新(江苏专用)高考数学三轮增分练高考小题限时练1 文

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创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习教师用书小题综合限时练文

小题综合限时练文限时练(一) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q ＝( ) A.[3，4)B.(2，3]C.(－1.2)D.(－1，3]解析 P ＝{x |x 2－2x ≥3}＝{x |x ≤－1，或x ≥3}，Q ＝{x |2<x <4}，∴P ∩Q ＝{x |3≤x <4}＝[3，4]. 答案 A2.下列命题中，是真命题的是( ) A.∃x 0∈R ，e x0≤0 B.∀x ∈R ，2x ＞x 2C.已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D.已知a ，b 为实数，则a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件解析 ∵e x >0，∴A 错；当x ＝2时，2x ＝x 2，B 错；a ＋b ＝0是a b＝－1的必要不充分条件，C 错；由题意，D 正确. 答案 D3.以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好； ②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为1，则2x 1，2x 2，2x 3，…，2x n 的方差为2；④对分类变量x 与y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大.其中真命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析由相关指数R 2越接近于1，模型的拟合效果越好知①正确；由相关系数r 的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强知②正确；③④错误. 答案 B4.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14xB.y ＝±13xC.y ＝±12xD.y ＝±x解析 e ＝ca＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝52，∴b a ＝12，∴c 的渐近线方程为y ＝±12x . 答案 C5.设a ＝log 0.80.9，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.c <a <b解析因为0＝a ＝log 0.80.9<1，b ＝log 1.10.9<0，c ＝1.10.9>1，所以b <a <c .答案 C6.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π6解析因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6. 答案 A7.将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A.f (x )＝－2sin x B.f (x )＝2sin x C.f (x )＝22sin 2xD.f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，因为－sin 2x ＝－2sin x cos x ，所以f (x )＝－2sin x .答案 A 8.已知b ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3－x x≥0，则直线x ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相离的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析 b ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3－x x≥0＝(0，3]，若直线x ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相离，则21＋b2>2，得－1<b <1，故所求概率P ＝1－03－0＝13. 答案 A9.某程序框图如图所示，现将输出(x ，y )值依次记为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，…，若程序运行中输出的一个数组是(x ，－10)，则数组中的x ＝( )A.32B.24C.18D.16解析运行第一次，输出(1，0)，n ＝3，x ＝2，y ＝－2；运行第二次，输出(2，－2)，n ＝5，x ＝4，y ＝－4；运行第三次，输出(4，－4)，n ＝7，x ＝8，y ＝－6；运行第四次，输出(8，－6)n ＝9，x ＝16，y ＝－8；运行第五次，输出(16，－8)，n ＝11，x ＝32，y ＝－10；运行第六次，输出(32，－10)，n ＝13，x ＝64，y ＝－12. 答案 A10.在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，则Q 点的横坐标为( ) A.－7210B.－325C.－7212D.－8213解析设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45，x Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－7210，选A. 答案 A11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.1136B. 3C.533D.433解析由三视图知该几何体是一个四棱锥P －ABCD ，其直观图如图所示，设E 为AD 的中点，则BE ⊥AD ，PE ⊥平面ABCD ，△PAD 为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1，下底2，高2；棱锥的高为3，∴体积V ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×（1＋2）×2×3＝3，故选B. 答案 B12.已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －2)＜f (x )对任意的x ＞2恒成立，则k 的最大值为( ) A.3B.4C.5D.6解析先画f (x )＝x ＋x ln x 的简图，设y ＝k (x －2)与f (x )＝x ＋x ln x 相切于M (m ，f (m ))(m ＞2)，所以f ′(m )＝f （m ）m －2，即2＋ln m ＝m ＋m ln mm －2，可化为 m －4－2ln m ＝0，设g (m )＝m －4－2ln m .因为g (e 2)＝e 2－8＜0，g (e 3)＝e 3－10＞0，所以e 2＜m ＜e 3，f ′(m )＝2＋ln m ∈(4，5)，又k ∈Z ，所以k max ＝4，选B. 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 解析抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p2＝－2，解得p ＝2 2. 答案 2 214.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，3x －y －3≤0，2x ＋y －2≥0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________.解析作出可行域如图所示：作直线l 0：3x ＋y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：3x ＋y ＝z ，当直线l 经过点M 时，z ＝3x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝2，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2，所以z max ＝3×53＋2＝7.答案 715.(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________. 解析由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35，∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案－2516.已知平面四边形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为________.解析设AC ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理有：x 2＝22＋42－2×2×4cos B ＝20－16cos B ，同理，在△ADC 中，由余弦定理有：x 2＝32＋52－2×3×5cos D ＝34－30cos D ，即15cos D －8cos B ＝7，①又平面四边形ABCD 面积为S ＝12×2×4sin B ＋12×3×5sin D ＝12(8sin B ＋15sin D )，即8sin B ＋15sin D ＝2S ，② ①②平方相加得64＋225＋240(sin B sin D －cos B cos D )＝49＋4S 2，－240cos(B ＋D )＝4S 2－240，当B ＋D ＝π时，S 取最大值230. 答案 230限时练(二) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )＞1}，则A ∩B ＝( ) A.(2，3) B.(2，3] C.(－3，－2)D.[－3，－2)解析 ∵x 2－2x －3≤0，∴－1≤x ≤3，∴A ＝[－1，3].又∵log 2(x 2－x )＞1，∴x 2－x －2＞0，∴x ＜－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).∴A ∩B ＝(2，3].故选B. 答案 B2.若复数z 满足(3－4i)z ＝5，则z 的虚部为( ) A.45B.－45C.4D.－4解析依题意得z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝35＋45i ，因此复数z 的虚部为45.故选A. 答案 A3.设向量a ＝(m ，1)，b ＝(2，－3)，若满足a ∥b ，则m ＝( ) A.13B.－13C.23D.－23解析依题意得－3m －2×1＝0，∴m ＝－23.故选D.答案 D4.某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是( )A.300B.400C.500D.600解析依题意得，题中的1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1 000×(0.035＋0.015＋0.010)×10＝600.故选D. 答案 D5.在等比数列{a n }中，若a 4、a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A.± 2B.－ 2C. 2D.±2解析由题意可知a 4＝1，a 8＝2，或a 4＝2，a 8＝1. 当a 4＝1，a 8＝2时，设公比为q ，则a 8＝a 4q 4＝2，∴q 2＝2，∴a 6＝a 4q 2＝2；同理可求当a 4＝2，a 8＝1时，a 6＝ 2. 答案 C6.已知双曲线y 2t 2－x 23＝1(t ＞0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合，则此双曲线的离心率为( ) A.2B. 3C.3D.4解析依题意得，抛物线y ＝18x 2即x 2＝8y 的焦点坐标是(0，2)，因此题中的双曲线的离心率e ＝2t ＝222－3＝2.故选A. 答案 A7.已知A (1，－1)，B (x ，y )，且实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≥2，x ≤2，则z ＝OA →·OB →的最小值为( ) A.2B.－2C.－4D.－6解析画出不等式组所表示的可行域为如图所示的△ECD 的内部(包括边界)，其中E (2，6)，C (2，0)，D (0，2).目标函数z ＝OA →·OB →＝x －y .令直线l ：y ＝x －z ，要使直线l 过可行域上的点且在y 轴上的截距－z 取得最大值，只需直线l 过点E (2，6).此时z 取得最小值，且最小值z min ＝2－6＝－4.故选C. 答案 C8.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π6，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.5π12解析由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，－4≤g (x )≤4，又－4≤f (x )≤4，若x 1，x 2满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，则x 1，x 2分别是函数f (x )，g (x )的最值点，不妨设f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4，则x 1＝3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )，|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，k 2∈Z )，又|x 1－x 2|min ＝π6，0＜φ＜π2，所以π2－φ＝π6，得φ＝π3，故选C.答案 C9.如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )解析注意BE ，BG 在平面CDGF 上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A ，C 选项，观察B ，D 选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG ，BF 的投影为虚线，故选D. 答案 D10.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A.9B.8C.4D.2解析依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1（bc ＞0），4c b ＝b c，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9.故选A. 答案 A11.已知四面体P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.7πB.8πC.9πD.10π解析依题意记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9，4πR 2＝9π，∴球O 的表面积为9π.故选C. 答案 C12.已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f （x ）x>0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3解析依题意，记g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，g (0)＝0，当x >0时，g ′(x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋f （x ）x >0，g (x )是增函数，g (x )>0；当x <0时，g ′(x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋f （x ）x <0，g (x )是减函数，g (x )>0，在同一坐标系内画出函数y ＝g (x )与y ＝－1x的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是1.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________.解析由程序框图得S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1－15＝45. 答案 4514.(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)， ∴A ＝2，b ＝1. 答案2 115.在△ABC 中，若AB ＝43，AC ＝4，B ＝30°，则△ABC 的面积是________.解析由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2·BA ·BC ·cos B 得42＝(43)2＋BC 2－2×43×BC ×cos 30°，解得BC ＝4或BC ＝8.当BC ＝4时，△ABC 的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×4×12＝43；当BC ＝8时，△ABC的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×8×12＝8 3.答案 43或8 316.已知F 1、F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________.解析易知点P 、Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大.由于F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0，1)，∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)，∴PF 1→·PF 2→＝－2.答案－2限时练(三) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5B.－3C.1＋4iD.1－4i解析因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A2.已知集合M ＝{y |y ＝4－x 2}，N ＝{x |y ＝ln(x 2－2x )}，则( ) A.M ⊂N B.N ⊂M C.M ∩N ＝∅D.M ∪N ≠R解析 M ＝[0，2]，N ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以M ∩N ＝∅.故选C. 答案 C3.在－20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( ) A.200B.100C.90D.70解析 S ＝10×（－20＋40）2＝100.故选B.答案 B4.我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率π的近似值.如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n ，落到正方形内的豆子数为m ，则圆周率π的估算值是( ) A.n mB.2n mC.3nm.2mn解析设圆的半径为r ，则P ＝m n ＝（2r ）2πr 2，得π＝2nm.故选B. 答案 B5.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒b a＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D6.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.2解析可行域如图所示.目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0，1)时，z 取得最大值2.答案 D7.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，则ω的一个可能值是( )A.12B.35C.34D.32解析由函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，得2π3≤π2ω⇒ω≤34.由f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，得5π6＞π2ω，ω＞35，所以35＜ω≤34.故选C.答案 C8.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.43π＋833B.43π3＋8 3 C.43π＋833D.43π＋8 3解析由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：V ＝13Sh ＝2π＋43×23＝43π＋833. 答案 A9.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝13，则△ABC 面积的最大值为( ) A.2B. 2C.12D. 3解析由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×223＝ 2.故选B.答案 B10.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且 x ≠0)的图象可能为( )解析 ∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 D11.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若FA →＝(2－1)AB →，则此双曲线的离心率是( ) A. 2B. 3C.2 2D. 5 解析过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝b ax ②，联立①②，解得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，由FA →＝(2－1)AB →，得c ＝(2－1)ac c －a，c ＝2a ，e ＝ 2.答案 A12.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x |，（x ≤1），x 2－4x ＋3，（x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[－2，2]∪[4，＋∞)C.[－2，2＋2]D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)解析令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.由x 2－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍).由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.如图，根据图中的数构成的规律，a 表示的数是________.1 2 2 3 4 3 4 12 12 4 5 48 a 48 5……解析数表的规律是每行从第二个数起一个数等于它肩上的两个数的乘积，所以a ＝12×12＝144. 答案 14414.实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤－2，y ≥1，x ＋y ≤4，则x 2＋y2xy的取值范围是________.解析 x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x .令k ＝y x ，则k 表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由图形可知13≤k ≤1，根据函数y ＝1k ＋k 的单调性得2≤k ≤103.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，10315.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.解析由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°. 答案 90°16.已知数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n }满足x 1＝3，x 1＋x 2＋x 3＝39，则x n ＝________.解析设因为数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n ＋1＝log k x n ＋log k x n ＋2⇒x 2n ＋1＝x n x n ＋2，所以数列{x n }是等比数列，把x 1＝3代入x 1＋x 2＋x 3＝39得公比q ＝3(负值舍去)，所以x n ＝3×3n －1＝3n.答案 3n限时练(四) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合M ＝{x |x 2－4x ＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，则m ＋n 等于( ) A.9B.8C.7D.6解析 ∵M ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，且M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7.故选C. 答案 C 2.复数1＋52－i(i 是虚数单位)的模等于( ) A.10B.10C. 5D.5解析 ∵1＋52－i ＝1＋5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝1＋2＋i ＝3＋i ，∴其模为10.故选A. 答案 A3.“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.答案 B4.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1解析在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≥12，|x －y |≤12，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S 多边形BACDE S 四边形OCDE ，p 2＝S 多边形BOAFDGS 四边形OCDE，p 3＝S 曲边多边形GEOCFS 四边形OCDE，因为S △ABO ＝S △BEG ＝S △DGF ，所以p 2<p 3<p 1.故选B. 答案 B5.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺D.1631尺解析依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故选B.答案 B6.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )A.16＋33B.8＋632C.163D.203解析将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴V N －BCFE ＝13×4×2＝83.可将三棱柱补成直三棱柱，则V ADM －EFN ＝12×2×2×2＝4，∴多面体的体积为203.故选D. 答案 D7.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则m ＝( ) A.1B.2C.－5D.1或－3解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的22.圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|1＋m |2，依题意得|1＋m |2＝2，解得m ＝1或－3.故选D.答案 D8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为( ) A.5 B.6 C.7D.8解析由程序框图知，当S ＝1时，k ＝2；当S ＝3时，k ＝3；当S ＝7时，k ＝4；当S ＝15时，k ＝5；当S ＝31时，k ＝6；当S ＝63时，k ＝7.∴n 的值为6.故选B. 答案 B9.若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12B.π4C.π3D.π6解析由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.故选A. 答案 A10.已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值解析由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|＜g （x ），故h (x )有最小值－1，无最大值. 答案 C11.设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A.192B.11C.12D.16解析由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b2a＝3，∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B. 答案 B12.在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中，x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A.1063B.1463C.4 3D.6 2解析根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形，其面积为△BOC 面积的2倍，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－ 2bc cos A ，得BC ＝7，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， ∴S △BOC ＝12×BC ×r ＝12×7×263＝763.∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人，相关数据如下表：则抽取的总人数为解析由分层抽样得b 56＝3a ＝535，∴a ＝21，b ＝8，∴抽取的总人数为8＋3＋5＝16.答案 1614.若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围为________.解析画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图所示，当a ＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k ＝－a3＞k AC ＝－1，∴0＜a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a3＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的取值范围是(－6，3). 答案 (－6，3)15.已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若区间[－1，3]上，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有3个零点，则实数k 的取值范围是________.解析根据已知条件知函数f (x )为周期为2的周期函数；且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |；而函数g (x )的零点个数便是函数f (x )和函数y ＝kx ＋k 的交点个数.∴①若k ＞0，如图所示，当y ＝kx ＋k 经过点(1，1)时，k ＝12；当经过点(3，1)时，k ＝14.∴14＜k ＜12.②若k ＜0，即函数y ＝kx ＋k 在y 轴上的截距小于0，显然此时该直线与f (x )的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在.③若k ＝0，得到直线y ＝0，显然与f (x )图象只有两个交点.综上所得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 16.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n，若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析由题意得a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝－3，a 4＝5，a 5＝－11，a 6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n，则利用累加法即得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n 2n －1＝（－1）[1－（－2）n ]1－（－2）＝（－2）n－13.答案（－2）n－13限时练(五) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A.[0，1]B.(0，1]C.[0，1)D.(－∞，1]解析由M ＝{x |x 2＝x }＝{0，1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝(0，1]，得M ∪N ＝{0，1}∪(0，1]＝[0，1].故选A. 答案 A 2.已知复数z ＝21＋i＋2i ，则z 的共轭复数是( ) A.－1－i B.1－i C.1＋iD.－1＋i解析由已知z ＝21＋i ＋2i ＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i ，选B. 答案 B3.已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x 13，则在区间(－2，0)上，下列函数中与y ＝f (x )的单调性相同的是( )A.y ＝－x 2＋1 B.y ＝|x ＋1|C.y ＝e |x |D.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，x 3＋1，x ＜0解析由已知得f (x )是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C. 答案 C4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2 在一个周期内的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.1B.12C.－1D.－12解析由图知，A ＝2，且34T ＝5π6－π12＝3π4，则周期T ＝π，所以ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，则2×π12＋φ＝π2，从而φ＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin 5π6＝1，选A.答案 A5.下列四个结论：①p ∧q 是真命题，则綈p 可能是真命题；②命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＜0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x －1≥0”； ③“a ＞5且b ＞－5”是“a ＋b ＞0”的充要条件； ④当a ＜0时，幂函数y ＝x a在区间(0，＋∞)上单调递减. 其中正确结论的个数是( ) A.0个B.1个C.2个D.3个解析 ①若p ∧q 是真命题，则p 和q 同时为真命题，綈p 必定是假命题； ②命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”； ③“a ＞5且b ＞－5”是“a ＋b ＞0”的充分不必要条件； ④y ＝x a⇒y ′＝a ·xa －1，当a ＜0时，y ′＜0，所以在区间(0，＋∞)上单调递减.选B.答案 B6.过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝( ) A.0B.5C.5D.503解析由圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0得C (0，2)，半径r ＝ 5.∵过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，∴BA →·CB →＝0，∴CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＝5，所以选C.答案 C7.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m (如下表所示)，则利用回归方程可求得实数m 的值为( )A.8.3解析 x ＝196＋197＋200＋203＋2045＝200，y ＝1＋3＋6＋7＋m 5＝17＋m 5.由回归直线经过样本中心，17＋m5＝0.8×200－155⇒m ＝8.故选D.答案 D8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于( ) A.2 B.1 C.23D.223解析由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V ＝12×1×1×2－13×12×1×1×2＝23.故选C.答案 C9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A.14B.15C.16D.17解析由程序框图可知，从n ＝1到n ＝15得到S ＜－3，因此将输出n ＝16. 答案 C10.若实数x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a ，b ，则z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值的概率为( ) A.56B.25C.15D.16解析约束条件为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)，要使函数z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值，需满足－2ab≤－1⇒b ≤2a ，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对(a ，b )，其中满足b ≤2a 有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为3036＝56.选A.答案 A11.如图所示，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E －ABCD 的外接球的表面积为( ) A.16π3B.8πC.16πD.64π解析将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O ，底面重心为G ，则△OGD 为直角三角形，OG ＝1，DG ＝3，∴R 2＝4，∴多面体E －ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝16π.故选C. 答案 C12.已知函数f (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e (其中e 为自然对数的底数)与函数g (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2C.[1，e 2－2]D.[e 2－2，＋∞)解析由已知得方程－(a －x 2)＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，设h (x )＝2ln x－x 2，求导得h ′(x )＝2x －2x ＝2（1－x ）（1＋x ）x ，因为1e ≤x ≤e，所以h (x )在x ＝1处有唯一的极大值点，且为最大值点，则h (x )max ＝h (1)＝－1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，h (e)＝2－e 2，且h (e)＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以h (x )的最小值为h (e)＝2－e 2.故方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而解得a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选C.答案 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.已知函数f (x )＝ln x ，若在(0，3e)上随机取一个数x ，则使得不等式f (x )≤1成立的概率为________.解析 ∵ln x ≤1⇔ln x ≤ln e ⇔0<x ≤e ，故所求概率p ＝e －03e －0＝13.答案 1314.已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，则向量a ＋b 在向量a 方向上的投影是________.解析依题意得：(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，因此向量a ＋b 在向量a 方向上的投影是0. 答案 015.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a ＝______. 解析因为抛物线的准线为x ＝－p 2，则有1＋p2＝5，得p ＝8，所以m ＝4，又双曲线的左顶点坐标为(－a ，0)，则有41＋a ＝1a ，解得a ＝19.答案 1916.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x 3－2x 2＋x |，x ＜1，ln x ，x ≥1，若命题“∃t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，则实数k 的取值范围是________.解析当x ＜1时，f (x )＝－|x 3－2x 2＋x |＝－|x (x －1)2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －1）2，x ≤0，－x （x －1）2，0＜x ＜1，当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)＞0，f (x )是增函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝－(x －1)(3x－1)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上是增函数，作出函数y ＝f (x )在R 上的图象，如图所示.命题“∃t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，即对任意的t ∈R ，且t ≠0，f (t )＜kt 恒成立，作出直线y ＝kx ，设直线y ＝kx 与函数y ＝lnx (x ≥1)的图象相切于点(m ，ln m )，则由(ln x )′＝1x ，得k ＝1m ，即ln m ＝km ，解得m ＝e ，k ＝1e.设直线y ＝kx 与y ＝x (x －1)2(x ≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y ′＝(x －1)(3x －1)，则k ＝1，由图象可知，若f (t )＜kt 恒成立，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1限时练(六) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z 1＝1－i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2i等于( )A.2iB.－2iC.2＋ID.－2＋i解析z 1z 2i ＝（1－i ）（1＋i ）i＝－2i.故选B.答案 B2.已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A.－3∈A B.3∉B C.A ∩B ＝BD.A ∪B ＝B解析依题意得，A ＝[－1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)，∴A ∩B ＝B .故选C. 答案 C3.若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，θ＝－π6；当k ＝1时，θ＝5π6.若θ＝－π6时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，f (x )的图象关于x ＝π3对称.故选B. 答案 B4.若1a ＜1b＜0，则下列四个不等式恒成立的是( )A.|a |＞|b |B.a ＜bC.a 3＜b 3D.a ＋b ＜ab解析由1a ＜1b＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，即A 、B 项不正确；b 3＜a 3，即C 项不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab ，即D 项正确.故选D.答案 D5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.12a ＋b B.12a －b C.a ＋12bD.a －12b解析连接CD 、OD ，∵点C 、D 是半圆弧AB 的两个三等分点，∴AC ︵＝BD ︵＝CD ︵，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°，∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°，由此可得∠CAD ＝∠DAO ＝30°，∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .故选A.答案 A6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝5b sin C ，且cos A ＝5cos B cos C ，则tan A 的值为( ) A.5B.6C.－4D.－6解析由正弦定理得sin A ＝5sin B sin C ①，又cos A ＝5cos B cos C ②，②－①得，cosA －sin A ＝5(cosB cosC －sin B sin C )＝5cos(B ＋C )＝－5cos A ，∴sin A ＝6cos A ，∴tan A ＝6.故选B .答案 B7.如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值是( ) A.0 B.－1 C.－2D.－3解析由程序框图知，x ＝2，y ＝12×2－1＝0，|0－2|＞1；x ＝0，y＝0－1＝－1，|－1－0|＝1；x ＝－2，y ＝12×(－2)－1＝－2，|－2＋2|＜1满足条件，输出y 为－2，结束程序.故选C. 答案 C8.若过点(3，－3)的直线l 将圆C ：x 2＋y 2＋4y ＝0平分，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析由题意可知直线l 过圆C ：x 2＋y 2＋4y ＝0的圆心(0，－2)，且直线l 过点(3，－3)，∴直线l 的斜率k ＝－3－（－2）3－0＝－33，又直线l 的倾斜角α∈[0，π)，k ＝tan α，∴α＝5π6. 答案 D9.椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba＝( ) A.32B.233C.932D.2327解析设交点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 中，y 中)，代入椭圆方程得ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，由两式相减整理得：b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，即b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 中x 中＝－1，又y 中x 中＝y 中－0x 中－0＝32，可得b a ·(－1)·32＝－1，即b a ＝233.故选B. 答案 B10.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( )A.1 006×2 013B.1 006×2 014C.1 007×2 013D.1 007×2 014解析在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，∴a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2a 2＝2，∴a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，∴S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.故选C. 答案 C11.已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]，则f (－1)的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C.[3，12]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12解析 f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，依题意知，方程f ′(x )＝0有两个根x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]等价于f ′(－2)≥0，f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0.由此得b 、c满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，满足这些条件的点(b ，c )的区域为图中阴影部分.由题设知f (－1)＝2b －c ，由z ＝2b －c ，将其转化为直线c ＝2b －z ，当直线z ＝2b －c 经过点A (0，－3)时，z 最小，其最小值z min ＝3；当直线z ＝2b －c 经过点B (0，－12)时，z 最大，其最大值z max ＝12. 答案 C12.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 1的中点，Q 是A 1B 1上任意一点，E 、F 是CD 上任意两点，且EF 长为定值，现有下列结论：①异面直线PQ 与EF 所成的角为定值；②点P 到平面QEF 的距离为定值；③直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值；④三棱锥P －QEF 的体积为定值.其中正确结论的个数为( ) A.0B.1C.2D.3解析当点Q 与A 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角为π2；当点Q 与B 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角不为π2，即①错误.当点Q 在A 1B 1上运动时，三棱锥P －QEF 的底面△QEF的面积以及三棱锥的高都不变，∴体积不变，即②正确.④也正确.当点Q 在A 1B 1上运动时，直线QP 与平面PEF 所成的角随点Q 的变化而变化，即③错误.故选C. 答案 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是________.解析从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小. 答案甲14.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则该点落在四面体内的概率为________.解析由题意可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，则几何体的体积为13×12×6×3×4＝12，外接球的直径为42＋（32）2＋（32）2＝213，∴外接球的半径为13，体积为52133π，∴该点落在四面体内的概率P ＝1252133π＝913169π.答案913169π15.在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a 、b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a 、b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0). 关于函数f (x )＝(e x)*1ex 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0]. 其中所有正确说法的序号为________.解析依题意得f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋[(e x )*0]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x *0＝1＋e x＋1e x ，其中x ∈R .∴f ′(x )＝e x－1e x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x ＝0，f (0)min ＝3，即①正确，③错误.又f (－x )＝1＋e －x ＋1e －x ＝1＋e x＋1e x ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，即②正确. 答案 ①② 16.若关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 解析由于关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有四个不同的实根，x ＝0是此方程的一个根，故关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有3个不同的非零的实数解.∴方程1k ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0有3个不同的非零的实数解，即函数y ＝1k 的图象和函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0的图象有3个交点，画出函数g (x )图象，如图所示，故0＜1k＜1，解得k ＞1.答案 (1，＋∞)限时练(七) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2＜16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( ) A.A ∪B ＝R B.A ∪(∁U B )＝R C.(∁U A )∪B ＝RD.A ∩(∁U B )＝A解析因为A ＝{x |－4＜x ＜4}，B ＝{x |x ＞4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D. 答案 D2.已知复数z ＝2－i x －i 为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数x 的值为( )A.－12B.12C.－3D.13解析 z ＝2－i x －i ＝（2－i ）（x ＋i ）x 2＋1＝2x ＋1＋（2－x ）i x 2＋1，因为复数z ＝2－ix －i为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，2－x ≠0，即x ＝－12，故选A.答案 A3.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B. 答案 B。

