1997考研数学真题答案详解
华东师范大学《数学分析》与《高等代数》考研真题(1997年-2013年)
续.
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五、设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f ( x) ≥ 0 ， f ′′( x) < 0 . 证明： f ( x) ≤
2 b f (t )dt ， x ∈ [ a, b] . b − a ∫a
六、设 f ( x , y ) 在 D = [ a, b] × [ c, d ] 上有二阶连续偏导数.
15
六、 （ 15 分）假设 σ 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换， τ 是同一空间 V 的变换 . 且对
∀α , β ∈ V , 有 (σα , β ) = (α ,τβ ).
证明： 1) τ 是线性变换, 2) σ 的核等于 τ 的值域的正交补.
七、 （15 分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。
n →∞ a≤ x≤ b a≤ x≤ b a≤ x≤ b n →∞
八、设 S ⊂ R 2 , P0 ( x0 , y0 ) 为 S 的内点， P 1 ( x1 , y1 ) 为 S 的外点. 证明：直线段 P0 P 1 至少与 S 的边界 ∂S 有一个交点.
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析
一、 （12 分）设 f ( x) 是区间 I 上的连续函数. 证明：若 f ( x) 为一一映射，则 f ( x) 在 区间 I 上严格单调.
二、 （12 分）设
⎧1, x为有理数 D ( x) = ⎨ ⎩0， x为无理数
证明：若 f ( x) ， D ( x) f ( x) 在点 x = 0 处都可导，且 f (0) = 0 ，则 f '(0) = 0.
二、(10 分)证明：方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 ⎪a x + a x + ... + a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⋯ (1) ⎨ ............ ⎪ ⎪ ⎩ as1 x1 + as 2 x2 + ... + asn xn = 0
华东师范大学1997-2015年高等代数考研真题及解答完整版
华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一.（10分）计算下列行列式：11222221122111112211...1(1)(1) (1)(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)n n nn n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------二.（15分）设5200200000520022A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，求正交矩阵T，使'1T AT T AT -=为对角形矩阵，并写出这个对角形矩阵.三.(15分)设200201A a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是复矩阵.1.求出A 的一切可能的Jordan 标准形；2.给出A 可对角化的一个充要条件.四.(15分)已知3阶实数矩阵()ij A a =满足条件(,1,2,3)ij ij a A i j ==，其中ij A 是ij a 的代数余子式，且331a =-，求： 1.A2.方程组123001x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解.五.（15分）证明：一个非零复数α是某一有理系数非零多项式的根⇔存在一个有理系数多项式()f x 使得1().f αα=六.（15分）设A 是n 阶反对称阵。
证明：1.当n 为奇数时|A|=0.当n 为偶数时|A|是一实数的完全平方;2.A 的秩为偶数 .七.（15分）设V 是有限维欧氏空间.内积记为(,)αβ.又A 设是V 的一个正交变换。
记{}{}12|,,|V V V V ααααααα=A =∈=-A ∈，求证：1.12,V V 是v 的子空间;2. 12.V V V =⊕八.（15分）设n 阶实数方阵的特征值全是实数且A 的所有1阶主子式之和为0，2阶主子式之和也为0.求证：0n A =九.（15分）设A，B 均是正定矩阵，证明： 1 .方程0A B λ-=的根均大于0； 2 .方程0A B λ-=所有根等于1⇔A=B.华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一.（10分）计算下列行列式:131********...2223333 (336)...n n n n n n n n n n n n n n-------------二.(10分)证明：方程组111122121122221122...0...0(1) 0n n n ns s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的解全是方程1122...0(2)n n b x b x b x +++=的解的充分必要条件是：12(,...,)n b b b β=可由向量组12,...,s ααα线性表示，其中12(,,...,)(1,2,...,).i i i in i s αααα==三（15分）设32()f x x ax bx c =+++是整系数多项式，证明：若ac+bc 为奇数，则f(x)在有理数域上不可约.四（15分）设A 是非奇异实对称矩阵，B 是反对称实方阵。
