9.5 多项式的因式分解(4)
苏科初中数学七下《95因式分解一》word教案5
9.5 多项式的因式分解教学目标：1. 了解完全平方公式的特征，会用完全平方公式进行因式分解.2. 通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生逆向思维能力和推理能力.3. 通过猜想、观察、讨论、归纳等活动，培养学生观察能力，实践能力和创新能力.4. 通过运用所学知识解决简单有趣的实际问题，激发了学生对数学学习的兴趣.说明本节课是在学生已经了解因式分解的意义，掌握了提公因式法、平方差公式的基础上进行教学的，是公式法的另一部分内容，由于教学内容的抽象性，建议创造愉快情景尤其重要，使学生对学习发生了强烈的兴趣，通过分组讨论完全平方公式的特征，激发了学生内在的学习愿望和学习动机，从而聚精会神，努力追源，并感到乐在其中.教学重点完全平方公式分解因式教学难点掌握完全平方公式的特点教学关键熟悉公式的形式和特点，根据多项式的项数选择公式.教学方法自主探索、教学互动，发挥学生的主体作用教具投影仪教学过程：(一)创置情境情境1 前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？说明设置问题情境使学生回忆了因式分解的意义和学过的方法——提公因式法，平方差公式但两法都无法分解a2＋2a＋1.由因式分解的意义知只要把a2＋2a＋1化为整式的积的形式即达到目的，由于学生熟悉(a＋1)(a＋1)即(a＋1)2等于a2＋2a＋1，反之于是有a2＋2a＋1＝(a＋1)2，若学生想不到可问( )2＝a2＋2a＋1，从而达到了分解因式的要求，这里在得到了a2＋2a＋1＝(a＋1)2的同时再次体会了整式乘法和因式分解是一个等式的两面性是互逆的，从而引入新课.情境2 在括号内填上适当的式子，使等式成立：(1)(a＋b)2＝( ) (2)(a－b)2＝( )(3)a2＋( )＋1＝(a＋1)2 (4)a2－( )＋1＝(a－1)2思考：(1)你解答上述问题时的根据是什么？(2)第(1)(2)两式从左到右是什么变形？第(3)(4)两式从左到右是什么变形？(3)第(3)(4)两式是因式分解，反过来就是整式乘法中的完全平方.说明设计这组练习的目的是引导学生顺向、逆向运用完全平方公式，再通过几个循序渐进的问题，从而引入新课.情境3 观察一列整数：1，4，9，16，25，……，有什么特点？数式是相通的，在整式中也有这样的情况，你能看出下列式子的特点吗？(1)a2＋2a＋1 (2)a2＋4a＋4(3)a2－6a＋9 (4)a2＋2ab＋b2 (5)a2－2ab＋b2学习了本节课后，你一定会明白的！说明由完全平方数自然过渡到完全平方式，当然学生不知道完全平方式的意义设置悬念，起到了触类旁通，承上启下，挑起学生求知欲的作用，再与本节课后面的小结拓展的完全平方式首尾呼应.情境4 上节课我们学习了用平方差公式分解因式，而在整式乘法时我们还学习了什么公式？大家猜想一下本节课我们将学习什么内容？说明此引入可谓开门见山，运用类比猜想的方法，引导学生借助上一节课学习平方差公式分解因式已有的经验，探索分解因式的完全平方公式法，而这个猜想，探索的过程就是培养学生直觉思维的过程，同时由于要对猜测进行验证，又可培养学生的推理能力.(二)认识完全平方公式把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2反过来，就得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2提出问题自主探索：问题 1 两公式左边是几项式？三项式，再考虑一下平方差公式.左边是几项式与之比较.问题2 这三项式有什么特点？其中两项同号，且能写成两数的平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍，它的符号可正可负，口决：“首平方尾平方，二数乘积在中央”有了平方差公式的经验学生自已不难得出，教师重在引导，不要替学生解答好，学法上可采取小组讨论，全班交流. 问题3 若用△代表a ，○代表b ，两式是什么形式？△2＋2△×○＋○2＝(△＋○)2，△2－2△×○＋○2＝(△－○)2说明 经过观察、比较、思考、类比，培养了学生的思维能力，这里学生自己观察、自主探索出公式的本质特征，轻松地掌握本节的重点，同时化解了难点.问题4 将a 2－4a －4符合吗？为什么？问题5 a 2＋6a ＋9符合吗？ 相当于a ， 相当于b.a 2＋6a ＋9＝a 2＋2×( )×( )＋( )2＝( )2a 2－6a ＋9＝a 2－2×( )×( )＋( )2＝( )2(三)知识运用例1 把下列各式分解因式(1)x 2＋10x ＋25 (2)4a 2＋36ab ＋81b 2分析 重点是指出什么相当于公式中的a 、b ，并适当的改写为公式的形式，解：(1)x 2＋10x ＋25 (2) 4a 2＋36ab ＋81b 2＝x 2＋2×x ×5＋52 ＝(2a)2－2×2a ×9b ＋(9b)2 ＝(x ＋5)2 ＝(2a －9b)2 说明 本题是基础题，使学生体会用完全平方公式如何分解因式，以及解题格式，学生尝试去做，教师在对不同意见作比较，评价、培养学生的解题能力.练一练(及时训练，巩固新知)1. 下列能直接用完全平方公式分解的是( )A ．x 2＋2xy －y 2B ．－x 2＋2xy ＋y2 C ．x 2＋xy ＋y 2 D ．41x 2－xy ＋y 2 2. 分解因式：－a 2＋2ab －b 2＝分解因式：－a 2－2ab －b 2＝3. 分解因式(板演)(1)a 2－4a ＋4 (2)a 2－12ab ＋36b 2 (3)25x 2＋10xy ＋y 2探索活动二：公式中的a 、b 可表示什么？