2019高考语文江苏专用精准提分练：限时精练(一) Word版含解析

第五章专项限时精练限时精练(一)语言文字运用(用时：20分钟分值：21分)1．在下面一段话的空缺处依次填入词语，最恰当的一组是(3分)()把诗歌、绘画、书法、篆刻完美________起来，一幅传统的文人画才算完备。

诗、书、画、印________又互相映衬，令人回味无穷。

从唐宋开始，这种创作特色为画家和欣赏者所普遍接受，其对中国画的发展有着深远影响，当代水墨写意画正是与传统文人画________的。

A．结合相辅相成一以贯之B．融合各得其所一以贯之C．结合各得其所一脉相承D．融合相辅相成一脉相承答案 C解析结合：人或事物间发生密切联系。

融合：几种不同的事物合成一体。

文段中说的是一幅画中含有诗歌、绘画、书法、篆刻，用“结合”恰当。

相辅相成：互相补充，互相配合。

各得其所：每一个人或事物都得到合适的安顿。

文段中说的是“诗、书、画、印”互相映衬，用“各得其所”恰当。

一以贯之：用一种思想理论贯穿于始终。

一脉相承：由一个血统或一个派别传下来，比喻某种思想、行为或学说之间有继承关系。

文段中说的是当代画与传统画之间的关系，用“一脉相承”恰当。

2．在下面一段文字横线处填入语句，衔接最恰当的一项是(3分)()在《人间草木》这部作品中，汪曾祺先生得意而平和的人生在三个方面表现得淋漓尽致：写文、绘画、做菜。

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________________，这种“美人之美、美美与共”的共济局面，又何尝不是个人的欢乐和社会的福祉呢？①其绘画如竹，筛风弄月②其做菜如梅，剪风裁月③其写文如兰，空谷幽兰④而其为人，则如时下深秋之菊，恬然自处、清淡疏朗⑤他在将个人价值充分展现、平和表达的同时，也满足了他人在精神和物质两个层面的需求⑥这三种人生爱好，我倒是觉得神似花中“四君子”A．⑤③①②④⑥B．⑥①③②⑤④C．⑤④②③①⑥D．⑥③①②④⑤答案 D解析解答本题，不仅要注意关联词的搭配，还要注意前后内容的连贯，根据前文提示“汪曾祺先生得意而平和的人生在三个方面表现得淋漓尽致”可知：⑥作为总结，而依据照应，③句表述的是“写文”，①句表述的是“绘画”，②句表述的是“做菜”，④句递进一层，顺理成章，故选择D项。

