2020-2021学年湖北省鄂东南省级示范高中高一上学期期中联考数学试卷
2020年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学试卷考试时间：2020年11月19日上午08:00—10:00 试卷满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．） 1．已知集合},92|{},71|{<≤=<≤=x x B x x A 则=B A C R )(（ ）．A ．}97|{<≤x xB ．}72|{<≤x xC ．}91|{<≤x xD ．}92|{<≤x x2． 下列各组函数中，是同一函数的是（ ）． A ．2yx 与y x x =B．y2y =C ．2x x y x+=与1y x =+D ．321x xy x +=+与 y x =3．已知2121)1(25-<-m m ）（，则m 的取值范围是（ ）. A. ),2(+∞ B.]252，（ C.）（2,∞- D. )2,1[ 4． 已知正数b a ,满足1=+b a ，则ba 91+的最小值为（ ）． A ．6B ．12C ．16D ．205． 命题“,,Z n R x ∈∀∈∃使得1-<n x ”的否定形式是（ ）．A ．,,Z n R x ∈∀∈∃使得1-≥n xB ．,,Z n R x ∈∃∈∀使得1-≥n xC ．,,Z n R x ∈∃∈∃使得1-≥n xD ．,,Z n R x ∈∀∈∀使得1-≥n x6． 不等式01652≥--+x x x 的解集为（ ）．A ．),3[]2,1+∞ （ B ．),1()1,6[+∞- C ．),2[)1,3[+∞- D ．）+∞-,6[7． 设函数1)(-=x x f ，则)6()3(xf x f +的定义域为（ ）．A ．]6,31[B ．）+∞,1[C ．]6,3[D ．]3,61[8． 函数⎩⎨⎧<++-≥+=0,20,3)(2x a x x x ax x f 是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）．A ．），（∞+0 B ．}3{C ．），（30D ．(]3,0二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．） 9． 下列选项正确的是（ ）．A ．}1,1{}1{2-==x B ．}0,,,|{≠∈=∈=p Z q p pqx R x Q C ．若b ax x x g ++-=2)(，则2)()()2(2121x g x g x x g +≥+ D ．偶函数)(x f 在],[b a 上单调递减，那么它在],[a b --上单调递增10．函数12)(2++=x ax x f 与ax x g =)(在同一坐标系中的图像可能为（ ）．A ．B ．C ．D ．11．已知不等式02>++c bx ax 的解集为}|{n x m x <<，其中0>m ，则以下选项正确的有（ ）．A ．0<aB ．0>cC ．02>++a bx cx 的解集为}11|{m x n x << D ．02>++a bx cx 的解集为}11|{m x n x x ><或12．函数)(x f y =的图像关于点),(b a P 成中心对称的充要条件是函数b a x f y -+=)(为奇函数，以下选项正确的有（ ）．A ．12)(+=x x f 关于)0,21(中心对称B ．233)(x x x f -=关于)2,1(-中心对称C ．函数)(x f y =的图像关于a x =成轴对称的充要条件是)(a x f y +=为偶函数D ．52)(2+-=x x x f ，则)1(-x f 为偶函数三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若实数y x ,满足1221≤≤-<<-y x ，，则x y -的取值范围是 .14．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当),0(+∞∈x 时，x x x f 3)(2-=，则)(x f 的解析式为 ．15．函数][)(x x f =的函数值表示不超过x 的最大整数，][)(x x f =,]2,1[-∈x 的值域 ，][)(x x x g =，]2,1[-∈x 的值域为 ．16．设b a ,为正实数，有下列命题：①若122=-b a ，则1<-b a②若111=-ab ，则1<-b a ③若1=-b a ，则1<-b a④b a ab b a +≥+22 ⑤bba ab a b a +++<+++111 其中正确的命题为 （写出所有正确命题的序号）．四、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）函数xx x f 2)(+=． （1）讨论函数)(x f 在区间()+∞,0上的单调性； （2）求)(x f 在),3[+∞上的值域．18．（12分）已知集合{}0432≥-+=x x x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=02x x xB ．（1）若{}a x a x C +<<=12，且()B A C ⊆,求实数a 的取值范围．（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0212122m m x m x x D ，若B A x ∈是D x ∈的必要不充分条件，判断实数m 是否存在，若存在求m 的范围．19．（12分）已知点)2,2(在幂函数)(x f 的图像上．（1）求)(x f 的解析式；（2）若函数]4,1[,3)()(∈++=x ax x f x g ，是否存在实数a ，使得)(x g 最小值为5？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．20．（12分）某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个． （1）据市场调查，若一个削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2000个．要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？（2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到x 元．公司计划投入231x 万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用．试问：技术革新后，该削笔器的年销售量t 至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价？21．（12分）定义在R 上的函数()x f 满足对任意R y x ∈,，恒有()()()y f x f y x f +=+，且0)(0>>x f x 时，有．（1）试判断()x f 的奇偶性，并加以证明； （2）试判断()x f 的单调性，并加以证明；（3）若.0)()(,2的取值范围恒成立，求实数不等式k k f t t f R t <--∈∀22．（12分）.,||)(2R a a a x x x f ∈+--= （1）若)(x f 为奇函数，求a 的取值范围．（2）当0>a 时，]},2[),(|{a ax x f y y A ∈==，]},2[)),((|{a a x x f f y y B ∈==．若B A =，求a 的值．2020年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考）（2,4-.13⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=0,30,3)(.1422x x x x x x x f }2,1,0,1.{15- [)}4{2,0 ①④⑤.16()分有且2)2)(()(2)()22()()2()2()()(,,,0,)1.(1721212121122121212211212121⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯--=-+-=-+-=+-+=-<+∞∈∀x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x()[).)(,0)()(,02,2)(,0)()(,02200,2121212121212121单调递增时，，当单调递减，时，，，当x f x f x f xx x x x f x f x f x x x x x x x x <-∴>-+∞∈>-∴<-∈∴<-∴<()[)分上单调递增，上单调递减，在在综上所述，函数6.22,02)(⋯⋯⋯⋯∞++=x x x f[)[)[)分）上的值域为，在上单调递增，在上单调递增，，在）知由（10,311[3)(.311)3()(.3)(2)(1)2(min ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+∞∞+∴==∴∞+∴∞+x f f x f x f x f分或依题意，3}.21|{}.20|{},14|{)1.(18⋯⋯⋯≤≤=∴≤<=≥≤=x x B A x x B x x x A分综上所述，分解得时，有当分即时，有当6.,215.121,211214;1,21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯<≤⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥<∅≠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯≥≤+∅=a a a a a C a a a C分分且依题意，9},21|{}0)]21()[(|{8).()()2(⋯⋯⋯⋯⋯⋯+≤≤=≤+--=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯≠⊆m x m x m x m x x D B A D B A D分分解得且等号不同时取12.23,111.231.2211⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴⋯⋯⋯⋯≤≤⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥∴m m m m分）在幂函数图像上，，点（分设为幂函数，）（5.)(222222,)()(1.192⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⇒=∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∴x x f x x f x f ααα]4,1[,3)(22∈++=x ax x x g ）（①分时：即当7.154)1()(2,12-min ⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⇒=+==-≥≤a a g x g a a②分时：即当9.534)2()(28,42-12min ⋯⋯⋯∅∈⇒=+-=-=-<<-<<a a a g x g a a ③分舍去时：即当11).(275194)4()(8-,42-min ⋯⋯⋯⋯⋯-=⇒=+==≤≥a a g x g a a综上，存在1=a .……………………12分分元每件售价最多为低于原收入，该削笔器故要使年销售总收入不分分依题意，有：元设每件售价为6.90590150)90)(15(0901510521815)]15(2.018[.)1.(202⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯≤≤∴≤--≤⨯+-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⨯≥--x x x x x x x x 分元此时每个削笔器售价之和于原收入与总投入新后的年销售收入不低万件时，才能使技术革至少达到技术革新后，销售量分时等号成立，，即当且仅当由于分有解时，当分有解，时，当12.30.2011.20303300,20100233009.33001583130181515)2(2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯≥∴===≥+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+≥>⇔⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯++⨯≥>t t x x x x x x x t x x tx x分为奇函数令令证明如下：分是奇函数4.)()()(0)()()0(,0)0(,01.)()1.(21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴-=-∴=-+=∴-==∴==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x f x f x f x f x f f x y f y x x f分上单调递增在，则，且令证明如下：分上单调递增在8.)()()(.0)()()()()()()()(.0)(,05.)()2(1212111211121212122121⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴>∴>-=-+-=-+-=-∴>-∴>-∈<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯R x f x f x f x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f x x f x x R x x x x R x f分又恒成立上单调递增，在且）（12.,4141)21(4141)41()()()(322222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈∴≤--=++--=-<-∴<-k t t t t t k t t R x f k f t t f 分故为奇函数，时，当依题意：4.00,0,||)(0,00)0()1.(22222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-===⇒==a x x x x x x x f a a a f分时，分故当分上单调递减，上单调递增，上单调递减，在时：当分）（9,221438},43|{],,43[)(],,2[7),(),2()2,()(205,,)(222222222222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=⇒=++->⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯≤≤=∈∈⋯⋯⋯⋯+∞-∞>>⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥++-=a x a a ax x a x a y a y A a a x f a a x a a a a x f a a a a x a ax x ax a ax x x f分综上：分时，即当分时即当1222111.2212213432,43210,221,320,2430043,022222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=⇒+=≤<≤<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∅∈⇒+≤≤≤<≤<>∴>a a a a a a a a a aa a a a a a a。
湖北省2021年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考数学试题 - 含答案
错．误．的是（ ）
A．从正方形
ABCD
开始，连续
3
个正方形的面积之和为
129 4
图（1）
B． an 4
10 n1 4
C．使得不等式
bn
1 2
成立的
n
的最大值为
4
D．数列bn 的前 n 项和 Sn 4
图（2）
二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合要 求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。）
以 O 点为坐标原点，分别以 OC, OE, OA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的
3
（1）求角 C 的大小；
（2）若 c 3 ，角 A 与角 B 的内角平分线相交于点 D ，求 ABD 面积的取值范围．
22．（本小题 12 分）已知函数 f (x) 1 ax2 (a 1)x+ ln x a 0 ．
2 （1）讨论函数 f (x) 的单调性；
（2）当 a 1 时，判断函数 g(x) f (x) (x 1) ln x x 1 的零点个数．
l : y kx m(km 0) 与双曲线 C 相交于不同的两点 M , N ，若 BM BN ，求实数 m 的
取值范围．
20．（本小题 12 分）在锐角三角形 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且
c sin B 3 b cos( A B) 3 b ．
ห้องสมุดไป่ตู้
3
2021 年秋鄂东南教改联盟学校期中联考 高三数学试卷（共 6 页）第 5页
湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年高一数学上学期期中试题(含解析)
湖北省鄂州市部分高中联考协作体 2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（共12小题）.1. （ 5分）满足条件?? M ? {a , b , c }的集合M 共有（ ）A. 3个B. 6个C. 7个D. 8个2.（ 5分）不等式十冬2的解集为（）A. [2 , +x ）B. [1 , +x ）3.（ 5分）已知a >b >0, c v d v 0,则下列关系式错误的是（）A. —v [B.寸<匸C. ac 2 > bd 2D. ac > bd4.（5分）如果？ x °€ R 使X 02+ax °+1v 0成立，那么实数a 的取值范围为（ ）C. [2 , +O ）D.5. （ 5分）函数y +1的大致图象是（）C.—OO1]D.( — O , 1)U [2 , +O )A. —OO-2]B.(-O ,- 2)U( 2, +O )m的取6. （5分）若幕函数的图象不过原点，且关于原点对称，则值是（）-1是（ ）9. (5 分)已知集合 A = { (x , y ) | y = x - 1}, B = { (x, y ) | y = 1 - x },则 A A B=( A. {1 , 0} B.( 1, 0)C.{ (1, 0) } D { (x , y ) |{；：}10 . (5分)下列四组函数中表示同一函数的组数是()A. f (x )= | x | 与 g (x )='厂B. f (x )= | x | 与 g (C f (x )=( -厂)3与 g (x ) = r ■■)2D. f (x )=胃与 g (x ) = ■ ■11 . (5分)当x € R, X M 0,下列不等式成立的是( )A. |x+：| >2B. 0< ； VC.x +； > 2D. x +； <-212 . ( 5分)判断一下说法正确的是()A. “ ab = 0”的一个必要非充分条件是“ a 2+b 2= 0” 1 1B .如果 2f (x ) +f (j)= x ,那么 f (x )=g-豆7 (X M 0) C. 函数y = r +「，+的最小值为2D. 函数f （x ） = x 十的任意自变量X 1、X 2满足.m=- 2 B . m=（5分）函数f (x )=.(0, 3) B ・(- （5分）已知f (x )=C. m=- 2 或 m=- 1D.— 3< me - 1x 3+x ，则不等式f （2 - X 2） +f （2x +1）＞ 0的解集是（ ） C.:,-3) D . (- 1, 3)x 3(x<0),方程2[ f (x ) ] 2+f (x )- 1 = 0的根x 的个数A. 1B. 2C. 3D. 47.8A A 可，2）f (巧(七)> 2-1 f二、填空题(每小题5分，共20 分)13. ____________________ ( 5 分)如果全集U= A U B= {x€ N|0< x v 8}, ( ?u A)n B= {1 ,3, 5, 7}，那么用列举法表示A= .14. (5 分)已知g (x)= f (x) +x2是奇函数，且f (1)= 1,则f (- 1)= _______________ .15. ( 5分)两辆车需要尽快通过一段100m的桥梁，如果两车安全间距与速度关系为______ s.L=：〔，设车辆限速不超过60ms，那么两车都通过的最短时间为16. (5分)已知奇函数f (x)在(-乂，0)为增函数，且f (2) = 0,则不等式(x+1)f (x+1)> 0的解集为_______ 三、解答题(共70分)17. ( 10 分)设全集为R,集合A= {x|3 <x v6}, B= {x|2 v x v 9}.(1)分别求A n B,( ?R B)U A；(2)已知C-{x| a v x v a+1}，已知C n B= C,求实数a的取值范围.18. ( 12分)(1)求函数y=x0+[‘的定义域；(2)求函数y=—二一的值域.19. ( 12分)定义域为R的奇函数F (x),当x v0时，F (x) = x2+4x.(1)求F (x)解析式，并写出它的单调区间；(2)解不等式F (x2)>3.ax+b20. ( 12分)已知函数f (x)=「厂(a, b€ R).(1)若f (x)是偶函数，当b>0时，用定义证明：f (x)在[0 , +呵上是减函数；(2)若f (x)是奇函数，且f (x)>- 1恒成立，求a的取值范围.21. (12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600 件．(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p= f (x)的表达式;(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？22. ( 12分)函数f (x)对定义域D上任意x、y满足：f (x) +f (y)= f (x+y) [1 -f (x) f (y)].(1)求f (0)的值；(2)设D关于原点对称，判断并证明f (x)的奇偶性；(3)当x€ (- a, 0)时，f (x)v 0,证明：f (乂)在(0, a)上是增函数.参考答案一、选择题（1-8单选每题5分；9-12多选，每题全对5分，部分对3分，选错0分;共60分）1. （5分）满足条件?? M? {a, b, c}的集合M共有（）A. 3个B. 6个C. 7个D. 8个解：满足条件?? M? {a, b, c}的集合M有:{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}.共6 个,•••满足条件？？M P {a, b, c}的集合M共有6个.故选：B.2. （5分）不等式—< 2的解集为（）A. [2 , +x）B. [1 , +x）C.（— =, 1]D.（— =, 1）U [2 , +乂）IT Y =Y解：根据题意，2?亍y- 2< 0? < 0? （X-2）（x- 1）> 0 且x - 1工0 , 解可得：x > 2或x v 1,即不等式的解集为（-=,1）U [2 , +乂），故选：D.3. （5分）已知a>b>0 , c v d v 0,则下列关系式错误的是（）2 2A.十<=B.C. ac>bdD. ac>bd解：T c v d v0, •- c>- d>0,• a- c>b- d>0,- ac>bd,故ac v bd,故D错误;故A正确;由 c 2>d 2,故 ac 2>bd 2，故 C 正确;故选：D.4. （5分）如果？ x °€ R 使x °2+ax °+1v 0成立，那么实数a 的取值范围为（ A.（ — ^,— 2] B.（ — ^,— 2）U （ 2, +乂） C. [2 , +乂）D. ?解：若命题“ ？ x °€ R,使得x 02+ax 0+1 v 0成立”为真命题， 则A 〉。
