内心外心训练答案

【训练题】

1、如图，O 是△ABC 的，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交E 、F ，则（ ） A 、EF ＞AE+BF B 、EF ＜AE+BF C 、EF=AE+BF D 、EF≤AE+BF 解：连接AO 、BO ，

∵∠OAE=∠OAB （角平分），∠EOA=∠OAB （内错角） ∴∠OAE=∠EOA ，则EO=EA ，同理FO=FB

故选C

2、已知，如图，点E 是△ABC 的内心，延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，连接BD 、DC 、EC ，则图

中与BD 相等的线段分别是____________________ 解：由题知，∠BAD=∠OAD ，则BD=CD ，∠DBC=∠DCB 易知：∠DBC=∠DAC ，则∠DCB=∠DAC ∵∠DCE=∠DCB+

12C ∠，∠DEC=∠DAC+1

2

C ∠ ∴∠DCE=∠DEC 所以 CD=DE 故：与B

D 相等的线段分别是CD 、DE

3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，延长AC 到D ，使CD=BC ，点P 是△ABD 的内心，

则∠BPC=___________

解：∵AB=AC ，P 是△ABD 的内心，∴AP 为BP 的中垂线 则BP=PC ，△BPC 为等腰三角形，

设∠PBC=a ，则∠BPC=180°－2a ∵∠A=40°，∴∠ABC=70°

∵ CD=BC ，∴∠CBD=35°，由题知：∠PBA=∠PBD 则有70°－a=35°+a ，所以2a=35°，故∠BPC=145°

4、如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，如果O 为△ABC 的内心，过O 作OE ⊥AD 于E ，作OF ⊥CD 于

F ，则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为__________ 解：延长FO 交AB 于H ，延长EO 交BC 于I ，过O 作O

G ⊥AC

D

E

B

C

A

F

E

O

C

A

B

P D

C

A

B

∵O 为△ABC 的内心，∠BAC=90° ∴ 四边形HBIO 为正方形

则OG=HO=AE=FC

易证：△MGO ≌△MEA ，△NGO ≌△NFC

则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为1:2

5、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点O 、I 分别为△ABC 的外心和内心，AC=6，BC=8，则OI 的

值为_______________ 解：直角三角形的外心位于斜边的中点 直角三角形内切圆的半径：2

a b c

r +-=

（见上左图，推导过程略） 如上右图，易知：IE=2 ，AE=AF=AC －CF=6－2=4 ∵OA=5，∴OE=1，则IO=5

6、如图，△ABC 内接于⊙O ，I 是其内心，且AI ⊥OI 。若AC=9，BC=7，则AB=_______ 解： 首先搞明白一个问题，令AD=AF=a ，

则BE=BD=AB －a ，CE=CF=AC －a ，而BC=BE+CE 所以（AB －a ）+ （AC －a ）=BC 则有：AD=

1

()2

AB AC BC +- 延长AI 交圆O 于D ，连接BD 、CD 、OA 、OD

易知：AI=ID=BD=CD （垂径定理 + 第2题推导） 所以OD ⊥BC ，设垂足为E ，过I 作IF ⊥AB

∠DBC=∠DCB ，∠DCB=∠DAB ，∴∠FAI=∠EBD 易证 △AFI ≌△BED （AAS ），所以AF=BE=

1

2

BC G

H

I

M

N

F

E

I

B

O

A

C

b

c

a

r r

r

D

E F

I B

A

C

D

F

E

A

B

C

F

E D

I

O

C

B

A

∵AF=

1

()2

AB AC BC +- ∴AB=2BC －AC=14－9=5 7、如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的 AB 上有一运动的点P ，从点P 向半径OA 引垂线

PH 交OA 于点H ，设△OPH 的内心为I ，那么当点P 在 AB 上从点A 运动到点B 时，I 所经过的路径长为_______________

解：初中，动点运动的轨迹不是直线就是圆弧，并不难判断： P 与A 重合时I 在A 处，P 与B 重合时I 在O 处 所以：I 的运动轨迹是以AO 为弦的一段弧。

（需要知道 AO 的圆心在哪儿，半径多少，对应的圆心角多少）

AO 的圆心应该在AO 的垂直平分线上，假设为C ，则CA=CO

∵OI 公共，OP=OA ，∠POI=∠AOI ∴△POI ≌△AOI

则∠AIO=∠PIO=135°，那么 ADO =270°（圆心角为圆周角2倍） 所以∠ACO=90°，则△ACO 为等腰直角三角形，CO=

22

2222

AO =⨯= 122242

AO ππ=⨯⨯⨯=

8、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，过B 点的切

线交OE 的延长线于点F ，连结FD ，则下列结论： ① DE BE =；②FD 是⊙O 的切线；③∠C=∠DFB ；

④E 为△BDF 的内心。 其中一定成立的个数有_______________。 A 、①②③ B 、①②④ C 、①③④ D 、②③ 解：∵∠AEB=90°，AB=AC ∴∠1=∠2

则 DE

BE =，所以①对，∠7=∠8 又∵OD=OB ，OF=OF ，∴△EOD ≌△EOB 则∠FDO=∠FBO =90°，所以②对，∠5=∠6 ∵∠ABE+∠4=90°，∠ABE+∠2=90° ∴∠2=∠4，又∵∠2=∠1=∠3，∴∠3=∠4

则E 为△BDF 三个内角平分线的交点，所以④对，答案：B ③是错误的，简单推理如下：

C

I

H

B

O

A

P

D

8

7

6

5

4

32

1

F

D

E

O

C

A

B