【数学10份汇总】上海市市联考2020年高一数学(上)期末模拟教学质量检测试题
2020学年上海市青浦区高一(上)期末数学试卷(附详解——
2020学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.设a，b∈R，则“a>b”是“a2>b2”的()A. 充分必要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件2.幂函数y=x−2的大致图象是()A. B.C. D.3.已知函数f(x)={3x+1 x≤0 log2x x>0若f(x0)>3，则x0的取值范围是()A. x0>8B. x0<0或x0>8C. 0<x0<8D. x0<0或0<x0<84.设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=−1f(x)，且当x∈[−3,−2]时，f(x)=4x，则f(107.5)=()A. 10B. 110C. −10 D. −110二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.已知集合A={−1,1，2，4}，B={−1,0，2}，则A∩B=______．6.不等式x2−4x+3≤0的解集是______．7.函数y=√log2x的定义域为：______ ．8.已知函数f(x)=x√x−1,g(x)=√x−1，则f(x)⋅g(x)=______．9.函数f(x)=2x−1的值域是______．10.函数f(x)=x2−1(x<0)的反函数f−1(x)=______．11.已知函数f(x)=−x2+2ax+3在区间(−∞,4)上是增函数，则实数a的取值范围是______．12.已知条件p：2k−1≤x≤−3k，条件q：−1<x<3，p是q的必要条件，则实数k的取值范围为______．13.函数f(x)=|x2−4|−a恰有两个零点，则实数a的取值范围为______．14.已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(−x)=f(x).若方程f(x)=0有2019个实数解，则这2019个实数解之和为______．15.已知a+b=100，b>0，则1|a|+|a|b的最小值为______・16.已知函数f(x)=log3(x+√x2+1)+2e xe x+1在[−k,k]，(k>0)上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知集合A={x|3x+4x−2>4,x∈R}，集合B={x||x−3|≤1,x∈R}，求集合A∪B．18.已知函数f(x)=(a2−a+1)x a+2为幂函数，且为奇函数，函数g(x)=f(x)+x．(1)求实数a的值及函数g(x)的零点；(2)是否存在自然数n，使g(n)=2020？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．19.已知k∈R，a>0，且a≠1，b>0且b≠1，函数f(x)=a x+k⋅b x．(1)如果实数a、b满足a>l，ab=l，试判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)设a>l>b>0，k≤0，判断函数f(x)在R上的单调性并加以证明．20.已知函数f(x)=log a(8−2x)(a>0且a≠1)．(1)若函数f(x)的反函数是其本身，求实数a的值；(2)当a>1时，求函数y=f(x)+f(−x)的值域．21.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1单位量的水可清除蔬菜上残留农药量的1，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总2还有农药残留在蔬菜上，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).(1)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；(2)设f(x)=1，现有a(a>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均1+x2分成2份后清洗两次，试问哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：当a=1，b=−2时，满足a>b但“a2>b2”不成立，当a=−3，b=−2时，满足“a2>b2”但a>b不成立，即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故选：B．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．2.【答案】C，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，【解析】解：幂函数y=x−2=1x2可排除A，B；值域为(0,+∞)可排除D，故选：C．利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．考查了负指数幂的定义和函数定义域以及利用排除法做选择题．常用技巧，应属于掌握．3.【答案】A【解析】解：①当x≤0时，f(x0)=3x0+1>3，∴x0+1>1，∴x0>0这与x≤0相矛盾，∴x∈⌀．②当x>0时，f(x0)=log2x0>3，∴x0>8综上：x0>8故选A．通过对函数f(x)在不同范围内的解析式，得关于x0的不等式，从而可解得x0的取值范围．本题主要考查对数函数的单调性，及分段函数，在解不等式时注意分类讨论，是个基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数的周期性．要特别利用好题中f(x+3)=−1f(x)的关系式．在解题过程中，条件f(x+a)=−1f(x)通常是告诉我们函数的周期为2a．先通过f(x+3)=−1f(x)，可推断函数f(x)是以6为周期的函数．进而可求得f(107.5)=f(5.5)，再利用f(x+3)=−1f(x)以及偶函数f(x)和x∈[−3,−2]时，f(x)=4x即可求得f(107.5)的值．【解答】解：因为f(x+3)=−1f(x)，故有f(x+6)=−1f(x+3)=−1−1f(x)=f(x).函数f(x)是以6为周期的函数．f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=−1f(2.5)=−1f(−2.5)=−14×(−2.5)=110．故选：B．5.【答案】{−1,2}【解析】解：∵集合A={−1,1，2，4}，B={−1,0，2}，∴A∩B={−1,2}，故答案为：{−1,2}．根据已知集合A={−1,1，2，4}，B={−1,0，2}，以及集合交集运算法则我们易得出A∩B．本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案．6.【答案】[1,3]【解析】解：不等式x2−4x+3≤0可化为(x−1)(x−3)≤0，解得1≤x≤3，所以不等式的解集是[1,3]．故答案为：[1,3]．把不等式化为(x−1)(x−3)≤0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题．7.【答案】[1,+∞)【解析】解：要使函数y=√log2x有意义，需log2x≥0解得x≥1所以函数y=√log2x的定义域为：[1,+∞)．故答案为：[1,+∞)要使函数y=√log2x有意义，需log2x≥0解得x≥1，写出区间或集合的形式，即为函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求法，这是给定解析式的类型，定义域涉及到对数函数要求真数大于零且底数大于零不等于1；开偶次方根的被开方数大于等于0；分母不等于0．8.【答案】x(x>1)，【解析】解：因为f(x)=x√x−1,g(x)=x−1则f(x)⋅g(x)=x，因为x−1>0，即x>1．故答案为：x(x>1)根据已知函数解析式代入即可直接求解．本题主要考查了函数解析式的求解，属于基础试题．9.【答案】(−∞,0)∪(0,+∞)【解析】解：结合反比例函数的性质可知，函数的值域(−∞,0)∪(0,+∞)．故答案为：(−∞,0)∪(0,+∞)．结合反比例函数的性质即可求解．本题主要考查了函数值域的求解，属于基础试题．10.【答案】−√x+1(x>−1)【解析】解：∵函数f(x)=x2−1(x<0)，∴值域为(−1,+∞)，y=x2−1，∴反函数f−1(x)=−√x+1(x>−1)，故答案为：−√x +1(x >−1)求出值域值域为(−1,+∞)，根据得出x =−√y +1，转化变量求解反函数即可． 本题考查了反函数的概念，属于容易题，关键是求解自变量的范围．11.【答案】[4,+∞)【解析】解：由题意可知，二次函数的对称轴x =a ， 由f(x)=−x 2+2ax +3在区间(−∞,4)上是增函数， 结合二次函数的性质可知，a ≥4． 故答案为[4,+∞)由已知结合二次函数的性质，结合已知区间与对称轴的位置关系即可求解． 本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础试题．12.【答案】(−∞,−1]【解析】解：若p 是q 的必要条件， 则q ⇒p ，即{−3k ≥−32k −1≤−1，得{k ≤−1k ≤0，得k ≤−1， 即实数k 的取值范围是(−∞,−1]， 故答案为：(−∞,−1]根据必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合必要条件的定义转化为不等式关系是解决本题的关键．比较基础．13.【答案】a =0或a >4【解析】解：函数g(x)=|x 2−4|的图象如图所示，∵函数f(x)=|x 2−4|−a 恰有两个零点， ∴a =0或a >4．故答案为：a =0或a >4．画出函数y =|x 2−4|，与y =a 的图象，利用函数的两个零点，写出结果即可． 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．14.【答案】0【解析】解：因为函数f(x)满足f(−x)=f(x)， 所以f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称，若方程f(x)=0有2019个实数解，函数图象关于y 轴对称， 则这2019个实数解之和为0． 故答案为：0由已知结合偶函数的对称性可知函数的所有零点也关于y 轴对称，从而可求． 本题主要考查了偶函数对称性性质的应用，属于基础试题．15.【答案】19100【解析】解：显然a ≠0． ①当a >0时，1|a|+|a|b =1a +ab =1100(a+b)a+ab =1100+(b 100a+a b)≥1100+2√b 100a⋅a b=21100，当且仅当{a +b =100b =10a，即a =10011，b =100011时等号成立；②当a <0时，1|a|+|a|b=1−a +−a b=1100(a+b)−a +−a b=−1100+(b −100a+−a b)≥−1100+2√b −100a+−a b=19100，当且仅当{a +b =100b =−10a，即a =−1009，b =10009时等号成立．综上，1|a|+|a|b的最小值为19100． 故答案为：19100．由题意可知a ≠0，分a >0和a <0两类取绝对值，结合a +b =100，利用基本不等式求最值．本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用基本不等式求最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．16.【答案】2【解析】解：∵f(x)+f(−x)=log3(x+√x2+1)+2e xe x+1+log3(−x+√x2+1)+2e−xe−x+1=log3[(√x2+1+x)(√x2+1−x)]+2e xe x+1+2e x1e x+1=log31+2(e x+1)e x+1=2，∴f(x)关于(0,1)中心对称，可得f(x)取得最值的两点也关于点(0,1)对称，则M+m=2．故答案为：2．由已知结合f(x)+f(−x)=2可得f(x)关于(0,1)中心对称，由此可得M+m的值．本题考查函数对称性的性质的应用，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：∵A={x|x−12x−2<0}={x|2<x<12}，B={x|2≤x≤4}，∴A∪B={x|2≤x<12}．【解析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法的定义，分式不等式和绝对值不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)函数f(x)=(a2−a+1)x a+2为幂函数，所以a2−a+1=1，所以a2−a=0，解得a=0或a=1，又f(x)为奇函数，所以a=1，f(x)=x3，所以函数g(x)=x3+x，令g(x)=0，得x3+x=0，解得x=0，所以函数g(x)的零点为0；(2)函数g(x)=x3+x的定义域为R，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则g(x1)−g(x2)=(x13+x1)−(x23−x2)=(x13−x23)+(x1−x2)=(x1−x2)(x12+x1x2+x22+1)=(x1−x2)[(x1+12x2)2+x224+1]，由x1<x2，得x1−x2<0，(x1+12x2)2+x224+1>0，所以g(x1)<g(x2)，所以函数g(x)=x3+x在R上单调递増，又计算g(12)=1740，g(13)=2210，所以不存在符合题意的n值．【解析】(1)由幂函数和奇函数的定义，列方程求出a的值，再求函数g(x)的零点；(2)用定义证明函数g(x)在R上单调递増，计算g(12)<2020、g(13)>2200，即可得出结论．本题考查了幂函数的定义与应用和利用定义法证明函数的单调性，是中档题．19.【答案】解：(1)由已知，b=1，于是，af(x)=a x+ka−x，则f(−x)=a−x+ka x，若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(−x)，即a x+ka−x=a−x+ka x，所以(k−1)(a x−a−x)=0对任意实数x恒成立，所以k=1，若函数f(x)是奇函数，则f(−x)=−f(x)，即a−x+ka x=−(a x+ka−x)，所以(k+1)(a x+a−x)=0对任意实数x恒成立，所以k=−1，综上，当k=1时，f(x)是偶函数，当k=−1时，f(x)是奇函数，当k≠±1时，f(x)不是奇函数也不是偶函数．(2)因为a>1，0<b<1，所以函数y=a x是增函数，y=b x是减函数，由k≤0知，y=a x+kb x是增函数，所以函数f(x)在R上是增函数，证明：设x1，x2∈R且x1<x2，则f(x2)−f(x1)=a x2+kb x2−a x1−kb x1=(a x2−a x1)+k(b x2−b x1)，因为a>1，0<b<1，x1<x2，k≤0，所以a x2−a x1>0，k(b x2−b x1)≥0，所以f(x2)−f(x1)>0，所以函数f(x)在R上是增函数．，于是，f(x)=a x+ka−x，f(−x)=a−x+ka x，由奇偶性【解析】(1)由已知，b=1a的定义可得出结论．(2)根据题意得，函数y=a x是增函数，y=b x是减函数，由k≤0知，y=a x+kb x是增函数，所以函数f(x)在R上是增函数，再用单调性的定义证明即可．本题考查函数的单调性、奇偶性，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为y=f(x)=log a(8−2x)，∴8−2x=a y，即x=log2(8−a y)，所以反函数y=log2(8−a x)，故a=2；(2)当a>1时，由8−2x>0可得x<3，故y=f(x)+f(−x)的定义域(−3,3)，∵y=f(x)+f(−x)=log a(8−2x)+log a(8−2−x)=log a[65−8(2x+2−x)]，因为8(2x+2−x)≥16，当且仅当x=0时取等号，所以0<65−8(2x+2−x)≤49，故函数的值域(−∞,log a49]【解析】(1)先求反函数的解析式，利用反函数与函数解析式相同可求a；(2)先求出函数的定义域，化简函数解析式，然后利用基本不等式，结合对数函数的性质可求．本题主要考查了反函数的求解及利用基本不等式及对数函数的性质求解函数值域，属于中档试题．21.【答案】解：(1)f(0)=1表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化;(2)设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W1=1×f(a)=11+a，又如果用a2单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f(a2)=11+(a2)2，此后再用a2单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W2=11+(a2)2⋅f(a2)=[11+(a2)2]2=16(4+a2)2，由于W1−W2=11+a2−16(4+a2)2=a2(a2−8)(1+a2)(4+a2)2，当a>2√2时，W1>W2，此时，把a单位量的水平均分成2份后清洗两次，残留的农药量较少;当a=2√2时，W1=W2，此时，两种清洗方式效果相同;当0<a<2√2时，W1<W2，此时，用a单位量的水一次清洗残留的农药量较少．【解析】(1)f(0)表示没有用水清洗，蔬菜上的农药量并没有变化，不妨设f(0)=1；(2)设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为：11+a2①；用a2单位量的水清洗2次后，残留的农药量为：11+(a2)2⋅11+(a2)2②；作差①−②比较即可．本题考查了一个自定义函数模型的实际应用，解题时要弄清题意，理解函数解析式的意义，并且在比较大小时用到作差法．。
