辽宁省大连市甘井子区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
辽宁省大连市甘井子区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程2x2−(m+1)x+1=x(x−1)化成一般形式后一次项的系数为−2，则m的值为()A. −1B. 1C. −2D. 22.下列图案中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BE=2，EF⊥BC.若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE=()A. 3B. 3.5C. 4D. 4.54.抛物线y=3x2+2x−1向上平移4个单位长度后的函数解析式为()A. y=3x2+2x−5B. y=3x2+2x−4C. y=3x2+2x+3D. y=3x2+2x+45.若点P(m,2)与点Q(3,n)关于原点对称，则m，n的值分别是()A. −3，2B. 3，−2C. −3，−2D. −2，36.一元二次方程x2−x−2=0在实数范围内的根的情况是()A. 无根B. 一个根C. 两个根D. 以上答案都不对7.下列各组线段的长度成比例的是()A. 2cm，3cm，4cm，5cmB. 1cm，√2cm，2cm，√2cmC. 1.5cm，2.5cm，4.5cm，6.5cmD. 1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm8.用配方法将方程x2+6x−11=0变形，正确的是()A. (x−3)2=20B. (x−3)2=2C. (x+3)2=2D. (x+3)2=209.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则旗杆CD高度是()A. 9mB. 10.5mC. 12mD. 16m10.已知二次函数y=x2−4x+3，当x>0时，函数值y的取值范围是()A. y>3B. y<3C. y≥−1D. −l≤y<3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若x1，x2是一元二次方程x2−3x+2=0的两根，则x1+x2的值是________．12.已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，BE、B1E1分别是∠B、∠B1的对应角平分线，如果AB：A1B1=2：3，那么BE：B1E1=______．13.方程(x−1)2=1的解为．14.二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴交点的坐标是______ ，y轴的交点坐标是______ ，顶点坐标是______ ．15.如图，直线l1//l2//l3，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，若DE=4，则EF的值为 ______．16.抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,4)，B(6,4)两点，且顶点在x轴上，则该抛物线解析式为______．三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）17.解下列方程．(1)(3x−1)(x−2)=2；(2)2x2−1=3x．四、解答题（本大题共9小题，共93.0分）18.在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，AB=10，D为AC上点．将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE．(1)证明：∠ABD=∠CBE；(2)连接ED，若ED=2√13，求CA的值．CD19.已知函数y=ax2+b过点(−2,−3)和点(1,6)．(1)求这个函数的解析式；(2)当x在什么范围内时，函数值y随x的增大而增大；(3)求这个函数的图象与x轴的交点坐标．20.如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T(1,1)、A(2,3)、B(4,2).(1)以图中的点T为位似中心，在第一象限内将△TAB放大到2倍得到△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′，请在网格图中画出△TA′B′．(2)请直接写出点A′、B′的坐标．21.某工厂2016年的年产值是100万元，2018年的年产值是144万元．假设2016年到2018年该厂年产值的年增长率相同．求该工厂2016年到2018年的年平均增长率．22.如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用y=−x2+bx+c表示，且抛物线经过点B(12,2)，C(2,54).请根据以上信息，解答下列问题；(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？23.如图，已知：AD和BC相交于点O，∠A=∠C，AO=2，BO=4，OC=3，求OD的长．24.如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(−6,0)、B(0,3)，P是线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，点C的坐标为(−4,0)．(1)求直线AB所对应的函数关系式；(2)设动点P的坐标为(m,n)，△PAC的面积为S．①当PC=PO时，求点P的坐标；②写出S与m的函数关系式及自变量m的取值范围；并求出使S△PAC=S△PBO时点P的坐标．25.如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由．(2)如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE//AM时，①求证：AE=EC；②直接写出∠MAC的度数以及线段NE与AC的数量关系．26.已知，关于x的二次函数y=ax2−2ax(a>0)的顶点为C，与x轴交于点O、A，关于x的一次函数y=−ax(a>0)．(1)试说明点C在一次函数的图象上；(2)若两个点(k,y1)、(k+2,y2)(k≠0,±2)都在二次函数的图象上，是否存在整数k，满足1y1+1 y2=16a？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由；(3)若点E是二次函数图象上一动点，E点的横坐标是n，且−1≤n≤1，过点E作y轴的平行线，与一次函数图象交于点F，当0<a≤2时，求线段EF的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解决本题的关键是得到整理后的相关式子．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．整理为一般形式后，根据一次项的系数为−2，列方程求解即可．解：2x2−(m+1)x+1=x(x−1)，整理得：x2−mx+1=0，∵一次项的系数为−2，∴−m=−2，解得：m=2．故选：D．2.答案：B解析：解：A、是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项正确；C、是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.答案：D解析：解：设CE=x，∵四边形EFDC与四边形BEFA相似，∴ABBE =CEEF，∵AB=3，BE=2，EF=AB，∴32=x3，解得：x=4.5，故选：D．可设CE=x，由四边形EFDC与四边形BEFA相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与四边形BEFA相似得到比例式．4.答案：C解析：[分析]本题考查了二次函数的图象与几何变换，准确掌握平移规律是解题关键．利用平移规律“上加下减”计算即可．[解答]解：抛物线y=3x2+2x−1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x2+2x−1+ 4=3x2+2x+3，故选C．5.答案：C解析：本题考查了关于原点对称的点的坐标有关知识，根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．解：点P(m,2)与点Q(3,n)关于原点对称得m=−3，n=−2，故选C．6.答案：C解析：解：△=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−2)=9，∵9>0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：C．先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值．△>0，有两个不相等的实数根；△=0，有两个相等的实数根；△<0，没有实数根．7.答案：B解析：解：A、3×4≠2×5，故本选项错误；B、1×2=√2×√2，故选项正确；C、1.5×6.5≠2.5×4.5，故选项错误；D、1.1×4.4≠2.2×3.3，故本选项错误．故选B．根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可．本题考查了比例线段，用到的知识点是成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．8.答案：D解析：本题考查了配方法，属于基础题．把常数项−11移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．解：把方程x2+6x−11=0的常数项移到等号的右边，得到x2+6x=11，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+6x+9=11+9，配方得(x+3)2=20．故选：D．解析：解：依题意得BE//CD，∴△AEB∽△ADC，∴ABAC =BECD，即22+14=1.5CD，则CD=12．故选：C．根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．10.答案：C解析：本题考查了二次函数的性质，根据x的取值，结合图象，利用数形结合思想解决问题.先求出x=0时y的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可．解：如图，当x=0时，y=3，∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴当x>2时，y随x的增大而减小，且y有最小值−1，∴当x>0时，y的取值范围是y≥−1．11.答案：3解析：本题考查了根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q，属于基础题．由一元二次方程x2−3x+2=0，根据根与系数的关系即可得出答案．解：∵x1，x2是一元二次方程x2−3x+2=0的两根，∴x1+x2=3．故答案为3．12.答案：2：3解析：解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴BE：B1E1=AB：A1B1=2：3，故答案为：2：3．根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．13.答案：x1=0,x2=2解析：本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.直接利用开平方法，即可求得答案．解：(x−1)2=1，x−1=±1，解得：x1=0,x2=2．故答案为x1=0,x2=2．14.答案：(−1,0)，(3,0)；(0,−3)；(1,−4)解析：解：根据题意，令y=0，代入函数解析式得，x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1，∴与x轴交点坐标为(−1,0)，(3,0)，同理令x=0，代入解析式得，y=−3，∴与y轴交点为(0,−3)，把二次函数解析式化为顶点坐标形式得，y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴顶点坐标为(1,−4)．求函数与x轴交点，令y=0，代入求解即可，同理求与y轴交点坐标，可令x=0，代入解析式求解即可，把二次函数化为顶点坐标形式可求得顶点坐标．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，是基础题．15.答案：203解析：本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．求出AB=3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．解：∵AH=2，HB=1，∴AB=AH+BH=3，∵l1//l2//l3，∴DEEF =ABBC=35；∵DE=4，∴EF=203，故答案为203．16.答案：y=14x2−x+1解析：解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过A(−2,4)，B(6,4)两点，∴抛物线的对称轴是直线x =6+(−2)2=2，即顶点坐标为(2,0)，设y =ax 2+bx +c =a(x −2)2+0，把(−2,4)代入得：4=a(−2−2)2+0，解得：a =14，即y =14(x −2)2+0=14x 2−x +1，故答案为：y =14x 2−x +1．先根据点A 、B 的坐标求出对称轴，求出顶点坐标，设顶点式，把A 点的坐标代入求出a ，即可得出函数解析式．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质、用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出顶点坐标是解此题的关键． 17.答案：解：(1)3x 2−7x =0，x(3x −7)=0，x =0或3x −7=0，所以x 1=0，x 2=73；(2)2x 2−3x −1=0，△=(−3)2−4×2×(−1)=17，x =3±√172×2， 所以x 1=3+√174，x 2=3−√174．解析：本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了公式法解一元二次方程．(1)先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；(2)先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．18.答案：解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠A =30°，∠ACB =90°，∴∠ABC =60°，∵将BD 绕点B 顺时针旋转60°得到BE ，∴∠EBD =60°，∴∠ABD =60°−∠CBD ，∠CBE =60°−∠CBD ，∴∠ABD =∠CBE ；(2)过D 作DH//AB 于H ，∵∠A =30°，∴AD =2DH ，AH =√3DH ，∴BH =10−√3DH ，∵将BD 绕点B 顺时针旋转60°得到BE ，∴BE =BD ，∴△BDE 是等边三角形，∴BD =DE =2√13，在Rt △BDH 中，BD 2=BH 2+DH 2，即(2√13)2=(10−√3DH)2+DH 2，解得：DH =√3，或DH =4√3(不合题意舍去)，∴AD =2√3，∵AC =5√3，∴CD =3√3，∴CA CD =53．解析：(1)根据三角形的内角和得到∠ABC =60°，根据旋转的性质得到∠EBD =60°，根据角的和差即可得到∠ABD =∠CBE ；(2)过D 作DH//AB 于H ，解直角三角形得到AD =2DH ，AH =√3DH ，求得BH =10−√3DH ，推出△BDE 是等边三角形，得到BD =DE =2√13，根据勾股定理列方程即可得到结论．本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 19.答案：解：(1)由题意，函数y =ax 2+b 过点(−2,−3)和点(1,6)，所以{4a +b =−3a +b =6,解得{a =−3b =9, 所以函数解析式为y =−3x 2+9；(2)∵a =−3<0，∴当x ≤0时，y 随x 的增大而增大；(3)函数解析式为y =−3x 2+9，令y =0，解得x =±√3，∴函数图象与x 轴交点为(√3,0)和(−√3,0).解析：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、以及二次函数与坐标轴的交点问题，属于中档题．(1)把点(−2,−3)和点(1,6)代入即可求解;(2)根据二次函数的性质即可求解；(3)令y =0，即可求出二次函数与x 轴的交点坐标．20.答案：解：(1)如图所示：△TA′B′，即为所求；(2)如图所示：A′(3,5)、B′(7,3)．解析：(1)利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)由位似图形的性质得出对应点坐标即可．此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．21.答案：解：设2016年到2018年该工厂年产值的年平均增长率为x ，则100(x +1)2=144解得：x 1=0.2，x 2=−2.2.(不符合题意，舍去)．答：2016年到2018年该工厂年产值的年平均增长率为20%．解析：设该工厂从2016年至2018年的年平均增长率为x ，根据该工厂2016年及2018年年产值，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．22.答案：解：(1)∵抛物线y =−x 2+bx +c ，且经过点B(12,2)，C(2,54)，∴{−(12)2+b ×12+c =2−22+b ×2+c =54， 解得，{b =2c =54，∴抛物线y =−x 2+2x +54，当x =0时，y =54，即抛物线的函数关系式是y =−x 2+2x +54，喷水装置OA 的高度是54米；(2)∵y =−x 2+2x +54=−(x −1)2+94，∴当x =1时，y 取得最大值，此时y =94，答：喷出的水流距水面的最大高度是94米；(3)令−x 2+2x +54=0，解得，x 1=−0.5，x 2=2.5，答：水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外．解析：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．(1)根据抛物线y =−x 2+bx +c 表示，且经过点B(12,2)，C(2,54)，可以求得抛物线的解析式，然后令x =0，求得y 的值，即可得到OA 的值；(2)将(1)中的函数解析式化为顶点式，即可求得喷出的水流距水面的最大高度；(3)根据题意和图象，求出抛物线与x 轴的交点，即可得到水池半径的最小值． 23.答案：解：在△AOB 与△COD 中，∵∠A =∠C ，∠AOB =∠COD ，∴△AOB ～△COD ，∴OA OC =OB OD ，∴23=4OD ，∴OD =6．解析：由△AOB ～△COD ，可得OA OC =OB OD ，由此即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24.答案：解：(1)设直线AB 所对应函数关系式为y =kx +b ，把A(−6,0)、B(0,3)代入解析式得，{−6k +b =0b =3, 解得{k =12b =3,直线AB 所对应的函数关系式为y =12x +3．(2)①∵PC =PO ，∴点P 在CO 的垂直平分线上，∵点C 的坐标为(−4,0)，∴点P 的横坐标为−2，∴n =12×(−2)+3=2，∴点P 的横坐标为(−2,2)．②将点P(m,n)代入y =12x +3得，n =12m +3，∴S =12AC ⋅n =12×2n =n =12m +3，(−6<m <0)． ∵S △PAC =S △PBO ，∴12m +3=12×3×|m|，即12m +3=−12×3×m ，解得m =−32，∴P(−32，94).解析：本题考查了一次函数综合题，熟悉待定系数法、垂直平分线的性质、三角形的面积公式是解题的关键．(1)利用待定系数法求出函数解析式即可；(2)①根据PC=PO，利用点P在CO的垂直平分线上，求出P点坐标；②将点P(m,n)代入y=12x+3得，n=12m+3，根据S△PAC=S△PBO，得到关于m的解析式，求出P点坐标．25.答案：解：(1)BF=AC，理由是：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEF=90°，∵∠ABC=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵∠AFE=∠BFD，∴∠DAC=∠EBC，在△ADC和△BDF中，{∠DAC=∠DBF∠ADC=∠BDF=90°AD=BD，∴△ADC≌△BDF(AAS)，∴BF=AC；(2)①如图2，由折叠得：MD=DC，∵DE//AM，∴AE=EC，②NE=12AC，理由是：如图2，∵AE=EC，BE⊥AC，∴AB=BC，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=12×45°=22.5°，由(1)得：△ADC≌△BDF，∵△ADC≌△ADM，∴△BDF≌△ADM，∴∠DBF=∠MAD=22.5°，∴∠MAC=2∠MAD=45°，∵∠NEA=90°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴EN=AE=EC，∴EN=12AC．解析：(1)如图1，证明△ADC≌△BDF(AAS)，可得BF=AC；(2)①如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC；②由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，结合(1)得：△BDF≌△ADM，则∠DBF=∠MAD，最后证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=12AC．本题考查等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，(2)中解题的关键是证明AB=BC是关键，有难度．26.答案：解：(1)∵二次函数y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴顶点C(1,−a)，∵当x=1时，一次函数值y=−a∴点C在一次函数y=−ax的图象上；(2)存在．∵点(k,y1)、(k+2,y2)(k≠0,±2)都在二次函数的图象上，∴y1=ak2−2ak，y2=a(k+2)2−2a(k+2)，∵满足1y1+1y2=16a，∴1ak2−2ak +1a(k+2)2−2a(k+2)=16a，整理，得1ak(k−2)+1ak(k+2)=16a，∴1k(k−2)+1k(k+2)=16，∴2k2−4=16，解得k=±4，经检验：k=±4是原方程的根，∴整数k 的值为±4．(3)∵点E 是二次函数图象上一动点，∴E(n,an 2−2an)，∵EF//y 轴，F 在一次函数图象上，∴F(n,−an)．①当−1≤n ≤0时，EF =y E −y F =an 2−2an −(−an)=a(n −12)2−14a ， ∵a >0，∴当n =−1时，EF 有最大值，且最大值是2a ，又∵0<a ≤2，∴0<2a ≤4，即EF 的最大值是4；②当0<n ≤1时，EF =y F −y E =−an −(an 2−2an)=−a(n −12)2+14a ， 此时EF 的最大值是14a ，又∵0<a ≤2，∴0<14a ≤12，即EF 的最大值是12；综上所述，EF 的最大值是4．解析：(1)先求出二次函数y =ax 2−2ax =a(x −1)2−a 顶点C(1,−a)，当x =1时，一次函数值y =−a 所以点C 在一次函数y =−ax 的图象上；(2)存在．将点(k,y 1)、(k +2,y 2)(k ≠0,±2)代入二次函数解析式，y 1=ak 2−2ak ，y 2=a(k +2)2−2a(k +2)，因为满足1y 1+1y 2=16a ，1ak 2−2ak +1a(k+2)2−2a(k+2)=16a ，整理，得1ak(k−2)+1ak(k+2)=16a ，2k 2−4=16，解得k =±4，经检验：k =±4是原方程的根，所以整数k 的值为±4； (3)分两种情况讨论：①当−1≤n ≤0时，EF =y E −y F =an 2−2an −(−an)=a(n −12)2−14a ，②当0<n ≤1时，EF =y F −y E =−an −(an 2−2an)=−a(n −12)2+14a. 本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。
2019-2020学年辽宁省大连市甘井子区九年级(上)期中数学试卷(含详解)
2019-2020学年辽宁省大连市甘井子区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确）1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（）A．5B．﹣4C．3D．﹣12．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．圆C．等边三角形D．正六边形3．（3分）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是（）A．∠D＝81°B．∠F＝83°C．∠G＝78°D．∠H＝91°4．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣2向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x+5）2﹣5B．y＝（x+5）2+1C．y＝（x﹣1）2﹣5D．y＝（x﹣1）2+15．（3分）已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a、b值分别是（）A．a＝1，b＝5B．a＝5，b＝1C．a＝﹣5，b＝1D．a＝﹣5，b＝﹣1 6．（3分）一元二次方程x2﹣8x＝﹣17的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定7．（3分）下列各组线段的长度成比例的是（）A．4，6，10，12B．，，，C．8，15，16，32D．10，16，12.8，25.68．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+1＝0时，方程可变形为（）A．（x﹣4）2＝15B．（x﹣1）2＝15C．（x﹣4）2＝1D．（x+4）2＝15 9．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.6m，则楼高CD是（）A．9.45m B．10.65m C．14.2mm D．16.8m10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m2﹣3（m为常数）当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣3，则m的值为（）A．1B．0或﹣1C．0或1D．﹣1或1二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若x1，x2是一元二次方程3x2+7x﹣9＝0的两根，则x1•x2的值是．12．（3分）如图，△ABC∽△DEF，AM和DN分别是边BC和EF上的高，若S△ABC：S△DEF ＝1：4，AM＝3，则DN＝．13．（3分）方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0的解是：．14．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是．15．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．16．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象是以点C为顶点、经过点B的抛物线，若点B绕点A顺时针旋转90°可得到点C，则a＝．三.解答题（本题共4小题，其中17、18，19各9分，20题12分，共39分）17．（9分）解方程：（1）x2+10＝7x；（2）2x2+4x﹣5＝0．18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，将△ABC绕点A 顺时针旋转90°得到△ADE，连接BD，求BD的长．19．（9分）一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝﹣1，当x＝﹣2时，y＝0，当x ＝2时，y＝6．求这个二次函数的解析式．20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的顶点坐标分别为A（2，2）、O（0，0）、C（，0），以原点O为位似中心．（1）在第一象限内，相似比为，将△AOC缩小，不用画图，请直接写出缩小后的△A1OC1的两个顶点坐标：A1，C1（2）相似比为2，将△AOC放大在第一象限画出放大后的△A2OC2，直接写出两个顶点的坐标：A2，C2；在第三象限画出放大后的△A3OC3，直接写出两个顶点的坐标：A3，C3（3）相似比为k，将△AOC放大，若△AOC边上有任意一点P的坐标为（x，y），则放大后的图形上，点P的对应点Q的坐标为．（用含k、x和y的式子表示）（建议：先用铅笔画图，确定无误后用黑色水性笔画在答题卡上）四.解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．