湖北省鄂东南联考2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析
2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学试卷（答案在最后）考试时间：2023年11月15日上午08:00-10:00试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“0x ∃∈R ，使得20040x x +-=”的否定为（）A ．2,40x x x ∀∈+-≠R B ．2,40x x x ∀∈+-=R C ．2,40x x x ∀∉+-=R D ．2,40x x x ∀∉+-≠R 2．已知集合{}{}21,3,,1,23A a B a ==+，若A B A = ，则a 的值是（）A ．0B ．3C ．1,3-D ．3，03．下列命题为真命题的是（）A ．若0a b >>．则22ac bc>B ．若0a b c >>>．则c c a b<C ．若,a b c d >>，则a c b d->-D ．若,x y 均为实数，则()2212x y x y ++≥+4．若0,0a b >>，且45ab a b =++，则ab 的取值范围是（）A ．(]0,25B ．[)1,+∞C ．[)25,+∞D ．[)5,+∞5．已知函数(){}31,1,2,3f x x x =+∈．那么函数()21f x y x =-的定义域是（）A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．{}2,4,6D ．13,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()228f x x x =--，则不等式()0x <的解集为（）A ．()(),44,-∞-+∞B ．()()4,04,-+∞ C ．()()4,00,4- D ．()(),40,4-∞- 7．函数()()2af x x a x=+∈R 的图像不可能是（）A ．B ．C ．D ．8．关于x 的方程210x ax b -+-=有两个相等的正根，则32a ba b++（）A ．有最大值115B ．有最大值52C ．有最小值115D ．有最小值52二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．设集合{{}(){}(){}22,4,4,21A x y B y y x C x y y xD x y y x ====-==-==-，，．则下列关系中正确的是（）A ．A B=B ．B C=C ．A C ≠∅ D ．C D ≠∅ 10．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x -<<，则（）A ．函数2y ax bx c =++有最大值B ．50a c ++>C ．65b c=-D ．20bx a x c +->的解集为33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知条件:p “函数()()()212,1315,1x a x x f x a x x ⎧--+≥⎪=⎨+-<⎪⎩是定义在R 上的增函数”，下列哪些是p 的充分不必要条件（）A ．:03q a ≤<B ．:02q a ≤<C ．1:23q a -<<D ．1:23q a -<≤12．如果我们把集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()P A ．用()n A 表示有限集A 的元素个数．下列命题中正确的是（）A ．若{}1,2,3A =，则{}()1P A ∈；B ．存在集合A ，使得()15n P A ⎡⎤=⎣⎦；C ．若A B =∅ ，则()(){}P A P B =∅ ；D ．若()()3n A n B -=，则()()4n P A n P B ⎡⎤⎡⎤=⨯⎣⎦⎣⎦．三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知全集{U x x =是小于9的自然数}，{}{}1,2,3,3,4,5,6A B ==，则()U A B = ð______．14．已知函数()f x 满足22121x f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则函数()f x 值域为______．15．已知函数()()2f x x x =-，若关于x 的不等式()()20f x af x -⎤⎣⎦<⎡恰有1个整数解，则实数a 的最大值是______．16．设函数的定义域为D ，如果存在区间[],a b D ∈，使得()x ϕ在[],a b 上值域为[],a b 且单调，则称[],a b 为函数()x ϕ的保值区间．已知幂函数()()1221p f x p p x-=+-在()0,+∞上是单调增函数．（1）函数()f x 的解析式()f x =______；（2）若函数()()21x f x k ϕ=+-存在保值区间，则实数k 的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（1）已知23,21a b b <+<-<<-，求2a b +的取值范围；（2）若0,0m n >>，且4m n +=，求1122m n m n+++的最小值．18．（1）已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，不必证明．利用此结论证明：若,,a b c 为三角形的三边长，则2a b cb c a c a b++<+++．（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克1p 元，红糖每千克2p 元()12p p ≠．小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖．请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论．（物品的平均价格=物品的总价钱÷物品的总质量）19．已知函数()223,f x x bx b =-+∈R ．（1）若函数()f x 图像关于2x =对称，求不等式()201f x x <-的解集；（2）若当[]1,2x ∈-时函数()f x 的最小值为2，求当[]1,2x ∈-时，函数()f x 的最大值．20．设函数()f x 的定义域是()0,+∞，且对任意的正实数x y 、都有()()()f xy f x f y =+恒成立，当01x <<时，()0f x <．（1）判断并证明．．．．．函数()f x 在()0,+∞上的单调性：（2）若()44f =，求不等式()()11232f x f x +>+的解集．21．为迎接购物节，某家具厂在直播平台主推一款网红床（每套床包括1张床和2个床头柜）．根据大数据预测，家具厂应先制作1013套网红床以应对本次抢购．为了尽快完成订单，该厂将100名技术工人分成两组，一组只制作床，另一组只制作床头柜．已知每张床和每个床头柜制作的工作量分别为3人1天和1人1天．若两组同时开工，问如何安排两组人数才能使得工期最短？22．函数()y x ϕ=的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y x ϕ=为奇函数，可以将其推广为：函数()y x ϕ=的图像关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y x a b ϕ=+-为奇函数．给定函数()3261410,f x x x x x =-+-∈R ．（1）根据上述材料求函数()f x 的对称中心；（2）判断()f x 的单调性（无需证明），()()2,324x f mx xf x ∀∈++++>R 恒成立，求m 的取值范围．2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学参考答案123456789101112ADBCDCABADABDBCAC7．【详解】函数()2af x x x =+的定义域为{}0x x ≠，且()()()2a f x x f x x -=-+=-，所以该函数为偶函数，下面只讨论()0,x ∈+∞时的情况：()2,0af x x x x=+>，当0a =时，()f x x =，图象为C ；当0a >时，()2222a x x a f x x x x =+=++≥，图象为B ；若0a <时，函数()2,0af x x x x=+>单调递增，图象为D ；所以函数的图象可能为BCD ．故选：A ．8．【解析】因原方程有两个相等的正根，所以0,10a b >->且21,04a b a =+>．232115222221221144a b a a a a a b a b a a +∴=+=+=+≤++=++++++当且仅当2a b ==时取等号故选B ．9．【解析】集合A 是函数y =的定义域[)4,-+∞．集合B 是函数24y x =-的值域[)4,-+∞，故A正确；集合A B 、是数集，集合C 是点集，故B 、C 错误；2421y x y x ⎧=-⎨=-⎩有两组解，故C D 有两个点，故D 正确．10．【详解】因为不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x -<<，所以()()()213,0f x ax bx c a x x a =++=+-<，函数2y ax bx c =++有最大值，A 正确；且13-<<，函数值0,f>B 正确；又13-、是关于x 的二次方程20ax bx c ++=的两根，则1313b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，所以2,3b a c a =-=-，则32,b c =C 错；不等式20bx a x c +->即为2230ax a x a -++>，即2230x x -->，解得1x <-或32x >，33,,22x ⎛⎫⎛⎫∴∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确．故选：ABD ．11．【详解】函数()()()212,1315,1x a x x f x a x x ⎧--+≥⎪=⎨+-<⎪⎩是定义在R 上的增函数的充要条件是：112310,344a a a a-⎧≤⎪⎪+>⎨⎪-≤-⎪⎩解得1,23a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦．又[)0,2与1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭都是1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦的真子集，故“:02q a ≤<”、“1:23q a -<<”是:p “函数()f x 是定义在R 上的增函数”的充分不必要条件．故选：BC ．12．【详解】对于A ，若{}1,2,3A =，则A 的子集之一就是{}1，所以{}()1P A ∈，故A 正确；对于B ，若()n A n =，则()2nn P A ⎡⎤=⎣⎦，故B 错误；对于C ，若A B =∅ ，则,A B 的公共子集只有空集∅，故()(){}P A P B =∅ ，故C 正确；对于D ，若()()3n A n B -=，不妨设()n A m =，则()3n B m =-，()()32,2m m n P A n P B -⎡⎤⎡⎤∴==⎣⎦⎣⎦，显然()()8n P A n P B ⎡⎤⎡⎤=⨯⎣⎦⎣⎦，故D 错误．故选：AC ．13．{}0,7,8．14．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解答】令()10t t x =≠，则1x t =，所以()22211221t f t t t ==++，所以()f x 的解析式为()212f x x =+，其中0x ≠．当0x ≠时，221122,022x x +><<+，所以()f x 值域为10,2⎛⎫⎪⎝⎭15．3【解析】解：函数()f x，如图所示，不等式()()2[]0f x af x -<恰有1个整数解，当0a >时，则()0x f a <<，结合图像观察，唯一的整数解是1，依题意得()()1113f a f a <≤-∴<≤，当0a <时，则()x 0a f <<，此时a 不会是最大的；所以实数a 的最大值是316．（1）()12f x x ==（2）12k ≤<．【详解】（1）因为幂函数()()1221p f x p p x-=+-在()0,+∞上是单调增函数，所以21112p p p ⎧+-=⎪⎨->⎪⎩，解得1p =，所以函数()f x 的解析式为()12f x x ==．（2）因为函数()x k ϕ=在[)1,x ∈-+∞上单调递增，若存在保值区间[](),1a b a ≥-，则()()a ab b ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()x x ϕ=，也就是方程k x -=在[)1,-+∞上有两个不等的实根，0t =≥，得21x t =-，所以2210t t k --+=在[)0,+∞上有两个不等的实根，令()221g t t t k =--+，则()Δ000g >⎧⎨≥⎩，即()441010k k ⎧--+>⎨-+≥⎩，解得12k ≤<，故实数k 的取值范围是12k ≤<17．解：（1）设()()2a b x a b yb ax b x y +=++=++，其中,x y ∈R ，则21x x y =⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即()22a b a b b +=+-，23,21,a b b <+<-<<- 528,a b ∴<+<所以2a b +的取值范围为()5,8（2）设2,2m n p m n q +=+=，则0,0,3312p q p q m n >>+=+=．()111111111122,221212123q p p q m n m n p q p q p q ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当p q =，即2m n ==时，等号成立，（等号成立条件没写建议扣2分）所以1122m n m n +++的最小值为13．18．解：（1）糖水变甜了得出不等式(),0,0a a mb a m b b m+<>>>+．设ABC △的三边长分别为,,a b c ，则有,,a b c a c b b c a +>+>+>，由上述不等式可得：,,c c c a a a b b ba b a b c b c a b c a c a b c+++<<<+++++++++，将以上不等式左右两边分别相加得：2c a b c c a a b ba b b c a c a b c a b c a b c+++++<++=+++++++++，所以，2c a ba b b c c a++<+++．（2）对于小东而言，他买到的糖的平均价格为122p p +（元/千克），对于小华而言，设小华买两种糖的费用均为c 元，则他买到的糖的总质量为12c cp p +千克，故小华买到的糖的平均价格为22121122p p cp c p p p c +=+（元/千克），()()212121212122022p p p p p p p p p p -+-=>++，即小东买到的糖的平均价格较高．19．解：（1）()f x 图像关于2x =对称，2b ∴=()()()()()()221343,111f x x x f x x x x x x --∴=-+=<--+()()10130x x x -≠⎧∴⎨+-<⎩，解得13x -<<，且1x ≠所以，原不等式的解集为{13x x -<<，且}1x ≠；（2）因为()223f x x bx =-+是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为x b =，①若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上是增函数，()()min 1422f x f b ∴=-=+=，解得1b =-，()()max 27411f x f b ∴==-=；②若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上是减函数，()()min 2742f x f b ∴==-=，解得54b =（舍）；③若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上是减函数，在(],2b 上是增函数；()()2min 32f x f b b ∴==-=，解得1b =或1b =-（舍）()()max 1426;f x f b ∴=-=+=综上，当1b =-时，()f x 的最大值为11；当1b =时，()f x 最大值为6．20．解：（1）()f x 在()0,+∞上为增函数设120x x >>，则()()2121x f x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2101x x << ，故210x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()21f x f x <故()f x 在()0,+∞上为增函数（2）由()()()22224f f f ⨯=+=得：()22f =()()()()()()()2112322232232f x f x f x f f x f x f x +>+⇒+>+⇒>+，所以22230x x >+>，解得12x +>或3122x -<<，所以不等式的解集为：12x x ⎧+⎪>⎨⎪⎩或3122x --<<⎪⎭21．解：设x 人制作床，则100x -人制作床头柜，0100x <<．由已知条件得，完成床时间为()10133f x x ⨯=，完成床头柜时间为()20261100g x x⨯=-，1013∴套床完成时间为()()()()()()(),,,,f x f xg xh x g x g x f x ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩由1013320261100x x⨯⨯≥-，得60x ≤，()(]()3039,0,60,2026,60,100,100x xh x x x⎧∈⎪⎪∴=⎨⎪∈⎪-⎩且x +∈N ，当(]()30390,60,x h x x ∈=单调递减，最小值为()10136020h =，当()()202660,100,100x h x x ∈=-在()60,100单调递增，202610131006020=-最小值为()10136020h =，即()min 101320h x =，所以安排60人制作床，40人制作床头柜工期最短．22．解：（1）由题意，设函数()()()g x f x a b x =+-∈R ，则函数()()()()3261410g x x a x a x a b =+-+++--，整理得：()()32232143234614103g x x a x a a x a a a b ⎛⎫=+-+-++-+-- ⎪⎝⎭，又由()g x 是奇函数，得()()g x g x -=-，即()32320,614100,a a a ab ⎧-=⎨-+--=⎩解得22a b =⎧⎨=⎩，故函数()f x 的对称中心为()2,2．（2）函数()f x 是R 上的增函数理由是：由（1）得：函数()()3222g x f x x x =+-=+是R 上的增函数，结合函数图像平移可知，函数()f x 是R 上的增函数（理由不作要求）由()()2324f mx x f x ++++>，得()()23222f xmx f x ++->-++，即()()()()2232221f x mx f x g x mx g x ⎡⎤++->-+-⇒++>-⎣⎦，又()()g x g x -=-，则()()21g x mx g x ++>-，()g x 是R 上的增函数21,x mx x ∴++>-()2,110x x m x ∴∀∈+++>R 恒成立，。
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题含答案