2023-2024学年上海中学高一上学期数学期末试卷及答案(2024.01)
1上海中学2023学年第一学期高一年级数学期末2024.01一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．函数224y x x =−+的图像关于直线________成轴对称． 2．已知函数()21,2,lg ,2,x x f x x x +<= ≥ 则()()()05f f f +=________．3．已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为________．4．已知点()sin ,cos P αα在第二象限，则角α的终边在第________象限．5．化简：4224441sin cos sin cos sin cos θ⋅θ+θ⋅θ=−θ−θ________．6．若函数()1f x x a =−+在区间[)1,+∞上是严格增函数，则实数a 的取值范围为______． 7．函数()21yf x =−的定义域为()0,1，则函数()1yf x =−的定义域为________．8．函数3132xx y −=−的值域是________．9．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且当0x >时，其表达式为()22x f x x =+，则当0x <时，其表达式为()f x =________．10．已知函数()3log ,034,3x x f x x x <<= −≥，若存在0a b c <<<满足()()f a f b ==()f c ，则()()f a f c abc的取值范围为________．11．已知函数()f x ，()g x ，()h x 的定义域均为R ．给出以下3个命题： （1）()f x 一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；（2）若()f x 是奇函数，且在().0−∞是严格减函数，则()f x 在R 上是严格减函数； （3）若()()f x g x +，()()g x h x +，()()h x f x +在R 上均是严格增函数；则()f x ，()g x ，2()h x 中至少有一介在R 上是严格增函数．其中，假命题的序号为________．12．已知函数()f x 满足：()()()()22114f x f x f x f x +−++−=则下列三个结论： （1）()()()()2220242024186518654f f f f −+−=；（2）()()20232024f f =； （3）()()202418654f f +≤．其中正确的结论是________． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13．若幂函数()()22235mm f x mm x −−=+−的图像不经过原点，则m 的值为（ ）A ．2B ．3−C ．3D ．3−或214．存在函数()f x 满足：x R ∀∈都有（ ） A ．()31fx x +=B ．211f x x=−C ．()211f x x +=+D ．()221f x x x +=+15．已知函数()()1,0,2,0,x x f x x x x +< =−≥ 若(1)f x −在区间I 上恒负，且是严格减函数，则区间I 可以是（ ）．A ．()2,1−−B ．()1,0−C ．()0,1D ．()1,216．定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）． （1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．43三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)已知函数()f x 是R 上的严格增函数，()g x 是R 上的严格减函数，判断函数()()f x g x −的单调性，并利用定义证明．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 在下面的坐标系中画出下列函数的图像： （1）2y x −=（2）22x y =−．419.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 解下列关于x 的方程：（1）162log log 163x x +=； （2）()()2416290x x x a a a −+⋅−−⋅=．20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分)某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k ≤ += ≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）．521.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．6参考答案一、填空题1.1x =；2.1；3.8；4.四；5.12； 6.(],2−∞； 7.()0,2； 8.()1,1,2−∞∪+∞；9.212x x +； 10.10,3； 11.（3）； 12.（1）（3）； 二、选择题13.A ； 14.D ； 15.B ； 16.B16.定义域和值域均为[],a a −（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，给出下列四个命题：其中正确的个数是（ ）．（1）函数()()f g x 有且仅有三个零点； （2）函数()()g f x 有且仅有三个零点； （3）函数()()f f x 有且仅有九个零点； （4）函数()()g g x 有且仅有一个零点，A ．1B ．2C ．3D ．4B(1)方程()0f g x = 有且仅有三个解;()g x 有三个不同值,由于()y g x =是减函数,所以有三个解,正确;(2)方程()0g f x = 有且仅有三个解;从图中可知,()()0f x ,a ∈可能有1,2,3个解,不正确; (3)方程()0f f x = 有且仅有九个解;类似(2)不正确;(4)方程()0g g x = 有且仅有一个解.结合图象,()y g x =是减函数,故正确.7故选B . 三、解答题 17.严格增，证明略 18. 画图略 19. （1）416x or =（2）①当0a ≤时，()23log 1x a =−；②当01a <<时，()()122233log 1,log 2x a x a =−=；③当1a ≥时，()23log 2x a =20.某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上平均行车速度v （单位：km/h ）与该路段上的行车数量n （单位：辆）的关系为：2600,9,1033000,10,n n v n n k≤ +=≥ + 其中常数k R ∈．该路段上每日t 时的行车数量22(125)100n t =−−−+，[)0,24t ∈，t Z ∈．已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h ．（1）求实数k 的值；（2）定义q nv =，求一天内q 的最大值（结果四舍五入到整数）． （1）1000k = （2）522(1)由17时测得的平均行车速度为3/km h ,得100n =, 代入*2600,9,1033000,10,……n n vn N n n k +∈ +,可得2330003100k =+,解得1000k =. (2)①当9…n 时,60060010101nq nv n n===++为增函数,所以6009300109…q ×<+; ②当10…n 时,330001000q nv n n==+在(0,上单调递增,在,)+∞上单调递减,8且由()31.631.7,知,当31,32n n ==时,较大的q 值为最大值, 分别代入31n =和32n =计算,结果均约为522,故522max q ≈. 综上可知,一天内车流量q 的最大值为522.21.若对任意的1a b ≤<，()f x 在区间(],a b 上不存在最小值，且对任意正整数n ，当(),1x n n ∈+时有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+．（1）比较()f n 与()1f n +，*n N ∈的大小关系； （2）判断()f x 是否为[)1,+∞上的增函数，并说明理由； （3）证明：当1x ≥时，()()2f x f x >．（1）()f n <()1f n + （2）不是 （3）证明见解析（3）①首先证明对于任意*n N ∈,()()1.f n f n <+当()1x n,n ∈+时,由()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 可知()f x 介于()f n 和()1f n +之间.若()()1,…f n f n +则()f x 在区间(]1n,n +上存在最小值()1f n +,矛盾. 利用归纳法和上面结论可得：对于任意*,k n N ∈,()(),.n k f n f k <<当时 ②其次证明当1…n 且x n >时,()()f x f n >;当2…n 且x n <时,()()…f x f n . 任取x n >,设正整数k 满足1剟n k x k <+,则()()()()1剟剟f n f k f x f k …+. 若存在01厖k x k n +>使得()()0…f x f n ,则()()()()00剟?f x f n f k f x , 即()()0f k f x =.由于当()1x k ,k ∈+时,()()…f k f x , 所以()f x 在区间(0k ,x 有最小值()0f x ,矛盾.9类似可证,当2…n 且x n <时,()()…f x f n .③最后证明:当1…x 时,()()2f x f x >.当1x =时,()()21f f >成立.当1x >时,由21x x x −=>可知,存在*n N ∈使得2x n x <<,所以()()()2…f x f n f x <.当()1x n,n ∈+时,有:()()()()()()11f n f x f x f n f n f n −+−+=−+∣∣ 若()()1f n f n =+,则()()()1,f x f n f n ==+所以()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故不成立.若()()1f n f n ≠+,则()(){}()()(){},11min f n f n f x max f n ,f n +<<+假设()()1f n f n +<,则()f x 在(]1n,n +上存在最小值,故不具有性质p ,故假设不成立. 所以当()1x n,n ∈+时,()()()1f n f x f n <<+对于任意*n N ∈都成立. 又()()1f n f n <+,故当()*m n m n N <∈、所以()()()()11,f m f m f n f n <+<…<−<即()()f m f n <.所以当x n <时,则存在正整数m 使得1剟m x m n −<,则()()()()1剟f m f x f m f n −< 所以当x n <时,()()f x f n <,同理可证得当x n >时,()()f x f n >.所以当1x >时,必然存在正整数n ,使得2x n x <<,所以()()()2f x f n f x <<; 当1x =时,()()21f f >显然成立; 所以综上所述:当1…x 时,()()2f x f x >.。
上海市青浦区2020-2021学年高一上学期期末学业质量调研测试数学试题【含答案解析】
青浦区2020学年第一学期高一年级期终学业质量调研测试数学试卷（时间：90分钟，满分：100分）Q2021.01学生注意：1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分.2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.3.可使用符合规定的计算器答题.一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.已知全集{}1,0,2U =-，集合{}1,0A =-，则A =_______________.2.不等式112x <的解集是_______________. 3.已知3log 2a =，则用a 表示8log 27=_______________.4.若,a b R ∈，且1a ≤，5b ≤，则a b +的最大值是_______________.5.已知幂函数()221a y a a x +=-+为奇函数，则实数a 的值为_______________.6.已知条件:04x α<<和条件:0x a β<<，若α是β的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_______________.7.函数2121x x y -=+的值域为_______________.8.已知正实数x ，y 满足123y x +=，则yx的最大值为_______________. 9.已知函数222,02,0x x x y x x x ⎧->=⎨-<⎩，则该函数的零点是_______________.10.在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了1x ，2x ，3x ，4x 四项多元评价指标，并通过经验公式3124x x S x x =+来计算各城区的综合得分，S 的值越高则评价效果越好.若某城区在自查过程中各项指标显示为34210x x x x <<<<，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为______________（填入1x ，2x ，3x ，中的一个）11.已知函数()y f x =，其中()3f x x x =+，关于x 的不等式()()220f mx f x ++-<在区间[]1,5上有解，则实数m 的取值范围是_______________.12.已知函数()y f x =的定义域为R ，()13f =，对任意两个不等的实数a 、b 都有()()1f a f b a b->-，则不等式()2121x x f -<+的解集为_______________.二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给岀代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13.若01a <<，1b <-，则函数()xf x a b =+的图像不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.下列函数中，定义域为R 的偶函数是（ ） A.2xy =B.y x x =C.21y x =-D.2log y x =15.下列不等式中，恒成立的是（ ） A.44x x+≥B.12x y x y-+≥- C.x y x z y z -≥-+-D.2211x x x x+≥+ 16.已知集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()()1,221,x x A f x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若0x A ∈，且()()0f f x A ∈，则0x 的取值范围是（ ） A.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B.11,42⎛⎫⎪⎝⎭C.11,42⎛⎤⎥⎝⎦D.30,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写岀必要的步骤. 17.（本题满分8分）已知不等式127x -<的解集是A，函数y =B ，求A B .18.（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分） 已知函数()y f x =，其中()1f x x x=+. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若()()g x f x x ax =⋅+，且()y g x =在区间(]0,2上是严格减函数，求实数a 的取值范围.19.（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分） 设()()()211f x m x mx m m R =+-+-∈.（1）若不等式()0f x >解集为∅，求实数m 的取值范围； （2）若不等式()0f x >对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围. 20.