高考数学一轮复习平面向量基本定理及向量的坐标运算
A．(8,1)
1 C.4，－2
[答案]
D
[解析]
1 －4， . 2
1→ 1 → 1 → MN ＝ (ON －OM )＝ [(－5，－1)－(3，－2)]＝ 2 2 2
→ → 5．若点O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，且 OA′ ＝2 OA ， → → OB′ ＝3 OB ，则点A′的坐标为________，点B′的坐标为 → ________，向量A′B′的坐标为________．
)
[答案]
B
[解析]
根据基底的定义知，非零且不共线的两个向量
才能可以作为平面内的一组基底．A中显然e1∥e2；C中e2＝ －2e1，所以e1∥e2；D中e1＝－2e2，所以e1∥e2.
2．(2012· 临川模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝ (4,2)，则c＝( A．3a＋b C．－a＋3b
2．平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算. 向量 a b a＋b (x1＋x2， y1＋y2) a－b (x1－x2， y1－y2) λa (λx1，λy1)
坐标 (x1，y1) (x2，y2)
(2)向量坐标的求法 → 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，即一 个向量的坐标等于其终点 的坐标减去 起点的相应坐标． (3)平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a ＝λb ⇔ x1y2－y1x2＝0 .
A．(－2，－4) C．(6,10)
[答案] A
[解析]
本题考查向量的线性运算．
→ → → → → BC＝BA＋AC＝BA－CA＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．
1→ → → 4．已知向量 OM ＝(3，－2)， ON ＝(－5，－1)，则 MN 2 等于( ) B．(－8,1)
1 D.－4，2
[分析]
→ 先用平面向量基本定理设出 OM ＝ma＋nb，再利
用共线向量的条件列出方程组，确定m，n的值．
[解析]
→ 设OM＝ma＋nb(m，n∈R)，
→ → → 则AM＝OM－OA＝(m－1)a＋nb， 1 → → → 1 AD＝OD－OA＝2b－a＝－a＋2b. m－1 n 因为A，M，D三点共线，所以 ＝ ，即m＋2n＝1. －1 1 2 1 → → → 而CM＝OM－OC＝(m－4)a＋nb，
平面向量的坐标运算
[例2]
已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
→ → → → → 设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； → (3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．
[分析]
利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、
[答案] B
) B．3a－b D．a＋3b
[解析]
设c＝λa＋μb，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)，
λ＝3， 解得 μ＝－1，
λ－μ＝4， 即 λ＋μ＝2，
∴c＝3a－b.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
→ → 3．(文)(2012· 广东文，3)若向量 AB ＝(1,2)， BC ＝(3,4)， → 则AC＝( ) B．(－4，－6) D．(2,2)
4x－4－2y－1＝0， ∴ 2 2 x－4 ＋y－1 ＝1，
x＝4＋ 5， 5 ∴解得 2 5 y＝1＋ 5 ，
∴d＝ 4＋
x＝4－ 5， 5 或 2 5 y＝1－ 5 ，
5 2 5 5 2 5 或 d ＝ ， 1 ＋ 4 － ， 1 － . 5 5 5 5
终点坐标的关系求解．
[解析] (1,8)．
由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
－6m＋n＝5 ∴ －3m＋8n＝－5 m＝－1 ，解得 n＝－1
.
→ → → (3)∵CM＝OM－OC＝3c， → → ∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． → → → → → 又∵ CN＝ ON －OC ＝－2b，∴ON ＝－2b＋OC ＝(12,6)＋ (－3，－4)＝(9,2)． → ∴N(9,2)，∴MN＝(9，－18)．
解得
x1＝0， y1＝4
x2＝－2， 和 y2＝0，
所以点C、D的坐标分别是(0,4)，(－2,0)， → 从而CD＝(－2，－4).
平面向量共线的坐标表示
[例3] (4,1)．
平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (2)设d＝(x，y)，满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求 d.
3 [答案] 2
[解析]
由A、B的中点坐标为(3,1)可知B(5,4)，
→ ∴AB＝(4,6)， → 又∵AB∥a， 3 ∴4λ－1×6＝0，∴λ＝ . 2
7．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b， 且u∥v，求x.
[解析] u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
x1y2－x2y1＝0 .
1 ± a | a | (3)非零向量a的单位向量为 .
基 础 自 测
1.(教材改编题)下列各组向量中，可以作为基底的是( A．e1＝(0,0)，e2＝(2，－3) B．e1＝(2，－3)，e2＝(5,7) C．e＝(1，－2)，e2＝(－2,4)
3 3 D．e1＝2，2，e2＝－1，－4
两个关系式列方程组，求出坐标．
[解析]
设点C、D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题
→ → → 意得 AC ＝(x1＋1，y1－2)， AB ＝(3,6)， DA ＝(－1－x2,2－y2)， → BA＝(－3，－6)． 1→ → 1→ → 因为AC＝ AB，DA＝－ BA， 3 3
x1＋1＝1， 所以有 y1－2＝2 －1－x2＝1， 和 2－y2＝2，
[答案] (2,4) (－3,9) (－5,5)
[解析]
∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)．
→ → ∴OA＝(1,2)，OB＝(－1,3)， → OA′＝2×(1,2)＝(2,4)， → OB′＝3×(－1,3)＝(－3,9)， → A′B′＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．
6．已知点A(1，－2)，若点A、B的中点坐标为(3,1)，且 → AB与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.
[分析]
(1)由两向量平行的条件得出关于k的方程，从而
求出实数k的值． (2)由两向量平行及|d－c|＝1得出关于x，y的两个方程， 解方程组即可得出x，y的值，从而求出d.
[解析]
(1)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 16 ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－13. (2)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 又(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，
3．平面向量的坐标运算 → → (1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝ (x2－x1，y2－y1， ) |AB|
2 2 ＝ x2－x1 ＋y2－y1 .
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1)，a∥b的充要条件是
[解析]
→ → ∵2DC＝AB，
→ → 1 ∴2DC＝e2，∴DC＝2e2. → → → → 又∵BC＝BA＋AD＋DC， 1 1 → ∴BC＝－e2＋e1＋2e2＝e1－2e2. → → → → 又由MN＝MA＋AB＋BN得 → 1→ → 1→ MN＝ DA＋AB＋ BC 2 2 1 1 1 3 ＝－2e1＋e2＋2(e1－2e2)＝4e2.
