们把只含有一个未知数， 1. 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是2的不等式 ，称为一元二次不等式. 数是 的不等式 称为一元二次不等式. 2 bx+ 2.一元二次不等式的一般表达形式为 2.一元二次不等式的一般表达形式为 ax +bx+c>0 bx+ <0(a a, (a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0) b,c均为常数. ≠0)或 其中a 均为常数. ,其中 3.一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准 3.一元二次不等式经过变形， 一元二次不等式经过变形 形式： 形式： bx+ ax2+bx+c>0 (a>0); （1） 2 bx+ >0） （2） ax +bx+c<0 （a>0）.
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c (a>0)的图像
ax2+bx+c=0 (a>0)的解集 ax2+bx+c>0 (a<0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x≠-b/2a} 空集
人教a版必修五课件：一元二次不等式的解法(57页)
(2)从方程观点看，设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1，或x>x2}、 b x1＋x2＝－a {x|x1<x<x2}(x1<x2)，则有 c x1· x2＝a， 点值是相应方程的根．
即不等式解集的端
(3)当一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R 时，意味着ax2＋bx＋c>0(a>0)恒成立．由图象可知：关于 这类恒成立问题只需考虑开口方向和判别式即可，而不必 利用最值转化的思路求解．
2．一元二次不等式的解集 判别式 Δ＝b －4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
2
Δ>0
Δ ＝0
Δ<0
判别式 Δ＝b －4ac 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
2
Δ>0
Δ＝0 有两相等实根 b x1＝x2＝－2a
Δ<0
有两相异实根 x1，x2(x1<x2)
没有实数根
第三章
不等式
3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时
一元二次不等式的解法
课堂互动探究
课前自主预习
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.了解一元二次不等式的实际背景． 2．理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的 关系． 3．会解一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
课 前 自 主 预 习
2
1 ∴4x －4x＋1≤0的解集为{x|x＝2}．
2
(3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0， 而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6. ∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1<x<6}．
2020版人教A数学必修5 课件：第二课时 一元二次不等式及其解法习题课
x2 x 1 (x 1)2 3
7
7
24
的取值范围为(-∞, 6 ). 7
方法技巧
(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道 谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数.分离参数法是解 决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法. a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max(f(x)存在最大值); a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min(f(x)存在最小值). (2)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的 图象在给定区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图 象在给定区间上全部在x轴下方.
所以 m 的取值范围为(-4,0].
(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
解:(2)法一 要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立,就要使 m(x- 1 )2+ 3 m-6<0 24
在 x∈[1,3]上恒成立.令 g(x)=m(x- 1 )2+ 3 m-6,x∈[1,3].当 m>0 时,g(x)在 24
答案:(2)-10
[备用例1](1)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2x1=15,则a等于( )
(A) 5 2
(B) 7 2
(C) 15 4
(D) 15 2
(1)解析:由不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),知 x1,x2 为方程 x2-2ax8a2=0 的两根,则 x1+x2=2a,x1x2=-8a2,由(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2,得(2a)2-4× (-8a2)=36a2=152,解得 a= 5 (负值舍去),故选 A.
人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(含答案)
3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． 不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 － ＋ ＋ ＋ x －2 － － ＋ ＋ x －3 － － － ＋(x －3)(x －2)·(x －1) － ＋ － ＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解 原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布 二次函数的图象 充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解 原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ； 当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅； 当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析 题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布 方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用 方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项 调整前 调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解 设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8， 所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0， 对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立． 当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0， 即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0， 解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0， 即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ， 代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例 解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解 方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二 设lg x －1＝t ， 则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三 解方程lg x －1＝3－lg x ， 解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数． 且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )， 则10≤x ≤100.方法四 令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示： 易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )． 即lg x －1≤3－lg x 成立． 由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2， 解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析 本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1， 其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析 本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。
一元二次不等式的解法
x
O
x
R
Φ
Hale Waihona Puke Φ例1.解不等式 x2－3x－4 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×1×(-4)>0
,
先求方程的根 然后画出函数图象
所以方程x2－3x－4 =0的解是
x1=-1, x2=4
所以,原不等式的解集是
x | x -1, 或x 4.
注:开口向上,大 于0解集是大于 大根,小于小根; 小于0的解集是 大于小根，小于 大根.