2019高考数学江苏专用精编冲刺练：70分填空题综合限时练8套

限时练(一)(建议用时：45分钟)1.设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为________.解析由集合中元素的互异性，可知集合M ＝{5，6，7，8}，所以集合M 中共有4个元素. 答案 42.已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________. 解析因为m ＋i1＋i －12＝（m ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－12＝m ＋（1－m ）i2，由已知得m ＝1－m ，得m ＝12. 答案 123.从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是________.解析从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数的所有基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有6种，而满足所取2个数的乘积为偶数的基本事件为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有5种，根据古典概型的公式可得所求的概率为P ＝56. 答案 564.设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心).若AO →＝13AB →＋13AC →，则∠BAC 等于________(用角度表示).解析取BC 的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2 AD →.由题意得3AO →＝2AD →，∴AD 为BC 的中线且O 为重心.又O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC ＝60°. 答案 60°5.根据如图所示的伪代码可知，输出的结果S 为________.解析根据伪代码，开始时S ＝0，I ＝1，此时满足S ≤10，接下来有S ＝0＋12＝1，I ＝1＋1＝2，此时满足S ≤10，接下来有S ＝1＋22＝5，I ＝2＋1＝3，此时满足S ≤10，接下来有S ＝5＋32＝14，I ＝3＋1＝4，此时不满足S ≤10，结束循环，输出S ＝14. 答案 146.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6的值为________. 解析由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝a 1＋a 1q ＝3，S 4＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝3，q 2＝4，那么S 6＝S 4＋(a 1＋a 1q )q 4＝63. 答案 637.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________.解析第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为200.4＝50，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为18－6＝12.答案128.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________.解析设正方体棱长为a，则6a2＝18，∴a2＝3，a＝ 3.外接球直径为2R＝3a＝3，∴R＝32，∴V＝43πR3＝43π×278＝92π.答案9 2π9.过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.解析最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d ＝（3－2）2＋（1－2）2＝2，所以最短弦长为2r2－d2＝222－（2）2＝2 2.答案2 210.设a＝2 0190.1，b＝ln 2 0202 018，c＝log122 0192 018，则a，b，c的大小关系是________.解析由指数函数、对数函数图象可知a＞1，0＜b＜1，c＜0，所以a＞b＞c. 答案a＞b＞c11.在△ABC中，已知BC＝1，B＝π3，且△ABC的面积为3，则AC的长为________.解析由于△ABC 的面积S ＝12×AB ×BC ×sin B ＝12×AB ×1×32＝3，所以AB ＝4.由余弦定理得AC 2＝1＋16－2×1×4×cos π3＝13，所以AC ＝13，即AC 的长为13. 答案1312.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x ＞0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________.解析方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1，作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.答案 513.设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足P A ＝PB ，则该双曲线的离心率是________. 解析联立直线方程x －3y ＋m ＝0与双曲线渐近线方程y ＝±ba x 可得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则k AB＝13，由P A ＝PB ，可得线段AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a＋bm 3b ＋a2－0am 3b －a＋－am 3b ＋a 2－m＝－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝a 2＋b 2a 2＝52.答案 5214.若a ，b 均为正实数，且a ＋b －a ≤m b 恒成立，则实数m 的最小值是________.解析由于a ，b 均为正实数，且a ＋b －a ≤m b ，显然有m ＞0，b ≥a ，两边平方得a ＋b －a ＋2a （b －a ）≤m 2b ，即b ＋2a （b －a ）≤m 2b ，于是m 2≥1＋2a b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，令a b＝t (0＜t ≤1)，则m 2≥1＋2t －t 2在0＜t ≤1时恒成立，即m 2≥1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，从而m 2≥2，故m 的最小值为 2. 答案2限时练(二)(建议用时：45分钟)1.集合M ＝{x |lg x ＞0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝________.解析 M ＝{x |lg x ＞0}＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x 2≤4}＝{x |－2≤x ≤2}，M ∩N ＝{x |1＜x ≤2}.答案 {x |1＜x ≤2} 2.设i 为虚数单位，则复数3＋4ii ＝________.解析依题意：3＋4i i ＝（3＋4i ）ii 2＝4－3i.答案 4－3i3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.解析因为样本容量n ＝60，样本总体N ＝200＋400＋300＋100＝1 000，所以抽取比例为n N ＝601000＝350.因此应从丙种型号的产品中抽取300×350＝18(件). 答案 184.执行下图所示的流程图，输出的S 为________.解析根据流程图得执行的结果是：S ＝－1＋(－1)22＋(－1)33＋(－1)44＋…＋ (－1)2 0162 016＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－2 015＋2 016)＝1 008. 答案 1 0085.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的概率为________.解析 ∵试验发生的总事件数是6×6，而点P 落在圆x 2＋y 2＝16内包括(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共8种，由古典概型公式得到P ＝86×6＝29. 答案 296.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数y ＝sin x ＋3cos x 的值域为________.解析因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1y ∈(1，2]，所以值域为(1，2]. 答案 (1，2] 7.若命题“x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的范围是________.解析由题意：x 2＋(a －1)x ＋1＞0恒成立.则对应方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实数根.则Δ＝(a －1)2－4＜0，即a 2－2a －3＜0，所以－1＜a ＜3. 答案 (－1，3)8.已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，a·b ＝85，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝________.解析因为a·b ＝2cos x ＋2sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝85，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝45.答案 459.已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2＝________. 解析由余弦定理，a 2＋c 2－2ac cos B ＝b 2，即a 2＋c 2＋ac ＝b 2，从而a 2＋ac ＋c 2－b 2＝0. 答案 010.在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和.若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝________. 解析因为{a n }是正项等比数列，所以a 2a 6＝a 24＝8a 4＝22＝a 1q 3q ＝2，所以S 8＝1－（2）81－2＝15(2＋1).答案 15(2＋1) 11.曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________. 解析 y ′＝2（x ＋2）2，所以k ＝y ′|x ＝－1＝2，故切线方程为y ＝2x ＋1.答案 y ＝2x ＋112.若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为________.解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6，又a >0，b >0，则t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号且经检验，此时f (x )有极值. 答案 913.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则离心率e 的取值范围为________.解析如图所示，∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则应有b a ＞2，∴b 2a 2＞4，c 2－a 2a 2＞4，解得e 2＝c 2a 2＞5，e ＞ 5.答案 (5，＋∞)14.设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立.如果实数m ，n 满足不等式组⎩⎨⎧m ＞3，f （m 2－6m ＋23）＋f （n 2－8n ）＜0，那么m 2＋n 2的取值范围是________. 解析由f (1－x )＋f (1＋x )＝0得，f (n 2－8n )＝f [(n 2－8n －1)＋1]＝－f [1－(n 2－8n －1)]＝－f (－n 2＋8n ＋2)，所以f (m 2－6m ＋23)＜－f (n 2－8n )＝f (－n 2＋8n ＋2)，又f (x )是定义在R 上的增函数，所以m 2－6m ＋23＜－n 2＋8n ＋2，即为(m －3)2＋(n －4)2＜4，且m ＞3，所以(m ，n )在以(3，4)为圆心，半径为2的右半个圆内(不含圆上)，当(m ，n )为点(3，2)时，m 2＋n 2＝13，圆心(3，4)到原点的距离为5，此时距离原点最远的点(m ，n )满足m 2＋n 2＝(5＋2)2＝49，所以m 2＋n 2的取值范围是(13，49). 答案 (13，49)限时练(三)(建议用时：45分钟)1.已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ≤0}，则A ∩B ＝________. 解析 ∵B ＝{x |0≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}. 答案 {x |0≤x ≤1}2.复数5（1＋4i ）2i （1＋2i ）＝________.解析5（1＋4i ）2i （1＋2i ）＝5（－15＋8i ）－2＋i＝5（－15＋8i ）（－2－i ）（－2＋i ）（－2－i ）＝5（38－i ）5＝38－i. 答案 38－i3.某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90，则90～100分数段的人数为________.解析高三年级总人数为：900.05＝1 800；90～100分数段人数的频率为0.45；分数段的人数为1 800×0.45＝810. 答案 8104.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.解析由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 35.将一枚骰子(一种六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )落在区域|x －2|＋|y －2|≤2的概率是________.解析利用古典概型的概率公式求解.将一枚骰子先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )共有36个，其中落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，2)，共11个，故所求概率是1136. 答案 11366.已知向量a ＝(3，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，若a ＋λb 与a 垂直，则λ等于________.解析根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解.由条件可得a ＋λb ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－λ，1＋12λ，所以(a ＋λb )⊥a －λ)＋1＋12λ＝λ＝4.答案 47.已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy 的最小值为________.解析利用“1”的代换，结合基本不等式求解.因为x ，y 为正数，且x ＋2y ＝2，x ＋8yxy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ＝x 2y ＋8yx ＋5≥2 x 2y ·8y x ＋5＝9，当且仅当x ＝4y ＝43时，等号成立，所以x ＋8yxy 的最小值为9. 答案 98.设α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ；③如果α∥β，mα，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________(填写所有正确命题的序号).解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.答案②③④9.设某流程图如图所示，该算法运行后输出的k的值是________.解析阅读算法中流程图知：运算规则是S＝S×k2故第一次进入循环体后k＝3，S＝1×32＝9；第二次进入循环体后k＝5，S＝9×52＝225＞100.退出循环，其输出结果k＝5.故答案为：5.答案 510.已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＋a2＋a5＞13，且a1，a2，a5成等比数列，则a1的取值范围为________.解析利用a1，a2，a5成等比数列确定公差与首项的关系，再解不等式即可.设等差数列{a n}的公差为d，则d≠0，所以a1，a2，a5成等比数列a22＝a1a5a1＋d)2＝a1(a1＋4d d＝2a1，代入不等式a1＋a2＋a5＝a1＋a1＋d＋a1＋4d＞13，解得a1＞1.答案(1，＋∞)11.若P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 3a x ，x 2a 2－y 2b 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－324a ，y ＝－24b ，又PF 1垂直于x 轴，所以324a ＝c ，即离心率为e ＝c a ＝324. 答案32412.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________. 解析由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝32，又C 为三角形的内角，所以C ＝60°或120°.若C ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝84，此时，最大边是b ，故最大角为B ，其余弦值cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3221，正弦值sin B ＝53221，正切值tan B ＝533；若C ＝120°，此时，C 为最大角，其正切值为tan 120°＝－ 3. 答案533或－ 313.若存在区间M ＝[a ，b ](a ＜b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的一个“稳定区间”.给出下列四个函数：①y ＝e x ，x ∈R ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝cos πx 2；④f (x )＝ln x ＋1.其中存在稳定区间的函数有________(写出所有正确命题的序号).解析根据新定义逐一判断.因为函数y ＝e x ，x ∈R 递增，且e x ＞x ，x ∈R 恒成立，函数y ＝e x ，x ∈R 不存在“稳定区间”，故①不存在“稳定区间”；函数f (x )＝x 3存在稳定区间[－1，0]或[0，1]或[－1，1]，故②存在“稳定区间”；函数f (x )＝cos πx2存在稳定区间[0，1]，故③存在“稳定区间”；函数f (x )＝ln x ＋1在(0，＋∞)上递增，且ln x ＋1≤x ，x ＞0恒成立，函数f (x )＝ln x ＋1在定义域上不存在“稳定区间”，故④不存在“稳定区间”. 答案 ②③14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋2，x <1，x ＋2x ，x ≥1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R上恒成立，则a 的取值范围是________.解析作出f (x )的图象如图所示，当y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 的图象经过点(0，2)时，可知a ＝±2.当y ＝x 2＋a 的图象与y ＝x ＋2x 的图象相切时，由x 2＋a ＝x ＋2x ，得x 2－2ax ＋4＝0，由Δ＝0，并结合图象可得a ＝2.要使f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，只需f (0)≥|a |，当a ≤0时，需满足－a ≤2，即－2≤a ≤0；当a >0时，需满足a ≤2，所以－2≤a ≤2. 答案 [－2，2]限时练(四)(建议用时：45分钟)1.已知集合M ＝{1，2，3}，N ＝{2，3，4}，则M ∩N ＝________. 解析 {1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}.答案 {2，3}2.已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 为虚数单位)，则z 的模为________. 解析由(z －2)i ＝1＋i ，得z ＝1＋ii ＋2＝3－i ，所以|z |＝10. 答案103.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________.解析平均数x －＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18，故方差s 2＝16[(－4)2＋(－1)2＋02＋02＋22＋32]＝5. 答案 54.执行下面的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝________.解析开始S ＝0，K ＝1，a ＝－1执行循环：第一次：S ＝0－1＝－1，a ＝1，K ＝2；第二次：S ＝－1＋2＝1，a ＝－1，K ＝3；第三次：S ＝1－3＝－2，a ＝1，K ＝4；第四次：S ＝－2＋4＝2，a ＝－1，K ＝5；第五次：S ＝2－5＝－3，a ＝1，K ＝6；第六次：S ＝－3＋6＝3，a ＝－1，K ＝7；结束循环，输出S ＝3. 答案 35.已知m ∈{－1，0，1}，n ∈{－1，1}，若随机选取m ，n ，则直线mx ＋ny ＋1＝0恰好不经过第二象限的概率是________.解析依题意，注意到可形成数组(m ，n )共有6组，其中相应直线mx ＋ny ＋1＝0恰好不经过第二象限的数组(m ，n )共有2组(它们是(0，1)与(－1，1))，因此所求的概率是26＝13. 答案 136.在△ABC 中，BD →＝2DC →，若AD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1λ2的值为________.解析利用向量的运算法则求解.因为AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，所以λ1＝13，λ2＝23，故λ1λ2＝29. 答案 297.已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围是________.解析作出函数图象(图略)可知若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，即为a 2＋2a －1＝－(b 2＋2b －1)，整理得(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝4，设⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋2cos θ，b ＝－1＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4，所以ab ＋a ＋b ＝－1＋2sin 2θ∈(－1，1).答案 (－1，1)8.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝8，B ＝60°，C ＝45°，则b ＝________.解析由已知得sin A ＝sin(B ＋C )＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24，又a ＝8，∴b ＝a sin Bsin A ＝8×326＋24＝1636＋2＝122－4 6.答案 122－4 69.在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________.解析圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0，0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，弦AB 的长AB ＝2r 2－d 2＝2 3.答案 2 310.已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2)，且当n ＝1时其图象过点(2，8)，则a 7的值为________.解析因为y ＝a n x 2在x ＝1处的切线斜率为2a n ，所以2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，即a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，又8＝4a 1a 1＝2，所以a 7＝a 1＋6×12＝5.答案 511.设l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中： ①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β； ②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β； ③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ；④如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角互余. 假命题是________(填序号).解析如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β，即命题①正确；如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β，即命题②正确；如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ，即命题③正确；如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角不一定互余，即命题④不正确. 答案 ④12.如图，它是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈(0，π))图象的一部分，则f (0)的值为________.解析由函数图象得A ＝3，2πω＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝π4，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，又因为(3，0)为函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ的一个下降零点，所以π4×3＋φ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )，解得φ＝π4＋2k π(k ∈Z )，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝π4，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，则f (0)＝3sin π4＝322.答案32213.若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________. 解析利用二次函数图象求解.由题意可得(f (x )max －f (x )min )min ≥8.f (x )min 越大，所以当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，2t ＝－20a ，即t ＝－10a 时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，为f (t ＋1)－f (t )＝a ≥8，所以实数a 的最小值为8. 答案 814.设f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是________.解析原问题等价于方程|ln x |＝ax 在区间(0，4)上有三个根，令h (x )＝ln x h ′(x )＝1x ，由h (x )在(x 0，ln x 0)处切线y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)过原点得x 0＝e ，即曲线h (x )过原点的切线斜率为1e ，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为ln 22，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e .答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e限时练(五)(建议用时：45分钟)1.设全集U ＝{n |1≤n ≤10，n ∈N *}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.解析由题意，得U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故∁U A ＝{4，6，7，9，10}，所以(∁U A )∩B ＝{7，9}. 答案 {7，9}2.不等式4x －2≤x －2的解集是________.解析 ①当x －2＞0，即x ＞2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4； ②当x －2＜0，即x ＜2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x ＜2. 答案 [0，2)∪[4，＋∞)3.已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的________条件.