第五章
第二节 平面向量基本定理 及向量的坐标运算
高考目标
3
课堂典例讲练
课前自主预习
4
思想方法点拨
5
课后强化作业
高考目标
考纲解读 1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
考向预测 1．平面向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条 件，是高考考查的重点，也是历年高考的热点． 2．以选择题、填空题的形式进行考查，以中低档题为 主． 3．向量的坐标运算及共线条件，常与三角、解析几何等 知识结合，在知识的交汇点处命题，以解答题形式出现，属 中档题．
课前自主预习
知识梳理 1．平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那 么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2， 使a＝ λ1e1＋λ2e2 .
其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量 的一组 基底 ．
(1)本题利用了两次共线的条件，并且注意方程
思想的利用； (2)以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面 内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不 同，表示也不同． (3)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边 形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算．
→ → 已知梯形ABCD，如图所示，2 DC ＝ AB ，M、N分别为 → → → AD、BC的中点．设 AD ＝e1， AB ＝e2，试用e1，e2表示 DC ， → → BC，MN.
高三数学一轮复习讲义 平面向量的基本定理及坐标表示教案 新人教A版
平面向量的基本定理及坐标表示自主梳理1．平面向量基本定理定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数λ1，λ2，使a ＝______________.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组________.1．不共线 有且只有 λ1e 1＋λ2e 2 基底 2．夹角（1）已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的________．(2)向量夹角θ的范围是________，a 与b 同向时，夹角θ＝____；a 与b 反向时，夹角θ＝____.(3)如果向量a 与b 的夹角是________，我们说a 与b 垂直，记作________．2.(1)夹角 (2)[0，π] 0 π (3)π2a ⊥b3．平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．3.互相垂直4．平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对______叫做向量a 的________，记作a ＝________，其中x 叫a 在________上的坐标，y 叫a 在________上的坐标．4.(x ，y ) 坐标 (x ，y ) x 轴 y 轴 ②设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是________的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为__________，反之亦成立.(O 是坐标原点)②终点A (x ，y )注意：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息. 5．平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝________________________，a －b ＝________________________，λa ＝________________.|a |＝____________.(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) x 21＋y 21 （2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.已知A （11x y ，），B （22x y ，），则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标． |AB →|＝______________. (2)终点 始点x 2－x 12＋y 2－y 126．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是________________________． x 1y 2－x 2y 1＝0注意：.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a∥b 的充要条件也不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等.7．(1)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P 的坐标为_____________________．(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则△P 1P 2P 3的重心P 的坐标为_______________．7.(1)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 331.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的. 2.向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y ). 当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化.基础检测1.设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝__________.(7,3)2.在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为____.(－3，－5)3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与b 平行，则k ＝________.04.在平面坐标系内，已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0).给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →.其中正确结论的个数是A.1B.2C.3D.45.若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于 ( B )A.3a ＋bB.3a －bC.－a ＋3bD.a ＋3b6．若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件A [由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．]7．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α，13，且a∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°B [∵a ∥b ，∴32×13－sin αcos α＝0，∴sin 2α＝1,2α＝90°，α＝45°.] 8.已知向量a =(6，-4)，b （0，2），OC →＝c ＝a ＋λb ，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上，则实数λ等于( ) A.52 B.32 C ．－52 D ．－32A [c ＝a ＋λb ＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝52.]9．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.解析 a ＋b ＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，所以m ＝－1.10.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120° .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA→＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______. 解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B (－12，32)．设AOC ∠＝α,则OA →＝ (cos α，sin α)．∵OC →＝xOA→＋yOB →＝(x,0)＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴错误!∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 探究点一 平面向量基本定理的应用例1如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d表示AB →，AD →.解 方法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN →＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ， ①b ＝AM →＋MD →＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a . ②将②代入①得a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a∴a ＝43d －23c ＝23(2d －c )，代入②得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×23(2d －c )＝23(2c －d ).∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d ).方法二 设AB →＝a ，AD→＝b .因M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ，因而⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12ad ＝a ＋12b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝232d －c b ＝232c －d，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d ). 变式训练1 （1）如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ、μ∈R )，则λ＋μ的值为________．解析 如右图，OC →＝OD →＋OE → ＝λOA →＋μOB →在△OCD 中，∠COD ＝30°，∠OCD ＝∠COB ＝90°， 可求|OD →|＝4，同理可求|OE →|＝2， ∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6.（2）在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，与边 AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N ，如图，设AB→＝a，AC→＝b，试用a和b表示DN→.解∵AD→＝14AB→，DE∥BC，M为BC中点，∴DN→＝14BM→＝18BC→＝18(b－a).探究点二平面向量的坐标运算例 2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2) 求M、N的坐标及向量MN→的坐标.解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).(2) 设O为坐标原点，∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20).∴M(0,20).又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2).∴MN→＝(9，－18).变式训练2（1）已知点A（1，-2），若向量|AB→与a＝(2,3)同向，|AB→|＝213，则点B的坐标为________．解析∵向量AB→与a同向，∴设AB→＝(2t,3t) (t>0)．由|AB→|＝213，∴4t2＋9t2＝4×13.∴t2＝4.∵t>0，∴t＝2.∴AB→＝(4,6)．设B为(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.(5,4)（2）已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标.