（9分）某市2016年的人均收入为60000元，2018年的人均收入为72600元．求人均收入的年平均增长率．22．（9分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+（x＞0）（1）求水流喷出的最大高度是多少m？此时的水平距离是多少m？（2）若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少m，才能使喷出的水流不落在池外？23．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．（1）求证：△AEF∽△BDF；（2）若AE＝4，BD＝8，EF+DF＝9，求DE的长．五.解答题（本题共3小题，其中24小题11分，25、26小题各12分，共35分）24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，B，点C在射线OA上，点D在射线OB上，且OD＝2OC，以CD的中点为对称中心作△COD 的对称图形△DEC．设点C的坐标为（0，n），△DEC在直线AB下方部分的面积为S．（1）当点E在AB上时，n＝，当点D与点B重合时，n＝；（2）求S关于n的函数解析式，并直接写出自变量n的取值范围．25．（12分）阅读下面材料，完成（1）～（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，点D在AB上，且AD＝kAB（其中0＜k＜），直线CD绕点D顺时针旋转90°与直线CB绕点B逆时针旋转90°后相交于点E，探究线段DC、DE的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现DC与DE相等”；小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到DC与DE相等”小强：“通过进一步的推理计算，可以得到BE与BC的数量关系”老师：“保留原题条件，连接CE交AB于点O．如果给出BO与DO的数量关系，那么可以求出CO•EO的值”（1）在图1中将图补充完整，并证明DC＝DE；（2）直接写出线段BE与BC的数量关系（用含k的代数式表示）；（3）在图2中将图补充完整，若BO＝DO，求CO•EO的值（用含a的代数式表示）．26．（12分）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．例如：当n＝1时，函数y＝（x﹣6）2+3关于点P（0，1）的相关函数为y＝（x+6）2﹣1．（1）当n＝0时，①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为；②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；（2）函数y＝﹣x2+关于点P的相关函数是y＝x2，则n＝；（3）当n﹣1≤x≤n+3时，函数y＝﹣2x2+nx n2的相关函数的最小值为7，求n的值．2019-2020学年辽宁省大连市甘井子区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确）1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（）A．5B．﹣4C．3D．﹣1【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化．2．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．圆C．等边三角形D．正六边形【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项正确；D、是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．3．（3分）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是（）A．∠D＝81°B．∠F＝83°C．∠G＝78°D．∠H＝91°【分析】直接利用相似多边形的性质得出对应角相等进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠B＝∠F＝78°，∠A＝∠E＝118°，∠C＝∠G＝83°，∴∠D＝360°﹣78°﹣118°﹣83°＝81°．故选：A．【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应角相等是解题关键．4．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣2向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x+5）2﹣5B．y＝（x+5）2+1C．y＝（x﹣1）2﹣5D．y＝（x﹣1）2+1【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：将抛物线y＝（x+2）2﹣2向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到函数的表达式为：y＝（x﹣1）2+1，故选：D．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．5．（3分）已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a、b值分别是（）A．a＝1，b＝5B．a＝5，b＝1C．a＝﹣5，b＝1D．a＝﹣5，b＝﹣1【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【解答】解：由题意，得a＝﹣5，b＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．6．（3分）一元二次方程x2﹣8x＝﹣17的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【分析】先计算出△＝﹣3，然后根据判别式的意义求解．【解答】解：x2﹣8x＝﹣17，x2﹣8x+17＝0，∵△＝82﹣4×1×17＝﹣4＜0，∴方程无实数根．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．7．（3分）下列各组线段的长度成比例的是（）A．4，6，10，12B．，，，C．8，15，16，32D．10，16，12.8，25.6【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、∵4×12≠6×10，故此选项错误；B、∵×＝×，故此选项正确；C、∵8×32≠15×16，故此选项错误；D、∵10×25.6≠16×12.8，故此选项错误．故选：B．【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．8．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+1＝0时，方程可变形为（）A．（x﹣4）2＝15B．（x﹣1）2＝15C．（x﹣4）2＝1D．（x+4）2＝15【分析】将方程的常数项1变号后移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方16，方程左边写成完全平方式，右边合并即可得到结果．【解答】解：方程x2﹣8x+1＝0，移项得：x2﹣8x＝﹣1，两边都加上16得：x2﹣8x+16＝﹣1+16，变形得：（x﹣4）2＝15，则用配方法解方程x2﹣8x+1＝0时，方程可变形为：（x﹣4）2＝15．故选：A．【点评】此题考查了利用配方法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将方程的二次项系数化为1，然后将常数项移项到方程右边，接着方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．9．（3分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.6m，则楼高CD是（）A．9.45m B．10.65m C．14.2mm D．16.8m【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.65（米）．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m2﹣3（m为常数）当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣3，则m的值为（）A．1B．0或﹣1C．0或1D．﹣1或1【分析】函数配方后得y＝（x+1）2+m2+2m﹣2知当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，根据x＝1时最小值为5列方程求解可得．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+m2﹣3＝（x﹣1）2+m2﹣4，∴当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣3，根据题意，当x＝1时，有m2﹣4＝﹣3，解得：m＝1或m＝﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若x1，x2是一元二次方程3x2+7x﹣9＝0的两根，则x1•x2的值是﹣3．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1x2＝﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．12．（3分）如图，△ABC∽△DEF，AM和DN分别是边BC和EF上的高，若S△ABC：S△DEF ＝1：4，AM＝3，则DN＝6．【分析】根据相似三角形对应边上的高的比等于相似比解决问题即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴＝（）2＝，∵AM＝3，∴DN＝2AM＝6，故答案为6．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（3分）方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0的解是：x1＝2，x2＝﹣1．【分析】通过提取公因式（x﹣2）对等式的左边进行因式分解，然后解方程．【解答】解：由原方程，得（x﹣2）（x+1）＝0，则x﹣2＝0或x+1＝0，解得，x1＝2，x2＝﹣1．故答案是：x1＝2，x2＝﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．14．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1．【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以得到点B的坐标，从而可以得到该函数图象与x轴的交点坐标，进而得到一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A（﹣2，0）、B两点，顶点为C（，﹣），∴点B的坐标为（1，0），∴当y＝0时，即0＝ax2+bx+c，此时x＝﹣2或x＝1，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1，故答案为：x1＝﹣2，x2＝1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．15．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．16．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象是以点C为顶点、经过点B的抛物线，若点B绕点A顺时针旋转90°可得到点C，则a＝．【分析】根据题意求顶点C的坐标，然后根据待定系数法求得即可．【解答】解：∵B绕点A顺时针旋转90°可得到点C，A（﹣2，1），B（，），∴C（﹣，﹣），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象是以点C为顶点、经过点B的抛物线，∴设二次函数为y＝a（x+）2﹣，把B（，）代入得，＝a（+）2﹣，解得a＝．故答案为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，坐标和图象的变化﹣旋转，求得顶点的坐标是解题的关键．三.解答题（本题共4小题，其中17、18，19各9分，20题12分，共39分）17．（9分）解方程：（1）x2+10＝7x；（2）2x2+4x﹣5＝0．【分析】（1）方程变形后，利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（2）找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：（1）移项得：x2﹣7x+10＝0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5；（2）这里a＝2，b＝4，c＝﹣5，∵△＝16+40＝56，∴x＝，则x1＝﹣1+x2＝﹣1﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，将△ABC绕点A 顺时针旋转90°得到△ADE，连接BD，求BD的长．【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再由旋转的性质得出AB＝AD，∠BAD ＝90°，根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，BC＝3，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝6，∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，∴∠BAD＝90°，AB＝AD＝6，∴BD＝＝＝6．【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．19．（9分）一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝﹣1，当x＝﹣2时，y＝0，当x ＝2时，y＝6．求这个二次函数的解析式．【分析】根据题意，设出该函数的解析式，然后列出相应的三元一次方程组，求出a、b、c的值即可解答本题．【解答】解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，，解得，，即这个二次函数的解析式为y＝x2+x﹣1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的顶点坐标分别为A（2，2）、O（0，0）、C（，0），以原点O为位似中心．（1）在第一象限内，相似比为，将△AOC缩小，不用画图，请直接写出缩小后的△A1OC1的两个顶点坐标：A1（1，1），C1（，0）（2）相似比为2，将△AOC放大在第一象限画出放大后的△A2OC2，直接写出两个顶点的坐标：A2（4，4），C2（5，0）；在第三象限画出放大后的△A3OC3，直接写出两个顶点的坐标：A3（﹣4，﹣4），C3（﹣5，0）（3）相似比为k，将△AOC放大，若△AOC边上有任意一点P的坐标为（x，y），则放大后的图形上，点P的对应点Q的坐标为（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．（用含k、x 和y的式子表示）（建议：先用铅笔画图，确定无误后用黑色水性笔画在答题卡上）【分析】（1）直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标；（2）直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标；（3）直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标．【解答】解：（1）A1（1，1），C1（，0）；故答案为：（1，1），（，0）；（2）如图所示：A2（4，4），C2（5，0）；A3（﹣4，﹣4），C3（﹣5，0）；故答案为：（4，4），（5，0），（﹣4，﹣4），（﹣5，0）；（3）相似比为k，将△AOC放大，若△AOC边上有任意一点P的坐标为（x，y），则放大后的图形上，点P的对应点Q的坐标为：（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．故答案为：（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．四.解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．（9分）某市2016年的人均收入为60000元，2018年的人均收入为72600元．求人均收入的年平均增长率．【分析】设人均收入的年平均增长率为x，根据该市2016年及2018年的人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设人均收入的年平均增长率为x，依题意，得：60000（1+x）2＝72600，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：人均收入的年平均增长率为10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．（9分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+（x＞0）（1）求水流喷出的最大高度是多少m？此时的水平距离是多少m？（2）若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少m，才能使喷出的水流不落在池外？【分析】（1）求得抛物线的顶点坐标即可求得最大高度及水平距离；（2）令y＝0，则可以求水池的半径；【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣1）2+，∴该二次函数的顶点坐标为（1，），∴水流喷出的最大高度是米，此时的水平距离为1米；（2）令y＝0，则﹣（x﹣1）2+＝0，解得x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）所以水池的半径至少为2.5m，才能使喷出的水流不落在池外；【点评】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用，在求解函数解析式时，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．23．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．（1）求证：△AEF∽△BDF；（2）若AE＝4，BD＝8，EF+DF＝9，求DE的长．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．（2）证明△AFB∽△EFD，可得＝，想办法求出AB，BF，DF即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠AEF＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△BDF．（2）解：∵△AEF∽△BDF，∴＝＝＝，∵DF+EF＝9，∴EF＝3，DF＝6，∴BF＝＝＝10，AF＝＝＝5，∴AD＝5+6＝11，∴AB＝＝＝∵＝，∴＝，∵∠AFB＝∠EFD，∴△AFB∽△EFD，∴＝，∴＝，∴DE＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．五.解答题（本题共3小题，其中24小题11分，25、26小题各12分，共35分）24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，B，点C在射线OA上，点D在射线OB上，且OD＝2OC，以CD的中点为对称中心作△COD 的对称图形△DEC．设点C的坐标为（0，n），△DEC在直线AB下方部分的面积为S．（1）当点E在AB上时，n＝，当点D与点B重合时，n＝2；（2）求S关于n的函数解析式，并直接写出自变量n的取值范围．【分析】（1）根据题意证得四边形DOCE是矩形，即可得到E（﹣2n，n），D（﹣2n，0），由直线上点的坐标特征求得n的值即可；（2）分两种情况讨论：①当直线AB经过线段DE时，求得直线与DE和EC的交点坐﹣S△EMN即可求得S关于n的函数解析式；标，进而求得△MEN的面积，则根据S＝S△EDC②当直线AB经过线段DC时，求得直线与DC的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）设点C的坐标为（0，n），则D（﹣2n，0），∵△COD与△DEC关于P点成中心对称，∴PD＝PC，PE＝PO，∴四边形DOCE是平行四边形，∵∠DOC＝90°，∴四边形DOCE是矩形，∴E（﹣2n，n），点E在AB上时，则n＝（﹣2n）+3，解得n＝；当点D与点B重合时，则0＝（﹣2n）+3，解得n＝2，故答案为，2；（2）如图2，当直线AB经过线段DE时，把x＝﹣2n代入y＝x+3得y＝﹣n+3，把y＝n代入y＝x+3求得x＝n﹣4，∴M（﹣2n，﹣n+3），N（n﹣4，n），＝（n+n﹣3）（n﹣4+2n）∴S△EMN﹣S△EMN＝•2n•n﹣（n+n﹣3）（n﹣4+2n）＝﹣n2+10n﹣6（≤∴S＝S△EDCn≤2），当直线AB经过线段DC时，∵OD＝2OC，∴直线DC的解析式为y＝x+n，解得，∴S＝（n﹣4）（6﹣2n）＝﹣n2+8n﹣12（2＜n≤3）．综上，S＝．【点评】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论思想的运用是解题的关键．25．（12分）阅读下面材料，完成（1）～（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，点D在AB上，且AD＝kAB（其中0＜k＜），直线CD绕点D顺时针旋转90°与直线CB绕点B逆时针旋转90°后相交于点E，探究线段DC、DE的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现DC与DE相等”；小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到DC与DE相等”小强：“通过进一步的推理计算，可以得到BE与BC的数量关系”老师：“保留原题条件，连接CE交AB于点O．如果给出BO与DO的数量关系，那么可以求出CO•EO的值”（1）在图1中将图补充完整，并证明DC＝DE；（2）直接写出线段BE与BC的数量关系BE＝（1﹣2k）BC（用含k的代数式表示）；（3）在图2中将图补充完整，若BO＝DO，求CO•EO的值（用含a的代数式表示）．【分析】（1）作DM⊥BC于M，DN作BE于N，则∠DMC＝∠DNE＝90°，由等腰直角三角形的性质得出∠ABC＝45°，AB＝BC＝，由旋转的性质得∠CDE＝∠CBE ＝90°，则∠DBE＝45°，∠MDN＝90°，∠CDM＝∠EDN，∠ABC＝∠ABE，由角平分线的性质得出DM＝DN，由ASA证得△CDM≌△EDN（ASA），即可得出结论；（2）由（1）得△CDM≌△EDN，则CM＝EN，易证四边形BMDN是矩形，△BDM是等腰直角三角形，证明四边形BMDN是正方形，得出BM＝BN，推出BC+BE＝BM+CM+BM ﹣CM＝2BM＝BD，BD＝AB﹣AD＝（1﹣k）AB＝（1﹣k）BC，则BC+BE＝BD ＝2（1﹣k）BC，即可得出结果；（3）由∠CDE+∠CBE＝90°+90°＝180°，得出B、C、D、E四点共圆，得出CO•EO ＝DO•BO，即可得出结果．【解答】解：（1）将图补充完整，如图1所示：作DM⊥BC于M，DN作BE于N，则∠DMC＝∠DNE＝90°，∵AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，AB＝BC＝，由旋转的性质得：∠CDE＝∠CBE＝90°，∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∠MDN＝90°，∴∠CDM＝∠EDN，∠ABC＝∠ABE，∵DM⊥BC于M，DN作BE于N，∴DM＝DN，在△CDM和△EDN中，，∴△CDM≌△EDN（ASA），∴DC＝DE；（2）BE＝（1﹣2k）BC，理由如下：由（1）得：△CDM≌△EDN，∴CM＝EN，∵∠CBE＝90°，DM⊥BC，DN⊥BE，∴四边形BMDN是矩形，∵∠ABC＝45°，∴△BDM是等腰直角三角形，∴DM＝BM，BM＝BD，∴四边形BMDN是正方形，∴BM＝BN，∵BC＝BM+CM，∴BC+BE＝BM+CM+BM﹣CM＝2BM＝BD，∵AD＝kAB，∴BD＝AB﹣AD＝（1﹣k）AB＝（1﹣k）BC，∴BC+BE＝BD＝2（1﹣k）BC，整理得：BE＝（1﹣2k）BC；故答案为：BE＝（1﹣2k）BC；（3）将图补充完整，如图2所示：∵∠CDE+∠CBE＝90°+90°＝180°，∴B、C、D、E四点共圆，∴CO•EO＝DO•BO，∵BO＝DO，∴CO•EO＝DO•BO＝DO2＝×（BD）2＝×（）2×[（1﹣k）a]2＝．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、四点共圆等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、证明三角形全等是解题的关键．26．（12分）定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C1的图象，我们称函数C1是函数C关于点P的相关函数．例如：当n＝1时，函数y＝（x﹣6）2+3关于点P（0，1）的相关函数为y＝（x+6）2﹣1．（1）当n＝0时，①二次函数y＝x2关于点P的相关函数为y＝﹣x2；②点A（2，3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；（2）函数y＝﹣x2+关于点P的相关函数是y＝x2，则n＝﹣；（3）当n﹣1≤x≤n+3时，函数y＝﹣2x2+nx n2的相关函数的最小值为7，求n的值．【分析】（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，即可求解；②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；（2）两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，﹣），由中点公式即可求解；（3）分n≤﹣3、﹣3＜n≤1、n＞1三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）①n＝0时，点P（0，0），则相关函数为：y＝﹣x2，故答案为：y＝﹣x2；②二次函数y＝ax2﹣2ax+a的顶点为：（1，0），新函数的顶点为（﹣1，0），则新函数的表达式为：y＝﹣a（x+1）2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣；（2）两个函数的顶点分别为：（0，）、（0，﹣），由中点公式得：2n＝﹣，解得：n＝﹣，故答案为：﹣；（3）y＝﹣2x2+nx n2的顶点为：（，﹣n2），则相关函数顶点为：（﹣，n2+2n），则相关函数的表达式为：y＝2（x+）2+n2+2n；①当n≤﹣3时，函数在x＝n+3时，取得最小值，即2（+3+）2+n2+2n＝7，解得：n＝﹣或﹣1（舍去﹣1），故n＝﹣；②当﹣3＜n≤1时，函数在顶点处取得最小值，即n2+2n＝7，解得：n＝﹣1（舍去）；③当n＞1时，同理可得：n＝或﹣1（舍去﹣1），综上，n＝﹣或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，这种新定义类的题目，通常按照题设顺序逐次求解，相对比较容易．。
2019-2020年第一学期九年级期中数学考试试卷含答案