（本题满分10分，第（1）题4分，第（2）题6分）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示.当[]0,16x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[]16,40x ∈时，曲线是函数()0.8log 80y x a =++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟） 21.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题6分）定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在实数()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，那么称函数()y f x =是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.（1）判断函数()4f x x =是否是区间[]1,1-上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数()42xxg x m =-+⋅是区间[]0,1上的“平均值函数”，求实数m 的取值范围；（3）设函数()()240,h x kx x k k N =+->∈是区间[]()2,0,t t t N ->∈上的“平均值函数”，l 是函数()h x 的一个均值点，求所有满足条件的数对(),k t .青浦区2020学年第一学期高一年级期终学业质量调研测试数学试卷（时间：90分钟，满分：100分）Q2021.01学生注意：1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分.2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.3.可使用符合规定的计算器答题.一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.已知全集{}1,0,2U =-，集合{}1,0A =-，则A =_______________. 【答案】{}22.不等式112x <的解集是_______________. 【答案】()(),02,-∞+∞3.已知3log 2a =，则用a 表示8log 27=_______________. 【解析】33822311log 27log 3log 3log 2a==== 4.若,a b R ∈，且1a ≤，5b ≤，则a b +的最大值是_______________. 【答案】65.已知幂函数()221a y a a x +=-+为奇函数，则实数a 的值为_______________. 【答案】1a =6.已知条件:04x α<<和条件:0x a β<<，若α是β的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_______________. 【答案】4a >7.函数2121x x y -=+的值域为_______________.【解析】()21211,12121x xx y -==-∈-++8.已知正实数x ，y 满足123y x +=，则yx的最大值为_______________. 【答案】989.已知函数222,02,0x x x y x x x ⎧->=⎨-<⎩，则该函数的零点是_______________.【答案】2x =10.在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了1x ，2x ，3x ，4x 四项多元评价指标，并通过经验公式3124x x S x x =+来计算各城区的综合得分，S 的值越高则评价效果越好.若某城区在自查过程中各项指标显示为34210x x x x <<<<，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为______________（填入1x ，2x ，3x ，中的一个） 【答案】3x11.已知函数()y f x =，其中()3f x x x =+，关于x 的不等式()()220f mx f x ++-<在区间[]1,5上有解，则实数m 的取值范围是_______________. 【答案】325m ≤12.已知函数()y f x =的定义域为R ，()13f =，对任意两个不等的实数a 、b 都有()()1f a f b a b->-，则不等式()2121x x f -<+的解集为_______________. 【答案】()1,+∞二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给岀代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13.若01a <<，1b <-，则函数()xf x a b =+的图像不经过（ A ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.下列函数中，定义域为R 的偶函数是（ C ） A.2xy =B.y x x =C.21y x =-D.2log y x =15.下列不等式中，恒成立的是（ D ）A.44x x+≥B.12x y x y-+≥- C.x y x z y z -≥-+-D.2211x x x x+≥+ 16.已知集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()()1,221,x x A f x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若0x A ∈，且()()0f f x A ∈，则0x 的取值范围是（ B ） A.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B.11,42⎛⎫⎪⎝⎭C.11,42⎛⎤⎥⎝⎦D.30,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写岀必要的步骤. 17.（本题满分8分）已知不等式127x -<的解集是A，函数y =B ，求A B .【答案】由127x -<得()3,4x ∈-，∴()3,4A =-， 由2280x x +-≥得(][),42,x ∈-∞-+∞，所以(][),42,B =-∞-+∞，所以[)2,4AB =.18.（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分） 已知函数()y f x =，其中()1f x x x=+. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若()()g x f x x ax =⋅+，且()y g x =在区间(]0,2上是严格减函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()y f x =的定义域为()(),00,-∞+∞，关于原点对称，因为()()1f x x f x x-=--=-，所以()y f x =为奇函数； （2）()()21g x f x x ax x ax =⋅+=++在区间(]0,2上是严格减函数， 则22a-≥，所以4a ≤-. 19.（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分） 设()()()211f x m x mx m m R =+-+-∈.（1）若不等式()0f x >解集为∅，求实数m 的取值范围； （2）若不等式()0f x >对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）由题意得210340m m +<⎧⎨∆=-+≤⎩，解得,3m ⎛∈-∞- ⎝⎦；（2）由题意得10m +=（舍去）或210340m m +>⎧⎨∆=-+<⎩，解得3m ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 20.（本题满分10分，第（1）题4分，第（2）题6分）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示.当[]0,16x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[]16,40x ∈时，曲线是函数()0.8log 80y x a =++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟） 【答案】（1）当[]0,16x ∈时，设()()()212840f x b x b =-+<由()1680f =，得：()216128480b -+=，故14b =-.……………………………………2分 当[]16,40x ∈时，由()1680f =，得：()0.8log 168080a ++=， 故15a =-.………………………………4分所以()()[]()(]20.811284,0,164log 1580,16,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩.………………………………6分（2）当[]0,16x ∈时，由()211284684x --+≤，得：[]0,4x ∈.………………………………3分 当[]16,40x ∈时，由()0.8log 158068x -+≤，得：12150.829.6x -≥+≈ 所以[]30,40x ∈.…………………………………………3分因此，在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有14分钟.……………………8分 21.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题6分）定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在实数()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，那么称函数()y f x =是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.（1）判断函数()4f x x =是否是区间[]1,1-上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数()42xxg x m =-+⋅是区间[]0,1上的“平均值函数”，求实数m 的取值范围；（3）设函数()()240,h x kx x k k N =+->∈是区间[]()2,0,t t t N ->∈上的“平均值函数”，l 是函数()h x 的一个均值点，求所有满足条件的数对(),k t . 【答案】 （1）()()()11011f f --=--，显然存在00x =，使得()00f x =，所以函数()4f x x =是区间[]1,1-上的“平均值函数”；（2）()()()()10421310g g m m m --+--+=--=，由题意得，存在[]00,1x ∈，使得()03g x m =-，即00423xxm m -+⋅=-， 所以()002143xxm -=-，令[]0210,1xt =-∈，则()221322mt t t t =+-=+-， 当0t =时，无解， 当(]0,1t ∈时，(]22,1m t t=-+∈-∞，所以实数m 的取值范围是(],1-∞；（3）由题意得()12,t ∈-，所以1t >且*t N ∈， 由题意得()()()2244642122kt t k kt k t h t t +----++==++， 即()()2423212k t t k k t t -++-==-++，所以()24k k t --=，所以()34k t -=，所以43k t=-， 因为*k N ∈，所以413t≥-，所以13t -≤<， 又1t >且*k N ∈，所以2t =，此时4k =， 所以满足条件的数对为()4,2.。
2022-2023学年上海市高一上期末考试数学模拟试卷附答案解析
2022-2023学年上海市高一上期末考试数学模拟试卷一．填空题（共12小题）1．（2021•金山区二模）已知集合{1A =，2，3，4}，集合{2B =，3，}m ，若{2A B = ，3，4}，则m =．2．（2021春•萨尔图区校级期末）已知()f x 的定义域为[3-，3]，则2(1)f x -的定义域为．3．（2020秋•嘉定区期末）对于正数a 可以用有理数指数幂的形式表示为．4．（2020秋•虹口区校级期中）若α、β是一元二次方程2410x x ++=的两个实数根，则11αβ+=．5．已知对数函数2(1)()(1)log m f x m m x +=--，则(27)f =．6．（2021•菏泽一模）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(0)1f =，()(1)g x f x =-是奇函数，则(2021)f =，411()n i f i -==∑．7．（2019秋•黄浦区校级期末）正实数x ，y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为．8．（2014•安庆二模）已知函数1()||2f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为．9．（2021秋•浦东新区校级期中）不等式7|1|5x x +<-的解集为．10．（2020秋•长宁区期末）函数y =的定义域为．11．（2020秋•河南期末）若函数()||1x f x e a =--有两个零点，则实数a 的取值范围是．12．（2021春•钦州期末）设1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 是2、3、4、5、6、7的一个排列，则123456a a a a a a +的最小值为．二．选择题（共4小题）13．（2020秋•石家庄期末）下列函数中与函数y =()A ．4log y x=B ．2xy =C ．1y x=D ．221y x x =-+14．（2020+<()A >B +C ．假设D ．假设+<15．（2019秋•罗湖区期末）若3log 14a<，则实数a 的取值范围是()A ．304a <<B ．304a <<或1a >C ．314a <<D ．314a <<或1a >16．（2021•济南一模）设集合1{|0}x A x x-=<，{|10}B x x =+>，则“x A ∈”是“x B ∈”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件三．解答题（共5小题）17．（2019秋•溧阳市期中）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x = ，函数1()()(20)2x g x x =-<<的值域为集合B ．（1）求A B ；（2）已知[1C a =-，72]a -，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．18．（2020秋•南昌期末）已知2a ≠，函数111()()1222ax f x lg x x +=-<<+是奇函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论()f x 的单调性；19．（2021春•岳阳期末）某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310()500xa -万元(0)a >，A 项目余下的工人每人每年创造利润提高0.2%x ．（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的50%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围．20．（2020秋•宣城期末）已知二次函数2()4g x x x a =-+在[1，2]上的最小值为0，设()()g x f x x=．（1）求a 的值；（2）当[3x ∈，9]时，求函数3(log )f x 的值域；（3）若函数()(|21|)(|21|)3(|21|)2x x x h x f k k =-⋅---+有三个零点，求实数k 的取值范围．21．（2020秋•九江期末）已知函数2()()1f x lgx lgx =--．（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求此时x 的值；（Ⅱ）若a ，b 分别是()f x 的两个零点，求log log a b b a +的值．2022-2023学年上海市高一上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．填空题（共12小题）1．（2021•金山区二模）已知集合{1A =，2，3，4}，集合{2B =，3，}m ，若{2A B = ，3，4}，则m =4．【答案】4．【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】根据交集的定义及运算即可得出m 的值．【解答】解：{1A =，2，3，4}，{2B =，3，}m ，{2A B = ，3，4}，4m ∴=．故答案为：4．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（2021春•萨尔图区校级期末）已知()f x 的定义域为[3-，3]，则2(1)f x -的定义域为[2-，2]．