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题-推荐下载
(C) (x0 , f (x0 )) 是曲线 y f (x) 的拐点
(D) f (x0 ) 不是 f (x) 的极值, (x0 , f (x0 )) 也不是曲线 y f (x) 的拐点 (4) 设F (x) x2 esint sin tdt, 则 F (x)
x
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
东南大学1997年考试试题解答
东南大学１９９７年试题解答一．填空１．定义在Ｒ上的函数()f x 满足 1,(0,1](ln ),(1,)x f x x x ∈⎧'=⎨∈+∞⎩，且(0)1f =，则()f x =1,(,0],(0,)xx x e x +∈-∞⎧⎨∈+∞⎩． ２．当0x →时，1cos(1cos )x --是４阶无穷小量．３． 11,01()lim(1),1n nn x f x x x x →∞≤≤⎧=+=⎨>⎩．４．242421(1)1dx x dx dx x x x x -=+=++⎰⎰⎰311arctan 3x C x x -++ ５．()f x 在[,]a b 上黎曼可积，问|()|f x 在[,]a b 上是否黎曼可积？（是） 广义积分()af x dx +∞⎰收敛，问|()|af x dx +∞⎰是否收敛？（否）．６．函数项级数非一致收敛的定义为：二．若()f x 在[1,1]-上连续，在(1,1)-上可导，且(1)(1)0,(0)1,f f f -===证明：对(1,1)-内的任何α，存在(1,1)ξ∈-，使().f ξα'=证：设()()F x f x x α=-，则()F x 在[1,1]-上连续，在(1,1)-上可导，且(1),(1),(0)1F F a F α=--==，由于11,α-<<，所以11,α-<-<，故()F x 在[1,1]-上的最大值必在(1,1)-内的点ξ取得，由费马定理，()0,F ξ'=即有().f ξα'=三．证：曲面在点00,0(,)x y z 的切平面方程是000000000()()()0.y z x x x z y y x y z z -+-+-=即300000030.y z x x z y x y z a ++-=切平面与三个坐标轴的交点是333000000333(,0,0),(0,,0),(0,0,)a a a y z x z x y ，因此切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为333300000013339.62a a a V a y z x z x y =⋅⋅⋅=这是一定值．四．设1S 是yoz 平面上由Γ围成的平面区域的后侧，则由1S 与S 围成一个闭区域V ，由高斯公式1222222(()()()S S x zy dydz y x z dxdz z y x dxdy +-+-+-⎰⎰222222[()()()]0Vz y x z y x dxdydz -+-+-=⎰⎰⎰． 所以222222(()()()Sx z y dydz y x z dxdz z y x dxdy -+-+-⎰⎰ 1222222(()()()0.S x z y dydz y x z dxdz z y x dxdy =--+-+-=⎰⎰五．证明：由于1n =时不等式显然成立，所以下面假定2n ≥，由于1(1)!11221()()12()()22nn n n n n nn n n n n n n en e e e +++++≤==< 所以!()2nn n e <。
北京大学1997年高等代数与解析几何试题及解答
1. 求 A 的全部特征值和特征向量. 2. 设 B = A 3 − 5A , 求 B 的一个非平凡的不变子空间.
注 法二的想法源于蓝以中的《高等代数》第二版下册第 173 页的例 2.4.
六. 1. 设 λ 对应的一个特征向量为 ξ, 则 A ξ = λξ,
λ(ξ, ξ) = (A ξ, ξ) = −(ξ, A ξ) = −λ(ξ, ξ),
故 2λ(ξ, ξ) = 0, 由 ξ ̸= 0 知 (ξ, ξ) ̸= 0, 故 λ = 0.
0 或纯虚数.
1
一. 1. 对应的矩阵为
−132
−
3 2
1
−55 ,
5 −5 21
I1 = 2, I2 = −5/4, I3 = −5/4, 曲线为双曲线.
2. 对应的矩阵为
1 2
2 4
−510 ,
−10 5 −50
I1 = 5, I2 = 0, I3 = −625, 曲线为抛物线.
