5.不等式及简单线性规划
第5讲 不等式及简单线性规划过去五年高考本讲内容占分情况1、差比数列是什么？怎么求和？2、请举出4种常见的数列求和方法3、（预习）不等式的一般解法都有哪些？前章回顾高考速递课标导航5.1不等关系与不等式1．不等式的定义我们用数学符号()≠><，，，≤，≥连接两个数或代数式，以表示它们的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式． 2．关于“a b ?”，“a b ?”的含义不等式应读作“a 小于或者等于b ”，即理解为：a b <或a b =之中有一个正确，则正确．如：34<正确，则34 ?没有逻辑错误，因为3、4是具体的整值，“34<”比“34≤”更确切．从集合的角度看．如果a b 、是两个实数，则有{}{}{})))a b a b a b a b a b a b =>= ?（，（，（，． 3．同号不等式和异号不等式按不等式的开口方向分：在不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫做同号不等式．4．对于任意两个实数a 和b ，在a b a b a b =><，，三种关系中，有且仅有一种关系成立． 5．两个实数的大小比较：（1）实数的特征①任意实数的平方不小于0，即20a R a ∈⇔ ?②任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数．（复数不可以比较大小，这个我们以后会学到） （2）实数比较大小的依据对于任意两个实数a b ，，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．可以看出a b ，具有以下的性质：0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=．6．比较两数（式）大小的方法（1）要比较两个实数的大小，只要将两个数进行作差，作差后应变形为：①常数；②常数与几个平方和的形式，常用配方法或实数特征20a ?判断差的符号；③几个因式积的形式，常用因式分解法． （2）作商比较法 （3）特殊值法a b ?a b ?概念辨析（4）函数的性质 （5）分子有理化【例1】（1）20x x +≠是否是不等式？（2）如果，那么是否成立？是否成立？ （3）如果6x ?，那么是否成立？【例2】已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B.11a b ->- C.22a b > D.22a b >【例3】设10x y -<<<，则x ，xy ，2xy 三者的大小关系为__________.5x =5x ?5x >6x >a b <11a b>例题精讲【例4】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润。
已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件。
若把提价后商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？5.2不等式的性质1．不等式的性质性质1：（对称性）如果，那么；如果，那么． 性质2：（传递性）如果，且b c >，则a c >． 性质3：（加法法则）如果，则a c b c +>+．推论1（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2（同向可加性）如果，c d >，则．推广：两个以上的不等式，及：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．性质4：（乘法法则）如果，，则ac bc >；如果，，则． 实数大小的作商比较法：当0b ≠时，若1a b >，且0b >，则；若，且，则．推论1（正值同向可乘性）如果0a b >>，0c d >>，则ac bd >．推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向． 推论2（乘方法则）如果，则(,1)n n a b n N n +>∈>． 推论3（开方法则）如果．【例5】对于实数a ，，，有下列命题：①若a b >，则；②若22ac bc >，则a b >；③若0a b <<，则22a ab b >>；④0c a b >>>，则a bc a c b >--；⑤若，11a b>，则0a >，.其中正确的是_____________.a b >b a <b a <a b >a b >a b >a b >a c b d +>+a b >0c >a b >0c <ac bc <a b >1ab>0b <a b <0a b >>0a b >>,1)n N n +>∈>b c ac bc <a b >0b <例题精讲概念辨析【例6】已知，，0e <，求证：e e a c b d>--.【例7】已知23a <<，14b <<，求①a b -，②ab的取值范围.0a b >>0c d <<5.3二元一次不等式（组）所表示的平面区域8.二元一次不等式表示的平面的区域（1） 二元一次不等式及其解得定义含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式叫做二元一次不等式．使不等式成立的未知数的值叫做它的解．它的解释一些实数对(,)x y . （2） 二元一次不等式表示的平面区域①已知直线:0l Ax By C ++=，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面与l 的并集叫做闭半平面.②以不等式的解为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象.③在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线某一侧区域，把直线画成虚线，以表示区域不包括边界；表示的平面区域包括边界，把边界画成实线，即不等式中仅“>”或“<”不包括边界，但含“…”，“…”包括边界，且同侧同号，异侧异号.④二元一次不等式的平面区域判断方法：a.测试点法：在直线的一侧的取某个特殊点为测试点，由的符号判断表示直线的哪一侧区域.特别地，当0C ≠时，常把原点作为测试点，这种方法我们归结为“直线定界，特殊点定域”法.b.二元一次不等式表示平面区域的四种情形．①(0,0)A B >> ②(,)x y 0Ax By C ++>0Ax By C ++=0Ax By C ++ ?0Ax By C ++=00(,)x y 00Ax By C ++0Ax By C ++>0Ax By C ++=(0,0)0Ax By C ++>0Ax By C ++<(A >概念辨析xx③ ④9.二元一次不等式组表示的平面区域（1）由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组；满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成的有序数(,)x y 叫做二元一次不等式组的解.（2）二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分．【例8】画出下列不等式表示的平面区域：（1）2100x y +-<，（2）0Ax By C ++>(0,0)A B <>0Ax By C ++ ?(0,0)A B ><440x y +- ?例题精讲xx【例9】不等式组，表示的区域为D ，已知点，，则（ ）A.1P D ∉，2P D ∉B.1P D ∉，2P D ∈C.1P D ∈，D.，【例10】画出不等式组表示的平面区域，求出区域的面积.5.4简单线性规划10.线性规划的有关概念（1） 约束条件：由未知数的不等式（或方程）组成的不等式组称为的约束条件．如：不等式组就是一个关于的约束条件．（2） 线性约束条件：关于未知数的一次不等式（或方程）组成的不等式组称为的线性约束条件．13y x x y y <⎧⎪+⎨⎪-⎩? ?1(0,2)P -2(0,0)P 2PD ∉1P D ∈2P D ∈5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩? ? ?,x y ,x y 25003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩? ??,x y ,x y ,x y 概念辨析如：不等式组就是,x y 的一个线性约束条件．