2012年高考数学二轮复习检测题及答案(十)
2012高三数学(理)二轮复习试题：专题5解析几何专题检测(精)
专题检测(五)解析几何(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点(－2,0)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为A．2x＋y＋4＝0B．－2x＋y－4＝0C．x－2y＋2＝0 D．－x＋2y－2＝0解析易知所求直线的斜率为－2，所以方程为y－0＝－2(x＋2)，即2x＋y＋4＝0.答案 A2．(2011·中山模拟)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为A．－2 B．2 C．－4 D．4解析据题意p2＝2，∴p＝4.答案 D3．下列曲线中离心率为62的是A.x24＋y22＝1 B.x24－y22＝1C.x24＋y210＝1 D.x24－y210＝1解析选项A、B、C、D中曲线的离心率分别是22、62、155、142.答案 B4．已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋1，“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由⎩⎨⎧y 2＝xy ＝kx ＋1得ky 2－y ＋1＝0， 当k ≠0时，Δ＝1－4k ＞0，得k ＜14. 即若直线l 与抛物线C 有两个不同的交点， 则k ＜14且k ≠0，故选D. 答案 D5．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析 设圆心坐标为(a ，－a )，∴r ＝|2a |2＝|2a －4|2， 解得a ＝1，∴r ＝2，故所求的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案 B6．若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为A ．1B ．－1 C.12D ．2解析 曲线方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9， 由题设知直线过圆心，即k ×(－1)＋2×3－4＝0，∴k ＝2.故选D. 答案 D7．已知椭圆x 24＋y 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，满足∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积为A ．3(2＋3)B ．3(2－3)C ．2＋ 3D ．2－3解析 由题意，得⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30° ＝|F 1F 2|2＝4，所以|PF 1|·|PF 2|＝12(2－3)， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝3(2－3)． 答案 B8．直线ax －y ＋2a ＝0(a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是 A ．相离 B ．相交 C ．相切D ．不确定解析 圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2得该圆圆心(0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0的距离d ＝2a a 2＋(－1)2＝2aa 2＋12，由基本不等式可以知道2a ≤a 2＋12，从而d ＝2aa 2＋12≤1＜r ＝3，故直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是相交．答案 B9．(2011·大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝A.45B.35 C ．－35D ．－45解析 解法一 由⎩⎨⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5 ＝－45.解法二 由解法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|FA →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2. ∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|＝3×0＋4×(－2)5×2＝－45. 答案 D10．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x解析 由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， ∴椭圆的右焦点(3m 2－5n 2，0)， 双曲线的右焦点(2m 2＋3n 2，0)， ∴3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2， 即|m |＝22|n |，∴双曲线的渐近线为y ＝±3·|n |2·|m |x ＝±34x ， 即y ＝±34x . 答案 D11．(2010·课标全国卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为A.x23－y26＝1 B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1 D.x25－y24＝1解析∵k AB＝0＋153＋12＝1，∴直线AB的方程为y＝x－3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则x2a2－(x－3)2b2＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6a2a2－b2＝2×(－12)，∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.∴双曲线E的方程为x24－y25＝1.答案 B12．如图所示，F1和F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB 是等边三角形，则离心率为A.3＋12 B.3－1C.3－12 D.3＋1解析设F2(c,0)，则圆O的方程是x2＋y2＝c2.与双曲线方程联立，消掉y得x2a2－c2－x2b2＝1，解得x＝－a b2＋c2c(舍去正值)．由于O是正三角形F2AB的外接圆的圆心，也是其重心，故F2到直线AB的距离等于32|OF2|＝3c2，即c＋a b2＋c2c＝3c2，即2a b2＋c2＝c2.将b2＝c2－a2代入上式，并平方得4a2(2c2－a2)＝c4，整理，得c4－8a2c2＋4a4＝0，两端同时除以a4，得e4－8e2＋4＝0.解方程得e2＝4±23，由于e2＞1，故e2＝4＋23，所以e＝3＋1.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分．把答案填在题中的横线上)13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2上一点M，点M的横坐标是2，则M到抛物线焦点的距离是________．解析因为点M的横坐标是2，故其纵坐标为8，又p2＝18，所以M到抛物线焦点的距离为8＋18＝658.答案65 814．点P为双曲线x24－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是________．解析设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0＝2x，y0＝2y，代入双曲线方程得x2－4y2＝1.答案 x 2－4y 2＝115．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝32，且它的一个焦点与抛物线x 2＝－43y 的焦点重合，则此椭圆的方程为________．解析 抛物线的焦点为(0，－3)，椭圆的中心在原点， 则所求椭圆的一个焦点为(0，－3)，半焦距c ＝3， 又离心率e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1，故所求椭圆的方程为x 2＋y 24＝1. 答案 x 2＋y 24＝116．已知a ＝(6,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的一般方程是________．解析 ∵a ＋2b ＝(6,2)＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12＝(－2,3)， ∴与向量a ＋2b 平行的直线的斜率为－32， 又l 与向量a ＋2b 垂直，∴l 的斜率k ＝23. 又l 过点A (3，－1)，∴直线l 的方程为y ＋1＝23(x －3)， 化成一般式为2x －3y －9＝0. 答案 2x －3y －9＝0三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)(2011·福建)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程． 解析 (1)由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0.(*) 因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0， 解得x ＝2.将其代入x 2＝4y ，得y ＝1. 故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.18．(12分)(2011·安徽)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明：l 1与l 2相交；(2)证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明 (1)假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)解法一 由方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1解得交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1， 而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.此即表明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．解法二 交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x . 故知x ≠0. 从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x ＋2＝0. 整理后，得2x 2＋y 2＝1，所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．19．(12分)(2011·开封模拟)如图所示，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线m ：kx －y ＋1＝0.(1)求证：直线m 与圆O 有两个相异交点；(2)设直线m 与圆O 的两个交点为A 、B ，求△AOB 面积S 的最大值． 解析 (1)证明 直线m ：kx －y ＋1＝0可化为y －1＝kx ， 故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O ：x 2＋y 2＝4内部， 所以直线m 与圆O 恒有两个不同交点． (2)圆心O 到直线m 的距离为 d ＝11＋k 2，而圆O 的半径r ＝2， 故弦AB 的长为|AB |＝2r 2－d 2＝24－d 2， 故△AOB 面积S ＝12|AB |×d ＝12×24－d 2×d ＝4d 2－d 4＝－(d 2－2)2＋4.而d 2＝11＋k 2，因为1＋k 2≥1，所以d 2＝11＋k 2∈(0,1]，显然当d 2∈(0,1]时，S 单调递增，所以当d 2＝1，即k ＝0时，S 取得最大值3， 此时直线m 的方程为y －1＝0.20．(12分)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程；(2)过圆C 上一动点M (不在x 轴上)作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解析 (1)当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，其距离为23，满足题意． 若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y －k ＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，得d ＝1. 所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34， 故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. (2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )， 则N 点坐标是(0，y 0)． 因为OQ→＝OM →＋ON →， 所以(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y2. 又因为M 是圆C 上一点，所以x 20＋y 20＝4，所以x 2＋y 24＝4(y ≠0)， 所以Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)，这说明轨迹是中心在原点，焦点在y 轴，长轴为8、短轴为4的椭圆，除去短轴端点．21．(12分)(2011·上海)已知椭圆C：x2m2＋y2＝1(常数m＞1)，P是曲线C上的动点，M是曲线C的右顶点，定点A的坐标为(2,0)．(1)若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；(2)若m＝3，求|P A|的最大值与最小值；(3)若|P A|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．解析(1)由题意知m＝2，椭圆方程为x24＋y2＝1，c＝4－1＝3，∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(2)m＝3，椭圆方程为x29＋y2＝1，设P(x，y)，则|P A|2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－x29＝89⎝⎛⎭⎪⎫x－942＋12(－3≤x≤3)，∴当x＝94时，|P A|min＝22；当x＝－3时，|P A|max＝5.(3)设动点P(x，y)，则|P A|2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－x2m2＝m2－1m2⎝⎛⎭⎪⎫x－2m2m2－12－4m2m2－1＋5(－m≤x≤m)．