√ 五. (10 分) 设 f (x) 是有理数域 Q 上的一个 m 次多项式 (m ⩾ 0), n 是大于 m 的正整数. 证明: n 2 不是 f (x)
的实根. 六. (20 分) 设 A 是 n 维欧式空间 V 上的一个线性变换, 满足
(A α, β) = −(α, A β), (∀α, β ∈ V ). 1. 若 λ 是 A 的一个特征值, 证明 λ = 0. 2. 证明 V 内存在一组标准正交基, 使 A 2 在此组基下的矩阵为对角矩阵. 3. 设 A 在 V 的某组标准正交基下的矩阵为 A. 证明: 把 A 看做复数域 C 上的 n 阶方阵, 其特征值必为
考研数学历年真题(1987-1997)年数学一-新修正版
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++=_____________.(2)设幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为_____________.(3)对数螺线e θρ=在点2(,)(e ,)2ππρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)f x y = 22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyx y x y x y ≠+=,在点(0,0)处（ ）(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令1231(),()(),[()()](),2ba S f x dx S fb b a S f a f b b a ==-=+-⎰则（ ）(A)123S S S << (B)213S S S << (C)312S S S <<(D)231S S S <<(3)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x （ ）(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是:（ ）(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是（ ）(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算22(),I x y dv Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线 220y zx ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面8z =所围成的区域.(2)计算曲线积分()()(),cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰其中c 是曲线 2212x y x y z +=-+=从z 轴正向往z 轴负向看c 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t =时刻已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求().x t 四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线:l 030x y b x ay z ++=+--=在平面π上,而平面π与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5),-求,a b 之值.(2)设函数()f u 具有二阶连续导数,而(e sin )xz f y =满足方程22222e ,x z zz x y∂∂+=∂∂求().f u五、(本题满分6分)设()f x 连续1,()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()lim(x f x A A x→=为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分8分)设11110,()(1,2,),2n n na a a n a +==+=证明(1)lim n x a →∞存在.(2)级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]T T T ==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量.1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆.(2)求1.-AB 九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X 的概率密度为()f x =(1)0x θθ+ 01x <<其它 其中1θ>-是未知参数12,,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于（ ）(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则（ ） (A)(0)f 是()f x 的极大值(B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点 (3)设0(1,2,),n a n >=且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),x f f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于（ ） (A)1(B)2 (C)3 (D)4(5)四阶行列式1122334400000a b a b a b b a 的值等于（ ） (A)12341234a a a a b b b b - (B)12341234a a a a b b b b + (C)12123434()()a a b b a a b b --(D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +==试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x yv x ay =-=+可把方程2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,z u v ∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分)求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01(),xf t dt x⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分） 设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.（1）写出)(x f 在点c x =处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； （2）证明()2.2bf c a '≤+八、（本题满分6分）设,T A =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明 (1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ (2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2, (1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ=== 又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)(2)求随机变量X 的数学期望().E X1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos xd x t dt dx ⎰= _____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R =_____________. (5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)设有直线:L321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L （ ） (A)平行于π(B)在π上(C)垂直于π(D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是 (A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> (C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（ ） (A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln(1nn u =-+则级数（ ） (A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛(B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(5)设，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010101,100001010,,2133313231232122211311121332313322212312111P P a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a A 则必有（ ） (A)12AP P =B(B)21AP P =B (C)12P P A =B(D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx(2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求11()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分⎰⎰∑zdS 其中∑为锥面z =222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分) 设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''='' 八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x - 0x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设e sin ,xx u y -=则2ux y∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4)设区域D 为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设βαTA =其中T α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有 (A)N P M <<(B)M P N << (C)N M P <<(D)P M N <<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的（ ） (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21nn a ∞=∑收敛,则级数1(1)n n ∞=-∑（ ）(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关(4)设2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有（ ）(A)4b d = (B)4b d =-(C)4a c =(D)4a c =-(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组（ ） (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关 (C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设2221cos()cos()t x t y t t udu==-⎰,求dydx 、22d y dx 在t =. (2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求⎰+x x dxsin 22sin .四、(本题满分6分)计算曲面积分2222,Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim 0,x f x x →=证明级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与点B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积. 八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵T A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________. (2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）已知随机变量),(Y X 服从二维正态分布，并且Y X 和分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X Y Z =+ (1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差.(2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数1()(2(0)xF x dt x =>⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线 223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________.(4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的（ ）(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为（ ）(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为（ ） (A)6π(B)4π (C)3π (D)2π (4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于（ ）(A)e e 2x x--(B)e e 2x x --(C)e e 12x x-+- (D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则（ ） (A)6t =时P 的秩必为1 (B)6t =时P 的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1 (D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰其中∑是由曲面z =z =.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点. (2)设,b a e >>证明.b a a b > 七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关?(3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程ecos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu =_____________.(3)设()f x =211x-+ 00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限（ ） (A)等于2 (B)等于0(C)为∞ (D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos )(nn an∞=--∑常数0)a >（ ）(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线（ ） (A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f存在的最高阶数n 为（ ）(A)0 (B)1(C)2(D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为（ ）(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求0x x →(2)设22(e sin ,),xz f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y ∂∂∂(3)设()f x = 21ex x -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分=I 323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =侧.