学生讨论易知a 、b 可以为任意的数、字母或多项式.如：a 2－4a ＋4↓把a 换成(m ＋n)(m＋n)2－4(m＋n)＋4 怎么分解呢？请看例2例2把下列各式分解因式(1)16a4＋8a2＋1 (2)(m＋n)2－4(m＋n)＋4分析：许多情况下，不一定能直接使用公式，需要经过适当的组合，变形成公式的形式.解：(1)16a4＋8a2＋1 (2) (m＋n)2－4(m＋n)＋4＝(4a2)2＋2×4a2＋1 ＝(m＋n)2－2×2(m＋n)＋22＝(4a2＋1)2 ＝[(m＋n)－2]2＝(m＋n－2)2变式训练若把16a4＋8a2＋1变形为16a4－8a2＋1会怎么样呢？学生讨论作答16a4－8a2＋1＝(4a2)2－2×4a2＋1＝(4a2－1)2 (这里4a2－1可继续分解)＝[(2a＋1)(2a－1)]2＝(2a＋1)2(2a－1)2例3 (1)简便计算20042-4008×2005+20052(2)已知a2-2a+b2+4b+5=0，求(a+b)2005的值.解：(1) 20042-4008×2005+20052=20042-2×2004×2005+20052=(2004-2005)2=1(2) a2-2a+b2+4b+5=0变形为(a-1)2+(b+2)2=0 ∴a-1=0,b+2=0 ∴a=1,b=-2(a+b)2005=[1+(-2)]2005=-1说明用完全平方公式解决两道有用的实际问题使学生享受到运用所学知识的乐趣和心理满足，激励他们的求知欲望.练一练：1、把下列各式分解因式(1)16a4＋24a2b2＋9b4 (2)(x＋y)2－10(x＋y)＋252、创新：a2＋6a＋9误写为a2＋6a＋9－1即a2＋6a＋8如何分解？学生讨论方法一：a2＋6a＋8＝a2＋6a＋8＋1－1＝a2＋6a＋9－1＝(a＋3)2－1＝(a＋3＋1)(a＋3－1)＝(a＋4)(a＋2)法二：就是我们下节课要补充的新的解法说明：有的电视剧冗长却吸引人，当然与故事情节跌宕起伏分不开，但是每集结束前设置悬念吸引观众，是功不可没的，此处设置悬念，从而激发了学生继续学习的热情，探索新知识的心理，提高课堂教学效益.(四)小结1、学生自己总结本节课的收获，体会.2、将乘法公式反过来就得到多项式因式分解的公式，运用这些公式把一个多项式分解因式的方法叫运用公式法.3、如何选用平方差公式，或完全平方公式.4、拓展：由于a2±2ab＋b2可写成(a±b)2的形式，把类似a2±2ab＋b2 的式子叫完全平方式.说明：教师提供空间和机会让学生自己发言，即复习了本节内容，又促使学生重视知识结构，抓住了问题特征.(五)作业必做：课本习题选做：1、若x2＋mx＋4是完全平方式，则m＝ .2、简便计算：9.92－9.9×0.2＋0.013、若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状.小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
多项式的因式分解方法
多项式的因式分解方法在代数学中，多项式因式分解是将一个多项式拆分成一些乘积的形式，以便更好地理解和求解问题。
多项式因式分解是代数中重要的解题方法之一，它可以帮助我们简化计算，寻找方程的解，以及进行数学模型的建立等。
本文将介绍几种常见的多项式因式分解方法。
一、公式法公式法是多项式因式分解中最常见的方法之一。
它基于一些常见的应用公式和恒等式，通过将多项式转化为已知的因式形式进行分解。
1. 平方差公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$平方差公式可以用来因式分解具有平方项的多项式。
例如，对于多项式 $x^2+6x+9$，我们可以将其看作是 $(x+3)^2$，因此可以分解为$(x+3)(x+3)$。
2. 差平方公式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$差平方公式和平方差公式相似，只是符号相反。
例如，对于多项式$x^2-10x+25$，可以将其看作是 $(x-5)^2$，因此可以分解为 $(x-5)(x-5)$。
3. 因式分解公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$因式分解公式适用于具有差平方形式的多项式。
例如，对于多项式$x^2-4$，我们可以将其分解成 $(x+2)(x-2)$。
二、提公因式法提公因式法是另一种常用的多项式因式分解方法，它利用多项式中的公因式进行分解。
1. 提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，并将剩余部分分解为简单的因式形式。
例如，对于多项式 $3x^2+6x$，我们可以提取公因式 $3x$，然后将剩余部分 $x+2$ 进行分解，最终得到 $3x(x+2)$。
2. 分组分解：对于某些特殊的多项式，可以将其通过分组分解的方法进行因式分解。
例如，对于多项式 $3x^3+3x^2+4x+4$，我们可以将其分成两组，然后提取公因式，得到 $3x^2(x+1)+4(x+1)$，进而将$(x+1)$ 提取出来，得到最终的因式分解形式 $(x+1)(3x^2+4)$。
9.5多项式的因式分解(4)
练习： 课本p87练一练第1题
例题：
2. 两个公式先后套用
例2 、把下列各式分解因式 (1)a4－16 (2)81x4－72x2y2＋16y4
说明：分解因式必须分解到每个多项式 的因式都不能再分解为止
练习： 课本p87练一练第2题
课堂小结：
(1)如果多项式各项有公因式，应先提公因 式，再进一步分解. (2)分解因式必须分解到每个多项式的因式 都不能再分解为止. (3)因式分解的结果必须是几个整式的积的 形式.