解析若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，所以a ＝－1或a ＝2，因此“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件. 答案充分不必要4.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调增区间是________.解析因为f (x )＝(x －3)e x ，则f ′(x )＝e x (x －2)，令f ′(x )＞0，得x ＞2，所以f (x )的单调增区间为(2，＋∞). 答案 (2，＋∞)5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则角B ＝________.解析由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32，又因为A ＝π6，且b ＞a ，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π3.答案 π3或2π36.如图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是________.解析因为x ＝116<1，所以y ＝2＋log 2116＝2＋log 22－4＝2－4＝－2. 答案－2 7.若命题“x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.解析当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上－8≤a ≤0. 答案 [－8，0]8.从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a ，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为________.解析由题意可知m ＝(a ，b )有(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况.因为m ⊥n ，即m·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ，满足条件的有(3，3)，(5，5)，共2个.故所求的概率为16. 答案 169.已知正四棱锥底面边长为42，体积为32，则此正四棱锥的侧棱长为________. 解析设正四棱锥的高为h ，底面正方形的边长为a ，则a ＝42，V ＝13a 2h ＝32，解得h ＝3，所以此正四棱锥的侧棱长为h 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2a 22＝5. 答案 510.已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，且圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________.解析 C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1，1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案 (x －2)2＋(y ＋2)2＝111.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，7个剩余分数的方差为________.解析由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4，所以s 2＝17×[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.答案 36712.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n ＞0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________.解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由a n ＞0得q ＞0，S n ＞0.又S 6－2S 3＝(a 4＋a 5＋a 6)－(a 1＋a 2＋a 3)＝S 3q 3－S 3＝5，则S 3＝5q 3－1，由S 3＞0，得q 3＞1，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝S 3q 6＝5q 6q 3－1＝51q 3－1q6，令1q 3＝t ，t ∈(0，1)，则1q 3－1q 6＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，所以当t ＝12，即q 3＝2时，1q 3－1q 6取得最大值14，此时S 9－S 6取得最小值20. 答案 2013.已知过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点且垂直于x 轴的弦的长为a 2，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为________.解析将x ＝c 代入椭圆方程，得c 2a 2＋y 2b 2＝1，即y 2b 2＝b 2a 2，解得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a ＝a 2，即a 2＝4b 2.设双曲线焦距为2c ′，由c ′2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以其离心率为e ＝c ′a ＝5b 2b ＝52. 答案 5214.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________.解析函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的图象如图.又当a≥－1时，f(x)取得最大值2.当a＜－1时，y＝－2x在x＞a时无最大值.且－2a＞2.所以a＜－1.答案(－∞，－1)限时练(六)(建议用时：45分钟)1.设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x＜0}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩∁U B＝________. 解析∁U B＝{x|x≤1}，A＝{x|0＜x＜2}，故A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}.答案{x|0＜x≤1}2.复数(1＋2i)2的共轭复数是________.解析(1＋2i)2＝1＋4i－4＝－3＋4i，其共轭复数为－3－4i.答案－3－4i3.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3·a9＝2a25，a2＝1，则a1＝________.解析利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项.设等比数列{a n}的公比为q(q＞0)，则a3·a9＝2a25a23·q6＝2(a3q2)2q＝2，又a2＝1，所以a1＝2 2.答案2 24.从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如下表，则这10人成绩的方差为________.解析考查统计初步知识，先求平均数，x－＝110(5×3＋4×1＋3×1＋2×3＋1×2)＝3，再根据方差公式s 2＝1n ∑n i ＝1 (x i －x －)2代入数据，s 2＝110[3×(5－3)2＋(4－3)2＋(3－3)2＋3×(2－3)2＋2×(1－3)2]＝125. 答案 1255.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________.解析利用三角函数图象求出解析式，再求解函数值，由三角函数图象可得A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2.又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2，0<φ<π，解得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.答案 16.在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1，0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中A 点在第一象限，且BM→＝2MA →，则直线l 的方程为________. 解析设A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，M (1，0).由BM →＝2MA →，得B (3－2x 0，－2y 0).所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝5，（3－2x 0）2＋（－2y 0）2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝1，则A (2，1)，故直线l 的方程为y ＝x －1. 答案 y ＝x －17.函数y ＝x 2＋2x 2＋1的最小值为________.解析 y ＝x 2＋1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时，y 取得最小值2. 答案 28.下图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝________.解析当a ＝5，P ＝25＞24，S ＝25；a ＝6，P ＝24＜25，输出的S ＝25. 答案 259.表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________. 解析建立目标函数后利用导数求解.设圆柱的底面圆半径为r ，高为l ，则表面积为2πr 2＋2πrl ＝12π，则l ＝6－r 2r ，r ∈(0，6)，体积为V ＝πr 2l ＝πr 2·6－r2r ＝π(6r－r 3)，r ∈(0，6)，所以V ′＝π(6－3r 2)，由V ′＝0解得r ＝2，且r ∈(0，2)时V ′>0，r ∈(2，6)时V ′<0，所以r ＝2时，该圆柱的体积取得最大值，此时高l ＝42＝22，底面半径与高的比值为r l ＝12. 答案 1210.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5，△ABC 的面积为53，则c ＝________.解析由三角形面积公式可以求出sin C ，得到锐角C 的值，借助余弦定理求出c边，最后利用正弦定理求sin A .由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝32，又C 为锐角三角形的内角，所以C ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝21，即c ＝21. 答案2111.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116，则a ，b ，c 的大小关系是________.解析由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a ＞b . 答案 c ＞a ＞b12.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）＋1，x ＞0，f (x )＝x 的根从小到大构成数列{a n }，则a 2 019＝________.解析利用函数图象得数列通项公式，再求第2 019项.作出函数f (x )的图象如图，由图象可知方程f (x )＝x 的根依次是0，1，2，3，…，所以a n ＝n －1，故a 2 019＝ 2 019－1＝2 018.答案 2 01813.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点.若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为________.解析利用三角形面积建立基本量的关系求解.抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1，双曲线的渐近线y ＝±b a x 与x ＝－1的交点坐标分别是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－b a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，b a .又△AOB 的面积为2，所以12×2ba ×1＝2，即b ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝4a 2，c ＝5a ，所以离心率e ＝ca ＝ 5. 答案514.如图，Ox ，Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，e 1，e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝x e 1＋y e 2，则将有序实数对(x ，y )叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标.在坐标系xOy 中，以原点为圆心的单位圆的方程为________.解析由题意可得e 1·e 2＝cos 120°＝－12.设圆O 上任意一点Q (x ，y )，则OQ →＝x e 1＋y e 2，|OQ →|＝1，即x 2＋2xy ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋y 2＝1，故所求圆的方程为x 2－xy ＋y 2－1＝0. 答案 x 2－xy ＋y 2－1＝0限时练(七)(建议用时：45分钟)1.已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________. 解析 z ＝(1＋i)(1＋2i)＝－1＋3i ，所以|z |＝（－1）2＋32＝10.答案102.在区间[20，80]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50，75]内的概率为________.解析选择区间长度度量，则所求概率为75－5080－20＝512.答案 5123.已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a·b )b ，则|c |＝________. 解析由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，所以c ＝a －(a·b )b ＝a ＋6b ＝(2，4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，所以|c |＝8 2. 答案 8 24.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ∩A ＝B ，则实数m 的取值范围是________. 解析当B ＝时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠时，若B ∩A ＝B ，则B A ，如图所示.则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 答案 (－∞，4]5.某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资收入，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要采用分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则(30，35](单位：百元)月工资收入段应抽取________人.解析月工资收入落在(30，35](单位：百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，则0.15÷5＝0.03，所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01＝2∶4∶5∶5∶3∶1，所以(30，35](单位：百元)月工资收入段应抽取320×100＝15(人).答案156.运行如图所示的伪代码，其结果为________.解析该伪代码输出的S＝1＋1＋3＋5＋7＝17. 答案177.在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝π4，cos B＝35，则边c＝________.解析由题意可得sin B＝45，sin C＝sin(A＋B)＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋B＝sin π4cos B＋cosπ4sin B＝22×35＋22×45＝7210.在△ABC中，由正弦定理可得asin A＝csin C，则c＝a sin Csin A＝5×721022＝7.答案78.已知数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.解析法一因为数列{a n}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列. 又a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5是常数列，故q＝1.法二因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1. 答案 19.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，E 为棱CC 1的中点，则三棱锥A 1－B 1C 1E 的体积为________.解析由题意得S △A 1B 1C 1＝14×3×22＝3，又因为E 为棱CC 1的中点，所以EC 1＝1，所以V 三棱锥A 1－B 1C 1E ＝V 三棱锥E －A 1B 1C 1＝13EC 1·S △A 1B 1C 1＝33. 答案 3310.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点P 使得PF 1＋PF 2＝3b ，PF 1·PF 2＝94ab ，则该双曲线的离心率为________. 解析由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ，又PF 1＋PF 2＝3b ，所以(PF 1＋PF 2)2－(PF 1－PF 2)2＝9b 2－4a 2，即4PF 1·PF 2＝9b 2－4a 2，又4PF 1·PF 2＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －4＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53. 答案 5311.已知正数x ，y 满足xy ＝x －yx ＋3y，则y 的最大值为________. 解析因为x ，y 为正数，所以xy ＝x －y x ＋3yxy 2＋(x 2＋1)y －x ＝y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x y－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x y ＝1－3y 2，所以1－3y 2y ＝x ＋1x ≥2，整理得3y 2＋2y －1≤0，解得0<y ≤13，故y 的最大值为13. 答案 1312.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.解析由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，函数图象如图所示，其递减区间是[0，1).答案 [0，1)13.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF→＝－23，则λ＋μ＝________.解析如图所示，以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy ，不妨设A (0，－1)，B (－3，0)，C (0，1)，D (3，0)，由题意得CE →＝(1－λ)CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF→＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1).因为CE →·CF →＝－23，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)·(μ－1)＝－23，即(λ－1)(μ－1)＝13.因为AE→＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1)，AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎨⎧（λ－1）（μ－1）＝13，（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56.答案 5614.设A (1，0)，B (0，1)，直线l ：y ＝ax ，圆C ：(x －a )2＋y 2＝1.若圆C 既与线段AB 有公共点，又与直线l 有公共点，则实数a 的取值范围是________. 解析由于圆与直线l 有交点，则圆心到直线的距离小于等于半径，即有a 21＋a2≤1，所以a 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋52；由于圆C 与线段AB 相交，则a ≤2且|a －1|2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2≤a ≤2＋1，a ≤2－2≤a ≤2.综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，1＋52. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，1＋52 限时练(八)(建议用时：45分钟)1.已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2＋3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________. 解析由A ∩B ＝{1}知，1∈B ，又a 2＋3≥3，则a ＝1. 答案 12.某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下图的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________小时.解析一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生的比，即0×7＋0.5×14＋1.0×11＋1.5×11＋2.0×750＝0.97(小时).答案0.973.若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位)，则z＝________.解析∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴z＝－3＋4i1＋2i＝（－3＋4i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝5＋10i5＝1＋2i.答案1＋2i4.下图是某算法的流程图，则算法运行后输出的结果是________.解析由框图的顺序，s＝0，n＝1，s＝(s＋n)n＝(0＋1)×1＝1，n＝n＋1＝2，依次循环s＝(1＋2)×2＝6，n＝3，注意此刻3＞3仍然否，所以还要循环一次s＝(6＋3)×3＝27，n＝4，此刻输出s＝27.答案275.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________.解析从袋子中随机取2个小球共有10种不同的方法，其中取出的小球标注的数字之和为3或6的方法共有3种，因此所求的概率等于310. 答案 3106.在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f (x )＝x 2＋4x (x >0)的图象上任意一点，过M 点向直线y ＝x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA →·MB →＝________.解析由题意可得∠AMB ＝135°.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x (x >0)，则|MA →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 2＝22x ，所以MA →·MB →＝|MA →|·|MB →|cos 135°＝22x ·x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2. 答案－27.已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.解析法一由题意知，AO →＝(2，0)，令P (cos α，sin α)，则AP →＝(cos α＋2，sin α). AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 法二由题意知，AO→＝(2，0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO →·AP →＝(2，0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 答案 68.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝________.解析由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝154或－154，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝154或－154. 答案154或－1549.已知四棱锥V －ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且VA ＝4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是________. 解析可证四个侧面都是直角三角形，其面积S ＝2×12×3×4＋2×12×3×5＝27. 答案 2710.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________.解析由焦距为10知，c ＝5，即a 2＋b 2＝25，根据双曲线方程可知，渐近线方程为y ＝±b a x ，代入点P 的坐标得，a ＝2b ，联立方程组可解得a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线方程x 220－y 25＝1. 答案 x 220－y 25＝111.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－3)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为________.解析由导数的几何意义可知，f ′(x 0)＝(x 0－3)(x 0＋1)2<0，解得x 0<3，即该函数的单调递减区间是(－∞，3). 答案 (－∞，3)12.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则a ＝________.解析由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，所以c ＝b sin Csin B ＝25×5522＝2 2.由c ＜b 得C＜B ，故C 为锐角，所以cos C ＝255，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝31010，由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，所以a ＝b sin A sin B ＝25×3101022＝6.答案 613.已知函数f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)有且仅有一个零点x 0，若x 0＞0，则a 的取值范围是________.解析已知f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)，则f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， ①若f ′(x )≥0恒成立，则a ＝0，这与a ＞0矛盾. ②若f ′(x )≤0恒成立，显然不可能.③若f ′(x )＝0有两个根a ，－a ，而a ＞0，则f (x )在区间(－∞，－a )上单调递增，在区间(－a ，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增，故f (－a )＜0，即2a 2－6a ＋3＜0，解得3－32＜a ＜3＋32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，3＋3214.已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________.解析依题意得S n ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n .当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43；当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，1.由函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上是增函数得S n －1S n 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1772，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，712，因此有A ≤－1772，B ≥712，B －A ≥712＋1772＝5972，即B －A 的最小值是5972.答案 5972。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做压轴大题突破练(一)