【考点】33：函数的定义域及其求法【专题】11：计算题；33：函数思想；4A ：数学模型法；51：函数的性质及应用【分析】直接由21x -在函数()f x 的定义域范围内求得x 的范围得答案．【解答】解：()f x 的定义域为[3-，3]，∴由2313x --，得224x - ，即22x - ．2(1)f x ∴-的定义域为[2-，2]．故答案为：[2-，2]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．3．（2020秋•嘉定区期末）对于正数a 可以用有理数指数幂的形式表示为78a．【答案】78a ．【考点】有理数指数幂及根式【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【解答】解：原式7111311317182222224242(())(())()()a a a a a a a a a =⋅==⋅==．故答案为：78a ．【点评】本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．4．（2020秋•虹口区校级期中）若α、β是一元二次方程2410x x ++=的两个实数根，则11αβ+=4-．【考点】&R ：根与系数的关系【专题】4O ：定义法；36：整体思想；51：函数的性质及应用；65：数学运算【分析】由根与系数的关系可得答案【解答】解：由根与系数的关系可得：4αβ+=-，1αβ=，所以114αβαβαβ++==-故答案为：4-．【点评】本题主要考查根与系数的关系，属于基础题．5．已知对数函数2(1)()(1)log m f x m m x +=--，则(27)f =3．【考点】3T ：函数的值；4N ：对数函数的图象与性质；4O ：对数函数的单调性与特殊点【专题】51：函数的性质及应用【分析】利用对数函数的解析式，求出m ，然后求解函数值即可．【解答】解：对数函数2(1)()(1)log m f x m m x +=--，可知211m m --=，解得2m =或1m =-，当1m =-时，10m +=，不满足对数函数的定义，舍去．对数函数3()log f x x =，3(27)log 273f ==．故答案为：3．【点评】本题考查对数函数的定义、解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．6．（2021•菏泽一模）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(0)1f =，()(1)g x f x =-是奇函数，则(2021)f =0，411()n i f i -==∑．【答案】0，1-．【考点】函数奇偶性的性质与判断；抽象函数及其应用【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】对于第一空：根据题意，分析可得()f x 的图象关于点(1,0)-对称，结合()f x 为偶函数可得()(2)f x f x =--，变形可得(4)(2)()f x f x f x -=--=，即()f x 是周期为4的周期函数，由此可得第一空答案，对于第二空：由()(2)f x f x =--，利用特殊值法可得f （1）f +（3）0=，f （2）f +（4）0=，即可得[f （1）f +（2）f +（3）f +（4）]0=，据此可得411()[n i f i n f -==⨯∑（1）f+（2）f +（3）f +（4）](4)f n -，结合函数的周期性分析可得答案．【解答】解：根据题意，()(1)g x f x =-是奇函数，则()f x 的图象关于点(1,0)-对称，则有()(2)f x f x -=--+，且f （1）0=，又由()f x 是定义在R 上的偶函数，即()()f x f x -=，则有()(2)f x f x =--，变形可得(4)(2)()f x f x f x -=--=，即()f x 是周期为4的周期函数，(2021)(14505)f f f =+⨯=（1）0=，又由()(2)f x f x =--，即()(2)0f x f x +-=，则有f （1）f +（3）0=，f （2）f +（4）0=，故[f （1）f +（2）f +（3）f +（4）]0=，则411()[n i f i n f -==⨯∑（1）f +（2）f +（3）f +（4）](4)0(0)1f n f -=-=-，故答案为：0，1-．【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、周期性的分析，属于基础题．7．（2019秋•黄浦区校级期末）正实数x ，y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为9．【考点】7F ：基本不等式及其应用【专题】36：整体思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用；62：逻辑推理【分析】利用“乘1法”求解即可．【解答】解：212122()(2)559y x x y x y x y x y+=++=+++ ，当且仅当13x y ==时取等号．故答案为：9．【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．8．（2014•安庆二模）已知函数1()||2f x m x x =-+有三个零点，则实数m 的取值范围为1m >．【考点】3A ：函数的图象与图象的变换；57：函数与方程的综合运用；52：函数零点的判定定理【专题】51：函数的性质及应用【分析】将求函数()f x 的零点问题转化为求两个函数的交点问题，画出函数的草图，求出即可．【解答】解：函数()f x 有三个零点等价于方程1||2m x x =+有且仅有三个实根．11||||(2)2m x x x x m=⇔=++，作函数||(2)y x x =+的图象，如图所示．，，由图象可知m 应满足：101m<<，故答案为：1m >．【点评】本题考查了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．9．（2021秋•浦东新区校级期中）不等式7|1|5x x +<-的解集为1(2,)4--．【答案】1(2,)4--．【考点】绝对值不等式的解法【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】由绝对值不等式的解法求解即可．【解答】解： 不等式7|1|5x x +<-，∴不等式等价于225049(1)(5)x x x ->⎧⎨+<-⎩，解得5124x x <⎧⎪⎨-<<-⎪⎩，即124x -<<-，∴该不等式的解集为1(2,)4--．故答案为：1(2,4--．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．10．（2020秋•长宁区期末）函数y =的定义域为[1，)+∞．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则10x - ，即1x，故函数的定义域为[1，)+∞．故答案为：[1，)+∞．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据根式函数的性质是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数成立的条件．11．（2020秋•河南期末）若函数()||1x f x e a =--有两个零点，则实数a 的取值范围是(1,)+∞．【答案】(1,)+∞．【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算【分析】根据()f x 的零点个数等价于曲线||x y e a =-与直线1y =的交点个数，作出函数图象即可求出a 的取值范围．【解答】解：()f x 的零点个数等价于曲线||x y e a =-与直线1y =的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知1a >．故答案为：(1,)+∞．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的思想和转化的能力，属于中档题．12．（2021春•钦州期末）设1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 是2、3、4、5、6、7的一个排列，则123456a a a a a a +的最小值为142．【答案】142．【考点】进行简单的合情推理【专题】转化思想；转化法；推理和证明；逻辑推理；数学运算【分析】利用基本不等式得到123456142a a a a a a +==> ，结合1427270346257=+=⨯⨯+⨯⨯，即可得到答案．【解答】解：因为1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 是2、3、4、5、6、7的一个排列，所以123456142a a a a a a +==> ，因为1427270346257=+=⨯⨯+⨯⨯，所以123456142a a a a a a + ，故123456a a a a a a +的最小值为142．故答案为：142．【点评】本题考查了最值问题的求解，主要考查了利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．二．选择题（共4小题）13．（2020秋•石家庄期末）下列函数中与函数y =()A ．4log y x =B ．2x y =C ．1y x=D ．221y x x =-+【答案】D【考点】函数的值域【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象【分析】分别求出函数的值域，进行对比即可．【解答】解：函数||0y x == ，即函数y =[0，)+∞，A ．函数的值域为R ，不满足条件．B ．函数的值域为(0,)+∞，不满足条件．C ．函数的值域为{|0}y y ≠，不满足条件．D ．2221(1)0y x x x =-+=-，值域是[0，)+∞．故选：D ．【点评】本题主要考查函数值域的求解，求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．14．（2020+<()A >B +C ．假设D ．假设+<【答案】B 【考点】反证法【专题】计算题；对应思想；反证法；推理和证明；逻辑推理【分析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，从而得出结论．【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，故用“反证法”证明不等式<故选：B ．【点评】本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．15．（2019秋•罗湖区期末）若3log 14a<，则实数a 的取值范围是()A ．304a <<B ．304a <<或1a >C ．314a <<D ．314a <<或1a >【答案】B【考点】指、对数不等式的解法【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析【分析】由题意利用对数的性质，求得a 的范围．【解答】解：若3log 14a <，则1a >或01304a a <<⎧⎪⎨<<⎪⎩，求得1a >或304a <<，故选：B ．【点评】本题主要考查对数的性质，属于基础题．16．（2021•济南一模）设集合1{|0}x A x x-=<，{|10}B x x =+>，则“x A ∈”是“x B ∈”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】先根据分式不等式的解法求出集合A ，化简集合B ，从而可得集合A 与集合B 的关系，再根据充分条件与必要条件的定义进行判定即可．【解答】解：1{|0}{|(1)0}{|01}x A x x x x x x x-=<=-<=<<，{|10}{|1}B x x x x =+>=>-，所以A B Ü，“x A ∈”可以推出“x B ∈”，但“x B ∈”不能推出“x A ∈”，所以“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件．故选：B ．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．三．解答题（共5小题）17．（2019秋•溧阳市期中）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x = ，函数1()()(20)2x g x x =-<<的值域为集合B ．（1）求A B ；（2）已知[1C a =-，72]a -，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算【专题】应用题；集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】（1）求出集合A ，B ，再求交集；（2）根据集合C 与B 的关系，求出参数的范围．【解答】解：（1）[2A =，)+∞，(1,4)B =，所以[2A B = ，4)；（2）C B ⊆ ，可得172a a -<-，11a ->，724a -<，解得823a <<，a ∴的取值范围为8(2,3．【点评】考查集合的运算，集合与集合的关系，中档题．18．（2020秋•南昌期末）已知2a ≠，函数111()()1222ax f x lgx x +=-<<+是奇函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）1211()(1222x f x lg x x -=-<<+；（2）()f x 在11(,)22-上是减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】（1）根据()f x 是奇函数，利用奇函数的定义列出恒等式，求解即可得到答案；（2）直接利用函数单调性的定义进行判断即可．【解答】解：（1）因为函数111()()1222ax f x lg x x +=-<<+是奇函数，所以1111()()()012121212ax ax ax ax f x f x lglg lg x x x x -+-+-==+=⋅=-+-+，可得1111212ax ax x x -+⨯=-+对1122x -<<恒成立，整理可得22(4)0a x -=对1122x -<<恒成立，故240a -=，因为2a ≠，所以2a =-，所以1211()(1222x f x lg x x -=-<<+；（2）对于任意121122x x -<<<，得2101212x x <-<-，所以1201212x x <+<+，从而21212121211212(12)(12)()()101212(12)(12)x x x x f x f x lglg lg lg x x x x ---+-=-=<=+++-，所以21()()f x f x <，故()f x 在11(,22-上是减函数．【点评】本题考查了对数型函数的应用，涉及了函数奇偶性的应用、函数单调性的判断，解题的关键是熟练掌握函数的性质并能进行灵活的运用，属于中档题．19．（2021春•岳阳期末）某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310()500x a -万元(0)a >，A 项目余下的工人每人每年创造利润提高0.2%x ．（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的50%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围．【答案】（1）最多调出500人参加B 项目从事售后服务工作；（2）05a <．【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】（1）设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作，由题意，列出关于x 的不等关系，求解即可；（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，得到不等式恒成立，然后利用参变量分离法以及基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】解：（1）设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作，由题意可得，10(1000)(10.2%)101000x x -+⨯ ，即25000x x - ，又0x >，所以0500x <，故最多调出500人参加B 项目从事售后服务工作；（2）由题意可知，0500x <，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500x a x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则3110()10(1000)(1)500500x a x x x --+ 对0500x < 恒成立，即210001500x a x++ 对0500x < 恒成立，又21000115500x x +++= ，当且仅当500x =时取等号，所以5a，又0a >，故实数a 的取值范围为05a <．