课堂作业：
课本习题9.5 p87第7、8题
说明： 1.公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的 单项式和多项式. 2.多项式的因式分解，要根据多项式的特点，选 择使用恰当的方法去分解，对于有些多项式，有时需同 时用到几种不同的方法，才有分解完全.
例题：
1. 先提取公因式后利用公式 例1 把下列各式分解因式 (1)18a2－50 (2)2x2y－8xy＋8y (3)a2(x－y)－b2(x－y) 归纳：将一个多项式分解因式时，首先要观察 被分解的多项式是否有公因式，若有，就要先 提公因式，再观察另一个因式特点，进而发现 其能否用公式法继续分解.
初中数学八年级下册 （苏科版）
9.5多项式的因式分解(4)
比一比，看谁算得快
(1)
65.52－34.52
(2)
1012－2×101×1＋1
Байду номын сангаас
(3)
482＋48×24＋122
(4) 5×552－5×452
方法：
提公因式法：关键是确定公因式
因 式 分 解
运用公式法: 平方差公式：a2－b2=(a＋b)(a－b) 完全平方公式：a2±2ab＋b2=(a±b)2
初一数学下第九章 9.5 多项式的因式分解练习题(附答案)
9.5 多项式的因式分解一．选择题（共18小题）1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1）2．若a，b为两质数且相差2，则ab+1之值可能为下列何者（）A．392B．402C．412D．4223．如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=34．把8m2n﹣2mn分解因式（）A．2mn（4m+1）B．2m（4m﹣1）C．mn（8m﹣2）D．2mn（4m﹣1）5．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定6．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．x2+2x+3=（x+1）2+2 B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2C．x2﹣xy+y2=（x﹣y）2D．2x﹣2y=2（x﹣y）7．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x ﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．中华游C．爱我中华D．美我中华8．将下列多项式因式分解，结果中不含有x+2因式的是（）A．x2﹣4 B．x2+2x C．x2﹣4x+4 D．（x+3）2﹣2（x+3）+1二．填空题9．若a+b=﹣2，a﹣b=4，则a2﹣b2=．10．在实数范围内分解因式：x2﹣3y2=．11．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=．12．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为．13．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99=．14．分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2=．15．分解因式：9﹣6y﹣x2+y2=．三．解答题16．发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．17．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．18．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．19．代数基本定理告诉我们对于形如x n++…+a n﹣1x+a n=0（其中a1，a2，…a n为整数）这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是a n的约数．例如方程x3+8x2﹣11x+2=0的整数根只可能为±1，±2代入检验得x=1时等式成立．故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣1，所以原方程可转化为：（x﹣1）（x2+9x ﹣2）=0，进而可求得方程的所有解．根据以上阅读材料请你解方程：x3+x2﹣11x ﹣3=0．20．已知a，b，c，d是四个不同的实数，且（b+d）（b+a）=1，（c+d）（c+a）=1，求（b+d）（c+d）的值．参考答案与解析一．选择题（共18小题）1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2C．x2+4x+4=（x+2）2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1）【分析】根据因式分解的意义即可求出答案．【解答】解：（A）x2+2x﹣1≠（x﹣1）2，故A不是因式分解，（B）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故B不是因式分解，（D）ax2﹣a=a（x2﹣1）=a（x+1）（x﹣1），故D分解不完全，故选：C．【点评】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．2．若a，b为两质数且相差2，则ab+1之值可能为下列何者（）A．392B．402C．412D．422【分析】根据选项的数值，得到ab+1的值，进一步根据平方差公式得到ab的乘积形式，再根据质数的定义即可求解．【解答】解：A、当ab+1=392时，ab=392﹣1=40×38，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误；B、当ab+1=402时，ab=402﹣1=41×39，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误；C、当ab+1=412时，ab=412﹣1=42×40，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误；D、当ab+1=422时，ab=422﹣1=43×41，正好与a，b为两质数且相差2符合，故本选项正确，故选：D．【点评】本题考查的是因式分解的应用，质数的定义，解答此类题目的关键是得到ab是哪两个相差为2的数的积．3．如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=3【分析】直接利用多项式乘法运算法则得出p的值，进而得出n的值．【解答】解：∵多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），∴（3x+2）（x+p）=3x2+（3p+2）x+2p=mx2﹣nx﹣2，∴p=﹣1，3p+2=﹣n，解得：n=1．故选：B．【点评】此题考查了因式分解的意义；关键是根据因式分解的意义求出p的值，是一道基础题．4．把8m2n﹣2mn分解因式（）A．2mn（4m+1）B．2m（4m﹣1）C．mn（8m﹣2）D．2mn（4m﹣1）【分析】直接找出公因式进而提取得出答案．【解答】解：8m2n﹣2mn=2mn（4m﹣1）．故选：D．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．5．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．故选：B．【点评】此题主要考查了因式分解的实际运用，正确应用平方差公式是解题关键．6．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．x2+2x+3=（x+1）2+2 B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2C．x2﹣xy+y2=（x﹣y）2 D．2x﹣2y=2（x﹣y）【分析】根据把多项式写成几个整式积的形式叫做分解因式对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；C、应为x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2，故本选项错误；D、2x﹣2y=2（x﹣y）是因式分解，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了因式分解的意义，熟记概念是解题的关键．7．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x ﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．中华游C．爱我中华D．美我中华【分析】将原式进行因式分解即可求出答案．【解答】解：原式=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）由条件可知，（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）可表示为“爱我中华”故选：C．【点评】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力．8．将下列多项式因式分解，结果中不含有x+2因式的是（）A．x2﹣4 B．x2+2x C．x2﹣4x+4 D．（x+3）2﹣2（x+3）+1【分析】分别利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断得出答案．