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出.(2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=⎰.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cos x t y t=+=,则22d ydx =_____________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)曲线221e 1ex x y --+=-（ ）(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于（ ） (A)e ln 2x (B)2e ln 2x(C)e ln 2x +(D)2e ln 2x +(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于（ ）(A)3(B)7 (C)8 (D)9(4)设D 是平面xOy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于（ ）(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰(D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有（ ） (A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E (D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求20).x π+→(2)设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线 220y zx ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β (1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________. (2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+ (1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim()xx x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x = 10 11x x ≤>,则[()]f f x =_____________.则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于（ ）(A)e(e )()xx f f x ---- (B)e (e )()x x f f x ---+ (C)e (e )()x x f f x ---(D)e(e )()xx f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n fx 是（ ）(A)1![()]n n f x + (B)1[()]n n f x +(C)2[()]nf x (D)2![()]nn f x(3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n ∞=-∑（ ） (A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a 的取值有关(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim 2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x （ ）(A)不可导(B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是（ ）(A)1211212()2k k -+++ββααα (B)1211212()2k k ++-+ββααα (C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y ∂∂∂(3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数0(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分)求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'> 七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞则X 的概率分布函数()F x =____________. (2)设随机事件A 、B 及其和事件B A 的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -===则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--= _____________.(2)设()f x 是连续函数,且1()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lxy ds +⎰=_____________.(4)向量场k z x j ye i xy z y x u z)1ln(),,(22++==在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字(1)当0x >时,曲线1siny x x=（ ） (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点P 的坐标是（ ） (A)(1,1,2)-(B)(1,1,2)-(C)(1,1,2)(D)(1,1,2)--(3)设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，21,c c 是任意常数,则该非齐次方程的通解是（ ） (A)11223c y c y y ++(B)1122123()c y c y c c y +-+(C)1122123(1)c y c y c c y +---(D)1122123(1)c y c y c c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,n n S x b n x x π∞==-∞<<+∞∑其中12()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰则1()2S -等于（ ）(A)12- (B)14-(C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中（ ） (A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y ∂∂∂(2)设曲线积分2()cxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分)设0()sin ()(),xf x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明方程0ln e x x π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组13x x λ+=123422x x x λ++=+ 1236423x x x λ++=+有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值. (2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B 的概率()P A B =____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差),而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域.(2)已知2()e ,[()]1x f x f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ并写出它的定义域.