（3） 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式．如：已知,x y 满足约束条件4335251x y x y x --⎧⎪+⎨⎪⎩? ? ?，分别确定,x y 的值，使2z x y =+取到最大值和最小值，和使z '其中2z x y =+和z '标函数．（4） 线性目标函数：目标函数为变量,x y 的一次解析式．如上例中，2z x y =+为线性目标函数，而z '是一个目标函数．（5） 线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称之为线性规划问题．（6） 可行解：一般地，满足线性约束条件的解(,)x y ，叫做可行解. （7） 可行域：由所有可行解组成的集合，叫做可行域．（8） 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解． 11.线性规划问题的图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”：（1）画：在直角坐标平面上画出可行域和直线（目标函数为）； （2）移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点； （3）求：求出取得最大值或最小值的点的坐标（解方程组）及最大值和最小值； （4）答：结合问题写出答案.【例11】目标函数2z x y =+在约束条件30200x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥下取得的最大值是________．230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩0ax by +=z ax by =+0ax by +=z ax by =+【例12】已知实数x，y满足220240330x yx yx y+-⎧⎪-+⎨⎪--⎩???，试求22z x y=+的最小值.【例13】某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司应该如何合理计划党团派用两类卡车的车辆数，才可以得到最大利润.A基础演练【练1】设2M x =，1N x =-，则M 与N 的大小关系为（ ）A. B. C. D.与x 有关【练2】若0a <，10b -<<，则a ，ab ，2ab 由小到大的次序依次为_______________.【练3】、、、均为正实数，且，将、、与按从小到大的顺序进行排列．【练4】已知、、、均为实数，且，，则下列各式恒成立的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【练5】下面四个点中，在平面区域4y x y x <+⎧⎨>-⎩内的点是（ ） A.(00)，B.(02)，C.(3,2)-D.(2,0)- 【练6】不等式210x y +->表示的平面区域在直线21=0x y +-的（ ）A ． 左上方B ． 左下方C ．右上方D ．右下方【练7】若变量满足约束条件1020y x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩? ? ?，则2z x y =-的最大值为（ ）.A.4B.3C.2D.1【练8】利用平面区域求不等式组430352501x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩? ? ?的整数解.M N >M N =M N <a b c d a b >b a a b b c a c ++a d b d ++a b c d 0ab >c d a b -<-bc ad <bc ad >a b c d >a b c d <,x y 全能突破能力提升【练9】若110a b<<，有下面四个不等式：①a b >；②；③a b ab +<；④33a b >.则不正确的不等式的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3【练10】已知，2b =，a 和b 的大小关系是 A. B. C. D.【练11】若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.11a b b a +>+ B.11b b a a +>+ C. D.【练12】若二次函数()y f x =的图象过原点，且1(1)2f - ? ?，，求的取值范围.【练13】如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分（包括边界），则这个不等式组是________________.【练14】设变量,x y 满足1x y + ?，则2x y +的最大值和最小值分别为（ ）A.1,1-B.C.D. 【练15】已知不等式组y x y x x a ⎧⎪-⎨⎪⎩? ? ?，表示的平面区域的面积为4，点(,)P x y 在所给平面区域内，则2z x y =+的最大值为________.【练16】在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车a b<3311a ⎫⎫=--⎪⎪⎭⎭a b <a b >a b ?a b ?0a b >>11a b b a ->-22a b a a b b +>+3(1)4f ? ?(2)f -2,2-1,2-2,1-和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可将洗衣机10台.若每辆车至少只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元高考链接【练17】（2014北京理）若,x y 满足20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【练18】（2013北京理）设关于的不等式组表示的平面区域内存在点00(,)P x y 满足0022x y -=，求得m 的取值范围是A. B. C. D. 【练19】（2014北京文）若满足，则的最小值为___________.,x y 210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,x y 11010y x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩? ??z y =+小结与复习1、不等式的性质有哪些？2、二元一次不等式如何判断它的平面区域？3、解线性规划问题的基本步骤是什么？4、（预习）什么是基本不等式？。
人教版高中数学必修5第三章不等式 3.3.2 简单的线性规划问题
钢板张数最少？
分
A规格 B规格 C规格 张数
析： 第一种钢板
2
1
1
x
列 第二种钢板
1
2
3
y
表 成品块数 2x y x 2y x 3y
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截
这两种钢板共z张，则
2x y 15,
x x
2y 3y
18, 27,
x 0,
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合时. 作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y ax z 与边界
线重合时，有无数个点，
使函数值取得最大值，
此时有 kl kAC .
3
3
k AC
5
, kl
a
ห้องสมุดไป่ตู้. 5
问题的最优解.
（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关 系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
x 4 y 3, 例2 已知x, y满足 3x 5 y 25,设z ax y(a 0),
不等式与线性规划
条件， 条件，原函数中有一个因式 之和为定值，需以（ ）之和为定值，需以（ 与（ 拆成 解: ，这时就有
当且仅当
，即
时，
评注：一般说， 评注：一般说，凑“和”为定值较难，它需要一定的技 为定值较难， 巧。当然这种技巧来源于对均值定理的真正理解和基 本的恒等变形能力。 本的恒等变形能力。
(三)、找等号 三、 例4 求函数