【解答】解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），含有x+2因式，不合题意；B、x2+2x=x（x+2），含有x+2因式，不合题意；C、x2﹣4x+4=（x﹣2）2，不含有x+2因式，符合题意；D、（x+3）2﹣2（x+3）+1=（x+3﹣1）2=（x+2）2，含有x+2因式，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键．二．填空题9．若a+b=﹣2，a﹣b=4，则a2﹣b2=﹣8．【分析】原式利用平方差公式分解后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵a+b=﹣2，a﹣b=4，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．10．在实数范围内分解因式：x2﹣3y2=（x+y）（x﹣y）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：原式=（x+y）（x﹣y）．故答案是：（x+y）（x﹣y）．【点评】此题主要考查了利用公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．11．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0．【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是：0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．12．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为﹣1．【分析】先把（x+2）（x﹣1）展开，求得m，n的值，再求m+n的值即可．【解答】解：∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），∴x2+mx+n=x2+x﹣2，∴m=1，n=﹣2，∴m+n=1﹣2=﹣1，故答案为﹣1．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，求得m，n的值是解题的关键．13．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99=（a+1）100．【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．【解答】解：原式=（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]=（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]=（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]=…=（a+1）100．故答案为：（a+1）100．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．14．分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2=3a（x﹣y）2．【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：3ax2﹣6axy+3ay2，=3a（x2﹣2xy+y2），=3a（x﹣y）2，故答案为：3a（x﹣y）2．【点评】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．15．分解因式：9﹣6y﹣x2+y2=（3﹣y+x）（3﹣y﹣x）．【分析】首先分组进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可．【解答】解：9﹣6y+y2﹣x2=（3﹣y）2﹣x2=（3﹣y+x）（3﹣y﹣x）．故答案为：（3﹣y+x）（3﹣y﹣x）．【点评】此题主要考查了利用公式法分解因式，正确分组是解题关键．三．解答题16．发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．【分析】验证（1）计算（﹣1）2+02+12+22+32的结果，再将结果除以5即可；（2）用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数；延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，即（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n﹣2，n﹣1，n+1，n+2，它们的平方和为：（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2=n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4=5n2+10，∵5n2+10=5（n2+2），又n是整数，∴n2+2是整数，∴五个连续整数的平方和是5的倍数；延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n﹣1，n+1，它们的平方和为：（n﹣1）2+n2+（n+1）2=n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1=3n2+2，∵n是整数，∴n2是整数，∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算．17．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键．18．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．【分析】（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：，根据和谐数的定义得到a=d，b=c，则===91a+10b为正整数，易证得任意四位“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：，则===9x+y+为正整数．故y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．【解答】解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：设任意四位“和谐数”形式为：，则满足：最高位到个位排列：a，b，c，d．个位到最高位排列：d，c，b，a．由题意，可得两组数据相同，则：a=d，b=c，则===91a+10b为正整数．∴四位“和谐数”能被11整数，又∵a，b，c，d为任意自然数，∴任意四位“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：，则满足：个位到最高位排列：x，y，z．最高位到个位排列：z，y，x．由题意，两组数据相同，则：x=z，故==101x+10y，故===9x+y+为正整数．故y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．【点评】本题考查了因式分解的应用．解题的关键是弄清楚“和谐数”的定义，从而写出符合题意的数．19．代数基本定理告诉我们对于形如x n++…+a n﹣1x+a n=0（其中a1，a2，…a n为整数）这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是a n的约数．例如方程x3+8x2﹣11x+2=0的整数根只可能为±1，±2代入检验得x=1时等式成立．故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣1，所以原方程可转化为：（x﹣1）（x2+9x﹣2）=0，进而可求得方程的所有解．根据以上阅读材料请你解方程：x3+x2﹣11x﹣3=0．【分析】把x=±1，±3代入方程进行验证得到x=3符合题意，故x3+x2﹣11x﹣3=0含有因式（x﹣3），由此进行因式分解即可【解答】解：取x=±1，±3代入方程，得x=3适合方程，则原方程可以分解为：（x﹣3）（x3+4x+1）=0，解得x=3或x=﹣2+．【点评】本题考查了因式分解的意义．因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．20．已知a，b，c，d是四个不同的实数，且（b+d）（b+a）=1，（c+d）（c+a）=1，求（b+d）（c+d）的值．【分析】先将原式条件变形为：b2+（a+d）b+ad=1①，c2+（a+d）c+ad=1②，再由①﹣②可以得到b2﹣c2+（b﹣c）（a+d）=0，就可以求出b+c+a+d=0，得到a+b=﹣（c+d）代入（b+d）（b+a）=1就可以求出结论．【解答】解：∵（b+d）（b+a）=1，（c+d）（c+a）=1，∴b2+（a+d）b+ad=1①c2+（a+d）c+ad=1②，由①﹣②，得b2﹣c2+（b﹣c）（a+d）=0，∴（b+c）（b﹣c）+（b﹣c）（a+d）=0，∴（b﹣c）（b+c+a+d）=0，∵a，b，c，d是四个不同的实数，∵b≠c，∴b+c+a+d=0，∴a+b=﹣（c+d），∵（b+d）（b+a）=1∴（b+d）•[﹣（c+d）]=1，∴（b+d）（c+d）=﹣1【点评】本题考查了因式分解在整式的求值中的运用，本题涉及了等式的恒等变形，提公因式的法的运用及数学的整体思想．。
9.5多项式的因式分解(2)
知识的灵活运用.