解 如图所示，设A (－1,0)，B (3,0)，C (1，－5)， D (x ，y ). (1)若四边形ABCD 1为平行四边形，则AD 1→＝BC →， 而AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5).由AD 1→＝BC →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.∴D 1(－3，－5).(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD →2. 而AB →＝(4,0)，CD →2＝(x －1，y ＋5).∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5.∴D 2(5，－5).(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD →3＝CB →. 而AD →3＝(x ＋1，y )，CB →＝(2,5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.∴D 3(1,5).综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5).探究点三 在向量平行下求参数问题例3 已知平面内三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解 (1)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，且a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.(3)设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)， a ＋b ＝(2,4)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝3，∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3).变式训练3 （1）已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,7)＝(3－k ，－6)，且(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63，∴k ＝5.（2）已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1). ①求|a ＋3b |；②当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解 ① 因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，∴|a ＋3b |＝72＋32＝58.②k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反.（3）已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4，5)，OP →＝t 1OA →＋t 2AB →， ①求点P 在第二象限的充要条件.②证明：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线； ③试求当t 1，t 2满足什么条件时，O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形.①解 OP→＝t 1(1,2)＋t 2(3,3)＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，P在第二象限的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2<02t 1＋3t 2>0有解.∴－32t 2<t 1<－3t 2且t 2<0.②证明 当t 1＝1时，有OP →－OA →＝t 2AB →，∴AP →＝t 2AB →，∴不论t 2为何实数，A ，B ，P 三点共线. ③解 由OP →＝(t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，得点P (t 1＋3t 2,2t 1＋3t 2)，∴O ，A ，B ，P 能组成一个平行四边形有三种情况.当OA →＝BP →，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2－4＝12t 1＋3t 2－5＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝2t 2＝1；当OA →＝PB→，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2－4＝－12t 1＋3t 2－5＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝0t 2＝1；当OP →＝BA →，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋3t 2＝－32t 1＋3t 2＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝0t 2＝－1.点评：1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被a 所唯一确定，此时a 的坐标与点A 的坐标都是(x ，y )．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A (1,2)，B (3,4)，则AB →＝(2,2)．一、选择题1.已知a,b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b ，(λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为 ( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2－1＝0D ．λ1λ2＋1＝01．C [∵A 、B 、C 三点共线⇔AB →与AC →共线⇔AB →＝k AC →⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，kλ2＝1，∴λ1λ2－1＝0.]2.若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为 ( D )A.(2,0)B.(0，－2)C.(－2,0)D.(0,2) 3．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ、m 、α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－∞，1]D ．[－1,6]3．A [∵2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，∴λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，∴(2m －2)2－m ＝cos 2α＋2sin α，即4m 2－9m ＋4＝1－sin 2α＋2sin α.又∵－2≤1－sin 2α＋2sin α≤2，∴－2≤4m 2－9m ＋4≤2，解得14≤m ≤2，∴12≤1m ≤4.又∵λ＝2m －2， ∴λm ＝2－2m ，∴－6≤2－2m≤1.] 4.设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A. 2B. 3 C ．3 2 D ．23 5.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4) 二、填空题6.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为______．6．2解析 方法一 若M 与B 重合，N 与C 重合， 则m ＋n ＝2.方法二 ∵2AO →＝AB →＋AC →＝mAM→＋nAN →，AO →＝m 2AM →＝m 2AM →.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n 2＝1. ∴m ＋n ＝2.7．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．(0，－2)解析 设D 点的坐标为(x ，y )，由题意知ＢＣ→＝ＡＤ→，即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)8.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，则四边形ABCD 的面积为________．3 S ＝|AB →|＝|ＢＣ→|sin 60°＝2×2×32＝ 3.三、解答题 9.（12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →. 9．证明 设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题意，得ＡＣ→＝(2,2)，ＢＣ→＝(－2,3)，ＡB →＝(4，－1)．∴A Ｅ→＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，ＢＦ→＝13ＢC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∴A Ｅ→＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，ＢＦ→＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∴(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23＋(－1,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，(x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1＋(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.∴ＥＦ→＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵ＡB →＝(4，－1)，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0，∴ＥＦ→∥ＡB →.10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝(22sin B ＋C2，2sinA )，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 ∵m ∥n ，∴a cosB ＝b cos A .由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ，即sin(A －B )＝0. ∵A 、B 为三角形的内角，∴－π<A －B <π.∴A ＝B . ∵p 2＝9，∴8sin 2B ＋C 2＋4sin 2A ＝9.∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9.∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．11.如图，在边长为1的正△ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE →＝mAB →，AF →＝nAC→，m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N .(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ； （2）若m +n=1,求MN 的最小值．11．解 （1）由A ，M ，N 三点共线，得A Ｍ→∥A Ｎ→，设A Ｍ→＝λAN →(λ∈R )，即12(AE →＋A Ｆ→)＝12λ(ＡB →＋AC →)， 所以m ＡB →＋nAC →＝λ(ＡB →＋AC →)，所以m ＝n .（２）因为ＭN →＝AN →－AM →＝12(AB →－AC →)＝12(AE →－AF →)＝12(1－m )AB → ＋12(1－n )AC →， 又m ＋n ＝1，所以MN →＝12 (1－m )AB → ＋12mAC →， 所以|MN →|2＝14(1－m )2AB →2＋14m 2AC →2＋12(1－m )mAB→·AC →＝14(1－m )2＋14m 2＋14(1－m )m ＝14(m －12)2＋316.故当m ＝12时，|MN →|min ＝34. 一、选择题1.与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为 (C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±1213，±5132.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于 (B )A.(－2,7)B.(－6,21)C.(2，－7)D.(6，－21)3.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn等于 ( C )A.－2B.2C.－12D.124．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于 ( A )A.