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，一元二次不等式的解法，基本不等式求解最值的应用，不等式恒成立问题的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20．（2020秋•宣城期末）已知二次函数2()4g x x x a =-+在[1，2]上的最小值为0，设()()g x f x x=．（1）求a 的值；（2）当[3x ∈，9]时，求函数3(log )f x 的值域；（3）若函数()(|21|)(|21|)3(|21|)2x x x h x f k k =-⋅---+有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）4a =；（2）[0，1]；（3）(1,)+∞．【考点】二次函数的性质与图象；函数的零点与方程根的关系【专题】函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】（1）利用二次函数的性质，写为定点式后求出函数()g x 的最小值，得到关于a 的方程，求解即可得到a 的值；（2）求出()f x 的解析式，然后令3log t x =，转化为对勾函数，利用对勾函数的单调性求出()f t 最值，即可得到值域；（3）令|21|x m -=，将问题转化为2(34)(42)0m k m k -+++=的两个根1m ，2m 进行研究，利用根的分布，通过判别式、对称轴、区间端点的函数值列出不等关系，求解即可得到答案．【解答】解：（1）2()(2)4g x x a =-+-，故当2x =时，()g x 取最小值0，则2()(2)(22)40min g x g a ==-+-=，解得4a =．（2）()4()4g x f x x x x==+-，令3log t x =，[3x ∈，9]，则[1t ∈，2]，则34(log )()4f x f t t t==+-在[1t ∈，2]上单调递减，则()min f t f =（2）0=，()max f t f =（1）1=，所以值域为[0，1]．（3）设|21|x m -=，则2()()32(34)(42)h m mf m km k m k m k =-+=-+++，令2(34)(42)0m k m k -+++=，由题意知，关于m 的一元二次方程有两个根1m ，2m 满足如下条件：当10m =时，代入方程解得2k =-，此时22m =-方程()0h x =仅有1个解，不符合题意．当11m =时，代入方程解得1k =，此时方程2760m m -+=，解得26m =，所以函数()h x 有两个零点，不符合题意．当1201m m <<<时，函数()h x 有三个零点，则0(0)0(1)0h h >⎧⎪>⎨⎪<⎩，即160921k k k k ⎧><-⎪⎪>-⎨⎪>⎪⎩或，解得1k >，故实数k 的取值范围为(1,)+∞．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了二次函数最值的应用、对勾函数以及对数函数的应用，解决函数零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．21．（2020秋•九江期末）已知函数2()()1f x lgx lgx =--．（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求此时x 的值；（Ⅱ）若a ，b 分别是()f x 的两个零点，求log log a b b a +的值．【答案】（Ⅰ）当x =时，5()4min f x =-；（Ⅱ）3-．【考点】对数的运算性质；函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（Ⅰ）根据条件，令t lgx =，t R ∈，则215()()24g t t =--，求出()g t 的最小值，可得到()f x 的最小值和取最小值时x 的值；（Ⅱ）根据条件可知，lga ，lgb 是方程210t t --=的两个实数根，利用韦达定理得到1lga lgb +=，1lga lgb ⋅=-，再求出log log a b b a +的值．【解答】解：（Ⅰ）令t lgx =，t R ∈，则215()()24g t t =--，∴当12t =时，5()4min g t =-，即当x =5()4min f x =-．（Ⅱ）依题意，得lga ，lgb 是方程210t t --=的两个实数根，由韦达定理，得1lga lgb +=，1lga lgb ⋅=-，∴原式2()2lgb lga lga lgb lgalgb lga lgb lgalgb+-=+=212(1)31-⨯-==--．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，一元二次函数的性质和韦达定理，考查了方程思想和转化思想，属中档题．。
(精选3份合集)2020年上海市金山区数学高一(上)期末监测模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是（ ） A.B.C.D.2．在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，2AB =，7AC =，O e 是ABC ∆的外接圆，其中O 是圆心，则AD AO⋅=u u u r u u u r（ ）A ．32B ．32-C ．114D ．与外接圆半径有关3．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩，若()4f a =-，则a =（ ）A.14-B.3-C.14-或3 D.14-或3- 4．已知向量()m sinx,sin2x =-r ，()n sin3x,sin4x =r，若方程m n a r r⋅=在[)0,π有唯一解，则实数a 的取值范围( ) A ．()1,1-B ．[]1,1-C ．{}1,1-D ．{}15．已知m ，n 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，有以下四个结论： 若，，则；若，，，则；若，，则；若，，则以上结论正确的个数A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．若32x =8，y=log 217，z=（27）-1，则（ ） A.x y z >>B.z x y >>C.y z x >>D.y x z >>7．已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若1a ＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ．10B ．16C ．20D ．248．已知()2,1a =r ，()1,1b =-r ，则a r 在b r方向上的投影为（ ）A.22-B.22C.5-D.5 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 10．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题的序号是（）A．①B．②和③C．③和④D．①和④11．将函数()3sin3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向右平移()0m m>个单位后得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A.6πB.3πC.23πD.56π12．已知,x y满足250x y+-=，则22(1)(1)x y-+-的最小值为（）A．45B．25C．255D．105二、填空题13．当曲线214y x=+-与直线(2)4y k x=-+有两个相异交点时，实数k的取值范围是________．14．若1tan42πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则1tan2cos2αα+=______．15．如图，在圆柱O1 O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
上海市2020年高一上学期数学期末考试试卷(II)卷
上海市2020年高一上学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高二下·南城期中) 已知集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是（）A . （0，3）B . （0，1）∪（1，3）C . （0，1）D . （﹣∞，1）∪（3，+∞）2. （2分） (2019高一下·吉林期中) 已知角的终边过点（4，－3），则＝（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高二上·东莞期末) 如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记 ,则（）A .B .C .D .4. （2分）已知a=log1.20.8，b=0.81.2 ， c=1.21.2 ，则a，b，c的大小关系为（）A . a＞b＞cB . a＜b＜cC . a＜c＜bD . b＜a＜c5. （2分） (2016高一上·嘉兴期末) 设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且，则不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（）A .B .C .D .6. （2分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，若方程f（x）=m在区间[0，π]上有两个不同的数解x1、x2 ，则x1+x2的值为（）A .B .C .D . 或7. （2分）函数f（x）= 为奇函数，若g（﹣2）=4，则a=（）A . -3B . 4C . -7D . 68. （2分） (2020高二下·天津期末) 已知函数，若存在的极值点，满足，则实数的取值范围是（）A . 或B .C .D .9. （2分）(2020·湖州模拟) 如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O上的动点，则下列叙述不正确的是（）A . 是定值.B . 是定值.C . 是定值.D . 是定值.10. （2分）已知f（x）=2x﹣2﹣x ， a=（），b=（），c=log2 ，则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（）A . f（b）＜f（a）＜f（c）B . f（c）＜f（b）＜f（a）C . f（c）＜f（a）＜f（b）D . f（b）＜f（c）＜f（a）二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2020高一上·池州期末) ________.12. （1分） (2020高一下·平谷月考) 若扇形的半径为1，圆心角为3弧度，则扇形的面积为________．13. （1分） (2016高一上·云龙期中) 已知a+a﹣1=3，则a +a =________．14. （1分） (2019高一上·邵东期中) 已知幂函数的图象过点，则 ________．15. （1分） (2016高二上·嘉兴期末) 已知为两两垂直的单位向量，，，则与夹角的余弦值为________．16. （1分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为A（x0 ，），则sin（2α﹣）=________ （用数值表示）17. （1分） (2019高三上·广东月考) 已知不等式恒成立，则的取值范围是________.三、解答题 (共4题；共40分)18. （10分） (2019高一上·汤原月考) 函数其中，周期为，求：（1）的值；（2）的值域；（3）函数的单调递增区间.19. （10分） (2018高三上·泰安期中) 已知，．（1）若，求的值；（2）若不等式对一切实数x恒成立，求与夹角的大小．20. （10分） (2019高一上·于都月考) 对于定义域为I的函数，若果存在区间 ,同时满足下列条件：① 在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是 .则称是函数的一个“优美区间”.（1）证明：函数不存在“优美区间”.（2）已知函数在上存在“优美区间”，请求出他的“优美区间”.（3）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值.21. （10分） (2019高二下·安徽期中) 已知函数，x R其中a>0.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(-3,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t),记,求函数g(t)在区间[-4,-1]上的最小值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：考点：解析：答案：5-1、考点：解析：考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共40分)答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：。
上海市上海中学2025届高一数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
16．用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时，第一次经计算
，可得其中一个零点 x0∈(0，1)，那
么经过下一次计算可得 x0∈___________(填区间). 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 f x 3 sin 2x 2cos2 x 2
6 ②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 个单位
6
18．某校食堂需定期购买大米 .已知该食堂每天需用大米 0.6 吨，每吨大米的价格为 6000 元，大米的保管费用 z( 单位：
元 ) 与购买天数 x( 单位：天 ) 的关系为 z 9x x 1 x N* ，每次购买大米需支付其他固定费用 900 元
因为 x1 x2 ，所以 x1 x2 (或 x1 x2 )
由函数 y f x 在区间 I 上单调知： f (x1) f x2 ，(或 f (x1) f x2 )，这与 f x1 f x2 矛盾．因此在 I 中有
唯一的 x 值与之对应．由反函数的定义知：
函数 y f x 在区间 I 上存在反函数 反之“函数 y f x 在 I 上有反函数”则不一定有“函数 y f x 在区间 I 上单调”，例如：函数
f
x
x2 1, (0
x2
,
(1
x
x 1) 0)
，就存在反函数：
f
1
x
x 1, (1 x x, (0 x 1)
0)
易知函数 y f x 在区间1,1 上并不单调
综上，“函数 y f x 在区间 I 上严格单调”是“函数 y f x 在 I 上有反函数”的充分不必要条件.
y ， cos x2 y2
2020-2021上海市高一数学上期末第一次模拟试题及答案
