2017人教版八年级下期末复习试卷(一)二次根式(含答案)
期末复习(一) 二次根式
命题点1 二次根式有意义的条件
【例1】 要使式子x ＋3
x －1
＋(x －2)0有意义，则x 的取值范围为____________． 【思路点拨】 从式子的结构看分为三部分，二次根式、分式、零次幂，每一部分都应该有意义． 【方法归纳】
所给代数式的形式
x 的取值范围
整式 全体实数.
分式 使分母不为零的一切实数．注意不能随意约分，同时要区分“且”
和“或”的含义. 偶次根式 被开方式为非负数.
0次幂或负整数指数幂
底数不为零.
复合形式
列不等式组，兼顾所有式子同时有意义.
1若代数式x ＋1
（x －3）2
有意义，则实数x 的取值范围是( )
A ．x ≥－1
B ．x ≥－1且x ≠3
C ．x ＞－1
D ．x ＞－1且x ≠3 2．若式子x ＋4有意义，则x 的取值范围是__________． 命题点2 二次根式的非负性
【例2】若a －1＋b 2－4b ＋4＝0，则ab 的值等于( )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
【方法归纳】 这一类问题主要利用非负数的和为0，进而得出每一个非负数的式子为0构造方程求未知数的解，通常利用的非负数有：(1)||x ≥0；(2)x 2≥0；(3)x ≥0.
3．实数a ，b 满足a ＋1＋4a 2＋4ab ＋b 2＝0，则b a 的值为( ) A ．2 B.12 C ．－2 D ．－1
2
命题点3 二次根式的运算
【例3】计算：3(1－3)＋12＋(13
)－
1.
【思路点拨】 先去括号、化简二次根式及进行实数的负整指数幂的运算，把各个结果相加即可．
【方法归纳】 二次根式的运算是实数运算中的一种，运算顺序与运算律都遵循有理数的运算顺序与运算律．
4．计算：1
212－(3
1
3
＋2)．
命题点4 与二次根式有关的化简求值
【例4】先化简，再求值：y 2－x 2x 2－xy
÷(x ＋2xy ＋y 2x )·(1x ＋1
y )，其中x ＝2＋3，y ＝2－ 3.
【思路点拨】 运用分式的运算法则先化简原式，然后将x 和y 的值代入化简后的式子求值即可．
【方法归纳】 将二次根式的运算与分式的化简求值相结合考查，是最常见的考查形式．当未知数的值是无理数时，求值时就用到二次根式的运算．
5．先化简，再求值：(a a －b －1)÷b a 2－b 2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.
命题点5 与二次根式有关的规律探究 【例5】观察下列等式：
第1个等式：a 1＝1
1＋2＝2－1；
第2个等式a 2＝
1
2＋3
＝3－2； 第3个等式：a 3＝1
3＋2
＝2－3； 第4个等式：a 4＝
1
2＋5
＝5－2. 按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n 个等式：a n ＝____________； (2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝____________．
【思路点拨】 (1)观察上面四个式子可得第n 个等式；(2)根据所得的规律可得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2－1＋3－2＋2－3＋5－2＋…＋n ＋1－n.
【方法归纳】 规律的探究都遵循从特殊到一般的思维过程，在探究过程中要认真分析等式左右两边“变的量”与“不变的量”．
6． 1 2第1行 3 2 5 6第2行
7
2 2
3
10
11
2 3
第3行
13 14 15 4 17 3 2 19 2 5 第4行
………………………
根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左向右数第n－2个数是____________(用含n的代数式表示)．►习题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列二次根式是最简二次根式的为()
A．23a B.8x2 C.y3 D.b 4
2．下列二次根式中，可与12进行合并的二次根式为()
A. 6
B.32
C.18
D.75 3．下列计算正确的是()
A.a＋b＝ab B．(－a2)2＝－a4
C．(a－2)2＝a2－4 D.a÷b＝a
b(a≥0，b＞0)
4．化简3－3(1－3)的结果是()
A．3 B．－3 C. 3 D．－ 3
5．设m＝32，n＝23，则m，n的大小关系为()
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．不能确定
6．已知x＋y＝3＋22，x－y＝3－22，则x2－y2的值为()
A．4 2 B．6 C．1 D．3－2 2
7．如果最简二次根式3a－8与17－2a可以合并，那么使4a－2x有意义的x的取值范围是()
A．x≤10 B．x≥10 C．x＜10 D．x＞10
8．甲、乙两人计算a＋1－2a＋a2的值，当a＝5时得到不同的答案，甲的解答是a＋1－2a＋a2＝a＋（1－a）2
＝a＋1－a＝1；乙的解答是a＋1－2a＋a2＝a＋（a－1）2＝a＋a－1＝2a－1＝9.下列判断正确的是() A．甲、乙都对B．甲、乙都错C．甲对，乙错D．甲错，乙对
9．若a3＋3a2＝－a a＋3，则a的取值范围是()
A．－3≤a≤0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≥－3
10．已知一个等腰三角形的两条边长a，b满足|a－23|＋b－52＝0，则这个三角形的周长为()
A．43＋5 2 B．23＋5 2
C．23＋10 2 D．43＋52或23＋10 2
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．使代数式2x－6有意义的x的取值范围是____________．
12．能够说明“x2＝x不成立”的x的值是____________(写出一个即可)．
13．比较大小：5－3____________5－2
2.(填“＞”“＜”或“＝”)
14．若m，n都是无理数，且m＋n＝2，则m，n的值可以是m＝____________，n＝____________．(填一组即可) 15．在实数范围内分解因式：4m2－7＝____________．
16．当x≤0时，化简|1－x|－x2的结果是__________．
三、解答题(共52分)
17．(8分)计算：
(1)75×
6
3÷
1
2
；
(2)a(a＋2)－a2b÷ b.
18．(10分)先化简，再求值：2(a ＋3)(a －3)－a(a －6)＋6，其中a ＝2－1.
19．(10分)先化简，再求值：x 2＋y 2－2xy x －y ÷(x y －y
x )，其中x ＝2＋1，y ＝2－1.
20．(12分)若实数a ，b ，c 满足|a －2|＋b －2＝c －3＋3－c. (1)求a ，b ，c ；
(2)若满足上式的a ，b 为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
21．(12分)在如图8×10方格内取A ，B ，C ，D 四个格点，使AB ＝BC ＝2CD ＝4.P 是线段BC 上的动点，连接AP ，DP.