(－3,6)B.(3，－6)C.(6，－3)D.(－6,3) 5.设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2).若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为 ( D )A.(2,6)B.(－2,6)C.(2，－6)D.(－2，－6)二、填空题6.若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝___.(－2,0)或(－2,2)____________.7.△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p∥q ，则角C ＝__60°______.8.已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝___2_____.9.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为___12_____.10.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是___8_____. 三、解答题11.a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b ).∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向.12.如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足PA →＋2PB → ＋3PC →＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，令 CP →＝p ，试用p 表示PQ →.解 设PA →＝a ，PB →＝b ，由已知条件3CP →＝PA →＋2PB →，即3p ＝a ＋2b ，PQ →＝λCP →＝λ3(a ＋2b )，又PQ →＝PA →＋AQ →＝PA →＋μAB →＝PA →＋μ(PB →－PA→)＝(1－μ)a ＋μb ，由平面向量基本定理⎩⎪⎨⎪⎧λ3＝1－μ2λ3＝μ.解得λ＝1，因此PQ →＝λCP →＝p .13.如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A (0，0)，B (4,1)，C (6,8).(1)求顶点D 的坐标；(2)若DE →＝2EC →，F 为AD 的中点，求AE 与BF 的交点I 的坐标. 解 (1)设点D (x ，y )，因为AD →＝BC →，所以(x ，y )＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)， 所以顶点D 的坐标为(2,7).(2)设点I (x ，y )，则有F 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，72，(x E －2，y E －7)＝2(6－x E,8－y E )⇒E ⎝ ⎛⎭⎪⎫143，233，BF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，52，BI →＝(x －4，y －1)，BF →∥BI →⇒52(x －4)＝－3(y －1)，又AE →∥AI →⇒233x ＝143y ，联立方程组可得x ＝9152，y ＝299104， 则点I的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫9152，299104.14.已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB→且△ABM 的面积为12时a 的值.8.(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2). 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM→＝(4t 2,4t 2＋2). ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)， AM →＝OM →－OA→＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴A 、B 、M 三点共线.(3)解 当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2).又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2).又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。
高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组5-1平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标表示
5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 ABB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43(BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-13BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +43BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A.2.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 A 设BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12b+a,BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+b,从而BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12B +B )+(-12B +B )=12(a+b)=BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A.3.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 答案 12解析 由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a+2b 平行等价于B 1=12,即λ=12.4.(2015北京理,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x= ,y= .答案 12;-16解析 由BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 为AC 上靠近C 的三等分点,由BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知N 为BC 的中点,作出草图如下:则有BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-23·BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -16BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又因为BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=-16.5.(2013江苏,10,5分)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .答案 12解析 BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12.6.(2013北京理,13,5分)向量a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则BB= .答案 4解析 以向量a 和b 的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1),b=BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2),c=BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-3).由c=λa+μb 可得{-1=-B +6B ,-3=B +2B ,解得{B =-2,B =-12,所以BB =4.评析 本题主要考查平面向量的基本定理和坐标运算,考查学生的运算求解能力和在向量中解析法的应用,构建关于λ和μ的方程组是求解本题的关键. 考点二 平面向量基本定理及坐标运算1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案 A 根据题意得BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),∴BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -BB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 2.(2014北京文,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)答案 A 由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 3.(2014广东文,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 答案 B b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 答案 B 设a=k 1e 1+k 2e 2,A 选项,∵(3,2)=(k 2,2k 2),∴{B 2=3,2B 2=2,无解.B 选项,∵(3,2)=(-k 1+5k 2,2k 1-2k 2), ∴{-B 1+5B 2=3,2B 1-2B 2=2,解之得{B 1=2,B 2=1. 故B 中的e 1,e 2可把a 表示出来. 同理,C 、D 选项同A 选项,无解.5.(2019课标Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>= . 答案 -√210解析 本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运算法则与运算方法的素养要素. 由题意知cos<a,b>=B ·B|B |·|B |=√22+22×√(-8)2+62=-√210.6.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m= . 答案 8解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0, ∴m=8.易错警示容易把两向量平行与垂直的条件混淆.7.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=. 答案-3解析本题考查向量平行的条件.∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.8.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= . 答案-6解析因为a∥b,所以B3=4-2,解得m=-6.易错警示容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.评析本题考查了两个向量平行的充要条件.9.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ=.答案12解析∵a∥b,∴sin2θ×1-cos2θ=0,∴2sinθcosθ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cosθ>0,∴2sinθ=cosθ,∴tanθ=12.。
高考理科第一轮复习课件(4.2平面向量的坐标运算)
（λ x,λ y） 设a=（x,y）,λ ∈R，则λ a=____________
标
(x2－x1，y2－y1) _______________
4．向量平行的坐标表示 设a,b是非零向量且a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,y1,y2≠0，则 x1y2-x2y1=0 a∥b⇔__________. 定理1：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的 成比例 坐标_______.
【互动探究】在本例题（2）图中，连接CD交AM于点P，若
AP AM,CP CD 求λ ,μ 的值． ，
【解析】CD AD AC 2 AB AC 2 a b，
3 3 1 1 AM （AB AC） （a b）． 2 2 AC AP PC AP CP AM CD
则向量 MN =______. CM 3CA CN 2CB ， ，
【思路点拨】（1）利用向量坐标运算的法则求解即可.
（2）根据向量的共线及向量坐标运算的法则逐一验证即可.
（3）利用平面向量的基本概念及其坐标表示求解.
【规范解答】（1）选B.设b=(x,y),则2b-a=(2x-3,2y-3)= (-1,1), 故