2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学试卷（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年11月11日上午08：00—10：00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组对象不能构成集合的是（）A.中国古代四大发明B.所有无理数C.2024年高考数学难题D.小于π的正整数【答案】C 【解析】【分析】根据题意利用集合中元素具有确定性的性质，对选项逐一判断可得结论.【详解】对于A ，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A 能构成集合；对于B ，所有无理数定义明确，即B 能构成集合;对于C ，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C 构不成集合；对于D ，小于π的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D 能构成集合.故选：C2.已知集合103x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，{}1B x x =≥，则A B = （）A.{}13x x -<< B.{}13x x <<C.{}13x x ≤≤ D.{}13x x ≤<【答案】D 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，1{|0}{|13}3x A x x x x +=≤=-≤<-，而{}1B x x =≥，所以{}13A B x x ⋂=≤<.故选：D3.已知函数()2222()1m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数m =（）A.2B.1- C.4D.2或1-【答案】B 【解析】【分析】利用幂函数的定义求出m 值，再由单调性验证即得.【详解】因函数()2222()1m m f x m m x --=--是幂函数，则211m m --=，即220m m --=，解得1m =-或2m =，当1m =-时，函数()f x x =在(0,+∞)上递增，则1m =-，当2m =时，函数2()f x x -=在(0,+∞)上递减，不符合要求，实数1m =-.故选：B4.已知()f x 是定义在[]1,1-上的减函数，且()()113f x f x -<-，则x 的取值范围是（）A.12,23⎛⎤⎥⎝⎦B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据()f x 的定义域以及单调性可得1x -，13x -满足的条件，由此即可解得x 的范围．【详解】由题意，函数()f x 是定义在[]1,1-上的减函数，因为()()113f x f x -<-，得1311131111x x x x -<-⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得1223x <≤，所以x 的取值范围是12,23⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.5.若0a >，0b >，23a b +=，则12a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】B 【解析】【分析】利用乘“1”法即可求出最值.【详解】根据题意可得()12112122121453;333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当22a bb a=即1,1a b ==时，等号成立，此时最小值为3.故选：B.6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（）A.()11f x x =-B.()11f x x =-C.()311f x x =+ D.()211f x x =+【答案】B 【解析】【分析】首先由函数的定义域排除CD ，再由01x <<时，()0f x <排除A ，即可得答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞，因为()311f x x =+的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，所以排除C ，因为()211f x x =+的定义域为R ，所以排除D ，因为当01x <<时，()101f x x =<-，所以排除A ，故选：B7.已知函数22()24f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）A.(),8-∞- B.[]8,6-- C.(],6∞-- D.(),6-∞-【答案】C 【解析】【分析】令()t f x =，求出不等式()0<f t 的解，再代入判断列式求解.【详解】函数2()()44f x x a =--≥-，设()t f x =，不等式(())0f f x <为()0<f t ，即2()40t a --<，解得22a t a -<<+，依题意，22()42a x a a -<--<+无解，即不等式22()6a x a a +<-<+无解，因此60a +≤，解得6a ≤-，所以实数a 的取值范围是6a ≤-.故选：C8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数()[]f x x =称为高斯函数，其中x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]21.1-=-，[]2.52=，则方程][[21]4x x x ++=的所有大于零的解之和为（）A.12 B.34C.32D.74【答案】D 【解析】【分析】x ∀∈R ，k ∃∈Z ，使211k x k ≤+<+，可得122k kx -≤<，2242k x k -≤<，分类讨论k 为奇数和偶数的情况，求出k 的值，再代入求解即可.【详解】x ∀∈R ，k ∃∈Z ，使211k x k ≤+<+，则[21]x k +=，于是122k kx -≤<，2242k x k -≤<，若k 为奇数，则12k -∈Z ，1[]2k x -=，1[21]42[]k x k x x -++=+=，则312222k k k --≤<，解得13k -<≤，1k =或3k =，当1k =时，102x ≤<，[]0x =，[21]1x +=，104x +=，解得11[0,42x =∈，当3k =时，312x ≤<，[]1x =，[21]3x +=，314x +=，解得31[1,2x =∈；若k 为偶数，则2k ∈Z ，则[]12kx =-，[21]14[]2k x k x x ++=+-=，则322122kk k -≤-<，解得2k -2<≤，0k =或2k =，当0k =时，102x -≤<，[]1x =-，[21]0x +=，104x -+=，解得11[,0)42x =-∈-，当2k =时，112x ≤<，[]0x =，[21]2x +=，024x +=，解得11[,1)22x =∈，所以所有大于零的解之和为1171424++=.故选：D【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18'分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有下列四种说法，正确的说法有（）A.奇函数图象不一定过坐标原点B.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∃∈R ，210x x ++<”C.若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D.定义在R 上的函数()y f x =对任意两个不等实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则()y f x =在R 上是增函数【答案】AD 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B ，利用全称命题的否定为特称命题即可判断；对C ，举反例0b =即可；对D ，根据单调性的定义即可判断.【详解】对于A ，奇函数的图象不一定过坐标原点，如()()10f x x x=≠是奇函数，它的图象不过原点，所以A 正确；对于B ，命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是“2R,10x x x ∃∈++≤”，B 错误；对于C ，若0b =，则由a c >不能推出²²ab cb >，故“a c >”不是“²²”ab cb >的充要条件，故C 错误；对于D ，根据题意知，a b >时，()()f a f b >，a b <时，()()f a f b <，由单调性的定义知，=在R 上是增函数，D 正确.故选：AD.10.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{|2x x ≤-或3}x ≥，则下列说法正确的是（）A.0a > B.0ax c +>的解集为{}6x x <C.8430a b c ++>D.20cx bx a ++<的解集为11{|}23x x -<<【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，可得6,,0c a b a a =-=-<，再给一元二次不等式的求解逐项判断即得.【详解】由不等式20ax bx c ++≤的解集为{|2x x ≤-或3}x ≥，得0a <且2,3-是方程²0ax bx c ++=的两个根，则3(2),3(2)c ba a⨯-=+-=-，即6,c a b a =-=-，对于A ，0a <，A 错误；对于B ，不等式0ax c +>为60ax a ->，而0a <，解得6x <，B 正确；对于C ，843843(6)140a b c a a a a ++=-+-=->，C 正确；对于D ，不等式²0cx bx a ++<为260ax ax a --+<，即2610x x +-<，解得1123x -<<，D 正确.故选：BCD11.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足：()()()1f x y f x f y -=-+，且()10f =.当0x >时，()1f x <.则下列选项正确的是（）A.()01f =B.()21f =-C.()1f x -为奇函数 D.()f x 为R 上的增函数【答案】ABC 【解析】【分析】对A 直接赋值0x y ==即可；对B ，赋值2,1x y ==即可；对C ，利用奇偶性定义判断即可；对D ，根据单调性的判断方法判断即可.【详解】对于A ，由题可知()()()0001f f f =-+，故()01f =，故A 正确；对于B ，由题可知()()()()()()21211122111f f f f f f -=-+==-=-，，故B 正确；对于C ，()()()()0012f x f f x f x -=-+=-，故()()()111f x f x f x ⎡⎤--=---⎣⎦，为奇函数，故C 正确；对于D ，当12x x >时，()()()12121f x f x f x x -=--，∵1>2,∴1−2>0,∴1−2−1<0∴是R 上的减函数，故D 错误.故选：ABC.二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数()()01f x x =++的定义域为______.【答案】()(],11,3-∞-- 【解析】【分析】根据每个式子有意义的条件分别求出自变量x 的取值范围，再求交集即可.【详解】因为()()01f x x =+，所以3010x x -≥⎧⎨+≠⎩，解得3x ≤且1x ≠-，所以函数的定义域为(()(],11,3∞--⋃-.故答案为：()(],11,3∞--⋃-.13.已知集合,,1y A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B x x y =+，若A B =，则2x y +=_________.【答案】2-【解析】【分析】根据题意利用集合中元素的互异性分类讨论即可求得结果.【详解】依题意可知0x ≠，由于A B =可知0y =，此时{},0,1A x =，{}2,,0B x x =所以21x =，解得1x =-或1x =(舍去)即22x y +=-.故答案为：2-14.设函数22,2()26,2x x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩关于x 的方程()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则123223x x x ++的取值范围是_________.【答案】29[13,2【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到122x x +=，37[3,2x ∈，求出答案.【详解】画出函数()f x 的图象，观察图形知，仅当10a -<≤时，方程()f x a =有三个不等实根，分别对应直线y a =与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，不妨设123x x x <<，显然12,x x 关于1x =对称，则122x x +=，另一个交点位于直线26y x =-+上，在26y x =-+中，当10y -<≤时，732x ≤<，即37[3,2x ∈，因此12321224,3[9,)2x x x +=∈，所以12329223[13,2x x x ++∈.故答案为：29[13,2三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字、证明过程或演算步骤.15.设全集U =R ，已知集合{}2430A x x x =-+≤，{}1B x m x m =≤≤+.（1）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|0m m <或3}m >（2）{|12}m m ≤≤【解析】【分析】（1）先求出集合A ，然后结合集合的交集运算即可求解；（2）由题意得B A ⊆，然后结合集合的包含关系即可求解．【小问1详解】由²430x x -+≤，解得13x ≤≤，所以{|13}A x x =≤≤．因为A B =∅ ，且B ≠∅，所以11m +<或3m >，得0m <或3m >，所以实数m 的取值范围是{|0m m <或3}m >；【小问2详解】因为“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，所以B A ⊆，所以113m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得12m ≤≤，所以实数m 的取值范围是{|12}m m ≤≤．16.用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小?并求出所用篱笆长度的最小值.【答案】等腰三角形腰长为20m ，所用篱笆长度的最小值为60m .【解析】【分析】建立函数模型，利用基本不等式求解.【详解】设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点B ，C 作下底的垂线，垂足分别为E ，F ，则2BE a=，2a AE DF ==，则下底22a a AD b a b =++=+，该等腰梯形的面积()()2224b a b S a a b a ++=⋅=+=，所以()21200a b a +=，则6002a b a =-，所用篱笆长为6006003226022a a l a b a a a =+=+-=+≥=，当且仅当60032aa =即()20m a =，()20mb =时取等号.所以，当等腰梯形的腰长为20m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为60m .17.函数()f x 的定义域为{}0D x x =∈≠R ，且满足对于任意12,x x D ∈，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，当1x >时，()0f x >.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）如果()41f =，解不等式()23f x -<.【答案】（1）证明见解析（2）(62,2)(2,66)-⋃【解析】【分析】（1）令12,1x x x ==-，121x x ==-从而得到()()f x f x -=，即可证明；（2）通过赋值代换得(|2|)(64)f x f -<，再证明其单调性，从而得到不等式组，解出即可.【小问1详解】因对定义域内的任意12,x x D ∈，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，令12,1x x x ==-，则有()()(1)f x f x f -=+-，又令121x x ==-，得2(1)(1)f f -=，再令121x x ==，得(1)0f =，从而(1)0f -=，于是有()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.【小问2详解】由于(4)1f =，所以3111(4)(4)(4)(444)(64)f f f f f =++=++=⨯⨯=，于是不等式(2)3f x -<可化为(2)(64)f x f -<，由（1）可知函数()f x 是偶函数，则不等式可化为(|2|)(64)f x f -<，设120x x <<，则()()()()()222121111111x x x f x f x f x f x f x f x f f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于120x x <<，所以211x x >，所以210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以可得26420x x ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩，解得62662x x -<<⎧⎨≠⎩，所以不等式(2)3f x -<的解集为(62,2)(2,66)-⋃.18.已知函数()322x ax b f x x --=+为R 上的奇函数，且()21f -=.（1）求实数,a b 的值；（2）试判断函数()f x 在区间()1,+∞的单调性，并说明理由；（3）求函数()()()21g x f x mf x ⎡⎤=--⎣⎦（其中33x -≤≤）的值域.【答案】（1）7a =，0b =；（2）函数()f x 在区间()1,+∞单调递增，理由见解析；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义以及函数值解方程可得结果；（2）利用单调性定义按照步骤即可证明()f x 在区间1,+∞单调递增；（3）由换元法得出函数()g x 的表达式，再由（2）中的结论得出其在33x -≤≤上的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果.【小问1详解】根据题意可得()00f =，即()02b f x =-=，可得0b =；再由()21f -=可得()82142a f x -+==+，解得7a =；当7a =，0b =可得()3272x x f x x -=+，经检验此时()f x 满足()()3272x x f x f x x -+-==-+，为奇函数，所以7a =，0b =【小问2详解】取任意()12,1,x x ∞∈+，且12x x <，则()()()()()()()()323233112221112112222212124242442222x x x x x x x x x x f x f x x x x x -+--+---=-=++++()()()()22221212121222129221422x x x x x x x x x x -+++-=++;由()12,1,x x ∞∈+，12x x <可得120x x -<，2222121212922140x x x x x x +++->；所以()()120f x f x -<，即可得()()12f x f x <，即函数()f x 在区间1,+∞的单调递增；【小问3详解】由()()()()6612,12,3,31111f f f f =--==-=-，由(2)得当[]12,0,1x x ∈时，2222121212210,092214x x x x x x x x <+++<-<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在0,1上单调递减；因此函数()f x 在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，又函数()f x 为上的奇函数，所以函数()f x 的减区间为[]1,1-，递增区间为()(),11,∞∞--⋃+,当33x -≤≤时，()22f x -≤≤,令()()22f x t t =-≤≤，有()2221124m m g x t mt t ⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭，①当22m ≤-时，即4m ≤-，()()()()223,232g x g m g x g m ≥-=+≤=-,此时函数()g x 的值域为[]23,32m m +-;②当202m -<≤时，即40m -<≤时，可得()()()2minmax 1,23224m m g x g g x g m ⎛⎫==--==- ⎪⎝⎭，此时函数()g x 的值域为21,32;4m m ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦③当022m <<时，即04m <<时，()()()2minmax 1,22324m m g x g g x g m ⎛⎫==--=-=+ ⎪⎝⎭，此时函数()g x 的值域为21,23;4m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦④当22m ≥时，即4≥m ，()()()()223,232g x g m g x g m ≤-=+≥=-，此时函数()g x 的值域为[]32,23m m -+，综上所述，4m ≤-时，其值域为[]23,32m m +-;当40m -<≤时，值域为21,32;4m m ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦当04m <<时，值域为21,234m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；当4≥m 时，值域为[]32,23m m -+【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法得出函数()g x 的表达式，再证明得出函数的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果函数()g x 的值域.19.已知n 为正整数，集合(){}{}12,,,0,1,1,2,,n n i M x x x x i n =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于n M 中任意两个元素()12,,,n a a a α=⋅⋅⋅和()12,,,n b b b β=⋅⋅⋅，定义：()1122,,,n n a b a b a b αβ-=--⋅⋅⋅-；()1122,n nd a b a b a b αβ=-+-+⋅⋅⋅+-（1）当3n =时，设()1,0,1α=，()1,1,0β=，写出αβ-，并计算(),d αβ；（2）若集合S 满足3S M ⊆，且,S αβ∀∈，(),2d αβ=，求集合S 中元素个数的最大值，写出此时的集合S ，并证明你的结论；（3）若,n M αβ∈，且(),d k αβ=，任取n M γ∈，求(),d αγβγ--的值.【答案】（1）()0,1,1αβ-=，(),2d αβ=（2）最大值是4，证明见解析（3）(),d kαγβγ--=【解析】【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）根据定义，结合反证法进行求解即可；（3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可．【小问1详解】当3n =时，设()1,0,1α=，()1,1,0β=，则()0,1,1αβ-=，所以(),0112d αβ=++=；【小问2详解】最大值是4．理由如下：此时()()()(){}0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,0S =或()()()(){}0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,1S =．若还有第5个元素，则必有()()1,0,0,0,1,1和()()0,0,1,1,1,0和()()0,1,0,1,0,1和()()1,1,1,0,0,0之一出现，其对应的(,)3d αβ=，不符合题意．【小问3详解】设()12,,,n a a a α=⋅⋅⋅，()12,,,n b b b β=⋅⋅⋅，()12,,,n c c c γ=⋅⋅⋅，所以{},,0,1i i i a b c ∈，{}0,1i i a b -∈，(1i =，2，3，)n ，从而()1122,,,n n n a b a b a b M αβ-=--⋅⋅⋅-∈，又()11112222,n n n n d a c b c a c b c a c b c αγβγ--=---+---+⋅⋅⋅+---，当0i c =时，i i i i i i a c b c a b ---=-；当1i c =时，()()11i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-，所以()(),,d d αγβγαβ--=，所以(),d k αγβγ--=．。