(1)设BP ＝a ，CP ＝b ，用含字母a ，b 的代数式分别表示线段AP ，DP 的长；
(2)设k＝AP＋DP，k是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．。
2017年人教版数学八年级下二次根式(全章)高频率习题及答案
二次根式高频考点16.1二次根式: 使式子x 4有意义的条件是 _____________________ 。
当 ______ 时，7^疔P X 有意义。
若、.._m — 有意义，则m 的取值范围是。
m 1 当x ______ 时，J 1 x 2是二次根式。
在实数范围内分解因式： X 4 9 ________ , X 2 2“x 2 ________________ 若.4x 2 2x ，贝卩x 的取值范围是 _____________________ 。
已知x 2 22 x ，则x 的取值范围是 _________________________a b2 , .2 xp 0 , 33, . x 2 1,x y 中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3 个C. 4 个D. 5 个 下列各式一定是二次根式的是（ ）若 2pap3，贝2 a 2, a 3 2 等于()A. 5 2aB. 1 2aC. 2a 5D. 2a 1 若 A a 2 4 ，则 '• A ( ) 2A. a 24 B.a 22 C.a 22 D.a 2 41. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8.9. 10. 11.12. 13.14.15.16.A.B. 3 2mC.. a 2 1 D. 化简：.x 22x 1 x p 1 的结果是 _____________________________ 若a b 1与.a 2b 4互为相反数，则2005oy17. 若a 1，贝1 a 3化简后为（）A. a 1 一市B. 1 a 1~aC. a 1 ,r~aD. 1 a、訂18. 能使等式J? ^2 成立的x的取值范围是（）A. x 2B. x 0C. xf 2D. x 219. 计算：•，2a 1 2■ 1 2a 2的值是（）A. 0B. 4a 2C. 2 4aD. 2 4a 或4a 220. 下面的推导中开始出错的步骤是（）Q23 ,2^3 12 12 3 2 2 3 .12L 22 3 2 3L L L L L L 32 2LLLLLLLL 4A. 1B. 2C. 3D. 421. 若、x y y2 4y 4 0，求xy的值。
(完整)八年级二次根式综合练习题及答案解析.docx
填空题1. 使式子x 4 有意义的条件是。
【答案】x≥4【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥ 0，解得x≥ 4 2. 当__________时，x 2 1 2 x 有意义。
【答案】 -2≤x≤12【分析】 x+2≥ 0， 1-2x≥ 0 解得 x≥－ 2， x≤1123. 若m有意义，则 m 的取值范围是。
m 1【答案】 m≤0且m≠﹣1【分析】﹣ m≥0 解得 m≤ 0，因为分母不能为零，所以m＋1≠ 0 解得 m≠﹣ 14.当 x __________ 时， 1 x 2 是二次根式。
【答案】 x 为任意实数【分析】﹙1－ x﹚2是恒大于等于0 的，不论 x 的取值，都恒大于等于0，所以 x 为任意实数5.在实数范围内分解因式： x49 __________, x2 2 2x 2__________ 。
【答案】﹙x 2＋ 3﹚﹙ x＋3﹚﹙ x－3﹚，﹙ x－ 2 ﹚2【分析】运用两次平方差公式：x 4－ 9＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x 2－3﹚＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x＋ 3 ﹚﹙x － 3 ﹚，运用完全平方差公式：x 2－ 2 2 x＋ 2＝﹙ x－ 2 ﹚26.若 4 x22x ，则 x 的取值范围是。
【答案】 x≥0【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2x≥ 0，解得 x≥07.已知x22 x ，则x的取值范围是。
2【答案】 x≤2【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2－ x≥0，解得 x≤ 2 8.化简： x2 2 x 1 x p 1的结果是。
【答案】 1－x【分析】x2 2 x 1 ＝(x1)22，因为 x 1 ≥0，x＜1所以结果为1－x9.当1x p5时，x2x 5 _____________ 。
1【答案】 4【分析】因为 x≥1 所以x 1 2＝ x 1，因为x＜5所以x－5的绝对值为5－x，x－ 1＋5－ x＝ 410.把 a1的根号外的因式移到根号内等于。
第16章 二次根式复习题---解答题（含解析）
人教版八下第16章二次根式复习题---解答题一．解答题（共43小题）1．（2018秋•漳州期末）计算：×（﹣）+|﹣2|﹣（）22．（2018秋•永定区期末）观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：＝＝；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：；③应用：计算．3．（2018秋•邵阳县期末）设a，b，c为△ABC的三边，化简：++﹣．4．（2018秋•雁塔区校级月考）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|．5．（2018秋•浦东新区校级月考）已知a、b、c分别是△ABC的三边长，化简：6．（2018秋•达川区校级月考）实数a、b所对应的点如图所示，化简7．（2018秋•太仓市期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．8．（2017秋•桂平市期末）先阅读材料，然后回答问题：（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简经过思考，小张解决这个问题的过程如下：＝…①＝…②＝…③＝﹣…④上述化简过程中，第步出现了错误，化简正确的结果为．（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简9．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：（a＞b＞0）10．（2018秋•浦东新区月考）计算：×11．（2018秋•杭州期中）计算（1）（﹣）×21×（保留一位小数，≈1.41）（2）﹣24﹣24×（）12．（2018秋•中原区校级月考）计算：（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+20170（2）13．（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）14．（2018春•全椒县期末）计算：2×．15．（2018•梧州）计算：﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0 16．（2018•柳州）计算：2+3．17．（2018秋•东城区期末）计算：（1）；（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．18．（2018秋•延庆区期末）计算：﹣2﹣3（﹣）．19．（2018秋•大兴区期末）计算：．20．（2018秋•南关区期末）计算：﹣3+2．21．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：﹣﹣+22．（2018秋•浦东新区期中）计算：﹣+2﹣．23．（2018春•长白县期中）计算：﹣3a224．（2018•大连）计算：（+2）2﹣+2﹣225．（2018•陕西）计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）026．（2018秋•青岛期末）计算（1）﹣4+（2）（+）2﹣（﹣）（+）27．（2018秋•章丘区期末）（1）计算：﹣5（2）计算：628．（2018秋•南京期末）计算（1）2﹣﹣3+；（2）×÷．29．（2018秋•延庆区期末）阅读材料，然后作答：在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：＝＝；＝＝﹣1，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：例如：＝＝＝﹣1请仿照上述方法解决下面问题：（1）化简；（2）化简．30．（2018秋•埇桥区期末）计算：（1）﹣+2（2）+（1﹣）031．（2018秋•顺义区期末）已知x＝+2，y＝﹣2，求x2﹣y2的值．32．（2018秋•顺义区期末）先化简，再求值：（+b），其中a+b＝2．33．（2018秋•安岳县期末）已知a＝，求的值．