2019-2020年第一学期九年级期中数学考试试卷一、精心选一选（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1． 已知⊙O 的半径为4cm ，点P 在⊙O 上，则OP 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．4cmD ．8cm2．若37a b =，则b aa -等于（ ） A ．43 B.34 C. 37 D. 733．抛物线y ＝x 2－2x ＋3的对称轴为（ ）A ．直线x ＝1B ．直线x ＝－1C ．直线x ＝2D ．直线x ＝－24． 如图，在⊙O 中，点M 是︵AB 的中点，连结MO 并延长，交⊙O 于点N ，连结BN ．若∠AOB ＝140°，则∠N 的度数为（ ）A ．70°B ．40°C ．35°D ．20°第4题 第6题 第8题5．在一个不透明的口袋里装有2个白球、3个黑球和3个红球，它们除了颜色外其余都相同．现随机从袋里摸出1个球，则摸出白球的概率是（ ） A ．12B ．38C ．13D ．146. 如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA =OB =OC =2，则这朵三叶花的面积为（ ） A ．33-πB ．63-πC ．36-πD ．66-π7. 已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论正确的是( ) A ．AB 2=AC•BCB ．BC 2=AC•BC C ．AC=BC D ．BC=AC8. 如图，AB 是半圆的直径，点C 是弧AB 的中点，点E 是弧AC 的中点，连结EB 、CA 交于点F ，则BF EF的值为（ ） A.41 B.422- C.221- D.212- O N MBA9. 如图，抛物线y =x 2+b x +c 与直线y=x 交于（1，1）和（3，3）两点，以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②3b+c+6=0；③当x 2+b x +c ＞时，x ＞2；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0，其中正确的序号是（ ） A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④10. 若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点”．例如：P (1，0)、Q (2，－2)都是“整点”．抛物线 y =mx 2－2mx +m －1(m >0)与 x 轴交于 A 、 B 两点，若该抛物线在 A 、B 之间的部分与线段 A B 所围成的区域（包括边界）恰有 6 个整点，则 m 的取值范围是( ) A ．18≤ m ≤ 14 B ．19< m ≤ 14 C ．19 ≤ m < 12 D ．19 < m < 14二、细心填一填（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11．已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，且a ＝4，b ＝9，则线段c 的长度为 ． 12.小颖在二次函数y=2x 2+4x+5的图象上找到三点（－1，y 1），（21，y 2），（－321，y 3），则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为___________．(用 < 号连接)13. 如图水库堤坝的横断面是梯形，BC 长为30m ，CD 长为20m ，斜坡AB 的坡比为1：3，斜坡CD 的坡比为1：2，则坝底的宽AD 为 m 。
【5套打包】大连市初三九年级数学上期中考试检测试卷(含答案)
新人教版数学九年级上册期中考试试题(含答案)一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下面四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．关于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根3．用配方法解方程x2﹣2x﹣7＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝8 4．把一元二次方程（x﹣3）2＝5化为一般形式，二次项系数；一次项系数；常数项分别为（）A．1，6，4 B．1，﹣6，4 C．1，﹣6，﹣4 D．1，﹣6，9 5．已知二次函数y＝2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大6．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+17．若方程x2﹣3x﹣2＝0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6 C．8 D．128．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 9．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．710．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）A．4cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm2二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．已知两个数的差为3，它们的平方和是65，设较小的数为x，则可列出方程，化成一般形式为．12．已知方程x2+2x﹣3＝0的两根为a和b，则ab＝．13．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有．14．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣2，0），（6，0），则此抛物线的对称轴是．15．函数y＝x2﹣2x+2的图象顶点坐标是．16．点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标是，关于原点对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是；三、解答题（本大题2小题，共18分）17．解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法）18．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；求抛物线函数解析式．19．参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？20．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2016年该企业投入科研经费5000万元就，2018年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率；（2）若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该企业投入科研经费多少万元．21．某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线，铅球在离地面1米高的A处推出，达到最高点B时的高度是2.6米，推出的水平距离是4米，铅球在地面上点C处着地（1）根据如图所示的直角坐标系求抛物线的解析式；（2）这个同学推出的铅球有多远？22．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣6＝0（1）证明：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为2，试求2k2+8k+2018的值．23．某店销售台灯，成本为每个30元，销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）未降价之前，该店每月台灯总盈利为元；（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利元，平均每月可售出个；（用含x的代数式进行表示）（3）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．24．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）当运动开始后1秒时，求△DPQ的面积；（2）当运动开始后秒时，试判断△DPQ的形状；（3）在运动过程中，存在这样的时刻，使△DPQ以PD为底的等腰三角形，求出运动时间．25．如图，抛物线y＝与x轴交于A、B两点，△ABC为等边三角形，∠COD＝60°，且OD＝OC．（1）A点坐标为，B点坐标为；（2）求证：点D在抛物线上；（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，若以M、N、O、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下面四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：B．2．关于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】根据根的判别式，可得答案．【解答】解：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，故选：C．3．用配方法解方程x2﹣2x﹣7＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝8 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝7，配方得：x2﹣2x+1＝8，即（x﹣1）2＝8，故选：C．4．把一元二次方程（x﹣3）2＝5化为一般形式，二次项系数；一次项系数；常数项分别为（）A．1，6，4 B．1，﹣6，4 C．1，﹣6，﹣4 D．1，﹣6，9 【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．【解答】解：化简方程，得x2﹣6x+4＝0，二次项系数；一次项系数；常数项分别为1，﹣6，4，故选：B．5．已知二次函数y＝2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣12x+19＝2（x﹣3）2+1，∴开口向上，顶点为（3，1），对称轴为直线x＝3，有最小值1，当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小；故C选项正确．故选：C．6．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．【解答】解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．故选：C．7．若方程x2﹣3x﹣2＝0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6 C．8 D．12【分析】根据（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2x1+2x2+4＝x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根．∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2x1+2x2+4＝x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2＝3、x1•x2＝﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2x1+2x2+4＝x1x2+2（x1+x2）+4＝（﹣2）+2×3+4＝8．故选：C．8．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 【分析】先求出方程（x﹣1）2﹣4＝0的解，得出函数与x轴的交点坐标，根据函数的性质得出答案即可．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的开口向上，当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，解得：x＝3或﹣1，∴当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故选：C．9．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．【解答】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：＝15，解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛．故选：C．10．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）A．4cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm2【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．【解答】解：设矩形的长为x，则宽为，矩形的面积＝（）x＝﹣x2+4x，S最大＝＝＝4，故矩形的最大面积是4cm2．故选：A．二．填空题（共6小题）11．已知两个数的差为3，它们的平方和是65，设较小的数为x，则可列出方程x2+（x+3）2＝65 ，化成一般形式为x2+3x﹣28＝0 ．【分析】首先表示出两个数字进而利用勾股定理列出方程再整理即可．【解答】解：设较小的数为x，则另一个数字为x+3，根据题意得出：x2+（x+3）2＝65，整理得出：x2+3x﹣28＝0．故答案为：x2+（x+3）2＝65，x2+3x﹣28＝0．12．已知方程x2+2x﹣3＝0的两根为a和b，则ab＝﹣3 ．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得ab＝﹣3．故答案为：﹣3．13．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有①．【分析】根据a的值可以判定开口方向和开口大小，利用顶点式直接找出对称轴和顶点坐标，利用对称轴和开口方向确定y随着x的增大而增大对应x的取值范围．【解答】解：①因为a＝3＞0，它们的图象都是开口向上，大小是相同的，故此选项正确；②y＝3x2+1对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），y＝3（x﹣1）2的对称轴是x＝1，顶点坐标是（1，0），故此选项错误；③二次函数y＝3x2+1当x＞0时，y随着x的增大而增大；y＝3（x﹣1）2当x＞1时，y随着x的增大而增大，故此选项错误；④它们与x轴都有一个交点，故此选项错误；综上所知，正确的有①．故答案是：①．14．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣2，0），（6，0），则此抛物线的对称轴是x ＝2 ．【分析】因为点（﹣2，0），（6，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x＝求解即可．【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣2，0），（6，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x＝＝2，即x＝2．故答案是：x＝2．15．函数y＝x2﹣2x+2的图象顶点坐标是（1，1）．【分析】根据二次函数解析式，进行配方得出顶点式形式，即可得出顶点坐标．【解答】解：y＝x2﹣2x+2＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1，∵抛物线开口向上，当x＝1时，y最小＝1，∴顶点坐标是（1，1）．故答案为：（1，1）．16．点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标是（﹣2，﹣3），关于原点对称点的坐标是（2，﹣3），关于y轴的对称点的坐标是（2，3）；【分析】利用关于原点对称点的坐标性质以及关于x轴、y轴对称的点的坐标性质分别得出答案．【解答】解：点P（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为：（2，﹣3），关于x轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3），关于y轴的对称点的坐标为（2，3）．故答案为：（﹣2，﹣3）；（2，﹣3）；（2，3）．三．解答题（共9小题）17．解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法）【分析】利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝﹣5，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得x2﹣6x+32＝﹣5+32，即（x﹣3）2＝4，∴x＝3±2，∴原方程的解是：x1＝5，x2＝1．18．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；求抛物线函数解析式．【分析】直接利用交点式写出抛物线的解析式．【解答】解：抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3．19．参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？【分析】设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，根据共要比赛28场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，根据题意得：＝21，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．答：共有7个队参加足球联赛．20．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2016年该企业投入科研经费5000万元就，2018年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率；（2）若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该企业投入科研经费多少万元．【分析】（1）设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为x，根据2016年及2018年投入科研经费，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2019年投入科研经费＝2018年投入科研经费×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2．答：这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为20%．（2）7200×（1+20%）＝8640（万元）．答：2019年该企业投入科研经费8640万元．21．某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线，铅球在离地面1米高的A处推出，达到最高点B时的高度是2.6米，推出的水平距离是4米，铅球在地面上点C处着地（1）根据如图所示的直角坐标系求抛物线的解析式；（2）这个同学推出的铅球有多远？【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+2.6，由待定系数法求出其解即可；（2）当y＝0时代入（1）的解析式，求出其解即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+2.6，由题意，得1＝a（0﹣4）2+2.6，解得：a＝﹣0.1．故y＝﹣0.1（x﹣4）2+2.6．答：抛物线的解析式为：y＝﹣0.1（x﹣4）2+2.6；（2）由题意，得当y＝0时，﹣0.1（x﹣4）2+2.6＝0，解得：x1＝+4，x2＝﹣+4＜0（舍去），故x＝+4．答：这个同学推出的铅球有（+4）米远．22．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣6＝0（1）证明：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为2，试求2k2+8k+2018的值．【分析】（1）计算判别式的中得到△＝24，然后根据判别式的意义得到结论；（2）把x＝2代入方程k2+4k＝2，再把2k2+8k+2018表示为2（k2+4k）+2018，然后利用整体代入的方法计算．【解答】（1）证明：△＝（2k）2﹣4（k2﹣6）＝24＞0，所以方程有两个不相等的实数根；（2）把x＝2代入方程得4+4k+k2﹣6＝0，所以k2+4k＝2，所以2k2+8k+2018＝2（k2+4k）+2018＝2×2+2018＝2022．23．某店销售台灯，成本为每个30元，销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）未降价之前，该店每月台灯总盈利为6000 元；（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利（40﹣x）元，平均每月可售出[（40﹣x）×200+600] 个；（用含x的代数式进行表示）（3）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．【分析】（1）根据总盈利＝单件获利乘以销量列出代数式；（2）根据“当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个”列出代数式（3）设每个台灯的售价为x元．根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答；【解答】解：（1）依题意得：未降价之前，该店每月台灯总盈利为600×（40﹣30）＝6000元．故答案是：6000．（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利（x﹣30）元，平均每月可售出[（40﹣x）×200+600]个故答案为：（x﹣30），[（40﹣x）×200+600]．（2）设每个台灯的售价为x元．根据题意，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]＝8400，解得x1＝36（舍），x2＝37．当x＝36时，（40﹣36）×200+600＝1400＞1210；当x＝37时，（40﹣37）×200+600＝1200＜1210；答：每个台灯的售价为37元．24．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）当运动开始后1秒时，求△DPQ的面积；（2）当运动开始后秒时，试判断△DPQ的形状；（3）在运动过程中，存在这样的时刻，使△DPQ以PD为底的等腰三角形，求出运动时间．【分析】（1）根据运动时间求出PA，BQ，利用分割法求△DPQ的面积即可．（2）分别求出表示出DP2，PQ2，DQ2，进而得到PQ2+DQ2＝DP2，得出答案；（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则有QP＝QD，表示出QP2，QD2，列出等式，构建方程方程，求出方程的解，根据时间大于0秒小于6秒，即可解答．【解答】解：（1）经过1秒时，AP＝1，BQ＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝12cm，∴PB＝6﹣1＝5（cm），CQ＝BC﹣BQ＝12﹣2＝10（cm），∴S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△PBQ﹣S△DCQ＝72﹣×1×12﹣×6×2﹣×6×10＝30（cm2）．（2）当t＝秒时，AP＝，BP＝6﹣＝，BQ＝×2＝3，CQ＝12﹣3＝9，∴在Rt△DAP中，DP2＝DA2+AP2＝122+（）2＝，在Rt△DCQ中，DQ2＝DC2+CQ2＝62+92＝117，在Rt△QBP中，QP2＝QB2+BP2＝32+（）2＝，∴DQ2+QP2＝117+＝，∴DQ2+QP2＝DP2，∴△DPQ为直角三角形；（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则：QP＝QD，∵OP2＝PB2+BQ2＝（6﹣x）2+（2x）2，QD2＝QC2+CD2＝（12﹣2x）2+62，∴（12﹣2x）2+62＝（6﹣x）2+（2x）2，整理，得：x2+36x﹣144＝0，解得：x＝﹣18±6，∵0＜6﹣18＜6，∴运动开始后第6﹣18秒时，△DPQ是以PD为底的等腰三角形．25．如图，抛物线y＝与x轴交于A、B两点，△ABC为等边三角形，∠COD＝60°，且OD＝OC．（1）A点坐标为（2，0），B点坐标为（5，0）；（2）求证：点D在抛物线上；（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，若以M、N、O、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．【分析】（1）y＝，令y＝0，解得：x＝2或5，即可求解；（2）证明△OAC≌△DBC（SAS），则BD＝OA＝2，∠OBD＝60°，即可求解；（3）分OD是平行四边形的边、OD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解．【解答】解：（1）y＝，令y＝0，解得：x＝2或5，故答案为：（2，0）、（5，0）；（2）连接CD、BD，由（1）知：OA＝2，AB＝3，等边三角形ABC的边长为3，∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠CAB，∴∠CAO＝120°，∵∠COD＝60°，且OD＝OC，则△OCD为等边三角形，∴OD＝CD＝CO，则∠OCD＝60°＝∠OCA+∠ACD，而∠ACB＝60°＝∠ACD+∠DCB，∴∠OCA＝∠DCB，而CO＝CD，CA＝CB，∴△OAC≌△DBC（SAS），∴BD＝OA＝2，∠CBD＝∠CAO＝120°，而∠CBO＝60°，∴∠OBD＝60°，则y D＝﹣BD sin∠OBD＝﹣2×＝﹣，故点D的坐标为（4，﹣），当x＝4时，y＝＝﹣，故点D在抛物线上；（3）抛物线的对称轴为：x＝，设点M（，s），点N（m，n），n＝m2﹣m+5，①当OD是平行四边形的边时，当点N在对称轴右侧时，点O向右平移4个单位，向下平移个单位得到D，同样点M向右平移4个单位，向下平移个单位得到N，即：+4＝m，s﹣＝n，而n＝m2﹣m+5，解得：s＝则点M（，）；当点N在对称轴左侧时，同理可得：点M（，）；②当OD是平行四边形的对角线时，则4＝+m，﹣＝n+s，而n＝m2﹣m+5，解得：s＝，故点M的坐标为：（，）或（，）或（，）．新九年级（上）数学期中考试试题及答案一、填空题（每小题3分，共30分）．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列方程中，关于x的一元一次方程是（）A．x2+2x＝x2﹣1 B．+﹣2＝0C．ax2+bx+c＝0 D．（x+1）2＝2（x+1）3．平面直角坐标系中，与点（2，﹣3）关于原点中心对称的点是（）A．（﹣3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（2，3）4．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是x＝﹣1 D．与x轴有两个交点5．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表式是（）A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2 6．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则（）A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6 C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6 7．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36°8．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y29．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（﹣3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②④B．③④C．①③④D．①②二、填空题（每小题4分，共24分）11．把方程3x2＝5x+2化为一元二次方程的一般形式是．12．（a+2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则a所满足的条件是．13．抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为．14．已知实数x，y满足x2﹣6x++9＝0，则（x+y）2017的值是．15．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x 的方程为．16．如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置．设BC＝2，AC＝2，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：3（x﹣2）2＝2（2﹣x）．18．（6分）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．（1）按要求作图：△ABC关于原点中心对称的△A1B1C1．（2）△A1B1C1中各个顶点的坐标．19．（6分）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是直线x＝﹣1．（1）求m，n的值；（2）x取什么值时，y随x的增大而减小？四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）．（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2015年底的绿地面积为公顷，比2014年底增加了公顷；在2013年，2014年，2015年这三年中，绿地面积增加最多的是年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2017年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率．21．（7分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积．22．