)
（4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任 何一个向量都可被这组基底唯一表示.( )
（5）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示 成 x1 ＝ y1 . (
x2 y2
)
【解析】（1）错误.只有不共线的两个向量才能作为平面的一 组基底.
平面向量的基本定理及坐标表示(高三一轮复习)
高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数
A.12a ＋12b
B.12a ＋13b
C.14a ＋12b
D.12a ＋14b
解析：∵在△ABC 中，BE 是边 AC 上的中线，
∴―A→E ＝12―A→C .∵O 是边 BE 的中点，
∴―A→O ＝12(―A→B ＋―A→E )＝12―A→B ＋14―A→C ＝12a ＋14b .
答案：D
2．已知向量 e1，e2 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2
第二 节
平面向量的基本定理及坐标表示
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
课 前 双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
过基 础知 识
1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ， 有且只有 一对实数λ1，λ2，使 a ＝_λ_1e_1_＋__λ_2e_2_. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量 的一组 基底 ．
＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一 平面向量基本定理及其应用 [考什么·怎么考]
高考对平面向量基本定理的考查主要是用基底表 示其他向量，一般多以选择题、填空题的形式出现， 难度中等.
1.如图，在△ABC 中，BE 是边 AC 的中线，O 是边 BE 的中点，若―A→B ＝a ，―A→C ＝b ，则―A→O ＝( )
2．平面向量的坐标运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a ＋b ＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a －b ＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa ＝ (λx1，λy1) ，|a |＝___x_21＋__y_21__.
2023版高考数学一轮总复习5-1平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标表示习题
5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇固本夯基考点一平面向量的概念及线性运算1.(2017课标Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( )A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案 A2.(2022届江西重点中学联考二,5)设e1,e2是两个不共线的平面向量,若a=3e1-2e2,b=e1+ke2,且a与b共线,则实数k的值为( )A.-12B.12C.-23D.23答案 C3.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.14EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 A4.(2021宁夏吴忠4月模拟,5)如图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则λ+μ等于( )A.1B.-1C.12D.-12答案 D5.(2021陕西延安重点中学模拟,6)设M是△ABC所在平面上的一点,且EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,D是AC的中点,则|EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( )A.13B.12C.1D.2答案 A6.(2020吉林梅河口五中4月模拟,5)在△ABC中,延长BC至点M使得BC=2CM,连接AM,点N为AM上一点且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ=()A.13B.12C.-12D.-13答案 A7.(2022届山西吕梁11月月考,9)如图,△ABC中,点M是BC的中点,点N满足EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM 与CN交于点D,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=()A.23B.34C.45D.56答案 C8.(2022届安徽淮南一中月考,9)已知点M是△ABC所在平面内一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABM与△BC M的面积之比为( )A.83B.52C.2D.43答案 C9.(2022届黑龙江八校期中,13)如图,在△ABC中,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D是BE上的点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数x的值为.答案19考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2022届哈尔滨三中期中,3)已知对任意的平面向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b),把EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕其起点A沿逆时针方向旋转角φ得到向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(acosφ-bsinφ,asinφ+bcosφ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角φ得到点P.已知A(1,2),B(1-√2,2+2√2),把点B绕点A沿逆时针方向旋转π4得到点P,则点P的坐标为( )A.(-3,1)B.(-2,1)C.(2,3)D.(-2,3)答案 D2.(2021云南统一检测一,7)已知向量a=(32,1),b=(-12,4),则( )A.a∥(a-b)B.a⊥(a-b)C.(a-b)∥(a+b)D.(a-b)⊥(a+b)答案 B3.(2020陕西咸阳一模,3)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O逆时针旋转60°得到向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(0,1) B.(1,0)C.(√32,-12) D.(12,-√32)答案 A4.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA=2,OB=2,OC=1,∠AOB=60°,∠BOC=90°,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE=( )A.√3B.12C.√33D.23答案 C5.(2022届四川绵阳中学模拟二,5)设向量EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,-1),EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则1E +2E的最小值为( )A.4B.6C.8D.9答案 C6.(2021全国甲,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .答案-1037.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案128.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B上方,M为抛物线上一点,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=.答案 39.(2022届云南五华模拟,15)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以CD为直径的半圆上有一点P,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为.答案73综合篇知能转换考法一平面向量线性运算的解题策略1.(2021广西百色重点中学4月模拟,5)已知点P为△ABC所在平面内一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,点Q是线段BP的中点,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.23EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 D2.(20215·3原创题)△ABC中,点M为AC上的点,且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1 E -1E的值为( )A.0B.-32C.1D.-1答案 B3.(2022届福州福清西山学校10月月考,8)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a+35bB.35a+45bC.1225a+925bD.1625a+1225b 答案 D4.(2022届河南段考三)已知△ABC 的三个内角分别为A,B,C,动点P 满足EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ·(EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin E +EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin E),λ∈(0,+∞),则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心 答案 A5.(2021赣中南五校联考二,15)已知△ABC 的重心为G,过G 点的直线与边AB 和AC 的交点分别为M 和N,若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且△AMN 与△ABC 的面积的比值为2554,则实数λ= .答案 5或546.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tanα=7,EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n∈R),则m+n= .答案 3考法二 向量共线问题的求解方法1.(2021山西孝义二模,6)已知EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cosα),EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sinα),若A,B,D 三点共线,则tanα=( )A.-2B.-12C.12D.2答案 A2.(2021太原一模,6)已知梯形ABCD 中,AB∥DC,且AB=2DC,点P 在线段BC 上,若EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =56EE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λEE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ=( )A.34 B.23 C.13 D.12 答案 C3.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC中,E、F分别为AC、AB上的点,BE与CF交于点Q,且EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ交BC于点D,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案 C4.(2022届河南平顶山月考,10)已知点O为正△ABC所在平面上一点,且满足EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+λ)EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若△OAC的面积与△OAB的面积比为1∶4,则λ的值为( )A.12B.13C.2D.3答案 B5.(2022届拉萨中学月考,15)在△ABC中,点D满足BD=34BC,E点在线段AD上移动,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μEE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是.答案9106.(2020吉林桦甸四中等4月联考,15)在△ABC中,EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P为线段AM上任意一点,若EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y EE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x2+2x+y2的最小值为.答案916应用篇知行合一应用向量在物理中的应用1.(2021山西长治二中月考,3探索创新情境)已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为( )A.40NB.10√2NC.20√2ND.40√2N答案 B2.(2021咸阳模拟,9生活实践情境)渭河某处南北两岸平行,如图所示.某艘游船从南岸码头A出发向北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为|v1|=10km/h,水流速度的大小为|v2|=6km/h.设速度v1与速度v2的夹角为120°,北岸的点A'在码头A的正北方向,那么该游船航行到达北岸的位置应( )A.在A'东侧B.在A'西侧C.恰好与A'重合D.无法确定答案 A。