1+ y2 2x2 2
并非“定值” 并非“定值”，故不能直接运用 拆（添）项重组。 项重组。
均值不等式， 均值不等式，为此需对原式按 解：原函数化为
。
因为 当且仅当 即x=1，x=－1时， ， － 时
例3 求函数 分析： 分析：因
的最大值。 的最大值。 定值，故需拆凑使其满足定值 ，为使其余因式 ）为准将 定值。 定值。
d - >0(其 其 b
作为条件,余下的一个不等式作为结论组成 作为条件 余下的一个不等式作为结论组成
c d >0, 由ab>0,bc-ad>0可得出 可得出 a b c d bc-ad>0两边同除以 得 - >0. 两边同除以ab,得 两边同除以 a b c0,ab>0,可得 可得bc-ad>0. 可得
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利用均值不等式求最值 均值不等式（定理）具有将“和式” 均值不等式（定理）具有将“和式”与“积式” 积式” 相 互转化的功能，应用比较广泛， 互转化的功能，应用比较广泛，这里仅就其在 求函数最值中的应用述其管见。 求函数最值中的应用述其管见。为了用好该不 等式， 等式，首先要正确理解该不等式中的三个条件 三要素）： （三要素）： 各项或各因式均为正值）、 正（各项或各因式均为正值）、 和或积为定值）、 定（和或积为定值）、 各项或各因式都能取得相等的值， 等（各项或各因式都能取得相等的值， 即具备等号成立的条件）， 即具备等号成立的条件）， 简称“一正、二定、三相等” 这三条缺一不可， 简称“一正、二定、三相等”，这三条缺一不可， 当然还要牢记结论：积定→和最小 和定→积最 和最小， 当然还要牢记结论：积定 和最小，和定 积最
高一 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识点+例题+练习 含答案
1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有①当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； ②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) (4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ )1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________．答案 ③解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为③. 3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是________． 答案 2解析 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故AB ＝2，AC ＝22， 其面积为12×AB ×AC ＝2.4．(2015·北京改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 2解析 可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的________．(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．答案 (1)③ (2)43解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有③符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.命题点2 含参数的平面区域问题 例2 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是____________________________________________________________． 答案 73解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________． (2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为________．答案 (1)[3，＋∞) (2)1解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．题型二 求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝________. 答案 6解析 画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 命题点2 求非线性目标函数的最值 例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)， ∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)， ∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，∴z 的取值范围是(1,5]． 引申探究1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率．∴z 的取值范围是(－∞，0)．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方，(PQ 2)max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2， (PQ 2)min ＝(|1－1＋1|12＋(－1)2)2＝12，∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求线性规划的参数例5 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．(1)(2015·无锡一模)在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为________．(2)(2014·安徽改编)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________． 答案 (1)1 (2)2或－1 解析 (1)不等式组⎩⎨⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.题型三 线性规划的实际应用例6 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．(2015·陕西改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128答案 18解析 设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．8．含参数的线性规划问题的易错点典例 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.易错分析 题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x ＋y ＝m 和直线y ＝－x 平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点．解析 显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值， 最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.答案 5温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来． (2)应注意直线y ＝x －z 经过的特殊点．[方法与技巧]1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题． [失误与防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案 1解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．