（7分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？24．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．25．（9分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．下列方程中，关于x的一元一次方程是（）A．x2+2x＝x2﹣1 B．+﹣2＝0C．ax2+bx+c＝0 D．（x+1）2＝2（x+1）【分析】根据一元一次方程的定义，一元二次方程的定义对各选项分析判断即可得解．解：A、化简可得2x＝﹣1，是一元一次方程，故本选项正确；B、未知数在分母上，不是整式方程，故本选项错误；C、没有对常数a、b不等于0的限制，所以不是一元一次方程，也不是一元二次方程，故本选项错误；D、整理得x2+2x+1＝2x+2，是一元二次方程，故本选项错误．故选：A．【点评】本题利用了一元二次方程的概念，一元一次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．3．平面直角坐标系中，与点（2，﹣3）关于原点中心对称的点是（）A．（﹣3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（2，3）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．解：点（2，﹣3）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选：C．【点评】本题考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），比较简单．4．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是x＝﹣1 D．与x轴有两个交点【分析】根据二次函数的性质对各开口方向、顶点坐标、对称轴以及与x轴交点的坐标进行判断即可．解：A、y＝（x﹣1）2+2，∵a＝1＞0，∴图象的开口向上，此选项错误；B、y＝（x﹣1）2+2顶点坐标是（1，2），此选项正确；C、对称轴是直线x＝1，此选项错误；D、（x﹣1）2+2＝0，（x﹣1）2＝﹣2，此方程无解，与x轴没有交点，故本选项错误．【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握利用顶点式求抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴与x轴交点的判定方法是解决问题的关键．5．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表式是（）A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2 【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．解：y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表式是y＝（x+3）2﹣2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则（）A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6 C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6 【分析】根据根与系数的关系得到2+（﹣3）＝﹣b，2×（﹣3）＝c，然后可分别计算出b、c的值．解：根据题意得2+（﹣3）＝﹣b，2×（﹣3）＝c，解得b＝1，c＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．7．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36°【分析】先求的分针旋转的速度为＝6（度/分钟），继而可得答案．解：∵分针旋转的速度为＝6（度/分钟），∴从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为6×5＝30（度），故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．8．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝3，图象开口向上；利用对称轴左侧y随x 的增大而减小，可判断y1＞y2，根据C（3，y3）在对称轴上可判断y3＜y2；于是y1＞y2＞。
辽宁省大连市甘井子区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
辽辽辽辽辽辽辽辽辽辽2019-2020辽辽辽辽辽辽辽辽辽辽辽辽辽辽一.选择题1.在美术字中，有些汉字是中心对称图形，下面的汉字不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键是熟知中心图形的定义.2.如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成7个大小相同的扇形，每个扇形上分别写有“中”、“国”、“梦”三个字指针的位置固定，转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是（）A. 47B.37C.17D.13【答案】B 【解析】【分析】直接利用概率公式计算求解即可．【详解】转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是37，故选：B．【点睛】本题考查概率的计算，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式.3.若x1，x2是一元二次方程5x2+x﹣5＝0的两根，则x1+x2的值是（）A. 15B.15- C. 1 D. ﹣1【答案】B 【解析】【分析】利用12bx xa+=-计算即可求解．【详解】根据题意得x1+x2＝﹣15．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知一元二次方程两根之和与两根之积与系数之间的关系.4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE＝110°，则∠B＝（）A. 80°B. 100°C. 110°D. 120°【答案】C【解析】【分析】直接利用圆内接四边形的性质分析得出答案．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，∠ADE＝110°，∴∠B＝∠ADE＝110°．故选：C．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质. 熟练掌握圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；.圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键.5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tan A＝（）A. 23B.32C.13D.13【答案】B 【解析】【分析】根据正切定义tanaAb=计算，得到答案．【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，3tan2BCAAC==，故选：B．【点睛】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键.6.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：根据表中数据，估计这位射击运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为（）A. 0.78 B. 0.79 C. 0.85 D. 0.80【答案】D【解析】【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．【详解】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.80附近，∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.80．故选：D．【点睛】本题考查利用频率估计概率，在相同条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数n之比,称为事件A在这n次试验中出现的频率．当试验次数n很大时,频率将稳定在一个常数附近．n 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小．这个常数称为这个事件的概率．7.如图，已知AE与BD相交于点C，连接AB、DE，下列所给的条件不能证明△ABC～△EDC的是（）A. ∠A＝∠EB. AC BCEC DC= C. AB∥DE D.AC BCDE DC=【答案】D【解析】【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．【详解】A、若∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项A不符合题意；B、若AC BCCE DC=，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项B不符合题意；C、若AB∥DE，可得∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项C不符合题意；D、若AC BCDE DC=，且∠ACB＝∠DCE，则不能证明△ABC～△EDC，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键，判定时需注意找对对应线段.8.150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是（）A. 1.5cmB. 3cmC. 6cmD. 12cm【答案】C【解析】分析】根据150°的圆心角所对的弧长是5πcm，代入弧长公式即可得到此弧所在圆的半径．的【详解】设此弧所在圆的半径为rcm ，∵150°圆心角所对的弧长是5πcm ， ∴1505180r ππ=， 解得，r ＝6，故选：C ． 【点睛】本题考查弧长的计算，熟知弧长的计算公式180n r l π=是解题的关键. 9.如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC ＝10m ，∠B ＝36°，D 为底边BC 的中点，则上弦AB 的长约为（ ）（结果保留小数点后一位sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）A. 3.6mB. 6.2mC. 8.5mD. 12.4m 【答案】B【解析】【分析】 先根据等腰三角形的性质得出BD ＝12BC ＝5m ，AD ⊥BC ，再由cos B ＝BD AB ，∠B ＝36°知AB ＝cos BD B ，代入计算可得． 【详解】∵△ABC 是等腰三角形，且BD ＝CD ， ∴BD ＝12BC ＝5m ，AD ⊥BC ， 在Rt △ABD 中，∵cos B ＝BD AB ，∠B ＝36°， ∴AB ＝cos BD B ＝5cos36︒≈6.2（m ），故选：B ． 【点睛】本题考查解直接三角形的应用，解题的关键是根据等腰三角形的性质构造出直角三角形Rt △ABD ，再利用三角函数求解. 10.已知二次函数y ＝﹣2x 2﹣4x +1，当﹣3≤x ≤2时，则函数值y 的最小值为（ ） A. ﹣15B. ﹣5C. 1D. 3【答案】A 的先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后在根据二次函数的性质和x的取值范围，即可解答本题．【详解】∵二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，∴当﹣3≤x≤2时，x＝2时，该函数取得最小值，此时y＝﹣15，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的最值，解题的关键是将二次函数的一般式利用配方法化成顶点式，求最值时要注意自变量的取值范围.二．填空题11.计算：sin30°=_____⊙【答案】1 2【解析】【分析】根据sin30°=12直接解答即可．【详解】sin30°=1 2 .【点睛】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练的掌握特殊角的三角函数值. 12.关于x的一元二次方程x2+nx﹣12＝0的一个解为x＝3，则n＝_____．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝3代入x2+nx﹣12＝0中可得到关于n的方程，然后解此方程即可．【详解】把x＝3代入x2+nx﹣12＝0，得9+3n﹣12＝0，解得n＝1．故答案是：1．【点睛】本题考查一元二次方程解得概念，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.13.如图，⊙O中，OA⊥BC，且∠AOB＝50°，则∠ADC＝_____度．【分析】根据垂径定理得»»AC AB=，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠ADC＝1 2∠AOB＝25°．【详解】∵OA⊥BC，∴弧AC＝弧AB，∴∠ADC＝12∠AOB＝25°．故答案为25【点睛】本题考查垂径定理，根据垂径定理得»»AC AB=，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键.14.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是_____．【答案】1 3【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】根据题意，画树状图如下：共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，所以两次摸出的小球标号相同的概率是31 =93⊙故答案为1 3⊙【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．错因分析中等难度题.失分的原因有两个：（1）没有掌握放回型和不放回型概率计算的区别；（2）未找全标号相同的可能结果.15.已知抛物线的对称轴是y轴，且经过点（1，3）、（2，6），则该抛物线的解析式为_____．【答案】y＝x2+2【解析】【分析】根据抛物线的对称轴是y轴，得到b＝0，设出适当的表达式，把点（1，3）、（2，6）代入设出的表达式中，求出a、c的值，即可确定出抛物线的表达式．【详解】∵抛物线的对称轴是y轴，∴设此抛物线的表达式是y＝ax2+c，把点（1，3）、（2，6）代入得：346a ca c+=⎧⎨+=⎩，解得：a＝1，c＝2，则此抛物线的表达式是y＝x2+2，故答案为：y＝x2+2．【点睛】本题考查代定系数法求函数的解析式，根据抛物线的对称轴是y轴，得到b＝0，再设抛物线的表达式是y＝ax2+c是解题的关键.16.如图，△ABC中，AB＝6，BC＝9．如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边BA向点A 运动，此时直线DE∥BC，交AC于点E．记x秒时DE的长度为y，写出y关于x的函数解析式_____（不用写自变量取值范围）．【答案】y＝﹣3x+9【解析】【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质，可得出y关于x的函数解析式．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE ADBC AB=，即6296y x-=，∴y＝﹣3x+9．故答案为：y＝﹣3x+9．【点睛】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用相似三角形的性质得出DE ADBC AB=是关键.三．解答题17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．【答案】sin A=513，cos A=1213，tan A=512．【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答即可．【详解】由勾股定理得，13AB===，则5sin13BCAAB==，12cos13ACAAB==，5tan12BCAAC==．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长.18.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：四边形AEOD 是正方形．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先根据已知条件判定四边形AEOD为矩形，再利用垂径定理证明邻边相等即可证明四边形AEOD为正方形．【详解】证明：∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝12 AB．同理AE＝CE＝12 AC．∵AB＝AC，∴AD＝AE．∵OD⊥ABOE⊥ACAB⊥AC，∴∠OEA＝∠A＝∠ODA＝90°，∴四边形ADOE为矩形．又∵AD＝AE，∴矩形ADOE为正方形．【点睛】本题考查正方形的判定，解题的关键是先根据已知条件判定四边形AEOD为矩形.19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣4）、B（0，﹣4）、C（1，﹣2）．（1）△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1，不用画图，请直接写出△A1B1C1的顶点坐标：A1，B1，C1；（2）在图中画出△ABC关于原点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，请直接写出△A2B2C2的顶点坐标：A2，B2，C2．【答案】（1）（2，4），（0，4），（﹣1，2）；（2）作图见解析；（4，﹣2），（4，0），（2，1）．【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的概念求解可得；（2）利用旋转变换的定义和性质作出对应点，再首尾顺次连接即可得．【详解】（1）△A1B1C1的顶点坐标：A1（2，4），B1（0，4），C1（﹣1，2），故答案为：（2，4），（0，4），（﹣1，2）．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（4，﹣2），B2（4，0），C2（2，1），故答案为：（4，﹣2），（4，0），（2，1）．【点睛】本题考查中心对称图形和旋转变换，作旋转变换时需注意旋转中心和旋转角，分清逆时针和顺时针旋转.20.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．（1）求证：△ADE∽△EFC；（2）若AD＝4，DE＝6，AEEC＝2，求EF和FC的值．【答案】（1）证明见解析；（2）EF＝2，FC＝3．【解析】【分析】（1）由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，由EF∥AB可得出△EFC∽△ABC，再利用相似于同一三角形的两三角形相似可证出△ADE∽△EFC；（2）由△ADE∽△EFC，利用相似三角形的性质可求出EF和FC的值．【详解】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC；∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC．（2）∵△ADE∽△EFC，∴EF EC FCAD AE DE==，即1426EF FC==，∴EF＝2，FC＝3．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行线截得的相似三角形模型是解题的关键. 21.如图，要设计一幅宽为20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条宽度相等，如果要使余下的图案面积为504cm2，彩条的宽应是多少cm．【答案】1cm．【解析】【分析】设每个彩条的宽度为xcm，根据剩余面积为504cm2，建立方程求出其解即可．【详解】设每个彩条的宽度为xcm，由题意，得（30﹣2x）（20﹣2x）＝504，解得：x1＝24（舍去），x2＝1．答：每个彩条的宽度为1cm．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据剩余面积=总面积-彩条面积列出方程.22.如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，分别连接AB，BC，CD，DA．（1）求四边形ABCD的面积；（2）当y＞0时，自变量x的取值范围是．【答案】（1）4；（2）x＞3或x＜1．【解析】【分析】（1）四边形ABCD的面积＝12×BD×（x C﹣x A）＝12×2×（3+1）＝4；（2）从图象可以看出，当y＞0时，自变量x的取值范围是：x＞3或x＜1，即可求解．【详解】（1）函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，则点B、D、C、A的坐标分别为：（3，0）、（1，0）、（0，3）、（2，﹣1）；四边形ABCD的面积＝12×BD×（x C﹣x A）＝12×2×（3+1）＝4；（2）从图象可以看出，当y＞0时，自变量x的取值范围是：x＞3或x＜1，故答案为：x＞3或x＜1．【点睛】本题考查二次函数的图形和性质，解题时需注意将四边形的面积转化为三角形的面积进行计算，四边形ABCD的面积＝12×BD×（x C﹣x A）.23.如图，点A、B、C、D是⊙O上的四个点，AD是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线垂直于点E，连接AC、BD相交于点F．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若⊙O的半径为72，AC＝6，求DF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】【分析】（1）连接OC，先证明OC∥AE，从而得∠OCA＝∠EAC，再利用OA＝OC得∠OAC＝∠OCA，等量代换即可证得答案；（2）设OC交BD于点G，连接DC，先证明△ACD∽△AEC，从而利用相似三角形的性质解得CE=，再利用DC DGDF DC=＝cos∠FDC，代入相关线段的长可求得DF．【详解】（1）证明：如图，连接OC∵过点C的切线与AB的延长线垂直于点E，∴OC ⊥CE ，CE ⊥AE∴OC ∥AE∴∠OCA ＝∠EAC∵OA ＝OC∴∠OAC ＝∠OCA∴∠OAC ＝∠EAC ，即AC 平分∠BAD ；（2）如图，设OC 交BD 于点G ，连接DC∵AD 为直径∴∠ACD ＝90°，∠ABD ＝90°∵CE ⊥AE∴DB ∥CE∵OC ⊥CE∴OC ⊥BD∴DG ＝BG∵∠OAC ＝∠EAC ，∠ACD ＝90°＝∠E∴△ACD ∽△AEC ∴CE CD AC AD= ∵⊙O 的半径为72，AC ＝6∴AD ＝7，CD ==∴67CE =∴7CE =易得四边形BECG 为矩形∴DG ＝BG＝7CE =∵DC DG DF DC=＝cos ∠FDC=解得：DF = ∴DF. 【点睛】本题考查相似三角形的性质，借助辅助线，判定△ACD ∽△AEC ，再根据相似三角形的性质求解. 24.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝13，BE ＝4，点F 从点B 出发，在折线段BA ﹣AD 上运动，连接EF ，当EF ⊥BC 时停止运动，过点E 作EG ⊥EF ，交矩形的边于点G ，连接FG ．设点F 运动的路程为x ，△EFG 的面积为S ．（1）当点F 与点A 重合时，点G 恰好到达点D ，此时x ＝ ，当EF ⊥BC 时，x ＝ ； （2）求S 关于x 函数解析式，并直接写出自变量x 的取值范围；（3）当S ＝15时，求此时x 的值．【答案】（1）6；10；（2）S ＝34x 2+9x +12（0＜x ≤6）；S ＝34x 2﹣21x +102（6＜x ≤10）；（3）﹣【解析】【分析】（1）当点F 与点A 重合时，x ＝AB ＝6；当EF ⊥BC 时，AF ＝BE ＝4，x ＝AB +AF ＝6+4＝10；（2）分两种情况：⊙当点F 在AB 上时，作GH ⊥BC 于H ，则四边形ABHG 是矩形，证明△EFB ∽△GEH ，得出BF BE EH GH =，求出EH ＝32x ，得出AG ＝BH ＝BE +EH ＝4+32x ，由梯形面积公式和三角形面积公式即可得出答案；的⊙当点F在AD上时，作FM⊥BC于M，则FM＝AB＝6，AF＝BM，同⊙得△EFM∽△GEC，得出EM FM GC EC=，求出GC＝15﹣32x，得出DG＝CD﹣CG＝32x﹣9，EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，由梯形面积公式和三角形面积公式即可得出答案；（3）当34x2+9x+12＝15时，当34x2﹣21x+102＝15时，分别解方程即可．【详解】（1）当点F与点A重合时，x＝AB＝6；当EF⊥BC时，AF＝BE＝4，x＝AB+AF＝6+4＝10；故答案为：6；10；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝13，分两种情况：⊙当点F在AB上时，如图1所示：作GH⊥BC于H，则四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，AG＝BH，∠GHE＝∠B＝90°，∴∠EGH+∠GEH＝90°，∵EG⊥EF，∴∠FEB+∠GEH＝90°，∴∠FEB＝∠EGH，∴△EFB∽△GEH，∴BF BFEH GH=，即4263xEH==，∴EH＝32 x，∴AG＝BH＝BE+EH＝4+32 x，∴△EFG的面积为S＝梯形ABEG的面积﹣△EFB的面积﹣△AGF的面积＝12（4+4+32x）×6﹣12×4x﹣1 2（6﹣x）（4+32x）＝34x2+9x+12，即S＝34x2+9x+12（0＜x≤6）；⊙当点F在AD上时，如图2所示：作FM⊥BC于M，则FM＝AB＝6，AF＝BM，同⊙得：△EFM∽△GEC，∴EM FMGC EC=，即4(6)6134xGC--=-，解得：GC＝15﹣32 x，∴DG＝CD﹣CG＝32x﹣9，∵EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，∴△EFG的面积为S＝梯形CDFE的面积﹣△CEG的面积﹣△DFG的面积＝12（9+19﹣x）×6﹣12×9×（15﹣32x）﹣12（19﹣x）（32x﹣9）＝34x2﹣21x+102即S＝34x2﹣21x+102（6＜x≤10）；（3）当34x2+9x+12＝15时，解得：x＝﹣6±，∴x＝﹣6+当34x2﹣21x+102＝15时，解得：x ＝14±；∴当S ＝15时，此时x 的值为﹣6+【点睛】本题考查二次函数的动点问题，题目较难，解题时需注意分类讨论，避免漏解.25.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝kAC ，点D 在AC 上，连接BD ．（1）如图1，当k ＝1时，BD 的延长线垂直于AE ，垂足为E ，延长BC 、AE 交于点F ．求证：CD ＝CF ； （2）过点C 作CG ⊥BD ，垂足为G ，连接AG 并延长交BC 于点H ．⊙如图2，若CH ＝25CD ，探究线段AG 与GH 的数量关系（用含k 的代数式表示），并证明； ⊙如图3，若点D 是AC 的中点，直接写出cos ∠CGH 的值（用含k 的代数式表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）①52AG GH k =，证明见解析；②cos ∠． 【解析】【分析】（1）只要证明△ACF ≌△BCD （ASA ），即可推出CF ＝CD ．（2）结论：52AG GH K=．设CD ＝5a ，CH ＝2a ，利用相似三角形的性质求出AM ，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．（3）如图3中，设AC ＝m ，则BC ＝km ，AB =m ，想办法证明∠CGH ＝∠ABC即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠ACB ＝90°，BE ⊥AF∴∠ACB ＝∠ACF ＝∠AEB ＝90°∵∠ADE+∠EAD＝∠BDC+∠DBC＝90°，∠ADE＝∠BDC，∴∠CAF＝∠DBC，∵BC＝AC，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴CF＝CD．（2）解：结论：52AGGH K=．理由：如图2中，作AM⊥AC交CG的延长线于M．∵CG⊥BD，MA⊥AC，∴∠CAM＝∠CGD＝∠BCD＝90°，∴∠ACM+∠CDG＝90°，∠ACM+∠M＝90°，∴∠CDB＝∠M，∴△BCD∽△CAM，∴BC CDAC AM=＝k，∵CH＝25CD，设CD＝5a，CH＝2a，∴AM＝5ak，∵AM∥CH，∴52AG AMGH CH K==，∴52AGGH K=．（3）解：如图3中，设AC＝m，则BC＝km，AB==m，∵∠DCB＝90°，CG⊥BD，∴△DCG ∽△DBC ，∴DC 2＝DG •DB ，∵AD ＝DC ，∴AD 2＝DG •DB ， ∴AD DB DG AD=， ∵∠ADG ＝∠BDA ，∴△ADG ∽△BDA ，∴∠DAG ＝∠DBA ，∵∠AGD ＝∠GAB +∠DBA ＝∠GAB +∠DAG ＝∠CAB ，∵∠AGD +∠CGH ＝90°，∠CAB +∠ABC ＝90°，∴∠CGH ＝∠ABC ，∴BC AB cos CGH cos ABC ==∠∠＝＝. 【点睛】本题为四边形综合探究题，考查相似三角形、三角函数等知识，解题时注意相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理的应用.26.已知抛物线y ＝ax 2+2x ﹣32（a ≠0）与y 轴交于点A ，与x 轴的一个交点为B ． （1）⊙请直接写出点A 的坐标 ；⊙当抛物线的对称轴为直线x ＝﹣4时，请直接写出a ＝ ；（2）若点B 为（3，0），当m 2+2m +3≤x ≤m 2+2m +5，且am ＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣152，求m 的值；（3）已知点C （﹣5，﹣3）和点D （5，1），若抛物线与线段CD 有两个不同的交点，求a 的取值范围．【答案】（1）①3(0,)2-；②14；（2）1m =；（3）a ＞1750或a ＜﹣3． 【解析】【分析】（1）⊙令x ＝0，由抛物线的解析式求出y 的值，便可得A 点坐标；⊙根据抛物线的对称轴公式列出a 的方程，便可求出a 的值；（2）把B 点坐标代入抛物线的解析式，便可求得a 的值，再结合已知条件am ＜0，得m 的取值范围，再根据二次函数的性质结合条件当m 2+2m +3≤x ≤m 2+2m +5时，抛物线最低点的纵坐标为152-,列出m 的方程，求得m 的值，进而得出m 的准确值；（3）用待定系数法求出CD 的解析式，再求出抛物线的对称轴1x a=-，进而分两种情况：当a ＞0时，抛物线的顶点在y 轴左边，要使抛物线与线段CD 有两个不同的交点，则C 、D 两必须在抛物线上方，顶点在CD 下方，根据这一条件列出a 不等式组，进行解答；当a ＜0时，抛物线的顶点在y 轴的右边，要使抛物线与线段CD 有两个不同的交点，则C 、D 两必须在抛物线下方，抛物线的顶点必须在CD 上方，据此列出a 的不等式组进行解答．【详解】（1）①令x ＝0，得32y =-， ∴3(0,)2A -, 故答案为：3(0,)2-；⊙∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣4， ∴ 242a-=-， ∴a ＝14， 故答案为：14； （2）∵点B 为（3，0），∴9a +6﹣32＝0， ∴a ＝﹣12， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =+-， ∴对称轴为x ＝﹣2，∵am ＜0，∴m ＞0，∴m 2+2m +3＞3＞﹣2， ∵当m 2+2m +3≤x ≤m 2+2m +5时，y 随x 的增大而减小，∵当m 2+2m +3≤x ≤m 2+2m +5，且am ＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣152， ∴ 2221315(25)2(25)222m m m m -+++++-=-， 整理得（m 2+2m +5）2﹣4（m 2+2m +5）﹣12＝0，解得，m 2+2m +5＝6，或m 2+2m +5＝﹣2（△＜0，无解），∴1m =-∵m ＞0，∴1m =；（3）设直线CD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），∵点C （﹣5，﹣3）和点D （5，1），∴ 5351k b k b -+=-⎧⎨+=⎩， ∴251k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴CD 的解析式为215y x =-， ∵y ＝ax 2+2x ﹣32（a ≠0） ∴对称轴为1x a=-， ⊙当a ＞0时，10a-＜，则抛物线的顶点在y 轴左侧， ∵抛物线与线段CD 有两个不同的交点， ∴23251032325101211321()2()()125a a a a a a ⎧---⎪⎪⎪+-⎨⎪⎪-+----⎪⎩＞＞＜， ∴1750a ＞； ⊙当a ＜0时，10a -＞，则抛物线的顶点在y 轴左侧，∵抛物线与线段CD 有两个不同的交点， ∴23251032325101211321()2()()125a a a a a a ⎧---⎪⎪⎪+-⎨⎪⎪-+----⎪⎩＜＜＞， ∴a ＜﹣3，综上，1750a＞或a＜﹣3．【点睛】本题为二次函数综合题，难度较大，解题时需注意用待定系数法求出CD的解析式，再求出抛物线的对称轴1xa=-，要分两种情况进行讨论.。