34．（2018秋•温江区期末）在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．35．（2018秋•武冈市期末）已知x＝（+），y＝（﹣），求下列各式的值．（1）x2﹣xy+y2；（2）+．36．（2018秋•东营区校级期中）求值：（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．37．（2018秋•郓城县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；（2）t2是t1的多少倍？（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？38．（2018春•嘉祥县期中）计算：（1）﹣（）﹣1+（﹣1）﹣20180﹣|﹣2|．（2）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，求图中空白部分的面积．39．（2018春•韩城市期末）已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高．40．（2018春•南昌期中）已知长方形的长为a，宽为b，且a＝，b＝．（1）求长方形的周长；（2）当S长方形＝S正方形时，求正方形的周长．41．（2018春•上杭县校级期中）已知：m＝1+，n＝﹣1，求的值．42．（2018秋•靖边县期中）在一个边长为（2+3）cm的正方形的内部挖去一个长为（2+）cm，宽为（﹣）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．43．（2017秋•农安县校级月考）如图，钓鱼竿AC长6m，露出水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，求鱼竿转过的角度？人教版八下第16章二次根式复习题---解答题参考答案与试题解析一．解答题（共43小题）1．（2018秋•漳州期末）计算：×（﹣）+|﹣2|﹣（）2【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝﹣2+2﹣﹣2＝﹣3，2．（2018秋•永定区期末）观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：＝1+﹣＝1；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝1+﹣＝；③应用：计算．【分析】①直接利用利用已知条件才想得出答案；②直接利用已知条件规律用n（n为正整数）表示的等式即可；③利用发现的规律将原式变形得出答案．【解答】解：①猜想：＝1+﹣＝1；故答案为：1+﹣，1；②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝1+﹣＝；③应用：＝＝＝1+﹣＝1．3．（2018秋•邵阳县期末）设a，b，c为△ABC的三边，化简：++﹣．【分析】根据三角形的三边关系判定出a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．4．（2018秋•雁塔区校级月考）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|．【分析】根据数轴判断a、a+b、c﹣a、b+c与0的大小关系即可求出答案．【解答】解：由数轴可知：a＞0，a+b＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，∴原式＝a+a+b﹣（c﹣a）﹣b﹣c＝a+a+b﹣c+a﹣b﹣c＝3a﹣2c．5．（2018秋•浦东新区校级月考）已知a、b、c分别是△ABC的三边长，化简：【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵a、b、c分别是△ABC的三边长，∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴原式＝a﹣b+c﹣（a﹣b﹣c）＝2c．6．（2018秋•达川区校级月考）实数a、b所对应的点如图所示，化简【分析】根据数轴化简绝对值后即可求出答案．【解答】解：由数轴可知：＜b＜0＜a，∴﹣a＜0，b+＞0，a﹣b＞0，∴原式＝﹣（﹣a）+b+﹣（a﹣b）﹣b＝﹣+a+b+﹣a+b﹣b＝b7．（2018秋•太仓市期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．【分析】直接利用三角形三边关系得出a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，进而化简得出答案．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）＝2a．8．（2017秋•桂平市期末）先阅读材料，然后回答问题：（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简经过思考，小张解决这个问题的过程如下：＝…①＝…②＝…③＝﹣…④上述化简过程中，第④步出现了错误，化简正确的结果为﹣．（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简【分析】（1）根据二次根式的性质判断即可；（2）先化成完全平方公式的形式，再根据二次根式的性质得出即可．【解答】解：（1）第④，﹣，故答案为：④，；（2）＝＝＝＝|﹣|＝﹣．9．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：（a＞b＞0）【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝＝＝．10．（2018秋•浦东新区月考）计算：×【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：×＝×＝×＝．11．（2018秋•杭州期中）计算（1）（﹣）×21×（保留一位小数，≈1.41）（2）﹣24﹣24×（）【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；（2）利用乘法分配律进而计算得出答案．【解答】解：（1）（﹣）×21×（保留一位小数，≈1.41）＝﹣9≈﹣12.7；（2）﹣24﹣24×（）＝﹣16﹣8+20﹣18＝﹣22．12．（2018秋•中原区校级月考）计算：（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+20170（2）【分析】（1）先计算乘方，后计算加减即可；（2）除法化为除法，根据二次根式的乘法法则计算即可；【解答】解：（1）原式＝4﹣2+1＝3（2）原式＝﹣×2××2＝﹣．13．（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：•（﹣）÷（a＞0）＝﹣•a2b÷＝﹣9a2＝﹣．14．（2018春•全椒县期末）计算：2×．【分析】根据二次根式的乘除法法则，系数相乘除，被开方数相乘除，根指数不变，如：2×÷3，÷，计算后求出即可．【解答】解：原式＝（2××），＝．15．（2018•梧州）计算：﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0【分析】依据算术平方根的定义、有理数的乘方法则、绝对值的性质、有理数的乘法法则、零指数幂的性质进行计算，最后，再进行加减计算即可．【解答】解：原式＝3﹣32÷8+5﹣1＝3﹣4+5﹣1＝3．16．（2018•柳州）计算：2+3．【分析】先化简，再计算加法即可求解．【解答】解：2+3＝4+3＝7．17．（2018秋•东城区期末）计算：（1）；（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用乘法公式化简求出答案．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝x2﹣4x+4﹣x2+9＝﹣4x+13．18．（2018秋•延庆区期末）计算：﹣2﹣3（﹣）．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝3﹣﹣3+3＝5﹣3．19．（2018秋•大兴区期末）计算：．【分析】根据二次根式的加减法的法则计算即可．【解答】解：原式＝5+3﹣4＝4．20．（2018秋•南关区期末）计算：﹣3+2．【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝4﹣3×3+2×2＝﹣．21．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：﹣﹣+【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝2﹣﹣+＝2﹣﹣+＝．22．（2018秋•浦东新区期中）计算：﹣+2﹣．【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式..