2．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________． 答案 m >1解析 由2m ＋3－5>0，得m >1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3.4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________． 答案 (0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 解析 不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元． 答案 2 800解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．6．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________． 答案 1解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.7．(2015·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是________． 答案 1解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x 的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是__________．答案 [－53，5)解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)． 答案 15解析 设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)， 画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15. 10．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________． 答案2513解析 因为a >0，b >0， 所以由可行域得，如图，当目标函数过点(4,6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10.a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是2513.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (－103，－2)解析 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解． 令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)>0，f (1)>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2.12．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为________． 答案55解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →， 则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →| ＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55.13．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x )≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________． 答案 π2解析 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ≥0，y －1x ≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心， 以1为半径的圆及圆的内部， 作出它们表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形． 由于圆和曲线y ＝1x 关于直线y ＝x 对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2.14．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．答案 37解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1. 显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.16．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案 6解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．。
二元一次不等式及简单的线性规划问题
线性目标函数 关于x，y的_一__次__解析式
可行解 满足线性约束条件的解_(x_，__y_)_
可行域 所有可行解组成的_集__合_
最优解 使目标函数取得_最__大__值_或最__小__值__的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的_最_大__ 值__或最__小__值__问题
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部分所示，平移直线y＝－2x，当直
线平移到过点A时，目标函数取得最
大值，由
2x－y＝0， x＋y＝3，
可得A(1,2)，
此时2x＋y取最大值为2×1＋2＝4．
答案：4
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二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 结 束
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一
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2．常见的3类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by．
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为
直线的斜截式：y＝－
a b
x＋
z b
，通过求直线的截距
z b
的最
值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2．
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[小题体验]
1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是
()
A．(0,0)
B．(－1,1)
C．(－1,3)
D．(2，－3)
答案：C
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第四讲 不等式与简单的线性规划
第4讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲求z的取值范围需得(x，y)所在区域 和z的几何意义 ⇨ (推理)画出不等式组表示的区域，确立目标 函数z的几何意义 ⇨ (结论)数形结合寻找其最大值和最小值． (2)(分析)欲得求解目标需要变量满足的条件和目标解析式 ⇨ (推理)设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y，列出x，y满足 的不等式组，用x，y表示种植总利润z ⇨ (结论)按照一般线性 规划的解法求解其最大值．
第4讲│ 要点热点探究
(2)函数g(x)＝2x，g(a)g(b)＝2a·b＝2a b＝16，所以a＋b＝ 2 4.