2019-2020学年辽宁省大连市嘉汇教育集团名校联盟九年级(上)期中数学试卷(原卷+解析版)
2019-2020学年辽宁省大连市嘉汇教育集团名校联盟九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确） 1．（3分）下列图形是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）一元二次方程2420x x +-=配方后化为( ) A ．2(4)4x +=B ．2(2)2x -=C ．2(2)2x +=D ．2(2)6x +=3．（3分）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点(3,4)A 逆时针旋转90︒，得到点B ，则点B 的坐标为( ) A ．(4,3)-B ．(4,3)-C ．(3,4)-D ．(3,4)--4．（3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（3分）已知关于x 的一元二次方程2210x x k -+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．2k …B ．0k …C ．2k <D ．0k <6．（3分）如图．利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2m ，测得1.6AB m =．12.4BC m =．则建筑物CD 的高是( )A ．9.3mB ．10.5mC ．12.4mD ．14m7．（3分）设点1(1,)y -，2(2,)y ，3(3,)y 是抛物线2y x a =-+上的三点，则1y 、2y 、3y 的大小关系为( ) A ．321y y y >>B ．132y y y >>C ．312y y y >>D ．123y y y >>8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,4)A -，(8,2)B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO ∆缩小，则点A 的对应点A '的坐标是( )A ．(1,2)-B ．(9,18)-C ．(9,18)-或(9,18)-D ．(1,2)-或(1,2)-9．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件72万个．设该厂八九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是( ) A ．2500(1)72x += B ．50(1)72x +=C ．250(1)72x +=D ．50(12)72x +=10．（3分）当21x -剟时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为()A ．74-B C ．2或D ．274-二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若ABC ∆与△111A B C 相似，且相似比为1:3，则ABC ∆与△111A B C 的周长比为 ． 12．（3分）若一元二次方程260x x c -+=有一个根为1，则c 的值为 ．13．（3分）如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到EDC ∆．若点A ，D ，E 在同一条直线上，20ACB ∠=︒，则ADC ∠的度数是 ．14．（3分）如图，OAB∆与OCD∆是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，90OCD∠=︒，60AOB∠=︒，若点B的坐标是(6,0)，则点C的坐标是．15．（3分）如图，某水渠的横截面呈抛物线形，当水面宽8m时，水深4m，当水面下降1m 时，水面宽为m．16．（3分）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若3AE ED=，DF CF=，则AGGF的值是．三、解答题（本题共39分，17、18、19题各9分，20题12分）17．（9分）解方程：220x-=18．（9分）已知二次函数的图象与x轴交于(2,0)A-、(4,0)B两点，且函数经过点(3,10)．（1）求二次函数的解析式；（2） 设这个二次函数的顶点为P ，求ABP ∆的面积； （3） 当x 为何值时，0y …． （请 直接写出结果）19．（9分）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，12AD =，点E 在AD 边上，且8AE =，EF BE ⊥ 交CD 于点F ．（1）求证：ABE DEF ∆∆∽． （2）求CF 的长．20．（12分）某单位要在临街的围墙外靠墙摆设一长方形花圃景观，花重一边靠墙，墙长18米，外围用40米的栅栏围成．如图所示，设花圃的BC 边长为x 米，花圃的面积为y 平方米，请你写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围，当x 为何值时，花圃的面积y 最大？四、解答题（本题共28分，21、22题各9分，23题10分） 21．（9分）如图，AB AE AD AC =，且12∠=∠． 求证：（1）ABC ADE ∆∆∽； （2）1DEB ∠=∠．22．（9分）【思考】如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有12b x x a +=-，12cx x a=，这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解决问题 【应用】（1）若1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，则12x x += 12x x = ，求1211x x +的值． （2）关于x 的一元二次方程2(3)04kkx k x +-+=有两个不相等的实数根为1x ，2x ，且满足121272()424x x x x k -++=-，请考虑k 的取值范围前提下，求出k 的值23．（10分）如图，二次函数212y x bx c =++的图象交x 轴于A 、D 两点并经过B 点，已知A 点坐标是(2,0)，B 点的坐标是(8,6)．（1）求二次函数的解析式；（2）该二次函数的对称轴交x 轴于C 点，连接BC ，并延长BC 交抛物线于E 点，连接BD ，DE ，求BDE ∆的面积；（3）抛物线上有一个动点P ，与A ，D 两点构成ADP ∆，是否存在2ADP BCD S S ∆∆=？若存在请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．五、解答题（本题共35分，24题11分，25、26题各12分）24．（11分）如图1，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，且2CD =，连接AD 将Rt ACD ∆沿射线CB 方向平移，得到Rt △A C D '''，C '到达B 点时，停止平移，设平移距离为x ，△A C D '''与ABC ∆重合面积为S ，且x 与S 的函数关系式如图2所示，(06x <…，与6x n <…所对应的解析式不同）．（1）m = ，n = ．（2）写出S 与x 的函数关系式，直接写出x 对应的取值范围．25．（12分）阅读下面材料小胖同学遇到这样一个问题：如图1，ABC ∆中，点D 在BC 上，点F 是CA 延长线上的点，连接DF 交AB 于G ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．若2A G D C ∠=∠，DF AB =，求CEAF的值．小胖通过计算角度发现2BGD CDE ∠=∠，于是作出点C 关于DE 的对称点C '，使得CDC BGD∠'=∠，进而得出C DF B ∠'=∠，接着截取BK DC =，得出一组全等三角形． （1）请沿着小胖的思路继续完成此题的解答过程： （2）参考小胖的解题方法完成下面问题：如图3，在ABC ∆中，2ACB B ∠=∠，2BD CD =，BAD CED ∠=∠，探索AE 、CE 、CD 三条线段的数量关系．26．（12分）抛物线2y x bx c =++与直线3y x =-交于点A ，点A 横坐标为1n -，其中1n >，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒后形成OB ，点B 恰好在抛物线上． （1）求抛物线的解析式（用含n 的代数式表示）；（2）若抛物线与直线25y x n =-+-交于C ，D 两点，且CD =，则m 值为多少？ （3）若n 为整数，当在x 轴下方的抛物线上恰好有5个整数点（横坐标为整数），求出n 值．参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确） 1．（3分）下列图形是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【解答】解：A 、不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D ．【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（3分）一元二次方程2420x x +-=配方后化为( ) A ．2(4)4x +=B ．2(2)2x -=C ．2(2)2x +=D ．2(2)6x +=【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【解答】解：242x x +=， 2446x x ++=，2(2)6x +=． 故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成2()x m n +=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．3．（3分）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点(3,4)A 逆时针旋转90︒，得到点B ，则点B 的坐标为( ) A ．(4,3)-B ．(4,3)-C ．(3,4)-D ．(3,4)--【分析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点B 的坐标即可． 【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为(4,3)-．故选：B ．【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．4．（3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据函数的图象确定顶点的位置即可．【解答】解：观察图象知：对称轴在y 轴的右侧，开口向上，与坐标轴有2个交点，顶点在第四象限， 故选：D ．【点评】考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，比较直观的能看出结果，比较简单．5．（3分）已知关于x 的一元二次方程2210x x k -+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．2k …B ．0k …C ．2k <D ．0k <【分析】利用判别式的意义得到△2(2)4(1)0k =--->，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得△2(2)4(1)0k =--->， 解得2k <． 故选：C ．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实数根；当△0<时，方程无实数根．6．（3分）如图．利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2m ，测得1.6AB m =．12.4BC m =．则建筑物CD 的高是( )A ．9.3mB ．10.5mC ．12.4mD ．14m【分析】先证明ABE ACD ∆∆∽，则利用相似三角形的性质得 1.6 1.21.612.4CD=+，然后利用比例性质求出CD 即可． 【解答】解：//EB CD ， ABE ACD ∴∆∆∽，∴AB BE AC CD =，即 1.6 1.21.612.4CD=+， 10.5CD ∴=（米)．故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．7．（3分）设点1(1,)y -，2(2,)y ，3(3,)y 是抛物线2y x a =-+上的三点，则1y 、2y 、3y 的大小关系为( ) A ．321y y y >>B ．132y y y >>C ．312y y y >>D ．123y y y >>【分析】由题意可得对称轴为y 轴，则1(1,)y -关于y 轴的对称点为1(1,)y ，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【解答】解：抛物线2y x a =-+∴对称轴为y 轴1(1,)y ∴-关于对称轴y 轴对称点为1(1,)y10a =-<∴当0x >时，y 随x 的增大而减小123<< 123y y y ∴>>故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,4)A -，(8,2)B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO ∆缩小，则点A 的对应点A '的坐标是( )A ．(1,2)-B ．(9,18)-C ．(9,18)-或(9,18)-D ．(1,2)-或(1,2)-【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：点(2,4)A -，(8,2)B --，以原点O 为位似中心，相似比为12，把ABO ∆缩小， 则点A 的对应点A '的坐标是1(22-⨯，14)2⨯或1(2()2-⨯-，14())2⨯-，即(1,2)-或(1,2)-，故选：D ．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．9．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件72万个．设该厂八九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是( ) A ．2500(1)72x += B ．50(1)72x +=C ．250(1)72x +=D ．50(12)72x +=【分析】设该厂八九月份平均每月的增长率为x ，根据该厂7、9月份生产零件的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设该厂八九月份平均每月的增长率为x ， 根据题意得：250(1)72x +=． 故选：C ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（3分）当21x -剟时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为()A ．74-B C ．2或D ．274-【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可． 【解答】解：二次函数的对称轴为直线x m =， ①2m <-时，2x =-时二次函数有最大值， 此时22(2)14m m ---++=，解得74m =-，与2m <-矛盾，故m 值不存在；②当21m -剟时，x m =时，二次函数有最大值， 此时，214m +=，解得m =，m （舍去）； ③当1m >时，1x =时二次函数有最大值， 此时，22(1)14m m --++=， 解得2m =，综上所述，m 的值为2或 故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若ABC ∆与△111A B C 相似，且相似比为1:3，则ABC ∆与△111A B C 的周长比为 1:3 ．【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解决问题即可． 【解答】解：ABC ∆∽△A B C '''，且相似比为1:3， ABC ∴∆与△A B C '''的周长比为1:3，故答案为：1:3．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 12．（3分）若一元二次方程260x x c -+=有一个根为1，则c 的值为 5 ． 【分析】将1x =代入题目中的方程，即可求得c 的值，本题得以解决． 【解答】解：一元二次方程260x x c -+=有一个根为1， 21610c ∴-⨯+=，解得5c =． 故答案为：5．【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解得含义． 13．（3分）如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到EDC ∆．若点A ，D ，E 在同一条直线上，20ACB ∠=︒，则ADC ∠的度数是 65︒ ．【分析】根据旋转的性质求出E ∠和DCE ∠度数，利用三角形外角的性质ADC DCE E ∠=∠+∠即可．【解答】解：根据旋转的性质可知20DCE ACB ∠=∠=︒， AC EC =，90ACE ∠=︒， 45E ∴∠=︒．204565ADC DCE E ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为65︒．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题关键是找准旋转角，利用旋转的性质等量转化角或线段．14．（3分）如图，OAB ∆与OCD ∆是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为3:4，90OCD ∠=︒，60AOB ∠=︒，若点B 的坐标是(6,0)，则点C 的坐标是 (2， ．【分析】根据题意得出D 点坐标，再解直角三角形进而得出答案． 【解答】解：分别过A 、C 作AE OB ⊥，CF OB ⊥， 90OCD ∠=︒，60AOB ∠=︒，30ABO CDO ∴∠=∠=︒，30OCF ∠=︒，OAB ∆与OCD ∆是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为3:4，点B 的坐标是(6,0)，(8,0)D ∴，则8DO =，故4OC =，则2FO =，cos304CF CO =︒==故点C 的坐标是：(2，．故答案为：(2，．【点评】此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键． 15．（3分）如图，某水渠的横截面呈抛物线形，当水面宽8m 时，水深4m ，当水面下降1m时，水面宽为 ．【分析】直接建立平面直角坐标系求出函数解析式，进而得出答案．【解答】解：如图所示：建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：2y ax =，(4,4)A ，故416a =， 解得：14a =， 则214y x =， 当水面下降1m 时，3y =， 则2134x =，解得：x =±故当水面下降1m 时，水面宽为．故答案为：【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出函数函数解析式是解题关键． 16．（3分）如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若3AE ED =，DF CF =，则AG GF 的值是 65．【分析】如图，作//FN AD ，交AB 于N ，交BE 于M ．设DE a =，则3AE a =，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，//FN AD ，交AB 于N ，交BE 于M ．四边形ABCD 是正方形， //AB CD ∴，//FN AD ，∴四边形ANFD 是平行四边形，90D ∠=︒，∴四边形ANFD 是矩形，3AE DE =，设DE a =，则3AE a =，4AD AB CD FN a ====，2AN DF a ==， AN BN =，//MN AE ，BM ME ∴=，32MN a ∴=，52FM a ∴=，//AE FM ，∴36552AG AE a GF FM a ===， 故答案为：65． 【点评】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题． 三、解答题（本题共39分，17、18、19题各9分，20题12分） 17．（9分）解方程：220x -=【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：1a =，b =，2c =-，∴△28100=+=>，x ∴=【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18．（9分）已知二次函数的图象与x 轴交于(2,0)A -、(4,0)B 两点， 且函数经过点(3,10)．（1） 求二次函数的解析式；（2） 设这个二次函数的顶点为P ，求ABP ∆的面积； （3） 当x 为何值时，0y …． （请 直接写出结果）【分析】（1） 设交点式(2)(4)y a x x =+-，把(3,10)代入求出a 即可得到抛物线解析式；（2） 把一般式配成顶点式可得到顶点P 的坐标， 然后根据三角形面积公式计算ABP ∆的面积；（3） 利用函数图象， 写出抛物线在x 轴下方的部分所对应的自变量的范围即可 ．【解答】解： （1） 设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-， 把(3,10)代入得5(1)10a ⨯⨯-=，解得2a =-， 所以抛物线解析式为2(2)(4)y x x =-+-， 即22416y x x =-++； （2）2224162(1)18y x x x =-++=--+，∴顶点P 的坐标为(1,18)，ABP ∴∆的面积1(42)18542=⨯+⨯=；（3）2x -…或4x …． 【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点： 把求二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程 ．也考查了二次函数的性质 ．19．（9分）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，12AD =，点E 在AD 边上，且8AE =，EF BE ⊥交CD 于点F ．（1）求证：ABE DEF ∆∆∽． （2）求CF 的长．【分析】（1）由同角的余角相等可得出DEF ABE ∠=∠，结合90A D ∠=∠=︒，即可证出ABE DEF ∆∆∽；（2）由AD 、AE 的长度可得出DE 的长度，根据相似三角形的性质可求出DF 的长度，将其代入CF CD DF =-即可求出CF 的长． 【解答】（1）证明：EF BE ⊥， 90EFB ∴∠=︒， 90DEF AEB ∴∠+∠=︒．四边形ABCD 为矩形， 90A D ∴∠=∠=︒， 90AEB ABE ∴∠+∠=︒，DEF ABE ∴∠=∠， ABE DEF ∴∆∆∽．（2）解：12AD =，8AE =，4DE ∴=． ABE DEF ∆∆∽，∴DF DEAE AB=， 163DF ∴=， 162633CF CD DF ∴=-=-=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角相等找出DEF ABE ∠=∠；（2）利用相似三角形的性质求出DF 的长度． 20．（12分）某单位要在临街的围墙外靠墙摆设一长方形花圃景观，花重一边靠墙，墙长18米，外围用40米的栅栏围成．如图所示，设花圃的BC 边长为x 米，花圃的面积为y 平方米，请你写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围，当x 为何值时，花圃的面积y 最大？【分析】设花圃的宽BC 为x 米，则花圃的长AB 为402x -，则花圃的长⨯宽y =，即可得出答案．【解答】解：设花圃的墙长x 米，花圃面积为y 平方米， 据题意，得22(402)2402(10)200y x x x x x =-=-+=--+， 墙长18m ，040218x ∴<-…， 1120x ∴<…，故当11x =时，y 最大为：198平方米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出花圃的长和宽是解题关键． 四、解答题（本题共28分，21、22题各9分，23题10分） 21．（9分）如图，AB AE AD AC =，且12∠=∠． 求证：（1）ABC ADE ∆∆∽； （2）1DEB ∠=∠．【分析】（1）由已知条件得到：BAC DAE ∠=∠，AB ACAD AE=．则由“两边及夹角法”证得结论；（2）由ABC ADE ∆∆∽可得D B ∠=∠，根据1D B DEB ∠+∠=∠+∠，则结论得证． 【解答】证明：（1）如图，AB AE AD AC =，∴AB ACAD AE=． 又12∠=∠，21BAE BAE ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，ABC ADE ∴∆∆∽．