∵当x＝m时，|P A|取最小值，且m2－1m2＞0，∴2m2m2－1≥m且m＞1，解得1＜m≤1＋ 2.22．(14分)如图所示，曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点，F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝72，|AF2|＝52，(1)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线方程；(2)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 的中点，H 为BE 的中点，问|BE ||CD |·|GF 2||HF 2|是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．解析 (1)解法一 设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋52＝6， 得a ＝3.设A (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 则(x ＋c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722，(x －c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，两式相减，得xc ＝32，由抛物线定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝52，则c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝32(因∠AF 2F 1为钝角，故舍去)． 所以椭圆方程为x 29＋y 28＝1，抛物线方程为y 2＝4x .解法二 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，抛物线方程为y 2＝2px . 如图所示，过F 1作垂直于x 轴的直线x ＝－c ，即抛物线的准线，过A 作AN 垂直于该准线于点N ，作AM ⊥x 轴于点M ， 则由抛物线的定义，得|AF 2|＝|AN |，所以|AM |＝|AF 1|2－|F 1M |2＝|AF 1|2－|AN |2＝|AF 1|2－|AF 2|2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝ 6. |F 2M |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－6＝12，得|F 1F 2|＝52－12＝2， 所以c ＝1.由p2＝c 得p ＝2. 由2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝6， 得a ＝3.b 2＝a 2－c 2＝8. 所以椭圆方程为x 29＋y 28＝1， 抛物线方程为y 2＝4x .(2)设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线y ＝k (x －1)， 由题意知k ≠0，代入x 29＋y 28＝1， 得8⎝ ⎛⎭⎪⎫y k ＋12＋9y 2－72＝0， 即(8＋9k 2)y 2＋16ky －64k 2＝0， 则y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k 28＋9k 2. 同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ， 得ky 2－4y －4k ＝0， 则y 3＋y 4＝4k ，y 3y 4＝－4.所以|BE|·|GF2||CD|·|HF2|＝|y1－y2||y3－y4|·12|y3＋y4|12|y1＋y2|＝(y1－y2)2(y1＋y2)2·(y3＋y4)2(y3－y4)2＝(y1＋y2)2－4y1y2(y1＋y2)2·(y3＋y4)2(y3＋y4)2－4y3y4＝(16k)2(8＋9k2)2＋4×64k28＋9k2(16k)2(8＋9k2)2·⎝⎛⎭⎪⎫4k2⎝⎛⎭⎪⎫4k2＋16＝3，为定值．。
2012届高考数学第二轮综合验收评估复习题2 理
综合验收评估复习题一、选择题1．(2011·某某模拟)设函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫－1x 的定义域为M ，g (x )＝1－x 21＋x的定义域为N ，则M ∩N 等于A ．{x |x ＜0}B ．{x |x ＞0且x ≠1}C ．{x |x ＜0且x ≠－1}D ．{x |x ≤0且x ≠－1}解析∵M ＝{x |x ＜0}，N ＝{x |x ≠－1}，∴M ∩N ＝{x |x ＜0且x ≠－1}．故选C.答案 C2．(2011·某某)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．1解析A ∩B 的元素个数等价于圆x 2＋y 2＝1与直线x ＋y ＝1的交点个数，显然有2个交点．答案 C3．(2011·某某模拟)使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是A ．x ＜0B ．x ≥0C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3 解析∵2x 2－5x －3≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3或x ≤－12， ∴x ∈{－1,3,5}是不等式成立的一个充分不必要条件．答案 C4．下列命题中是真命题的是A ．若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a ＜b ，则1a ＞1bC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立解析 对于选项A ，若向量a 、b 满足a ·b ＝0，不能得出a ＝0或b ＝0，因此A 不正确．对于选项B ，如取a ＝－2，b ＝1，此时有a ＜b ，但1a ＜1b，因此B 不正确．对于选项C ，如取b ＝0，a ＝0，c ＝1，此时有b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列，因此C 不正确．对于选项D ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，因此D 正确．综上所述，选D.答案 D5．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要而不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1＜0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题解析 对于A ，注意到一个命题的否命题是将其题设与结论分别进行否定所形成的新命题，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，因此A 不正确．对于B ，当x ＝－1时，x 2－5x －6＝0，因此“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分条件，B 不正确．对于C ，命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，因此C 不正确．对于D ，由于命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，因此其逆否命题也是真命题(注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，D 正确．综上所述，选D.答案 D6．设M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要解析 因“a ＝1”，即N ＝{1}，满足“N ⊆M ”，反之“N ⊆M ”，则N ＝{a 2}＝{1}，或N ＝{a 2}＝{2}，不一定有“a ＝1”．所以“a ＝1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件．答案 A二、填空题7．已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上为减函数；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则实数c 的取值X 围是________．解析 因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以p 、q 两个命题一真一假．若命题p 为真命题，则0＜c ＜1；若命题q 为真命题，则0＜c ≤12.所以若p 真q 假，则实数c 的取值X 围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪12＜c ＜1，若q 真p 假则无解．故实数c 的取值X 围是⎝⎛⎭⎫12，1. 答案⎝⎛⎭⎫12，18．如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则A *B 为________．解析 集合A ＝[0,2]，集合B ＝(1，＋∞)．图中的阴影部分是[A ∩(∁R B )]∪[(∁R A )∩B ]，A ∩(∁R B )＝[0,1]，(∁R A )∩B ＝(2，＋∞)，所以[A ∩(∁R B )]∪[(∁R A )∩B ]＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}．答案 {x |0≤x ≤1或x ＞2}9．(2011·某某)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ， B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值X 围是________．解析∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅，∴m 2≥m 2， ∴m ≥12或m ≤0.显然B ≠∅. 要使A ∩B ≠∅，只需圆(x －2)2＋y 2＝m 2(m ≠0)与x ＋y ＝2m 或x ＋y ＝2m ＋1有交点， 即|2－2m |2≤|m |或|1－2m |2≤|m |， ∴2－22≤m ≤2＋ 2. 又∵m ≥12或m ≤0，∴12≤m ≤2＋ 2. 当m ＝0时，(2,0)不在0≤x ＋y ≤1内．综上所述，满足条件的m 的取值X 围为⎣⎡⎦⎤12，2＋2.答案⎣⎡⎦⎤12，2＋2三、解答题10．已知命题p ：“若x ＝1且y ＝2，则x ＋y ＝3”，试写出p 的否命题和命题的否定，判断它们的真假，并说明理由．解析p 的否命题：“若x ≠1或y ≠2，则x ＋y ≠3”．这是一个假命题．綈p ：“若x ＝1且y ＝2，则x ＋y ≠3”．此命题也为假命题．11．已知集合A ＝{x |x 2＋(2＋a )x ＋1＝0，x ∈R }，B ＝{x ∈R |x ＞0}，试问是否存在实数a ，使得A ∩B ＝∅？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解析 解法一 假设存在实数a 满足条件A ∩B ＝∅，则有①当A ≠∅时，由A ∩B ＝∅，B ＝{x ∈R |x ＞0}，知集合A 中的元素为非正数，设方程x 2＋(2＋a )x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2＋a )2－4≥0，x 1＋x 2＝－(2＋a )＜0，x 1x 2＝1＞0，解得a ≥0；②当A ＝∅时，则有Δ＝(2＋a )2－4＜0，解得－4＜a ＜0.综合①②，知存在满足条件A ∩B ＝∅的实数a ，其取值X 围是(－4，＋∞)．解法二 假设存在实数a 满足条件A ∩B ≠∅，则方程x 2＋(2＋a )x ＋1＝0的两实数根x 1，x 2至少有一个为正，因为x 1·x 2＝1＞0，所以两根x 1，x 2均为正数．则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2＋a )2－4≥0，x 1＋x 2＝－(2＋a )＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0或a ≤－4，a ＜－2，即a ≤－4. 又∵集合{a |a ≤－4}的补集为{a |a ＞－4}，∴存在满足条件A ∩B ＝∅的实数a ，其取值X 围是(－4，＋∞)．12．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －2x －(3a ＋1)＜0， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －a 2－2x －a ＜0. (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，某某数a 的取值X 围．解析 (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2＜x ＜52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12＜x ＜94，所以(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪94≤x ＜52. (2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B .因为a 2＋2＞a ，所以B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}， ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52； 当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意； 当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}， ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a ＜13； 综上，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.。
【新课标】2012届高三数学二轮精品专题卷10 解析几何(直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线)-推荐下载
为 1 ，求四边形 APBQ 面积的最大值；②当 A、B 运动时，满足 APQ BPQ ，试问直线 AB 的斜 2
率是否为定值，请说明理由．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2012届高三数学二轮复习 专题全程检测三 文