4 1 4 1 1 1 4b a 1 方法1： a ＋ b ＝ (a＋b) a＋b ＝ 5＋ a ＋b ≥ 4 4 4 4b a 8 4b a 9 ＝ ，等号当且仅当 a ＝ b ，即a＝2b，即a＝ ， 5＋2 3 a · 4 b 4 b＝ 时取得． 3
第4讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(分析)欲判断各个选项是否成立需考虑不 等式能够成立的条件 ⇨ (推理)如果条件是充分的则不等式成 立，否则不成立 ⇨ (结论)根据各选项作出判断． 4 1 (2)(分析)欲求 a ＋ b 的最小值需要a，b的关系 ⇨ (推理)根 据g(a)g(b)＝16确定a，b关系，进行常数代换 ⇨ (结论)应用 基本不等式得最值．
专题一 集合与常用逻辑用语、 函数与导数、不等式
第1讲 集合与常用逻辑用语 第2讲 函数、基本初等函数 Ⅰ的图象与性质 第3讲 函数与方程、函数模 型及其应用 第4讲 不等式与简单的线性 规划 第5讲 导数在研究函数性质 中的应用
第4讲
不等式与简单的线 性规划
第4讲 │ 云览高考
[云览高考]
不等式及线性规划及详细答案
不等式及线性规划1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．45 2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 3设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A ．－15B ．－9C ．1D ．9 4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为______. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为______.6.下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <c b (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b(a ，b ，m >0且a <b )，恒成立的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．07.已知一元二次不等式f (x )≤9的解集为{x |x ≤12或x ≥3}，则f (e x )>0的解集为( ) A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln2<x <ln3}C ．{x |x <ln3}D ．{x |－ln2<x <ln3}8.已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( )A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0D ．ln x ＋ln y >09．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为______. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为______.【参考答案】1.[解析]画出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x ＋5y 得y ＝－35x ＋z 5. 设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z 5过点P (2,3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋5×3＝21.故选C ．2．[解析] 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出直线y ＝－x ，并平移该直线，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取最大值．由图知A (3,0)，故z max ＝3＋0＝3.故选D ．3．[解析] 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A ．4．[解析] 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2. 作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z 2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.5．[解析] 由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)， ∴ z max ＝5＋4＝9.6.[解析] 当x <0时，①不成立；由a >b >c >0得1a <1b ，所以c a <c b 成立，所以②恒成立；a ＋m b ＋m－a b ＝m (b －a )b (b ＋m )，由a ，b ，m >0且a <b 知a ＋m b ＋m －a b>0恒成立，故③恒成立． 7.[解析] 由题意可知，一元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下，故f (x )>0的解集为{x |12<x <3}，又因为f (e x )>0，所以12<e x <3，解得－ln2<x <ln3. 8.[解析] 因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ．9．[解析] ∵ a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0时等号成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时取到等号．10．[解析]方法一：如图(1)，∵ S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴ 12ac ·sin120°＝12c ×1×sin60°＋12a ×1×sin60°， ∴ ac ＝a ＋c .∴ 1a ＋1c＝1. ∴ 4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝c a ＋4a c ＋5≥2c a ·4a c＋5＝9. 当且仅当c a ＝4a c，即c ＝2a 时取等号． 方法二：如图(2)，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系，则D (1,0)， A ⎝⎛⎭⎫c 2，－32c ，C ⎝⎛⎭⎫a 2，32a . 又A ，D ，C 三点共线，∴ c 2－1－32c ＝a 2－132a ， ∴ ac ＝a ＋c .以下同方法一．。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第十四课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【知识与技能】会画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．【重点难点】教学重点：二元一次不等式(组)表示的平面区域．教学难点：准确理解和判断二元一次不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧．【教学过程】一、问题与探究1．给出不等式(1)2x＋3y－4>0，(2)x－4y＋1≤0，观察它们有什么共同特点？提示：都含有个未知数，未知数的次数都是．