压轴大题突破练压轴大题突破练(一) 直线与圆锥曲线(1)1.在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)，点B 在直线l ：x ＝－1上运动，过点B 与l 垂直的直线和线段AB 的垂直平分线相交于点M . (1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过(1)中轨迹E 上的点P (1，2)作两条直线分别与轨迹E 相交于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)两点.试探究：当直线PC ，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 解 (1)依题意，得|MA |＝|MB |.∴动点M 的轨迹E 是以A (1，0)为焦点，直线l ：x ＝－1为准线的抛物线， ∴动点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .(2)∵P (1，2)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)在抛物线y 2＝4x 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ② 由①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)， ∴直线CD 的斜率为k CD ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.③设直线PC 的斜率为k ，则PD 的斜率为－k ，则直线PC 方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx －k ＋2，得ky 2－4y －4k ＋8＝0. 由2＋y 1＝4k ，求得y 1＝4k －2，同理可求得y 2＝－4k－2.∴k CD ＝4y 1＋y 2＝4(4k －2)＋(－4k －2)＝－1，∴直线CD 的斜率为定值－1 .2.如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，已知点B 在直线l ：y ＝－1上，且椭圆的离心率e ＝32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN . (1)解依题意，得b ＝1.因为e ＝c a ＝32，又a 2－c 2＝b 2，所以a 2＝4.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明设点P 的坐标为(x 0，y 0)，x 0≠0，因为P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以x 204＋y 20＝1. 因为PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，所以点Q 坐标为(0，y 0). 因为M 为线段PQ 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫x 02，y 0.又点A 的坐标为(0，1)，可得直线AM 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1.因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝⎛⎭⎫x 01－y 0，－1.因为点B 的坐标为(0，－1)，点N 为线段BC 的中点，所以N ⎝⎛⎭⎫x 02(1－y 0)，－1.所以向量NM →＝⎝⎛⎭⎫x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1.又OM →＝⎝⎛⎭⎫x 02，y 0，所以OM →·NM →＝x 02⎣⎡⎦⎤x 02－x 02(1－y 0)＋y 0(y 0＋1)＝x 204－x 204(1－y 0)＋y 20＋y 0＝⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20－x 204(1－y 0)＋y 0＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0. 所以OM ⊥MN .3.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝22.设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相切于点P 且交直线x ＝2于点N ，△PF 1F 2的周长为2(2＋1). (1)求椭圆E 的方程；(2)求两焦点F 1、F 2到切线l 的距离之积； (3)求证：以PN 为直径的圆恒过点F 2. (1)解设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，2a ＋2c ＝2(2＋1)，解得a ＝2，c ＝1. ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)解由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0.设直线l 与椭圆E 相切于点P (x 0，y 0)，则Δ＝0，化简2k 2＋1＝m 2，焦点F 1，F 2到直线l 的距离d 1，d 2分别为d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|k ＋m |k 2＋1，则d 1·d 2＝m 2－k 2k 2＋1＝k 2＋1k 2＋1＝1.(3)证明 ∵x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2km ，∴y 0＝kx 0＋m ＝－2k 2m ＋m ＝m 2－2k 2m ＝1m ，∴P (－2k m ，1m).又联立y ＝kx ＋m 与x ＝2，得到N (2，2k ＋m )， PF 2→＝(1＋2k m ，－1m )，F 2N →＝(1，2k ＋m ).∴PF 2→·F 2N →＝(1＋2k m ，－1m )·(1，2k ＋m )＝1＋2k m －1m (2k ＋m )＝1＋2k m －2km －1＝0.∴PF 2→⊥F 2N →，∴以PN 为直径的圆恒过点F 2.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，过点M (2，0)的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点. (1)解由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22，得a 2＝2c 2＝2a 2－2b 2，故a 2＝2. 故所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)解设l ：y ＝k (x －2)，与椭圆C 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 由Δ>0得0≤k 2<12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－2)(x 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2＝10k 2－21＋2k 2＝5－71＋2k 2.∵0≤k 2<12，∴72<71＋2k 2≤7，故所求范围是[－2，32).(3)证明由对称性可知N (x 2，－y 2)，定点在x 轴上，直线AN ：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1).令y ＝0得：x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)y 1＋y 2＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝2kx 1x 2－2k (x 1＋x 2)k (x 1＋x 2－4)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)x 1＋x 2－4＝16k 2－41＋2k 2－16k 21＋2k 28k 21＋2k 2－4＝1，故直线AN 恒过定点(1，0).合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