2012高三二轮复习专题全程检测三时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：由已知得3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，两式作差得3(S 3－S 2)＝a 4－a 3，化简整理得a 4＝4a 3，故公比q ＝4.答案：B2．数列{a n }为等差数列，且a 5a 9＝59，则S 5S 9等于( )A.59B.95 C ．3 D.13 解析：设{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5a 9＝59，∴a 1＋4d a 1＋8d ＝59，∴a 1＝d ∴S 5S 9＝5a 1＋5×42d9a 1＋9×82d＝15d 45d ＝13. 答案：D3．已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列，则有( )A.a 4a 6<a 6a 8B.a 4a 6≤a 6a 8C.a 4a 6>a 6a 8D.a 4a 6≥a 6a 8解析：a 4a 8＝(a 1＋3d )(a 1＋7d )＝a 21＋10a 1d ＋21d 2，a 26＝(a 1＋5d )2＝a 21＋10a 1d ＋25d 2，故a 4a 6≤a 6a 8.答案：B4．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a n ＋1>|a n |⇒a n ＋1>a n ⇒{a n }为递增数列，但{a n }为递增数列⇒a n ＋1>a n 推不出a n ＋1>|a n |，故“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．答案：B5．{a n }是等差数列，a 2＝8，S 10＝185，从{a n }中依次取出第3项，第9项，第27项，…，第3n项，按原来的顺序排成一个新数列{b n }，则b n 等于( )A ．3n ＋1＋2B ．3n ＋1－2C ．3n ＋2D ．3n－2解析：由a 2＝8，S 10＝185可求得a 1＝5，公差d ＝3，∴a n ＝3n ＋2.由于{a n }的第3n项恰是{b n }的第n 项，∴b n ＝a 3n ＝3×3n ＋2＝3n ＋1＋2. 答案：A6．用反证法证明命题“若a ，b ∈N，ab 可被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”．那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 有一个能被3整除D ．a ，b 有一个不能被3整除解析：“a ，b 中至少有一个能被3整除”不成立，即a ，b 都不能被3整除． 答案：B7．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.110 D.15解析：∵1－a n a n －1＝a na n ＋1－1， ∴a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1， ∴{1a n }是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝12n ，∴a 10＝15. 答案：D8．在正数数列{a n }中，a 1＝2，且点(a n ，a n －1)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．2n －1B ．2n ＋1－2C ．2n 2－ 2D ．2 n 22－ 2解析：点(a n ，a n －1)在直线x －2y ＝0上， ∴a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2， 当n ≥2时，a n ＝2n.n ＝1时也成立，所以S n ＝2n ＋1－2. 答案：B9．设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N *，则函数f (n )＝S nn ＋32S n ＋1的最大值为( )A.120B.130C.140D.150解析：由S n ＝n n ＋12得f (n )＝nn ＋32n ＋2＝n n 2＋34n ＋64＝1n ＋64n＋34≤1264＋34＝150，当且仅当n ＝64n ，即n ＝8时取等号，即f (n )max ＝f (8)＝150.答案：D10．观察下列算式，猜测由此表提供的一般法则，用适当的数学式子表示它，则这个式子为( )1＝1， 3＋5＝8， 7＋9＋11＝27， 13＋15＋17＋19＝64， 21＋23＋25＋27＋29＝125，…A ．(n 2－n ＋1)＋[(n 2－n ＋1)＋2]＋[(n 2－n ＋1)＋4]＋…＋[(n 2－n ＋1)＋2n ]＝n 3B ．(n 2－n ＋1)＋[(n 2－n ＋1)＋1]＋[(n 2－n ＋1)＋2]＋…＋[(n 2－n ＋1)＋n ]＝n 3C ．(n 2－n )＋[(n 2－n )＋2]＋[(n 2－n )＋4]＋…＋[(n 2－n )＋2n ]＝n 3D ．(n 2－n ＋1)＋[(n 2－n ＋1)＋2]＋[(n 2－n ＋1)＋4]＋…＋[(n 2－n ＋1)＋2(n －1)]＝n 3解析：观察各式特征，右式依次为13,23,33,43,53，…，左式依次为连续奇数的和，所以猜想：式子的右式为n 3，而左式为从n 2－n ＋1到n 2＋n －1这n 个连续奇数的和，从而得到结论．再以n ＝2检验其成立．答案：D11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝q n－1(q >0，且q 为常数)，某同学得出如下三个结论：①{a n }的通项是a n ＝(q －1)·q n －1；②{a n }是等比数列；③当q ≠1时，S n S n ＋2<S 2n ＋1.其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：a n ＝S n －S n －1＝q n －1－(q n －1－1)(n ≥2)，即a n ＝(q －1)n －1(n ≥2)，而a 1＝S 1＝q －1，得a n ＝(q －1)q n －1(n ≥1)，①正确；当q ＝1时，{a n }不是等比数列，②错误；当q ≠1时，令t ＝S n S n ＋2－S 2n ＋1＝(q n －1)(q n ＋2－1)－(q n ＋1－1)2，则t ＝－q n (q －1)2，显然t <0，即S n S n ＋2<S 2n ＋1，③正确．答案：C12．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一都有A ，B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的，下星期一会有20%的人改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有30%的人改选A 种菜．用a n ，b n 分别表示在第n 个星期选A 种菜的人数和选B 种菜的人数，如果a 1＝300，则a 10为( )A ．300B ．350C ．400D ．450解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝45a n ＋310b n ，a n ＋b n ＝500消去b n 得：a n ＋1＝12a n ＋150.由a 1＝300得a 2＝300，从而得a 10＝300. 答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3≤3，S 4≥10，则a 4的最大值为________．解析：依题意有a 1＋2d ≤3，且4a 1＋4×32d ≥10，即2a 1＋3d ≥5.因为a 4＝a 1＋3d ＝－(2a 1＋3d )＋3(a 1＋2d )≤－5＋3×3＝4，因此a 4的最大值为4.答案：414．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：21图115．在平面几何里，已知Rt△SAB 的两边SA ，SB 互相垂直，且SA ＝a ，SB ＝b ，则AB 边上的高h ＝aba 2＋b 2；现把该结论类比到空间：如图1所示，三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两相互垂直，SH ⊥平面ABC ，且SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则点S 到平面ABC 的距离h ′＝________.解析：过S 作SD ⊥AB 于D ，连接DC ，则SD ＝aba 2＋b 2.因为SC ⊥SB ，SC ⊥SA ，所以SC ⊥平面SAB .又因为SD ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以SC ⊥SD ，SC ⊥AB .则△SDC 为直角三角形，所以CD ＝a 2b 2＋b 2c 2＋a 2c 2a 2＋b 2.由上易得AB ⊥平面SDC ，而AB ⊂平面ABC ，所以平面SDC ⊥平面ABC ，又SH ⊥平面ABC ，所以SH ⊂平面SDC .在△SDC 中，由面积相等得h ′＝SH ＝abca 2b 2＋b 2c 2＋a 2c 2.答案：abca 2b 2＋b 2c 2＋a 2c 216．观察下列等式：C 15＋C 55＝23－2，C 19＋C 59＋C 99＝27＋23，C 113＋C 513＋C 913＋C 1313＝211－25，C 117＋C 517＋C 917＋C 1317＋C 1717＝215＋27，由以上等式推测出一个一般的结论：对于n ∈N *，C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋C 94n ＋1＋…＋C 4n ＋14n ＋1＝________.解析：归纳推理．观察等式右边23－2,27＋23,211－25,215＋27，…，可以看到右边第一项的指数3,7,11,15，…成等差数列，公差为4，首项为3，通项为4n －1；第二项的指数1,3,5,7，…的通项为2n －1.故得结论24n －1＋(－1)n 22n －1.答案：24n －1＋(－1)n 22n －1三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．已知在公比为实数的等比数列{a n }中，a 3＝4，且a 4，a 5＋4，a 6成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 10.解：(1)设数列{a n }的公比为q (q ∈R)，依题意可得2(a 5＋4)＝a 4＋a 6，即2(4q 2＋4)＝4q ＋4q 3，整理得(q 2＋1)(q －2)＝0.∵q ∈R，∴q ＝2，a 1＝1.∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.(2)由(1)知a 1＝1，q ＝2，∴S 10＝1－2101－2＝1023.18．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 是数列{a n }的前n 项和，且4S n ＝a 2n ＋2a n －3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝2n，求T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的值．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34，解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)，又4S n ＝a 2n ＋2a n －3 ①当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3 ②①－②得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2(a n －a n －1)，即a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)T n ＝3×21＋5×22＋…＋(2n ＋1)·2n③又2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)2n ＋1④④－③得T n ＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n )＋(2n ＋1)2n ＋1＝－6＋8－2·2n ＋1＋(2n ＋1)·2n ＋1＝(2n －1)·2n ＋1＋2.19．已知数列{a n }满足条件：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N *. (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)令c n ＝2n a n a n ＋1，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明T n <1.证明：(1)由题意得a n ＋1＋1＝2a n ＋2＝2(a n ＋1)，又a 1＋1＝2≠0，所以数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＝2n－1，故c n ＝2n a n a n ＋1＝2n 2n －12n ＋1－1＝12n －1－12n ＋1－1， T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(1－13)＋(13－17)＋…＋(12n －1－12n ＋1－1)＝1－12n ＋1－1<1.20．第一行是等差数列0,1,2,3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依次类推，共写出2008行．0,1,2,3，…，2005,2006,2007,2008 1,3,5，…，4011,4013,4015 4,8，…，8024,8028 ……(1)由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列．记各行的公差组成数列{d i }(i ＝1,2,3，…，2008)．求通项公式d i ；(2)各行的第一个数组成数列{b i }(i ＝1,2,3，…，2008)，求数列{b i }所有各项的和． 解：(1)d i ＋1＝a (i ＋1)(k ＋1)－a (i ＋1)k ＝a i (k ＋1)＋a i (k ＋2)－a ik －a i (k ＋1)＝a i (k ＋2)－a ik ＝2d i ，∴d i ＋1d i＝2，则{d i }是等比数列，d i ＝d 1·2i －1＝2i －1. (2)b i ＋1＝a i 1＋a i 2＝a i 1＋a i 1＋d i ＝2a i 1＋2i －1＝2b i ＋2i －1， ∴b i ＋12i ＋1＝b i 2i ＋14. ∴数列{b i 2i }是等差数列，b i 2i ＝14(i －1)，所以b i ＝14·(i －1)·2i ＝(i －1)·2i －2，数列{b i }所有各项的和S ，S ＝0＋1＋2×2＋3×22＋……＋2007×22006，用错位相减法，得到S ＝1003×22008＋1.21．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 1≤n ≤25，125n ， 26≤n ≤60(单位：万元，n ∈N *)，记第n 天的利润率b n ＝第n 天的利润前n 天投入的资金总和，例如b 3＝a 338＋a 1＋a 2.(1)求b 1，b 2的值；(2)求第n 天的利润率b n ；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．解：(1)当n ＝1时，b 1＝138；当n ＝2时，b 2＝139.