归纳：(1)含有未知数，并且未知数的次数是的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组．(2)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的．2．如图作直线x＋y－1＝0，此直线将坐标平面分成几部分？提示：三个部分．即直线的两侧与直线上．3．在直线上任取点P(x0，y0)，它与方程x＋y－1＝0有怎样的关系？提示：P点的坐标满足方程．4．在直线上方取点(0,2)，(1,3)，(0,5)，(2,2)，把它们分别代入式子x＋y－1中，其符号怎样？在直线的下方取点呢？提示：直线上方的点的坐标都满足x＋y－1>0，直线下方的点的坐标都满足x＋y－1<0．归纳：(1)直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成的三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足．②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足．(2)在直角坐标平面内，把直线l：ax＋by＋c＝0画成，表示平面区域包括这一边界直线；画成表示平面区域不包括这一边界直线．(3)①对于直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c所得的符号都．②在直线ax＋by＋c＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由的符号可以断定ax＋by＋c>0表示的是直线ax＋by＋c＝0哪一侧的平面区域.(4)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的．二、合作与探究类型1 二元一次不等式表示的平面区域【例1】画出下列不等式表示的平面区域：(1)2x ＋y －10<0； (2)y ≤－2x ＋3．小结：1．画平面区域时，要分清实线和虚线，“≥”“≤”应画成实线如(2)，“>，<”应画成虚线，如(1)．2．二元一次不等式表示的平面区域的画法是以线定界，以点定域(以Ax ＋By ＋C >0为例)．(1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．(2)“以点定域”，由于对在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的点，实数Ax ＋By ＋C 的值的符号都相同，故为了确定Ax ＋By ＋C 的符号，可采用取特殊点法，如取原点等．【练习】画出下列不等式表示的平面区域：(1)2x －3y ＋6≥0； (2)x ≥1； (3)2y ＋3<0．类型2 二元一次不等式组表示的平面区域 【例2】已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，4x ＋3y ≤12.(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)求不等式所表示的平面区域的面积；(3)求不等式所表示的平面区域内的整点坐标．小结：1．在画二元一次不等式组所表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可，其步骤为：①画线(注意实、虚)；②定侧；③求“交”；④表示．2．画出不等式表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标．(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高．必要时分割区域为特殊图形．(2)整点是横纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误．【练习】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，2x ＋y －5≤0，y ≤x ＋2所表示的平面区域，并求其面积．类型3 用二元一次不等式组表示实际问题【例3】一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表所示，设厂里有工人200人，每天只能保证160 kW·h 的用电额度，每天用煤不得超过150 t ，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围.小结：用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需要设出有关量，再根据有关量的限制条件和实际意义写出不等式，组成不等式组，最后画出平面区域．注意：在实际问题中写不等式组时，必须把所有的限制条件都表示出来，而不能遗漏任何一个．【练习】甲、乙、丙三种食物的维生素A 、维生素D 的含量如下表：混合食物中至少含有560单位维生素A 和630单位维生素D.请在平面直角坐标系画出甲、乙两种食物的用量范围．三、课时小结1．一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0在平面直角坐标系内表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域．2．在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定边界、特殊点定区域”的方法来画区域．取点时，若直线不过原点，一般用“原点定区域”；若直线过原点，则取点(1,0)即可．总之，尽量减少运算量．3．画平面区域时，注意边界线的虚实问题． 四、课时作业1．(2013·岳阳高二检测)图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( ) A ．x ＋y －1<0 B ．x ＋y －1>0 C ．x －y －1<0D ．x －y －1>02．(2013·新余高二检测)在平面直角坐标系中，可表示满足不等式x 2－y 2≤0的点(x ，y )的集合(用阴影部分来表示)的是( )3．(2013·福建师大附中高二检测)在平面直角坐标系中，若点(2，t )在直线x －2y ＋4＝0的右下方区域包括边界，则t 的取值范围是( )A ．t <3B ．t >3C ．t ≥3D ．t ≤3 4． 5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a ≥7 5．点P (m ，n )不在不等式5x ＋4y －1>0表示的平面区域内，则m ，n 满足的条件是________． 6．(2013·苏州高二检测)不等式|2x ＋y ＋m |<3表示的平面区域包含点(0,0)和点(－1,1)，则m 的取值范围是________．7．(2013·南昌高二检测)已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________．8．在△ABC 中，A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，写出△ABC (包含边界)内部所对应的二元一次不等式组．9．画出下列不等式(组)表示的平面区域．(1)(x －y )(x －y －1)≤0； (2)|3x ＋4y －1|<5； (3)x ≤|y |≤2x ．。
不等式简单的线性规划问题利用简单的线性规划求最值
线性规划问题的应用
生产计划
如何安排各种资源（如人力、原材 料、设备等）以生产出最大利润或 最小成本的产品。
货物运输
如何安排车辆或船只运输货物，使 得运输成本最低或运输时间最短。
资源分配
如何将有限的资源分配给不同的项 目或任务，以获得最大的效益。