(1),已知a+b=3,a-b=2,求a2-b2的值.
(2),已知4m+n=90,2m-3n=10,求 (m+2n)2-(3m-n)2的值. (3)利用因式分解简便计算. ①5352-4652 ②9×1.22-16×1.42
小结
运用平方差公式因式分解的一般步骤：
(1) 还原成平方差的形式. (2)运用公式写成两数和与两数差的积的形式. (3)分别在括号内合并同类项. (4) 各因式分解到不能再分解为止.
例2,如图,求圆环形绿
米.(结果用π表示)
解： 352π－152π =π(352－152) =(35+15)(35－15)π =50×20π =1000π(m2) 这个绿化区的面积是1000πm2
练一练
4、在边长为16.4cm的正方形的4角各 剪去一边长为 1.8cm的正方形，求余 下纸片的面积.
练一练:
把下列各式分解因式.
(1)36-x2
(2)a2-9b2 (3)x2-16y2
(4)x2y2-z2 (5)(x+2)2-9 (6)(x+a)2-(y-b)2 (7)9a4-(b-c)2 (8)(x+y+z)2-(x+y-z)2
(9)4(a+2)2-9(a-1)2 (10)a4-81b4
整体的思想
情境中的第(1)、(2)两式是我们前面学习过的 平方差公式,把这个公式反过来就得到:
2-b2=(a+b)(a-b) a
可以看出,我们将多项式a2-b2写成 (a+b)(a-b)的形式,这种分解因式的方法称 为公式法. 问题三:说说a2-b2=(a+b)(a-b)有什么特点? ①等式的左边是多项式,有2项,为两个数的 平方差. ②等式的右边是两个数的和与两个数的差 的积.
苏科版七年级数学下册课件：9.5多项式的因式分解(2) (共15页)
例题1：
（1）36–25x2 （2）16a2–9b2
(3) 9 4 x
2
把下列各式分解因式
1、x 25
2
1 2 2、a b 9
2
x 2 9 3、
2
三、当堂检测
填空：
1（1）81x2-
y
2
2
=(9x+y)(9x-y);
( 6 x )( 6 x ) 36 x __________ （2）
2
问题2：在下列各式括号内填适当 的式子，使等式成立。
4 (1)a 16 a 4 (a 4 __)(a __)
2 2 2
(2) x 1 x 1 ( x __)( __) 1 x1
2 2 2 2 2 2
8 8 b __) (3) 64 b b 8 (b __)(
活动一： 2 2 (1)a ba b a b
(2)a b a ba b
2 2
1、第1题反映的是什么教学过程？ 2、第2题反映的是什么教学过程？ 3.我们已经学习了用提公因式法来分解因 式，在第2题的左边有公因式吗？ 但是它们却能够分解因式， 这说明了什 么？ 没有公因式，利用平方差公式可以进行因式 分解。
2、利用因式分解计算： 2 2 201 199 201 - 199
201 199
x2 y2
=
800 =
。
D 3、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） 2 2 2 a (b)
（A） （B）
5m 20mn
（C）
（D）
x 9
2
例题2：
如图，求圆环形绿化区的面积S（结果保留π）
2024七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解9.5多项式的因式分解课件新版苏科版
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知4－讲
二定：确定公式中的a 和b，除a 和b 是单独一个 数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须 用括号括起来，表示一个整体.
三套：套用平方差公式进行分解. 四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最 简的.
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知4－讲
特别解读
1. 因式分解中的平方差公式法是乘法公式中的平
方差公式逆用的形式.
D 选项中，括号内最后一项漏掉了，应该是a2b＋
5ab－b=b(a2＋5a－1)，故错误.
答案：B
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知识点 4 运用平方差公式分解因式
知4－讲
1. 平方差公式法 用字母表示：a2－b2=(a＋b)(a－b). 文字描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 个数的差的积.
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知4－讲
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(3) 116a2－ 12ab＋b2 ；
知5－练
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
完全平方公式分解因式.
解：原式=( 14a)2－2×14a·b＋b2 = (14a－b)2.
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知5－练
(4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
公因式中的字母，各字母的指数取其中次数最低的．
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3. 注意
知2－讲
若多项式各部分中含有相同的多项式因式，则应将其看
成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式.
如3x(x－y)＋x2(x－y)的公因式是x(x－y).