【解答】解：原式＝﹣+2×4﹣＝﹣+8﹣＝7+23．（2018春•长白县期中）计算：﹣3a2【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式＝+6a﹣3a2＝×4+6a×﹣3a2×＝+a﹣3a＝﹣2a24．（2018•大连）计算：（+2）2﹣+2﹣2【分析】根据完全平方公式和零指数幂的意义计算．【解答】解：原式＝3+4+4﹣4+＝．25．（2018•陕西）计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0【分析】先进行二次根式的乘法运算，再利用绝对值的意义和零指数幂的意义计算，然后合并即可．【解答】解：原式＝+﹣1+1＝3+﹣1+1＝4．26．（2018秋•青岛期末）计算（1）﹣4+（2）（+）2﹣（﹣）（+）【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝2﹣+＝；（2）原式＝2+4+6﹣（5﹣3）＝4+6．27．（2018秋•章丘区期末）（1）计算：﹣5（2）计算：6【分析】（1）根据二次根式的除法法则运算；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解答】解：（1）原式＝﹣﹣5＝2﹣2﹣5＝﹣2﹣3；（2）原式＝2﹣+9﹣＝9．28．（2018秋•南京期末）计算（1）2﹣﹣3+；（2）×÷．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式化的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣+＝﹣；（2）原式＝＝1．29．（2018秋•延庆区期末）阅读材料，然后作答：在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：＝＝；＝＝﹣1，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：例如：＝＝＝﹣1请仿照上述方法解决下面问题：（1）化简；（2）化简．【分析】（1）将分子2变形为（）2﹣（）2，再将其因式分解，继而约分即可得；（2）将分子a﹣b变形为（）2﹣（）2，再将其因式分解，继而约分即可得．【解答】解：（1）原式＝＝＝﹣；（2）原式＝＝＝．30．（2018秋•埇桥区期末）计算：（1）﹣+2（2）+（1﹣）0【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝3﹣+2＝；（2）原式＝+1＝+1＝5+1＝6．31．（2018秋•顺义区期末）已知x＝+2，y＝﹣2，求x2﹣y2的值．【分析】根据平方差公式可得x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），再把x＝+2，y＝﹣2代入，分别求出x+y，x﹣y，然后相乘即可．【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．∵x＝+2，y＝﹣2，∴x+y＝（+2）+（﹣2）＝2，x﹣y＝（+2）﹣（﹣2）＝4，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×4＝8＝16．32．（2018秋•顺义区期末）先化简，再求值：（+b），其中a+b＝2．【分析】先把原式中括号内的项通分利用同分母分式加法法则计算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分得到原式＝（a+b），最后把a+b＝2代入计算即可．【解答】解：原式＝（+）＝•＝（a+b），当a+b＝2时，原式＝×2＝6．33．（2018秋•安岳县期末）已知a＝，求的值．【分析】先将a的值分母有理化，从而判断出a﹣2＜0，再根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，继而将a的值代入计算可得．【解答】解：∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝2﹣﹣2＝﹣＜0，则原式＝﹣＝a+3+＝2﹣+3+2+＝7．34．（2018秋•温江区期末）在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．【分析】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；（2）将a分母有理化得a＝+1，移项并平方得到a2﹣2a＝1，变形后代入求值．【解答】解：（1）＝＝；（2）∵a＝＝+1，∴a﹣1＝，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1∴3a2﹣6a＝3∴3a2﹣6a﹣1＝2．35．（2018秋•武冈市期末）已知x＝（+），y＝（﹣），求下列各式的值．（1）x2﹣xy+y2；（2）+．【分析】由x＝（+），y＝（﹣），得出x+y＝，xy＝，由此进一步整理代数式，整体代入求得答案即可．【解答】解：∵x＝（+），y＝（﹣），∴x+y＝，xy＝＝（x+y）2﹣3xy＝7﹣＝；（2）+＝＝＝12．36．（2018秋•东营区校级期中）求值：（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．【分析】（1）根据a＝3+2，b＝3﹣2，代入（a+b）2﹣ab进行计算即可；（2）依据被开方数为非负数，即可得到x＝，进而得出y＞2，据此可得+5﹣3x的值．【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝36﹣1＝35；（2）∵，∴，∴x＝，∴y＞2，∴+5﹣3x＝+5﹣3x＝+5﹣3x＝﹣1+5﹣3x＝4﹣3x＝4﹣3×＝2．37．（2018秋•郓城县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；（2）t2是t1的多少倍？（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？【分析】（1）将h＝50代入t1＝进行计算即可；将h＝100代入t2＝进行计算即可；（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；（3）将t＝1.5代入公式t＝进行计算即可．【解答】解：（1）当h＝50时，t1＝＝（秒）；当h＝100时，t2＝＝＝2（秒）；（2）∵＝＝，∴t2是t1的倍．（3）当t＝1.5时，1.5＝，解得h＝11.25，∴下落的高度是11.25米．38．（2018春•嘉祥县期中）计算：（1）﹣（）﹣1+（﹣1）﹣20180﹣|﹣2|．（2）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，求图中空白部分的面积．【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；（2）根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：（1）原式＝（2）∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为，，∴AB＝4cm，BC＝，∴空白部分的面积＝．39．（2018春•韩城市期末）已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高．【分析】首先利用矩形的面积计算方法求得三角形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah列式计算即可求解．【解答】解：＝＝，答：这条边上的高为．40．（2018春•南昌期中）已知长方形的长为a，宽为b，且a＝，b＝．（1）求长方形的周长；（2）当S长方形＝S正方形时，求正方形的周长．【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；（2）利用二次根式乘法计算得出答案．【解答】解：（1）∵a＝＝2，b＝＝，∴长方形的周长是：2（a+b）＝2（2+）＝6；（2）设正方形的边长为x，则有x2＝ab，∴x＝＝＝＝2，∴正方形的周长是4x＝8．41．（2018春•上杭县校级期中）已知：m＝1+，n＝﹣1，求的值．【分析】先利用完全平方公式将化简，得原式＝mn，再将m＝1+，n＝﹣1代入计算即可．【解答】解：原式＝＝mn，当m＝1+，n＝﹣1时，原式＝（1+）（﹣1）＝﹣1+﹣．42．（2018秋•靖边县期中）在一个边长为（2+3）cm的正方形的内部挖去一个长为（2+）cm，宽为（﹣）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．【分析】用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．【解答】解：剩余部分的面积为：（2+3）2﹣（2+）（﹣）＝（12+12+45）﹣（6﹣2+2﹣5）＝（57+12﹣）（cm2）．43．（2017秋•农安县校级月考）如图，钓鱼竿AC长6m，露出水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，求鱼竿转过的角度？【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，分别求出∠CAB，∠C′AB′的度数，然后可以求出∠C′AC的度数，即求出了鱼竿转过的角度．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°．在Rt△AB′C′中，∵sin∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°．∴∠CAC′＝60°﹣45°＝15°，答：鱼竿转过的角度是15°．。