(2)当1≤n ≤25时，a 1＝a 2＝…＝a n －1＝a n ＝1.∴b n ＝a n 38＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＝138＋n －1＝137＋n .当26≤n ≤60时，b n ＝a n38＋a 1＋…＋a 25＋a 26＋…＋a n －1＝n2563＋n －26n ＋2550＝2nn 2－n ＋2500，∴第n 天的利润率为 b n＝⎩⎪⎨⎪⎧137＋n， 1≤n ≤25n ∈N *2nn 2－n ＋2500，26≤n ≤60n ∈N *(3)当1≤n ≤25时，b n ＝137＋n 是递减数列，此时b n 的最大值为b 1＝138； 当26≤n ≤60时，b n ＝2nn 2－n ＋2500＝2n ＋2500n－1≤222500－1＝299(当且仅当n ＝2500n ，即n ＝50时，“＝”成立．) 又∵138>299，∴当n ＝1时，(b n )max ＝138.∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为138.22．设数列{a n }为等比数列，数列{b n }满足b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *，已知b 1＝m ，b 2＝3m2，其中m ≠0.(1)求数列{a n }的首项和公比； (2)当m ＝1时，求b n ；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有S n ∈[1,3]，求实数m 的取值范围．解：(1)已知b 1＝a 1，所以a 1＝m ，b 2＝2a 1＋a 2，所以2a 1＋a 2＝32m ，解得a 2＝－m 2，所以数列{a n }的公比q ＝－12.(2)当m ＝1时，a n ＝(－12)n －1，b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ， ① －12b n ＝na 2＋(n －1)a 3＋…＋2a n ＋a n ＋1， ② ②－①得－32b n ＝－n ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1，所以－32b n ＝－n ＋－12[1－－12n ]1－－12＝－n －13[1－(－12)n]，b n ＝2n 3＋29－29(－12)n ＝6n ＋2＋－21－n9.(3)S n ＝m [1－－12n ]1－－12＝2m 3·[1－(－12)n]，因为1－(－12)n>0，所以由S n ∈[1,3]得11－－12n ≤2m 3≤31－－12n.注意到，当n 为奇数时，1－(－12)n ∈(1，32]，当n 为偶数时，1－(－12)n ∈[34，1)，所以1－(－12)n 的最大值为32，最小值为34.对于任意的正整数n ，都有11－－12n ≤2m 3≤31－－12n，所以43≤2m3≤2,2≤m ≤3.即所求实数m 的取值范围是{m |2≤m ≤3}．。
2012高考二轮总复习数学(理)试题
淄博一中高2009级高三教学质量检测（四）理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设i 是虚数单位，则复数i1i-+的虚部是（ ） A.i 2 B.-i 2 C.12 D.- 122.设全集U ={n ∈N *| x ≤a },集合P ={1，2，3}，Q ={4，5，6}，则a ∈[6，7）是ðU P =Q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3.设两个正态分布N （滋１，滓12）（滓1＞0）和N （滋2，滓22）（滓2＞0）曲线如图所示，则有（ ）A.滋１＜滋2，滓1＞滓2B. 滋１＜滋2，滓1＜滓2C. 滋１＞滋2，滓1＞滓2D. 滋１＞滋2，滓1＜滓24.已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A.2B.3C.15D.不存在 5.设a ,b 为两条直线，琢、茁为两个平面，下列四个命题中真命题是（ ） A.若a ,b 与琢所成角相等，则a ∥b B.若a ∥琢，b ∥茁，琢∥茁，则a ∥b C.若a 奂琢, b 奂茁，a ∥b ，则琢∥茁 D.若a ⊥琢，b ⊥茁，琢⊥茁，则a ⊥b6.已知向量a =(cos 2琢,sin 琢),b =(1,2sin 琢-1), 琢∈(π4,仔)，若a ·b =25，则tan(琢+π4)的值为（ ） A.13 B.27 C.17 D.237.）24的展开式中，x 的幂指数为整数的项共有（ ） A.3项 B.4项项 D.6项 8.函数y =cos x -sin x 的图象可由函数yx 的图象 A.向左平移π4个长度单位 B.向左平移3π4个长度单位C.向右平移π4个长度单位 D.向右平移3π4个长度单位 9.设F 1、F 2是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |· |2PF|的值为（ ）10.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy=0.7x +0.35，那么表中m 的值为（ ） A.4 B.3.15 C.4.5 D.3 11.已知程序框图如右：如果上述程序运行的结果为S =132，那么判断框中应填入（ ） A.k ≤10 B. k ≤9 C. k ＜10 D. k ＜9 12.已知f (x )是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )=x 2,如果直线y =x +a 与曲线y = f (x )恰有两个不同的交点，则实数a 的值为（ ） A.2 k （k ∈Z ） B.2 k 或2 k +14（k ∈Z ） C.0 D.2 k 或2 k -14（k ∈Z ）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.某校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女生中抽取的人数为80，则n 等于 .14.设x 、y 满足约束条件0,,4312,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2-3+1y x 的最大值是 .15.若f (x )在R 上可导，f (x )=x 2+2 f ′(2)x +3,则3()dx f x =⎰.16.===（a ，t 均为正实数），则类比以上等式，可推测a ，t 的值，a +t = .三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17.（本小题满分12分） 已知函数f (xsin 2x -12(cos 2 x -sin 2x )-1, x ∈R ，将函数f (x )向左平移π6个单位后得函数g (x )，设△ABC 三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.(Ⅰ)若cf (C )=0,sin B =3sin A ,求a 、b 的值；(Ⅱ)若g (B )=0且m =（cos A ,cos B ）, n =(1,sin A -cos A tan B )，求m ·n的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点.(Ⅰ)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)求二面角A -A 1D -B 的正弦值.19.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，有S n 、a n 、n 成等差数列.(Ⅰ)求证：数列{a n +1}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{21nn a a }的前n 项和T n ； (Ⅲ)数列{b n }满足b 1=3, b n +1=姿b n + a n +1,若{b n }为等比数列，求实数姿. 20.（本小题满分12分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关.若T ≤1，则销售利润为0元；若1＜T ≤3，则销售利润为100元；若T ＞3，则销售利润为200元.设每台该种电器的无故障使用时间T ≤1，1＜T ≤3，T ＞3这三种情况发生的概率分别为p 1, p 2, p 3,又知p 1, p 2是方程25x 2-15x +a =0的两个根，且p 2= p 3. (Ⅰ)求p 1, p 2, p 3的值；(Ⅱ)记孜表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求孜的分布列；(Ⅲ)求销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值.21.（本小题满分12分）已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1:x -y相切. (Ⅰ)求圆的标准方程；(Ⅱ)设点A （x 0,y 0）为圆上任意一点，AN ⊥x 轴于N ，若动点Q 满足OQ =m OA+n ON，（其中m+n=1,m,n≠0,m为常数），试求动点Q的轨迹方程C2；(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下，当m C,问是否存在与l1垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点，且∠BOD为钝角，请说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+a ln x.(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的单调增区间；(Ⅱ)求函数f(x)在区间［1，e］上的最小值；(Ⅲ)设g(x)=(1-a)x,若存在x0∈［1e，e］，使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围.淄博一中高2009级高三教学质量检测(四)数学理科一、DCAAD CCBAD AD二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13. 192 14. 5 15. -18 16. 41三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （12分）解：（Ⅰ）1()2cos2122f x x x =--πsin(2)16x =--………………………………………（1分）()sin[2()]1sin(2)1666g x x x πππ=+--=+-()0f c =由 sin(2)16c π∴-=0c π<< 112666c πππ∴-<-<262c ππ∴-= 3c π∴= ………………………………………（3分）sin 3sin B A =由 3b a ∴=2222cos3a b ab π=+-由余弦定理222793a a a ∴=+- ∴a =1 b =3………………………………………（6分）（Ⅱ）()0sin(2)16g B B π=+=由得0B π<< 2666B B πππ∴<+<262B ππ∴+=6B π∴=………………………………………（8分）11cos cos (sin cos tan )m n A B A A B --∴⋅=+-⋅cos sin cos cos sin A A B A B =+-⋅1cos 22A A =+=sin()6A π+………………………………………（10分）56A C π+=506A π∴<< 5566A πππ∴<+< 0sin()16A π∴<+≤11m n --∴⋅的取值范围为(0,1]………………………………………（12分）18.(12分)分析：如图建系（Ⅰ）1(1,2,AB '=1(A B '=- (2,1,0)=-111430AB AB ''∴⋅=-+-= 12200AB BD ''⋅=-++= 111,AB A B AB BD ∴⊥⊥ 11AB A BD ∴⊥面…………………………………………………（4分）（Ⅱ）11(1,2,ADB AB '=面的一个法向量为 1(,,)AAD n x y z '=设面的一个法向量为100n AA n AD ⎧''⋅=⎪⎨''⋅=⎪⎩则(,,)(0,2,0)0(,,)(1,1,0x y z x y z ⋅=⎧⎪∴⎨⋅-=⎪⎩20y x y =⎧⎪∴⎨-+=⎪⎩ ∴令z =1 y =0 x(n '∴=…………………………………………………（8分）1cos ,4n AB ''∴<>==-1A A D B θ--设二面角为cos θ=即sin θ∴==14A A DB --即二面角的正弦值为………………………………………（12分）19.(12分)解：（Ⅰ）依题意,2n n a S n =+1111,211n a a a ==+∴=当时 112,2(1)n n n a S n --≥=+-当时两式相减得,1122121n n n n n a a a a a ---=+∴=+1n n a d +=令 1112d a ∴=+=11112222111n n n n n n d a a n d a a ---++≥===-++时{1}2.2n a ∴+为以为首页以为公比的等比数列1222n n n d -∴=-= 21n n a =-从而……………………………（4分）（Ⅱ）122(21)12122n n n n n n a C a --===-+设 0211111(2)(2)(2)(2)2222n n T -∴=-+-+-++-02111111121()2222222n n n n --=-++++=-+（Ⅲ）113,12n n n n n b b b a b λλ+==++=+21232b b λλ'∴=+=+ 22322324b b λλλ=+=++{}n b 为等比 2213b b b ∴=⋅ 2291249612λλλλ∴++=++43λ∴=1423nn n b b +=+此时124,3,623b b q λ===∴=当时132n n b -∴=⋅1114432,23224223233n n n n n n n n n b b --+∴=⋅+=⋅⋅⋅+=⋅+=⋅1423n n n b b +=+满足 43λ=从而…………………………………………………………………（12分）20.(12分)解：（Ⅰ）212323121,,2515P P P P P PP x x a++==-+ 是该的根 12153255P P ∴+== 325P ∴= 从而12312,55P P P === …………………………………………………………（3分）（Ⅱ）0,100,200,300,400λ=111(0)5525P l ==⨯= ………………………………………………（4分）11214(10)555525P l ==⨯+⨯= 2212218(20)55555525P l ==⨯+⨯+⨯=22228(30)555525P l ==⨯+⨯=224(40)5525P l ==⨯= …………………………………………………………（9分）λ∴的分布列为…………（10分）（Ⅲ）E l =401002003004002402525252525⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………（12分）解：（Ⅰ）r =d 2= ∴圆的标准方程为x 2+y 2=4 ……………………………………………（2分） （Ⅱ）设Q （x ,y ）. 