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知2－讲
特别解读 1. 公因式可以是数，也可以是单项式或多项式. 2. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可
最新苏教版七年级下册数学《多项式的因式分解》同步检测题及答案详解(试题).docx
（新课标）苏教版2017-2018学年七年级下册9.5 多项式的因式分解一．选择题1．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣42．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1 3．已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A．8是a的因子，8是b的因子B．8是a的因子，8不是b的因子C．8不是a的因子，8是c的因子D．8不是a的因子，8不是c的因子4．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣45．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a （2a+1）26．分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b）B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2） D．b（a+b）27．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．228．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：州、爱、我、苏、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．苏州游C．爱我苏州D．美我苏州9．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a10．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y11．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4）D．12．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+y2=（x+y）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+6x+9=（x+3）213．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个14．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形15．10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；...；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+ (x102)N=y12+y22+…+y102，则（）A．M＜N B．M＞NC．M=N D．M、N的大小关系不确定二．填空题16．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2= ．17．若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于．18．分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= ．19．分解因式：4x2﹣4xy+y2= ．20．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= ．21．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= ．22．将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是．三．解答题23．分解因式（1）x3﹣6x2+9x；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．24．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18=启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是．25．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2=②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．26．通过对《因式分解》的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解．如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）的分解结果吗？请在画出图形．27．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．28．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得，经过四次“F”运算得，经过五次“F”运算得，经过2016次“F”运算得．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．29．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．30．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．参考答案与试题解析一．选择题1．（2017•静安区一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．【解答】解：A、原式不能分解；B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），故选A【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．（2016•潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，∴结果中不含有因式a+1的是选项C；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．3．（2016•台湾）已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A．8是a的因子，8是b的因子B．8是a的因子，8不是b的因子C．8不是a的因子，8是c的因子D．8不是a的因子，8不是c的因子【分析】根据a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18，得到a为12与18的公倍数，再由a的范围确定出a的值，进而表示出b，即可作出判断．【解答】解：∵（a，b）=12，（a，c）=18，∴a为12与18的公倍数，又[12，18]=36，且a介于50与100之间，∴a=36×2=72，即8是a的因子，∵（a，b）=12，∴设b=12×m，其中m为正整数，又a=72=12×6，∴m和6互质，即8不是b的因子．故选B【点评】此题考查了公因式，弄清公因式与公倍数的定义是解本题的关键．4．（2016•自贡）把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4【分析】直接提取公因式a即可．【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．5．（2016•聊城）把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a （2a+1）2【分析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：8a3﹣8a2+2a=2a（4a2﹣4a+1）=2a（2a﹣1）2．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．6．（2016•梅州）分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b）B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2） D．b （a+b）2【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a2b﹣b3=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b）．故选：A．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．7．（2016•台湾）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．∴a=﹣5，b=11，c=6，则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．故选C．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c （a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：州、爱、我、苏、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．苏州游C．爱我苏州D．美我苏州【分析】对（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，即可得到结论．【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，苏，州，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我苏州”，故选C．【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9．（2016•厦门）设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】根据乘法分配律可求a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差公式和算术平方根可求c，再比较大小即可求解．【解答】解：∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，c=====＜681，∴b＜c＜a．故选：A．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟记乘法分配律、平方差公式的结构特点是解题的关键．注意整体思想的运用．10．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：2x2﹣xy﹣15y2=（2x+5y）（x﹣3y）．