2023-2024学年湖北省鄂东南教学改革联盟学校高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省鄂东南教学改革联盟学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“∃x 0∈R ，使得x 02+x 0﹣4＝0”的否定为（ ）A ．∀x ∈R ，x 2+x ﹣4≠0B ．∀x ∈R ，x 2+x ﹣4＝0C ．∀x ∉R ，x 2+x ﹣4＝0D ．∀x ∉R ，x 2+x ﹣4≠02．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，2a +3}，若A ∪B ＝A ，则a 的值是（ ） A ．0B ．3C ．﹣1，3D ．3，03．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2B ．若a ＞b ＞c ＞0，则ca＜cbC ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣dD ．若x ，y 均为实数，则x 2+y 2+1≥2（x +y ）4．若a ＞0，b ＞0，且ab ＝4a +b +5，则ab 的取值范围是（ ） A ．（0，25]B ．[1，+∞）C ．[25，+∞）D ．[5，+∞）5．已知函数f （x ）＝3x +1，x ∈{1，2，3}，那么函数y =f(2x)x−1的定义域是（ ） A ．[12，32] B ．[12，1)∪(1，32] C ．{2，4，6}D ．{12，32}6．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ﹣8，则不等式√x 3f(x)＜0的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）B ．（﹣4，0）∪（4，+∞）C ．（﹣4，0）∪（0，4）D ．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）7．函数f （x ）＝|x |+ax 2（a ∈R ）的图象不可能是（ ） A ． B ．C ．D ．8．关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2b a+b （ ）A ．有最大值115B ．有最大值52C ．有最小值115D ．有最小值52二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．设集合A ＝{x |y =√x +4}，B ＝{y |y ＝x 2﹣4}，C ＝{（x ，y ）|y ＝x 2﹣4}，D ＝{（x ，y ）|y ＝2x ﹣1}．则下列关系中正确的是（ ） A ．A ＝BB ．B ＝CC ．A ∩C ≠∅D ．C ∩D ≠∅10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}，则（ ） A ．函数y ＝ax 2+bx +c 有最大值 B ．5a +√5b +c ＞0C ．6b ＝﹣5cD ．bx 2+a |x |﹣c ＞0的解集为(−∞，−32)∪(32，+∞)11．已知条件p ：“函数f （x ）={x 2−(a −1)x +2，x ≥1(3a +1)x −5，x ＜1是定义在R 上的增函数”，下列哪些是p 的充分不必要条件（ ） A ．q ：0≤a ＜3B ．q ：0≤a ＜2C ．q ：−13＜a ＜2D ．q ：−13＜a ≤212．如果我们把集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为P （A ）．用n （A ）表示有限集A 的元素个数．下列命题中正确的是（ ） A ．若A ＝{1，2，3}，则{1}∈P （A ） B ．存在集合A ，使得n [P （A ）]＝15 C ．若A ∩B ＝∅，则P （A ）∩P （B ）＝{∅}D ．若n （A ）﹣n （B ）＝3，则n [P （A ）]＝4×n [P （B ）] 三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知全集U ＝{x |x 是小于9的自然数}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则∁U （A ∪B ）＝ ． 14．已知函数f （x ）满足f(1x)=x 22x 2+1，则函数f （x ）值域为 ． 15．已知函数f （x ）＝|x |（2﹣x ），若关于x 的不等式[f （x ）]2﹣af （x ）＜0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是 ．16．设函数的定义域为D ，如果存在区间[a ，b ]∈D ，使得φ（x ）在[a ，b ]上值域为[a ，b ]且单调，则称[a ，b]为函数φ（x）的保值区间．已知幂函数f(x)=(p2+p−1)x p−12在（0，+∞）上是单调增函数．（1）函数f（x）的解析式f（x）＝；（2）若函数φ（x）＝2f（x+1）﹣k存在保值区间，则实数k的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）已知2＜a+b＜3，﹣2＜b＜﹣1，求2a+b的取值范围；（2）若m＞0，n＞0，且m+n＝4，求1m+2n +12m+n的最小值．18．（12分）（1）已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，不必证明．利用此结论证明：若a，b，c为三角形的三边长，则ab+c +ba+c+ca+b＜2．（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克p1元，红糖每千克p2元（p1≠p2）．小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖．请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论．（物品的平均价格＝物品的总价钱+物品的总质量）19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2bx+3，b∈R．（1）若函数f（x）图像关于x＝2对称，求不等式f(x)x2−1＜0的解集；（2）若当x∈[﹣1，2]时函数f（x）的最小值为2，求当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的最大值．20．（12分）设函数f（x）的定义域是（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y）恒成立，当0＜x＜1时，f（x）＜0．（1）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若f（4）＝4，求不等式f(x)+1＞12f(2x+3)的解集．21．（12分）为迎接购物节，某家具厂在直播平台主推一款网红床（每套床包括1张床和2个床头柜）．根据大数据预测，家具厂应先制作1013套网红床以应对本次抢购．为了尽快完成订单，该厂将100名技术工人分成两组，一组只制作床，另一组只制作床头柜，已知每张床和每个床头柜制作的工作量分别为3人1天和1人1天．若两组同时开工，问如何安排两组人数才能使得工期最短？22．（12分）函数y＝φ（x）的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝φ（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝φ（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝φ（x+a）﹣b为奇函数．给定函数f（x）＝x3﹣6x2+14x﹣10，x∈R．（1）根据上述材料求函数f（x）的对称中心；（2）判断f（x）的单调性（无需证明），∀x∈R，f（3+mx+x2）+f（x+2）＞4恒成立，求m的取值范围．2023-2024学年湖北省鄂东南教学改革联盟学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“∃x0∈R，使得x02+x0﹣4＝0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+x﹣4≠0B．∀x∈R，x2+x﹣4＝0C．∀x∉R，x2+x﹣4＝0D．∀x∉R，x2+x﹣4≠0解：因为特称命题的否定是全称命题，所以“∃x0∈R，使得x02+x0﹣4＝0”的否定是：“∀x∈R，x2+x﹣4≠0”．故选：A．2．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，2a+3}，若A∪B＝A，则a的值是（）A．0B．3C．﹣1，3D．3，0解：A∪B＝A，则B⊆A，集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，2a+3}，当2a+3＝3，即a＝0时，满足B⊆A，当a2＝2a+3，即a＝3或﹣1时，当a＝3时，满足B⊆A，当a＝﹣1时，集合A，B不满足互异性吗，综上所述，a＝0或3．故选：D．3．下列命题为真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b＞c＞0，则ca ＜cbC．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若x，y均为实数，则x2+y2+1≥2（x+y）解：对于A：当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；对于B：由于a＞b＞0，所以1a＜1b，所以ca＜cb，故B正确；对于C：由于a＞b，c＞d，所以﹣c＜﹣d，故a﹣c＞b﹣d不一定成立，故C错误；对于D：x，y均为实数，则x2+y2+1﹣2（x+y）＝（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣1，当x＝y＝1时，x2+y2+1＜2（x+y），故D错误．故选：B．4．若a ＞0，b ＞0，且ab ＝4a +b +5，则ab 的取值范围是（ ） A ．（0，25]B ．[1，+∞）C ．[25，+∞）D ．[5，+∞）解：因为a ＞0，b ＞0，ab ＝4a +b +5≥2√4ab +5，当且仅当b ＝4a ，即a =52，b ＝10时取等号， 所以ab ≥25． 故选：C ．5．已知函数f （x ）＝3x +1，x ∈{1，2，3}，那么函数y =f(2x)x−1的定义域是（ ） A ．[12，32] B ．[12，1)∪(1，32] C ．{2，4，6}D ．{12，32}解：∵函数f （x ）的定义域为x ∈{1，2，3}， ∴由2x ∈{1，2，3}，得x ∈{12，1，32}，再由x ﹣1≠0，得x ≠1．∴函数y =f(2x)x−1的定义域是{12，32}． 故选：D ．6．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ﹣8，则不等式√x 3f(x)＜0的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）B ．（﹣4，0）∪（4，+∞）C ．（﹣4，0）∪（0，4）D ．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）解：由x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ﹣8＝（x +2）（x ﹣4）， 可知当0＜x ＜4时，f （x ）＜0，当x ＞4时，f （x ）＞0，又f （x ）为奇函数，所以当﹣4＜x ＜0时，f （x ）＞0，当x ＜﹣4时，f （x ）＜0， 由√x 3f(x)＜0，可得{x ＞0f(x)＜0或{x ＜0f(x)＞0，解得0＜x ＜4或﹣4＜x ＜0，所以不等式√x 3f(x)＜0的解集为（﹣4，0）∪（0，4）． 故选：C ． 7．函数f （x ）＝|x |+ax 2（a ∈R ）的图象不可能是（ ） A ． B ．C ．D ．解：因为f （x ）的定义域为{x |x ≠0}关于原点对称， 且f(−x)=|−x|+a (−x)2=|x|+ax 2=f(x)，所以f （x ）为偶函数， 当a ＝0时，f （x ）＝|x |（x ≠0），此时图象如C 选项； 当a ＞0时，若x ∈(0，+∞)，f(x)=x +a x 2，f′(x)=1−2ax3， 令f ′(x)=1−2a x3=0，x =√2a 3，x ∈(0，√2a 3)时，f ′(x)＜0，x ∈(√2a 3，+∞) 时，f ′（x ）＞0， 所以f （x ）在(0，√2a 3)上递减，在(√2a 3，+∞)上递增，此时图象如B 选项； 当a ＜0时，若x ∈(0，+∞)，f(x)=x +a x 2，又y =x ，y =ax 2在（0，+∞）上均为增函数， 所以f(x)=x +ax 2也是增函数，此时图象如D 选项． 故选：A ．8．关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2b a+b （ ）A ．有最大值115B ．有最大值52C ．有最小值115D ．有最小值52解：因为关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根， 所以{a ＞0b −1＞0Δ=a 2−4(b −1)=0，故b ＝1+a 24，a ＞0，则3a+2b a+b=2+aa+b =2+a1+a+a 24=2+11+1a +a 4≤11+2√a 4⋅1a2=52，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， 所以3a+2b a+b有最大值52．故选：B ．二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．设集合A ＝{x |y =√x +4}，B ＝{y |y ＝x 2﹣4}，C ＝{（x ，y ）|y ＝x 2﹣4}，D ＝{（x ，y ）|y ＝2x ﹣1}．则下列关系中正确的是（ ）A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ∩C ≠∅D ．C ∩D ≠∅解：因为A ＝{x |y =√x +4}＝{x |x ≥﹣4}，B ＝{y |y ＝x 2﹣4}＝{y |y ≥﹣4}，C ＝{（x ，y ）|y ＝x 2﹣4}，D ＝{（x ，y ）|y ＝2x ﹣1}，选项A ：A ＝B 正确； 集合B 与C 分别为数集和点集，故选项B 错误；集合A 为数集，集合C 为点集，故A ∩C ＝∅，选项C 错误；联立{y =2x −1y =x 2−4可得x ＝3，y ＝5或x ＝﹣1，y ＝﹣3，即C ∩D ≠∅，选项D 正确．故选：AD ．10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}，则（ ） A ．函数y ＝ax 2+bx +c 有最大值 B ．5a +√5b +c ＞0C ．6b ＝﹣5cD ．bx 2+a |x |﹣c ＞0的解集为(−∞，−32)∪(32，+∞)解：因为不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}， 所以f （x ）＝ax 2+bx +c ＝a （x +1）（x ﹣3），a ＜0， 函数y ＝ax 2+bx +c 开口向下，有最大值，A 正确；又−1＜√5＜3，函数值f(√5)=5a +√5b +c ＞0即B 正确；又﹣1，3是关于x 的二次方程ax 2+bx +c ＝0 的两根，则{−1+3=−ba −1×3=c a ，所以b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，则3b ＝2c ，C 错误； 不等式bx 2+a |x |﹣c ＞0即为﹣2ax 2+a |x |+3a ＞0，即2x 2﹣|x |﹣3＞0，解得|x |＜﹣1或|x |＞32，x ∈(−∞，−32)∪(32，+∞)，D 正确． 故选：ABD ．11．已知条件p ：“函数f （x ）={x 2−(a −1)x +2，x ≥1(3a +1)x −5，x ＜1是定义在R 上的增函数”，下列哪些是p 的充分不必要条件（ ） A ．q ：0≤a ＜3B ．q ：0≤a ＜2C ．q ：−13＜a ＜2D ．q ：−13＜a ≤2解：若函数f （x ）={x 2−(a −1)x +2，x ≥1(3a +1)x −5，x ＜1是定义在R 上的增函数，则{a−12≤13a +1＞01−(a −1)+2≥3a +1−5，解得−13＜a ≤2，当q是p的充分不必要条件时，则q⇒p，p推不出q，故只要求出（−13，2]的一个真子集，结合选项可知，B，C都符合题意．故选：BC．12．如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A）．用n（A）表示有限集A的元素个数．下列命题中正确的是（）A．若A＝{1，2，3}，则{1}∈P（A）B．存在集合A，使得n[P（A）]＝15C．若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝{∅}D．若n（A）﹣n（B）＝3，则n[P（A）]＝4×n[P（B）]解：对于A，若A＝{1，2，3}，则A的子集之一就是{1}，所以{1}∈P（A），故A正确；对于B，若n（A）＝n，则n[P（A）]＝2n，故B错误；对于C，若A∩B＝∅，则A，B的公共子集只有空集∅，故P（A）∩P（B）＝{∅}，故C正确；对于D，若n（A）﹣n（B）＝3，不妨设n（A）＝m，则n（B）＝m﹣3，所以n[P（A）]＝2m，n[P（B）]＝2m﹣3，显然n[P（A）]＝8×n[P（B）]，故D错误．故选：AC．三、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知全集U＝{x|x是小于9的自然数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则∁U（A∪B）＝{0，7，8}．解：全集U＝{x|x是小于9的自然数}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∵A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，∴∁U（A∪B）＝{0，7，8}．故答案为：{0，7，8}．14．已知函数f（x）满足f(1x )=x22x2+1，则函数f（x）值域为(0，12)．解：令t=1x(t≠0)，则x=1t，所以f(t)=1t22t2+1=1t2+2，所以f（x）的解析式为f(x)=1x2+2，其中x≠0．当x ≠0时，x 2+2＞2，0＜1x 2+2＜12，所以f （x ）值域为(0，12)．故答案为：(0，12)．15．已知函数f （x ）＝|x |（2﹣x ），若关于x 的不等式[f （x ）]2﹣af （x ）＜0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是 3 ．解：因为函数f （x ）＝|x |（2﹣x ）={−x 2+2x ，x ≥0x 2−2x ，x ＜0，如图所示，不等式[f （x ）]2﹣af （x ）＜0恰有1个整数解， 当a ＞0时，则0＜f （x ）＜a ，因为f （1）＝1， 结合图像观察，唯一的整数解是1， 依题意得f （1）＜a ≤f （﹣1）， ∴1＜a ≤3；当a ＜0时，则a ＜f （x ）＜0，此时a 不会是最大的； 所以实数a 的最大值是3． 故答案为：3．16．设函数的定义域为D ，如果存在区间[a ，b ]∈D ，使得φ（x ）在[a ，b ]上值域为[a ，b ]且单调，则称[a ，b ]为函数φ（x ）的保值区间．已知幂函数f(x)=(p 2+p −1)x p−12在（0，+∞）上是单调增函数．（1）函数f （x ）的解析式f （x ）＝ √x ；（2）若函数φ（x ）＝2f （x +1）﹣k 存在保值区间，则实数k 的取值范围是 [1，2） ．解：（1）因为幂函数f(x)=(p 2+p −1)xp−12在（0，+∞）上是单调增函数，所以{p 2+p −1=1p −12＞0，解得p ＝1，所以函数f （x ）=x 12=√x ； （2）函数φ（x ）＝2f （x +1）﹣k ＝2√x +1−k 在定义域[﹣1，+∞）上单调递增， 若存在保值区间[a ，b ]，其中b ＞a ≥﹣1，则{φ(a)=aφ(b)=b ，即φ（x ）＝x ，即方程2√x +1−k ＝x 在[﹣1，+∞）上有两个不等的实数解， 设t =√x +1，t ≥0，则x ＝t 2﹣1，方程化为2t ﹣k ＝t 2﹣1， 即方程t 2﹣2t +k ﹣1＝0在[0，+∞）上有两个不等的解， 设g （t ）＝t 2﹣2t +k ﹣1，则{Δ=4−4(k −1)＞0t 1t 2=k −1≥0，解得1≤k ＜2，所以实数k 的取值范围是[1，2）． 故答案为：（1）√x ；（2）[1，2）．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）（1）已知2＜a +b ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，求2a +b 的取值范围； （2）若m ＞0，n ＞0，且m +n ＝4，求1m+2n+12m+n的最小值．解：（1）因为 2a +b ＝2（a +b ）﹣b ，又2＜a +b ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，即1＜﹣b ＜2，4＜2（a +b ）＜6， 所以5＜2（a +b ）﹣b ＜8， 故2a +b 的范围为（5，8）；（2）因为m ＞0，n ＞0，且m +n ＝4，所以m +2n +2m +n ＝12， 故1m+2n+12m+n=112（1m+2n+12m+n）（m +2n +2m +n ）=112（2+2m+n m+2n +m+2n 2m+n ）≥112（2+2）=13， 当且仅当m +2n ＝2m +n ＝6，即m ＝n ＝2时取等号， 故1m+2n+12m+n的最小值为13．18．（12分）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖（b ＞a ＞0），再添加m 克糖（m ＞0）（假设全部溶解），糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，不必证明．利用此结论证明：若a ，b ，c 为三角形的三边长，则a b+c+b a+c+c a+b＜2．（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克p 1元，红糖每千克p 2元（p 1≠p 2）．小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖．请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论．（物品的平均价格＝物品的总价钱+物品的总质量） 解：（1）由题可得，不等式为：ab ＜a+m b+m ，b ＞a ＞0，m ＞0，由所得不等式知，ab+c＜2a a+b+c，b a+c＜2b a+b+c，ca+b＜2c a+b+c，因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，由不等式的同向可加性， 得a b+c+b a+c+c a+b＜2a a+b+c+2b a+b+c+2c a+b+c=2a+2b+2c a+b+c=2，所以ab+c+b a+c+c a+b＜2得证；（2）设小东购买了2m 千克的糖，小华购物总花费2n 元， 则小东买到糖的平均价格为q 1=p 1m+p 2m 2m=p 1+p 22， 小华买到糖的平均价格为q 2=2nn p 1+n p2=2p 1p 2p 1+p 2， 证明：因为p 1≠p 2，所以q 1−q 2=p 1+p 22−2p 1p 2p 1+p 2=(p 1−p 2)22(p 1+p 2)＞0，所以p 1＞p 2，故小东买到糖的平均价格为p 1+p 22，小华买到糖的平均价格为2p 1p 2p 1+p 2，小东买到糖的平均价格比较高．19．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2bx +3，b ∈R ． （1）若函数f （x ）图像关于x ＝2对称，求不等式f(x)x 2−1＜0的解集；（2）若当x ∈[﹣1，2]时函数f （x ）的最小值为2，求当x ∈[﹣1，2]时，函数f （x ）的最大值． 