则由A （x 0,y 0）知N （x 0,0） ∴(x ,y )=m （x 0,y 0）+n (x 0，0)000x mx ny y my =+⎧∴⎨=⎩ 0220004x xx y y y m =⎧⎪+=⎨=⎪⎩代入得又m +n =1 ∴n =1-m∴动立Q 的轨迹和为C 2：x 2+24y m=4 ……………………………………………（5分）（Ⅲ）当m1x y C +=22. 曲线为:43∵L 1的斜率k =1∴L 的斜率为k 1=-1 设L 的斜率为y =-x +t 代入3x 2+4y 2=12 整理得： 7 x 2-8tx +4t 2-12=0△70∴0)t t <<≠设B （x 1, y 1）, D （x 2, y 2）.则12212874127t x x t x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩………………………………………（7分）∵∠BOD 为钝角∴OB OD<0 ∴x 1x 2+y 1y 2 <0 ……………………………………………………（8分）∴x 1x 2+（- x 1+t ）（- x 2+t ）<0 ∴2x 1x 2-t (x 1+x 2)+ t 2<0∴2228248077t t t --+< ∴t 2<247 ∴-77t <<且t ≠0 …………………………………（12分）满足条件的左线l ,斜率为-1，在y 轴上的截距满足上述条件. 22.（14分）解：（Ⅰ）a =1时，f (x )=x 2-3x +ln x 议域（0，+∞）f ′(x)=2x-3+1x令f ′(x) ＞0∴2x2-3x+1＞0 (x＞0)∴0＜x＜12或x＞1∴f (x)的单增区间为（0，12），（1，+∞）………………………………………（4分）（Ⅱ）f (x)= x2-（2a+1）x+a ln xf ′(x)=2x-（2a+1）+ax=22(21)x a x ax-++令f ′(x)=0 ∴x=a或x=12………………………………………………（5分）①当a≤12时，f(x)在（0，a），（12，+∞）逆增∴f(x)在［1，e］≤逆增∴f(x)min=f(1)=-29 ……………………………（6分）②当12＜a≤1时，f(x)在［1，e］≤单增∴f(x)min=f(1)=-2a……………（7分）③当1＜a＜e时， f(x)在［1，a) ，（a，e）∴f(x)min=f(a)=-a2-a+a ln a………………………………………（8分）④e≤a时f(x) ［1，e］上逆减∴f(x)min=f(e)=e2-(2a+1)e+a ……………………………………………（5分）综上所述：a≤1时f(x)min=-2 a1＜a＜e时f(x)min=-a2-a+a ln aa≥e时f(x)min=e2-(2a+1)e+a………………………………………（9分）（Ⅲ）由题意：f(x)≥9（x）在［1e，e］上有解∴x2-(2a+1)x+a ln x≥(1-a)x∴x2-2x+a(ln x-x)≥0在［1e，e］上有解令h(x)=ln x-x∴h ′(x)= 111xx x--= (1e≤x≤e)∴h (x)在（1e，1） ，（1，e）∴h (x)min=h(1)=ln1-1=-1＜0 ∴x2-2x≥a(x-ln x)∴22ln x x a x x-≤- 在［1e ，e ］有解 ………………………………（1分） 设t (x )=22ln x x x x-- ∴t ′(x )=2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+-- ∵x ∈［1e ，e ］ ∴x +2＞2≥2ln x ∴x ∈(1e，1)时t ′(x )＜0 x ∈(1，e )时t ′(x )＞0∴t (x )在(1e，1) ，（1，e ） 又∵t (1e )=11(2)011e e e-<+ t (e )=(2)01e e e ->- ∴t (x ) min x =t (e )= (2)1e e e -- ∴a ≤(2)1e e e -- …………………………………………………………（14分）。
2012届高考理科数学第二轮综合验收评估复习题13
一、选择题1．(2011·辽宁)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝ A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0， ∴k ＝12. 答案 D2．(2011·广东)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝A.14 B.12 C ．1D ．2解析 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)， 而c ＝(3,4)，由(a ＋λb )∥c 得4(1＋λ)－6＝0, 解得λ＝12. 答案 B3．(2011·东城模拟)如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC→＋BD →)等于A ．2B ．3C ．4D ．5解析 由于AB→＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →，所以AB→＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →. (AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC→＋BD →)＝AC →2－BD →2＝9－4＝5.答案 D4．(2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解析 由(a －c )·(b －c )≤0，a ·b ＝0， 得a ·c ＋b ·c ≥c 2＝1，∴(a ＋b －c )2＝1＋1＋1－2(a ·c ＋b ·c )≤1. ∴|a ＋b －c |≤1. 答案 B5．在△ABC 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，若a ·(a ＋b )＜0，则△ABC 是 A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．无法判断其形状解析 由题意得a ＋b ＝AB→＋BC →＝AC →＝－c ， a ·(a ＋b )＝AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＜0，所以∠A 为钝角，故△ABC 为钝角三角形． 答案 C6．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|a －b |＝|b |，(a －c )·(b －c )＝0.若对每一个确定的b ，|c |的最大值和最小值分别为m ，n ，则对任意b ，m －n 的最小值是A.14 B.12 C.34D ．1解析 把三个向量的起点放在同一点O ，如图所示，根据几何意义，由|a －b |＝|b |，得△OAB 是等腰三角形，当(a －c )·(b －c )＝0时，(a －c )⊥(b －c )，故点C 在以AB 为直径的圆上，|c |的最大值m 和最小值n 的差就是这个圆的直径，只有当B ，E 重合时这个直径最短，即m －n 的最小值是12.答案 B 二、填空题7．(2011·江西)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.解析 b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22. 又因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.答案 －68．(2011·江苏)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．解析 a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k －2＋(1－2k )cos 2π3＝2k －52，∵a ·b ＝0，∴2k －52＝0，即k ＝54.答案 549．(2011·天津)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB→|的最小值为________． 解析 解法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB→|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB→|的最小值为5. 解法二 设DP→＝xDC →(0＜x ＜1)，∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA→－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →， ∴P A →＋3PB→＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC→2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 答案 5三、解答题10．已知平面向量|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，求a 与b 的夹角．解析 因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a ·b ＝0.又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1， 所以4－52－32a ·b ＝0，所以a ·b ＝1， 又a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1， 所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.11．已知θ为向量a 与b 的夹角，|a |＝2，|b |＝1，关于x 的一元二次方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根．(1)求θ的取值范围；(2)在(1)的条件下，求函数f (θ)＝2sin θcos θ－23cos 2θ＋3的最值． 解析 (1)由已知条件，可得|a |2＝4，a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝2cos θ，θ∈[0，π]， ∵关于x 的一元二次方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根， ∴Δ＝|a |2－4a ·b ＝4(1－2cos θ)≥0， 得cos θ≤12，解得θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.(2)f (θ)＝2sin θcos θ－23cos 2θ＋ 3 ＝sin 2θ－3(2cos 2θ－1)＝sin 2θ－3cos 2θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴2θ－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3∈[－1,1]，∴当θ＝5π12时，f (x )max ＝2； 当θ＝11π12时，f (x )min ＝－2.12．已知向量m ＝(cos x ，－sin x )，n ＝(cos x ，sin x －23cos x )，x ∈R ，令f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，求函数f (x )的值域．解析 (1)f (x )＝m ·n ＝cos 2x －sin x (sin x －23cos x )， ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵函数y ＝2sin x 的单调增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ， ∴2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，π6≤2x ＋π6≤2π3， ∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤2，∴函数f (x )的值域为[1,2]．高考$试≒题?库。
2012届高考理科数学第二轮综合验收评估复习题21
一、选择题 1．设a 是实数，且a1＋i＋1＋i 2是纯虚数，则a 等于 A.12 B ．－1 C.32D ．2解析 ∵a1＋i ＋1＋i 2＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＋i 2＝12a (1－i)＋12(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12a i ，据题意得12a ＋12＝0且12－12a ≠0，∴a ＝－1. 答案 B2．方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围为 A ．－1≤k ≤54 B ．－54≤k ≤0 C ．0≤k ≤54D ．－54≤k ≤1解析 由方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0， 得k ＝－sin 2x －cos x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－54，令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]， ∴k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－54，求得－54≤k ≤1.答案 D3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于A.17B ．7C ．－17D ．－7解析 易得cos α＝－45，∴tan α＝－34，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17. 答案 A4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x ＞0，y ＞0，函数f (x )满足f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”的是A ．幂函数B ．指数函数C ．对数函数D ．正弦函数和余弦函数解析 由于log a x ＋log a y ＝log a (x ·y )， ∴对数函数满足f (x ·y )＝f (x )＋f (y )． 答案 C5．设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是A ．t ＜－3B ．t ≤－3C ．t ＞3D ．t ≥3解析 A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ≤t }， 由A ∩B ＝∅知t ＜－3. 答案 A6．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，如果点P (a,0)满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是A ．(－∞，0)B ．(－∞，2]C ．[0,2]D ．