故选：B．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，熟练应用十字相乘法分解因式是解题关键．11．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4）D．【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【解答】解：A、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意；B、右边结果不是积的形式，不符合题意；C、a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4），符合题意；D、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意．故选C．【点评】本题考查了因式分解的意义．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．12．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+y2=（x+y）2 C．x2+xy=x （x+y）D．x2+6x+9=（x+3）2【分析】分别利用平方差公式以及完全平方公式和提取公因式法分别分解因式进而判断即可．【解答】解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），正确，不合题意；B、x2+y2，无法分解因式，故此选项正确；C、x2+xy=x（x+y），正确，不合题意；D、x2+6x+9=（x+3）2，正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式分解因式是解题关键．13．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：①x2﹣10x+25=（x﹣5）2，不符合题意；②4a2+4a﹣1不能用完全平方公式分解；③x2﹣2x﹣1不能用完全平方公式分解；④=﹣（m2﹣m+）=﹣（m﹣）2，不符合题意；⑤不能用完全平方公式分解．故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．14．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．【解答】解：由a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，得a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）=（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，∵a+b＞0，∴a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0，即a=b或a2+b2=c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15．10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；...；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+ (x102)N=y12+y22+…+y102，则（）A．M＜N B．M＞NC．M=N D．M、N的大小关系不确定【分析】根据题意，对M和N作差，然后与零比较大小即可解答本题．【解答】解：由题意可得，x n+y n=9，∴y n=（9﹣x n），∴M﹣N=x12+x22+…+x102﹣（y12+y22+…+y102）=x12+x22+…+x102﹣，=﹣810+18（x1+x2+…+x10），∵10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，x1+x2+…+x10=45，∴﹣810+18（x1+x2+…+x10）=﹣810+18×45=﹣810+810=0，∴M=N，故选C．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．二．填空题16．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2= a（a﹣2b）2．【分析】首先提公因式a，然后利用完全平方公式即可分解．【解答】解：原式=a（a2﹣4ab+4b2）=a（a﹣2b）2．故答案是：a（a﹣2b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．17．（2016•黔南州）若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于﹣2 ．【分析】首先提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵ab=2，a﹣b=﹣1，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．18．（2016•南京）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= （b+c）（2a﹣3）．【分析】直接提取公因式b+c即可．【解答】解：原式=（b+c）（2a﹣3），故答案为：（b+c）（2a﹣3）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．19．（2016•赤峰）分解因式：4x2﹣4xy+y2= （2x﹣y）2．【分析】符合完全平方公式的特点：两项平方项，另一项为两底数积的2倍，直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：4x2﹣4xy+y2，=（2x）2﹣2×2x•y+y2，=（2x﹣y）2．【点评】本题考查运用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构特点是解题的关键．20．（2016•荆门）分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= （m+3）（m﹣3）．【分析】先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（m+1）（m﹣9）+8m，=m2﹣9m+m﹣9+8m，=m2﹣9，=（m+3）（m﹣3）．故答案为：（m+3）（m﹣3）．【点评】本题考查了利用公式法分解因式，先利用多项式的乘法运算法则展开整理成一般多项式是解题的关键．21．（2016•威海）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= 3（a+b）（a﹣b）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）=3（a+b）（a﹣b）．故答案为：3（a+b）（a﹣b）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．22．（2016•贺州）将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：原式=m（x﹣2）（m2﹣1）=m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．故答案为：m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．三．解答题23．分解因式（1）x3﹣6x2+9x；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．【分析】（1）原式提取x，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2；（2）原式=a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）=（x﹣y）（a2﹣4）=（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．24．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18= （x﹣2）（x+9）启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是7或﹣7或2或﹣2 ．【分析】（1）原式利用题中的方法分解即可；（2）方程利用因式分解法求出解即可；（3）找出所求满足题意p的值即可．【解答】解：（1）原式=（x﹣2）（x+9）；（2）方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）=0，可得x﹣2=0或x﹣4=0，解得：x=2或x=4；（3）﹣8=﹣1×8；﹣8=﹣8×1；﹣8=﹣2×4；﹣8=﹣4×2，则p的可能值为﹣1+8=7；﹣8+1=﹣7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2．故答案为：（1）（x﹣2）（x+9）；（3）7或﹣7或2或﹣2．【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．25．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2= （3x﹣4y）（2x﹣3y）②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12= （x﹣2y+3）（2x+3y﹣4）③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y= （x﹣3y）（x+2y+2）（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；③同②的方法分解；（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【解答】解：（1）①6x2﹣17xy+12y2=（3x﹣4y）（2x﹣3y），②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（x﹣3y）（x+2y+2），故答案为：①（3x﹣4y）（2x﹣3y），②（x﹣2y+3）（2x+3y ﹣4），③（x﹣3y）（x+2y+2），（2）如图，m=3×9+（﹣8）×（﹣2）=43或m=9×（﹣8）+3×（﹣2）=﹣78．【点评】此题是因式分解﹣十字相乘法，主要考查了二元二次多项式的分解因式的方法，解本题的关键是选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解．26．通过对《因式分解》的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解．如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）的分解结果吗？请在画出图形．【分析】根据题意可知：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），可以看作长为a+2b，宽为a+b的长方形面积，由此画出图形．