解：（1）由函数的解析式可知对称轴方程为x ＝b ，由题意可得b ＝2， 所以不等式f(x)x 2−1＜0整理可得(x−1)(x−3)(x−1)(x+1)＜0，即（x ﹣1）2（x +1）（x ﹣3）＜0，即{(x +1)(x −3)＜0x ≠1，解得﹣1＜x ＜3且x ≠1，所以不等式的解集为{x |﹣1＜x ＜3且x ≠1}； （2）因为函数的对称轴为x ＝b ，开口向上，当b ≤﹣1时，函数在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以函数f （x ）的最小值为f （﹣1）＝1+2b +3＝2，解得b ＝﹣1，符合条件，此时f （x ）max ＝f （2）＝22﹣2×（﹣1）×2+3＝11；当b ≥2时，函数在x ∈[﹣1，2]上单调递减，所以函数f （x ）的最小值为f （2）＝4﹣2×b ×2+3＝2，解得b =54，不符合条件；当﹣1＜b ＜2时，函数在x ∈[﹣1，2]上先减后增，所以函数f （x ）的最小值为f （b ）＝b 2﹣2b 2+3＝2，解得b ＝±1，不符合条件．综上所述：b ＝﹣1时，函数f （x ）的最大值为11．20．（12分）设函数f （x ）的定义域是（0，+∞），且对任意的正实数x ，y 都有f （xy ）＝f （x ）+f （y ）恒成立，当0＜x ＜1时，f （x ）＜0．（1）判断并证明函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性； （2）若f （4）＝4，求不等式f(x)+1＞12f(2x +3)的解集． 解：（1）f （x ）在（0，+∞）上为增函数．证明如下：设x 1＞x 2＞0，则f(x 1)+f(x2x 1)=f(x 2)即f(x 2)−f(x 1)=f(x 2x 1)， ∵0＜x 2x 1＜1，故f(x2x 1)＜0，即f （x 2）＜f （x 1）， 故f （x ）在（0，+∞）上为增函数；（2）由f （2×2）＝f （2）+f （2）＝4得：f （2）＝2，f(x)+1＞12f(2x +3)⇒2f(x)+f(2)＞f(2x +3)⇒f(2x 2)＞f(2x +3)， ∴x ＞0，且2x 2＞2x +3＞0，解得x ＞1+√72， ∴不等式的解集为：{x|x ＞1+√72}． 21．（12分）为迎接购物节，某家具厂在直播平台主推一款网红床（每套床包括1张床和2个床头柜）．根据大数据预测，家具厂应先制作1013套网红床以应对本次抢购．为了尽快完成订单，该厂将100名技术工人分成两组，一组只制作床，另一组只制作床头柜，已知每张床和每个床头柜制作的工作量分别为3人1天和1人1天．若两组同时开工，问如何安排两组人数才能使得工期最短？ 解：设加工床的技术员为x 人，则加工床头柜的技术员为100﹣x 人， 可知加工床的天数为y 1，y 1=3039x ，加工床头柜的天数为y 2=2026100−x， 画出两个函数的图象如图：可知y 1＝y 2时，满足题意．可得3039x=2026100−x，解得x ＝60，制作床需要60人，只制作床头柜需要40人，才能使得工期最短．22．（12分）函数y ＝φ（x ）的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝φ（x ）为奇函数，可以将其推广为：函数y ＝φ（x ）的图像关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是函数y ＝φ（x +a ）﹣b 为奇函数．给定函数f （x ）＝x 3﹣6x 2+14x ﹣10，x ∈R ． （1）根据上述材料求函数f （x ）的对称中心；（2）判断f （x ）的单调性（无需证明），∀x ∈R ，f （3+mx +x 2）+f （x +2）＞4恒成立，求m 的取值范围． （1）由题意，设函数g （x ）＝f （x +a ）﹣b （x ∈R ）， 则函数g （x ）＝（x +a ）3﹣6（x +a ）2+14（x +a ）﹣10﹣b ，整理得：g(x)=x 3+3(a −2)x 2+3(a 2−4a +143)x +a 3−6a 2+14a −10−b ， 又由g （x ）是奇函数，得g （﹣x ）＝﹣g （x ）， 即{3(a −2)=0a 3−6a 2+14a −10−b =0，解得{a =2b =2，故函数f （x ）的对称中心为（2，2）． （2）函数f （x ）是R 上的增函数，理由是：由（1）得：函数g （x ）＝f （x +2）﹣2＝x 3+2x 是R 上的增函数， 结合函数图像平移可知，函数f （x ）是R 上的增函数，由f （3+mx +x 2）+f （x +2）＞4，得f （x 2+mx +3）﹣2＞﹣f （x +2）+2， 即f （x 2+mx +3）﹣2＞﹣[f （x +2）﹣2]⇒g （x 2+mx +1）＞﹣g （x ）， 又g （﹣x ）＝﹣g （x ）， 则g （x 2+mx +1）＞g （﹣x ）， ∵g （x ）是R 上的增函数∴x 2+mx +1＞﹣x ，∴∀x ∈R ，x 2+（m +1）x +1＞0恒成立， ∴Δ＝（m +1）2﹣4＜0， ∴﹣3＜m ＜1．即m 的取值范围是（﹣3，1）．。
湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 含答案
6.函数 f x | x 1| 的图象是（ ）
y
y
1
-1 O
x
1
O1
x
A.
B.
y
y
1
O
x
C.
-1 O 1 x D.
鄂州市部分高中教科研协作体高一数学试卷（共 4 页）第 1 页
7.
若x
1则 4x
1
的最小值为(
x 1
)
A. 4
B. 6
C.8
D. 9
8. 已知一元二次方程 x2＋mx＋1＝0 的两根都在(0，2)内，则实数 m 的取值范围是( ).
A．3
B．6
C．7
4.下列函数中，既是偶函数，又在区间 (, 0) 上为减函数的为（
y1 A． x
B． y x2
C． y | x |
5.设 x R ，则“ x 2 ”是“ x2 4 ”的（ ）
D．8 ）
D． y | x | 1
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
A.
5 2
,
2
2,
B.
5 2
,
2
C.
5 2
,
2
2,
D.
5 2
,
2
（二）多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中， 有两项或多项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，错选得 0 分.
9．已知 a b c 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. a b b c
B. ab bc
C. a2 b2
D. b a ab
精品解析：湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高一上学期期中数学试题(原卷版+解析版)
2020年湖北省新高考联考协作体高一上学期期中考试高一数学试卷考试时间：2020年11月16日上午8:00—10:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出的4个选项只有一项是符合题目要求的.）1. 若{}{}{}21,2,2,1,2,a a a =，则a 的取值集合为（ ）A. {}0,1,1-B. {}0,1-C. {}1,1-D. {}0,12. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2+x ﹣2≤0}，集合N ＝{y |y ＝3x -}，则（C U M ）∪N 等于（ ） A. {x |x ＜﹣2或x ≥0} B. {x |x ＞1} C. {x |x ＜﹣1或1＜x ≤3}D. R3. 已知a c >，b d >，则下列结论正确的是（ ） A. 22()()a b c d +>+ B. 0ab cd ad bc +--> C. ab cd >D. a b c d ->-4. 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于l 左边图形面积为S ，则函数()S f t =的图像大致为（ ）A.B.C.D.5. 已知函数()()()2f x x mx n =-+为偶函数且在(),0-∞上单调递增，则使()10f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A. ()3,1-B. ()1,+∞C. (),3-∞-D. ()(),31,-∞-⋃+∞6. 设p ：“两个一元二次不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>的解集相同”，q ：“0∃≠k 使121212,,===a ka b kb c kc ”，那么p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件7. 若函数f （x ）＝()2123,143,1a x a x x x x ⎧-+<⎨-+≥⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（ ）A. 112，⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 122，⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 112，⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 122，⎛⎫- ⎪⎝⎭8. 使函数1,1()1,1mx f x x x x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩满足：对任意的12x x ≠，都有()()12f x f x ≠的充分不必要条件为（ ）A. 0m <或1mB. 112m -<<C. 01m <<D. 1122m -<<二、多项选择题（本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得3分.）9. 集合M ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n +1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m +1，m ∈Z }之间的关系表述正确的有（ ） A. S P ⊆B. M S ⊆C. M S ⊆D. P S ⊆10. 设0a >，0b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11()4a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭B. 221a a >-C. 22a b a b b a++≥D. 22a b a b+≥+11. 如果对定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意两个不相等的实数12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()y f x =为“H 函数”，下列函数为H 函数的是（ ）A. 1()f x x x=+B. 3()f x x =-C. 13()f x x =D. ()f x x x =12. 已知函数()1xf x x =+，则（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()f x 在[0)+∞，上单调递增C. 函数()f x 的值域是()[)10,，-∞-+∞D. 方程()210f x x +-=有两个实数根三．填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知幂函数()2m f x x+=过点()2,8，且2(1)(24)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是_____． 14. 函数216y x x=--+的单调递增区间是_____．15. 已知函数()f x 的定义域为[]1,3，则函数(21)f x +的定义域为_________ 16. 若正实数,a b 满足2=4a b +，则212a b++的最小值是_____． 四．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （1）求函数22y x x =+-的值域； （2）若函数2122y kx kx =++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．18. 已知集合612A xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭,{}2(4)70B x x m x m =-+++<．（1）若3m =时，求()RAB ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．19. 已知函数f （x ）是定义在()3,3-上的奇函数，当30x -<<时，2()21f x x x =+-．（1）求函数f （x ）在()3,3-上的解析式；（2）画出函数f （x ）的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域； （3）解不等式xf （x ）＞0．20. 2020年初的新冠疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎.今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电子仪器的小公司.该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为20000元（如房租、水电等成本），每生产一台仪器需增加投入80元，已知每月生产x台的总收益满足函数()21480,05002115000,500x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x 是仪器的月产量. （1）将月利润()f x 表示为月产量的x 的函数；（总收益=总成本+利润） （2）当月产量何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？21. 设函数()21ax bf x x+=+是定义在()1,1-上的奇函数，且()11f =． （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在()1,1-上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式()()()210f t f tf -+<.22. 已知函数()2f x x a x x =-+，a R ∈.（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数[]4,6a ∈-，使得关于x 的方程()()0f x tf a -=有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．2020年湖北省新高考联考协作体高一上学期期中考试高一数学试卷考试时间：2020年11月16日上午8:00—10:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出的4个选项只有一项是符合题目要求的.）1. 若{}{}{}21,2,2,1,2,a a a =，则a 的取值集合为（ ）A. {}0,1,1-B. {}0,1-C. {}1,1-D. {}0,1【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件可得21a =或2a a =，结合集合中的元素满足互异性可得出结论.【详解】由于{}{}{}21,2,2,1,2,a a a =，则2112a a a ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩或212a a a a ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩，解得1a =-或0a =，因此，实数a 的取值集合为{}0,1-. 故选：B.2. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2+x ﹣2≤0}，集合N ＝{y |y}，则（C U M ）∪N 等于（ ） A. {x |x ＜﹣2或x ≥0} B. {x |x ＞1} C. {x |x ＜﹣1或1＜x ≤3} D. R【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式x 2+x ﹣2≤0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解. 【详解】解不等式x 2+x ﹣2≤0得：-2≤x ≤1，C U M=()(),21,-∞-+∞，N ＝{y |y}[)0,=+∞， （C U M ）∪N={x |x ＜﹣2或x ≥0}.故选：A【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解. 3. 已知a c >，b d >，则下列结论正确的是（ ） A. 22()()a b c d +>+ B. 0ab cd ad bc +--> C. ab cd > D. a b c d ->-【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质作差比较可证B 正确，举反例可说明ACD 错误． 【详解】若1,5,2,7a c b d =-=-=-=-，则22()()a b c d +<+，ab cd <，a b c d -<-，ACD 均错误．因为a c >，b d >，所以()()0ab cd ad bc a c b d +--=-->．B 正确． 故选：B ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．应用时涉及到不等式的乘除时，不等式两边的正负对不等式的成立有决定性作用，一般比较大小可用作差法．4. 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于l 左边图形面积为S ，则函数()S f t =的图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，当01t <≤时，()2122f t t t t =⋅⋅=，当12t <≤时，()112(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C符合，故选C.考点：分段函数的解析式与图象.5. 已知函数()()()2f x x mx n =-+为偶函数且在(),0-∞上单调递增，则使()10f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A. ()3,1- B. ()1,+∞C. (),3-∞-D. ()(),31,-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数定义可求得2n m =，由此得到函数解析式，并根据偶函数性质得到函数单调性，分别讨论0x =和0x ≠两种情况，结合单调性可求得结果.【详解】()()()()2222f x x mx n mx n m x n =-+=+--，()f x 为偶函数，()()()()222222f x mx n m x n mx n m x n f x ∴-=---=+--=，20n m ∴-=，即2n m =，()()()2422f x mx m m x x ∴=-=+-，()f x 在(),0-∞上单调递增，0m ∴<，且()f x 在()0,∞+上单调递减.当0x =时，()040f m =->；当0x ≠时，令()0f x =，解得：2x =-或2x =，由()10f x +<得：12x +<-或12x +>，解得：3x <-或1x >； 综上所述：使()10f x +<成立的x 的取值范围为()(),31,-∞-⋃+∞. 故选：D .【点睛】易错点睛：由于已知条件所给单调区间与函数定义域并不吻合，在解题过程中易忽略0x =的情况，需单独对()0f 的取值进行讨论.6. 设p ：“两个一元二次不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>的解集相同”，q ：“0∃≠k 使121212,,===a ka b kb c kc ”，那么p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义可得正确的选项.【详解】考虑不等式220x x +->与220x x --+>，满足121212,,a a b b c c =-=-=-， 但220x x +->的解为()(),21,-∞-⋃+∞，而220x x --+>的解为()2,1-， 故q 推不出p .考虑不等式210x x ++>与220x x ++>，它们的解集均为空集， 但121212,,a a b b c c ==≠，故p 推不出q . 所以p 是q 的既不充分也不必要条件， 故选：C.7. 若函数f （x ）＝()2123,143,1a x a x x x x ⎧-+<⎨-+≥⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（ ）A. 112，⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 122，⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 112，⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 122，⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，只需1201231a a a ->⎧⎨-+≥-⎩，解不等式即可求解.【详解】根据题意，当1≥x 时，()2431f x x x =-+≥-，若要函数的值域为R ，则1201231a a a ->⎧⎨-+≥-⎩，解得122a -≤<. 故选：B8. 使函数1,1()1,1mx f x x x x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩满足：对任意的12x x ≠，都有()()12f x f x ≠的充分不必要条件为（ ）A. 0m <或1mB. 112m -<<C. 01m <<D. 1122m -<<【答案】C 【解析】 【分析】先求出对任意的12x x ≠，都有()()12f x f x ≠的充要条件，再求其真子集即可. 【详解】当1x ≤时，()1f x x =-+，()10f x x =-+≥， 对任意的12x x ≠，都有()()12f x f x ≠， 则1x >时，()1mf x x =-单调递减，即()0110m f m >⎧⎨=-≤⎩或0m <，可得01m <≤或0m <.所以对任意的12x x ≠，都有()()12f x f x ≠的充要条件是01m <≤或0m <， 所以对应的充分不必要条件是{|01m m <≤或}0m <的真子集， 所以选项C 不正确， 故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出函数1,1()1,1mx f x x x x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩满足：对任意的12x x ≠，都有()()12f x f x ≠成立的充要条件，当1x ≤时，()1f x x =-+单调递减，且()0f x >，所以()0110m f m >⎧⎨=-≤⎩或0m <，求出m 的范围，再求其真子集即可.