《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习：第五篇第2讲平面向量的基本定理及向量坐标运算
第 2 讲平面向量的基本定理及向量坐标运算A 级基础操练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 )1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－ 2,1)，则a－ 2b＝()．A ．(6,3)B．(7,3)C．(2,1)D．(7,2)分析a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．答案B2．已知平面内任一点在直线 AB 上”的A．必需不充足条件C．充要条件→→→，则“ ＋＝”是“点＝ xOA＋yOB ，∈P O知足OP(x y R)x y 1()．B．充足不用要条件D．既不充足也不用要条件→→→分析依据平面向量基本定理知：OP＝ xOA＋yOB(x，y∈R)且 x＋y＝1 等价于 P在直线 AB上．答案 C3．(2013 ·金华模拟 )设向量a＝(1，－ 3)，b＝(－ 2,4)，c＝(－ 1，－ 2)，若表示向量 4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能组成四边形，则向量 d 为()．A ．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－ 6)D．(－2，－6)分析设 d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又 4a＋4b－ 2c＋2(a－c)＋d＝0，解得 x＝－ 2，y＝－ 6，因此d＝(－2，－ 6)．应选 D.答案D4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()．11A. 4B.2C． 1D． 2分析依题意得 a ＋ λb ＝(1＋λ，2)，1由(a ＋ λb )∥ c ，得 (1＋λ)× 4－ 3× 2＝ 0，∴ λ＝ 2.答案 B二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )1 15．(2013 ·杭州模拟 )若三点 A(2,2)， B(a,0)，C(0， b)(ab ≠ 0)共线，则 a ＋b 的值为________．→→ －2)－4＝ 0，分析 AB ＝(a －2，－2) ，AC ＝ (－2，b －2)，依题意，有 (a － 2)(b1 1 1即 ab －2a －2b ＝ 0，因此 a ＋b ＝2.答案121→→6．已知 A(7,1)， B(1,4)，直线 y ＝2ax 与线段 AB 交于 C ，且 AC ＝2CB ，则实数 a＝ ________.→ →分析 设 C(x ，y)，则 AC ＝(x － 7， y － 1)， CB ＝(1－x,4－y)，→→x － 7＝ 2 1－x ， x ＝3， ∵AC ＝2CB ，∴解得y － 1＝ 2 4－y ，y ＝3.1∴C(3,3)．又∵ C 在直线 y ＝2ax 上，1∴3＝2a ·3，∴ a ＝2.答案2三、解答题 (共 25 分 )7．(12 分 )已知 a ＝(1,2)，b ＝(－ 3,2)，当 k 为什么值时， k a ＋b 与 a － 3b 平行？平行时它们是同向仍是反向？解 法一k a ＋b ＝k(1,2)＋ (－3,2)＝ (k －3,2k ＋ 2)，a －3b ＝ (1,2)－3(－ 3,2)＝(10，－ 4)，当 k a ＋b 与 a －3b 平行时，存在独一实数λ使 k a ＋ b ＝ λ(a － 3b )，由 (k －3,2k＋ 2)＝ λ(10，－ 4)得，k － 3＝10λ，解得 k ＝λ＝－1，2k ＋2＝－ 4λ.3∴当 k ＝－ 1时， k a ＋b 与 a－3b 平行，3这时 k a ＋ b ＝－ 1 ＋ ＝－ 1 －．3ab3(a3b )1∵λ＝－ 3<0，∴ k a ＋ b 与 a －3b 反向．法二由法一知 k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝ (10，－ 4)，∵ k a ＋b 与 a － 3b 平行1∴(k － 3)×(－ 4)－10×(2k ＋ 2)＝0，解得 k ＝－ 3，此时 k a ＋ b ＝ －1－3，－ 2＋2 ＝－ 1 －3b ) ．333(a1∴当 k ＝－ 3时， k a ＋b 与 a － 3b 平行，而且反向．→→→8．(13 分 )已知 O(0,0)， A(1,2)，B(4,5)及OP ＝OA ＋tAB ，求：(1) t 为什么值时， P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？ P 在第二象限？(2)四边形 OABP 可否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不可以，请说明原因．→ → →解(1)OP ＝OA ＋tAB ＝ (1＋3t,2＋3t)．2若 P 在 x 轴上，则 2＋3t ＝0，∴ t ＝－ 3；1若 P 在 y 轴上，则 1＋3t ＝0，∴ t ＝－ 3；1＋ 3t ＜0， 2 1若 P 在第二象限，则 2＋ 3t ＞0.∴－ 3＜t ＜－ 3.→ ＝(1,2) →，PB ＝(3－ 3t,3－ 3t)．(2)由于 OA若 OABP 为平行四边形，则 → →OA ＝PB ，3－3t ＝1， ∵无解．3－3t ＝2，因此四边形 OABP 不可以成为平行四边形．B 级能力打破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )1．在△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c， b)，q ＝ (b－a，c－ a)，若p∥q，则角 C 的大小为()．A．30°B．60°C．90°D．120°分析由 p∥ q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，222整理得 b ＋ a －c ＝ab，a2＋b2－c21由余弦定理得 cos C＝2ab＝2，又 0°<C<180°，∴ C＝60°.答案B2．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量 a 在基底 p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则 a 在另一组基底 m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()．A ．(2,0)B．(0，－ 2)C．(－2,0)D．(0,2)分析∵a 在基底 p，q 下的坐标为(－2,2)，即 a＝－2p＋2q＝(2,4)，令 a＝x m＋y n＝(－x＋y，x＋2y)，－x＋y＝2，x＝0，∴即x＋2y＝4，y＝2.∴a 在基底 m，n 下的坐标为(0,2)．答案 D二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )→→→＝(1，－ 2)， OB＝(a，－ 1)，OC＝(－b,0)，a>0， b>0，3．(2012 ·扬州质检 )设 OA，，三点共线，则1＋2的最小值为 ________．O 为坐标原点，若 A B C a b→ →→→ →→分析 AB＝OB－OA＝(a－1,1)， AC＝ OC－OA＝(－ b－ 1,2)．→→∵A，B， C 三点共线，∴ AB∥ AC.∴ 2(a －1)－ (－ b －1)＝0，∴ 2a ＋ b ＝ 1.1 2 1 2∴a ＋b ＝ a ＋ b (2a ＋b)b 4a b 4a ＝4＋ ＋≥4＋2 · ＝ 8.aba bb 4a 11当且仅当 a ＝ b ，即 a ＝4，b ＝2时取等．1 2∴a ＋b 的最小值是 8.答案84.(2013 青·岛期末 )设 i ，j 是平面直角坐标系 (坐标原点为O)内分别与 x 轴、 y 轴正方向同样的两个单位向量，→ →且 OA ＝－ 2i ＋j ，OB ＝4i ＋3j ，则△ OAB 的面积等于 ________．分析由题意得点→A 的坐标为 (－2,1)，点B 的坐标为 (4,3)，|OA ＝|＝5.sin ∠AOB ＝ sin(∠AOy ＋∠ BOy)＝ s in ∠AOycos ∠ BOy ＋cos ∠AOysin ∠BOy→5，|OB|2 5 35 4 2 5＝ 5 ×5＋ 5 × 5＝ 5 .故 S △ AOB ＝1→ → ∠＝1×5×5×2 5＝5.2|OA||OB|sinAOB25答案5三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分)在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知向量 a ＝(2,1)，A(1,0)，B(cosθ，t)，→→ ＝→ ，求向量 → 的坐标； (1)若 a ∥ AB ，且 |AB5|OA|| OB→ ，求 y ＝ cos 2θ－ cos θ＋ t 2 的最小值．(2)若 a ∥ AB→解 (1)∵AB ＝(cos θ－1， t)，→又 a ∥ AB ，∴ 2t －cos θ＋1＝0.∴ c os θ－1＝2t.①→→22＝5.②又∵ |AB ＝5|OA|，∴ (cos θ－1)＋t|由①②得， 5t 2＝5，∴ t 2＝ 1.∴t ＝ ±1.当 t ＝1 时， cos θ＝3(舍去 )，当 t ＝－ 1 时， cos θ＝－ 1，→∴B(－1，－ 1)，∴ OB ＝(－ 1，－ 1)．(2)由(1)可知 t ＝ cos θ－1，22cos θ－125 23 1∴y ＝cos θ－cos θ＋ 4＝ 4cos θ－2cos θ＋4 5 26 1 5 3 2 1 ＝4 cos θ－ 5cos θ＋ 4＝4 cos θ－5 －5，3 1 ∴当 cos θ＝5时， y min ＝－5.6．(13 分 )已知向量 v ＝ (x ，y)与向量 d ＝(y,2y － x)的对应关系用 d ＝f(v)表示．(1)设 a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量 f(a )与 f(b )的坐标；(2)求使 f(c )＝ (p ，q)(p ， q 为常数 )的向量 c 的坐标；(3)证明：对随意的向量 a ， b 及常数 m ，n 恒有 f(m a ＋ n b )＝mf(a )＋nf(b )．(1)解 f(a )＝(1,2× 1－ 1)＝(1,1)，f(b )＝(0,2× 0－ 1)＝(0，－ 1)．(2)解 设 c ＝ (x ，y)，则由 f(c )＝(y,2y －x)＝ (p ，q)，y ＝p ，x ＝2p －q ，得因此2y － x ＝q ，y ＝p ，因此 c ＝(2p －q ， p)．(3)证明设 a ＝(a 1 ，a 2)， b ＝ (b 1， b 2)，则 m a ＋ n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，因此 f(m a ＋ n b )＝ (ma 2＋ nb 2,2ma 2＋ 2nb 2－ma 1－ nb 1)又 mf(a )＝ m(a 2,2a 2－ a 1)，nf(b )＝n(b 2,2b 2－ b 1)，因此 mf(a )＋nf(b )＝(ma 2＋ nb 2,2ma 2＋ 2nb 2－ma 1－nb 1)．故 f(m a ＋n b )＝mf(a )＋ nf(b ).特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各样电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。
高考理科数学一轮复习课件-平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算
减法
求a与b的相反向量-b的 和的运算
平行四边形法则 —
数乘
求实数λ与向量a的积 的运算
三角形法则
(1)|λa|=|λ||a|;
λ(μa)=(λμ)a;
(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0 (λ+μ)a=λa+μa;
时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(a+b)=λa+λb
3.向量的共线问题 向量共线的判断:
θ
π 6
.