（2）ABC ADE ∆∆∽，D B ∴∠=∠，1D B DEB ∠+∠=∠+∠， 1DEB ∴∠=∠．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 22．（9分）【思考】如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有12b x x a +=-，12cx x a=，这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解决问题 【应用】（1）若1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，则12x x += 1- 12x x = ，求1211x x +的值． （2）关于x 的一元二次方程2(3)04kkx k x +-+=有两个不相等的实数根为1x ，2x ，且满足121272()424x x x x k -++=-，请考虑k 的取值范围前提下，求出k 的值【分析】（1）根据题意给出的方法即可求出答案；（2）根据12b x x a +=-，12c x x a =以及121272()424x x x x k -++=-可列出方程求出k 的值．【解答】解：（1）由题意可知：121x x +=-，121x x =-，∴原式12121x x x x +==； （2）由题意可可知：△2(3)46904kk k k =--⨯=-+>， 32k ∴<， 123k x x k-+=-，1214x x =，且121272()424x x x x k -++=-，∴13724244k k k -+⨯+=-， 1k ∴=或3k =， 332>， 1k ∴=．故答案为：（1）1-，1-；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解12b x x a +=-，12cx x a=以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型． 23．（10分）如图，二次函数212y x bx c =++的图象交x 轴于A 、D 两点并经过B 点，已知A 点坐标是(2,0)，B 点的坐标是(8,6)．（1）求二次函数的解析式；（2）该二次函数的对称轴交x 轴于C 点，连接BC ，并延长BC 交抛物线于E 点，连接BD ，DE ，求BDE ∆的面积；（3）抛物线上有一个动点P ，与A ，D 两点构成ADP ∆，是否存在2ADP BCD S S ∆∆=？若存在请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法可求二次函数的解析式；（2）由题意可得C 点，D 点坐标，求出BC 解析式，可求E 点坐标，即可求BDE ∆的面积； （3）点P 到x 轴的距离为h ，根据2ADP BCD S S ∆∆=，可求32h =，再分点P 在x 轴上方，x 轴下方讨论，可求点P 坐标． 【解答】解：（1）二次函数212y x bx c =++的图象过(2,0)A ，(8,6)B ∴0226328b c b c=++⎧⎨=++⎩ 解得4b =-，6c =∴二次函数解析式为：21462y x x =-+ （2）221146(4)222y x x y x =-+==--， ∴函数图象的顶点坐标为(4,2)-， ∴对称轴为直线4x =，点C 坐标(4,0)点A ，点D 是抛物线21462y x x =-+与x 轴的交点 ∴点A ，点D 关于对称轴直线4x =对称且(2,0)A (6,0)D ∴设BC 所在的直线解析式为y kx b =+，且过嗲(8,6)B ，点(4,0)C ∴6804k b k b =+⎧⎨=+⎩解得32k =，6b =- BC ∴所在的直线解析式为362y x =-，E 点是直线362y x =-与抛物线21462y x x =-+的交点，∴23164622x x x -=-+ 解得13x =，28x =（舍去）， 当3x =时，3y =-， 3(3,)2E ∴-113152622222BDE CDB CDE S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=．（3）存在，设点P 到x 轴的距离为h ，12662BCD S ∆=⨯⨯=，1422ADP S h h ∆=⨯⨯=，且2ADP BCD S S ∆∆=226h ∴⨯=，解得32h =， 当P 在x 轴上方时，2314622x x =-+，解得14x =+24x = 当当P 在x 轴下方时， 2314622x x -=-+， 解得13x =，25x =，1(4P ∴+3)2，2(4P -3)2，33(3,)2P -，43(5,)2P - 【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是本题的关键．五、解答题（本题共35分，24题11分，25、26题各12分）24．（11分）如图1，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，且2CD =，连接AD 将Rt ACD ∆沿射线CB 方向平移，得到Rt △A C D '''，C '到达B 点时，停止平移，设平移距离为x ，△A C D '''与ABC ∆重合面积为S ，且x 与S 的函数关系式如图2所示，(06x <…，与6x n <…所对应的解析式不同）．（1）m = 6 ，n = ．（2）写出S 与x 的函数关系式，直接写出x 对应的取值范围．【分析】（1）当点D 到达点B 的位置时，6x=，即6BD =，则8BC =，此时BD 重合，3112222S BC MC MC =='⨯'=⨯⨯'，解得：32C M '=，//MC AC '，BC MC BC AC''=，即3228AC =，解得：6AC =，12662ABD m S ∆==⨯⨯=，即可求解；（2）①1122MBC NBD MND C S S S S C M C B NH BD ∆'∆'''==-='⋅'-⋅'四边形，②如图2，12S BC MC =''；即可求解．【解答】解：（1）当点D 到达点B 的位置时，6x =，即6BD =，则8BC =，此时BD 重合，3112222S BC MC MC =='⨯'=⨯⨯'，解得：32C M '=，//MC AC '，∴BC MC BC AC''=，即3228AC =，解得：6AC =， 12662ABD m S ∆==⨯⨯=，C '到达B 点时，停止平移，故8n BC ==，故答案为：6，8；（2）①如图1，当06x <…时，CC x '=，826BD x x '=--=-，作MH BC ⊥于点H ，设NH h =，1122MBC NBD MND C S S S S C M C B NH BD ∆'∆'''==-='⋅'-⋅'四边形，21tan tan 63ADC ND H ∠===∠'，则13H D h '=，同理43B Hh =，则41633BD h h h x NH '=-==-=，同理3tan (8)4CM BC B x ='∠=-，故2221311(8)(6)62428S x x x =⨯--⨯-=-+；②如图2，当68x <…时，23(8)(8)134624228x x S BC MC x x --=''==-+； 故2216(06)83624(68)8x x S x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩……．【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到图象的面积计算、解直角三角形等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 25．（12分）阅读下面材料小胖同学遇到这样一个问题：如图1，ABC ∆中，点D 在BC 上，点F 是CA 延长线上的点，连接DF 交AB 于G ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．若2A G D C ∠=∠，DF AB =，求CEAF的值．小胖通过计算角度发现2BGD CDE ∠=∠，于是作出点C 关于DE 的对称点C '，使得CDC BGD∠'=∠，进而得出C DF B ∠'=∠，接着截取BK DC =，得出一组全等三角形． （1）请沿着小胖的思路继续完成此题的解答过程： （2）参考小胖的解题方法完成下面问题：如图3，在ABC ∆中，2ACB B ∠=∠，2BD CD =，BAD CED ∠=∠，探索AE 、CE 、CD 三条线段的数量关系．【分析】（1）根据SAS 可证明ABK FDC '∆≅∆，得出AK FC '=，AKB FC D '∠=∠，证明CE C E ='，则可求出12CE AF =； （2）作B D F B ∠=∠交AB 于F 点，延长BC 到G 点，使得CG CA =，证明CED FAD ∆∆∽，得出比例线段CD CEDF AF=，设C D x =，2BD x =，CE y =，可得出2DG y =，则2C G A C D G y x ===-，可得出AE y x CE CD =-=-．【解答】解：（1）BK CD C D =='，C DF B ∠'=∠，DF AB =， ()ABK FDC SAS '∴∆≅∆， AK FC '∴=，AKB FC D '∠=∠， C AKC ∴∠=∠， AK AC FC ∴=='，DE CC '⊥，且DC DC '=， CE C E ∴='， 2AF CE ∴=，∴12CE AF =； （2）AE CE CD =-．如图，作BDF B ∠=∠交AB 于F 点，延长BC 到G 点，使得CG CA =，DF FB ∴=， FDB B ∴∠=∠，G CAG B FDB ∴∠=∠=∠=∠， //DF AG ∴，2ECD B ∠=∠， AFD ECD ∴∠=∠，CED FAD ∠=∠， CED FAD ∴∆∆∽，∴CD CEDF AF=， 设CD x =，2BD x =，CE y =，∴CD DF xCE AF y ==， ∴BF BD xAF DG y==， 2DG y ∴=，2CG AC DG CD y x ∴==-=-， AE AC CE y x CE CD ∴=-=-=-．【点评】本题考查了全等三角形判定与性质、轴对称的性质、平行线的判定及性质以及相似三角形的判定与性质，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．26．（12分）抛物线2y x bx c =++与直线3y x =-交于点A ，点A 横坐标为1n -，其中1n >，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒后形成OB ，点B 恰好在抛物线上． （1）求抛物线的解析式（用含n 的代数式表示）；（2）若抛物线与直线25y x n =-+-交于C ，D 两点，且CD =，则m 值为多少？ （3）若n 为整数，当在x 轴下方的抛物线上恰好有5个整数点（横坐标为整数），求出n 值．【分析】（1）点A 在直线3y x =-，则点(1,33)A n n --+，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒后形成OB ，由旋转的性质得点(33,1)B n n --，即可求解；（2）直线25y x n =-+-的倾斜角为45︒，则2C D x x -==，则2(47)13130x n x n ---+=，则122C D x x -==，即可求解；（3）抛物线在x 轴下方恰好有5个整数点，则124||6x x <-<，则21216(||)36x x <-<，即可求解．【解答】解：（1）点A 在直线3y x =-，则点(1,33)A n n --+，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒后形成OB ，由旋转的性质得点(33,1)B n n --， 将点A 、B 坐标代入抛物线表达式并解得：64b n =-，28113c n n =-+， 故函数的表达式为：22(46)3118y x n x n n =--+-+；（2）直线25y x n =-+-的倾斜角为45︒，则2C D x x -==， 联立直线与抛物线的表达式并整理得：2(47)13130x n x n ---+=，解得：x =，则122C D x x -==，解得12n +=（负值已舍去）；（3）令0y =，则22(46)31180y x n x n n =--+-+=， 则1246x x n +=-，2123118x x n n =-+， 抛物线在x 轴下方恰好有5个整数点， 124||6x x ∴<-<，则21216(||)36x x <-<，222121212(||)()4444x x x x x x n n -=+-=-+， 3218n n ∴<-<，n <<， n 为整数，故3n =．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解不等式等，其中用韦达定理处理复杂数据，是本题解题的关键．。
辽宁省大连市甘井子区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题
2024—2025学年度第一学期期中阶段性学习质量抽测九年级数学(本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟)注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效第一部分 选择题(共30分)一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响. 下列图形“杨辉三角”、“赵爽弦图”、“刘徽割圆术”、“中国七巧板”中，属于中心对称图形的是2. 用配方法解方程x²−6x +4=0, 下列配方正确的是A.(x −3)²=5B.(x +3)²=5C.(x −3)²=13D.(x +3)²=13A. 无实根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定5. 已知点A (x ₁, y ₁), B (x ₂, y ₂)都在反比例函数y =1x 的图象上.如果 x ₁<x ₂，且 x ₁x ₂>0,则y ₁，y ₂ 的大小关系是A.y ₁=y ₂B.y ₁<y ₂C.y ₁>y ₂D. 无法确定6. 关于二次函数y= (x+1) ²-4，下列结论不正确的是A. 开口向上B. x<0时, y 随x 的增大而减小C. 对称轴是直线x=-1D. 顶点坐标为 (-1, - 4)九年级数学 第1页 (共8页)3. 如图，根据二次函数y =x²+x−2 的图象，一元二次方程 x²+x−2=0的解是A.x₁=−1,x₂=−2B.x₁=−1,x₂=2C.x₁=1,x₂=−2D.x₁=1,x₂=24. 一元二次方程x²−8x +17=0根的情况是7. 如图，已知点A 的坐标为（-23，2），菱形ABCD 的对角线交于坐标原点O ，则点C 的坐标为A.(-2, 23） B.(−2, −23） C.(-23, -2） D.(23, −2）8.利用位似可以设计有立体感的美术字.如图，是某同学以点O 为位似中心，设计“MATH ”中字母“M ”美术字的一种方法.若AB=5，A'B'=3，则C 'D 'CD 的值为9.数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端C ，此时∠AEB=∠CED ，小明画出如图所示的示意图,并估计他的眼睛与地面的距离为1.5m ，同时测得BE=30cm ，BD=2.3m ，则旗杆的高度为A. 10mB. 11.5mC. 22.5mD. 40m10. 如图，取一根长100 cm 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O 并将其吊起来.在中点O 的左侧距离中点O10cm 处悬挂一个重量已知的物体，在中点O 右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态.改变弹簧测力计与中点O 的距离L (单位：cm) , 观察弹簧测力计的示数F (单位: N)的变化, 发现: F (单位:N)是L(单位：cm) 的函数，部分数据对应如下：L/ cm…4939.224.519.614…F/N …2 2.5457..若弹簧测力计的示数F 为2.8N ，则弹簧测力计与中点O 的距离L 为A. 30.2cmB. 32.6cmC. 35cmD. 36cm 九年级数学 第2页 (共8页)25 B. 35 C. 23D. 53A.第二部分非选择题(共90分)二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)11. 方程x²+x=0的根为 .的图象经过第一、三象限，则常数m的取值范围是 .12. 反比例函数y=m−5x13. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°，将△ABC绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADE，连接BD.若BC=3，AE=5，则线段BD的长为 .14. 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD. 若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离OE，OF分别为8cm，6cm,则实像CD的高为 cm.15. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（0，−1），点M是x轴上一动点，连接AM，作线段AM的垂直平分线l₁，过点M作x轴的垂线l₂，记l₁，l₂的交点为P，改变点M的位置，可以得到相应的点P，设点P的坐标是(x，y) ，则y关于x的函数解析式为.三、解答题(本题共8小题，共75分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)16. (每题5分, 共10分)用适当的方法解方程：(1)x²+10x=6;(2)x2−2x−1=0.4九年级数学第3页 (共8页)17. (本小题8分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（−1，3）,B（−3，4）,C（−4，1）.(1)以点O为对称中心，画出△ABC关于点O的对称图形△A₁B₁C₁;(2)以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂,画出△A₂B₂C₂,并直接写出A₂的坐标 .蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A) 与电阻R (单位：Ω) 之间的函数关系如图所示.(1) 求这个函数的解析式；(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围?九年级数学第4页 (共8页)18. (本小题8分)19. (本小题8分)某商场销售一种商品，经市场调查发现，每件盈利20元，每星期可卖出300件.为吸引顾客，商场决定在“双十一”期间进行促销活动.若每件商品降价1元，每星期可多卖出20件.(1)为了实现该商品每星期3000元的销售利润，则每件需降价多少元?(2)该商品每星期的销售利润能否达到6200元? 如果能，求出每件盈利；如果不能，请说明理由.20. (本小题8分)如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB=2,BD=7,CD=6,点P从点 D 出发，沿DB方向以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动，连接AP，CP，过点A 作AE‖CP 交DB的延长线于点 E，设点P 的运动时间为t秒.(1)当t=1时，求证：△ABP∼△PDC;(2)当t>1时，若△ABE与△ABP相似，求线段BE的长.21. (本小题8分)【发现问题】在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠.两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止.我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线.【提出问题】(1) 请把上表中x ，y 的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出y 关于x 的函数解析式；【解决问题】(2) 双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作.从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等.小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系 y =−5x²+35x −50.①用k ₁，k ₂分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则k ₁ k ₂(填“>”“<”或“=”) ;②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误.小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是435 米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由.在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点A 处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度y (单位：m) 与水平距离x (单位：m) 之间有怎样的函数关系.【分析问题】小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度y 与水平距离x 的几组数据如下：水平距离x(m)33.64.2 4.85.2竖直高度y(m)1010211121565【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系.老师给出了下面的已知条件：在△ABC中，∠ABC=90°，B=CB，点D是△ABC边上的一动点，点P是△ABC外任意一点，过点D与点P作射线DP，将射线DP绕点D逆时针旋转90°得到射线DQ.【问题初探】(1) 如图1,点D与直角顶点B 重合,射线DP交边AC于点E,点F在射线 DQ上,且满足DE=DF，连接AF.求证:AF=CE，AF⊥CE.【问题深探】(2) 如图2, 点D在直角边AB上, 射线DP恰巧经过点C, 点F在射线DQ上,且满足DC=DF,连接AF.请直接写出AC,AD,AF之间的数量关系是 .【问题拓展】(3) 点D 在斜边AC上, 且(CD=kAD(0<k≤1), 射线DP 交边AB于点E, 射线DQ 交边CB于点 F.①如图3,当k=1,AE=4,CF=3时，求线段AC的长；2②如图4,连接BD, 请直接写出BE,BD, BF之间的数量关系 (用含k的代数式表示).抛物线y₁=−x²+b₁x+c₁与x轴交于点(−2,0),与y轴交于点 (0, 4) .(1) 求抛物线y₁的解析式；(2) 将抛物线y₁=−x²+b₁x+c₁顶点的横坐标加1，纵坐标不变，得到抛物线y₂=−x²+b₂x+c₂.①请直接写出b₂=,c₂=;②若点A，B为抛物线y₂上的点，横坐标分别为y₂−2,t,点A，B之间(包括端点)的函数图象称为图象M，设图象M的最高点与最低点的纵坐标分别为d₁，d₂，当d₁−d₂=2t+6时，求t的值；③点C为抛物线y₁上的任意一点，其横坐标为m，过点C作(y₁CD⊥x轴交抛物线y₂于点D，过点C作y轴的垂线交抛物线y₁于点E，过点D作y轴的垂线交抛物线y₂于点F,设以C,D,E,F为顶点的图形面积为S,y₂12<S<2当点C 在D的上方，以C，D，E，F为顶点的图形是四边形时，请直接写出此时m的取值范围 .。
辽宁省大连市甘井子区2019-2020学年九年级上期末数学试卷(PDF版,有答案)
2019——2020学年度第一学期期末学习质量抽测九年级数学注意事项：1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共五大题，26小题，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确）1．在美术字中，有些汉字是中心对称图形.下面的汉字不是中心对称图形的是A .B .C ．D . 2．如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成7个大小相同的扇形，每个扇形上分别写有“中”、“国”、“梦”三个字.指针的位置固定， 转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是A . 74B . 73C ．71D . 313．若1x ，2x 是一元二次方程0=5-+52x x 的两根，则21+x x 的值是A ．51 B . 51- C . 1 D . 1-4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点.若∠ADE =110°，则∠B =A ．80°B ．100°C ．110°D ．120° 5．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =3，则A tan =A ．32 B . 23 C . 13132 D . 13133 6.A ．0.78B ．0.79C ．0.85D ．0.80 7．如图，已知AE 与BD 相交于点C ，连接AB 、DE ，下列所给的条件不能证明△ABC ∽△EDC 的是A ．∠A =∠EB ．DC BC EC AC = C．AB ∥DE D ．DCBCDE AC =8．150°的圆心角所对的弧长是π5cm，则此弧所在圆的半径是A ．1.5cmB ．3cm C ．6cmD ．12cm（第2题） （第4题）（第7题）（第5题）9. 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC =10m ，∠BD 为底边BC 的中点，则上弦AB︒36sin ≈0.59，︒36cos ≈0.81，︒36tan ≈0.73）A ．3.6mB ．6.2mC ．8.5mD ．12.4m10. 已知二次函数1+4-2-=2x x y ，当2≤≤3-x 时，则函数值y 的最小值为A . 15-B . 5-C ．1D . 3二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 12．关于x 的一元二次方程0=12-+2nx x 的一个解为3=x ，则n = ．13．如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB =50°，则∠ADC = °．14. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号相同的概率是 ． 15．已知抛物线的对称轴是y 轴，且经过点（1，3）、（2，6），则该抛物线的解析式为 ．16．如图，△ABC 中，AB =6，BC =9.如果动点D 以每秒2个单位长度的速度，从点B 出发沿边BA 向点A 运动，此时直线DE ∥BC ，交AC 于点E .记x 秒时DE 的长度为y ，写出y 关于x 的函数解析式 ．（不用写自变量取值范围）三．解答题(本题共4小题，其中17、18、19各9分，20题12分，共39分)17．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =5，AC =12，求∠A 的正弦值、余弦值和正切值.（第13题）（第16题）（第9题）AB（第17题）18．如图，在⊙O 中，AB ，AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E .求证：四边形ADOE 是正方形．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （2-，4-）、B （0，4-）、C （1，2-）. （1）△ABC 关于原点O 对称的图形是△111C B A ，不用画图，请直接写出△111C B A 的顶点坐标：1A ， 1B ， 1C ；（2）在图中画出△ABC 关于原点O 逆时针旋转90°后的图形△222C B A ，请直接写出△222C B A 的 顶点坐标：2A ，2B ， 2C .（建议：先用铅笔画图，确定无误后用黑色水性笔画在答题卡上）（第18题）（第19题）20．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB . （1）求证：△ADE ∽△EFC ；（2）若AD =4，DE =6，2=ECAE，求EF 和FC 的值.四．解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21．如图，要设计一幅宽为20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条宽度相等，如果要使余下的图案面积为5042cm ，彩条的宽应是多少cm ？（第20题）（第21题）22．如图，已知二次函数3+4-=2x x y点为A ，分别连接AB ，BC ，CD ，DA. （1）求四边形ABCD的面积；（2）当0>y 时，自变量x23. 如图，点A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AD 是⊙O 的直径，过点C 的切线与AB 的延长线垂直于点E ，连接AC 、BD 相交于点F ．（1）求证：AC 平分∠BAD ； （2）若⊙O 的半径为27，AC =6，求DF 的长.（第23题）五．解答题（本题共3小题，其中24小题11分， 25、26小题各12分，共35分）24. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =13，BE =4，点F 从点B 出发，在折线段BA -AD 上运动，连接EF ，当EF ⊥BC 时停止运动，过点E 作EG ⊥EF ，交矩形的边于点G ，连接FG .