二、多项选择题（本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得3分.）9. 集合M ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n +1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m +1，m ∈Z }之间的关系表述正确的有（ ） A. S P ⊆ B. M S ⊆C. M S ⊆D. P S ⊆【答案】AB【解析】 【分析】根据集合的包含关系的定义判断可得正确的选项.【详解】M 表示奇数的集合，而61m +为奇数，故S M ⊆，故B 正确. 取9M ∈，但9S ∉，故C 错误.因为61321m m +=⨯+，故61m P +∈，故S P ⊆，故A 正确. 取10P ∈，但10S ∉，故D 错误. 故选：AB ．【点睛】关键点点睛：判断集合的包含关系，关键是利用包含的定义来判断，说明两个集合没有包含关系，需举反例说明．10. 设0a >，0b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11()4a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ B. 221a a >-C. 22a b a b b a++≥D. 22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用作差法比较和基本不等式对四个选项逐一判断即可得解.【详解】对于A ：因为11()222224a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭，所以11()4a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭，故A 正确； 1a =时，2211a a =-=，B 错误；222222b a b a a b a b a b a b a b +++=+++≥=+， ∴22a b a b b a++≥，C 正确；∵a b +≥∴222()22()a b a b ab ab a b a b a b a b ++-==+-≥=+++D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查基本不等式的应用，对命题的判断，正确的不等式需根据基本不等式进行证明，错误的可举反例．11. 如果对定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意两个不相等的实数12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()y f x =为“H 函数”，下列函数为H 函数的是（ ）A. 1()f x x x=+B. 3()f x x =-C. 13()f x x =D. ()f x x x =【答案】CD 【解析】 【分析】根据“H 函数”的定义可得此类函数必定是R 上的增函数，从而可得正确的选项. 【详解】因为()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+对任意12x x ≠都成立， 故()()()()12120x x f x f x -->，不妨设12x x <，则()()12f x f x <，故()f x 为R 上的增函数， 对于A 中的函数， ()1512,22f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故()112f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 故()f x 为不是R 上的增函数，故A 错误.对于B 中的函数，()()00,11f f ==-，故()()01f f >， 故()f x 为不是R 上的增函数，故B 错误.对于C 中的函数，由幂函数的性质可得13()f x x =为R 上的增函数且为奇函数，故C 正确. 对于D 中的函数，()()f x x x f x -=-=-，所以()f x 为R 上的奇函数，而当0x ≥时，2()f x x =，故()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以()f x 为R 上的增函数， 故选：CD.【点睛】方法点睛：（1）说明一个函数在给定范围不是单调增函数或单调减函数，可通过反例来说明；（2）较为复杂的函数的性质，可先研究其奇偶性，再研究某一侧函数的性质从而得到整体上的性质. 12. 已知函数()1xf x x =+，则（ ） A. ()f x 是奇函数B. ()f x 在[0)+∞，上单调递增C. 函数()f x 的值域是()[)10,，-∞-+∞D. 方程()210f x x +-=有两个实数根 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数的定义域为{}|1x x ≠-即可判断选项A ；当0x >时，1111x y x x ==-++，当0x <且1x ≠-时，()1111x f x x x -==-+++，根据反比例函数1y x=-以及1y x =图象平移即可得()f x 的图象，进而可得单调性和值域，即可判断选项B 、C 的正误；()210f x x +-=等价于()21f x x =-，即由()y f x =的图象与21y x =-的图象交点个数即可判断选项D .【详解】[)()(),0,1()1,,11,01xx x x f x xx x x ⎧∈+∞⎪⎪+==⎨-+⎪∈-∞-⋃-⎪+⎩， 对于选项A ：()1xf x x =+的定义域是{}|1x x ≠-不关于原点对称，所以()f x 不是奇函数也不是偶函数；故选项A 不正确；对于选项B ：当0x >时，1111x y x x ==-++的图象是由1y x=-的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到，如图()f x 在[0)+∞，上单调递增，故选项B 正确；对于选项C ：当0x >时，()110,111x y x x ==-∈++， 当0x <且1x ≠-时，()1111x f x x x -==-+++，此时()f x 的图象是由1y x =的图象向左平移一个单位再向下平移一个单位得到，如图此时()()()10,f x ∈-∞-⋃+∞，，所以函数()f x 的值域是()[)10,，-∞-+∞，故选项C 正确；对于选项D ：()210f x x +-=等价于()21f x x =-，由图知()y f x =的图象与21y x =-的图象有三个交点，所以方程()210f x x +-=有三个实数根，故选项D 不正确.故选：BC【点睛】关键点点睛：本题的关键点是当0x >时，1111x y x x ==-++的图象是由1y x=-的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到，当0x <且1x ≠-时，()1111x f x x x -==-+++，此时()f x 的图象是由1y x =的图象向左平移一个单位再向下平移一个单位得到，由此可得()f x 的图象，进而可判断单调性和值域.三．填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知幂函数()2m f x x +=过点()2,8，且2(1)(24)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是_____．【答案】()3,1- 【解析】 【分析】先求出m ，再根据所得幂函数的奇偶性和单调性可得关于k 的不等式，从而可求k 的取值范围. 【详解】由题设可得23282m +==，故1m =，所以()3f x x =，所以()f x 为R 上的奇函数且为增函数，而2(1)(24)0f k f k ++-<等价于()2(1)(24)42f k f k f k +<--=-，所以2230k k +-<，故31k -<<. 故答案为：()3,1-.【点睛】关键点点睛：解函数不等式，关键是利用函数的单调性和奇偶性去掉对应法则，此时注意定义域的要求.14. 函数216y x x =-+_____． 【答案】[3,6] 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】226060x x x x -+≥⇒-≤，解得06x ≤≤， 令()()22639x x x x μ=-+=--+，对称轴为3x =，所以函数()x μ在(),3-∞为单调递增；在[)3,+∞上单调递减. 所以函数216y x x =-+[3,6]. 故答案：[3,6]15. 已知函数()f x 的定义域为[]1,3，则函数(21)f x +的定义域为_________ 【答案】[0,1] 【解析】由题意得121301x x ≤+≤⇒≤≤，所以定义域为[]0,1 16. 若正实数,a b 满足2=4a b +，则212a b++的最小值是_____． 【答案】43【解析】 【分析】由题得(2)2=6a b ++，化简得21122()[(2)2]2622a b a b a b+=+++++，再利用基本不等式求解. 【详解】因为2=4a b +，所以(2)2=6a b ++， 所以2122122()[(2)2]222622a b a b a b a b+=+=++++++ 142(2)14=[4+][4]6226223b a a b b ++≥+=+. 当且仅当31,2a b ==时取等. 故答案为：43【点睛】关键点睛：解答本题的关键是先化简已知得到(2)2=6a b ++，再化简212a b++为21122()[(2)2]2622a b a b a b+=+++++.这种技巧常称为“常量代换”，再利用基本不等式时经常用到. 四．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （1）求函数y x =+ （2）若函数y =的定义域为R ，求实数k 的取值范围．【答案】（1）(],3-∞；（2）02k ≤<. 【解析】 【分析】（1）利用换元法，结合二次函数的性质求得函数的值域；（2）利用偶次方根的被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式，根据一元二次不等式恒成立的条件列出不等式，求得k 的取值范围.【详解】（12,0,2t t x t =≥=-222y t t =-++ (0)t ≥即2(1)3y t =--+1t =时，max 3y =；t →+∞时，y →-∞∴值域为(],3-∞（2）2220kx kx ++>恒成立 ①当0k =时成立②20480k k k >⎧⎨∆=-<⎩解得02k << 综合①②得02k ≤< 18. 已知集合612A xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭,{}2(4)70B x x m x m =-+++<．（1）若3m =时，求()RAB ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}22x x -<≤；（2）197,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）依题意先求出集合A 和集合B ，再求出B R，然后按照交集的定义求出结果即可；（2）由A B A ⋃=可得出B A ⊆，然后分B φ=和B φ≠两种情况进行分类讨论，进而求出结果即可. 【详解】（1）{}24A x x =-<≤，当3m =时，{}25B x x =<<， ∴{2C B x x =≤R 或}5x ≥，(){}22RA B x x ⋂=-<≤；（2）∵A B A ⋃=，∴B A ⊆， 令()2(4)7=-+++f x x m x m ，①当B φ=时，即()0f x ≥恒成立，所以()2=44(7)0∆+-+≤m m ， 解得：62m -≤≤；②当B φ≠时，即()0f x <有解，所以6m <-或2m >， 令()0f x =，解得：x =，所以24≥-≤ ，解得1963-≤<-m 或723<≤m ，综合①②得m 的范围是197,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】易错点点睛：由A B A ⋃=可得出B A ⊆，然后进行分类讨论，切记别漏掉B φ=的情形，否则容易漏解.19. 已知函数f （x ）是定义在()3,3-上的奇函数，当30x -<<时，2()21f x x x =+-．（1）求函数f （x ）在()3,3-上的解析式；（2）画出函数f （x ）的图像并根据图像写出函数的单调区间和值域； （3）解不等式xf （x ）＞0．【答案】（1）2221,30()0,021,03x x x f x x x x x ⎧+--<<⎪==⎨⎪-++<<⎩；（2）图像见解析；单调递增区间是()11，-，单调减区间（-3，-1），（1,3）；值域[]22-, ；（3）(12,0)(0,12)-+.【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性即可求解.（2）作出函数图像，利用函数图像即可求出单调区间与值域. （3）由（1）中函数的解析式，讨论x 的取值范围即可求解.【详解】解：（1）函数f （x ）是定义在()3,3-上的奇函数，所以当f （0）=0， 设03x <<，则30x -<-<，由30x -<<时，f （x ）＝x 2+2x-1， 则()221f x x x -=--，又函数为奇函数，所以f （x ）()f x =--＝﹣x 2+2x +1，所以2221,30()0,021,03x x x f x x x x x ⎧+--<<⎪==⎨⎪-++<<⎩（2）如图：单调递增区间是()11，-，单调减区间（-3，-1），（1,3），值域是 []22-,. （3） 由2210,(30)x x x +-=-<<，得112x =-， 由对称性得212x =由()0xf x >得0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩由图得到不等式的解集是(12,0)(0,12)-+.20. 2020年初的新冠疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎.今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电子仪器的小公司.该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为20000元（如房租、水电等成本），每生产一台仪器需增加投入80元，已知每月生产x台的总收益满足函数()21480,05002115000,500x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x 是仪器的月产量. （1）将月利润()f x 表示为月产量的x 的函数；（总收益=总成本+利润） （2）当月产量为何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？【答案】（1）()2140020000,050029500080,500x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩；（2）400台；60000元.【解析】 【分析】（1）求出成本，根据收益满足的函数关系式即可求解.（2）根据（1）中的表达式，讨论x 的取值范围，求出分段函数的最值即可. 【详解】解：（1）月产量为x 台，则总成本为20 000+80x那么()2140020000,050029500080,500x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，（2）当0500x ≤≤时，21()400)600002f x x =--+（， 所以当=400x 时，()f x 最大值为60000；当500x >时，()f x 是减函数，且()950008050055000f x <-⨯=，所以当=400x 时，函数的最大值为60000，即当月产量为400台时，所获得利润最大， 最大利润为60000元. 21. 设函数()21ax bf x x+=+是定义在()1,1-上的奇函数，且()11f =． （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在()1,1-上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式()()()210f t f tf -+<.【答案】（1）()221xf x x =+，()1,1x ∈-；（2）增函数，证明见解析；（3）10,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可求得0b =，再由()11f =可求得a 的值，由此可得出函数()f x 的解析式； （2）任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，通过作差()()12f x f x -、因式分解、判断差值符号，由此可证明出函数()f x 在()1,1-上的单调性； （3）将所求不等式变形为()()21f tf t <-，利用函数()f x 的定义域和单调性可得出关于实数t 的不等式组，由此可解得实数t 的取值范围. 【详解】（1）函数()21ax bf x x+=+是定义在()1,1-上的奇函数， 则()()f x f x -=-，所以，()2211ax b ax b x x -++=-++-，可得0b =，()21axf x x∴=+， 而()112af ==，解得2a =， 因此，()221xf x x=+，()1,1x ∈-； （2）函数()221xf x x =+在()1,1-上为增函数.证明如下：任意1x 、()21,1x ∈-且12x x <， 则()()()()()()()()()()22221221121212121222222212121221212222111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-+--=-==++++++()()()()()()()()121212*********21222211111x x x x x x x x x x x x x x -----==++++，1211x x -<<<，120x x ∴-<，1210x x ->，所以，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 因此，函数()f x 在()1,1-上为增函数； （3）由题意，不等式()()()210f t f t f -+<可化为()()210f t f t -+<，即解不等式()()()211f tf t f t <--=-，所以22111111t t t t⎧-<<⎪-<-<⎨⎪<-⎩，解得102t <<，所以不等式()()()210f t f tf -+<的解集为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义得出结论.即取值→作差→变形→定号→下结论.22. 已知函数()2f x x a x x =-+，a R ∈.（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数[]4,6a ∈-，使得关于x 的方程()()0f x tf a -=有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．【答案】（1）[]22-,；（2）41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）将函数()f x 的解析式表示为分段函数的形式，根据题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围；（2）由题意可知，存在[]4,6a ∈-，使得方程()2f x at =有3个不等的实根，分22a -≤≤、26a <≤、42a -≤<-三种情况讨论，分析函数()f x 的单调性结合题意可得出关于实数a 的不等式组，综合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）()()()222,2,x a x x a f x x a x x a⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩. 当x a ≥时，函数()22y x a x =--的对称轴为直线22a x -=； 当x a <时，函数()22y x a x =-++的对称轴为直线22a x +=. 由函数()f x 在R 上单调递增，则2222a a a a -⎧≤⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，解得22a -≤≤. 因此，实数a 的取值范围是[]22-,； （2）()()0f x tf a -=有3个不等根，()2f x at ∴=有三个不等根，()y f x ∴=与2y at =有三个公共点.①由（1）知当22a -≤≤时，()f x 为单调增函数，关于x 的方程()2f x at =不可能有3个不等实根； ②当26a <≤时，1122a a a -<+<， 函数()f x 在,12a ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，在(),a +∞上单调递增， 若方程()2f x at =由三个不等的实数根，则()212a f a at f ⎛⎫<<+⎪⎝⎭， 即22214a a at a <<++，141182t a a ⎛⎫∴<<++ ⎪⎝⎭， 所以，存在(]2,6a ∈使得不等式141182t a a ⎛⎫<<++ ⎪⎝⎭成立， 设()14182h a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下面证明函数()14182h a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在(]2,6上单调递增， 任取1a 、(]22,6a ∈且12a a <，则()()()121212121214114114482828h a h a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++-++=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()21121212121244188a a a a a a a a a a a a ---⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦， 1226a a <<≤，则120a a -<，124a a >，()()12h a h a ∴<，所以，函数()h a 在(]2,6上单调递增，同理可证函数()14182a a a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在[)4,2--上单调递减， ()()max 463h a h ∴==，413t ∴<<； ③当42a -≤<-时，1122<-<+a a a ， 函数()f x 在(),a -∞上单调递增，在,12a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以，()122a f ta f a ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，即21224a a at a -+-<<， 所以，存在[)4,2a ∈--，使得不等式141182t a a ⎛⎫<<-++ ⎪⎝⎭成立， 设()14182a a a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，则函数()a ϕ在[)4,2--上单调递减， 所以，()()max 948a h ϕ=-=，此时，918t <<. 综合①②③，可得41,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