配料问题
如何在满足一定质量要求的条件下 ，使用最少的原料或以最小的成本 配制出所需的产品。
引入人工变量
对于不等式约束条件，可以引入人工变量来扩展变量的维度，将不等式约束条件 转换为等式约束条件。
不等式约束条件下线性规划问题的求解方法
将不等式约束条件加入目标函数中
将不等式约束条件加入目标函数中，并求解目标函数的最小值或最大值。
利用线性规划求解
对于不等式约束条件下线性规划问题，可以利用线性规划的求解方法，如单 纯形法、椭球法等来求解目标函数的最小值或最大值。
数据科学
1. 研究大数据分析中的优化问题；2. 探索高效的数据处理和特征提取方法；3. 提高数据 分析和处理的精度和效率。
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迭代法
通过不断迭代，逼近最优解。
优化问题的实际应用
资源分配问题
如何分配有限资源，使得产出最大化或成本最小 化。
运输问题
如何制定最优运输计划，使得运输成本最低且满 足需求。
选址问题
如何在多个候选地点中选择最优地点，使得某项 业务运营成本最低或收益最大。
06
总结与展望
不等式简单的线性规问题求解方法的优缺点
05
利用简单的线性规划解决优化问题
优化问题的定义与分类
定义
优化问题是在一定约束条件下，寻求一个或多个自变量取何值时，使得目标 函数取得极值（极大值或极小值）。
不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析
线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义：（2）掌握简单的二元线性规划问题•的解法.（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法;（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问•题.（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力.【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1.目标函数：P =2x + y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数.2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3.整点:坐标为整数的点叫做整点.4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题.只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.5.整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一泄的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线.2•确迫二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平而区域：否则，直线的另一侧为所求的平面区域.若直线不过原点，通常选择原点代入检验.3.平移直线y=-kx +P时，直线必须经过可行域.4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约朿条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提岀，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平而区域做岀可行域：（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一. 1.点P （xo, y0）在直线Ax+By+C=O上，则点P坐标适合方程，即Ax°+By°+C二02.点P （xo, yo）在直线Ax+By+C二0 上方（左上或右上），则当B>0 时,Axo+Byo+C>0;当B<0时,Axo+Byo+C<03.点P （xo, yo）在直线Ax+By+C二0 下方（左下或右下），当B>0 时，Ax0+By o+C<0;当弘0 时,Axo+By o+C>0注意：（1）在直线Ax+By+C二0同一侧的所有点，把它的坐标（x,y）代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同，（2）在直线Ax+By+C二0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反，即：1 •点P（x“yJ 和点Q（x：,y=）在直线Ax+By+C 二0 的同侧，则有（Ax,+ByM）（Ax；+By：+C）>0 2•点P（x“yJ和点QgyJ在直线Ax+By+C二0 的两侧，则有（Ax,+ByM）（ Ax：+ByM）〈0二、二元一次不等式表示平面区域：①二元一次不等式Ax+By+C>0（或〈0）在平而直角坐标系中表示直线Ax+By乂二0某一侧所有点组成的平而区域.否包括边界；②二元一次不等式Ax+By+CNO （或W0）在平而直角坐标系中表示直线Ax+By+C二0某一侧所有点组成的平而区域且包括边界；注意：作图时，不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法：方法一:取特殊点检验；“直线定界、特殊点左域原因：由于对在直线Ax+By+C二0的同一侧的所有点（x, y）,把它的坐标（x, y）代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（xo, y0）,从Ax°+By°+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平而区域•特姝地，当CH0时，常把原点作为特殊点，当C二0时，可用（0, 1）或（1, 0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
不等式及线性规划问题(讲义)
不等式及线性规划问题（讲义）知识点睛一、 不等式的基本性质 性质1：a b b a >⇔< 性质2：a b b c a c >>⇒>， 性质3：a b a c b c >⇒+>+性质4：a b >，0c >ac bc ⇒>；a b >，0c <ac bc ⇒< 性质5：a b c d a c b d >>⇒+>+， 性质6：00a b c d ac bd >>>>⇒>，性质7：0(2)n n a b a b n n >>⇒>∈≥，N 性质8：0(2)a b n n >>⇒>∈≥，N 二、 一元二次不等式及其解法一般地，对于解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，通常步骤如下： （1）解方程20(0)ax bx c a ++=≠常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法. （2）解不等式 考虑两种解法：函数法：借助函数图象求解①画出对应函数2y ax bx c =++的图象； ②依据图象得出不等式的解集．代数法：借助实数乘法法则，解不等式组. 三、 绝对值不等式的解法1. 解绝对值不等式的核心：去绝对值去绝对值方法：以||x a -为例 （1）绝对值的几何意义：①||x a -表示数轴上x a -，0对应两点之间的距离②||x a -表示数轴上 x a ，对应两点之间的距离 （2）绝对值法则： ||0x a x a x a x a x a x a ->⎧⎪-==⎨⎪-+<⎩，，，（3）偶次方：221||() ( )n n x a x a n n -=-∈≥，N2. 