(0,2)解析 设Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2，y ，y ∈R ，则|PQ |≥|a |等价于不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14y 22＋y 2≥a 2，即y 2(y 2＋16－8a )≥0，即a ≤y 28＋2对于任意实数y 恒成立，从而a 只要小于或等于y 28＋2的最小值，所以a ∈(－∞，2]． 答案 B 二、填空题7．(2011·湘潭模拟)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π，若方程f (x )＝a 有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则a ＝________.解析 设方程的3个根分别是x 1、x 2、x 3，如图．因为y ＝cos x 的图象是轴对称图形， 所以x 1＋x 2＝2π，x 2＋x 3＝4π， 又因为x 1、x 2、x 3成等比数列， 可解得x 1＝2π3，故a ＝cos 2π3＝－12. 答案 －128．若x ，y ∈R ，集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x a －yb ＝1，a ＞0，b ＞0}，当A ∩B 有且只有一个元素时，a 、b 满足的关系式是________．解析 A ∩B 有且只有一个元素可转化为直线 x a －y b ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切，故|ab |b 2＋a 2＝1， ∵a ＞0，b ＞0，∴ab ＝a 2＋b 2. 答案 ab ＝a 2＋b 29．(2010·龙岩模拟)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________．解析 不等式x 2＋mx ＋4＜0在(1,2)恒成立， 即m ＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(1,2)上恒成立，令：g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，则g ′(x )＝－1＋4x 2＝4－x 2x 2，又x ∈(1,2)，∴g ′(x )＞0，∴g (x )在(1,2)为单调增函数，∴m ≤－5.答案 m ≤－5三、解答题10．如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长均为4，M 、N 分别是BC 、CC 1的中点．(1)求证：BN ⊥平面AMB 1； (2)求三棱锥B －AB 1N 的体积．解析 (1)证明 ∵M 为BC 中点，△ABC 为正三角形，∴AM ⊥BC . 又侧面BCC 1B 1⊥底面ABC ， ∴AM ⊥平面BCC 1B 1.又BN ⊂平面BCC 1B 1，∴AM ⊥BN .在正方形BCC 1B 1中，M 、N 分别为BC 、CC 1的中点， ∴B 1M ⊥BN ，又AM ∩B 1M ＝M ，∴BN ⊥平面AMB 1. (2)VB －AB 1N ＝VA －BB 1N ＝VA －BCB 1 ＝VB 1－ABC ＝13V 柱＝1633， 或VB －AB 1N ＝VA －BB 1N ＝13S △BB 1N ·AM ＝1633.11．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝m ，且a ，b ，c 成等比数列，求当m ＞0时，b 的取值范围．解析 解法一 题中一个条件消去字母，另一个条件转化为函数b ，求其值域即可．因为a ，b ，c 成等比数列， 所以设a ＝bx ，c ＝bx (x ≠0)， 又a ＋b ＋c ＝m ，所以bx ＋b ＋bx ＝m ， 所以b ＝mx ＋1x ＋1， 当x ＞0时，x ＋1x ≥2； 当x ＜0时，x ＋1x ≤－2，所以x ＋1x ＋1≥3或x ＋1x ＋1≤－1， 又m ＞0，所以0＜b ≤m3或－m ≤b ＜0， 即b 的取值范围是[－m,0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，m 3. 解法二 把条件转化为一元二次方程，再转化为判别式不为负数，建立关于b 的不等式，转化为求不等式的解集．因为a ，b ，c 成等比数列，所以ac ＝b 2，又a ＋b ＋c ＝m ，所以a ＋c ＝m －b ，所以a ，c 是关于x 的一元二次方程的x 2－(m －b )x ＋b 2＝0两个实根， 所以Δ＝[－(m －b )]2－4b 2≥0， 解得－m ≤b ≤m3，又b ≠0，所以b 的取值范围是[－m,0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，m 3. 12．已知两点M 和N 分别在直线y ＝mx 和y ＝－mx (m ＞0)上运动，且|MN |＝2，动点P 满足：2OP→＝OM →＋ON →(O 为坐标原点)，点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程，并讨论曲线C 的类型；(2)过点(0,1)作直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，若对于任意m ＞1，都有∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析 (1)由2OP→＝OM →＋ON →，得P 是MN 的中点．设P (x ，y )，M (x 1，mx 1)，N (x 2，－mx 2)依题意得：⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2x ，mx 1－mx 2＝2y ，(x 1－x 2)2＋(mx 1＋mx 2)2＝22.消去x 1，x 2，整理得x 21m 2＋y 2m 2＝1.当m ＞1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆； 当0＜m ＜1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆； 当m ＝1时，方程表示圆．(2)由m ＞1，C 为焦点在y 轴上的椭圆，直线l 与曲线C 恒有两交点，直线斜率不存在时不符合题意；可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，直线与椭圆交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 21m 2＋y 2m 2＝1⇒(m 4＋k 2)x 2＋2kx ＋1－m 2＝0，x 1＋x 2＝－2km 4＋k 2，x 1x 2＝1－m 2m 4＋k2，y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2(1－m 2)m 4＋k 2＋－2k 2m 4＋k 2＋1.要使∠AOB 为锐角，只需OA →·OB →＞0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝m 4－(k 2＋1)m 2＋1m 4＋k 2＞0.即m 4－(k 2＋1)m 2＋1＞0，可得m 2＋1m 2＞k 2＋1，对于任意m ＞1恒成立． 而m 2＋1m 2＞2，∴k 2＋1≤2，－1≤k ≤1.经检验Δ＞0，满足题意，所以k 的取值范围是[－1,1]．高%考#试#题╗库。
2012届高考数学第二轮综合复习检测题1-集合与常用逻辑用语综合检测
2012年高考数学二轮复习：专题一集合与常用逻辑用语综合检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·湖南文，1)设全集U ＝M ∪N ＝{1,2,3,4,5}，M ∩∁U N ＝{2,4}，则N ＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,3,5}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4}[答案] B[解析] 排除法求解：由M ∩∁U N ＝{2,4}知N 中无2,4元素，选B.2．(2011·山东文，1)设集合 M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3][答案] A[解析] 集合运算是近年必考内容．由(x ＋3)(x －2)<0知－3<x <2，所以M ∩N ＝[1,2)，解答此题要特别注意区间端点能否取到．3．(2011·西城抽样)已知命题p ：∀x ∈R ，cos x ≤1，则( )A ．綈p ：∃x ∈R ，cos x ≥1B ．綈p ：∀x ∈R ，cos x ≥1C ．綈p ：∃x ∈R ，cos x >1D ．綈p ：∀x ∈R ，cos x >1[答案] C[解析] 命题p 的否命题綈p ：∃x ∈R ，cos x >1.4．(2011·福建质量检查)若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，∴A ∩B ＝∅，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分条件；当A ∩B ＝∅时，得a ≤2，则“a ＝1”不是“A ∩B ＝∅”的必要条件，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．5．(2011·新课标文，1)已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个[答案] B[解析] ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}，所以P 的子集个数为22＝4个．6．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝2x ，x ∈R }，则A ∩B 的元素数目为( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多[答案] C[解析] 函数y ＝2x 与y ＝2x 的图象的交点有2个，故选C.7．(2011·济南三模)设集合M ＝{m ∈Z |m ≤－3或m ≥2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则(∁Z M )∩N ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}[答案] B[解析] 由已知得∁Z M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，所以(∁Z M )∩N ＝{－1,0,1}，故应选B.8．(2011·北京理，5)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )的奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 当f (x )＝x 2时满足关于y 轴对称但不是奇函数，若f (x )为奇函数，则|f (x )|的图象一定关于y 轴对称．故选B.9．(2011·湖北八校联考(二))已知集合A ＝{x ||x －2|>1}，B ＝{x |y ＝x －1＋3－x }，那么有( )A ．A ∩B ＝∅ B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．A ＝B[答案] A[解析] 由|x －2|>1得x －2<－1，或x －2>1，即x <1，或x >3；由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥03－x ≥0得1≤x ≤3，因此A ＝{x |x <1，或x >3}，B ＝{x |1≤x ≤3}，所以A ∩B ＝∅，故选A.10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x 2－y，若关于x 的不等式(x －a )⊗(x ＋1－a )>0的解集是集合{x |－2≤x ≤2}的子集，则实数a 的取值范围是( )A．－2≤a≤2 B．－1≤a≤1 C．－2≤a≤1 D．1≤a≤2 [答案] C[解析]因为(x－a)⊗(x＋1－a)>0，所以x－a1＋a－x>0，即a<x<a＋1，则a≥－2且a＋1≤2，即－2≤a≤1.11．(2011·广州二测)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数[答案] C[解析]注意“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，即可能得出结论．12．(2011·湖北理，9)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()AC[答案] C[解析]若当a＝013．[答案]{x[解析]∵∴∁U A＝{x14．若命题綈[答案]([解析]即关于x而m＝－15．[答案]3[解析]x2∴n≤416．②“命题④函数y＝正确的是[答案][解析]对于①，命题p为真，命题q为真，綈q为假，所以“p∧(綈q)”是假命题，因此①正确；对于②，由p ∨q为真⇒/ p∧q为真，但p∧q为真⇒p∨q为真，故②正确；③错；④正确．三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知p：|1＋x－13|≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若綈p是綈q的必要但不充分条件，求实数m的取值范围．[解析]由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m，(m>0) ∴綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．∵由|1－x－13|≤2得－2≤x≤10，∴綈p：B＝{x|x<－2或x>10}．∵綈p是綈q的必要但不充分条件，∴綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－21＋m ≥10，且等号不同时成立．∴m ≥9. 18．(本小题满分12分)已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，求实数a 的值．[解析] 若1＝a ＋2，则a ＝－1，∵a 2＋3a ＋3＝1＝a ＋2，∴a ＝－1不合题意．若1＝(a ＋1)2，则a ＝0或－2.当a ＝0时，A ＝{2,1,3}．当a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝1＝(a ＋1)2，∴a ＝－2不合题意，a ＝0合适．若1＝a 2＋3a ＋3，则a ＝－1或－2.由上面结论可知，此时没有a 符合题意．综上，符合题意的a 的值是0.19．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的值．[解析] A(1)a >0∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0时，B a ＝0时，∴43≤a ≤2(2)要满足∵此时B 故所求的20．(1≤x ≤2p －1}．