高一数学鄂东南参考答案20200530(最新)
2 1 3, 2x y 1 (2x y)( 1 2 ) 1 (2 2 y 4x ) 1 (4 4) 8 ，故选 D
xy
3
xy 3
xy 3
3
11．A 【解析】如图，
| a | sin B | b | sin A CH , OP OC
m
(a b)，CP
m
(a b) ，
7 ． C 【 解 析 】 x2 2mx 2m 1 (x m)2 1 才 能 满 足 一 个 解 ， 经 验 证 应 选 C 或
x2 2mx 2m 0 4m2 8m 0, m 0或2 ，故选 C
8．C【解析】
452 2025, 2020 2025 2072, 去掉2025,12 12 12=1728<2020<13 13 13=2197
CH
CH
由平行四边形法则可知，P 在中线 CD 上，故选 A。 12．D 【解析】
y cos( x ) sin x关于x 1 对称，不妨设a b c, a b 1,1 c 2020,
2
2
a b c (2, 2021) ，故选 D
13．24 【解析】 S11 11a6 88, a3 a5 a10 3a6 24
2020 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高一数学参考答案
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C
D
D
A
C
C
C
D
D
A
D
1．B 【解析】 A [0, ), B [1, ), A B B ，选 B
2．C 【解析】 cos x , r x2 y 2 42 m2 5, m 3 ，选 C r
湖北省普通高中联考协作体2020-2021学年高一上学期期中数学试题
湖北省普通高中联考协作体【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知{|2A x R x =∈-≤<，则*A N =（ ）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．[]1,22．以下四个选项中，所表示的集合不是空集的是（ ） A ．∅B ．{}∅C ．{}2|10x R x x ∈-+=D ．{|x y =3．函数()ln(2)f x x =+-的定义域是（ ） A ．[1,2)- B ．()0,2C ．[1,0)(0,2)- D ．(1,0)(0,2)-4．下列函数中，既是奇函数，又是定义域内的减函数的是（ ）A ．1y x=B ．2y x =-C ．212x xy -=D ．12log y x =5．若0.9 1.11.11.1,0.9,log 0.9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<6．函数1()12xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点的大致区间为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭7．函数2()(2)1f x x a x =+-+在()1,2上是增函数，则实数a 的范围是（ ） A ．(),2-∞-B ．(],2-∞-C ．()0,∞+D ．[)0,+∞8．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是增函数，若()20f -=，则使()0f a >成立的实数a 的范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()(),22,-∞-+∞9．已知函数2,0()(1),0x x f x f x x -⎧≥=⎨+<⎩，则12log 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．78B ．87 C ．74D ．710．函数()ln 1f x x =-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知集合A 、B 均为非空集合，定义{*|()A B x x A B =∈⋃且}()x A B ∉⋂，若{}1,0,1,2,3A =-，{}2|1,B x x t t A ==+∈，则集合*A B 的子集共（ ）A ．64个B ．63个C ．32个D ．31个12．若0a >且1a ≠，则函数x y a -=与log a y x =图像的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．0或1或2二、填空题13．某校一（1）班共有18名学生参加了学校书法社或手工社，其中参加书法社的学生有15人，参加手工社的学生有6人，则一（1）班这两个社团都参加了的学生共___________人.14．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时，()2f x x =，则()2f -=___________.15．函数1()a x f x x a -=+（0a >，且1a ≠）的图像恒过定点，其坐标为_____________.16．给定以下四个函数：①()22f x x x =+；②()f x =；③()2x f x =；④()2()ln 1f x x =+，其中，值域为[)0,+∞的函数的序号为___________.三、解答题17．计算下列各式的值.（1）120171.75427-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）lg 5lg 402lg 2lg⋅+⋅18．已知集合2211{|}A x x =-≤-≤，集合{}11B x a x a =-<<+. （1）若1a =，试通过运算验证：()()()RRR A B A B =；（2）若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.19．如图，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>的图像与x 轴交于1,0A 和()3,0B ，与y 轴交于C 点，且ABC ∆是等腰三角形.（1）求()f x 的解析式；（2）在A 、B 之间的抛物线段上是否存在异于A 、B 的点D ，使ABD ∆与ABC ∆的面积相等？若存在，求D 点的坐标，若不存在，说明理由.20．我国是水资源匮乏国家，节约用水是每个中国公民应有的意识.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：（1）该城市居民小张家月用水量记为()3x m ，应交纳水费y （元），试建立y 与x 的函数解析式，并作出其图像；（2）若小张家十月份交纳水费90元，求他家十月份的用水量. 21．已知函数22()log (1)log ()f x ax x a =+--是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）求不等式()1f x >的解集.22．已知函数3()2x x e f x e -=+，其中，e 为自然对数的底数.（1）证明：函数()f x 在R 上是增函数；（2）若对任意12,,1[]0x x ∈，都有()()21f x f x m -<成立，求正整数m 的最小值.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据交集定义求解. 【详解】*A N={}*|2{1,2}x x x N =-≤<∈=故选：C 【点睛】本题考查交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．B 【分析】根据空集含义逐一判断. 【详解】∅表示空集, {}∅表示以空集为元素的集合，不是空集；因为210x x -+=无实数解，所以{}2|10x R x x ∈-+==∅；3020x x x -≥⎧∴∈∅∴⎨-≤⎩{|x y ==∅ 故选：B 【点睛】本题考查空集含义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．C 【分析】根据分母不为零、真数大于零、偶次根式下被开方数非负列不等式组，解得结果. 【详解】10012,020x x x x x +≥⎧⎪≠∴-≤<≠⎨⎪->⎩故选：C 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.4．B 【分析】直接根据解析式判断奇偶性与单调性. 【详解】1y x=是奇函数,在(,0),(0,)-∞+∞上都是减函数，但在定义域内不是减函数； 2y x =-是奇函数,在定义域内是减函数；212x x y -=不是奇函数,在定义域内是增函数；12log y x =不是奇函数,在定义域内是减函数；故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性，考查基本分析判断能力，属基础题. 5．A 【分析】根据指数函数与对数函数单调性确定三个数范围，进而比较大小. 【详解】00.90 1.1 1.1 1.11(0,0.9)(0,1)1.1 1.1,0.9,log .90log 10a b c ===<>=∈==所以c b a << 故选：A 【点睛】本题考查根据指数函数与对数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题. 6．C 【分析】先确定函数单调性，再根据零点存在定理判断选择. 【详解】因为1()12x f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递增，111(1)11022f ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭，3322133111()1(20)2222f ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，所以零点的大致区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故选：C 【点睛】本题考查函数单调性以及零点存在定理，考查基本分析判断能力，属基础题. 7．D 【分析】根据二次函数单调性确定对称轴与定义区间位置，解得结果. 【详解】因为函数2()(2)1f x x a x =+-+在()1,2上是增函数，所以2102a a --≤∴≥ 故选：D 【点睛】本题考查二次函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．D 【分析】根据函数奇偶性与单调性作出函数示意图，根据图象化简不等式，解得结果. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是增函数，若()20f -=， 所以函数()f x 示意图如下，由图可得()022f a a a >⇒><-或故选：D 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 9．A 【分析】根据自变量范围逐步代入对应解析式，即得结果. 【详解】11112222log 7log 71log 72log 73f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12277log log 881277log 2288f -⎛⎫==== ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．B 【分析】根据定义域，舍去A ，C,D ，即得选项. 【详解】()ln 1f x x =-中101x x ->∴≠，又()1ln 2f -=，所以舍去A ，C,D ，()ln 1f x x =-关于=1x 对称，当1x >时()ln(1),2ln(1)ln(1),12x x f x x x x -≥⎧=-=⎨--<<⎩，B中图象满足条件， 故选：B 【点睛】本题考查函数图象识别，考查基本分析判断能力，属基础题. 11．C 【分析】先求集合B ，再求并集、交集、补集，最后根据元素确定子集个数. 【详解】因为{}2|1,{1,2,5,10}B x x t t A ==+∈=， 所以{}{}1,0,1,2,3510,1,2,AB A B =-=，，*{1,0,3,5,10}A B ∴=-因此集合*A B 的子集有5232=个， 故选：C 【点睛】本题考查并集、交集、补集定义以及子集个数，考查综合本分析求解能力，属基础题. 12．B 【分析】根据底的大小分别作出函数示意图，再根据图象确定交点个数. 【详解】 当1a >时当01a <<时由图可知交点个数为都为1个 故选：B【点睛】本题考查指数函数与对数函数图像，考查基本分析判断能力，属基础题. 13．3 【分析】根据韦恩图可得方程，解得结果. 【详解】设一（1）班这两个社团都参加了的学生共有x 人，则615183x x x x -++-=∴= 故答案为：3 【点睛】本题考查利用韦恩图解时间问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．4- 【分析】根据奇函数性质将自变量转化到已和区间，再根据已知区间解析式求结果. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()22f f -=-因为0x ≥时，()2f x x =，所以()()22224f f -=-=-=-故答案为：4- 【点睛】本题考查根据奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．（1，2） 【分析】根据幂函数以及指数函数性质，直接缺定点坐标. 【详解】因为0=111=a a ，，所以当1x =时(1)2f =，即()f x 恒过定点（1，2）故答案为：（1，2）【点睛】本题考查根据幂函数以及指数函数性质求定点，考查基本分析求解能力，属基础题. 16．②④【分析】分别求四个函数值域，再对照选择.【详解】()222(1)11f x x x x =+=+-≥-;()0f x =≥;()20x f x =>;()2()ln 1ln10f x x =+≥=所以值域为[)0,+∞为只有②④故答案为：②④【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题.17．（1）15；（2）1 【分析】（1）根据指数幂运算法则求解；（2）根据对数运算法则求解.【详解】解：（1）原式=113125()27--=1122(5)---1335(())3- 1=-15-15()3--=1-153515=（2）原式=lg 5(lg 4lg10)+2lg 2(lg lg 5)+=lg5(2lg 21)+12(lg 2)(lg10lg5)2+-=2lg5lg 2 +lg 5lg 2+-2lg 2lg5=lg 5lg 2+1=【点睛】本题考查指数幂运算以及对数运算，考查基本分析求解能力，属基础题.18．（1）见解析；（2）3(,2)2-【分析】（1）先解不等式得集合A ，再分别求并集、补集、交集，根据结果进行验证；（2）结合数轴先求AB =∅情况，再根据补集得结果.【详解】 解：A ={2211}x x -≤-≤=1{|1}2x x -≤≤． （1）当1a =时，B ={02}x x <<∴A B =1{|1}2x x -≤≤{02}x x <<=1{|2}2x x -≤< ()R C A B =1{|2x x <-或2}x ≥ 又R C A =1{|2x x <-或1}x >，R C B ={|0x x ≤或2}x ≥ ∴()()R R C A C B =1{|2x x <-或2}x ≥ ∴()R C A B =()()R R C A C B ． （2）若AB =∅，则：112a +≤-或11a -≥ ∴32a ≤-或2a ≥ ∴A B ⋂≠∅时，322a -<<，即实数a 的取值范围3(,2)2-． 【点睛】 本题考查集合交并补运算以及根据交集结果求参数，考查综合分析求解能力，属基础题.19．（1）()f x =233x x -+（2）不存在，理由见解析 【分析】（1）根据几何条件解得C 点坐标，再根据待定系数法求()f x 的解析式；（2）易得ABC ∆的面积，再求ABD ∆面积最大值，最后比较大小可判断不存在.【详解】解：（1）由题意：2AC AB ==，OA =1∴OC= ∴C 点坐标为（0． 将A 、B 、C 的坐标代入二次函数解析式，得：0930a b c a b c c ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩，解之，得：3a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩， 故()f x=233x x -+ （2）由（1）知：()f x=22)x -，其顶点坐标为（2， 又A （1，0），B （3，0），D 在AB 之间的抛物线段上∴max 11(22)2ABD S AB ∆=⋅=⨯=而11222ABC S AB OC ∆=⋅=⨯=∴ABD ABC S S ∆∆<，即在AB 之间的抛物线段上不存在D 点，使ABD ∆与ABC ∆的面积相等．【点睛】本题考查函数解析式以及抛物线中三角形面积，考查基本分析求解能力，属中档题.20．（1）3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，图像见解析；（2）203m【分析】（1）根据条件分段求对应函数解析式，再根据解析式画图象；（2）先判断小张家十月份用水量所在区间，再根据对应解析式求结果.【详解】解：由题意：当012x ≤≤时，3y x =；当1218x <≤时，366(12)636y x x =+-=-；当18x >时，36369(18)990y x x =++-=-．∴3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，其图像如图所示：（2）由（1）知：用水量[0,12]x ∈时，应交纳水费36y ≤；用水量(12,18]x ∈时，应交纳水费72y ≤；故小张家十月份用水量18x >3m ，令99090y x =-=，得：20x所以，小张家十月份用水量为203m ．【点睛】本题考查分段函数解析式及其应用，考查基本分析求解能力，属中档题.21．（1）1-；（2）1(1,)3--【分析】（1）根据奇函数定义列式求解实数a 的值，注意验证定义域是否关于原点对称；（2）根据对数函数单调性化简不等式，解得结果，注意不要忘记定义域的限制条件.【详解】解：（1）22()log (1)log ()f x ax x a =+--是奇函数∴()()0f x f x +-=对其定义域内任意自变量x 的值恒成立∴2222log (1)log ()log (1)log ()0ax x a ax x a +--+-+---=∴2222log (1)log (1)log ()log ()ax ax x a x a ++-+=-+--∴222222log (1)log ()a x a x -=-，∴22221a x a x -=-∴21a =，∴1a =±．当1a =时，22()log (1)log (1)f x x x =+--，由1010x x +>⎧⎨->⎩，得：1x > 此时()f x 的定义域(1,)+∞不关于0x =对称，不合题意；当1a =-时，22()log (1)log (1)f x x x =--+，由1010x x +>⎧⎨->⎩，得：11x -<<此时()f x 的定义域(1,1)-关于0x =对称，符合题意.∴1a =-．（2）由（1）知：22()log (1)log (1)f x x x =--+不等式()1f x >即为22log (1)log (1)1x x --+>，可化为22log (1)1log (1)x x ->++ 即22log (1)log [2(1)]x x ->+，它等价于不等式组101012(1)x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩，解之，得：113x -<<- 故不等式()1f x >的解集为1(1,)3--．【点睛】本题考查根据函数奇偶性求参数以及利用对数函数单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.22．（1）证明见解析；（2）1【分析】（1）根据函数单调性定义证明；（2）先将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，再根据函数单调性确定最值，代入化简解得结果.【详解】证明：（1）35()122x x x e f x e e -==-++，任取1x 、2x R ∈，使1x <2x ，则： 212155()()(1)(1)22x x f x f x e e -=---++12115()22x x e e =-++21125()(2)(2)x x x x e e e e -=++1x <2x ∴12x x e e < ∴210x x e e ->120x e +>，220x e +> ∴21()()0f x f x ->即12()()f x f x <∴函数()f x 在R 上是增函数．（2）由（1）知：函数3()2x x e f x e -=+在[0,1]上单调递增 ∴当x [0,1]∈时，max 3()(1)2e f x f e -==+，min 2()(0)3f x f ==- ∴任意1x 、2x [0,1]∈，21max min ()()()()f x f x f x f x -≤-232323e e -=+<+ ∴正整数m 的最小值为1． 【点睛】本题考查定义证明函数单调性以及不等式恒成立问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.。