2024-2025学年江苏省“决胜新高考”高三(上)12月联考数学试卷(含答案)

2024-2025学年江苏省“决胜新高考”高三（上）12月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ={x|x 2−2x −3<0}，N ={x|x 2−a <0}，若集合M ∩N =N ，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,1]B. (−∞,9]C. [1,9]D. [1,3]2.“数列{log 3a n }是等差数列”是“数列{a n }为等比数列的( )条件 A. 充分不必要B. 必要不充分C. 既不充分也不必要D. 充要3.高路公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度(单位：km/ℎ)并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是( )A. 100辆车的车速的中位数小于100km/ℎB. 100辆车中车速低于110km/ℎ的车辆所占比例超过80%C. 100辆车的车速的极差介于40km/ℎ至60km/ℎ之间D. 100辆车的车速的平均值介于80km/ℎ至100km/ℎ之间4.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 7=S 12，a 5=5，则a 1=( ) A. 10B. 9C. −9D. −105.已知正四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1，AB =4，A 1B 1=2，二面角A 1−BC −A 的正切值为2，则正四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积为( ) A.563B. 56C. 12√ 5+20D. 12√ 56.已知P 为抛物线C:y 2=4x 上的一动点，过P 作y 轴的垂线，垂足为B ，点Q 是圆A:x 2+(y −4√ 3)2=1上的一动点，则|PQ|+|PB|的最小值为( ) A. 8B. 7C. 6D. 57.已知函数f(x)={ln(a −x),x <0,2−x,x ≥0的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,e)B. (−∞,e 2)C. [0,e)D. [0,e 2)8.在平面直角坐标系xOy 内，将椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)绕原点O 旋转得到椭圆C 1:x 2+y 2−xy =6，点P(m,n)是椭圆C 1上任意一点，则下列说法错误的是( )A. 椭圆C 1的对称轴为y =±xB. m +n 的最大值为2√ 6C. 椭圆C 1的离心率为√ 22D. n 的最大值为2√ 2二、多选题：本题共3小题，共18分。

江苏专用2024年高考数学一轮复习考点33基本不等式必刷题含解析

考点33 基本不等式1．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2025届高三年级第一次质量检测）已知，，且，则的最大值为_________．【答案】【解析】化为，即，解得：，所以，的最大值为。