(全优)人教版八年级下册数学第十六章 二次根式含答案
人教版八年级下册数学第十六章二次根式含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列结论正确的是（）A. B.单项式的系数是﹣1 C.使式子有意义的x的取值范围是x＞﹣1 D.若分式的值等于0，则a=±12、如果式子是二次根式，那么a的取值范围是( )A.a≥1B.a>1C.a=1D.a≤13、若是正整数，最小的整数n是（）A.6B.3C.48D.24、若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A.x＜2B.x≠2C.x≤2D.x≥25、在下列式子：① ②（x﹣2）0③ 中，x不可以取到2的是（）A.只有①B.只有②C.①和②D.①和③6、若三角形的三边分别是a，b，c，且=0，则这个三角形的周长是（）A. B. C. D.7、下列二次根式中，最简二次根式是( )A. B. C. D.8、若三角形的三边分别是a ， b ， c ，且=0，则这个三角形的周长是（）A. B. C. D.9、下列各数中与是同类二次根式的是（）.A. B. C. D.10、下列运算中，正确的是（）A. B. C. D.11、设=a，=b，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（）A.0.3abB.3abC.0.1ab 2D.0.1a 2b12、下列计算正确的是（）A.（﹣）2=-3B. =π-3.2C.D.=-313、化简的结果正确是( )A.﹣2B.2C.±2D.414、下列计算正确的是（）A. B. C. D.15、下列计算正确的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、a、b、k都为常数，且+|b﹣1|＝0，关于x的一元二次方程kx2+ax+b＝0有两个相等的实数根，k的值为________．17、二次根式中x的取值范围是________．18、计算﹣的结果是________．19、已知x、y是实数，且=2，y= + + ，则﹣（x﹣2+ ）2﹣z=________．20、已知是整数，则正整数n的最小值为________.21、若a，b都是实数，，则a b的值为________.22、最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是________．23、已知，则（a+1）（b﹣1）=________．24、最简二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围________25、若代数式有意义，则实数的取值范围是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：27、先化简再求值：，其中．28、如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．29、一个矩形的面积为60，长宽之比为5：2，求这个矩形的长和宽．30、若a=1﹣，先化简再求的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)2、A3、B4、D5、C6、D7、B8、D9、A10、C11、A12、C13、B14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、。
近年八年级数学下册 期末复习(一)二次根式试题 新人教版(2021年整理)
2017八年级数学下册期末复习（一）二次根式试题（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017八年级数学下册期末复习（一）二次根式试题（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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期末复习（一）二次根式各个击破命题点1二次根式有意义的条件【例1】要使式子错误!＋(x－2)0有意义，则x的取值范围为____________．【思路点拨】从式子的结构看分为三部分，二次根式、分式、零次幂，每一部分都应该有意义．【方法归纳】所给代数式的形式x的取值范围整式全体实数。
使分母不为零的一切实数．注意不能随意约分,同时要区分式分“且"和“或”的含义。
偶次根式被开方式为非负数。
0次幂或负整数指数底数不为零。
幂复合形式列不等式组，兼顾所有式子同时有意义。
1．（潍坊中考)若代数式错误!有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥－1 B．x≥－1且x≠3C．x＞－1 D．x＞－1且x≠32．若式子错误!有意义,则x的取值范围是__________．命题点2二次根式的非负性【例2】(自贡中考)若错误!＋b2－4b＋4＝0，则ab的值等于( ）A．－2 B．0 C．1 D．2【方法归纳】这一类问题主要利用非负数的和为0,进而得出每一个非负数的式子为0构造方程求未知数的解,通常利用的非负数有：（1）错误!≥0;(2）x2≥0;(3）错误!≥0.3．(泰州中考）实数a，b满足a＋1＋4a2＋4ab＋b2＝0,则b a的值为（)A．2 B。
(完整)人教版初二数学下册二次根式常考题及答案
18.16. 1二次根式：1. 使式子有童文的条件是 __________________________ .2. 当 __________ 时，JE+JTT5T 有色义。
3. 若E 十丄有意文，则加的取信范国是。
w + 1 4. 当A _________ 时，J （1 一龙）2是二次根式,5. 在实数范噩内分禅因it ： A 4-9 = _____________ .V 2-2>/2.V + 2 = ____________6. 若J4?=2r,则x 的取值范围是____________________________ .7. 已知J （ J2）‘ =2",则.v 的取值范国是 ___________________________ > S.化简：jFn （YYl ）的结采旱 ________________________________ .9.当 1SXY5时，^V _1)2+|X _5|= _______________________10. 把亡 的很号外的因式移到根号内等于 ____________________ ・11. 便等式J （x+i ）（x_i ）= V7TT ・JT7T 成立的条件是 ____________________ . 12. 若与/心2几4互为相反数,则 ___________________________________ o 13. 在式于^（.r>0）,72,V7TT （r =-2）,7^（A -<0）,</3?7^71,-^.y 中，二次根式有（）A. 2^B ・3个C ・4个D ・5个 14. 下列各式一走是二次根式的是（）A. 口B.顷C.帖+1D.15. 若 2n3,则等于(:)A. 5-2uB. UC. 2"-5D. 2n-l16. 若 A.J (宀".则。
■ < )\、»+4B.加+2C.(加+2)；D. (<r + 4)217.若叱1,则化简后为（ ）A. D. (l-fl)VlTd c. (Q-l)ViZ^ D. C. v>2 D. "2戎立的7勺取值范匡是（B. Q019.计算'J(2“_1)2'(U)2 的值是( )A. 0 B・ W_2 C・ 2-4« D・ 2-4盼或4“一220.下M的隹导中开始岀錯的步龚是( )\ 2^3 = V2-x3 = 712 (1)_2艮J(_2「；3 二辰・・(2)/. 2 = -2^3 (3)/. 2 - -2 (4)21.若序了+屮-43 +4 = 0,求⑴的值.22.兰"駁什么值盯.代僉式何71+1取値最小，并求出这个最小值.2S去掉下列各桂欢内的分母：⑴•谓（7 （2）.J^（m）24. B知川一4 + 1 = 0,求护+召_2的值。
人教版八年级数学下册期末复习二次根式解答题专项练习 含答案