2020-2021上海市高一数学上期末第一次模拟试题及答案一、选择题1．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能2．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<3．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>4．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－156．若函数()2log ,?0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1eB ．eC ．21e D ．2e7．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>8．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<10．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫⎪⎝⎭11．曲线241(22)y x x =-+-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 12．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}二、填空题13．定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___． 14．若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 15．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______ 16．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．17．若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；18．函数()()4log 521x f x x =-+-的定义域为________. 19．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时.20．若集合{}{}2|560|20A x x x B x ax a Z =-+≤=-=∈，，，且B A ⊆，则实数a =_____.三、解答题21．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？22．义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x,y 均有()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，又当1x >时，()0f x >.（1）求()()0.1f f -的值，并证明：当1x <时，()0f x <； （2）若不等式()()()222221240f aa x a x ----++<对任意[] 1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.23．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．24．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数)25．已知2()12xf x =+，()()1g x f x =-. （1）判断函数()g x 的奇偶性；（2）求101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值.26．已知函数2()1f x x x m =-+.（1）若()f x 在x 轴正半轴上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围； （2）当[1,2]x ∈时，()1f x >-恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．B解析：B 【解析】 【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===， 且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ．【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．3．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.1x 1.1 1.11=>=Q ， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>． 故选A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．D解析：D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log a =log b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根， 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <Q ，解得15a =-，故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．A解析：A 【解析】 【分析】直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】因为函数2log ,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，因为102>，所以211()log 122f ==-，又因为10-<，所以11(1)f ee--==， 即11(())2f f e=，故选A. 【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.7．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥Q ，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞；对于D ：0x >Q ，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 34a =<=<， 由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以c ∈， 所以a c b <<，故选B.10．D解析：D 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11．A解析：A 【解析】试题分析：1(22)y x =-≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法12．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．二、填空题13．-40∪4+∞）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0由函数单调性可得在（04）上f （x ）＜0在（4+∞）上f （x ）＞0结合函数的奇偶性可得在（-40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根解析： [-4，0]∪[4，+∞） 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得f （0）=0，由函数单调性可得在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，结合函数的奇偶性可得在（-4，0）上的函数值的情况，从而可得答案. 【详解】根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）=0，又由f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则在（0，4）上，f （x ）＜0，在（4，+∞）上，f （x ）＞0，又由函数f （x ）为奇函数，则在（-4，0）上，f （x ）＞0，在（-∞，-4）上，f （x ）＜0， 若f （x ）≥0，则有-4≤x≤0或x≥4， 则不等式f （x ）≥0的解集是[-4，0]∪[4，+∞）； 故答案为：[-4，0]∪[4，+∞）． 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．14．1【解析】故答案为解析：1 【解析】155325a b c ===因为，1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===，252525111log 15log 5log 3a b c∴+-=+-25log 251==，故答案为1.15．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析：1-【解析】 【分析】由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=， 所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以153273a b -⋅-=， 又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.16．【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解：由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填：点睛：本 解析：[0,1]【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题，可转化为求值域问题，首先求函数()(),f x g x 的值域，然后利用函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，列出不等式，求得结果. 详解：由条件可知函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，当11,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()[]1,2f x a a ∈-++，当[]21,2x ∈-时，()[]1,3g x ∈- ，所以1123a a -+≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得01a ≤≤，故填：[]0,1. 点睛：本题考查函数中多元变量任意存在的问题，一般来说都转化为子集问题，若是任意1x D ∈，存在2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min min f x g x >，若是任意1x D ∈，任意2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min max f x g x >，本题意在考查转化与化归的能力.17．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为： 解析：[)5,+∞【解析】 【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可. 【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-， 且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++， 且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞ 故答案为：[)5,+∞ 【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.18．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次解析：[)0,5【解析】 【分析】根据题意，列出不等式组50210xx ->⎧⎨-≥⎩，解出即可. 【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义， 需满足50210xx ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5， 故答案为[)0,5. 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.19．24【解析】由题意得：所以时考点：函数及其应用解析：24 【解析】由题意得：2211221924811{,,1924248b k k k be e e e +=∴====，所以33x =时，331131()192248k b k b y e e e +==⋅=⨯=.考点：函数及其应用.20．或【解析】【分析】先解二次不等式可得再由讨论参数两种情况再结合求解即可【详解】解：解不等式得即①当时满足②当时又则解得又则综上可得或故答案为：或【点睛】本题考查了二次不等式的解法空集的定义及集合的包解析：0或1 【解析】 【分析】先解二次不等式可得{}|23A x x =≤≤，再由B A ⊆，讨论参数0a =，0a ≠两种情况，再结合a Z ∈求解即可. 【详解】解：解不等式2560x x -+≤，得23x ≤≤，即{}|23A x x =≤≤， ①当0a =时，B φ=，满足B A ⊆，②当0a ≠时，2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，则223a ≤≤，解得213a ≤≤，又a Z ∈，则1a =，综上可得0a =或1a =， 故答案为：0或1. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、空集的定义及集合的包含关系，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.三、解答题21．（1）40Q t =-+，030t <≤，t ∈N （2）在30天中的第15天，日交易额最大为125万元. 【解析】 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得一次函数解析式. （2）求得日交易额的分段函数解析式，结合二次函数的性质，求得最大值. 【详解】（1）设Q ct d =+，把所给两组数据()()4,36,10,30代入可求得1c =-，40d =. ∴40Q t =-+，030t <≤，t N ∈（3）首先日交易额y （万元）=日交易量Q （万股）⨯每股交易价格P （元）()()1240,020,51840,2030,10t t t t N y t t t t N ⎧⎛⎫+-+≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，∴()()22115125,020,516040,2030,10t t t N y t t t N ⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩ 当020t ≤≤时，当15t =时，max 125y =万元 当20t 30<≤时，y 随x 的增大而减小故在30天中的第15天，日交易额最大为125万元. 【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查分段函数的最值，考查二次函数的性质，属于中档题.22．(1)答案见解析；(2)0a <或1a >. 【解析】 试题分析：(1)利用赋值法计算可得()()02,14f f =--=-，设1x <，则21x ->， 利用()22f =拆项：()()22f f x x =-+即可证得：当1x <时，()0f x <； (2)结合(1)的结论可证得()f x 是增函数，据此脱去f 符号，原问题转化为()()2222122a a x a x ----+<-在[]1,3上恒成立，分离参数有：222234x x a a x x+-->-恒成立，结合基本不等式的结论可得实数a 的取值范围是0a <或1a >. 试题解析： (1)令，得，令， 得，令，得，设，则，因为,所以;(2)设，,因为所以，所以为增函数,所以,即,上式等价于对任意恒成立，因为，所以上式等价于对任意恒成立，设，（时取等），所以，解得或. 23．(1) ()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义． 【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，()180029040f x x x=+->， 即2659000x x -+>， 解得20x <或45x >，∴()45100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x <≤时，()()30%401%4010xg x x x =⋅+-=-； 当30100x <<时，()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭；∴()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减； 当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少． 【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．24．(1)2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2) 10株时，最大值40千克【解析】 【分析】当420x <≤时，设v ax b =+，然后代入两组数值，解二元一次方程组可得参数a 、b 的值，即可得到函数v 关于x 的函数表达式；第()2题设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，然后列出()f x 表达式，再分段求出()f x 的最大值，综合两段的最大值可得最终结果．【详解】(1)由题意得，当04x <≤时，2v =； 当420x <≤时，设v ax b =+，由已知得200104a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得258a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以285v x =-+，故函数2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩．(2)设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，依题意及()1可得()22,0428,4205x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩，当04x <≤时，()f x 为增函数，故()()4428max f x f ==⨯=； 当420x <≤时，()()222222820(10)40555f x x x x x x =-+=--=--+，此时()()1040max f x f ==．综上所述，可知当每平方米种植10株时，药材的年生长总量取得最大值40千克． 【点睛】本题主要考查应用函数解决实际问题的能力，考查了理解能力，以及实际问题转化为数学问题的能力，本题属中档题． 25．（1）()g x 为奇函数；（2）20 【解析】 【分析】（1）先求得函数()g x 的定义域，然后由()()g x g x -=-证得()g x 为奇函数.（2）根据()g x 为奇函数，求得()()0g i g i -+=，从而得到()()2f i f i -+=，由此求得所求表达式的值. 【详解】（1）12()12xxg x -=+，定义域为x ∈R ，当x ∈R 时，x R -∈. 因为11112212()()112212xx x xx x g x g x --+----====-++，所以()g x 为奇函数. （2）由（1）得()()0g i g i -+=，于是()()2f i f i -+=.所以101010101111[()()()10()]2220i i i i f i f f i i i f ====-+====⨯+=-∑∑∑∑【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性进行计算，属于基础题. 26．（1）2m >；（2）m <【解析】 【分析】（1）首先>0∆，保证有两个不等实根，又121=x x ，两根同号，因此只要两根的和也大于0，则满足题意；（2）当[1,2]x ∈时，()1f x >-恒成立，转化为2m x x<+在[1,2]x ∈上恒成立即可 ,只要求得2x x +在[1,2]上的最小值即可． 【详解】（1）由题知210x mx -+=有两个不等正根，则2121240010m x x m x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，∴2m >；（2）211x mx -+>-恒成立即22mx x <+恒成立， 又[1,2]x ∈，故2m x x<+在[1,2]x ∈上恒成立即可 , 又2y x x=+在[1,2]x ∈上的值域为 ,故m < 【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，考查不等式恒成立问题．一元二次方程根的分布可结合二次函数图象得出其条件，不等式恒成立可采用分离参数法，把问题转化为求函数的最值．。