故答案为：2．（江苏省如皋市2025届高三教学质量调研三）已知，若，满意，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由，且，，所以，即，所以，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为3．（江苏省苏北四市2025届高三第一学期期末考试考前模拟）已知正实数满意，则的最小值为____．【答案】【解析】正实数x，y满意1，则：x+y＝xy，则：4x+3y，则：437+4，故的最小值为．故答案为：.4．（江苏省南京市六校联合体2025届高三12月联考）设直线是曲线的切线，则直线的斜率的最小值是_____．【答案】4 【解析】的定义域为（0，+∞）y'=4x+，当且仅当x=时取等号·即直线的斜率的最小值是4 故答案为：45．（江苏省徐州市2025届高三12月月考）已知正实数x ，y 满意141223x y x y+=++，则x y +的最小值为______．【答案】94【解析】∵x ＞0，y ＞0，∴2x+y ＞0，2x+3y ＞0，x+y ＞0，12x y ++423x y +=1，x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦，那么：x+y=（x+y ）×1=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦×（12x y ++423x y +） =14（1+()42234232x y x y x y x y ++++++）=()522342342x y x y x y x y ++++++ ∵()2231223424x y x y x y x y +++≥++，当且仅当2x=y=32时取等号．所以：x+y≥59144+=．故x+y 的最小值为94．故答案为：9 46．（江苏省清江中学2025届高三其次次教学质量调研）在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.【答案】【解析】由题得,所以,所以因为所以故答案为：7．（江苏省苏锡常镇2025届高三3月教学状况调研一）已知，，且，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，当且仅当时取等号.因此的最小值是8．（江苏省苏州市2025届高三调研测试）已知正实数 a，b，c满意，，则的取值范围是_____．【答案】【解析】由=1，可得，由，得，或，，，，故答案为.9．（江苏省盐城市东台中学2025届高三学业质量监测）已知，，且，则的最小值为____．【答案】．【解析】由，，得，当且仅当时等号成立，又，则，所以x+y的最小值为．故答案为：10．（江苏省南通市2025届高三最终一卷）在斜△ABC中，若，则的最大值是____．【答案】.【解析】在斜中，，，又，，所以，与同号，又在中，，所以，当且仅当时“=”成立，的最大值为，故答案为.11．（）已知,且满意,则的最大值为_______【答案】【解析】依据题意，，又，，且，则，则有，即得最大值为.故答案为：.12．（江苏省盐城中学2025届高三考前热身2）已知正实数，满意，则的最小值为__________.【答案】.【解析】依据题意，1，又，则，则3a+2b[5（a+b）+（a﹣b）]×[][6]；记，,故在上单调递增，即最小值为6∴3a+2b[6]的最小值为6故答案为：6．13．（2024年全国一般高等学校招生统一考试江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.14．（江苏省扬州树人学校2025届高三模拟考试四）已知函数（，为正实数）只有一个零点，则的最小值为__________．【答案】.【解析】∵函数（，为正实数）只有一个零点，∴，∴．∴．令，则，∴，当且仅当，即时等号成立，此时．∴的最小值为.15．（江苏省南京市2025届高三第三次模拟考试）若正数成等差数列，则的最小值为_________．【答案】【解析】因为正数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.所以令5a+c=x,2a+c=y，则所以当且仅当时取等号.故答案为：16．（江苏省苏锡常镇四市2024-2025学年度高三教学状况调研二）已知为正实数，且，则的最小值为____．【答案】.【解析】由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当ab=1时取等.所以即的最小值为.故答案为：17．（江苏省苏北六市2025届高三其次次调研测试）已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为_______．【答案】8 【解析】()4abc a b =+()4a b c ab+∴=()444442448a b a b c a b a b a b abb a a b+++=++=+++≥⋅⋅=+= 18．（江苏省南通、徐州、扬州等六市2025届高三其次次调研二模）已知a b c ，，均为正数，且()4abc a b =+，则a b c ++的最小值为____．【答案】8【解析】∵a b c ，，均为正数，且()4abc a b =+∴()4a b c ab+=∴()444448a b a b c a b a b a b abb a a b+++=++=+++≥⨯⨯=，当且仅当2a =， 2b =时取等号∴a b c ++的最小值为8 故答案为8.19．（江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2025届高三上学期第一次学情监测）已知(),,0,a b c ∈+∞，则()222252a b cbc ac++++的最小值为__________．【答案】4【解析】由均值不等式的结论有：2222222145555a b c a c b c ⎛⎫⎛⎫++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222522ac bc a b c +≤++，当且仅当2,55c c a b ==时等号成立，则()()()()()222222222222222225525425522a b ca b ca b c ac bca b c a b c ++++++++≥≥=+++++综上可得：()222252a b cbc ac++++的最小值为4.20．（江苏省兴化市楚水试验学校、黄桥中学、口岸中学三校2025届高三12月联考）已知函数()33xxf x e e x x -=-++，若整数a,b 满意()()2110f a f b -+-=，则22211a b a b+++的最小值为___．【答案】94【解析】因为函数()33xxf x e ex x -=-++在R 上单调递增，且为奇函数，又()()2110f a f b -+-=即()()211f a f b -=--所以211b a -=-即 22a b +=，又 22211a b a b +++=()()()22141212121214111a a b a b a b a b a b+-++++=++++-=++++ 又()()()2121211121921415+4=1144144a b a b a b a b a b ⎛⎫+⎛⎫⎡⎤+=+++⨯=+++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭ 当14,33a b ==时取等号. 故答案为94.21．（江苏省盐城市东台中学2025届高三学业质量监测）为建设漂亮乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD 建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG （图中阴影部分）．以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy （如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数模型．园区服务中心P 在x 轴正半轴上，PO ＝百米．（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道直线段PQ最短．【答案】(1) 的最小值为百米．(2) 当点在线段上且距离轴百米，通道PQ最短．【解析】（1）设，，则，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为百米．（2）当直线与边界曲线相切时，最短．设切点为，由得，所以切线的方程为．因为在轴正半轴上，且PO=，所以点坐标为．因为切线过点，所以，整理得，解得，或．因为，所以，此时切点为，切线方程为．令，得，即点在线段上且距离轴百米．答：当点在线段上且距离轴百米，通道PQ最短．22．（江苏省盐城中学2025届高三全仿真模拟检测）已知，且.(I)试利用基本不等式求的最小值；(Ⅱ)若实数满意，求证：.【答案】(Ⅰ)3；(Ⅱ)证明见解析.【解析】（1）由已知，且．即m可化为.由柯西不等式可得结论. （2）由（1）可得.再由柯西不等式即可得结论.（1）由三个数的均值不等式得：（当且仅当即时取“=”号），故有． 4分（2），由柯西不等式得：（当且仅当即时取“=”号）整理得：，即．23．（江苏省南京师大附中2025届高三高考考前模拟考试）已知，求证．【答案】见解析【解析】证明：证法一因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋≥5＋2＝9．而 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以．证法二因为a ＞0，b ＞0，由柯西不等式得 ()[(2a ＋1)＋(2b ＋1)] ≥(＋)2＝(1＋2)2＝9．由a ＋b ＝1，得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以．24．（江苏省南通市2025届高三上学期第一次调研测试）已知1a >，1b >，求2211b a a b +--的最小值. 【答案】8【解析】因为1a >， 1b >，所以()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-.两式相加： ()()22414111b a a b a b +-++-≥-- 44b a +，所以22811b a a b +≥--. 当且仅当()2411b a a =--且()2411a b b =--时“=”成立.即2a b ==时， 2211b a a b +--取得最小值8.。

江苏省淮安市(新版)2024高考数学统编版质量检测(评估卷)完整试卷

江苏省淮安市（新版）2024高考数学统编版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是A．B ．C ．5D ．6第(2)题已知函数图象的对称轴方程为，则（）A ．1B ．C ．D ．第(3)题已知四棱锥的顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的体积为（）A ．B ．C ．D ．第(4)题已知函数在处取得最小值，则（）A．B ．C ．D ．第(5)题小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A ．B ．C ．D ．第(6)题设实数满足，，，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．第(7)题对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b R,c Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2第(8)题已知正实数，若，，则的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知,,则（）A ．B ．C ．D ．第(2)题已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则满足条件的实数的可能值有（）A．1B．C．0D．第(3)题为了提高学生的英语基础，某中学要求学生每天坚持一小时的听、说、读、写训练．为了调查该校5000名高中学生每周平均参加英语训练时间的情况，某教师从高一、高二、高三三个年级学生中按照3∶1∶1的比例分层抽样，收集了100名学生平均每周英语训练时间的样本数据（单位：h），整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的有（）A．估计该校高中学生平均每周英语训练时间不足4h的人数为1500人B．估计该校高中学生平均每周英语训练时间不少于8h的人数所占百分比为22%C．估计该校高中学生平均每周英语训练时间的中位数为5hD．估计该校高中学生平均每周英语训练时间为5.84h三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若，则常数___________．第(2)题设函数，则_________．第(3)题已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数），若直线与曲线相交于，两点，则________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)求在点处的切线方程；(2)已知关于x的方程存在两根，且，证明：.第(2)题已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若恒成立，求实数的取值范围．第(3)题求解下列问题，(1)若恒成立，求实数k的最小值；(2)已知a，b为正实数，，求函数的极值．第(4)题在锐角中，设边所对的角分别为，且．(1)求角的取值范围；(2)若，求中边上的高的取值范围．第(5)题已知．(1)求的解集；(2)若不等式在R上解集非空，求m的取值范围．。

2022年江苏省高考数学试卷(新高考I)(含答案)

2022年江苏省高考数学试卷(新高考I)(含答案)一、选择题(每小题5分，共60分)1. 若函数f(x) = x² 4x + 3的图像开口向上，则f(x)的对称轴为( )A. x = 2B. x = 2C. x = 1D. x = 12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4 = 20，则a3的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 83. 若点A(2, 3)关于直线y = x的对称点为B，则点B的坐标为( )A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 2)D. (2, 3)4. 已知函数f(x) = log₂(x 1)，则f(2)的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 35. 若三角形ABC的边长分别为a, b, c，且满足a² + b² = c²，则三角形ABC是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形6. 已知复数z = 2 + 3i，则|z|的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 若函数f(x) = ax² + bx + c在x = 1时取得最小值，则a的值为( )A. 正数B. 负数C. 零D. 无法确定8. 已知集合A = {x | x > 2}，B = {x | x < 5}，则A∩B表示( )A. x > 2 且 x < 5B. x > 2 或 x < 5C. x ≤ 2 且x ≥ 5D. x ≤ 2 或x ≥ 59. 若直线y = mx + b与x轴的交点为(1, 0)，则m的值为( )A. 1B. 1C. 0D. 无法确定10. 已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a5的值为( )A. 16B. 8C. 4D. 2二、填空题(每空5分，共20分)1. 若函数f(x) = x³ 3x² + 2x 1的图像在x = 1时取得极值，则f(1)的值为______。