人教版八年级数学下册期末复习二次根式解答题专项练习一、解答题1．观察下列等式：回答问题：111111112=+-=+111112216=+-=+1111133112=+-=+，…(1)=________； (2)请你找出其中规律，并将第()1n n ≥个等式写出来．2．已知ABC 2-记ABC 的周长为ABC C． (1)当2x =时，ABC 的最长边的长度是___________（请直接写出答案）． (2)请求出ABC C （用含x 的代数式表示，结果要求化简）．(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S =a ，b ，c ，三角形的面积为S ．若x 为整数，当ABC C 取得最大值时，请用秦九韶公式求出ABC 的面积．3．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如(231+．善于思考的小明进行了以下探索：若设(22222a m m n +=+=++a b m n 、、、均为整数），则有22=2=2a m n b mn +，．这样小明就找到了一种把类似a +的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：【问题解决】（1）若(2a m +=+，当ab m n 、、、均为整数时，则a ＝ ，b ＝ ．（均用含m 、n 的式子表示）（2）若(2x m +=+，且x m n 、、均为正整数，分别求出x m n 、、的值．【拓展延伸】（3＝ ．4．阅读下面计算过程：111⨯；1⨯==请解决下列问题=______． (2)1100++ 5．小明在解决问题：已知a =，求2281a a -+的值．他是这样分析与解的：∵2a =∴2a -=∴()2223,443a a a -=-+=，∴241a a -=-，∴()()222812412111a a a a -+=-+=⨯-+=-． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)1121++ (2)若121a ， ①求2481a a -+的值；②直接写出代数式的值3231a a a ++-=___________． 6．【说读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当0a >，0b >时：∵20≥，∴0a b -≥．∴a b +≥a b =时取等号，即当a b =时，a b +有最小值为【学以致用】根据上面材料回答下列问题：(1)已知0x >，则当x = 时，式子1x x+取到最小值，最小值为 ； (2)已知0x ≥，求当x 值为多少时，分式229x x x-+取到最小值，最小值是多少？ (3)用篱笆围一个面积为2100m 的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？7．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当0a >时，∵22212aa+=-+=+，∴即1a =时，1a a+的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题：(1)当0a >时，4a a +的最小值为___________；当0a <时，4a a+的最大值为___________； (2)当0a >时，求2234a a a++的最小值； (3)如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，若AOD △的面积为3，BOC 的面积为6，求四边形ABCD 面积的最小值．8．阅读下列材料：材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如将分式2312x x x --+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：设x ＋2＝t ，则x ＝t ﹣2．∴原式22(2)3(2)17997t t t t t t t t-----+===-+ ∴2319522x x x x x --=-+++材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解，它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当a ＞0，b ＞0时，∵2222a b b a +=+=+∴a ＝b 时，+a b b a 有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题：(1)将分式231x x x +++拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ；(2)已知分式2410821x x x -+-的值为整数，求整数x 的值； (3)当﹣1＜x ＜1时，求代数式4221214522x x x -+--+的最大值及此时x 的值． 9．观察下列各式及其验证过程：=；===(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 (2)写出用n （n 为任意自然数，且2n ≥）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明． 10．阅读理解：观察下列等式：1；…(1)(2)若a b a ，b 大小．11．观察下列等式：112=+；116=+；1112=+．解决下列问题：（1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子；（2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明；（3⋅⋅⋅12．观察下列各式：=11112+-=112；11123+-=116；11134+-=1112；请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1；（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3．13．小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．5的过程．m，与原方程相乘得：×5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，1，与原方程相加得：+5＋1，6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．1．14．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（12．（2）实数a ，b﹣|b ﹣a |；已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，化简：++15． 阅读下列解题过程：===请回答下列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出= ； （2）请你用含n （n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的解法，请化简： ......16．观察下面的式子：S 1=1+221112+，S 2=1+221123+，S 3=1+221134+…S n =1+2211(1)n n ++（1= ，= ；猜想= （用n 的代数式表示）；（2）计算：n 的代数式表示）．17．阅读理解题.11==-=；2==-. 试求：（1= . （2= . （3= .（n 为正整数）参考答案1．(1)11201111n n =+-+ 2．(1)353．（1）2252m n mn +，；（2）=1=2=13m n x ，，或=2=1=7m n x ，，；（34．(2)95．(1)5(2)①5，②06．(1)12；(2)当9x x=时，最小值为4 (3)当这个长方形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米7．(1)4，4-(2)3+(3)9+8．(1)31x x ++ (2)0或1(3)最大值为-1，x 的值为9．(1)猜想：=(2)=n 为任意自然数，且2n ≥），证明见解析．10．(1)(2)a ＜b11．（11130=+；（211(1)n n =++，证明见解析；（3）221n n n ++12．（1）1120；（211(1)n n =++；（3）1190 13．x ＝714．（1）1；（2）﹣a ﹣2b ；（3）2a +2b +2c ．15．（1）10-（21=-（3）9．16．(1)313(1)1,,212(1)n nn n+++;(2)221n nn++17．（1（2）（3。
人教版八年级下数学期末复习(1)二次根式含答案
9．下列根式中，与是同类二次根式的是( A )
A. 18
B. 1 5
C. 24
D. 12
10．若最简二次根式 3x 1 和 2 7 是同类二次根式，
则x＝____2____.
【考点6】二次根式的计算
11．(1) 5 10 ＝__5__2__，2 2 3 2 ＝___1_2__；
(2) 12 ＝____6____， 1 1 ＝____3____；
6+
(3)
3
＝__2__3__1__.