2020年高一数学上期末一模试卷(附答案)
2020年高一数学上期末一模试卷(附答案)一、选择题1．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞3．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞4．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称5．若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N⎧+∈⎪=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A ．0B ．-1C ．13D ．16．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－17．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦8．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃9．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+，且R A B ⊆ð，则a 的取值范围是（ ）A ．210a -≤≤B ．210a -<<C ．2a ≤-或10a ≥D ．2a <-或10a >10．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,611．定义在[]7,7-上的奇函数()f x ，当07x <≤时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为A ．(]2,7B ．()(]2,02,7-UC ．()()2,02,-+∞UD ．[)(]7,22,7--U12．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．14．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．15．若关于x 的方程42x x a -=有两个根，则a 的取值范围是_________ 16．函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______17．已知二次函数()f x ，对任意的x ∈R ，恒有()()244f x f x x +-=-+成立，且()00f =.设函数()()()g x f x m m =+∈R .若函数()g x 的零点都是函数()()()h x f f x m =+的零点，则()h x 的最大零点为________.18．设是两个非空集合，定义运算．已知，，则________.19．若集合{}{}2|560|20A x x x B x ax a Z =-+≤=-=∈，，，且B A ⊆，则实数a =_____.20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．已知二次函数()f x 满足:()()22f x f x +=-，()f x 的最小值为1，且在y 轴上的截距为4.(1)求此二次函数()f x 的解析式；(2)若存在区间[](),0a b a >，使得函数()f x 的定义域和值域都是区间[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“不变区间”.试求函数()f x 的不变区间；(3)若对于任意的[]10,3x ∈，总存在[]210,100x ∈，使得()1222lg 1lg mf x x x <+-，求m 的取值范围.22．已知集合{}{}{}|2318,|215,|1A x x B x x C x x a x a =≤-≤=-<=≤≥+或． （1）求,A B A B I U ；（2）若()R C C A ⊆，求实数a 的取值范围．23．已知集合{}24A x x =-≤≤，函数()()2log 31xf x =-的定义域为集合B .(1)求A B U ；(2)若集合{}21C x m x m =-≤≤+，且()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围. 24．已知幂函数35()()m f x xm N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.25．设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈． （1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围． 26．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2．C解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <，又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．B解析：B 【解析】 【分析】由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <…，341x x =g ，从而得解【详解】 解：因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，，可作函数图象如下所示：依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令1234110122x x x x <-<<<<<<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，则341x x =，()41,2x ∈ 所以12344412x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因为1y x x =+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即44152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭1234441120,2x x x x x x ⎛⎫∴+++=-++∈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题4．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 5．B解析：B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值. 【详解】因为0N *∉,所以0(0)3=1f =，((0))(1)f f f =，因为1N *∈，所以(1)=1f -，故((0))1f f =-，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数，属于中档题.6．C解析：C 【解析】 【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.7．C解析：C 【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log 22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 9．C解析：C 【解析】 【分析】由()()620x x -->可得{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，再通过A 为R C B 的子集可得结果.【详解】由()()ln 62y x x =--可知，()()62026x x x -->⇒<<，所以{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，因为R A C B ⊆，所以6424a a 或≤-≥+，即102a a ≥≤-或，故选C. 【点睛】本题考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解.10．D解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．B解析：B 【解析】 【分析】当07x <≤时，()f x 为单调增函数，且(2)0f =，则()0f x >的解集为(]2,7，再结合()f x 为奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃．【详解】当07x <≤时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增，因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <≤时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <≤，因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以70x -≤< 时，()f x 在[7,0)-上单调递增，且(2)(2)0f f -=-=，所以()0f x >等价于()(2)f x f >-，即20x -<<，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.二、填空题13．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析：(1,2)【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当4x ≥时，4()1f x x =+单调递减，且4112x<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．14．【解析】【分析】【详解】故答案为 解析：【解析】 【分析】 【详解】故答案为.15．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般解析：1(,0)4-【解析】 【分析】令20x t =>,42x x a -=,可化为20t t a --=,进而求20t t a --=有两个正根即可. 【详解】令20x t =>,则方程化为:20t t a --=Q 方程42x x a -=有两个根,即20t t a --=有两个正根,1212140100a x x x x a ∆=+>⎧⎪∴+=>⎨⎪⋅=->⎩,解得:104a -<<.故答案为: 1(,0)4-. 【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题,关键换元法的使用,难度一般.16．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考解析：4【解析】 【分析】 设()2sin 1xg x x x =++，则()g x 是奇函数，设出()g x 的最大值M ，则最小值为M -，求出2sin 21=+++xy x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】∵函数2sin 21=+++xy x x ， ∴设()2sin 1x g x x x =++，则()()2sin 1xg x x g x x --=-=-+， ∴()g x 是奇函数， 设()g x 的最大值M ，根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴()g x 的最小值为M -， 又()max max 22g x y M =+=+，()min min 22g x y M =+=-， ∴max min 224y y M M +=++-=， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出()2sin 1xg x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键，属于中档题.17．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点解析：4 【解析】 【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得,a b ，代入()00f =求得c ，从而得到()f x 解析式，进而得到()(),g x h x ；设0x 为()g x 的零点，得到()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由此构造关于m 的方程，求得m ；分别在0m =和3m =-两种情况下求得()h x 所有零点，从而得到结果. 【详解】设()2f x ax bx c =++()()()()2222244244f x f x a x b x c ax bx c ax a b x ∴+-=++++---=++=-+44424a a b =-⎧∴⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩又()00f = 0c ∴= ()24f x x x ∴=-+()24g x x x m ∴=-++，()()()222444h x x x x x m =--++-++设0x 为()g x 的零点，则()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()2002220000404440x x m x x x x m ⎧-++=⎪⎨--++-++=⎪⎩即240m m m --+=，解得：0m =或3m =- ①当0m =时()()()()()()()22222244444442h x x x x x x x x x x x x =--++-+=-+-+=---()h x ∴的所有零点为0,2,4②当3m =-时()()()()()2222244434341h x x x x x x x x x =--++-+-=--+--+-()h x ∴的所有零点为1,3,23±综上所述：()h x 的最大零点为4 故答案为：4 【点睛】本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的应用等知识；解题关键是能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量.18．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A ∪B=x|x≥0A∩B= 解析：【解析】 【分析】分别确定集合A ,B ，然后求解即可.【详解】 求解函数的定义域可得：,求解函数的值域可得，则，结合新定义的运算可知：，表示为区间形式即.【点睛】本题主要考查集合的表示及其应用，新定义知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．