第八讲实体几何造型

二. 形体的定义与运算 • 形体一般定义为六层拓
扑结构，首先介绍在三 维空间中基本术语的定 义。
形体(object) 外壳(shell)
面(face)
环(loop)
边(edge)
顶点(vertex)
曲线或直线 方程
点的 几何坐标
• 形体（object）
由封闭表面围成的有效空间称为体；
一个体Q是R3空间中非空、有界的封闭子集。 其边界（记为∂Q）是有限个面的并集，而外壳
正则集合下的求交运算
三. 形体（实体）的表示
➢ 形体常用的3种表示方法： 线框模型、表面模型 、实体模型
1.线框模型
早期模型。用顶点和棱边来描述物体。
一般地，画出了形体的棱线(边)与轮廓线就能
唯一地表示出来。 v2
e2
v1
e10 e3 v3
e4
e1 e9 v4
v6 e7
e6 e11
v5 e8
e2 e12
• 实体的正则集合运算 有效实体具有封闭性：一个有效实体经过一系列
集合运算之后仍然是有效实体。
普通的集合运算不能满足此要求。
• 正则集合运算保证集合运算的结果仍是一个正则 形体，即丢弃悬边、悬面等。
A B
A B
悬边
C=A∩B
集合论的求交计算
对共同边的取舍： 边的走向相反则无效
C* =A * B
Pt
F
•环 由有序、有向边组成的面的封闭 边界称为环。
环中任意边都不能自交；
相邻两条边共享一个端点；
环又分为内环和外环。内环边 按顺时针方向。外环是确定面 的最大外边界，其边按逆时针 方向，按这种方式定义，在面 上沿着边的方向前进，面的内 部始终在走向的左侧。
•边
形体内两个相邻面的交界称为边。一条边有且仅 有两个相邻面。
5
2
3
1
4
(b) v=9,e=14,f=7 形体的欧拉运算
正则 形体
5
2
3
1
4
(c) v=9,e=16,f=9
• 广义欧拉公式
V- E+F - R=2(S-H)
• 其中，R为面上的孔穴数，H为贯穿多面体的 孔穴数，S为形体非连通部分总数。
v=16,e=32,f=16 r=0,s=1,h=1
V=16,E=24,F=11, H=1,B=1,P=0
v7
v8
数据结构 存储顶点列表和边列表
长方体的顶点表
顶点表 x坐标 y坐标 z坐标
V1 V2 V3 aaa 0bb 00c
Z
c
V8
E7
V7
E12百度文库E8
E11 E6
V4
E3
V3 V6Y
V5 E5
b
E4
E2
E9
E10
aV1
E1
V2
X
V4 V5 V6 V7 V8 a0000 00bb0 c00cc
长方体的边表
是形体的最大边界。
例如：一个单位立方体可定义
{(x,y,z)∈R3|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}
其中一个表面可表示为：
y
{(1,y,z)∈R3|0≤y≤1,0≤z≤1}
z
•面 R3中非空、连续、共面且封闭的子集称为面F， 其边界(记为∂F)是有限条线段的并集，Pt表示含有 F的唯一平面。 面是形体表面的一部分，且具有方向性.
• 形 体 — 顶点、棱边、表面之间的拓扑关系
v
f f ff
f
vf v
v
ee ef
e
f vf f
v vv
ev e e
v
fe f
v e
v
e e
ee e
• 形体的性质： 1. 具有一定的形状，不变形（刚性） 2. 实体的各个部分均是三维的（维数的一致性） 3. 占据空间有限（有限性） 4. 经过几何变换和集合变换之后，仍然是有效 地实体（封闭性） 5. 实体的边界可以区分出实体的内部和外部。 （边界的确定性）。
边号
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12
起点号 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V1 V2
V3
V4
终点号 V2 V3 V4 V1 V6 V7 V8 V5 V5 V6
V7
V8
对于多面体由于其轮廓线和棱线通常是一致的，所 以多面体的线模型更便于识别，且简单。对于圆柱体 或球体之类的形体，只画出棱线而不画出轮廓线是不 能完整地表示出这个形体的。
两个端点确定一条边，这两个端点分别称为该边 的起点和终点。
面2 v1
f1 e
f2
v2 面1
• 顶点 边的端点称为顶点，顶点不能出现在边的内部，
也不能孤立地位于物体内、物体外或面内。
上述定义中我们知道几何元素中有两种重要信息 几何信息，用以表示几何元素性质和度量关系，
如位置、大小、方向等； 拓扑信息，用以表示几何元素之间的连接关系。
• 几何造型就是用计算机系统来表示、控制、分析 和输出三维形体。
表示形体的两种模型: 数据模型：规则形体的建模方法；
用欧式几何描述。 过程模型：不规则形体的建模方法； 形体表示
用分形几何描述。
数据模型 过程模型
线框模型 表面模型 实体模型
1.数据模型 • 完全以数据描述。通常是欧式几何所能描述的规
则物体。
• 按发展时间：线框模型、表面模型、实体模型； • 以数据文件的形式存在。(静态)
2.过程模型
• 以一个过程和相应的控制参数描述。通常描述不 规则的自然景物。(基于分形几何）
• 以一个数据文件和一段代码的形式存在；（动态） • 包括：随机插值模型、迭代函数系统、 L系统、
粒子系统、动力系统等。
• 满足以上性质的物体称为有效物体或正则形体
带有悬面的形体 带有悬边的形体
非有效的物体！！ 非正则物体！！ 一条边有两个以上的邻面
• 欧拉公式 检验实体有效性的必要条件 V-E+F=2（V为顶点数，E为棱线数，F为面数）
v1
v2
v4
v3
V=4,E=6,F =4
v8
v7
v5
v6
v4
v3
v1
v2
V=8,E=12,F
《计算机图形学》
第八讲 实体几何造型
一.概述 • 客观世界中的物体都是三维的，真实地描述和显
示客观世界中的三维物体是计算机图形学研究的 重要内容。 • 一个物体的计算机描述叫做模型，它能被计算机 读懂，并在一定的条件下（变换和投影）被转换 成相应的图形在屏幕显示或在绘图机上输出；
图形是模型的一个具体可见像
=6
V=10,E=15,F=7
• 欧拉运算时，必须要保证欧拉公式和下述条件成立， 才能够保证形体的拓扑有效性。
面单连通，没有孔，且被单条边环围住； 实体的补集是单连通，没有洞穿过它； 边完全与两个面邻接，且每端以一个顶点结束； 顶点至少是三条边的汇合点。
1
2 (a)v=8,e=12,f=6 增加一条边：v=8,e=13,f=7