又知0≤θ≤
2 3
π,∴sin
θ
π 6
∈
1 2
,1
,∴当θ=
π 3
时,x+y取最大值2,故选D.
答案 D
则A(1,0),B
-
1 2
,
3 2
,C(cos
θ,sin
θ)
0
θ
2 3
π
.
∵OC
=xOA
+yOB
,∴ cos θ
x-
Hale Waihona Puke 1 2y,sin θ
3 y, 2
∴
x
y
1 sin θ cosθ, 3 2 sin θ,
∴x+y=
13
sin
θ+cos
θ+
3
2 sin θ=
3
3
sin
θ+cos
θ=2sin
考点清单
考点一 平面向量的概念及线性运算
考向基础
1.向量的有关概念及表示法
名称 向量
零向量
定义
既有大小又有方向的量叫向量; 向量的大小叫做向量的长度(或模)
高考数学一轮总复习 52平面向量基本定理及向量的坐标表示课后强化作业 新人教B版
高考数学一轮总复习 52平面向量基本定理及向量的坐标表示课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] ∵a ＝(1，k )，b ＝(2,2)， ∴a ＋b ＝(3，k ＋2)， ∵(a ＋b )∥a ，∴1·(k ＋2)＝3k ，∴k ＝1，∴a ＝(1,1)， ∴a ·b ＝2＋2＝4.(理)(2013·荆州质检)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12[答案] C[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.2．(文)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 [答案] B[解析] AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.(理)(2013·广州综合测试二)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( )A ．－32B ．－14C.12D.32[答案] A[解析] 依题意得，AB →＝(3,1)，由AB →∥OC →得3(m ＋1)－m ＝0，m ＝－32，选A.3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形[答案] C[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， ∴四边形ABCD 为梯形．4．(文)(2012·天津文，8)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )A.13B.23C.43 D ．2 [答案] B[解析] 由题意，BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝CA →＋AP →＝－AC →＋λAB →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝3λ－4＝－2，∴λ＝23.用模与夹角都已知的AC →，AB →来表示BQ →，CP →是解题关键，(AC →，AB →看作一组基底)．另外本题可以将向量坐标化去解答．(理)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．1[答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算．据已知N 为AM 的中点，可得AN →＝12AM →＝λAB →＋μAC →，整理得AM →＝2λAB →＋2μAC →，由于点M 在直线BC 上，故有2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.5．已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则“0≤x ≤12，0≤y ≤23”的概率是( )A.13 B.23 C.14 D.12[答案] A [解析]根据平面向量基本定理，点P 只要在如图所示的区域AB 1C 1D 1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的12×23＝13，故所求的概率是13.6．(文)(2013·安庆二模)已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →.则x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，1＝λy⇒xy ＝1，故选B.(理)如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝⎛⎭⎫12，12 B.⎝⎛⎭⎫23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，13 D.⎝⎛⎭⎫23，12[答案] C[解析] 设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点， ∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝⎛⎭⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ， ∵BE →与BF →共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝⎛⎭⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 二、填空题7．(文)(2014·金山中学月考)已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝(cos x ，－3)，且a ∥b ，则tan x ＝________.[答案] －13[解析] ∵a ∥b ，∴sin x cos x ＝1－3，∴tan x ＝－13.(理)已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos 2α)，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________. [答案] －33[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos 2α－3，∴2cos 2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33. 8．已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，则1α＋1β＝________.[答案] 3[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3. 9．(文)(2013·烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB →＋AC →)·AD →的值为________．[答案] 4[解析] 由题意可知，AD ＝12BC ＝222＝2，(AB →＋AC →)·AD →＝2AD →·AD →＝2|AD →|2＝4.(理)在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则4x ＋y 的最小值为________．[答案] 94[解析]如图所示，由题意知AD →＝12(AB →＋AC →)，AE →＝12AD →，又M ，E ，N 三点共线，所以AE →＝λAM →＋(1－λ)AN →(其中0<λ<1)， 又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，所以14(AB →＋AC →)＝λx AB →＋(1－λ)yAC →，因此有⎩⎪⎨⎪⎧4λx ＝1，4(1－λ)y ＝1，解得x ＝14λ，y ＝14(1－λ)，令1λ＝t ，∴t >1， 则4x ＋y ＝1λ＋14(1－λ)＝t ＋t4(t －1)＝(t －1)＋14(t －1)＋54≥94，当且仅当t ＝32，即λ＝23时取得等号．三、解答题10．(文)已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tOB →，求 (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．[解析] (1)OP →＝OA →＋tOB →＝(t ＋2,3t －1)． 若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解． ∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OP AB 为平行四边形．(理)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵α＝π4，∴b ＝(22，22)，a ·b ＝322，∴|m |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2＋2t a ·b ＝t 2＋32t ＋5＝(t ＋322)2＋12， ∴当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)由条件得cos π4＝(a －b )·(a ＋t b )|a －b ||a ＋t b |，∵|a －b |＝(a －b )2＝6，|a ＋t b |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2，(a －b )·(a ＋t b )＝5－t ，∴5－t 65＋t 2＝22，且t <5， ∴t 2＋5t －5＝0，∴存在t ＝－5±352满足条件.能力拓展提升一、选择题11．平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB →－BC →)·(AD →－CD →)＝0，则三角形ABC是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] (AB →－BC →)·(AD →－CD →) ＝(AB →－BC →)·(AD →＋DC →) ＝(AB →－BC →)·AC →＝(AB →－BC →)·(AB →＋BC →) ＝|AB →|2－|BC →|2＝0， 故|AB →|＝|BC →|，即△ABC 是等腰三角形．12．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －(1＋22)b B ．－2a ＋(1＋22)b C ．－2a ＋(1－22)b D.2a ＋(1－22)b [答案] B [解析]根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°，以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形，由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D (22，1＋22)，∴AB →＝(－1,0)，AC →＝(－1,1)，AD →＝(22－1,1＋22)，令AD →＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎨⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1＋22.∴AD →＝－2a ＋(1＋22)b . 13.(2013·济宁模拟)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1B. 2C. 3 D ．2[答案] B[解析] 方法一：以O 为原点，向量OA →，OB →所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设〈OA →，OC →〉＝θ，θ∈[0，π2]，则OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(cos θ，sin θ)．∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ.∴x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋π4)，又θ＋π4∈[π4，3π4]，∴x ＋y 的最大值为 2.方法二：因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2＝1≥(x ＋y )22.所以x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝22时等号成立． 二、填空题14．(2013·广东江门质检)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a－2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值是________．[答案] －1[解析] ∵A 、B 、D 三点共线，∴AB →与BD →共线， ∵AB →＝2a ＋p b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ， ∴存在实数λ，使2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∵a 与b 不共线，∴λ＝1，p ＝－1. 三、解答题 15.(2013·天津一模)如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足P A →＋2PB →＋3PC →＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点．令CP →＝p ，试用p 表示PQ →.[解析] 设P A →＝a ，PB →＝b ，由已知条件得3CP →＝P A →＋2PB →，即3p ＝a ＋2b ， 设PQ →＝λCP →(λ为实数)，则PQ →＝λ3(a ＋2b )．设AQ →＝μAB →(μ为实数)， 又PQ →＝P A →＋AQ →＝P A →＋μAB →＝P A →＋μ(PB →－P A →) ＝(1－μ)a ＋μb ，由平面向量基本定理知⎩⎨⎧λ3＝1－μ，2λ3＝μ.解得λ＝1，因此PQ →＝λCP →＝p .16．(文)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ＝2b ，向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A ，32，n ＝(1，sin A ＋3cos A )，且m 与n 共线．(1)求角A 的大小； (2)求ac的值．[解析] (1)∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. ∴2A －π6＝π2.∴A ＝π3.(2)由余弦定理及c ＝2b 、A ＝π3得，a 2＝⎝⎛⎭⎫c 22＋c 2－2·c 2·c cos π3， a 2＝34c 2，∴a c ＝32.(理)设a 、b 是不共线的两个非零向量，(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值；(3)设OM →＝m a ，ON →＝n b ，OP →＝αa ＋βb ，其中m 、n 、α、β均为实数，m ≠0，n ≠0，若M 、P 、N 三点共线，求证：αm ＋βn＝1.[解析] (1)∵AB →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b . 而BC →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB →，∴AB →与BC →共线，且有公共端点B ，∴A 、B 、C 三点共线． (2)∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，∴存在实数λ使得 (8a ＋k b )＝λ(k a ＋2b )⇒(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0，∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0.⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k ＝2λ＝±4.(3)证法1：∵M 、P 、N 三点共线，∴存在实数λ，使得MP →＝λPN →，∴OP →＝OM →＋λON →1＋λ＝m1＋λa ＋λn1＋λb ， ∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝m1＋λ，β＝λn1＋λ∴αm ＋βn ＝11＋λ＋λ1＋λ＝1. 证法2：∵M 、P 、N 三点共线，∴OP →＝xOM →＋yON →且x ＋y ＝1， 由已知可得：xm a ＋yn b ＝αa ＋βb ， ∴x ＝αm ，y ＝βn ，∴αm ＋βn＝1.考纲要求了解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．补充材料1．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a ，b ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则向量a 与b 共线(平行)． (2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ∥b . (3)对于向量a ，b ，若|a ·b |＝|a |·|b |，则a 与b 共线． 要注意向量平行与直线平行是有区别的．2．用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．3．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 备选习题1．已知两不共线向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则下列说法不正确的是( ) A ．(a ＋b )⊥(a －b ) B ．a 与b 的夹角等于α－β C ．|a ＋b |＋|a －b |>2D ．a 与b 在a ＋b 方向上的射影相等 [答案] B[解析] 注意到|a |＝|b |＝1，因此(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )；注意到α－β未必属于(0，π)，因此a ，b 的夹角未必等于α－β；由三角形法则可知，|a ＋b |＋|a －b |2>1，于是有|a ＋b |＋|a －b |>2；结合三角形法则及一个向量在另一个向量上的射影的意义可知，a ，b 在a ＋b 方向上的射影相等．综上所述，其中不正确的说法是B ，选B.2．在平面直角坐标系中，O 为原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )[答案] A[解析] OC →＝λa ＋μb ＝(3λ＋μ，λ＋3μ)， 令OC →＝(x ，y )，则x －y ＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ) ＝2(λ－μ)≤0，∴点C 对应区域在直线y ＝x 的上方，故选A.3．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10[答案] C[解析] ∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝0，∴AC ⊥BD ， 又|AC →|＝5，|BD →|＝25， ∴S ＝12×5×25＝5.4．(2013·哈尔滨质检)已知平面向量a ＝(2m ＋1,3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( )A.1027B ．2 2 C.52 D.52或2 2 [答案] B[解析] 据题意a ∥b 则m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32，当m ＝32时a ＝(4,3)，b ＝(2，32)，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝2 2.5.(2013·铜陵一模)如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9[答案] D[解析] 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图所示，因为∠A ＝60°，菱形的边长为2，所以D (1，3)，B (2,0)，C (3，3)．因为M 为DC 的中点，所以M (2，3)，设N (x ，y )，则N 点的活动区域为四边形ABCD 内(含边界)，则AM →·AN →＝(2，3)·(x ，y )＝2x ＋3y ，令z ＝2x ＋3y ，得y ＝－23x ＋z3，由线性规划知识可知，当直线经过点C 时，直线y ＝－23x ＋z3的截距最大，此时z 最大，所以最大值为z ＝2x ＋3y ＝2×3＋3×3＝6＋3＝9.故选D.6．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －1)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝2[答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点构不成三角形， ∴A 、B 、C 三点在同一条直线上，∴存在实数λ，使OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴(k ＋1，k －1)＝(2－λ，－2λ－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝2－λ，k －1＝－2λ－1，解之得k ＝2. [点评] 由于三点A 、B 、C 构不成三角形，∴A 、B 、C 共线，∴AB →与AC →共线，∴存在λ，使AC →＝λAB →，解λ、k 的方程可得k 值．。
高三一轮 第五章 平面向量与复数 5.2 平面向量基本定理及坐标表示
2.平向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ， λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝ x21＋y21 .
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝ (x2－x1，y2－y1)，|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12 . 3.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔ x1y2－x2y1＝0 .
一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是
A.(－∞，2)
B.(2，＋∞)
C.(－∞，＋∞)
√D.(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析 由题意知向量a，b不共线， 故2m≠3m－2，即m≠2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.(2019·蚌埠期中)已知向量 m＝sin A，12与向量 n＝(3，sin A＋ 3cos A)共线，
其中 A 是△ABC 的内角，则角 A 的大小为
π A.6
π B.4
√π
C.3
π D.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A.(3,1)
√B.(4,2)
解析 A→C＝A→D＋D→C＝(3,1)，