小题专练03-2023届高考数学一轮复习新高考版

小题专练03三角函数、平面向量与解三角形(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:正弦定理,★)已知在△ABC 中,A=30°,a=7,则a+b+csinA+sinB+sinC =( ). A .16B .15C .14D .132.(考点:两向量垂直的性质,★)已知a=(2,-1),b=(1,λ),若(3a-2b )⊥b ,则实数λ的值为( ). A .-3+√414或-3-√414B .-3-√414C .-3+√414D .23.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则当|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时,实数t=( ). A .15B .12C .910D .14.(考点:三角恒等变换,★★)已知cos (π10-α)=25,则cos (9π5+2α)的值为( ). A .19 B .1725 C .-19 D .-17255.(考点:三角函数的图象与性质,★★)将函数f (x )=sin (2x -π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g (x )的图象,且g (-x )=g (x ),则φ的一个可能值为( ). A .π6B .π4C .π3D .π126.(考点:平面向量的数量积,★★)已知在△ABC 中,AB=3,AC=1,∠BAC=30°,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .14-3√38B .3√38C .2D .17.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=cos (2x -π6)-2√3sin (x +π4)cos x+π4,x ∈R,给出下列四个结论:①函数f (x )的最小正周期为4π; ②函数f (x )的最大值为1; ③函数f (x )在[-π4,π4]上单调递增;④将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g (x )=sin 2x.其中正确结论的个数是( ).A .1B .2C .3D .48.(考点:解三角形的实际应用,★★★)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A 处测得水柱顶端的仰角为30°,沿点A 向北偏东60°方向前进10 m 到达点B ,在点B 处测得水柱顶端的仰角为45°,则水柱的高度是( ). A .5 mB .10 mC .10 m 或5 mD .15 m二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ).A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230°10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√858511.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ). A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形 B .若acosA =bcosB =ccosC ,则△ABC 一定是等边三角形 C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= .14.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= .15.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .答案解析：一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=( ). A .√32B .√155C .-√155D .-√32【解析】由题意可知角α的终边过点(-√22,√32), 故sin α=√32√(-√22)+(√32)=√155. 【答案】B2.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=( ). A .35 B .310 C .1517 D .3√1010【解析】由题意得,cos(π-2α)=-cos 2α=-cos 2α+sin 2α=-cos 2α+sin 2αsin 2α+cos 2α=-1+tan 2αtan 2α+1=-1+1616+1=1517.【答案】C3.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a ⊥b ,则sin2αsinαcosα+cos 2α=( ).A .23 B .32 C .1 D .52【解析】因为a ⊥b ,所以a ·b=-sin α+3cos α=0,即sin α=3cos α,所以tan α=3, 故sin2αsinαcosα+cos 2α=2tanαtanα+1=32. 【答案】B4.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点(5π4,0)中心对称,则|φ|的最小值为( ). A .π3 B .π6 C .π4 D .π12【解析】由题意可得3sin (3×5π4+φ)=0,故3×5π4+φ=k π,k ∈Z,解得φ=k π-15π4,k ∈Z,令k=4,可得|φ|的最小值为π4. 【答案】C5.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a ,b 满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a ·b=( ). A .1 B .54C .32D .74【解析】由题意可得,a 2+2a ·b+b 2=9,a 2-2a ·b+b 2=4, 两式相减,得4a ·b=9-4=5, 即a ·b=54. 【答案】B6.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,为了得到y=sin (2x -π3)的图象,只需将f (x )的图象上( ).A .各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位长度B .各点的横坐标变为原来的12,再向右平移π3个单位长度C .各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移π6个单位长度D .各点的横坐标变为原来的12,再向左平移π3个单位长度【解析】根据函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,φ<π2)的部分图象,可得A=1,34T=7π6-(-π3)=3π2,解得T=2π, 所以ω=2πT =1.再根据五点作图法可得7π6+φ=3π2,则φ=π3,故f (x )=sin (x +π3).则将函数y=f (x )的图象上各点的横坐标变为原来的12,得到y=sin (2x +π3)的图象,再向右平移π3个单位长度,得到y=sin (2x -π3)的图象.故选B.【答案】B7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且a=2,c cosA+a cos C=-2√33b cos B ,△ABC 的面积S=√3,则b=( ). A .√13B .√14C .2√7D .√21【解析】由正弦定理可得sin C cos A+sin A cos C=-2√33sin B cos B ,即sin(A+C )=-2√33sin B cos B , 所以sin B=-2√33sin B cos B , 又sin B ≠0,所以cos B=-√32,则B=150°. 因为a=2,△ABC 的面积S=√3, 所以S=12ac sin B=12×2×c ×12=√3,解得c=2√3,所以b=√a 2+c 2-2accosB =2√7. 【答案】C8.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32,且f (α)=√3+1,f (β)=√3,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是( ). A .ω=1,函数f (x )的最大值为1 B .ω=12,函数f (x )的最大值为√3+1 C .ω=14,函数f (x )的最大值为√3+1D .ω=12,函数f (x )的最大值为1【解析】f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32=√3sin 2ωx+12sin 2ωx+√32=12sin 2ωx-√32cos 2ωx+√3=sin (2ωx -π3)+√3,由题意可得该函数的周期为π×4=4π,则2π2ω=4π,所以ω=14,则f (x )=sin (12x -π3)+√3,故f (x )的最大值为√3+1. 【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ). A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230° 【解析】A 符合,2√33sin 30°cos 30°=√33sin 60°=12; B 符合,cos 230°-sin 230°=cos 60°=12; C 不符合,1-2cos 230°=-cos 60°=-12; D 不符合,sin 230°+cos 230°=1. 故选AB . 【答案】AB10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√8585【解析】根据题意,a+b=(5,3),a-b=(-3,1),则a=(1,2),b=(4,1), 对于A 项,|a|=√5,|b|=√17,则|a|=|b|不成立,A 错误; 对于B 项,a=(1,2),c=(-2,1),则a ·c=0,即a ⊥c ,B 正确; 对于C 项,b=(4,1),c=(-2,1),b ∥c 不成立,C 错误;对于D 项,a=(1,2),b=(4,1),则a ·b=6,|a|=√5,|b|=√17,则cos θ=a ·b|a ||b |=6√8585,D 正确.故选BD . 【答案】BD11.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ). A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z【解析】当cos x ≥0时,f (x )=sin x+cos x=√2sin (x +π4), 当cos x<0时,f (x )=sin x-cos x=√2sin (x -π4),画出函数图象,如图所示.根据图象知,函数不是奇函数,A 错误;f (x+2π)=sin(x+2π)+|cos(x+2π)|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的最小正周期为2π,B 正确; f (π-x )=sin(π-x )+|cos(π-x )|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的图象关于直线x=π2对称,C 正确;由图象可知,在[-π2,π2]上,函数f (x )不单调,所以f (x )的单调递增区间不为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z,D 错误. 故选BC . 【答案】BC12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形 B .若acosA =bcosB =ccosC,则△ABC 一定是等边三角形C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形【解析】对于A,若a 2+b 2-c 2<0,由余弦定理可知cos C=a 2+b 2-c 22ab<0,角C 为钝角,故A 正确;对于B,因为acosA =bcosB =ccosC ,由正弦定理得a=2R sin A ,b=2R sin B ,c=2R sin C ,所以tan A=tan B=tan C ,所以A=B=C ,所以△ABC 一定是等边三角形,故B 正确;对于C,若a cos A=b cos B ,由正弦定理得sin 2A=sin 2B ,所以A=B 或A+B=π2,所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形,故C 错误;对于D,若b cos C=c cos B ,由正弦定理得sin B cos C=sin C cos B ,则sin B cos C-sin C cos B=0,所以sin(B-C )=0,得B=C ,所以△ABC 一定是等腰三角形,故D 正确. 故选ABD .【答案】ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= . 【解析】由题意得a+2b=(3+2k ,12),4a-3b=(12-3k ,-7), 因为(a+2b )∥(4a-3b ), 所以(3+2k )·(-7)=12·(12-3k ), 解得k=152. 【答案】15214.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= .【解析】由题意得sin α=√1-cos 2α=45,cos(α+β)=±√1-sin 2(α+β)=±513.当cos(α+β)=513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=513×35+1213×45=6365; 当cos(α+β)=-513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-513×35+1213×45=3365. 综上所述,cos β的值为6365或3365. 【答案】6365或336515.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 【解析】由CP⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 故PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -29CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =12×18-29×36-14×36 =-8. 【答案】-816.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .【解析】由题意,f (x )=sin 2 x-sin 2(x -π6)=12(1-cos 2x )-12[1-cos (2x -π3)]=-14cos 2x+√34sin 2x=12sin (2x -π6), 所以函数f (x )的最小值为-12;令-π2+2k π≤2x-π6≤π2+2k π,k ∈Z,则-π6+k π≤x ≤π3+k π,k ∈Z,即f (x )的单调递增区间为[-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z .【答案】-12 [-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z。

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高考小题限时练1
1．若(1＋i )＋(2－3i )＝a ＋b i (a ，b∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于________．
答案 3，－2
解析 ∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ， ∴a ＝3，b ＝－2.
2．(2016·山东改编)设集合A ＝{y |y ＝2x
，x ∈R }，B ＝{x |x 2
－1<0}，则A ∪B ＝________. 答案 (－1，＋∞)
解析 ∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝(－1，＋∞)．
3．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5
2，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为________．
答案
π6
解析由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，则A ∈(0，π2)，sin A ＝45，445＝5
2sin B ，sin B ＝1
2
.
又a >b ，B 必为锐角，所以B ＝π
6.
4．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x
2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是____________．答案 (1
3
，1)
解析 f (x )＝ln(1＋|x |)－
1
1＋x
2的定义域为R 且为偶函数．当x >0时，y ＝f (x )为增函数，所以f (x )>f (2x －1)，即f (|x |)>f (|2x －1|)，所以|x |>|2x －1|，即x 2>(2x －1)2
，解得13<x <1.
5．点O 为坐标原点，点F 为抛物线C ：y 2
＝42x 的焦点，点P 为C 上一点．若PF ＝42，则△POF 的面积为______．答案 2 3
解析由题意易知抛物线的焦点为F (2，0)，OF ＝ 2. 过P 点作准线的垂线交准线于点M ，则PM ＝4 2.
点F 在线段PM 上的射影记为点F ′，则F ′M ＝22，故F ′P ＝2 2.在Rt△PF ′F 中，由勾股定理可知，F ′F ＝26，故S △POF ＝1
2
×2×26＝2 3.
6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →
，且A ，B ，C 三点共线(该直线不
过点O )，则S 200＝________. 答案 100
解析因为A ，B ，C 三点共线，所以a 1＋a 200＝1，所以S 200＝
a 1＋a 200
2
×200＝100.
7．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 2≥4，S 4≤16，则a 5的最大值是________．答案 9
解析设等差数列的公差为d . 则2a 1＋d ≥4,4a 1＋6d ≤16，
因此a 5＝a 1＋4d ＝78(4a 1＋6d )－5
4(2a 1＋d )
≤16×78－5
4×4＝9，
即a 5的最大值是9.
8．将函数f (x )＝cos(π＋x )(cos x －2sin x )＋sin 2
x 的图象向左平移π8个单位长度后得到
函数g (x )，则g (x )的最大值为________，周期为________．答案
2 π
解析 f (x )＝－cos x (cos x －2sin x )＋sin 2
x ＝2sin x cos x －(cos 2
x －sin 2
x ) ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π
4
)，
所以g (x )＝2sin[2(x ＋π8)－π
4
]＝2sin 2x .
结合正弦函数的性质，可知g (x )最大值为2，周期为π.
9．(2016·四川改编)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的流程图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,2，则输出v 的值为________．
答案18
解析初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：
v＝1；
i＝2，v＝1×2＋2＝4；
i＝1，v＝4×2＋1＝9；
i＝0，v＝9×2＋0＝18.
i＝－1，跳出循环，输出v＝18.
10．(2016·课标全国丙改编)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________．
答案1 15
解析第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，所以总的基本
事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为1
15
.
11．(2016·浙江改编)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是__________．
①∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2；
②∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2；
③∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2；
④∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2.
答案④
解析原命题是全称命题，条件为∀x∈R，结论为∃n∈N*，使得n≥x2，其否定形式为存在性命题，条件中改量词，并否定结论，只有④符合．
12．函数f(x)＝x cos x2在区间[0,4]上的零点个数为________．
答案 6
解析由f(x)＝x cos x2＝0，得x＝0或cos x2＝0.
又x ∈[0,4]，所以x 2
∈[0,16]．由于cos(π
2＋k π)＝0(k ∈Z )，
而在
π2＋k π(k ∈Z )的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2
满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5＝6.
13．已知经过点P (1，32)的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝1
2x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的
圆心距C 1C 2＝________. 答案
45
9
解析设C 1(a ，b )，C 2(c ，d )，则
|a －2b |5＝|2a －b |5
⇒a 2＝b 2
，因为过点P (1，3
2)，所以a ＝b >0，同理c ＝d >0.
又
|a －2b |
5
＝a －
2
＋b －
32
2
⇒9a 2
－25a ＋654
＝0，
同理，9c 2
－25c ＋654
＝0，
即a ，c 为方程9x 2
－25x ＋654＝0的两个根，
因此C 1C 2＝2|a －c |＝2
a ＋c
2
－4ac ＝45
9
.
14.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，PA ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞) 解析如图，连结AQ .
∵PA ⊥平面AC ，∴PA ⊥QD ，又PQ ⊥QD ，PQ ∩PA ＝P ，∴QD ⊥平面PQA ，于是QD ⊥AQ ，∴在线段BC 上存在一点Q ，使得QD ⊥AQ ，等价于以AD 为直径的圆与线段BC 有交点，∴a
2
≥1，a ≥2.。