(3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若21()lim (1),tx x f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x = 22x1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4×4矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是（ ） (A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x ∆同阶的无穷小 (C)比x ∆低阶的无穷小 (D)比x ∆高阶的无穷小(2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处（ ） (A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则:（ ） (A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处（ ）(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是（ ）(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα(B)12,,,s ααα中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D),,,ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示设()(),x y u yf xg y x =+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u ux y x x y ∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,xy y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x =六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2(0kk r>为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M 沿直线y =(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似. (1)求x 与.y(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A 在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________. (3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u xx du φφ-==⎰则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =的概率密度函数().Y f y1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_____________时,函数2xy x =⋅取得极小值.(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.1x =(3)与两直线 1y t =-+及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________ .2z t =+(4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰的值是 _____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量）（0,0,2=α在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式21lim 1x =⎰成立.。
1997-数一真题、标准答案及解析
1997年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题3sin x x 2 cos_(1) lim xx 01 cos x In 1 x【答】2,4【详解】根据幂级数的性质，逐项求导后，得n 1咏1的收敛半径仍为3,故na x1n 1d 2n 2x 1na x 1nn n 1n 1的收敛区间为 x 1 3,即2, 4 . (3)对数螺线 e 在点处切线的直角坐标方程为 ______________. 【答】 x y e^ . 【项解1】由于 x cos , y sin ,螺线方程e 可化为x e cos , y e sin .dy . sin cos-由于—|| _1,且当 —时，x 0, y e 2 .dx 2 cos sin 22故所求切线方程为3［答］ .2213sin x x coslim- x【详解】 原式= x 0 2x3 0 3 .22(2)设幕级数a n x n的收敛半径为3,n 03lim sin x lim 2 x cosj2x 0 x x 0 2 x n 1则幕级数na n x 1 的收敛区间为n 1y e21x0,即x y _2【详解2】螺线方程e可化为隐函数方程：In x2 y2 arcta n丄,x利用隐函数求导法，得在点0, e 2处的导数为y°1,故所求切线方程为y 2 e 1 x 0 ,即x y _ .21 2 2(4)设A 4 t 3 ,B为三阶非零矩阵，且AB 0,则t=3 1 1【答-3.】【详解】由于B为三阶非零矩阵，且AB 0,，可见线性方程组Ax 0存在非零解，故1 2 2A 4 t 3 0 t 3.3 1 1(5)袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是________________ .2【答】.5【详解】设A ｛第一个人取出的为黄球｝, B ｛第一个人取出的为白球｝，C ｛第二个人取出的为黄球｝.2 3 19 20则P A _,P B _, P C | A _, P C | B —.5 5 49 49由全概率公式知：P C P A PC | A P B P C | B2 93 20 19 25 49 5 49 49 5 .:■、选择题xy , x, y 0, 0x y ，在点0, 0处(1)二元函数- f x, y 2 20, x, y 0, 0(A )连续，偏导数存在 (C )不连续，偏导数存在 (B )连续，偏导数不存在 (D)不连续，偏导数不存在【答】【详解】应选(C ). 由偏导数的定义知 f ' 0,0 Xlim A X 0f 0 AX , 0 f 0,0 0,A X 而当y kx,有 limX kx..X limy X , y0,0x 22 yX 0X 2 k X当k 不同时， k不同， 故极限 1 k 2可见，应选( C ) (2)设在区间 a, b 上f X 0, fS 2 f b b a ,S 3 -f a 2(A ) S i S 2 S 3.(C) S s S i?2. limxy X , y 0,0 x 2不存在, 2y因而 f x, y 在点0, 0处不连续, X 0, f '' X【答】应选(B ). 0，令Sb f X dx,a(B) S> (D)S 2是有f x f b ,S 3S 3.f xf af bf a xb a从而bSf x dxf babbS f x dxf a1aa1fa fb2即s>S 3 ,故应选（B )•x 2.丄⑶设F xxsin t esin tdt,则 F（A ） 为正常数(C ) 恒为零•【答】应选（A ）•a , a x b.b a S 2, f b f ax a dxb ab a S .3x（B ）为负常数 （D ）不为常数【详解】 由于e sint sin t 是以2为周期的，因此x : F x2 sin te sintd2 tsir e"11sn tdtx2 0sinte d cos t0 2 2 + cos t esintdt 0.故应选（A ）a 1biC 1（4）设a ,b ,c ,则三条直线12 2232a sb sc sa xb y1 1c 0,a x1 2b y 2c20,a x b y c 0 (其中 ab 0,i1,2, 3 交于一333ii点的充要条件是（A ） 1, 2, 3线性相关•(B ) 1, 2, 3线性无关•(C )秩 r 1, 2, 3 =秩 r 1, 2(D )1, 2, 3线性相关，1, 2线性无关【】【答】 应选（D ）. 