若A ∪B ＝A ，求p [解析] 由得f ′(x )由A ∪B ＝得⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1≤－2≤p 2p －1(2)当B ＝∅由(1)(2)21．(对一切正实数x [解析] x 均成立． 当a ＝0时，－x >0，解集不为R ，∴a ＝0舍去，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >01－14a 2<0⇔a >2. ∴命题p 为真命题⇔a >2.命题q 为真命题⇔2x ＋1－1<ax 对一切正实数均成立．⇔a >2x ＋1－1x ＝2x x (2x ＋1＋1)＝22x ＋1＋1对一切正实数x 均成立． 由于x >0，所以2x ＋1>1.所以2x ＋1＋1>2.所以22x ＋1＋1<1.所以，命题q 为真命题⇔a ≥1. 根据题意知，命题p 与q 中有且只有一个是真命题，当p 为真命题且q 为假命题时a 不存在；当p 为假命题且q 为真命题时a 的取值范围是[1,2]．综上，命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题时实数a 的取值范围是[1,2]．22．(本小题满分14分)已知全集I ＝R ，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－2ax ＋a ≤0，a ∈R }，且A ∩B ＝B ，求a 的取值范围．[解析] 化简A ＝{x |1≤x ≤2}，设y ＝x 2－2ax ＋a ，①当Δ＝(－2a )2－4a <0，即0<a <1时，B ＝∅，满足B ⊆A .②当Δ＝0，即a ＝0或a ＝1时，若a ＝0，则y ＝x 2，图像与x 轴的交点的横坐标为0，而0∉[1,2]，故a ＝0应舍去．若a ＝1，则y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，图像与x 轴交点的横坐标为1,1∈[1,2]，故a ＝1满足条件．③当Δ>0时，y ＝x 2－2ax ＋a 的图像与x 轴有两个交点，∵B ⊆A ，∴方程x 2－2ax ＋a ＝0的两根位于1、2之间．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1<a <2Δ＝4a 2－4a >0，f (1)≥0，f (2)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1<a <2，a >1或a <0，1－2a ＋a ≥0，4－4a ＋a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1<a <2，a >1或a <0，a ≤1，a ≤43⇔a ∈∅. 综合①②③得0<a ≤1.。
2012届高考理科数学第二轮综合验收评估复习题12
一、选择题1．(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝ A ．3 B ．2 C.32D.23解析 ∵y ＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由y ＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 答案 C2．(2011·潍坊模拟)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π9，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，0 解析 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象；再向右平移π8个单位，得到函数h (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin 2x 的图象，又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0是函数h (x )的一个对称中心．故选A.答案 A3．(2011·天津)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π. 若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则 A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析 ∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13，∴13×π2＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵－π＜φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3.令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z .显然f (x )在[]－2π，0上是增函数，故A 正确，而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π，－5π2上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π2，－π上为增函数，故B 错误，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π，7π2上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π2，13π2上为增函数，故C 错误，f (x )在[4π，6π]上为增函数，故D 错误． 答案 A4．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ≤π2，且此函数的图象如图所示，则点(ω，φ)的坐标是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2 解析 由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0及⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8，0可知，函数的周期为π，所以2πω＝π，所以ω＝2.又2×3π8＋φ＝k π(k ∈Z )，0＜φ≤π2， 所以φ＝π4.故选A. 答案 A5．(2011·通化模拟)当x ＝π4时，函数y ＝f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 是A ．奇函数且当x ＝π2时取得最大值 B ．偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．奇函数且当x ＝π2时取得最小值D ．偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称解析 当x ＝π4时，函数y ＝f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则π4＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，即φ＝2k π＋5π4(k ∈Z )．因此y ＝f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π＋5π4＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π4，所以y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＋5π4＝A sin(－x )＝－A sin x ，因此函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 是奇函数且当x ＝π2时取得最小值．答案 C6．已知函数f (x ) 是R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数．令a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5π7，则A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 由已知得a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π14，∵cos 5π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－5π7＝－sin 3π14，tan 5π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π7＝－tan 2π7，∴b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 3π14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π14，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5π7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan 2π7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 2π7， 因为0＜3π14＜4π14＝2π7＜π2， 故易得0＜sin 3π14＜sin 4π14＜tan 2π7， 而函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 因此有b ＜a ＜c ，选A. 答案 A二、填空题7．(2011·上海)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的最大值为________．解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝cos x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6·cos x ＋sin π6·sin x ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝32cos 2x ＋12sin x ·cos x＝32·1＋cos 2x 2＋14sin 2x ＝34＋34cos 2x ＋14sin 2x ＝34＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝34＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝2＋34.答案2＋348．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的图象向左平移π3ω个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为________．解析 函数g (x )的解析式为 g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3ω－π3＝sin ωx . 函数g (x )包含坐标原点的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.若函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，只要π2ω≥π4， 得0＜ω≤2.所以ω的最大值为2. 答案 29．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确的命题序号是________(把你认为正确命题的序号都写上)．解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0故③对；y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故④错．故填①③. 答案 ①③三、解答题10．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求： (1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调增区间．解析 (1)f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.当2x ＋π4＝2k π＋π2，(k ∈Z )，即当x ＝π8＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值2＋2，所以f (x )取得最大值时的x的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π8＋k π，k ∈Z. (2)由(1)知f (x )＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， ∴－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z .11．(2011·浙江)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A ＞0,0＜φ＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解析 (1)由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ的图象上，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6. (2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )．由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )． 连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得 cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)2A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3.又A ＞0，所以A ＝ 3.12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．解析 (1)由图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2代入f (x )的解析式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≠g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≠－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. ∴g (－x )≠g (x )，g (－x )≠－g (x )， 即g (x )为非奇非偶函数．高≈考α试∷题:库。
2012届高考数学二轮专题 直线与圆针对训练 理