2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若{1,2，a}∪{2，a2}={1，2，a}，则a的取值集合为()A. {0,±1}B. {0,−1}C. {−1,1}D. {0,1 }2.已知全集U=R，集合M={x|x2+x−2≤0}，集合N={y|y=√3−x}，则(∁U M)∪N等于()A. {x|x<−2或x≥0}B. {x|x>1}C. {x|x<−1或1<x≤3}D. R3.已知a>c，b>d，则下列结论正确的是()A. (a+b)2>(c+d)2B. ab+cd−ad−bc>0C. ab>cdD. a−b>c−d4.直角梯形OABC中AB//OC、AB=1、OC=BC=2，直线l：x=t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S=f(t)的图象大致为()A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=(x −2)(mx +n)为偶函数且在(−∞,0)上单调递增，则使f(x +1)<0成立的x 的取值范围是( )A. (−3,1)B. (1,+∞)C. (−∞,−3)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)6. 设p “两个一元二次不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0与a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集相同”，q “∃k ≠0，使a 1=ka 2，b 1=kb 2，c 1=kc 2”，那么p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件7. 若函数f(x)={(1−2a)x +3a,x <1x 2−4x +3,x ≥1的值域为R ，则a 的取值范围是( )A. (−1,12)B. [−2,12)C. [−1,12)D. (−2,12)8. 使函数f(x)={mx −1,x >1−x +1,x ≤1满足：对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)的充分不必要条件为( )A. m <0或m >1B. −1<m <12 C. 0<m <1D. −12<m <12二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 集合M ={x|x =2k −1,k ∈Z}，P ={y|y =3n +1,n ∈Z}，S ={z|z =6m +1,m ∈Z}之间的关系表述正确的有( )A. S ⊆PB. S ⊆MC. M ⊆SD. P ⊆S10. 设a >0，b >0，则下列不等式恒成立的是( )A. (a +b)(1a +1b )≥4B. a 2>2a −1C. a 2b +b2a≥a +b D. a 2+b2a+b ≥√ab11. 如果对定义在R 上的奇函数y =f(x)，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则称函数y =f(x)为“H 函数”，下列函数为H 函数的是( )A. f(x)=x +1xB. f(x)=−x 3 C. f(x)=x 13D. f(x)=x|x|12. 已知函数f(x)=|x|x+1，则( )A. f(x)是奇函数B. f(x)在[0,+∞)上单调递增C. 函数f(x)的值域是(−∞,−1)∪[0，+∞)D. 方程f(x)+x2−1=0有两个实数根三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数f(x)=x m+2过点(2,8)，且f(k2+1)+f(2k−4)<0，则实数k的取值范围是．14.函数y=1−√−x2+6x的单调递增区间是．15.已知函数f(x)的定义域为[1,3]，则函数f(2x+1)的定义域为．16.若正实数a，b满足a+2b=4，则2a+2+1b的最小值是．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)求函数y=x+2√2−x的值域；(2)若函数y=√kx2+2kx+2的定义域为R，求实数k的取值范围．18.已知集合A={x|62+x≥1}，B={x|x2−(m+4)x+m+7<0}．(1)若m=3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围．19.已知函数f(x)是定义在(−3,3)上的奇函数，当−3<x<0时，f(x)=x2+2x−1．(1)求函数f(x)在(−3,3)上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象并根据图象写出函数的单调区间和值域； (3)解不等式xf(x)>0．20. 2020年初的新冠疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎．今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电子仪器的小公司．该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为20000元(如房租、水电等成本)，每生产一台仪器需增加投入80元，已知每月生产x 台的总收益满足函数R(x)={480x −12x 2,0≤x ≤500115000,x >500，其中x 是仪器的月产量．(1)将月利润f(x)表示为月产量的x 的函数．(总收益=总成本+利润) (2)当月产量为何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？21.设函数f(x)=ax+b是定义在(−1,1)上的奇函数，且f(1)=1．1+x2(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)在(−1,1)上的单调性，并用单调性定义证明；(3)解不等式f(t−1)+f(t2)<f(0)．22.已知函数f(x)=x|a−x|+2x，a∈R．(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若存在实数a∈[−4,6]，使得关于x的方程f(x)−tf(a)=0有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了并集的定义及运算，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题．根据条件即可得出a=a2或a2=1，然后求出a，并验证是否满足题意，从而可得出a 的取值的集合．【解答】解：∵{1,2，a}∪{2，a2}={1，2，a}，∴a=a2，或a2=1，解得a=±1或0，a=1时，不满足集合元素的互异性，应舍去，∴a=−1或0，∴a的取值集合为：{0,−1}．故选：B．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查补集、并集的求法，考查运算求解能力，是基础题．求出集合M，集合N，从而求出∁U M，由此能求出(∁U M)∪N．【解答】解：∵全集U=R，集合M={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，集合N={y|y=√3−x}={y|y≥0}，∴∁U M={x|x<−2或x>1}，(∁U M)∪N={x|x<−2或x≥0}．故选：A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质和不等式大小的比较，属基础题． 根据a >c ，b >d ，取a =b =0，c =d =−1，则可排除错误选项． 【解答】解：根据a >c ，b >d ，取a =b =0，c =d =−1，则可排除ACD ． 因为a >c ，b >d ，所以a −c >0,b −d >0，即可得(a −c )(b −d )>0，整理可得ab +cd −ad −bc >0，故B 正确; 故选：B ．4.【答案】C【解析】 【分析】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中，首先应该直线l 的运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数：f(t)={t 2,0<t ≤12t −1,1<t ≤2然后分情况即可获得问题的解答． 【解答】解：由题意可知：当0<t ≤1时，f(t)=12⋅t ⋅2t =t 2， 当1<t ≤2时，f(t)=1×2×12+(t −1)⋅2=2t −1； 所以f(t)={t 2,0<t ≤12t −1,1<t ≤2．结合不同段上函数的性质，可知选项C 符合． 故选：C ．5.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键． 根据函数是偶函数，求出m ，n 的关系，结合单调性确定m 的符号，即可得到结论． 【解答】解：∵f(x)=(x −2)(mx +n)=mx 2+(n −2m)x −2n 为偶函数， ∴n −2m =0，即n =2m ，则f(x)=(x −2)(mx +2m)=m(x −2)(x +2)=mx 2−4m ， ∵在(−∞,0)单调递增，∴m <0，则由f(x +1)=m(x −1)(x +3)<0，得(x −1)(x +3)>0， 解得x <−3或x >1，故不等式的解集为(−∞,−3)∪(1,+∞)． 故选：D ．6.【答案】C【解析】 【分析】本题考查充分、必要条件，同时考查二次不等式的解集问题，属于基础题． 通过举两个反例，即可判断结果． 【解答】解：通过举反例a 1=b 1=c 1=1，a 2=b 2=c 2=−1，可知p 是q 的不必要条件， 由不等式(x −1)2+1>0和(x −1)2+2>0的解集都是R ，但不等式整理成标准形式后它们的同类项系数之比不相等，可知p 是q 的不充分条件； 故选：C ．7.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是中档题．先求出当x ≥1时f(x)≥−1，因为函数f(x)的值域为R ，所以当x <1时，需满足{1−2a >0(1−2a)×1+3a ≥−1，从而求出a 的取值范围． 【解答】解：当x ≥1时，f(x)=x 2−4x +3=(x −2)2−1≥−1， ∵函数f(x)的值域为R ，∴当x <1时，{1−2a >0(1−2a)×1+3a ≥−1，解得：−2≤a <12， 故选：B ．8.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键 根据条件先求出命题的等价条件，结合充分不必要条件的定义进行求解判断即可． 【解答】解：当m >1时，g(x)=m x−1在(1,+∞)上递减，ℎ(x)=−x +1在(−∞,1]递减，g(x)<m −1，ℎ(x)⩾ℎ(1)=0，由m >1得m −1>0，显然不满足任意x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)， ∵当0<m ≤1时，g(x)=m x−1在(1,+∞)上递减，ℎ(x)=−x +1在(−∞,1]递减，且g(x)≤ℎ(1)，∴f(x)在(−∞,+∞)上递减，若m =0，，g(x)=0，显然不合题意； 若m <0，g(x)在(1,+∞)上递增，ℎ(x)在(−∞,1]上递减，g(x)<0，ℎ(x)≥0， ∴任意x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)，即对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)的等价条件是0<m ≤1或m <0， 则对应的充分不必要条件是0<m <1， 故选：C ．9.【答案】AB【解析】 【分析】本题考查了集合间的关系，属于基础题．根据题意判断集合M ，P ，S 表示的意义，进行判断．【解答】解：M={x|x=2k−1,k∈Z}表示被2整除余1的数的集合；P={y|y=3n+1,n∈Z}表示被3整除余1的数的集合；S={z|z=6m+1,m∈Z}={z|z=3×(2m)+1,m∈Z}={z|z=2×(3m)+1,m∈Z}，表示被6整除余1的集合；故S⫋P，S⫋M.故S⊆P，S⊆M，正确，即AB正确．故选：AB．10.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式及不等式的性质的综合应用，属于中档题．由已知结合基本不等式及不等式的性质分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为a>0，b>0，所以(a+b)(1a +1b)=2+ba+ab≥2+2√ba⋅ab=4，当且仅当ab =ba即a=b时取等号，A正确；∵a2−2a+1=(a−1)2≥0，当a=1时等号成立，∴a2≥2a−1，B错误；a2 b +b+b2a+a≥2√a2b⋅b+2√b2a⋅a=2a+2b，当且仅当a=b时取等号，C正确；∵a2+b2a+b−√ab=a2+b2−a√ab−b√aba+b=a√a(√a−√b)+b√b(√b−√a)a+b=(√a−√b)(a√a−b√b)a+b≥0，D正确．故选：ACD．11.【答案】CD【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，注意分析“H 函数”的单调性，属于中档题． 根据题意，分析可得若函数y =f(x)为“H 函数”，则函数f(x)是R 上的奇函数且在其定义域上为增函数，据此分析选项中函数的定义域和奇偶性、单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，对于任意给定的不等实数x 1，x 2，不等式x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)恒成立，变形可得(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R 上的增函数， 若函数y =f(x)为“H 函数”，则函数f(x)是R 上的奇函数且在其定义域上为增函数， 对于A ，f(x)=x +1x ，其定义域不是R ，不符合题意，对于B ，f(x)=−x 3，其定义域为R ，是奇函数，但在其定义域上为减函数，不符合题意，对于C ，f(x)=x 13=√x 3，是幂函数，是R 上的奇函数且在其定义域上为增函数，符合题意，对于D ，f(x)=x|x|={x 2,x ≥0−x 2,x <0，是R 上的奇函数且在其定义域上为增函数，符合题意，故选：CD ．12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查数形结合思想，转化思想，属于中档题． 根据函数的奇偶性判断A ，根据函数的单调性判断B ，结合图象判断C ，D 即可．【解答】解：对于A ：f(−x)=|−x|−x+1≠−f(x)，f(x)不是奇函数，故A 错误；对于B ：x ≥0时，f(x)=x x+1=1−1x+1在[0,+∞)递增，故B 正确；对于C ，D ，画出函数f(x)和y =1−x 2的图象，如图示：，显然函数f(x)的值域是(−∞,−1)∪[0，+∞)，故C正确，f(x)和y=1−x2的图象有3个交点，故D错误；故选：BC．13.【答案】(−3,1)【解析】【分析】本题主要考查幂函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．由题意利用幂函数的性质，函数的单调性和奇偶性，求出k的取值范围．【解答】解：∵幂函数f(x)=x m+2过点(2,8)，∴2m+2=8，求得m=1，幂函数f(x)=x3，显然，f(x)是奇函数，且在R上单调递增，∵f(k2+1)+f(2k−4)<0，即f(k2+1)<−f(2k−4)=f(4−2k)，∴k2+1<4−2k，解得：−3<k<1，故答案为：(−3,1)．14.【答案】[3,6]【解析】【分析】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，属于中档题．由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再求出内层函数二次函数的减区间，即可得到原函数的增区间．【解答】解：由−x2+6x≥0，得x2−6x≤0，解得0≤x≤6．∴函数y=1−√−x2+6x的定义域为[0,6]，令t=−x2+6x，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x=3．该函数在[3,6]上是减函数，则函数y=1−√−x2+6x的单调递增区间是[3,6]．故答案为：[3,6]．15.【答案】[0,1]【解析】【分析】本题主要考查抽象函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属基础题．函数f(2x+1)的定义域即为x的取值范围，原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为[1,3]，∴1≤2x+1≤3，即{2x+1≥12x+1≤3，解得0≤x≤1，∴函数f(2x+1)的定义域为[0,1]．故答案为：[0,1]．16.【答案】43【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等．由题意知a+2+2b=6，再利用乘“1”法，2a+2+1b=16(4+a+2b+4ba+2)，根据基本不等式即可求出．【解答】解：正实数a，b满足a+2b=4，则a+2+2b=6，则2a+2+1b=16(a+2+2b)(2a+2+1b)=16(4+a+2b+4ba+2)≥16(4+4)=43，当且仅当a+2b =4ba+2，即a=1，b=32时取等号，故2a+2+1b的最小值是43，故答案为：43．17.【答案】解：(1)令√2−x=t,t≥0,x=2−t2，那么y=−t2+2t+2(t≥0)，即y=−(t−1)2+3，当t=1时，函数y max=3时，当t→+∞时，可知y→−∞，∴值域为(−∞,3]，(2)由题意kx2+2kx+2>0对一切实数恒成立，①当k=0时，可得2>0成立，②当k≠0时，需满足{k>0Δ=4k2−8k<0，解得0<k<2，综上由①②得：0≤k<2，即实数k的取值范围是[0,2)．【解析】本题考查了函数值域的求法．(1)利用换元法，转化为二次函数问题即可求解值域；(2)根据定义域为R，即分母恒为正对一切实数成立，结合二次函数的性质可得实数k 的取值范围．18.【答案】解：(1)集合A={x|62+x≥1}={x|−2<x≤4}，m=3时，B={x|2<x<5}，∴C R B={x|x≤2或x≥5}，A∩(C R B)={x|−2<x≤2}．(2)∵A ∪B =A ，∴B ⊆A ，①当B =⌀时，Δ=(m +4)2−4(m +7)≤0，解得−6≤m ≤2，②当B ≠⌀时，记f(x)=x 2−(m +4)x +m +7，{Δ>0−2<m+42<4f(−2)≥0f(4)≥0，即{ m <−6或m >2−8<m <4m ≥−193m ≤73， 解得−193≤m <−6或2<m ≤73， 综合①②得m 的范围是[−193,73]．【解析】本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)求出集合A ，当m =3时，求出集合B ，进而求出C R B ，由此能求出A ∩(C R B)．(2)由A ∪B =A ，得B ⊆A ，当B =⌀时，Δ=(m +4)2−4(m +7)≤0，解得−6≤m ≤2；当B ≠⌀时，记f(x)=x 2−(m +4)x +m +7，列出不等式组，解得−193≤m <−6或2<m ≤73，由此能求出m 的取值范围．19.【答案】解：(1)函数f(x)是定义在(−3,3)上的奇函数，所以当f(0)=0，由−3<x <0时，f(x)=x 2+2x −1，设0<x <3，则−3<−x <0时，f(−x)=x 2−2x −1=−f(x)，∴f(x)=−x 2+2x +1∴f(x)={x 2+2x −1,−3<x <00,x =0−x 2+2x +1,0<x <3；(2)函数图象如下所示由图象可得单调递增区间是(−1,1)，单调减区间是(−3,−1)，(1,3)，值域是[−2,2]；(3)由x 2+2x −1=0，(−3<x <0)得x 1=−1−√2由对称性得x 2=1+√2，由xf(x)>0得{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0， 由图得到不等式的解集是(−1−√2,0)∪(0,1+√2)．【解析】本题考查了函数的奇偶性和函数图象，以及不等式的解集，属于中档题．(1)根据函数为奇函数，即可求出函数的解析式；(2)画出函数的图象，由图象可得函数的单调区间和值域；(3)结合图象可得不等式的解集．20.【答案】解：(1)月产量为x 台，则总成本为20000+80x ，那么f(x)=R(x)−(20000+80x)={480x −12x 2−20000−80x,0≤x ≤500115000−20000−80x,x >500， 整理得f(x)={−12x 2+400x −20000,0≤x ≤50095000−80x,x >500； (2)当0≤x ≤500时，f(x)=−12(x −400)2+60000，∴当x =400时，f(x)最大值为60000；当x >500时，f(x)是减函数，且f(x)<95000−80×500=55000，∴当x =400时，函数的最大值为60000，即当月产量为400台时，所获得利润最大，最大利润为60000元．【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法及函数的单调性求最值，是中档题．(1)写出总成本，由利润=总收益−总成本可得月利润f(x)关于月产量的x的函数；(2)分段求出函数的最值，取最大值中的最大者得结论．21.【答案】解：(1)函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的奇函数，∴f(0)=b=0，∴f(x)=ax1+x2，而f(1)=1解得a=2，∴f(x)=2x1+x2，x∈(−1,1)；(2)函数f(x)=2x1+x2在(−1,1)上为增函数；证明如下：任取x1，x2∈(−1,1)且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=2x11+x12−2x21+x22=2(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)因为x1<x2，所以x1−x2<0，又因为x1，x2∈(−1,1)，所以1−x1x2>0，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(−1,1)上为增函数；(3)由题意，不等式f(t−1)+f(t2)<f(0)，可化为f(t−1)+f(t2)<0，即解不等式f(t2)<−f(t−1)，所以f(t2)<f(1−t)，所以{−1<t2<1−1<1−t<1 t2<1−t，解得0<t<√5−12，所以该不等式的解集为(0,√5−12).【解析】本题主要考查了函数单调性的判断及利用单调性求解不等式，属于中档试题．(1)由奇函数性质可知f(0)=0，然后结合f(1)=1代入可求；(2)结合函数单调性的定义任意取x1，x2∈(−1,1)且x1<x2，然后利用作差法比较f(x1)与f(x 2)的大小，即可判断；(3)结合函数单调性即可直接求解．22.【答案】解：(1)f(x)={x 2−(a −2)x,x ≥a −x 2+(a +2)x,x <a， 当x ≥a 时，对称轴x =a 2−1，x <a 时对称轴为x =a 2+1，f(x)在R 上是单调函数的充要条件是{a 2−1≤a a 2+1≥a ，∴−2≤a ≤2．(2)f(x)−tf(a)=0有3个不等根，∴f(x)=2at 有三个不等根，∴y =f(x)与y =2at 有三个公共点．①由(1)知当−2≤a ≤2时，f(x)为单调增函数，关于x 的方程f(x)=2at 不可能有3个不等实根．②当2<a ≤6时，a 2−1<a 2+1<a ，f(x)在(−∞,a 2+1)递增，在(a 2+1,a)递减，在(a,+∞)递增．且f(a 2+1)=(a+2)24=a 24+a +1，f(a)=2a ，有三个根时2a <2at <f(a 2+1)=a 24+a +1， ∴1<t <18(a +4a )+12.∃a ∈(2,6]不等式成立．设ℎ(a)=18(a +4a )+12，ℎ(a)在(2,6]上递增，ℎmax (a)=ℎ(6)=43，∴1<t <43， ③当−4≤a <−2时，a <a 2−1<a 2+1f(x)在(−∞,a)递增，在(a,a 2−1)递减，在(a 2−1,+∞)递增，所以f(a 2−1)<2at <f(a)即−a 24+a −1<2at <2a ， ∃a ∈[−4,−2)使不等式成立，∴1<t <−18(a +4a )+12．k(a)=−18(a +4a )+12在[−4,−2)是减函数．k max (a)=k(−4)=98，∴1<t <98，综合①②③由于存在性，取并集，∴t ∈(1,43)．【解析】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想，分类讨论思想的应用，是难题．(1)化简函数的解析式f(x)={x 2−(a −2)x,x ≥a −x 2+(a +2)x,x <a，通过x 与a 的大小比较，利用函数的单调性的充要条件求解即可．(2)f(x)−tf(a)=0有3个不等根，转化f(x)=2at 有三个不等根，y =f(x)与y =2at 有三个公共点．通过a 的范围，利用函数的最值，结合二次函数的性质，推出结果即可．。