【解答】解：如图所示：∵大长方形的面积=a2+3ab+2b2，大长方形的面积=（a+b）（a+2b），∴a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）．【点评】此题主要考查因式分解的运用，注意利用已知的等式转化为图形解决问题，这是数形结合思想的运用．27．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．【分析】（1）根据“快乐数”的定义计算即可；（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，根据“快乐数”的定义计算．【解答】解：（1）∵12+02=1，∴最小的两位“快乐数”10，∵19→12+92=82→82+22=68→62+82=100→12+02+02=1，∴19是快乐数；证明：∵4→37→58=68→89→125→30→9→81→65→61→37，37出现两次，所以后面将重复出现，永远不会出现1，所以任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4．（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，则a2+b2+c2=10或100，∵a、b、c为整数，且a≠0，∴当a2+b2+c2=10时，12+32+02=10，①当a=1，b=3或0，c=0或3时，三位“快乐数”为130，103，②当a=2时，无解；③当a=3，b=1或0，c=0或1时，三位“快乐数”为310，301，同理当a2+b2+c2=100时，62+82+02=100，所以三位“快乐数”有680，608，806，860．综上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八个，又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件．【点评】本题考查的是因式分解的定义、“快乐数”的定义，正确理解“快乐数”的定义、掌握分情况讨论思想是解题的关键．28．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得351 ，经过四次“F”运算得153 ，经过五次“F”运算得153 ，经过2016次“F”运算得153 ．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．【分析】（1）根据“F运算”的定义得到111经过三次“F运算”的结果，经过四次“F运算”的结果，经过五次“F运算”的结果，经过2016次“F运算”的结果即可；（2）首先根据题意可设a+b+c+d=3e，则此四位数1000a+100b+10c+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得这个四位数就可以被3整除．【解答】（1）解：1113（13+13+13=3）27（33=27）351（23+73=351）153（33+53+13=153）153（13+53+33=153）153（33+53+13=153）．故数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得 153，经过2016次“F”运算得 153．（2）证明：设a+b+c+d=3e（e为整数），这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d，∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，∴=333a+33b+3c+e，∵333a+33b+3c+e是整数，∴1000a+100b+10c+d可以被3整除．故答案为：351，153，153，153．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用．29．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．【分析】（1）先分解因式得到x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；（2）利用勾股定理和周长得到x+y=13，x2+y2=121，再利用完全平方公式可计算出xy=24，然后与（1）小题的解决方法一样．【解答】解：（1）x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），当x=15，y=5时，x﹣y=10，x+y=20，可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015；（2）由题意得：解得xy=24，而x3y+xy3=xy（x2+y2），所以可得数字密码为24121．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题；考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出xy的值为解决问题的关键．30．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；故答案为：不彻底，（x﹣2）4。
推荐七年级数学下册954多项式的因式分解导学案(无答案)(新版)苏科版
9.5.4多项式的因式分解姓名__________学号_________班级__________一、学习目标:1.进一步熟悉提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；2.能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法；3.知道因式分解的方法步骤：有公因式先提公因式，以及因式分解最终结果的要求：必须分解到多项式的每个因式不能再分解为止；二、学习重难点:知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式.三、自主学习自学课本86—87页的内容，完成下列各题比一比，看谁算得快①65.52－34.52②1012－2×101×1＋1③482＋48×24＋122○4 5×552－5×452思考（1）在计算过程中，你用到了哪些因式分解的方法？（2）能用平方差公式、完全平方公式分解因式的多项式有什么特征？四、合作探究1.把下列各式分解因式（1）18a2－50 （2）2x2y－8xy＋8y（3）a2(x－y)－b2(x－y)2.把下列多项式分解因式：（1）a4－16（2） 81x4－72x2y2＋16y43．辨析分解因式a4－8a2＋16a4－8a2＋16=(a2－4)2=(a＋2)2(a－2)2= (a2＋2a＋4)(a2－2a＋4) 这种解法对吗？如果不对，指出错误原因并改正五、达标巩固1、把下列各式分解因式（1）3ax2－3ay4（2）－2xy－x2－y2（3）3ax2＋6axy＋3ay2（4）x4－81（5）x4－2x2＋1 （6）(x2－2y)2－(1－2y)2（7）x4－8x2y2＋16y4（8）80a2(a＋b)－45b2(a＋b)2．已知x＋y=4 xy=2 求2x3y＋4x2y2＋2xy3的值板书设计：9.5提公因式法、公式法的综合运用1：因式分解的方法：（1）提取公因式法：（2）运用公式法：教学后记：。
沪教版(上海)七年级第一学期9.5《因式分解》知识点与练习
一．因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
⑴因式分解与整式乘法互为逆变形：（乘积形式）()m a b c ma mb mc −−−−→++++←−−−−整式乘法因式分解（和差形式） 式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式⑵因式分解的常用方法：___________________________________________________。
⑶分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式；如果遇到二次三项式，则多考虑十字相乘法分解；如果项数大于等于4项，则尝试分组分解法；如果以上都搞不定，则采用添项与拆项，或者其他方法。
【注意】① 若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内．．．．．．不能再分解为止； ② 结果一定是乘积的形式；③ 每一个因式都是整式；④ 相同的因式的积要写成幂的形式。
(4)在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面；第二讲 因式分解Ⅰ 模块一：提取公因式法④每个因式第一项系数一般不为负数；二．提取公因式法：公因式：几个单项式中相同因式最低次幂的积叫做这几个单项式的公因式。
系数——取多项式的各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂；且一般公因式的符号与多项式第一项的符号相同（即保证因式的第一项系数为正数）【例1】下列等式从左到右的变形是因式分解的有（ ）。
① ()a x y ax ay +=+； ② ()24444x x x x -+=-+；③ ()2105521x x x x -=-； ④ ()()2163443x x x x x x -+=+-+；⑤ ()()2224a a a +-=-； ⑥ ()ax ay az a x y z -+=-+； ⑦； ⑧ 。
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9.5 多项式的因式分解（4）
说说如何把多项式进行因式分解.
一提
二套
三查
9.5 多项式的因式分解（4）
1．（必做题）
（1）课本P87习题9.5第8题；
（2）请写出一个三项式，使它能先提公因式，再 运用公式法来分解因式，你编的三项式是 ，分 解因式的结果是 . 2．选做题： （1）已知2x＋y＝b，x－3y＝1， 求14y（x－3y）2－4（3y－x）3的值． （2）已知a＋b＝5，ab＝3， 求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
初中数学七年级（下册）
9.5
多项式的因式分解（4）
9.5 多项式的因式分解（4）
【情境一】
因 式 分 解
提公因 式法 运用公 式法
ab ＋ ac ＋ ad ＝ a （b＋c＋d）
单项 式乘 多项 式 乘 法 公 式
a2 － b2 ＝（ a ＋ b ） （a－b）a2±2ab＋ b2＝（a±b）2
整 式 乘 法
9.5 多项式的因式分解（4）
提公因式法：关键是确定公因式 平方差公式： 因式分解 2－b2＝（a＋b）（a－b） a 运用公式法 完全平方公式： a2±2ab＋b2＝（a±b）2 说明： 公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的
单项式和多项式.
9.5 多项式的因式分解（4）
例1
把下列各式分解因式．
（1）18a2－50；
（2）2x2y－8xy＋8y；
（3）a2（x－y）－b2（x－y）．
9.5 多项式的因式分解（4）
例2
把下列各式分解因式．
（1）a4－16；
（2）81x4－72x2y2＋）
例3 分解因式： （1）（a2＋b2）2－4a2b2； （2）（x2－2x）2＋2（x2－2x）＋1．