或【解析】【分析】先解二次不等式可得再由讨论参数两种情况再结合求解即可【详解】解：解不等式得即①当时满足②当时又则解得又则综上可得或故答案为：或【点睛】本题考查了二次不等式的解法空集的定义及集合的包解析：0或1 【解析】 【分析】先解二次不等式可得{}|23A x x =≤≤，再由B A ⊆，讨论参数0a =，0a ≠两种情况，再结合a Z ∈求解即可. 【详解】解：解不等式2560x x -+≤，得23x ≤≤，即{}|23A x x =≤≤， ①当0a =时，B φ=，满足B A ⊆， ②当0a ≠时，2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，则223a ≤≤，解得213a ≤≤，又a Z ∈，则1a =，综上可得0a =或1a =， 故答案为：0或1. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、空集的定义及集合的包含关系，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）23()(2)14f x x =-+；（2）[1,4]；（3）[2,)+∞． 【解析】 【分析】（1）由()()22f x f x +=-，得对称轴是2x =，结合最小值可用顶点法设出函数式，再由截距求出解析式；（2）根据二次函数的单调性确定函数的最大值和最小值，然后求解． （3）求出()f x 在[0,3]的最大值4，对函数()2lg 1lg mg x x x=+- 换元lg t x =，得()21m g x y t t ==+-，[1,2]t ∈，由421mt t≤+-用分离参数法转化． 【详解】（1）∵()()22f x f x +=-，∴对称轴是2x =，又函数最小值是1，可设2()(2)1f x a x =-+（0a >），∴(0)414f a =+=，34a =． ∴23()(2)14f x x =-+． （2）若2a b ≤≤，则min ()1f x a ==，7(1)24f =<，∴3b ≥且23()(2)14f b b b =-+=，解得4b =．∴1,4a b ==，不变区间是[1,4]；若02a b <<≤，则()f x 在[,]a b 上是减函数，∴223()(2)14433()(2)14f a a b a b f b b a⎧=-+=⎪⎪∴==⎨⎪=-+=⎪⎩或4，因为02a b <<≤，所以舍去；若2a b ≤<，则()f x 在[,]a b 上是增函数，∴223()(2)143()(2)14f a a a f b b b⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，∴,a b 是方程()f x x =的两根，由()f x x =得23(2)14x x -+=，124,43x x ==，不合题意． 综上1,4a b ==；（3）23()(2)14f x x =-+，[0,3]x ∈时，max ()(0)4f x f ==， 设2lg 1lg my x x=+-，令lg t x =，当[10,100]x ∈时，[1,2]t ∈． 21my t t=+-， 由题意存在[1,2]t ∈，使421mt t≤+-成立，即225m t t ≥-+， [1,2]t ∈时，22525252()48t t t -+=--+的最小值是222522-⨯+⨯=，所以[2,)m ∈+∞．【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查二次函数的创新问题，考查不等式恒成立和能成立问题．二次函数的解析式有三种形式：2()(),f x a x m h =-+12()()(),f x a x x x x =--2()f x ax bx c =++，解题时要根据具体的条件设相应的解析式．二次函数的值域问题要讨论对称轴与区间的关系，以确定函数的单调性，得最值．难点是不等式问题，对于任意的1[0,3]x ∈，说明不等式恒成立，而存在[10,100]x ∈，说明不等式“能”成立．一定要注意是转化为求函数的最大值还是最小值．22．（1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）[]1,2a ∈ 【解析】 【分析】（1）首先求得[]()1,3,,3A B ==-∞，由此求得,A B A B ⋂⋃的值.（2）(),1R C C a a =+，由于()[],11,3a a +⊆，故113a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得[]1,2a ∈.【详解】解：{}{}|13,|3A x x B x x =≤≤=<， （1）{}{}|13,|3A B x x A B x x ⋂=≤<⋃=≤；（2）∵{}|1C x x a x a =≤≥+或，∴{}|1R C C x a x a =<<+，∵()R C C A ⊆，∴113a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴[]1,2a ∈．23．(1){}2x x ≥-；(2)(]2,3 【解析】 【分析】（1）由对数函数指数函数的性质求出集合B ，然后由并集定义计算；（2）在（1）基础上求出A B I ，根据子集的定义，列出m 的不等关系得结论． 【详解】(1)由310x ->，解得0x >， 所以{}0B x x =>. 故{}2A B x x ⋃=≥-. (2)由{}04A B x x ⋂=<≤. 因为()C A B ⊆⋂，所以20,1 4.m m ->⎧⎨+≤⎩所以23m <≤，即m 的取值范围是(]2,3. 【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，考查集合的交并集运算，考查集合的包含关系．正确求出函数的定义域是本题的难点．24．（Ⅰ）2()f x x =（Ⅱ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0<g x 分离常数λ得到122xx λ<-，结合函数122xy x =-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）∵幂函数35()()m f x xm -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，350m ∴-+>，且35m -+为偶数. 又N m ∈，解得1m =，2()f x x ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-. 当[1,2]x ∈时，由()0<g x 得122xx λ<-. 易知函数122xy x =-在[1,2]上单调递减， min 1123222224x x λ⎛⎫∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭.∴实数λ的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.25．（1）()24xxg x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可， （2）对于同时含有2,xxa a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．试题解析：解：（1）∵()3xf x =，且(2)18f a +=∴⇒∵∴（2）法一：方程为令，则144t ≤≤- 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+，y b =两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解． 法二： 方程为，令，则144t ≤≤∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦1=1-40413{0416(4)012b b f b f b ∆>⇒<⎛⎫∴≤⇒≥⎪⎝⎭≤⇒≥- 解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭考点：求函数的解析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错．26．（1）40Q t =-+，030t <≤，t ∈N （2）在30天中的第15天，日交易额最大为125万元. 【解析】 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得一次函数解析式. （2）求得日交易额的分段函数解析式，结合二次函数的性质，求得最大值. 【详解】（1）设Q ct d =+，把所给两组数据()()4,36,10,30代入可求得1c =-，40d =. ∴40Q t =-+，030t <≤，t N ∈（3）首先日交易额y （万元）=日交易量Q （万股）⨯每股交易价格P （元）()()1240,020,51840,2030,10t t t t N y t t t t N ⎧⎛⎫+-+≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，∴()()22115125,020,516040,2030,10t t t N y t t t N ⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩ 当020t ≤≤时，当15t =时，max 125y =万元 当20t 30<≤时，y 随x 的增大而减小故在30天中的第15天，日交易额最大为125万元. 【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查分段函数的最值，考查二次函数的性质，属于中档题.。
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高一数学期末模拟试卷 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题 1．若ππsin()2sin()44，则πtan(2)4( )
A.7 B.17 C.7 D.17 2．已知圆关于直线成轴对称图形，则的取值范围 A． B． C． D．
3．为了得到sin26yx的图像，可以将函数sin2yx的图像向右．．平移．．（0）个单位长
度，则的最小值为( ) A．6 B．12 C．116 D．1112 4．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A． B．34 C．2 D．4
5．设函数f(x)＝2,02,0xbxcxx 若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6．已知向量m、n满足2m，3n，17mn，则mn（ ） A.3 B.7 C.17 D.9 7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）
A.51296 B.296 C.51224 D.512 8．已知向量(2,3),(,4)abx，若()aab，则x（ ） A．1 B．12 C．2 D．3 9．已知2,1ar，1,1b，则a在b方向上的投影为（ ） A.22 B.22 C.55 D.55
10．已知函数224,{ 31,xxxafxxa，若0ffx存在四个互不相等的实数根，则实数a的取值范围为（ ） A.2, B.6, C.2,26, D.2,63, 11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面,3,4,5ABCPAABAC，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的
表面积为（ ） A．17 B．25 C．34 D．50
12．函数221()xfxx（ ）．
A.是奇函数且在区间2,2上单调递增 B.是奇函数且在区间2,2上单调递减 C.是偶函数且在区间2,2上单调递增 D.是偶函数且在区间2,2上单调递减 13．过两点()4,Ay，()2,3B-的直线的倾斜角为45，则y（ ）． A．32 B．32 C．-1 D．1
14．函数1cosfxxxx（x且0x）的图象可能为（ ）
A． B． C． D． 15．执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的的值为（ ）
A． B． C． D． 二、填空题 16．在矩形ABCD中，42ABAD，，现将矩形ABCD沿对角线BD折起，则所得三棱锥ABCD外接球的体积是________.
17．函数23sincoscosyxxx的值域为__________． 18．设20.3a，0.32b，2log2c，则a，b，c的大小关系为______(用“”号连结) 19．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是______． 三、解答题 20．已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围．
21．如图，ABC中，7cos,225AAB，角A 的平分线AD长为10．
(1)求cosB； (2)求AC边的长．
22．已知函数121log21axfxx，a为常数. （1）若2a，求证fx为奇函数；并指出fx的单调区间. （2）若对于35,22x，不等式1221log21log214xxmx恒成立，求实数m的取值范围. 23．已知圆22C:8120xyy，直线l:axy2a0． （1）当直线l与圆C相切，求a的值； （2）当直线l与圆C相交于,AB 两点，且22AB时，求直线l的方程． 24．已知全集UR，集合{|11}Axx， {|248}xBx， {|427}Cxaxa. （1）UCAB； （2）若ACC，求实数a的取值范围. 25．已知{}na为等差数列，前n项和为*()nSnN，{}nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，
2334111412,2,11bbbaaSb.
（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式； （Ⅱ）求数列2{}nnab的前n项和*()nN.
【参考答案】
一、选择题 1．B 2．D 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．A 10．D 11．C 12．A 13．C 14．D 15．B 二、填空题
16．2053 17．13,22 18．cba 19．(－1,3) 三、解答题 20．（1）；(2) ． 21．(1) cos45B (2) 40039AC
22．（1）详略（2）98m 23．(1) 34a (2) 7140xy或20xy. 24．（1）31,2UCAB；（2）,4． 25．（Ⅰ）32nan. 2nnb.（Ⅱ）2(34)216nn. 高一数学期末模拟试卷 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题 1．已知函数sincosfxxaxaR图象的一条对称轴是π6x，则函数2singxxfx的最大值为（ ） A．5 B．3 C．5 D．3
2．实数满足121xyyx„,则3xy的取值范围为（ ）
A．19， B．39， C．312， D．392， 3．已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若//mn，m，则n B.若//m，//n，则//mn C.若m，//m，则// D.若//m，，则m 4．10名小学生的身高（单位：cm）分成了甲、乙两组数据，甲组：115，122，105， 111，109；乙组：125，132，115， 121，119.两组数据中相等的数字特征是( ) A.中位数、极差 B.平均数、方差 C.方差、极差 D.极差、平均数 5．在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则
（ ） A．1 B． C． D． 6．用区间x表示不超过x的最大整数，如1.81，1.32，设xxx，若方程xkx10有且只有3个实数根，则正实数k的取值范围为( )
A．11,32 B．11,32 C．11,43 D．11,43
7．已知函数1221xxfxx，2018,2018x的值城是,mn，则(fmn ) A．20182 B．2120182018 C．2 D．0 8．方程2ln6xx的解所在的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 9．函数()sinfxxx，[,]x的大致图象是（ ） A． B． C． D． 10．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是( ) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
11．已知点2,1A，点(,)Pxy满足线性约束条件20,10,24,xyxy O为坐标原点，那么OAOP的最小值是 A．11 B．0 C．1 D．5
12．设ABC的内角ABC，，所对边分别为abc，，若3a，33bA，，则B（ ）
A．6 B．56 C．6或56 D．23 13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A．90π B．63π C．42π D．36π 14．已知点A(2，-3)，B(-3，-2)直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值k范围