设点F 运动的路程为x ，△EFG 的面积为S .（1）当点F 与点A 重合时，点G 恰好到达点D ，此时x =_______，当EF ⊥BC 时，x =_______；（2）求S 关于x 的函数解析式，并直接写出自变量x 的取值范围； （3）当S =15时，求此时x 的值.（备用图）（第24题）F25. 在△ABC 中，∠ACB =90°，BC=k AC ，点D 在AC 上，连接BD .（1）如图1，当1=k 时，BD 的延长线垂直于AE ，垂足为E ，延长BC 、AE 交于点F .求证：CD =CF ；（2）过点C 作CG ⊥BD ，垂足为G ，连接AG 并延长交BC 于点H . ①如图2，若CD CH 52=，探究线段AG 与GH 的数量关系（用含k 的代数式表示），并证明；②如图3，若点D 是AC 的中点，直接写出CGH co ∠s 的值（用含k 的代数式表示）.（第25题）图3图2图126. 已知抛物线2322-x ax y +=（0≠a ）与y 轴交于点A ，与x 轴的一个交点为B . （1） ①请直接写出点A 的坐标_________________；②当抛物线的对称轴为直线4-=x 时，请直接写出=a _________________； （2）若点B 为（3，0），当5+2+3+2+22m m x m m ≤≤，且0<am 时，抛物线最低点的纵坐标为215-，求m 的值； （3）已知点C （-5，-3）和点D （5，1），若抛物线与线段CD 有两个不同的交点，求a的取值范围.2019——2020学年度第一学期期末学习质量抽测九年级数学参考答案一．选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1．A ．2．B ．3．B ．4．C ．5．B ．6．D ．7.D ．8．C ．9.B ．10．A ．二．填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11．21．12．1．13．25．14.31．15.2+=2x y .16.9+3-=x y ．三．解答题(本题共4小题，其中17、18、19各9分，20题12分，共39分)17．解：∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =5，AC =12，∴AB =1322=+ACBC ．-------------------------------1分∴135==AB BC A sin ，-------------------------------------3分1312==AB AC A cos ，-------------------------------------6分125==AC BC A tan .---------------------------------------9分18.证明：∵AB ⊥AC ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴∠BAC =∠ODA =∠OEA =90°．-------------------------3分∴四边形ADOE 是矩形．----------------------------------4分∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，AB =AC ，∴OD =OE=AC AB 2121=.--------------------------------8分∴四边形ADOE 是正方形．-------------------------------9分19.解：（1）1A ：（2，4），1B ：（0，4），1C ：（1-，2）；-------3分（2）2A ：（4，2-），2B ：（4，0），2C ：（2，1）；-------6分画出△222C B A .-----------------------------------------9分20．证明：（1）∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，∠EFC =∠B .----3分∴∠ADE =∠EFC.--------------------------------4分∴△ADE ∽△EFC.-------------------------------6分（2）∵△ADE ∽△EFC ，∴ECAEFC DE EF AD ==.----------------------------8分∵AD =4，DE =6，2=ECAE，∴EF=2，FC=3.---------------------------------12分四．解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分,23题10分，共28分)21．解:设彩条的宽度为cm -------------------------------------1分依题意得：504=2-202-30))((x x --------------------5分整理得=24+25-2x x 解得1=1x ，24=2x -----------------------7分∵24⨯2-20<0，∴不符合题意，舍去24=2x --------8分答：彩条的宽度为1cm -----------------------------------------9分22．解：（1）当0=y 时，0=3+4-2x x 解得1=1x ，3=2x -----------------------------------2分当0=x 时，3=3+0-0=y 解得3=y ---------------------------------------------3分∴点B 为（3，0），C 为（0，3），D 为（1，0）.即OC =3，BD =2.-----------------------------------4分过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，1-=1⨯44--3⨯1⨯4=4-4=22)(a b ac y ∴AE =1-----------------------------------------------5分∴BCD ABD ABCD S S S ΔΔ+=四边形，OC BD AE BD ∙21+∙21=)(OC AE BD +21=)(3+1⨯2⨯21=4=.--------------------------------------------------7分∴四边形ABCD 的面积为4.（2）1<x 或3>x .---------------------------------------9分（第20题）（第22题）23.证明：（1）连接OC ，∵CE 为⊙O 切线，∴∠OCE =90°.-----------------------------1分∵CE ⊥AE ，∴∠E =90°.∴∠OCE+∠E =180°.∴OC ∥AE.∴∠OCA=∠CAE.--------------------------2分∵OA=OC ，∴∠OCA=∠OAC.--------------------------3分∴∠CAE=∠OAC.∴AC 平分∠BAD ．--------------------------4分（2）连接CD ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD =90°.----------------------------5分∵AD =2r =7，AC =6，∴CD =1322=C -A AD .----------------6分∵∠CDF =∠CAB ，∠CAD =∠CAB ，∴∠CDF =∠CAD.----------------------------7分∵∠DCF =∠ACD =90°,∴△CDF ∽△CAD ．--------------------------8分∴ADDF CA CD =，-------------------------------9分即7613DF =∴1367=DF .-------------------------------10分五．解答题（本题共3小题，其中24小题11分，25、26小题各12分，共35分）24.（1）6，10；------------------------------------------2分（2）①如图1，当60≤≤x 时，过点G 作GH ⊥BC ，垂足为H ，∵在矩形ABCD 中，AB =6，BC =13，BE =4，EG ⊥EF ，∴∠A =∠B =∠1=∠2=90°，AD =BC =13.∴四边形ABHG 是矩形.∴GH =AB =6.∵∠B =90°，BF =x ，BE =4，∴16222+=+=x BE BF EF .-------------3分∵∠3+∠4=90°，∠4+∠5=90°，（第23题）（第24题图1）∴∠3=∠5.∴△BEF ∽△HGE ．∴GE EF HG BE =.即GE x 16642+=.∴21632+=x GE .----------------------------------------------------4分∴12432163162121222+=+•+•=•=x x x GE EF S .------------5分②如图2，当0≤16x <时，过点F 作FK ⊥BC ，垂足为K ，∵在矩形ABCD 中，AB =6，BC =13，BE =4，EG ⊥EF ，∴∠A =∠B =∠C =∠FKB =∠1=∠2=90°，AD =BC =13.∴四边形ABKF 是矩形.∴FK =AB =6，AF =BK =6-x .∴KE =x -10.∵∠FKE =90°，FK=6，KE =x -10，---------6分∴2221036）-（x KE FK EF +=+=.-----7分∵∠3+∠4=90°，∠4+∠5=90°，∴∠3=∠5.∴△KEF ∽△CGE ．∴GE EF EC FK =.即GEx 210364136）-（-+=.∴2103632）-（x GE +=.--------------------8分∴GE EF S •=211021543210363103621222+=+•+•=x x x x -）-（）-（.∴=S ）0≤（-）≤（16102154360124322x x x x x <+<+.----------9分（2）①当60≤≤x 时，1512432=+x ，∴21=x ，22-=x （舍）.-------------------10分②当0≤16x <时，1510215432=+x x -，（第24题图2）∴011622=+x x 0-.∵0-64464-400Δ<==，∴此时方程无解.∴当2=x 时，S =15.-------------------------11分25.（1）证明：∵∠ACB =90°，BE ⊥AF ，∴∠ACB =∠ACF =∠AEB =90°.∵∠ADE+∠EAD =∠BDC+∠DBC =90°，∠ADE =∠BDC ，∴∠DBC.=∠EAD -----------------------1分∵BC=AC ，∴△BCD ≌△ACF .-----------------------2分∴CD =CF.--------------------------------3分（2）AG =k 5GH.过点A 作AM ∥BC ，交CG 延长线于点M ，∵∠ACB =90°，CG ⊥BD ，∴∠CAM =∠ACB =90°，∠CGB =90°.--4分∵∠1+∠BCG =∠2+∠BCG =90°，∴∠1=∠2.-----------------------------------5分∴△ACM ∽△CBD ．-------------------------6分∴kCB AC CD AM 1==.--------------------------7分∵CD CH 52=，∴设a CD 2=，则a CH 54=.∴k a AM 2=.--------------------------------8分∵AM ∥BC ，∴k a k a GH AG CH AM 25542===.即AG =k25GH.-------------------------------9分（3）=s CGH co ∠2211k k k ++.----------12分（第25题图1）（第25题图2）（第25题图3）26.解：（1）①（0，23-）；--------------------------------------1分②41.-------------------------------------------------2分（2）∵点B （3，0）为抛物线与x 轴的交点，∴236+9=0-a 解得21=-a -------------------------------------3分∴21+2-21-=232+21-=22）（-x x x y ∴抛物线对称轴为直线2=x ∵2≥2+1+=3+2+22）（m m m ∴当5+2+3+2+22m m x m m ≤≤时，抛物线图象在对称轴右侧.∵0<a ，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，∴当5+2+=2m m x 时，抛物线有最低点.------4分∵21+2-21-=215-2）（x 解得-2=1x （舍），6=2x .---------------------5分即6=5+2+2m m .解得2--1=1m ，2-1+=2m .-------------6分∵0<am ，21=-a ∴2--1=1m 舍去即2-1+=m .--------------------------------------7分（3）设过点C （-5，-3）、点D （5，1）的直线解析式为b kx y +=，∴⎩⎨⎧1=+53-=+5-b k b k .解得⎪⎩⎪⎨⎧1-=52=b k .∴直线CD 为1-52=x y .---------------------------8分①当0<a ，点D 在图象的上方时，抛物线与线段CD 有两个不同的交点，∴1≤2310+25-a解得103-≤a -----------------------------------9分∵直线CD 与抛物线有两个不同交点，∴1-52=232+2x x ax -0=2158+2-x ax ∴a 2+2564=∆，即0>2+2564=∆a .∴2532->a .∴103-≤<2532-a .-------------------------------------10分②当0<a ，点D 在图象的上方时，抛物线与线段CD 有两个不同的交点，3-≥2310-25-a 解得5017≥a .--------------------------------------11分∵抛物线2322-x ax y +=（0≠a ）与y 轴交于点A （0，23-），直线CD 1-52=x y 与y 轴交于点（0，1-），∴此时5017≥a .综上，103-≤<2532-a 或5017≥a .-----------------------------12分（解答题学生用其他方法解答，请参考评分标准酌情给分，题长统一意见即可.）。
辽宁省大连市甘井子区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
辽辽辽辽辽辽辽辽辽辽2019-2020辽辽辽辽辽辽辽辽辽辽辽辽辽辽一.选择题1.在美术字中，有些汉字是中心对称图形，下面的汉字不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键是熟知中心图形的定义.2.如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成7个大小相同的扇形，每个扇形上分别写有“中”、“国”、“梦”三个字指针的位置固定，转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是（）A. 47B.37C.17D.13【答案】B 【解析】【分析】直接利用概率公式计算求解即可．【详解】转动转盘停止后，指针指向“中”字所在扇形的概率是37，故选：B．【点睛】本题考查概率的计算，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式.3.若x1，x2是一元二次方程5x2+x﹣5＝0的两根，则x1+x2的值是（）A. 15B.15- C. 1 D. ﹣1【答案】B 【解析】【分析】利用12bx xa+=-计算即可求解．【详解】根据题意得x1+x2＝﹣15．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知一元二次方程两根之和与两根之积与系数之间的关系.4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE＝110°，则∠B＝（）A. 80°B. 100°C. 110°D. 120°【答案】C【解析】【分析】直接利用圆内接四边形的性质分析得出答案．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，∠ADE＝110°，∴∠B＝∠ADE＝110°．故选：C．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质. 熟练掌握圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；.圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键.5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tan A＝（）A. 23B.32C.13D.13【答案】B 【解析】【分析】根据正切定义tanaAb=计算，得到答案．【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，3tan2BCAAC==，故选：B．【点睛】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键.6.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：根据表中数据，估计这位射击运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为（）A. 0.78 B. 0.79 C. 0.85 D. 0.80【答案】D【解析】【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．【详解】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.80附近，∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.80．故选：D．【点睛】本题考查利用频率估计概率，在相同条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数n之比,称为事件A在这n次试验中出现的频率．当试验次数n很大时,频率将稳定在一个常数附近．n 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小．这个常数称为这个事件的概率．7.如图，已知AE与BD相交于点C，连接AB、DE，下列所给的条件不能证明△ABC～△EDC的是（）A. ∠A＝∠EB. AC BCEC DC= C. AB∥DE D.AC BCDE DC=【答案】D【解析】【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．【详解】A、若∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项A不符合题意；B、若AC BCCE DC=，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项B不符合题意；C、若AB∥DE，可得∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项C不符合题意；D、若AC BCDE DC=，且∠ACB＝∠DCE，则不能证明△ABC～△EDC，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键，判定时需注意找对对应线段.8.150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是（）A. 1.5cmB. 3cmC. 6cmD. 12cm【答案】C【解析】分析】根据150°的圆心角所对的弧长是5πcm，代入弧长公式即可得到此弧所在圆的半径．的【详解】设此弧所在圆的半径为rcm ，∵150°圆心角所对的弧长是5πcm ， ∴1505180r ππ=， 解得，r ＝6，故选：C ． 【点睛】本题考查弧长的计算，熟知弧长的计算公式180n r l π=是解题的关键. 9.如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC ＝10m ，∠B ＝36°，D 为底边BC 的中点，则上弦AB 的长约为（ ）（结果保留小数点后一位sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）A. 3.6mB. 6.2mC. 8.5mD. 12.4m 【答案】B【解析】【分析】 先根据等腰三角形的性质得出BD ＝12BC ＝5m ，AD ⊥BC ，再由cos B ＝BD AB ，∠B ＝36°知AB ＝cos BD B ，代入计算可得． 【详解】∵△ABC 是等腰三角形，且BD ＝CD ， ∴BD ＝12BC ＝5m ，AD ⊥BC ， 在Rt △ABD 中，∵cos B ＝BD AB ，∠B ＝36°， ∴AB ＝cos BD B ＝5cos36︒≈6.2（m ），故选：B ． 【点睛】本题考查解直接三角形的应用，解题的关键是根据等腰三角形的性质构造出直角三角形Rt △ABD ，再利用三角函数求解. 10.已知二次函数y ＝﹣2x 2﹣4x +1，当﹣3≤x ≤2时，则函数值y 的最小值为（ ） A. ﹣15B. ﹣5C. 1D. 3【答案】A 的先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后在根据二次函数的性质和x的取值范围，即可解答本题．【详解】∵二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，∴当﹣3≤x≤2时，x＝2时，该函数取得最小值，此时y＝﹣15，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的最值，解题的关键是将二次函数的一般式利用配方法化成顶点式，求最值时要注意自变量的取值范围.二．填空题11.计算：sin30°=_____⊙【答案】1 2【解析】【分析】根据sin30°=12直接解答即可．【详解】sin30°=1 2 .【点睛】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练的掌握特殊角的三角函数值. 12.关于x的一元二次方程x2+nx﹣12＝0的一个解为x＝3，则n＝_____．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝3代入x2+nx﹣12＝0中可得到关于n的方程，然后解此方程即可．【详解】把x＝3代入x2+nx﹣12＝0，得9+3n﹣12＝0，解得n＝1．故答案是：1．【点睛】本题考查一元二次方程解得概念，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.13.如图，⊙O中，OA⊥BC，且∠AOB＝50°，则∠ADC＝_____度．【分析】根据垂径定理得»»AC AB=，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠ADC＝1 2∠AOB＝25°．【详解】∵OA⊥BC，∴弧AC＝弧AB，∴∠ADC＝12∠AOB＝25°．故答案为25【点睛】本题考查垂径定理，根据垂径定理得»»AC AB=，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键.14.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是_____．【答案】1 3【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】根据题意，画树状图如下：共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，所以两次摸出的小球标号相同的概率是31 =93⊙故答案为1 3⊙【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．错因分析中等难度题.失分的原因有两个：（1）没有掌握放回型和不放回型概率计算的区别；（2）未找全标号相同的可能结果.15.已知抛物线的对称轴是y轴，且经过点（1，3）、（2，6），则该抛物线的解析式为_____．【答案】y＝x2+2【解析】【分析】根据抛物线的对称轴是y轴，得到b＝0，设出适当的表达式，把点（1，3）、（2，6）代入设出的表达式中，求出a、c的值，即可确定出抛物线的表达式．【详解】∵抛物线的对称轴是y轴，∴设此抛物线的表达式是y＝ax2+c，把点（1，3）、（2，6）代入得：346a ca c+=⎧⎨+=⎩，解得：a＝1，c＝2，则此抛物线的表达式是y＝x2+2，故答案为：y＝x2+2．【点睛】本题考查代定系数法求函数的解析式，根据抛物线的对称轴是y轴，得到b＝0，再设抛物线的表达式是y＝ax2+c是解题的关键.16.如图，△ABC中，AB＝6，BC＝9．如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边BA向点A 运动，此时直线DE∥BC，交AC于点E．记x秒时DE的长度为y，写出y关于x的函数解析式_____（不用写自变量取值范围）．【答案】y＝﹣3x+9【解析】【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质，可得出y关于x的函数解析式．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE ADBC AB=，即6296y x-=，∴y＝﹣3x+9．故答案为：y＝﹣3x+9．【点睛】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用相似三角形的性质得出DE ADBC AB=是关键.三．解答题17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．【答案】sin A=513，cos A=1213，tan A=512．【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答即可．【详解】由勾股定理得，13AB===，则5sin13BCAAB==，12cos13ACAAB==，5tan12BCAAC==．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长.18.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：四边形AEOD 是正方形．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先根据已知条件判定四边形AEOD为矩形，再利用垂径定理证明邻边相等即可证明四边形AEOD为正方形．【详解】证明：∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝12 AB．同理AE＝CE＝12 AC．∵AB＝AC，∴AD＝AE．∵OD⊥ABOE⊥ACAB⊥AC，∴∠OEA＝∠A＝∠ODA＝90°，∴四边形ADOE为矩形．又∵AD＝AE，∴矩形ADOE为正方形．【点睛】本题考查正方形的判定，解题的关键是先根据已知条件判定四边形AEOD为矩形.19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣4）、B（0，﹣4）、C（1，﹣2）．（1）△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1，不用画图，请直接写出△A1B1C1的顶点坐标：A1，B1，C1；（2）在图中画出△ABC关于原点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，请直接写出△A2B2C2的顶点坐标：A2，B2，C2．【答案】（1）（2，4），（0，4），（﹣1，2）；（2）作图见解析；（4，﹣2），（4，0），（2，1）．【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的概念求解可得；（2）利用旋转变换的定义和性质作出对应点，再首尾顺次连接即可得．【详解】（1）△A1B1C1的顶点坐标：A1（2，4），B1（0，4），C1（﹣1，2），故答案为：（2，4），（0，4），（﹣1，2）．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（4，﹣2），B2（4，0），C2（2，1），故答案为：（4，﹣2），（4，0），（2，1）．【点睛】本题考查中心对称图形和旋转变换，作旋转变换时需注意旋转中心和旋转角，分清逆时针和顺时针旋转.20.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．（1）求证：△ADE∽△EFC；（2）若AD＝4，DE＝6，AEEC＝2，求EF和FC的值．【答案】（1）证明见解析；（2）EF＝2，FC＝3．【解析】【分析】（1）由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，由EF∥AB可得出△EFC∽△ABC，再利用相似于同一三角形的两三角形相似可证出△ADE∽△EFC；（2）由△ADE∽△EFC，利用相似三角形的性质可求出EF和FC的值．