直线与圆 一、选择题1．已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( )A ．0或3或－1B ．0或3C ．3或－1D ．0或－1解析：选D.由直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，得3a ＝a 2(a －2)，即a (a 2－2a －3)＝0，解得a ＝0或a ＝3或a ＝－1，经验证，当a ＝0或a ＝－1时，两直线互相平行．2．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32B.54C ．－65D.56解析：选 D.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 3－11＋2·k ＝－12＝k ·－12＋b ，解得k ＝－32，b ＝54， ∴直线方程为y ＝－32x ＋54， 其在x 轴上的截距为－54×(－23)＝56. 3．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解析：选C.∵圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，∴圆心为(1，－2)，半径r ＝3，又圆心在直线2tx －y －2－2t ＝0上，∴圆与直线相交，故选C.4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13B ．－13C ．－32D.23解析：选B.由直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P 、Q ，可设P (x 1,1)，Q (7，y 1)，再由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，可解得：x 1＝－5，y 1＝－3.即直线l 上有两点P (－5,1)，Q (7，－3)，代入斜率公式可解得直线l 的斜率为k ＝1＋3－5－7＝－13.故选 B.5．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取最小值时，过点P (x ，y )引圆C ：(x －12)2＋(y ＋14)2＝12的切线，则此切线长等于( ) A.12B.32C.62D.32解析：选C.由于点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，得x ，y 满足x ＋2y ＝3，又2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ＋2y ＝42，取得最小值时x ＝2y ，此时点P 的坐标为(32，34)．由于点P 到圆心C (12，－14)的距离为d ＝32－122＋34＋142＝2，而圆C 的半径为r ＝22，那么切线长为d 2－r 2＝ 2－12＝62，故选C. 二、填空题6．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0.那么当圆面积最大时，圆心为__________． 解析：将方程配方，得(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1. ∴r 2＝1－34k 2>0，r max ＝1，此时k ＝0.∴圆心为(0，－1)． 答案：(0，－1)7．直线2x ＋3y －6＝0关于点M (1，－1)对称的直线方程是__________．解析：依题意，所求直线与直线2x ＋3y －6＝0平行，且点M (1，－1)到两直线的距离相等，故可设其方程为2x ＋3y ＋m ＝0，则|2－3－6|13＝|2－3＋m |13，解得m ＝8，故所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.答案：2x ＋3y ＋8＝08．(2011年高考某某卷)过点()－1，－2的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________．解析：由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k ，则直线方程为y ＋2＝k ()x ＋1，又圆的方程可化为()x －12＋()y －12＝1，圆心为()1，1，半径为1， ∴圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|1＋k2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222， 解得k ＝1或177. 答案：1或177三、解答题 9．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a1－a， 故l 1和l 2的方程可分别表示为：(a －1)x ＋y ＋4a －1a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a 1－a＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4|a －1a |＝|a 1－a |，∴a ＝2或a ＝23， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 10．(2011年高考某某卷)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解：(1)法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝2－02＋0－22＝22， 故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧ m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ，所以直线l ′的方程为y ＝－x －m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切．11．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ， B.(1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程；(3)求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)设P (2m ，m )，由题可知MP ＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解之得m ＝0或m ＝45. 故所求点P 的坐标为P (0,0)或P (85，45)． (2)由题意易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22， 所以22＝|－2k －1|1＋k2，解得，k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0.(3)证明：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m 2＋1)， 因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为(x －m )2＋(y －m 2－1)2＝m 2＋(m 2－1)2. 化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式， 故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝45，y ＝25.所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0,2)或(45，25)．。
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A B C D E F G
2012届高三数学二轮专题训练：解答题（81） 本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1.（本题满分14分）如图，矩形ABCD中，ADABE平面，2AEEBBC， F为CE上的点，且BFACE平面，ACBDG．（Ⅰ）
求证：AE平面BCE；（Ⅱ）求证：//AE平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥CBGF的体积．
2、在ABC中，,,ABC的对边分别为,,abc. ⑴若,,abc成等比数列，求()sin3cosfBBB的值域；
⑵若,,abc成等差数列，且3AC，求cosB的值.
3、已知向量求，且],2[),2sin,2(cos),23sin,23(cosxxxbxxa： (1) ||baba及; (2) 若;,23||2)(的值求的最小值是babaxf 4、在任何两边都不相等的锐角三角形ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c且.22cossin22AA（Ⅰ）求角B的取值范围；
（Ⅱ）求函数)62sin(sin22BBy的值域；（Ⅲ）求证：.2acb
5、某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米。已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元。 （1）若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f(x)的表达式； （总开发费用=总建筑费用+购地费用） （2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ A B C D E F G
6．已知数列nb前n项和nnSn21232.数列na满足)2(34nbna)(Nn，数列nc满足nnnbac。（1）求数列na和数列nb的通项公式；
（2）求数列nc的前n项和nT；（3）若1412mmcn对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。
1. 解析：（Ⅰ）证明：AD平面ABE，//ADBC．∴BC平面ABE， 则AEBC．又BF平面ACE，则AEBF．∴AE平面BCE． （Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点．BF平面ACE，则CEBF，
而BCBE．∴F是AC中点．在AEC中，//FGAE，∴//AE
平面BFD． （Ⅲ）解法一：//AE平面BFD，∴//AEFG，而AE平面BCE． ∴FG平面BCE，∴FG平面BCF．G是AC中点，∴F是CE中点． ∴FG//AE且112FGAE．BF平面ACE，∴BFCE． ∴RtBCE中，
122BFCFCE．∴12212CFBS．∴
1133CBFGGBCFCFBVVSFG．
解法二：111111444323CBFGCABEABCEVVVBCBEAE． 2. 解：⑴222,2,bacacac 22221cos222acbacacBacac， 当且仅当ac时取等号，03B， 由于()sin3cos2sin()3fBBBB， 又2,333B，3()2fB， 即()fB的值域为3,2. ⑵2,sinsin2sin,acbACB又 2,,,,33232BBACACBAC
2sin()sin()2sin,3232BBB
展开化简，得3cos22sincos222BBB， 3cos0,sin,224BB
235cos12sin1288BB. 14. 解：⑴222,2,bacacac
22221cos222acbacacBacac
，
当且仅当ac时取等号，03B， 由于()sin3cos2sin()3fBBBB， 又2,333B，3()2fB， 即()fB的值域为3,2. ⑵2,sinsin2sin,acbACB又 2,,,,33232BBACACBAC
2sin()sin()2sin,3232BBB
展开化简，得3cos22sincos222BBB， 3cos0,sin,224BB
235cos12sin1288BB. 14. 解：⑴222,2,bacacac
22221cos222acbacacBacac
， 当且仅当ac时取等号，03B， 由于()sin3cos2sin()3fBBBB， 又2,333B，3()2fB， 即()fB的值域为3,2. ⑵2,sinsin2sin,acbACB又 2,,,,33232BBACACBAC
2sin()sin()2sin,3232BBB
展开化简，得3cos22sincos222BBB， 3cos0,sin,224BB
235cos12sin1288BB.
3、解：(1)xxxxxba2cos2sin23sin2cos23cos xxxxxba222cos22cos22)2sin23(sin)23cos23(cos||
xbaxxcos2||],1,0[cos],2,0[
⑵2221)(cos2)(,cos42cos)(xxfxxxf即 .1cos0],2,0[xx ①当0时，当且仅当0cosx时，)(xf取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当xcos,10当且仅当时时，)(xf取得最小值221，由已知得
21,23212解得；
③当1cos,1x当且仅当时时，)(xf取得最小值41，由已知得3142
解得85，这与1相矛盾，综上所述，21为所求. 4．解：（Ⅰ）∵,43sin,22cossin222AAA ∴.3,20,23sinAAA又 …………2分 ∴20,0,,223BCBCBC ∴.23,36BB或…4分 （Ⅱ）∵,1)62sin()62sin(sin22BBBy …………5分 由（Ⅰ）得.262;65626BB …………6分 ∴223y，∴函数)62sin(sin22BBy的值域为（2,23）.……8分 （Ⅲ）∵,212cos222bcacbA ∴,222bcacb…………9分 223)(abccb，∵,)(43)(,)2(,2222acbcbcbbccb
∴,4)(22acb …………11分 ∴.2acb 5．（1）由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 400020008000000（元）800（万元），
从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 1002000200000（元）20（万元），
写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20 为公差的等差数列2分 所以函数表达式为：
2*(1)()800209000107909000()2xxyfxxxxxN；…………6分
（2）由（1）知写字楼每平方米平均开发费用为： 2()5(107909000)()100002000fxxxgxxx
…………………………10分
900507950(290079)6950xx≥（元）……………………12分
当且仅当900xx，即30x时等号成立． 答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低． …………14分
6．解：（1）由已知和得，当2n时， 23))1(21)1(23()2123(221nnnnnSSbnnn
又21311b，符合上式。故数列nb的通项公式23nbn。
又∵)2(34nbna，∴nnbnna)41(4432)23(3)2(， 故数列na的通项公式为nna)41(， （2）nnnnnbac)41()23(， nnnS)41()23()41(7)41(441132，