备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 专题29 数列结合其他问题考查更精彩 Word版含解析

【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第29讲数列结合其他问题考查更精彩考纲要求:能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．基础知识回顾:1.数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下2.等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．3.等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．4.递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n＋1的递推关系，还是前n项和S n与S n＋1之间的递推关系．应用举例:类型一、等差数列与等比数列的综合应用【例1】【2017河南省郑州市高三质检】在等差数列{a n}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝2a n－10，证明：数列{b n}为等比数列；(3)求数列{nb n}的前n项和T n.【答案】（1）an＝2n＋10. （2）见解析；（3）Tn＝－＋1＋49.(3)由nbn ＝n×4n ，得Tn ＝1×4＋2×42＋…＋n×4n ，① 4Tn ＝1×42＋…＋(n －1)×4n ＋n×4n ＋1，②①－②，得－3T n ＝4＋42＋…＋4n －n ×4n ＋1＝4(1－4n )－3－n ×4n ＋1. 所以T n ＝(3n －1)×4n ＋1＋49.【例2】【2017河南省天一大联考】已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前项和，求数列的12{}nnS S +的前项和n T . 【答案】（1）3nn a =；（2）2241n n n n +T =+. 点评：等差数列、等比数列综合问题的2大解题策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．类型二、数列与函数的交汇【例3】【2017广西南宁高三模拟】设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{}a n b 2n 的前n 项和S n .【答案】（1）见解析；（2）S n ＝(3n －1)4n ＋1＋49..【解析】(1)证明：由已知，b n ＝2a n >0，当n ≥1时，b n ＋1b n＝2a n ＋1－a n ＝2d .所以，数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d 的等比数列．(2) 函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意，a 2－1ln 2＝2－1ln 2.解得a 2＝2. 所以，d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n .于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n ， 4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ·4n ＋1.因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝(1－3n )4n ＋1－43.所以S n ＝(3n －1)4n ＋1＋49.【例4】【2017大连市一中高三摸底考试】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n (n ∈N *)． (1)求f (x )的解析式； (2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝⎛⎭⎫1a n ，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式．【答案】（1）f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．（2）a n ＝4(2n －1)2(n ∈N *)．类型三、数列与不等式的交汇【例5】【2017广东省惠州市高三第一次调研考试】设0a >，0b >4a 和2b的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A．．8 C ．9 D ．10【答案】C【解析】因为422a b +=，所以21a b +=，()21212529b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当b aa b=即12a b ==时“=”成立。

【例6】【2017新疆兵团农二师华山中学高三试题】已知数列{a n }前n 项和为S n ，满足S n =2a n -2n(n ∈N*)．（1）证明：{a n +2}是等比数列，并求{a n }的通项公式； （2）数列{b n }满足b n =log 2(a n +2)，T n 为数列{11n n b b +}的前n 项和，若n T a <对正整数a 都成立，求a 的 取值范围．【答案】(1) 1*22()n n a n N +=-∈；（2）21≥a . 【解析】(1) 由题设()22n n a n n NS *=-∈，1122(1)n n a n S--=--(2)n ≥两式相减得122n n a a -=+， 即122(2)n n a a -+=+.又124a +=，所以{}2n a +是以为首项，为公比的等比数列，则1242,n n a -+=⨯1142222(2)n n n a n -+=⨯-=-≥，又12a =，所以1*22()n n a n N +=-∈（2）因为122log (2)log (2)1n n n b a n +=+==+，则11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ 所以111111111()()()233412222n T n n n =-+-++-=-<+++， 依题意得：21≥a点评：数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．类型四、等差数列与等比数列的实际应用【例7】【2017株洲高三摸底考试】某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元． (1)求该企业2014年年底分红后的资金； (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．【答案】(1) 8 500万元；（2）该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元．.方法、规律归纳:1.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．2．数列与函数的综合一般体现在两个方面(1)以数列的特征量n ，a n ，S n 等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．实战演练:1．【2017湖南衡阳八中月考】已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2 【答案】C.【解析】设等比数列的公比为q ，由题意知a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍去)．∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝(a 7＋a 8)q 2a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.2．【2017广东省珠海市高三摸底考试】正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n (m ，n ∈N *)使得a m a n ＝4a 1，且a 7＝a 6＋2a 5，则1m ＋5n的最小值是( )A.74 B ．1＋53 C.256 D.253【答案】B3．【2017广东省珠海市高三摸底考试】数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )A.2 B ．4 C ．2 D.12【答案】C【解析】设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.4．【2017江西省南昌高三一模】已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64 【答案】D【解析】依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除，得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列．而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.5．【2017广东六校联考】据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟 【答案】C6．【2017天津市十二区联考】已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n －1＝2a n ，n ≥2，点O 是平面上不在l 上的任意一点，l 上有不重合的三点A 、B 、C ，又知a 2OA →＋a 2 009OC →＝OB →，则S 2 010＝( )A ．1 004B ．2 010C ．2 009D ．1 005 【答案】D7．【2017青岛一中高三质检】设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x n ＝________，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________． 【答案】nn ＋1－2【解析】∵y ＝x n ＋1，∴y ′＝(n ＋1)x n ，它在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，与x 轴交点的横坐标为x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，由a n ＝lg x n 得a n ＝lg n －lg(n ＋1)，于是a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝lg 1－lg 100＝0－2＝－2.答案：nn ＋1 －28．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________． 【答案】10 100.9．【2017广东六校联考】某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则需在第n 年初对M更新．证明：需在第9年初对M 更新．【答案】⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯≤-=-7,)43(706,101306n n n a n n ；需在第9年初对M 更新． 【解析】(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×6)43(-n .因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯≤-=-7,)43(706,101306n n n a n n(2) 证明：设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×])43(1[6--n＝780－210×6)43(-n ，A n ＝nn 6)43(210780-⨯-. 因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝8)43(2107802⨯-＝824764>80，A 9＝9)43(2107803⨯-＝767996<80， 所以需在第9年初对M 更新．10. 【2017河北省冀州中学高三摸底考试】数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求a 3的值； (2)求数列{a n }的前n 项和T n ；(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .【答案】a 3＝14.；T n ＝2－12n －1. 见解析(3)证明：∵b 1＝a 1＝1，∴S 1＜2＋2ln 1成立．又∵b 2＝a 12＋⎝⎛⎭⎫1＋12a 2，b 3＝a 1＋a 23＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13a 3，…，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1n＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n a n ， ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n a 1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n a n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n (a 1＋a 2＋…＋a n )＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1＜2⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n ， 构造函数h (x )＝ln 1x －1x ＋1，x ＞0，h ′(x )＝1－x x 2，令h ′(x )＞0，解得0＜x ＜1；令h ′(x )＜0，解得x ＞1，∴h (x )＝ln 1x －1x＋1，x ＞0在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴h (x )≤h (1)＝0，∴ln 1x －1x ＋1≤0，x ＞0(仅当x ＝1时取等号)，即ln x ≥1－1x.又∵ln n ＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －2n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12＝12＋13＋…＋1n， ∴2⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n ＜2＋2ln n ，∴S n ＜2＋2ln n .。