【详解】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC；∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC．（2）∵△ADE∽△EFC，∴EF EC FCAD AE DE==，即1426EF FC==，∴EF＝2，FC＝3．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行线截得的相似三角形模型是解题的关键. 21.如图，要设计一幅宽为20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条宽度相等，如果要使余下的图案面积为504cm2，彩条的宽应是多少cm．【答案】1cm．【解析】【分析】设每个彩条的宽度为xcm，根据剩余面积为504cm2，建立方程求出其解即可．【详解】设每个彩条的宽度为xcm，由题意，得（30﹣2x）（20﹣2x）＝504，解得：x1＝24（舍去），x2＝1．答：每个彩条的宽度为1cm．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据剩余面积=总面积-彩条面积列出方程.22.如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，分别连接AB，BC，CD，DA．（1）求四边形ABCD的面积；（2）当y＞0时，自变量x的取值范围是．【答案】（1）4；（2）x＞3或x＜1．【解析】【分析】（1）四边形ABCD的面积＝12×BD×（x C﹣x A）＝12×2×（3+1）＝4；（2）从图象可以看出，当y＞0时，自变量x的取值范围是：x＞3或x＜1，即可求解．【详解】（1）函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，则点B、D、C、A的坐标分别为：（3，0）、（1，0）、（0，3）、（2，﹣1）；四边形ABCD的面积＝12×BD×（x C﹣x A）＝12×2×（3+1）＝4；（2）从图象可以看出，当y＞0时，自变量x的取值范围是：x＞3或x＜1，故答案为：x＞3或x＜1．【点睛】本题考查二次函数的图形和性质，解题时需注意将四边形的面积转化为三角形的面积进行计算，四边形ABCD的面积＝12×BD×（x C﹣x A）.23.如图，点A、B、C、D是⊙O上的四个点，AD是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线垂直于点E，连接AC、BD相交于点F．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若⊙O的半径为72，AC＝6，求DF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】【分析】（1）连接OC，先证明OC∥AE，从而得∠OCA＝∠EAC，再利用OA＝OC得∠OAC＝∠OCA，等量代换即可证得答案；（2）设OC交BD于点G，连接DC，先证明△ACD∽△AEC，从而利用相似三角形的性质解得CE=，再利用DC DGDF DC=＝cos∠FDC，代入相关线段的长可求得DF．【详解】（1）证明：如图，连接OC∵过点C的切线与AB的延长线垂直于点E，∴OC ⊥CE ，CE ⊥AE∴OC ∥AE∴∠OCA ＝∠EAC∵OA ＝OC∴∠OAC ＝∠OCA∴∠OAC ＝∠EAC ，即AC 平分∠BAD ；（2）如图，设OC 交BD 于点G ，连接DC∵AD 为直径∴∠ACD ＝90°，∠ABD ＝90°∵CE ⊥AE∴DB ∥CE∵OC ⊥CE∴OC ⊥BD∴DG ＝BG∵∠OAC ＝∠EAC ，∠ACD ＝90°＝∠E∴△ACD ∽△AEC ∴CE CD AC AD= ∵⊙O 的半径为72，AC ＝6∴AD ＝7，CD ==∴67CE =∴7CE =易得四边形BECG 为矩形∴DG ＝BG＝7CE =∵DC DG DF DC=＝cos ∠FDC=解得：DF = ∴DF. 【点睛】本题考查相似三角形的性质，借助辅助线，判定△ACD ∽△AEC ，再根据相似三角形的性质求解. 24.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝13，BE ＝4，点F 从点B 出发，在折线段BA ﹣AD 上运动，连接EF ，当EF ⊥BC 时停止运动，过点E 作EG ⊥EF ，交矩形的边于点G ，连接FG ．设点F 运动的路程为x ，△EFG 的面积为S ．（1）当点F 与点A 重合时，点G 恰好到达点D ，此时x ＝ ，当EF ⊥BC 时，x ＝ ； （2）求S 关于x 函数解析式，并直接写出自变量x 的取值范围；（3）当S ＝15时，求此时x 的值．【答案】（1）6；10；（2）S ＝34x 2+9x +12（0＜x ≤6）；S ＝34x 2﹣21x +102（6＜x ≤10）；（3）﹣【解析】【分析】（1）当点F 与点A 重合时，x ＝AB ＝6；当EF ⊥BC 时，AF ＝BE ＝4，x ＝AB +AF ＝6+4＝10；（2）分两种情况：⊙当点F 在AB 上时，作GH ⊥BC 于H ，则四边形ABHG 是矩形，证明△EFB ∽△GEH ，得出BF BE EH GH =，求出EH ＝32x ，得出AG ＝BH ＝BE +EH ＝4+32x ，由梯形面积公式和三角形面积公式即可得出答案；的⊙当点F在AD上时，作FM⊥BC于M，则FM＝AB＝6，AF＝BM，同⊙得△EFM∽△GEC，得出EM FM GC EC=，求出GC＝15﹣32x，得出DG＝CD﹣CG＝32x﹣9，EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，由梯形面积公式和三角形面积公式即可得出答案；（3）当34x2+9x+12＝15时，当34x2﹣21x+102＝15时，分别解方程即可．【详解】（1）当点F与点A重合时，x＝AB＝6；当EF⊥BC时，AF＝BE＝4，x＝AB+AF＝6+4＝10；故答案为：6；10；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝13，分两种情况：⊙当点F在AB上时，如图1所示：作GH⊥BC于H，则四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，AG＝BH，∠GHE＝∠B＝90°，∴∠EGH+∠GEH＝90°，∵EG⊥EF，∴∠FEB+∠GEH＝90°，∴∠FEB＝∠EGH，∴△EFB∽△GEH，∴BF BFEH GH=，即4263xEH==，∴EH＝32 x，∴AG＝BH＝BE+EH＝4+32 x，∴△EFG的面积为S＝梯形ABEG的面积﹣△EFB的面积﹣△AGF的面积＝12（4+4+32x）×6﹣12×4x﹣1 2（6﹣x）（4+32x）＝34x2+9x+12，即S＝34x2+9x+12（0＜x≤6）；⊙当点F在AD上时，如图2所示：作FM⊥BC于M，则FM＝AB＝6，AF＝BM，同⊙得：△EFM∽△GEC，∴EM FMGC EC=，即4(6)6134xGC--=-，解得：GC＝15﹣32 x，∴DG＝CD﹣CG＝32x﹣9，∵EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，∴△EFG的面积为S＝梯形CDFE的面积﹣△CEG的面积﹣△DFG的面积＝12（9+19﹣x）×6﹣12×9×（15﹣32x）﹣12（19﹣x）（32x﹣9）＝34x2﹣21x+102即S＝34x2﹣21x+102（6＜x≤10）；（3）当34x2+9x+12＝15时，解得：x＝﹣6±，∴x＝﹣6+当34x2﹣21x+102＝15时，解得：x ＝14±；∴当S ＝15时，此时x 的值为﹣6+【点睛】本题考查二次函数的动点问题，题目较难，解题时需注意分类讨论，避免漏解.25.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝kAC ，点D 在AC 上，连接BD ．（1）如图1，当k ＝1时，BD 的延长线垂直于AE ，垂足为E ，延长BC 、AE 交于点F ．求证：CD ＝CF ； （2）过点C 作CG ⊥BD ，垂足为G ，连接AG 并延长交BC 于点H ．⊙如图2，若CH ＝25CD ，探究线段AG 与GH 的数量关系（用含k 的代数式表示），并证明； ⊙如图3，若点D 是AC 的中点，直接写出cos ∠CGH 的值（用含k 的代数式表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）①52AG GH k =，证明见解析；②cos ∠． 【解析】【分析】（1）只要证明△ACF ≌△BCD （ASA ），即可推出CF ＝CD ．（2）结论：52AG GH K=．设CD ＝5a ，CH ＝2a ，利用相似三角形的性质求出AM ，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．（3）如图3中，设AC ＝m ，则BC ＝km ，AB =m ，想办法证明∠CGH ＝∠ABC即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠ACB ＝90°，BE ⊥AF∴∠ACB ＝∠ACF ＝∠AEB ＝90°∵∠ADE+∠EAD＝∠BDC+∠DBC＝90°，∠ADE＝∠BDC，∴∠CAF＝∠DBC，∵BC＝AC，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴CF＝CD．（2）解：结论：52AGGH K=．理由：如图2中，作AM⊥AC交CG的延长线于M．∵CG⊥BD，MA⊥AC，∴∠CAM＝∠CGD＝∠BCD＝90°，∴∠ACM+∠CDG＝90°，∠ACM+∠M＝90°，∴∠CDB＝∠M，∴△BCD∽△CAM，∴BC CDAC AM=＝k，∵CH＝25CD，设CD＝5a，CH＝2a，∴AM＝5ak，∵AM∥CH，∴52AG AMGH CH K==，∴52AGGH K=．（3）解：如图3中，设AC＝m，则BC＝km，AB==m，∵∠DCB＝90°，CG⊥BD，∴△DCG ∽△DBC ，∴DC 2＝DG •DB ，∵AD ＝DC ，∴AD 2＝DG •DB ， ∴AD DB DG AD=， ∵∠ADG ＝∠BDA ，∴△ADG ∽△BDA ，∴∠DAG ＝∠DBA ，∵∠AGD ＝∠GAB +∠DBA ＝∠GAB +∠DAG ＝∠CAB ，∵∠AGD +∠CGH ＝90°，∠CAB +∠ABC ＝90°，∴∠CGH ＝∠ABC ，∴BC AB cos CGH cos ABC ==∠∠＝＝. 【点睛】本题为四边形综合探究题，考查相似三角形、三角函数等知识，解题时注意相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理的应用.26.已知抛物线y ＝ax 2+2x ﹣32（a ≠0）与y 轴交于点A ，与x 轴的一个交点为B ． （1）⊙请直接写出点A 的坐标 ；⊙当抛物线的对称轴为直线x ＝﹣4时，请直接写出a ＝ ；（2）若点B 为（3，0），当m 2+2m +3≤x ≤m 2+2m +5，且am ＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣152，求m 的值；（3）已知点C （﹣5，﹣3）和点D （5，1），若抛物线与线段CD 有两个不同的交点，求a 的取值范围．【答案】（1）①3(0,)2-；②14；（2）1m =；（3）a ＞1750或a ＜﹣3． 【解析】【分析】（1）⊙令x ＝0，由抛物线的解析式求出y 的值，便可得A 点坐标；⊙根据抛物线的对称轴公式列出a 的方程，便可求出a 的值；（2）把B 点坐标代入抛物线的解析式，便可求得a 的值，再结合已知条件am ＜0，得m 的取值范围，再根据二次函数的性质结合条件当m 2+2m +3≤x ≤m 2+2m +5时，抛物线最低点的纵坐标为152-,列出m 的方程，求得m 的值，进而得出m 的准确值；（3）用待定系数法求出CD 的解析式，再求出抛物线的对称轴1x a=-，进而分两种情况：当a ＞0时，抛物线的顶点在y 轴左边，要使抛物线与线段CD 有两个不同的交点，则C 、D 两必须在抛物线上方，顶点在CD 下方，根据这一条件列出a 不等式组，进行解答；当a ＜0时，抛物线的顶点在y 轴的右边，要使抛物线与线段CD 有两个不同的交点，则C 、D 两必须在抛物线下方，抛物线的顶点必须在CD 上方，据此列出a 的不等式组进行解答．【详解】（1）①令x ＝0，得32y =-， ∴3(0,)2A -, 故答案为：3(0,)2-；⊙∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣4， ∴ 242a-=-， ∴a ＝14， 故答案为：14； （2）∵点B 为（3，0），∴9a +6﹣32＝0， ∴a ＝﹣12， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =+-， ∴对称轴为x ＝﹣2，∵am ＜0，∴m ＞0，∴m 2+2m +3＞3＞﹣2， ∵当m 2+2m +3≤x ≤m 2+2m +5时，y 随x 的增大而减小，∵当m 2+2m +3≤x ≤m 2+2m +5，且am ＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣152， ∴ 2221315(25)2(25)222m m m m -+++++-=-， 整理得（m 2+2m +5）2﹣4（m 2+2m +5）﹣12＝0，解得，m 2+2m +5＝6，或m 2+2m +5＝﹣2（△＜0，无解），∴1m =-∵m ＞0，∴1m =；（3）设直线CD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），∵点C （﹣5，﹣3）和点D （5，1），∴ 5351k b k b -+=-⎧⎨+=⎩， ∴251k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴CD 的解析式为215y x =-， ∵y ＝ax 2+2x ﹣32（a ≠0） ∴对称轴为1x a=-， ⊙当a ＞0时，10a-＜，则抛物线的顶点在y 轴左侧， ∵抛物线与线段CD 有两个不同的交点， ∴23251032325101211321()2()()125a a a a a a ⎧---⎪⎪⎪+-⎨⎪⎪-+----⎪⎩＞＞＜， ∴1750a ＞； ⊙当a ＜0时，10a -＞，则抛物线的顶点在y 轴左侧，∵抛物线与线段CD 有两个不同的交点， ∴23251032325101211321()2()()125a a a a a a ⎧---⎪⎪⎪+-⎨⎪⎪-+----⎪⎩＜＜＞， ∴a ＜﹣3，综上，1750a＞或a＜﹣3．【点睛】本题为二次函数综合题，难度较大，解题时需注意用待定系数法求出CD的解析式，再求出抛物线的对称轴1xa=-，要分两种情况进行讨论.。
辽宁省大连市甘井子区联校九年级上学期期中考试数学试题
（本试卷共8页，时间120分钟，满分150分．请考生准备好笔、直尺、三角板等答题工具）一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．点()2,1A -关于原点的对称点的坐标为（ ）．A.()2,1B.()2,1--C.()2,1-D.()1,2- 2．若关于x 的方程220x x m ++=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）． A.1m < B.1m >- C.1m > D.1m <- 3．下列二次根式中，与3是同类根式的是（ ）．A.18B.20C.27D.504．在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转变换得到的是（ ）．5．下列各式计算正确的是（ ）．A ．235+=B ．2222+=C ．22223=-D ．1210652-=-6．二次函数2y ax bx c =++的图像，如图1所示，其对称轴为直线1x =，若点()11,A y -，()22,B y 是它图像上的两点，则1y 与2y 的大小关系是（ ）．A.12y y <B.12y y =题号 一 二 三 四 五 总分 得分Oxy x =1ABCA B C DC.12y y >D.不能确定7．某化肥厂第一季度生产化肥a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度生产化肥的吨数为（ ）．A.2a x ⋅B.2axC.()21a x ⋅+ D.2a ax +8．一物体从高空某一位置落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足函数关系式28.921t s =，其函数图像大致是（ ）．二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．化简：24= ． 10．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为 ． 11．计算2118⋅的结果为 ． 12．某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），计划安排28场比赛，设应邀请x 支球队参赛，则可列出方程 ．13．如图2，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =1，将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△A ′B ′C ，使得点A ′恰好落在AB 上，连接BB ′，则BB ′的长度为 .14．如图4所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ． 15．如图5，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =10,OC =8，在OC 边上取一点D ,将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，则D 点的坐标是 . 16．若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：X -7 -6 -5 -4 -3 -2 y-27-13-3353则当x=1时，y 的值为 ．三．解答题(本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分)17．计算：()()118+5+1514-⎛⎫-- ⎪⎝⎭．18．按要求解下列两个方程：（1）5442=+-x x （配方法） （2）x x x 85)42(-=-（公式法）19．如图5，抛物线c bx x y ++=2经过点A （-4, 0）和C 点（0,-4），与x 轴另外一个交点为B.（1）求此二次函数的解析式；（2）若顶点为D ，则点D 坐标为： ； （3）求出AB 两点之间的距离；（4）当y>0时，则x 的取值范围为： .20．如图6，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形（图中阴影部分），使得留下的图形面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长．xy图5CBAO四．解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21．如图7，RT △ABC 中，∠A=90°它的面积为262cm ，直角边AB 长为cm 2，求△ABC 的周长．22．如图8，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE CF =． ⑴求证：BCE DCF △≌△； ⑵若60BEC ∠=，求EFD ∠的度数．23．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）函数关系为120+-=x y ．（1）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式： ；（2）求出销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．五．解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）24．如图9，在直角梯形ABCD 中，o90,4D C BC CD cm ∠=∠===，∠BAD=45°，过点A 有两条动直线1l 和2l 从点A 出发，且12,l AD l AD ⊥⊥，1l 以1/cm s 的速度从点A 出发沿AD 方向移动，经过4秒后，2l 以2/cm s 的速度沿AD 方向移动，设12,l l 与梯形的边围成的图形的面积为S ，设1l 移动的时间为t . （1）AD= ；（2）求S 与t 之间的函数关系式及S 的最大值.25．如图10，射线//∠绕点A顺时=，将EABAB射线CD，且AB ACCE射线BF，射线//针旋转，EAB∠的两边分别交射线BF于点P，交射线CD于点Q.⑴画出旋转后的图形；⑵猜想线段AP、AQ的数量关系：；⑶继续绕点A旋转EAB∠，使其两边分别交FB的延长线于点P，交射线CD于点Q，探索⑵中的结论是否还成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.26．如图11，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A (－1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M．（1）求该抛物线的解析式：；（2）在BC上方的抛物线上是否存在一点K，使四边形ABKC的面积最大？若存在，求出K 点的坐标及最大面积；（3）连接CP，在第一象限的抛物线上是否存在一点R，使△RPC与△RMB的面积相等，若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．。
2019.11大连协作校期中质量监测九年级数学试卷
2019---2020学年度第一学期阶段质量检测 九年级数学 2019.11注意事项：1.请在答题卡上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷共五大题，26小题，满分150分，考试时间120分钟，请考生准备好答题工具.一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1.下列图形中，是中心对称图形的是A B C D（第1题）2.抛物线y ＝2x 2+3的顶点坐标是A ．（，3）B ．（0，3）C ．（－2，3）D ．（3，0） 2 3.已知ٖO 的半径为6cm ，点P 在ٖO 上，则OP 的长是 A ．12cm B ．5cm C ．6cm D ．4cmC（第4题）4.如图所示，△ABP 是由△ACE 绕A 点旋转得到的，若∠BAP ＝40°，∠B ＝30°，则∠E 的度数为A ．70°B ．100°C ．110°D ．130° 5.将二次函数245y x x =−+−化为2()y a x h k =−+的形式为A. B. 2(2)y x =−+−11112(2)y x =−++C.D.2(2)y x =−−+2(2)y x =−−−6.二次函数是由22(2)1y x =++22y x =怎样平移得到的 A.先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度（第7题）D.先向右平移2个单位度，再向下平移1个单位长度 长7.如图，点A 、B 、C 在ٖO 上，∠A ＝50°，则∠OBC 的度数是 A ．50° B ．40° C ．100° D ．80° 8. 点A （2，1）与点A ′（－2，－1）关于（ ）对称． A ．x 轴 B ．y 轴 C ．原点D ．都不对9.如图，以40m /s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝20t ﹣5t 2．下列叙述正确的是 A ．小球的飞行高度不能达到15m（第9题）B ．小球的飞行高度可以达到25mC ．小球从飞出到落地要用时4sD ．小球飞出1s 时的飞行高度为10m10.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，△ABC 绕点C 顺时针旋转得△CEF ，当E 落在AB 边上时，连接BF ，取BF 的中点D ，连接ED ，则ED 的长度是 AB． C ．3 D．（第10题）二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11.抛物线221y x x =−−与y 轴的交点坐标为 .12.若二次函数22y x x =−+a 有最小值为6，则a 的值为 ．13.如图，在⊙O 中，CD 为直径，AB 为弦， CD 与AB 相交于于E ，EA =EB ，AB ＝24cm ，DE ＝9cm ，则⊙O 的半径为 cm ．14.点P 1（－1，y 1），P 2（4，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数22y x x c =−++的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 ．（用“＜”连接）15.等边△ABC 的边长为3，点D 在边AB 上，且AD ＝2，连接CD ，将△BCD 绕点C 旋转一定角度，使得BC 与AC 重合，得到△ACE ，连接DE ，则DE 的长为 ．16.如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A 、B （m +2，0）与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为（m ，c ），则点A 的坐标是_______.第13题第15题三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各10分，20题9分，共39分）17.解方程：2x－4x－7=0.18.一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式.19.如图，在△OAB中OA＝OB，⊙O交AB于点C、D，求证：AC＝BD．第19题20.如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，AB＝AD．求证：EA平分∠DEC.E第20题四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21. 某地区为进一步发展基础教育，自2016年以来加大了教育经费的投入，2016年该地区投入教育经费5000万元，2018年投入教育经费7200万元． （1）求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率；（2）若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请预算2019年该地区投入教育经费为_________万元．22. 如图，抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ． （1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标.23.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙上，∠ABC 的平分线交⊙于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ． O O 第23题（1）求证：ED 为⊙O 的切线；（2）若AB =10，2ED CE =，求的长． BC五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分） 24.已知Rt △OAB ，90OAB ∠=°，30ABO ∠=°，斜边4OB =，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转，得到△COD ，如图1，连接． 60°BC （1）求BC 的长度；（2）如图2，点M ，同时从点出发，在△OCB 边上运动，N O M 沿 O C B →→路径匀速运动，沿路径匀速运动，当两点相N O B C →→遇时运动停止，已知点M 的运动速度为1.5个单位/秒，点的运动速度为1个单位/秒，设运动时间为N x 秒，△OMN 的面积为，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出自变量x 的取值范围. y 图1A 图2第24题25.阅读下列材料，完成（1）~（3）题：数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，经过点A 、C 作射线BE 的垂线，垂足分别为点F 、G ，连接AG .探究线段DF 和AG 的关系. 某学习小组的同学经过思考后，交流了自己的想法： 小明：“经过观察和度量，发现∠ABF 和∠ACG 相等.” 小刚：“经过观察和度量，发现有两条线段和AF 相等.”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段DF 和AG 的关系.” ……老师：“若点E 不是AC 的中点，其他条件不变（如图2），可以求出DFCG的值.” 图1DD图2第25题（1）求证：AF =FG ；（2）探究线段DF 和AG 的关系，并证明； （3）直接写出DFCG的值.26.在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴，y 轴分别交于点4y x =+4A ，B ，点A 在抛物线23y ax bx a =+−（0a <）上，将点向右平移3 B 个单位长度，得到点．C （1）抛物线的顶点坐标为______________（用含a 的代数式表示）；（2）若，当t －1≤x ≤t 时，函数1a =−23y ax bx a =+−（0a <）的最大值为1y ，最小值为2y ，且122y y −=，求t 的值；（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． BC a。