2018年高中数学微专题复习：专题复习(一)——数列

专题复习（一）—— 数列

（一）知识梳理

1、等差数列 （其中,,,,m n p q k N +∈）

（1） 等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+- 推广形式：()n m a a n m d =+-

（2） 等差数列的前n 项和公式：11()(1)

22n n n a a n n S na d +-=

=+ （3） a ，b ，c 成等差数列⇒2b a c =+或2

a c

b +=

（4） 已知{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.

特别地，若2m n k +=，则2m n k a a a +=.

（5） 若{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，

则n S ，2n n S S -，32n n S S -，……也成等差数列.

（6） 等差数列的判定：

① 定义法：1n n a a d +-=（常数）⇒数列{}n a 为等差数列. ② 等差中项法：112n n n a a a -+=+⇒数列{}n a 为等差数列. （7） 等差数列前n 项和1(1)

2

n n n S na d -=+

，则使n S 最大（或最小）的序号n 的求法： 方法一：前n 项和公式可以写成21()22

n d d

S n a n =+-，

因此可以利用二次函数来求n 的值；

方法二：①当10a >，0d <时，前n 项和有最大值，由1

0n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得n 的值；

②当10a <，0d >时，前n 项和有最小值，由10

n n a a +≤⎧⎨

≥⎩求得n 的值.

2、等比数列 （其中,,,,m n p q k N +∈）

（1）等比数列的通项公式：11n n a a q -= 推广形式：n m n m a a q -=

（2）等比数列的前n 项和公式：111,1(1),111n n n na q S a a q a q q q q =⎧

⎪

=--⎨=≠⎪--⎩

（3）a ，b ，c 成等比数列⇒2

b a

c =

或b =（4）已知{}n a 为等比数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a = .

特别地，若2m n k +=，则2

m n k

a a a = . （5）若{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，

则n S ，2n n S S -，32n n S S -，……也成等比数列. （6）等比数列的判定：

①定义法：

1

n n

a q a +=（常数）⇒数列{}n a 为等比数列. ②等比中项法：2

11n n n a a a -+= ⇒数列{}n a 为等比数列.

3、求数列通项公式的常用方法

（1）已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =++，求数列{}n a 的通项公式.

分析：可以利用公式11,1,2n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解.

解：当2n ≥时，22

1212(1)(1)1n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=++--+-+⎣⎦

2221(24211)n n n n n =++--++-+ 2

2

21232n n n n =++-+- 41n =- ① 当1n =时，114a S ==不适合①式

∴数列{}n a 的通项公式为4,141,2n n a n n =⎧=⎨

-≥⎩

（2）已知数列{}n a 的前n 项和23n n S a =+，求数列{}n a 的通项公式. 分析：可以利用公式11,1

,2

n n n S n a S S n -=⎧

=⎨

-≥⎩进行求解.

解：当2n ≥时，11123(23)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+=- 12n n a a -∴= 即

1

2(2)n

n a n a -=≥

当1n =时，11123a S a ==+ 13a ∴=-

∴数列{}n a 是首项为3-，公比为2的等比数列. 1

32()

n n a n N -+∴=-⨯∈ （3）已知数列{}n a 中，11a =，且12n n n a a +-=，求数列{}n a 的通项公式. 分析：形如1()n n a a f n +-=可以利用累加法进行求解. 解：12n n n a a +-= 212a a ∴-= 2322a a -= 3432a a -= ……

112(2)

n n n a a n ---=≥ 将以上各式累加，得12

3

1

12(12)

2222

2212

n n n n a a --⨯--=+++==--

22121(2)n n n a n ∴=-+=-≥ ① 显然11a =适合①式

∴数列{}n a 的通项公式为21()n n a n N +=-∈

（4）已知数列{}n a 中，11a =，且

11

n n a n

a n +=

+，求数列{}n a 的通项公式. 分析：形如

1

()n n

a f n a +=可以利用累乘法进行求解. 解：

11n n a n

a n +=

+ ∴

2112a a =

3223a a = 4334

a a =