解绝对值不等式常见题型（1）单个绝对值型不等式：如||ax b c +≤或||ax b c +≥ 思路一：依据绝对值的几何意义①||ax b c +≤转化为c ax b c -+≤≤ ②||ax b c +≥转化为c c ax b ax b ++-≥或≤思路二：依据绝对值的“零点”，由绝对值法则去绝对值，再解不等式 思路三：由相应函数()||f x ax b c =+-，利用数形结合思想，依据图象处理． （2）多个绝对值型不等式：如||||x a x b c -+-≥ 思路一：依据绝对值的几何意义数轴上到a 、b 对应两点的距离之和不小于c 的点的集合； 思路二：依据绝对值的“零点”依据绝对值的“零点”分段，由绝对值法则去绝对值，再解不等式； 思路三：依据函数图象由相应函数()||||f x x a x b c =-+--，利用数形结合思想，依据图象处理． （3）常见函数图象 ①()|1|f x x =-②()|1|f x x =+结论推广：①||||||x a x b a b -+--≥；②||||||||a b x a x b a b ------≤≤．四、 二元一次不等式（组）及线性规划 1. 二元一次不等式与平面区域若方程0Ax By C ++=表示直线l ，则 不等式0Ax By C ++>表示直线l 某一侧所有点组成的平面区域，将该侧任一点坐标00()x y ，代入Ax By C ++，000Ax By C ++> 恒成立．同理，不等式0Ax By C ++<表示直线l 的另一侧． 2. 由二元一次不等式组判断平面区域（1）直线定界（注意虚线与实线）；（2）特殊点定域（如：原点，(0 1)，，(1 0)，等）； （3）不等式组找公共区域. 3. 线性规划相关概念 约束条件： 关于x ，y 的不等式（或方程） 线性约束条件：关于x ，y 的一次不等式（或方程） 目标函数： 要求的关于变量x ，y 的函数 线性目标函数：目标函数为关于变量x ，y 的一次函数可行解： 满足约束条件的解(x ，y ) 可行域： 所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 4. 求目标函数z =ax +by 的最值利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： （1）根据约束条件画出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，令z =0，画出直线l 0； （3）在可行域内平行移动直线l 0，从而确定最优解； （4）将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．精讲精练1. 下列命题中正确的是（ ） A ． a b c d a c b d >>⇒->-，B ．a ba b c c>⇒>C ．ac bc a b <⇒<D ．22ac bc a b >⇒>2. 若01a b <<<，则（ ）A ．11b a> B ．11()()22a b <C ．n n a b >D ．11lg lg a b>3. 当0a b >>，0c d <<时，给出以下结论：①ad bc <；②22a c b d +>+；③b c a d ->-； ④3330c d a <<<． 其中正确结论的序号是______________．4. 设方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12 x x ，，且12x x <． （1）若0a <，则20ax bx c ++<的解集为____________； （2）若0a >，则20ax bx c ++≥的解集为____________．5. 已知不等式230x x t -+<的解集为{}|1 x x m x <<∈，R ．（1）t =_________，m =_________；（2）若函数2()4f x x ax =-++在区间( 1]-∞，上递增，求关于x 的不等式2log (32)0a mx x t -++-<的解集．6.解下列不等式．（1）|21||21|6++-≤x x（2）|21||4|2x x+-->7.已知函数()|4||3|=-+-．f x x x（1）若()<有解，则实数a的取值范围为_________．f x a（2）若()<无解，则实数a的取值范围为___________．f x a（3）若()f x a>对一切实数x均成立，则实数a的取值范围为_______________．（4）若()2|3|af x x--≥有解，则实数a的取值范围为_______________．8.写出下列平面区域表示的二元一次不等式组．（1）____________________；（2）___________________．（1）9.(21)(4)0x y x y++-+≤表示的平面区域为下图中的（）A．B．C．D．10.不等式组3434xx yx y⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积等于（）A．32B．23C．43D．3411.设变量x，y满足约束条件53151053x yx yx y+⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≥≤，则目标函数z=3x+5y的最大值为__________，最小值为_________．12.设变量x，y满足约束条件3602030x yx yy+-⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≤≤，则目标函数z=2x-y的最小值为（）A．7 B．-4 C．-1 D．413. 设变量x ，y 满足3010350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，设y k x =，则k 的取值范围是（ ）A ．14[]23，B ．4[2]3，C ．1[2]2，D ．1[)2+∞，14. 给出平面区域如图中的阴影部分所示，若使目标函数z =ax +y(a >0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则a 的值为 __________________．15. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件产品销售收入分别为3 000元、2 000元.甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上进行加工．在每台A 、B 设备上加工1件甲，设备所需工时分别为1 h 、2 h ；加工1件乙，设备所需工时分别为2 h 、1 h ，A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400 h 和500 h ． 问：如何安排生产可使收入最高？回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】1. D2. D3. ①②④4. （1）12( )( )x x -∞+∞，，； （2）12( ][ )x x -∞+∞，， 5. （1）22t m ==；；（2）13(0 )(1 )22，， 6. （1）33[ ]22-，；（2）5( 7)( )3-∞-+∞，， 7. （1）(1 )+∞，；（2）( 1]-∞，；（3）( 1)-∞，；（4）( 1]-∞，8.（1）4150220x yx yx y->⎧⎪+-<⎨⎪+-⎩≥；（2）36020yx yx y⎧⎪-+⎨⎪-+<⎩≥≥9. B10.C11.17-1112.C13.C14.3 515.每月生产甲产品200件，乙产品100件，可使收入最高.。