1.4计数应用题

1.4计数应用题

［教学目的］

一、知识与技能：掌握排列组合混合、分组问题的求解方法

二、过程与方法：通过复习说明具体例子的求解方法，探究出一般的结论

三、情感态度与价值观：体会探究的思路方法

［教学难点］分组问题的结论

［教学重点］选排与分组问题

［教学过程］

一、复习：1、一般的一个计数问题的解决思路

否

是

其中计算各部分的值，如果各部分是不重复的元素，程序流程为：举例T交换顺序后看是否是满足条件的另一个T是用排列，否则用组合T列式计算

2、排列问题中除了无条件限制外，有三种比较典型的基础问题：优限、并元、插空

二、典例讲练

练习：教材P28---练习3, 4

例1、高二某班有30名男生、20名女生，从这50名学生按性别抽样分层方法中选5人

(1)男、女生各多少人？

(2)若抽取的五人分别担任班长、付班长、学习委员、体育委员和文艺委员，有多少不同的安排方法？

3!

②不平均分组时，只能一组一个，另一组三个，有 =4种分法(具体列举为

(a,bcd),(b,acd),(c,abd),(d,abc)

)

思考1： 2n 个元素平均分成两组，有多少种分法？不平均分成两组, 一组

k(k 丰n)人另一组 2n-k 人

C n C n

呢?（誉,g ：）

思考2： 3n 人平均分成三组，有多少种分法？不平均分成三组,

一组k 人，一组t 人，另一组3n-k-t

C n

C n

C n

人(k,t 工n )呢？ ( C3n

C 2nCn

，C 3k n

C3n ^c3r n^4，可以从特殊到一般的归纳出结果

)

解：(1)男生抽取3名，女生抽取2人

(2)C 30C 20A 5 =92568000 (种) 答：有92568000种不同的安排方法

说明：一个问题既有排列又有组合时，往往是先不考虑顺序选出元素来，再对元素进行排列顺序， 这种问题称选排问题。解决选排问题的思路方法是先选后排 。

练习：教材 P28---1,2,5

例2、(1)两个人平均分成两组，有多少种分法？

(2)三个人平均分成三组，有多少种分法？分成两组

呢？ (3)四个人平均分成两组，有多少种分法？不平均分成两组呢？

解：(1)［方法一］设两人为a 、b ,分成两组只能一组为

a 另一组为

b ,只有一种分法

［方法二］第一组有C ；种取法，余下的为第二组，但实质上是没有组号区别的

(a 在第一组与a 在第

C 1

二组是一种分组)，于是有 —=1 (种)分法

2

(2)①平均分组［方法一］设三人为a 、b 、c ，分成三组只能一组为 a 一组为b ，另一组为c 。只有一 种分法 ［方法二］第一组有C

3种取法，第二组有 C 2中取法，余下的为第三组，但实质上是没有组号区别的

C C C ((a,b,c),(b,c,a) …等是同一分组)，于是有 ——-1 =1 (种)分法

3!

②若不平均分两组，只能一组为

1人，另一组为 2人，有C ；c ；=3种分法。(具体列举为

(a,bc),(b,ac),(c,ab) )

(3)

①平均分成两组，只能每组 2人

［方法一］设四人为a 、b 、c 、d ，分成两组只能(ab,cd),(ac,bd),(ad,bc) ，有三种分法 ［方法二］第一组有C 42种取法，余下的为第二组，但实质上是没有组号区别的(

(ab,cd)与(cd,ab)

C 2

C 2

是同一中种分法)，于是有注乙=3 (种)分法

2!

3、

=1260

3!

说明：分组问题要看是否是平均分组，是的情况下分成几组就要除以几的阶乘，不是平均分组情况 下，不用除以几的阶乘）

C 1C 1C 1

练习：四双成对的鞋子，丛中取 4只，恰有一双成对的取法有 _______ 种？ （ C 4

C 6

C 4

=48）

2!

三、 小结：排列组合问题应用题都是针对不重复元素进行的，无条件限制时，直接符号表示求出结 果，有条件限制的有五种基本类型： 优限（先特殊后一般）、并元（将相临元素看作一个整体参与排列） 、 插空（不相临问题）、选排（先选后排）、分组（分平均分组和不平均分组两类） ，注意各自的求解思路

与方法。

四、 作业：教材： P29----1、2、5、6、7、10 ［补充习题］

1、 某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的 3个志愿栏内，其中 A 校定为第一志愿； 再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中 B 、C 两校必选，且B 在C 前.问：此

考生共有 _______________ 种不同的填表方法？

2、 A,B,C,D,E5位同学进行网页设计比赛，决出了第 1至第5名的名次.A 、B 两位同学去询问 名次，主考官对 A 说：“很遗憾，你和 B 都未拿到冠军”；对B 说：“你当然不会是最差的.”从这个回 答分析，5位同学的名次排列共可能有 ____________________________ 种不同的情况.

3、 将9人分成四组，一组 3人，余下的每组2人，有多少种不同的分法？ ［补充习题解答］ 1、先填第一档次的三个志愿栏：因 A 校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、三志愿有

A

2

种填法；再填第二档次的三个志愿栏： B 、C 两校有c 2种填法，剩余的一个志愿栏有 A 1种填法.由分 步计数原理知，此考生不同的填表方法共有 A 2 c 2

A 1

=270 （种）*

2、3 3 A 3 =54

cmc^c

［情况反馈］