3
16．若代数式 2 有意义，则实数x的取值范围是(
x2
D
)
A．x≠2
B．x≥0
C．x＞0
D．x≥0且x≠2
17．使式子 x 1 2 x 有意义的x的取值范围是( B )
A．x≥－1
B．－1≤x≤2
C．x≤2
D．－1＜x＜2
18．计算：
1 8+2 3 2 2 6;
PPT课程: 期末复习(1)——二次根式 主讲老师:
一、考点过关 【考点1】二次根式有意义的条件(被开方数≥0且分母≠0)
1．当x__≥__1____时，式子 x 1 有意义．
2．当x__≤__2____时，式子 4 2x 有意义．
3．当x__＞__－__3__时，式子
1 有意义．
x3
【考点2】二次根式的性质
解：原式=2 2 2 3 2 2 2 3 0
2 48 6 1 3 2 3 2 ; 3
解：原式=4 3 2 3 3 4 2 3 1
3
27
1 3
1
3 2 2018 π0 ;
解：原式=3 3 3 2 3 1 2 3
人教版--八下-第一章二次根式测试--含答案
形的形状是(
)
A.底与边不相等的等腰三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
11. 已知三角形的三边长分别为 a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深 入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元 50 年）给出求其面积的海伦公式 S =
p(p
−
a)(p
−
b)(p
−
c)，其中
p
=
x−1
A.x ≥− 1且 x ≠ 1
2
B.x ≠ 1
C.x ≥− 1
2
D.x >− 1且 x ≠ 1
2
4. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. x − 1
B. 18
C. 1
16
5. 下列等式正确的是（
）
A.( 3)2 = 3
C. 33 = 3
6. 下列计算，正确的是（ ） A. 8 = 4 B. ( − 4) × ( − 4) = 4 C. 12 ÷ 3 = 4 D. 4 − 2 = 2
解：∵ (a − 6)2 ≥ 0， b − 8 ≥ 0，|c − 10| ≥ 0， ∴ a − 6 = 0，b − 8 = 0，c − 10 = 0， 解得：a = 6，b = 8，c = 10， ∵ 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102， ∴ 是直角三角形． 故选 D． 11. 【答案】 B 【考点】 二次根式的应用 【解析】 根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为 2，3，4 的面积，从 而可以解答本题． 【解答】
17. 观察下列各式：2 × 2 = 2 + 2；3 × 3 = 3 + 3；4 × 4 = 4 + 4 ；…
人教版数学八年级下册：二次根式(含答案)
二次根式》1．二次根式的概念(1) 一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．(2) 对于a(a≥0)的讨论应注意下面的问题：①二次根号“ ”的根指数是2，二次根号下的 a 叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等．②式子a只有在条件a≥0 时才叫二次根式．即a≥0 是a为二次根式的前提条件．式子－2就不是二次根式，但式子(－2)2是二次根式．③a(a≥0)实际上就是非负数 a 的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果．④4是二次根式，虽然4＝2，但 2 不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．二次根式有两个要素：一是含有二次根号“” ；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的，否则无意义．【例1－1】当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？a＋10，|a|，a2，a2－1，a2＋1，(a－1)2.分析：因为 a 为实数，而|a|≥0，a2≥0，a2＋1> 0，(a－1)2≥0，所以|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．因为 a 是实数时，并不能保证a＋10，a2－ 1 是非负数，即a＋10，a2－1 可能是负数．如当a<－10时，a＋10<0；又如当0<a<1时，a2－1<0，因此，a＋10，a2－1 不是二次根式．解：|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．【例1－2】x 是怎样的实数时，式子x－3在实数范围内有意义？分析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x－3 是非负数，式子x－3有意义．解：由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3 时，式子x－3在实数范围内有意义．2．二次根式的性质(1) a(a≥0)是一个非．负．数．a (a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a ≥0(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性．【例2－1】若a＋3＋(b－2)2＝0，则a b的值是__________ ．解析：由题意可知a＋3＝0，(b－2)2＝0，所以a＋3＝0，b－2＝0，则a＝－3，b＝2.所以a b＝(－3)2＝9.答案：9(2) ( a)2＝a(a≥0)由于a(a≥0)是一个非负数，表示非负数 a 的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数 a 的算术平方根平方，就等于它本身，即( a)2＝a(a≥0)．例② ( x －3)2(x ≥3)＝ ________ .解析： ①直接利用公式 ( a)2＝a(a ≥ 0)，可得 ( 32)2＝23； ②因为 x ≥ 3，所以 x －3≥0， 所以由公式 ( a)2＝a(a ≥0)，可得 ( x －3)2＝ x －3(x ≥3)．2 答案： ①32 ② x － 33a(a ≥ 0)， 由算术平方根的定义，可得 a 2＝ |a|＝ －a(a<0). a 2＝a(a ≥0)表示非负数 a 的平方的算术平方根等于 a. 【例 2－3】 计算：(1) (－ 1.5)2；(2) (a －3)2(a < 3)；(3) (2x3)2( x 32)(1) ( a)2＝a 的前提条件是 a ≥0；而 a 2＝|a|中的 a 为一切实数．(2) a(a ≥ 0)， |a|，a 2 是三个重要的非负数，即 a(a ≥0)≥0，|a|≥0，a 2≥0，在解题时 应用较多．(3) a 2＝( a)2 成立的条件是 a ≥ 0，否则不成立．(4) ( a)2＝ a(a ≥ 0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方 形式．(5) 在利用 a 2进行化简时，要先得出 |a|，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清 被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方．3．求二次根式中被开方数字母的取值范围 由二次根式的意义可知， a 的取值范围是： a ≥0.即当 a ≥ 0 时， a 有意义，是二次根 式；当 a <0 时， a 无意义，不是二次根式．(1) 确定形如 a 的式子中的被开方数中的字母取值范围时，可根据式子 a 有意义或无 意义的条件，列出不等式，然后 解不等式即可．(2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零．(3) a 2＝ |a|＝a(a ≥ 0)，－ a(a<0).求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义a(a ≥ 0)得被开方数必须是非负数，即把问题转化为解不等式．【例 3】 当字母取何值时，下列各式为二次根式．(1) a 2＋ b 2； (2) － 3x ；分析： 必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时， 分母不能为 0，根据这些要求列不等式解答即可．解： (1)因为 a ， b 为任意实数时，都有 a 2＋b 2≥0，所以当 a ，b 为任意实数时， a 2＋b 2是二次根式．(2)－ 3x ≥ 0， x ≤ 0，即当 x ≤0 时， － 3x 是二次根式．1(3) ≥ 0，且 x ≠0，所以 x > 0. 2x4．二次根式非负性的应用(1)在实数范围内，我们知道式子 a(a ≥ 0)表示非负数 a 的算术平方根，它具有双重非 负性：① a ≥0；② a ≥0.