【详解】由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组0 2a 1xb 1yc 1 0 a x b y c 02 2 2a xb yc 033 3 有唯一解，其充要条件为秩秩 r 1, 2, 3 =秩 r 1, 2 = 2. （A ）、（C ）必要但非充分；（B ）既非充分又非必要；只有（D ）为充要条件，故应选（D ）. （5）设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量3X 2的方差是 (A )8.(B )16. (C ) 28. (D) 44. 【答】 应选（D ）.【详解】 D 3X 2Y32D X 22D Y 9 44 2 44.三、（1） 计算Ix 2 y 2 dV ,其中为平面曲线2绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面 z 8所围成的区域【详解】 利用柱面坐标, 积分区域可表示为,r, z4 rdr 082 r 2r dz2r8 — 2dr1024 3x 2计算曲线积分从z 轴正向往 z 轴负向看, 【详解1】 令 x cos ,y sin ,则 y dx z dy dz,其中C 是曲线C 的方向是顺时针的. cos sin 由于曲线C 是顺时针方向，其起点和终点所对应 值分别为 2 , 0.° z y dxCx z dy y dz 2 sincos2cos21 d2 cos sin sin 2 2 .° z y dx x z dyCx y dz rotFdS2dxdy2dxdyDxy2 .） 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N ,在0时刻已掌握新技术的人数为 X 0,在任意时刻t 已掌握新技术的人数为 x t，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例 常数k 0,求x t【详解2】 设是平面x y z 2以C 为边界的有限部分，其法向量与 Z 轴负向一致，D xy 为在xOy 面上的投影区域 x y k,2k.【详解】由题设,原方程可化为 积分，得 代入初始条件，得 四、（1）设直线 dxkxdt x odxkdt.NCe kNt1 Ce kNt,kNt0 Nx exkNtx 0eay在平面22上，而平面 与曲面z x y 相切于点（将 x t视为连续可微变量）1, 2, 5，求a、b 之值.【详解1】2 令F x, y, z x2y z，则F ' 2x,F -' 2 y,F ' 1.在点1, 2,5 处曲面得法向量为y zn 2, 4, 1，于是切平面方程为2 x 1 4 y 2 z 5 0, 即2x 4y z 5 0.x y b 0由1 :x ay z 3 0得x b, z x 3 a x b代入平面方程，得2x 4x 4b x 3 ax ab 5 0,有5 a 0, 4b ab 2 0.由此解得 a 5, b 2【详解2】由方法一知，平面方程为2 4 y z 5 0.x y b 0过直线1 : 的平面束为x ay z 3 0x y b x ay z 3 0, 即1x1 a y z b 3 0.其与平面重合，要求1 1 a b 32 4 1J 5解得1,a 5, b 22x Z (2)设函数f u具有二阶连续导数，而z f e sin y 满足方程——2x 【详解】2Z 2x2 e乙求yX1在X 0处的连续性u duxt dtu'X于是 xf X ° f u du0 X 02X由导数疋义，有'0 limX f u duf XA lim. X 02XX 02X2 而lim1X limXf XX 0f u duf X limX 0X 02XX 0XAA A 12 2XXXlim 0 f u duX 0可见，X在x 0处的连续性代入方程七X解此方程得f u五、设f Xz ' X • z f u e sin y, X y 2 z 2 f u e Xsin y f X z ' Xf u e sin yXf u e cos y,2x 亠：2 _ _u esin y,''2 X 2u e cos y,y — e 乙得 f u f u 0.C e u C e u （其中C , C 为任意常数）1 2 1 2连续,f xt dt ，且 limX 0A （ A 为常数），求 X 并讨论 X【详解】由题设limX 0A 知，f 00, f ' 0 A,且有 0 0.X1六、设 a i 2, a n in 1,2,…，证明:a n(1) lim n a n 存在;a n(2)级数 1收敛. a n 1【详解】 (1)因为 a nana~na n于是有a n a n 0,故数列 a n (2)方法一: 由(1 )知 a nan 1an 1由于级数 a n a n1ana n级数 n 1a n 方法二: 令b n a na n 11 a 2n2a ；1,单调递减且有下界，所以 的部分和数列S na n 1收敛，由比较判别法知, 利用递推公式，有 a k a k 1 a n a.1lim a n 存在.na 1 a n 1的极限lim 3存在，可见n1也收敛.b n 1 lim 工 n b n1 a n2 lim ___ 214 an 1 0 1,由比值判别法知 七(1)设B 是秩为 是齐次方程组 Bx a n 级数 一 n 1a n 1 2的5 4矩阵, 0的解向量，求 1也收敛. 1 1,12,3T , 2 1,14, 1T , 3 5, 1, 8,9 TBx 0的解空间的一个标准正交基 【详解】因秩r B 2,故解空间的维数为：4 r B 4 2 2, 又1, 2线性无关，可见 1, 2是解空间的基先将其正交化，令:2 再将其单位化，令：12 1 1 12 pC 111 尿 2，2 2 V39 53 3即为所求的一个标准正交基1 2 1 2 (2)已知 1是矩阵A5 a 3 的一个特征向量 1 1 b 2)试确定参数a, b 及特征向量 所对应的特征值; )问A 能否相似于对角阵？说明理由 •3 r E A 1个，故A 不可对角化八、设 A 是n 阶可逆方阵，将 A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵为 B. 1 1 1 1 2 1 1 3 4 - 2, 1 1 1 1 2 2 2 1 3 1 1 J 14 33210 【详解】(I ) 由题设，有 A 2 1 2 1 1 5 a 3 1 0 1 J 1 b2 1 1 2 1 2 o 也即 5 a3 o1 b 2解得 a 3,b 0, 1 . (II ) 由2 1 2 A 5a 3 ，知 E1 b2 可见 1为 A 的三重根，但秩0 ,即 23 r E A 2,从而 1对应的线性无关特征向量只有(1)证明B可逆;(2)求AB 1.【详解】(1)记E i, j是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则B E i, j A，于是有 | B |E i, j ||A A | 0.故B 可逆(2)AB 1 A E ij A 1 AA 1E 1 i, j E 1 i, j E i, j .九、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设再各个交通岗遇到红灯的事件是象话2独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数5和数学期望•2【详解】X服从二项分布B 3,2，其分布律为5C k 2 k 1 2 3k , k 0,1,2, 3.3因此，X的分布函数为0, x 07,0 x12581 125,1—125X的数学期望为其中1是未知参数，x1 , x2，…,x n是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计值.【详解】总体X的数学期望为111xf x dx 1 x dx2十、设总体X的概率密度为f x1 x , 0 x 10,其他令一2 X，得参数的矩估计量为设X,, x2，…,x n是相应于样本X,, X 2，…,X n的一组观测值，则似然函数为n1 n X , 0 X 1 i 1,2, 3,…,nLiii 1其他.当0 X i 1 i 1,2, 3,…,n 时，L 0且In L n In n1i 1In x i令d In L n nIn x1 i 10, d得的极大似然估计值为A1nnIn xi 1从而的极大似然估计值为A n1 nIn xi 1。
天大1997年硕士研究生入学试题及答案