一元二次方程的根
一元二次不等式的解
2.一元二次不等式解法的步骤： （1）把一元二次不等式化为标准形式，并把二 次项系数化为正数 (a>0); （2）计算判别式，判断方程是否有根; （3）如果有根，求出方程的根； （4）写出不等式的解集，大于取两边、小于取中间。
1.习题3.2 A组：2题 2.完成课本78页的程序框图
（2）探究新知—从形到数
看一看 画一画
画出二次函数 y x2 20 的图象？ x 84
y
6
14
x
（2）探究新知—从形到数
y x2 20x 84
y
说一说
（1）方程x2-20x+84=0的根是 x1=6,x2=14 （2）不等式x2-20x+84≥0的解集是 {x|x≤6或x≥14} （3）不等式x2-20x+84≤0的解集是 {x|6≤x≤14}
20 x 2
x
（2）观察归纳—形成概念
2 x -20x+84≤0
抢 答 竞 赛
（1）该式子是等式还是不等式？
不等式 一个
不等式 一元
（2）该式中含有几个未知数？
《一元二次不等式及其解法》说课稿
《一元二次不等式及其解法》说课稿许昌市第八中学李冰各位评委好，老师好！今天我说课的题目是一元二次不等式及其解法，所选用的是高中数学人教A版必修5教材。
本节课选自该教材第三章不等式第二节第一课时。
根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，学情分析，教学目标，教学方法，教学过程，教学评价六个方面加以说明。
第一教材分析首先一元二次不等式的解法是解不等式的基础和核心，在高中数学中起着广泛的应用工具作用。
其次一元二次不等式的解法中蕴藏着重要的数形结合思想，现已成为代数、三角、解析几何交汇综合的部分，也是近年来高考综合题的热点。
可见，本节课的学习在高中数学中具有举足轻重的地位。
第二学情分析从知识储备来说，学生在初中已经学习了一元二次方程和二次函数，对不等式的性质有了初步了解，这为我们学习一元二次不等式打下了基础。
从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升。
在情感态度上学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。
因此对于这个阶段的学生来说，对一元二次不等式及其解法的学习有一定的基础和必要。
第三教学目标分析新课标指出，教学目标应包括知识与技能目标，过程与方法目标，情感态度与价值观目标这三个方面，而这三维目标又应是紧密联系的一个有机整体，学生学会知识与技能的过程同时成为学会学习，形成正确价值观的过程，这告诉我们，在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前面两者充分体现在过程与方法中。
为此，我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为：1理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；掌握图象法解一元二次不等式；培养数形结合的能力；培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
2经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。
32一元二次不等式及其解法
a 1 ∴a>1,即a的取值范围为（1，+∞）.
探究提高 (1)含参数的一元二次不等式可分为两种 情形:一是二次项系数为常数,参数在一次项或常数项 的位置,此时可考虑分解因式,再对参数进行讨论，若 不易分解因式,则要对判别式Δ分类讨论,分类应不重 不漏;二是二次项系数为参数,则应考虑二次项系数是 否为0,然后再讨论二次项系数不为0的情形,以便确定 解集的形式.注意必须判断出相应方程的两根的大小, 以便写出解集. (2)含参数不等式的解法问题,是高考的重点内容，主 要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想.
g(1) 0 解得-3≤a≤1.
失误与防范
1.一元二次不等式的界定.对于貌似一元二次不等式
的形式要认真鉴别.如：
解不等式（x-a)(ax-1)>0，如果a=0它实际上是一个
一元一次不等式；
只有当a≠0时它才是一个一元二次不等式.
2.当判别式Δ<0时，ax2+bx+c>0 (a>0)解集为R;
ax2+bx+c<0 (a>0)
两课时
基础知识 自主学习
要点梳理 一元二次不等式与相应的一元二次函数及 一元二次方程的关系（如下表）：
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac
△>0
y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x
△=0 y
O x1
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
则M∩N={x|0≤x<1}.
二元一次不等式及解法
1 3.2《一元二次不等式及其解法》教案（第1课时）
【教学目标】 1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点及难点】 教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【教学过程】 一.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：250xx…………………………(1) 二.讲授新课 1）一元二次不等式的定义
象250xx这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 2）探究一元二次不等式250xx的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究： （1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5xx
二次函数有两个零点：120,5xx 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集
画出二次函数25yxx的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即250xx； 2
当0所以，不等式250xx的解集是|05xx，从而解决了本节开始时提出的问题。 3）探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：220,(0)0,(0)axbxcaaxbxca或