运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于 这几个非负数都等于 0”可以解决一些算术平方根问题． 巧记要点： 二次根式，内外一致；即二次根式根号下和根号外一致为非负数． (2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式：① |a|≥ 0；②a 2≥0；③ a ≥0(a ≥0)．【例 4－ 1】已知 x ，y 都是实数，且满足 y ＝ 5－x ＋ x － 5＋ 3，求 x ＋y 的值． 分析： 式子中有两个二次根式，它们的被开方数都应该是非负数，由此可得关于 x 的 不等式组．当 x ＝5时， y ＝ 5－5＋ 5－5＋3＝3. ∴x ＋y ＝5＋3＝ 8.两个算术平方根，当 被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个 式子才能都有意义．1【例 4－ 2】已知 x ，y 为实数，且 y ＝2＋ 8x －1＋ 1－ 8x ，则 x ∶ y ＝ _______ 解析： 因为 y 为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负1 1 1解得 x ＝8，于是 y ＝2＋ 0＋0＝2.故 x ∶y ＝ 1∶4.(4) ≥ 0， 2－x故 x －2≥0 且 x － 2≠0，所以 x >2.0，则 解： 由题意知 5 － x ≥ 0，x ≤5， ∴ x ＝ 5.x － 5≥ 0， x ≥5， 数．实际上，若 a 和 － a 都有意义，则 a ＝0.即依题意得8x －1≥0，1－ 8x ≥0.(3)－3答案：1∶4,5．式子( a)2的意义和运用二次根式的一个性质是：( a)2＝a(a≥0)．因为2＝( 2)2，35＝( 53)2，所以上面的性质又可以写成：a＝( a)2(a≥0)．可见，利用这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式．二次根式中的 2 3表示2× 3，这与带分数221表示2＋12是不一样的，因此，以后遇到32× 3应写成32 3，而不能写成121 3.【例5－1】计算：(1)(2 3)2；(2)( －2 21)2；(3)(－5×3)2.解：(1)(2 3)2＝22×( 3)2＝12.(2)(－2 21)2＝(－2)2×( 12)2＝ 2.(3) (－5× 3)2＝(－1)2× ( 5× 3)2＝15.【例5－2】把多项式n5－6n3＋9 n 在实数范围内分解因式．分析：按照因式分解的一般步骤，先对多项式n5－6n3＋9n 提取公因式，得n(n4－6n2＋9)，再利用完全平方公式分解，得n(n2－3)2，要求在实数范围内分解，所以可以将3写成( 3)2，再运用平方差公式进行因式分解．解：n5－6n3＋9n＝n(n4－6n2＋9)＝n(n2－3)2＝n(n＋3)2(n－3)2.6．二次根式与相反数和绝对值的综合应用(1)二次根式具有非负性，一个数的绝对值，完全平方数也是一个非负数，因此可以把这几者结合出题．(2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数，即：|a|≥0，b≥0(b≥0)，c2≥0.非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零．即：|a|＋b＝0? a＝0，b＝0；|a|＋c2＝0? a＝0，c＝0；b＋c2＝0? b＝0，c＝0；|a|＋b＋c2＝0? a＝0，b＝0，c＝0.【例6－1】若|a－b＋1|与a＋2b＋4互为相反数，则(a＋b)2 011＝ ____ .解析：|a－b＋1|与a＋2b＋4互为相反数，∴ |a－b＋1|＋a＋2b＋4＝0.而|a －b＋1|≥0 ， a ＋2b＋ 4 ≥0 ，a－b＋1＝0，a＝－2，a＋2b＋4＝0. b＝－ 1.∴(a＋b)2 011＝(－2－1)2 011＝(－3)2 011＝－32 011. 答案：－32 011【例6－2】若a2＋b－2＝4a－4，求ab的值．分析：通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式，即(a－2)2＋b－2＝0，由二次根式的性质可知b－2≥0，由完全平方数的意义可知(a－2)2≥0，而它们的和为零，则a－2＝0，b－2＝0，从而可求出a，b 的值．解：由a2＋b－2＝4a－4，得a2－4a＋4＋b－2＝0，即(a－2)2＋b－2＝0.∵(a－2)2≥0，b－2≥0 且(a－2)2＋b－2＝0，∴ a－2＝0，b－2＝0，解得a＝2，b＝2.∴ ab＝2，即ab的值为 2.7．二次根式( a)2＝a( a≥0)与a2＝|a|的区别、运用( a)2＝a(a≥0)与a2＝|a|是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据．(1)正确理解( a)2与a2的意义学习了二次根式的定义以后，我们知道a≥0(a≥0)，即a是一个非负数，a是非负数a的算术平方根，那么( a)2就是非负数 a 的算术平方根的平方，但只有当a≥0 时，a才能有意义．对于a2，则表示a2的算术平方根，由于a2中的被开方数是一个完全平方式，所以 a 无论取什么值，a2总是非负数，即a2总是有意义的．(2)( a)2与a2的区别和联系区别：①表示的意义不同．( a)2表示非负实数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a 的平方的算术平方根．②运算的顺序不同．( a)2是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而a2则是先求实数 a 的平方，再求a2的算术平方根．③取值范围不同．在( a)2中，a只能取非负实数，即a≥0；而在a2中，a可以取一切实数．④写法不同．在( a)2中，幂指数 2 在根号的外面；而在a2中，幂指数 2 在根号的里面．a(a> 0)，⑤结果不同．( a)2＝a(a≥0)，而a2＝0(a＝0)，－a(a< 0).联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即( a)2≥0，a2≥0.③仅当a≥0 时，有( a)2＝a2. 如果先做二次根式运算，后做平方运算，只有一种可能；如果先做平方运算，再做二次根式运算，答案需分情况讨论．【例7－1】已知x< 2，则化简x2－4x＋4的结果是( )．A．x－2 B．x＋2 C．－x－ 2 D．2－x解析：x2－4x＋4＝(x－2)2＝(2－x)2，因为x<2,2－x>0，所以x2－4x＋4＝2－x.答案：D【例7－2】化简1－6x＋9x2－( 2x－1)2得( )．A ．－5xB ．2－5x C．x D．－x解析：错解正解由 2x －1，知 2x －1≥ 0，得 x ≥1，从而有原式＝ （1－3x ）2－ （2x －＝（1－3x ）－（2x － 1）＝2－5x ， 3x － 1≥ 0，所以原式＝ （1－ 3x ）2－ （2x －1） ＝ 故选 B. （3x －1）2－（2x －1）＝（3x －1）－（2x －1）＝x.故 选 C. 错因剖析：思路分析： 本题错在忽视了二次根式成本题主要应用二次根式的性质： 立的隐含条件．题目中a a 0 , (1) a 2＝ |a|＝ a a 0 ,2x － 1有意义， 说明隐含了 － a a <0 .1 条件 2x －1≥ 0，即 x ≥2，可(2)( a)2＝a(a ≥0) . 知 3x －1≥ 0.正确应用二次根式的性质是解决本题的关键 . 答案： C【 例 7 － 3 】 若 m 满 足 关 系 式 3x ＋5y －2－m ＋ 2x ＋3y －m ＝ x － 199＋y · 199－ x －y ，试确定 m 的值． 分析： 挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性，并在解题过程中有机地配合应 用，是解决本题的关键．解： 由算术平方根的被开方数的非负性，得x － 199＋ y ≥ 0， x ＋ y ≥ 199，即 ∴x ＋y ＝ 199.199－x － y ≥ 0， x ＋ y ≤ 199.x － 199＋ y · 199－x －y ＝0.＋5y －2－ m ＋ 2x ＋ 3y －m ＝0. 再由算术平方根的非负性及y ＝－ 197. ∴m ＝2x ＋3y ＝2×396＋3×（－197）＝201.点拨： （1）运用二次根式的定义得出： x ≥a 且 x ≤a ，故有 x ＝ a ，这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法，在前面的解题中已用到．a ≥ 0，（2）由 b ≥ 0， 推出 a ＝ b ＝0，这也是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之a ＋b ＝ 0 两个非负数的和为零，① 3x ＋ 5y －2－m ＝0，得 2x ＋ 3y －m ＝0. 由①－②，得 x ＋2y ＝ 2.x ＋ y ＝199 ， 解方程组 得 x ＋2y ＝ 2， x ＝ 396，。