一．（一）确定换出基的变量因为总存在<0的i b ，令r b =mini()i b ,其对应变量r x 为换出基的变量（二）确定换入基变量（1）为了使下一个表中第r 行基变量为正值，因而只有对应rj a <0的非基变量才可以考虑作为换入基的变量（2）为了使下一个表中对偶问题的解仍为可行解，令m in 0j j s srj j rj rsc z c z a a a θ⎧⎫--⎪⎪=〈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭称rs a 为主元素，s x 为换入基的变量 设下一表中的检验数为()'j j c z -)()()'rj j j ssj j j j s s rj rsrj rs a c z c z c z c z c z a a a a ⎡⎤---=---=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦（a ）对0rj a ≥时，因0j j c z -≤ 故0j jrjc z a -≤ 有因为主元素0rs a 〈 所以0s srsc z a -≥ 所以()'0j j c z -≤ （b ）对0rj a 〈 因0j js srjrsc z c z a a ---〉 故()'0j j c z -≤二（1）1333B C C B P σ-=- ()123301C C ⎛⎫-=-⎪-⎝⎭1122111122133121122223421234m ax ,,,0z c x c x a x a x a x b a x a x a x b x x x x =+++=++=≥1444B C C B P σ-=- ()121101C C -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭122,3C C ==(2) 112311112b B b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1212312b b b b -⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭ 1121223312272b b b b b b ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩ (3) 2C 的变化影响检验数，设2C 的变化量为C ∆()3302,301C σ⎛⎫=-+∆≤⎪-⎝⎭即 ()630C -+∆≥()4102,301C σ-⎛⎫=-+∆≤⎪⎝⎭()230C-++∆≥13C -≤∆≤ 当2C =1时()()}{()1144m in 19501180k k k k k f S V f S f S ++⎧=∙⎪⎨=⎪⎩= []3,0,0,2X *= 23016Z *=⨯+⨯=（4）)1*33112011712Bb bλλ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+≥ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭331201172λλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪+≥ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭97130122143741022λλλλλλλ⎧+-+≥⎧⎪≥-⎪⎪⇒⇒⇒-≤≤⎨⎨⎪⎪≤--+-≥⎩⎪⎩（5）121,2X X == ()111231,11BX X ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()12111,132B X X ⎛⎫== ⎪⎝⎭1223M ax X X =+ 12121,2113222137.2220X X s t X X X X ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪⎪⎩第一种资源剩余为0 第二种资源剩余为0影子价格分别为-3，-1三阶段变量R=1，2，3 表示第3个课题组分配专家的过程 状态变量K S 表示K 阶段初剩余专家数 决策变量K X 表示给第K 组分配K X 名专家 转移方程 1K K K S S X +=-阶段变量K V 表K 组得到K X 名专家支援后的失败概率基本方程：()()}{()1144m in 1kk k k k f S V f S f S ++⎧=∙⎪⎨=⎪⎩给第一组和第三组各增派1名专家，失败概率最小为0.06四五（1）标准M/M/1/∞/∞模型 5λ=，M=10，0.5Mλρ==20.251110.52q L ρρ===--（艘/周）0.50.15q L qW λ===（周） 110.10.210s q W W μ=+=+=（周）（2）M/M/C/∞/∞模型 5λ=，M=10， 50.25210c λρμ===⨯()()0.09890.04170.04170.250.20.07030.30.20.50.0352000093005000q W μ-=+⨯-=--⨯=>()0.09890.04170.04170.250.20.07030.30.2q W μ-=+⨯-=- 0.07030.00703q W μ== 0.035q q L W λ== （艘）节省费用()0.50.0352000093005000-⨯=> 所以值得 六R=20000物资单位/年 3c =100元/次 1T =250天 1c =20⨯20%=4元/件.年 K=20元/件 （1）1000Q *===（件）（2）120t *===（次/年）（3）1000-50=950（件） 2000080250250R ==（件/天）9501180=（天）故订货点为到货1000件，使用1天后订货。
97年考研线性代数真题
97年考研线性代数真题1997年考研线性代数真题1997年的考研线性代数真题是一道经典的题目，它涉及到了线性代数的基本概念和运算。
本文将对这道题目进行分析和解答，帮助读者更好地理解线性代数的知识。
题目的内容是关于线性方程组的求解。
线性方程组是线性代数中的重要概念，也是解决实际问题的基础。
在这道题目中，我们需要求解一个由三个方程组成的线性方程组。
首先，我们可以将方程组写成矩阵形式，即AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
接下来，我们需要对矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形。
行最简形是指矩阵中每一行的首个非零元素为1，且该元素所在的列其他元素都为0。
通过初等行变换，我们可以将矩阵A化为行最简形，同时对应地对矩阵X和B进行相同的初等行变换。
在这道题目中，我们可以通过高斯消元法来进行初等行变换。
高斯消元法的基本思想是通过逐行进行操作，将矩阵化为行最简形。
具体操作包括将某一行的倍数加到另一行上，交换两行的位置，以及将某一行的元素乘以一个非零常数。
在对矩阵A进行初等行变换的过程中，我们需要注意一些特殊情况。
首先，如果某一行的首个非零元素为0，则可以将该行与下一行交换位置。
其次，如果某一行的所有元素都为0，则可以将该行删除。
最后，如果矩阵A的某一行的首个非零元素所在的列其他行的对应元素都为0，则可以将该行删除。
通过对矩阵A进行初等行变换，我们可以得到行最简形矩阵。
接下来，我们可以通过回代法求解线性方程组的解。
回代法的基本思想是从最后一行开始，逐行求解未知数的值。
具体操作是将已知的未知数的值代入到上一行的方程中，求解出该行的未知数的值。
在这道题目中，我们可以通过回代法求解出未知数的值。
首先，我们可以从最后一行开始，求解出X3的值。
然后，将求解出的X3的值代入到上一行的方程中，求解出X2的值。
最后，将求解出的X2和X3的值代入到第一行的方程中，求解出X1的值。
通过以上的步骤，我们可以求解出线性方程组的解。
考研高数二真题及答案97年到12年
考研数学二真题1997年
一、填空题 1
2、
3. 4、
5、
二、选择题 6、
7、
8.
9、
10、
三、解答题 11、
12、
13、
14、
15、
16、
17、
18、
19、
20、
21、
答案: 一、填空题
2 2 2
dxபைடு நூலகம்
ey
dy ， x 0 、y 0 代入可得， 将 所以 dy dx dx
0 代入可得
x 0
0
x 0
再次求导得 2 d y e y dy e y d y ，再将 x 0 、 y 0 、 dy 2 2
dx
dx
dx
dx
d2y dx 2
2
2
3
e x sin xdx e x sin xdx ex sin xdx ，对 e x sin xdx 做变量代换 t x 得
2 2 2
2
2
3
3
2
2
2
3
e x sin xdx et sin t dt et sin tdt e x sin xdx ，
18、
19、
20、
21、
答案: 一、填空题 1、
2、
3、
4、
5、
二、选择题 6、D 7、C
8、A
9、C
10、B
三、解答题 11、